Dynamic Programming

OPERATIONS RESEARCH SERIES

MODEL DYNAMIC PROGRAMMING

Tjutju Tarliah Dimyati

DYNAMIC PROGRAMMING

 Suatu teknik matematik yang digunakan untuk membuat
keputusan dari sejumlah keputusan yang saling berkaitan

 Melibatkan prosedur yang sistematis guna memaksimumkan
efektivitas penyelesaian

 Tidak memiliki formulasi matematik yang standar, sehingga
persamaan yang akan digunakan harus dibuat dan disesuaikan
dengan situasi yang dihadapi

 Dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan non-linier

Karakteristik Model DP

 Persoalan dapat dibagi ke dalam sejumlah (misal N)
tahap, yang pada masing-masing tahap diperlukan
adanya suatu keputusan

 Setiap tahap memiliki sejumlah status yang akan
menentukan keputusan pada tahap yang
bersangkutan

 Akibat dari keputusan yang dilakukan pada suatu
tahap akan ditransformasikan dari status yang
bersangkutan ke status pada tahap berikutnya

 Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat
independen terhadap keputusan pada tahap
sebelumnya

Karakteristik Model DP (lanjutan)

 Prosedur pemecahan persoalan dimulai dengan
menetapkan keputusan terbaik untuk setiap status pada
tahap terakhir (tahap ke N)

 Ada hubungan rekursif yang mengidentifikasi keputusan
terbaik untuk setiap status pada tahap ke-n berdasarkan
keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap ke (n+1)

 Dengan menggunakan hubungan rekursif ini prosedur
penyelesaian persoalan dapat dilakukan baik dengan
dengan cara maju (forward) maupun dengan bergerak
mundur (backward) tahap demi tahap.

 Pada setiap tahap ditetapkan keputusan terbaik untuk
setiap status, hingga akhirnya diperoleh keputusan
optimal ketika sampai di tahap pertama

STRUKTUR DASAR MODEL DP

• Definisikan:

adalah status pada tahap ke n

adalah alternatif keputusan pada tahap ke n

∗ adalah keputusan terbaik pada tahap ke n

, adalah nilai fungsi tujuan pada tahap ke n
berdasarkan dan

∗ ( ) adalah nilai fungsi tujuan terbaik untuk

∗ ( ) = , ∗ = max ,

atau , ∗

= min ,


∗ + ( + ) adalah kontribusi dari tahap ke n+1

STRUKTUR DASAR MODEL DP

Hubungan antara tahap ke n dengan tahap ke (n+1), jika bergerak
mundur, dapat digambarkan sebagai berikut:

Tahap n Tahap n+1
Status : sn
Kontribusi dari sn+1
fn (sn , xn ) tahap n+1
fn*1 ( Xn1 )

Langkah Penyelesaian Persoalan DP

1. Definisikan

a. Persoalan yang harus diselesaikan
b. Banyaknya tahap
c. Status pada setiap tahap
d. Alternatif keputusan pada setiap tahap
e. Fungsi tujuan

2. Buat tabel yang menunjukkan seluruh status dan alternatif
keputusan pada tahap yang akan diselesaikan

3. Tentukan nilai fungsi tujuan dengan menyertakan kontribusi
dari tahap yang diselesaikan sebelumnya

Langkah Penyelesaian Persoalan DP

3. Tetapkan nilai fungsi tujuan terbaik untuk setiap status pada
tahap yang sedang diselesaikan

4. Tetapkan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap
yang sedang diselesaikan

5. Tetapkan solusi persoalan berdasarkan keputusan terbaik dari
tahap yang terakhir diselesaikan hingga tahap yang pertama
diselesaikan. Jangan lupa bahwa akibat dari keputusan yang
dilakukan pada suatu tahap harus ditransformasikan dari status
yang bersangkutan ke status pada tahap berikutnya

JENIS PERSOALAN

Berdasarkan sifat datanya, persoalan DP dapat dibedakan atas dua jenis
persoalan, yaitu:

• Persoalan DP yang persamaan rekursifnya berupa penambahan
Persoalan ini terjadi jika persoalan mempunyai data yang bersifat
deterministik

• Persoalan DP yang persamaan rekursifnya berupa perkalian
Persoalan ini terjadi jika persoalan mempunyai data yang bersifat
probabilistik

BAGIAN – 1
PERSAMAAN REKURSIF PENAMBAHAN

CONTOH PERSOALAN 1 – RUTE TERPENDEK

Prototype contoh persoalan untuk menjelaskan persoalan DP adalah persoalan
penentuan rute dari satu titik asal ke satu titik tujuan melalui sejumlah titik antara,
sebagai berikut.

