Model Integer LP - Bagian 2

OPERATIONS RESEARCH SERIES

MODEL INTEGER LINEAR PROGRAMMING

Tjutju Tarliah Dimyati

FORMULASI dan PENYELESAIAN
PERSOALAN INTEGER LINEAR
PROGRAMMING (ILP)
Bagian - 2

2
PERSOALAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING

(ILP) DENGAN VARIABEL BINER

JENIS PERSOALAN

Persoalan Integer Linear Programming yang seluruh variabelnya
merupakan variabel biner (hanya berharga nol atau satu) dapat
dibedakan atau dua jenis persoalan, yaitu

1. Persolan yang hanya memiliki satu fungsi pembatas, dikenal
sebagai Knapsack Problem

2. Persoalan dengan fungsi pembatas lebih dari satu

Persoalan knapsack biasanya merupakan persoalan pengalokasian
sumber, dengan fungsi tujuan memaksimumkan atau meminimumkan

1. PERSOALAN ILP BINER DENGAN SATU FUNGSI PEMBATAS

Contoh:
Suatu perusahaan pengiriman barang mendapat order untuk mengangkut lima
jenis barang dengan data sbb:

Jenis Barang Volume Barang (m3) Jasa Pengiriman ($)
1 80 60
2 60 48
3 30 14
4 40 31
5 20 10

Jika volume angkut kendaraan yang ada hanya 110 m3, bagaimanakah
formulasi model ILP untuk menentukan barang mana saja yang sebaiknya
diangkut agar diperoleh total jasa pengiriman yang maksimum?

1. PERSOALAN ILP BINER DENGAN SATU FUNGSI PEMBATAS

Karena yang diminta adalah menentukan barang mana yang harus diangkut,
maka variabel keputusan persoalan ini adalah variabel biner, dengan nilai Xi =1
menyatakan diangkut dan nilai Xi =0 menyatakan tidak diangkut.
Formulasinya adalah:
Maksimumkan Z = 60 X1 + 48 X2 + 14 X3 + 31 X4 + 10 X5
Denga pembatas:

80 X1 + 60 X2 + 30 X3 + 40 X4 + 20 X5 ≤ 110
X1, X2, X3, X4, X5 = 0 atau 1

KNAPSACK PROBLEM – CARA PENYELESAIAN

Seperti pada persoalan Integer LP dengan variabel general integer, persoalan
knapsack diselesaikan dengan metode Branch-and-Bound. Perbedaannya hanya
terletak pada langkah penentuan solusi awalnya. Langkah penyelesaiannya
adalah:

1. Hitung rasio koefisien fungsi tujuan terhadap koefisien fungsi pembatas

2. Urutkan nilai rasio dari besar ke kecil

3. Tetapkan rangking nilai rasio (ranking 1 untuk nilai rasio terbesar)

4. Lakukan pengalokasian sumber (penetapan nilai variabel) dengan
memperhatikan ranking

5. Lakukan proses algoritma Branch-and-Bound (pencabangan terhadap variabel
yang belum memenuhi syarat intejer, penetapan batas nilai variabel pada
setiap cabang, penetapan nilai variabel, fathoming, dan penetapan solusi
optimal)

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Seseorang akan menginvestasikan Formulasi persoalannya adalah:
uang sebesar $14,000. Ada 4 proyek
yang sedang dipertimbangkan Maksimumkan
dengan data cash outflow dan NPV
sebagai berikut: 16X1 + 22X2 + 12X3 + 8X4
dengan pembatas:
Proyek Cash Outflow NPV
1 5 16 5X1 + 7X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 14
2 7 22 Xj = 0 atau 1 (j= 1, 2, 3, 4)
3 4 12 Nilai rasio antara koefisien fungsi
4 3 8 tujuan dengan koefisien fungsi
pembatas untuk masing-masing
Tentukan proyek mana yang variabel adalah sebagai berikut.
sebaiknya dipilih agar diperoleh total
NPV maksimum.

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

i Ci/ai Ranking Alokasi sumber:

1 16/5 = 3,2 1 Karena X1 menempati ranking 1 maka
uang yang ada dialokasikan untuk
2 22/7 = 3,1 2 proyek 1 sebesar 5. Sisanya (sebesar
14-5=9) dialokasikan untuk proyek 2
3 12/4 = 3 3 sebesar 7. Tersisa 2 , alokasikan pada
proyek 3, tapi karena uang yang
4 8/3 = 2,67 4 dibutuhkan untuk proyek 3 adalah 4
maka proyek 3 hanya mendapat 2/4
Dengan memperhatikan ranking di atas sedangkan proyek 4 tidak mendapat
maka lakukan pengalokasian sumber alokasi.