Seseorang akan melakukan perjalanan dari kota 1 ke kota 7 melalui beberapa
alternatif kota antara, seperti pada gambar di bawah ini:

• Angka-angka pada setiap busur
menyatakan jarak tempuh

• Pada hari pertama, perjalanan dari kota 1
akan sampai di kota 2 atau 3 atau 4,
sedangkan pada hari kedua perjalanan
dari 2 atau 3 atau 4 akan dilanjutkan dan
akan sampai di kota 5 atau 6. Baru pada
hari ketiga perjalanan dilanjutkan dari
kota 5 atau 6 ke kota tujuan akhir, yaitu
kota 7. Bagaimanakan route yang harus
dilalui agar total jarak tempuhnya
minimum.

CONTOH PERSOALAN 1 - RUTE TERPENDEK

• Tujuan dari persoalan ini ialah menentukan rute terpendek dari node 1 ke
node 7. Artinya, harus ditentukan perjalanan dari mana ke mana pada
setiap harinya.

• Karena perjalanan dari node 1 ke node 7 membutuhkan waktu tiga hari
maka jumlah tahap pada persoalan ini ada tiga, sedangkan statusnya
adalah posisi pada awal setiap hari. Variabel keputusannya adalah jalan
atau route yang akan dilalui. Penyelesaian akan dilakukan dari tahap akhir
atau tahap 3 (cara mundur atau back ward).

• Karena node 5 dan 6 berada pada posisi yang sama maka pada tahap 3,
status bisa pada node 5 atau node 6. Apabila pada awal hari ke 3 berada di
node 5 maka rute terbaiknya adalah 5 – 7 dengan jarak 9. Apabila pada
awal hari ke 3 berada di node 6 maka rute terbaik adalah 6 – 7 dengan
jarak 6. Hal ini dapat digambarkan pada tabel tabel berikut ini.

CONTOH PERSOALAN 1 - RUTE TERPENDEK

• Tahap 3 (hari ke 3)

Status Alternatif Fungsi tujuan terbaik Keputusan terbaik
keputusan berdasarkan status berdasarkan status
S3
5 X3 = 7 F3 (S3) 3∗
6 9 9 7
6 6 7

Dengan cara yang sama, lanjutkan untuk tahap 2 dan tahap 1. Jangan
lupa menyertakan nilai fungsi tujuan terbaik untuk masing-masing
status pada stage sebelumnya ke dalam stage berikutnya (nilai f3 (S3) ).

CONTOH PERSOALAN 1 - RUTE TERPENDEK

• Tahap 2 (hari ke 2)

Status Alternatif keputusan Fungsi tujuan Keputusan

S2 X2 = 5 X2 = 6 terbaik terbaik
2 12 + 9 = 21 - F2 (S2) 2∗
3 8 + 9 = 17 5
4 7 + 9 = 16 9 + 6 = 15 21 6
13 + 6 = 19 15 5
• Tahap 1 (hari ke 1) 16

Status Alternatif keputusan Fungsi tujuan Keputusan Maka rute yang
S1 terbaik terbaik harus ditempuh
1 X1 = 2 X1 = 3 X1 = 4 1∗ adalah:
7 + 21 8 + 15 5 + 16 F1 (S1)
= 28 = 23 = 21 1457
21 4
Dengan jarak 21

CONTOH PERSOALAN 2 – ALOKASI TIM

Badan kesehatan dunia (WHO) merencanakan untuk menyempurnakan
pelayanan kesehatan di negara-negara yang sedang berkembang. Karena
saat ini WHO hanya mempunyai 5 tim yang akan ditempatkan di 3 negara,
untuk melaksanakan rencana ini maka WHO harus menentukan berapa tim
yang harus ditempatkan di tiap negara sehingga keefektifan total dari ke 5
tim itu dapat dimaksimumkan. Dalam hal ini ukuran keefektifan yang
digunakan adalah pertambahan umur penduduk.

Jika taksiran pertambahan umur dalam satuan ribuan tahun-orang untuk tiap
negara dan alokasi tim yang mungkin dilakukan adalah seperti pada tabel
terlampir, tentukanlah berapa tim yang harus dialokasikan pada masing-
masing negara ?