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Dengan demikian maka solusi awal Karena seluruh variabel hanya akan
persoalan ini adalah: bernilai 0 atau 1 maka tetapkan nilai
tersebut pada masing-masing cabang.
X1=1, X2=1, X3=2/4, X4=0 Pilih salah satu cabang untuk
dengan nilai NPV = diselesaikan lebih dahulu.
16(1) + 22(1) + 12(2/4) + 8(0)=44
Seharusnya seluruh variabel berharga X1 = X2 = 1; X3 = 2/4; X4 = 0
0 atau 1, sedangkan pada solusi awal Z = 44
di atas nilai X3 = 2/4. Artinya solusi
awal yang diperoleh belum merupakan X3 = 0 X3 = 1
solusi fisibel. Maka lakukan
pencabangan terhadap variabel yang
nilainya bukan 1 atau 0, yaitu X3.

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Misalkan dipilih cabang X3=1 untuk Karena X2 bukan 0 atau 1 maka berikutnya
diselesaikan lebih dahulu, maka lakukan pencabangan terhadap X2.
alokasikan uang yang ada kepada
proyek 3 sebesar 4 sehingga tersisa X1 = X2 = 1; X3 = 2/4; X4 = 0
uang sebanyak 10. Alokasi Z = 44
selanjutnya dilakukan dengan
memperhatikan ranking, yaitu X3 = 0 X3 = 1
alokasikan kepada proyek 1
sebesar 5 sehingga tersisa uang X3 = 1;
sebanyak 5. Selanjutnya alokasikan X1 = 1; X2 = 5/7; X4 = 0;
kepada proyek 2, tetapi karena
kebutuhannya 7 maka X2 = 5/7 Z = 43 5/7
sedangkan X4 = 0. Maka pada
cabang 1 diperoleh X3=1, X1=1, X2 = 0 X2 = 1
X2=5/7, X4=0 dengan NPV=43,7

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Pada cabang X2=1, X1 = X2 = 1; X3 = 2/4; X4 = 0
diperoleh nilai X3=1 Z = 44
(sebagai induknya),
X1=3/5, dan X4=0 X3 = 0 X3 = 1
dengan nilai NPV=
43,6 X3 = 1;
X1 = 1; X2 = 5/7; X4 = 0;
Selanjutnya
pencabangan Z = 43 5/7
dilakukan terhadap
X1 X2 = 0 X2 = 1

X2 = 1; X3 = 1;
X1 = 3/5; X4 = 0; Z = 43 3/5

X1 = 0 X1 = 1

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Pada cabang X1=1, X1 = X2 = 1; X3 = 2/4; X4 = 0
diperoleh nilai X2=1 Z = 44
dan X3=1 (sebagai
induknya). Tetapi X3 = 0 X3 = 1
alokasi ini tidak
dapat dilakukan X3 = 1;
karena uang yang X1 = 1; X2 = 5/7; X4 = 0;
dibutuhkan adalah
sebanyak 16, Z = 43 5/7
padahal uang yang
tersedia hanya 14. X2 = 0 X2 = 1
Karena itu nyatakan
cabang ini tidak X2 = 1; X3 = 1;
fisibel dan fathomed X1 = 3/5; X4 = 0; Z = 43 3/5

X1 = 0 X1 = 1

X1 = 1
X2 = X3 = 1

Tidak Fisibel

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Selanjutnya perhitungan X1 = X2 = 1; X3 = 2/4; X4 = 0
dilakukan pada cabang Z = 44
X1=0. Pada cabang
X1=0, diperoleh nilai X3 = 0 X3 = 1
X2=1 dan X3=1 (sebagai
induknya). Masih tersisa X3 = 1;
uang sebanyak 3 dan bisa X1 = 1; X2 = 5/7; X4 = 0;
dialokasikan kepada
proyek 4, sehingga Z = 43 5/7
diperoleh X1=0, X2=1,
X2 = 0 X2 = 1
X3=1, dan X4=1 dengan
X2 = 1; X3 = 1;
NPV=42. Karena semua X1 = 3/5; X4 = 0; Z = 43 3/5
variabel sudah bernilai 0
atau 1 maka nyatakan X1 = 0 X1 = 1
cabang ini sebagai calon
solusi dan fathomed X1 = 0; X2 = 1; X1 = 1
X3 = 1; X4 = 1; Z = 42 X2 = X3 = 1

Calon Solusi Tidak Fisibel

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Selanjutnya perhitungan X1 = X2 = 1; X3 = 2/4; X4 = 0
dilakukan pada cabang Z = 44
X2=0 dengan induk
X3=1. Pada cabang ini X3 = 0 X3 = 1
masih tersisa uang
sebanyak 10 sehingga X3 = 1;
bisa dialokasikan kepada X1 = 1; X2 = 5/7; X4 = 0;
proyek 1dan proyek 4.
Z = 43 5/7
Maka diperoleh X1=1,
X2 = 0 X2 = 1
X2=0, X3=1, dan X4=1
X2 = 0; X3 = 1; X2 = 1; X3 = 1;
dengan NPV=36. Karena X1 = 1; X4 = 1; Z = 36 X1 = 3/5; X4 = 0; Z = 43 3/5
semua variabel sudah
bernilai 0 atau 1 maka Calon Solusi
nyatakan cabang ini
sebagai calon solusi dan X1 = 0 X1 = 1
fathomed
X1 = 0; X2 = 1; X1 = 1
X3 = 1; X4 = 1; Z = 42 X2 = X3 = 1

Calon Solusi Tidak Fisibel

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Tinggal satu X1 = X2 = 1; X3 = 2/4; X4 = 0
subpersoalan yang Z = 44
belum diselesaikan
yaitu pada cabang X3 = 0 X3 = 1
X3=0. Pada cabang ini
uang masih utuh X3 = 0; X3 = 1;
sebanyak 14 sehingga X1 = X2 = 1; X4 = 2/3; X1 = 1; X2 = 5/7; X4 = 0;
bisa dialokasikan
kepada proyek 1, Z = 43 1/3 Z = 43 5/7
proyek 2 dan proyek 4
sebanyak 2/3. X4 = 0 X4 = 1 X2 = 0 X2 = 1
Maka diperoleh X1=1,
X2 = 0; X3 = 1; X2 = 1; X3 = 1;
X2=1, X3=0, dan X1 = 1; X4 = 1; Z = 36 X1 = 3/5; X4 = 0; Z = 43 3/5
X4=2/3 dengan
NPV=43,3. Calon Solusi

Pencabangan X1 = 0 X1 = 1
selanjutnya dilakukan
terhadap X4. X1 = 0; X2 = 1; X1 = 1
X3 = 1; X4 = 1; Z = 42 X2 = X3 = 1

Calon Solusi Tidak Fisibel

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Pada cabang X4=1 dengan induk X3=0, maka uang yang tersisa adalah 11 dan bisa
dialokasikan kepada proyek 1 dan proyek 2 sebanyak 6/7. Diperoleh NPV=42,86.

X1 = X2 = 1; X3 = 2/4; X4 = 0
Z = 44

X3 = 0 X3 = 1

X3 = 0; X3 = 1;
X1 = X2 = 1; X4 = 2/3; X1 = 1; X2 = 5/7; X4 = 0;

Z = 43 1/3 Z = 43 5/7

X4 = 0 X4 = 1 X2 = 0 X2 = 1

X4 = 1; X3 = 0; X2 = 0; X3 = 1; X2 = 1; X3 = 1;
X1 = 1; X2 = 6/7; Z = 42 6/7 X1 = 1; X4 = 1; Z = 36 X1 = 3/5; X4 = 0; Z = 43 3/5

fathomed Calon Solusi

X1 = 0 X1 = 1

X1 = 0; X2 = 1; X1 = 1
X3 = 1; X4 = 1; Z = 42 X2 = X3 = 1

Calon Solusi Tidak Fisibel

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

Pada cabang dengan nilai X4=1 dari induk X3=0 ini diperoleh nilai X1=1 dan X2=6/7
sehingga nilai NPV= 42,86. Padahal sebelumnya sudah diperoleh calon solusi dengan
nilai NPV=42. Karena selisihnya hanya 0,86 dan tidak ada nilai fungsi tujuan sebesar
0,86 maka pada cabang ini perhitungan bisa dihentikan (fathomed) untuk alasan belum
fisibel tetapi solusi tidak lebih baik dari calon solusi yang sudah ada.

Misalkan akan dilanjutkan pencabangan terhadap X2 pun tidak akan diperoleh solusi
yang lebih baik dari calon solusi yang sudah ada (buktikan).

Karena itu perhitungan bisa dilanjutkan pada cabang dengan nilai X4=0 dari induk
X3=0 ini. Diperoleh X3=0, X4=0, X1=1 dan X2=1 dengan nilai NPV= 38 sehingga
fathomed dan menjadi calon solusi.