CONTOH PERSOALAN 2 – ALOKASI TIM

Jumlah Tim yang Perkiraan Pertambahan Umur (ribu tahun-orang) di Negara
Dialokasikan
123
0 000
1 45 20 50
2 70 45 70
3 90 75 80
4 105 110 100
5 120 150 130

Jumlah stage pada persoalan ini ada 3 sesuai jumlah negara yang akan
ditempati oleh tim tenaga kesehatan, sedangkan statenya adalah jumlah ahli
kesehatan yang belum dialokasikan. Variabel keputusan adalah jumlah tim
yang di alokasikan di masing masing negara. Fungsi tujuannya adalah
memaksimumkan pertambahan total umur.

CONTOH PERSOALAN 2 - ALOKASI TIM

• Stage 3 (negara 3)

Jumlah tim Jumlah tim yang dialokasikan di negara 3 Jawab optimal
yang belum
dialokasian 012345 Tambahan X3
0 umur
0 0 50 0
1 0 1

50

2 0 50 70 70 2

3 0 50 70 80 80 3

4 0 50 70 80 100 100 4

5 0 50 70 80 100 130 130 5

CONTOH PERSOALAN 2 - ALOKASI TIM

• Stage 2 (negara 2)

Jumlah tim Jumlah tim yang dialokasikan di negara 2 Jawab optimal
yang belum 1234
dialokasian 0 5 Tambahan X2
20 umur
0 0
1 50 00

50 0

2 70 20+50=70 45 70 0,1

3 80 20+70=90 45+50=95 75 95 2

4 100 20+80=100 45+70=115 75+50=125 110 125 3

5 130 20+10=120 45+80=125 75+70=145 110+50=160 150 160 4

CONTOH PERSOALAN 2 - ALOKASI TIM

• Stage 1 (negara 1)

Jumlah tim Jumlah tim yang dialokasikan di negara 1 Jawab optimal
yang belum 1234
dialokasian 0 5 Tambahan X1
umur

5 160 45+125=170 70+95=165 90+70=160 105+50=155 120 170 1

Kesimpulan:
• Alokasikan di Negara 1 = 1 tim
• Alokasikan di Negara 2 = 3 tim
• Alokasikan di Negara 3 = 1 tim
• Tambahan umur total = 170 ribu tahun orang

CONTOH PERSOALAN 3 - ALOKASI DANA

Seseorang memiliki uang sebanyak $6.000 yang akan diinvestasikan. Ada tiga
alternatif investasi yang bisa dipilih yaitu:

• Alternatif 1: Setiap D1 (dalam kelipatan $1000) yang diinvestasikan akan
menghasilkan NPV sebesar (7 D1 + 2), untuk D1 > 0. Untuk D1 = 0 maka
NPV = 0

• Alternatif 2: Setiap D2 (dalam kelipatan $1000) yang diinvestasikan akan
menghasilkan NPV sebesar (3 D2 + 7), untuk D2 > 0. Untuk D2 = 0 maka
NPV =0

• Alternatif 3: Setiap D3 (dalam kelipatan $1000) yang diinvestasikan akan
menghasilkan NPV sebesar (4 D3 + 5), untuk D3 > 0. Untuk D3 = 0 maka
NPV = 0

Bagaimana rencana investasi terbaik pada ketiga alternatif tersebut agar NPV
yang diperoleh maksimum? Lakukan perhitungan dengan cara maju

CONTOH PERSOALAN 3 - ALOKASI DANA

Jumlah stage pada persoalan ini adalah 3 sesuai dengan jumlah alternatif investasi,
sedangkan statenya adalah dana yang belum dialokasikan. Variable keputusan
adalah jumlah dana yang harus dialokasikan pada masing masing alternatif
investasi. Fungsi tujuan ialah memaksimumkan NPV.

• Stage 1 (alternatif 1)

Dana yang Jumlah yang dialokasikan pada alternatif 1 Jawab optimal
belum
0123456 NPV X1
dialokasikan 0 00
09 91
0 0 9 16 16 2
1 0 9 16 23 23 3
2 0 9 16 23 30 30 4
3 0 9 16 23 30 37 37 5
4 0 9 16 23 30 37 44 44 6
5
6

CONTOH PERSOALAN 3 - ALOKASI DANA

• Tahap 2 (alternatif 2)

Dana yang Jumlah dana yang dialokasikan pada Jawab optimal
belum alternatif 2 NPV X2

dialokasikan 0123456

00 00

1 9 10 10 1

2 16 19 13 19 1

3 23 26 22 16 26 1

4 30 33 29 25 19 33 2

5 37 40 36 32 28 22 40 1

6 44 47 43 39 35 31 25 47 1

CONTOH PERSOALAN 3 - ALOKASI DANA

• Tahap 3 (alternatif 3)

Dana yang Jumlah dana yang dialokasikan pada Jawab Optimal
belum alternatif 3 NPV X3

dialokasikan 0123456

6 47 49 46 43 40 35 29 49 1

Dari tabel di atas dapat disimpulkan :
• Jumlah dana yang dialokasikan pada proyek 3 = $ 1.000
• Jumlah dana yang dialokasikan pada proyek 2 = $ 1.000
• Jumlah dana yang dialokasikan pada proyek 1 = $ 4.000
• NPV total = $ 49.000

BAGIAN – 2
PERSAMAAN REKURSIF PERKALIAN

CONTOH PERSOALAN 4 – PERSOALAN RELIABILITAS ALAT

Suatu peralatan elektronik dirancang terdiri dari 3 komponen. Ketiga komponen tersebut dirakit
secara serial, sehingga kerusakan yang terjadi pada satu komponen akan menyebabkan peralatan
elektronik tersebut tidak berfungsi. Keandalan (reliabilitas) peralatan elektronik tersebut dapat
ditingkatkan dengan cara menambahkan 1 atau 2 unit komponen tambahan yang dipasang secara
parallel pada masing-masing dari ketiga komponen utama. Tabel berikut menunjukkan tingkat
keandalan (Ri) dan biaya yang dibutuhkan (Ci) bila peralatan dipasangi 0 atau 1 atau 2 komponen
tambahan.

Jumlah komponen Komponen 1 Komponen 2 Komponen 3
yang ditambahkan R1 C1 R2 C2 R3 C3
0.6 1.000 0.7 3.000 0.5 2.000
0 0.8 2.000 0.8 5.000 0.7 4.000
1 0.9 3.000 0.9 6.000 0.9 5.000
2

Bila dana yang tersedia untuk membuat alat ini adalah $10.000, bagaimana sebaiknya komponen
tambahan tersebut dirakit agar tingkat keandalan alat maksimum.

CONTOH PERSOALAN 4 – PERSOALAN RELIABILITAS ALAT

• Reliabilitas atau keandalan suatu alat adalah probabilitas alat itu berfungsi.
Karena alat terdiri dari tiga komponen yang dipasang serie maka keandalan alat
adalah sama dengan hasil perkalian keandalan masing-masing komponen. Jika
masing-masing komponen tidak dipasangi komponen tambahan, maka keandalan
alat adalah 0,6 x 0,7 x 0,5 = 0,21 dengan dana yang dibutuhkan sebesar:
1000 + 3000 + 2000 = 6000.

• Sesuai dengan jumlah jenis komponen, maka persoalan akan terdiri dari 3 stage,
sedangkan state nya adalah sisa dana yang belum dialokasikan.

• Variabel keputusan (X) adalah jumlah komponen tambahan yang dipasang paralel
pada masing-masing komponen

• Fungsi tujuan adalah memaksimumkan keandalan alat

CONTOH PERSOALAN 4 – PERSOALAN RELIABILITAS ALAT

Stage 3 (komponen 3)

• Untuk memasang komponen 3 ini diperlukan dana sekurang-kurangnya 2000
tetapi dana yang dapat dialokasikan untuk komponen ini tidak bisa lebih dari
(10000 – 3000 – 1000) = 6000 (untuk menyediakan komponen 2 dan komponen 1)

Dana X3 = 0 X3 = 1 X3 = 2 Solusi Optimal
Tersedia
R = 0,5 , C = 2 R = 0,7 , C = 4 R = 0,9 , C = 5 Keandalan X3
2
3 0,5 - - 0,5 0
4
5 0,5 - - 0,5 0
6
0,5 0,7 - 0,7 1

0,5 0,7 0,9 0,9 2

0,5 0,7 0,9 0,9 2

CONTOH PERSOALAN 4 – PERSOALAN RELIABILITAS ALAT

Stage 2 (komponen 2)

• Pada stage ini diperlukan total dana sekurang-kurangnya 5000 (2000 untuk
komponen 3 dan 3000 untuk komponen 2) tetapi dana yang dapat dialokasikan
untuk komponen ini tidak bisa lebih dari (10000 – 1000) = 9000 (untuk
menyediakan komponen 1)

Dana X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 Solusi Optimal
Tersedia R = 0,7 , C = 3 R = 0,8 , C = 5 R = 0,9 , C = 6
0,7 x 0,5 = 0,35 Keandalan X2
5 0,7 x 0,5 = 0,35 0,8 x 0,5 = 0,40 0,9 x 0,5 = 0,45
6 0,7 x 0,7 = 0,49 0,8 x 0,5 = 0,40 0,9 x 0,5 = 0,45 0,35 0
7 0,7 x 0,9 = 0,63 0,8 x 0,7 = 0,56
8 0,7 x 0,9 = 0,63 0,35 0
9
0,49 0

0,63 0

0,63 0

CONTOH PERSOALAN 4 – PERSOALAN RELIABILITAS ALAT

Stage 1 (komponen 1)

Dana X1 = 0 X1 = 1 X1 = 2 Solusi Optimal
Tersedia
R = 0,6 , C = 1 R = 0,8 , C = 2 R = 0,9 , C = 3 Keandalan X1
10
0,6 x 0,63 = 0,8 x 0,63 = 0,9 x 0,49 = 0,504 1
0,378 0,504 0,441

Kesimpulan:
Komponen 1 harus dipasang komponen tambahan 1 unit  sisa dana = 8
Komponen 2 tidak dipasang komponen tambahan  sisa dana = 5
Komponen 3 harus dipasang komponen tambahan 2 unit
Reliabilitas alat = 0,504

CONTOH PERSOALAN 5 – PROBABILITAS KEBERHASILAN TIM

Tiga tim riset sedang melakukan penelitian untuk memecahkan suatu masalah.
Ketiga tim tersebut mempunyai pendekatan yang berbeda yang mengakibatkan
perbedaan kemungkinan keberhasilannya. Diperkirakan probabilitas keberhasilan
tim 1, 2, dan 3 masing-masing adalah 0,6; 0,5; dan 0,3. Untuk meningkatkan
probabilitas terjadinya keberhasilan, manajemen berencana menambah dua orang
tenaga ahli untuk ditempatkan di antara tim yang ada. Tabel berikut menunjukan
probabilitas keberhasilan masing-masing tim setelah ditambah 0 atau 1 atau 2
orang tenaga ahli baru.

Jumlah Probabilitas Keberhasilan Bagaimanakah penugasan kedua
Tambahan Tenaga tenaga ahli tersebut sebaiknya
Tim 1 Tim 2 Tim 3 dilakukan agar diperoleh tingkat
Ahli keberhasilan yang maksimum?
0,6 0,5 0,3
0
0,8 0,7 0,55
1
0,85 0,85 0,7
2

CONTOH PERSOALAN 5 – PROBABILITAS KEBERHASILAN TIM

• Jumlah stage pada persoalan ini adalah 3 sesuai dengan jumlah tim, sedangkan
state adalah tambahan tenaga ahli yang belum dialokasikan. Variable keputusan
adalah jumlah tambahan tenaga ahli yang harus dialokasikan pada masing masing
tim. Fungsi tujuan adalah memaksimumkan probabilitas keberhasilan.

• Saat ini, probabilitas keberhasilan ketiga tim bila bekerja bersama-sama adalah
0,6 x 0,5 x 0,3 = 0,09.

• Stage 3 (Tim 3)

Jumlah tambahan tim Tambahan anggota tim Jawab optimal
yang belum dialokasikan pada tim 3
Probabilitas X3
012 berhasil

0 0,3 - - 0,3 0

1 0,3 0,55 - 0,55 1

2 0,3 0,55 0,7 0,7 2

CONTOH PERSOALAN 5 – PROBABILITAS KEBERHASILAN TIM

• Stage 2 (Tim 2)

Jumlah tambahan tim yang Tambahan anggota tim pada tim 2 Jawab optimal
belum dialokasikan 012
Probabilitas X2
berhasil

0 0,5 x 0,3 = - - 0,15 0
0,15

1 0,5 x 0,55 = 0,7 x 0,3 = - 0,21 1
0,165 0,21

2 0,5 x 0,7 = 0,7 x 0,55 = 0,8 x 0,3 = 0,385 1
0,35 0,385 0,255

CONTOH PERSOALAN 5 – PROBABILITAS KEBERHASILAN TIM

• Stage 1 (Tim 1)

Jumlah tambahan tim yang Tambahan anggota tim pada tim 1 Jawab optimal
belum dialokasikan 012
Probabilitas X1
berhasil

2 0,6 x 0,385 = 0,8 x 0,21 = 0,85 x 0,15 = 0,231 0

0,231 0,168 0,1275

Dari tabel diatas dapat disimpulkan :
• Alokasikan 0 pada tim 1
• Alokasikan 1 pada tim 2
• Alokasikan 1 pada tim 3
• Probabilitas keberhasilan = 0.231

AKHIR PEMBAHASAN
PERSOALAN DYNAMIC PROGRAMMING