KNAPSACK PROBLEM – CONTOH SOAL

X1 = X2 = 1; X3 = 2/4; X4 = 0
Z = 44

X3 = 0 X3 = 1

X3 = 0; X3 = 1;
X1 = X2 = 1; X4 = 2/3; X1 = 1; X2 = 5/7; X4 = 0;

Z = 43 1/3 Z = 43 5/7

X4 = 0 X4 = 1 X2 = 0 X2 = 1

X4 = 0; X3 = 0; X4 = 1; X3 = 0; X2 = 0; X3 = 1; X2 = 1; X3 = 1;
X1 = X2 = 1; Z = 38 X1 = 1; X2 = 6/7; Z = 42 6/7 X1 = 1; X4 = 1; Z = 36 X1 = 3/5; X4 = 0; Z = 43 3/5

Calon Solusi fathomed Calon Solusi

X1 = 0 X1 = 1

X1 = 0; X2 = 1; X1 = 1
X3 = 1; X4 = 1; Z = 42 X2 = X3 = 1

Calon Solusi Tidak Fisibel

Dari tiga calon solusi maka dipilih yang terbaik sesuai dengan fungsi tujuan, yaitu

memaksimumkan. Dengan demikian maka solusi optimum dari persoalan ini adalah

X1 = 0; X2 = 1; X3 = 1; X4 = 1 dengan nilai NPV = 42

2. PERSOALAN ILP BINER DENGAN BEBERAPA FUNGSI PEMBATAS

Contoh 1:

Sebuah perusahaan sedang mempertimbangkan lima jenis proyek yang akan
dilaksanakan pada tiga tahun ke depan. Ekspektasi pendapatan dan pengeluaran
tahunan masing-masing proyek (miliar rupiah) adalah seperti pada tabel berikut:

Proyek Pendapatan pada tahun ke Pendapatan
123

1 5 1 4 20

2 4 7 10 40

3 3 9 2 20

4 7 4 1 15

5 8 6 10 30

Dana tersedia 25 25 25

Bagaimanakah formulasi untuk menentukan proyek mana yang sebaiknya
dilaksanakan agar diperoleh pendapatan maksimum?

2. PERSOALAN ILP BINER DENGAN BEBERAPA FUNGSI PEMBATAS

Yang diminta adalah menentukan proyek mana yang akan dipilih, maka variabel
keputusan persoalan ini adalah variabel biner. Tetapi persoalan ini memiliki tiga
fungsi pembatas yang menyatakan tahun operasional proyek.
Formulasinya adalah:
Maksimumkan Z = 20 X1 + 40 X2 + 20 X3 + 15 X4 + 30 X5
Denga pembatas:

5 X1 + 4 X2 + 3 X3 + 7 X4 + 8 X5 ≤ 25
X1 + 7 X2 + 9 X3 + 4 X4 + 6 X5 ≤ 25
4 X1 + 10 X2 + 2 X3 + X4 + 10 X5 ≤ 25
X1, X2, X3, X4, X5 = 0 atau 1

2. PERSOALAN ILP BINER DENGAN BEBERAPA FUNGSI PEMBATAS

Contoh 2:

Suatu perusahaan pengiriman barang mendapat order untuk mengangkut lima
jenis barang dengan data sebagai berikut:

Jenis Barang Volume (m3) Jasa Pengiriman ($)

1 800 60

2 600 48

3 300 14

4 400 31

5 200 10

Volume kendaraan adalah 1100 m3. Ada ketentuan bahwa barang 3 tidak akan
diangkut kecuali jika barang 5 juga diangkut. Buatlah formulasi model untuk
persoalan ini.

2. PERSOALAN ILP BINER DENGAN BEBERAPA FUNGSI PEMBATAS

Persoalan ini diformulasikan Maka X3=1  X5=1

dengan cara yang sama seperti X3=0  X5=1
pada persoalan knapsack, hanya atau X5=0
saja sekarang fungsi pembatasnya

lebih dari satu. Karena itu maka X3 ≤ X5 atau X3 – X5 ≤ 0

Untuk menyatakan bahwa barang Maka formulasi persoalannya adalah:
3 tidak akan diangkut kecuali jika Maksimumkan
barang 5 juga diangkut, maka
gunakan logika berikut: 60X1 + 48X2 + 14X3 + 31X4 + 10X5

Barang 3 diangkut berarti X3=1 dengan pembatas
dan ini hanya terjadi jika X5=1. 800X1 + 600X2 + 300X3 + 400X4 +200X5 ≤ 1100
Tapi jika barang 3 tidak diangkut X3 – X5 ≤ 0
atau X3=0, barang 5 mungkin X1, X2, X3, X4, X5 = 0 atau 1
diangkut (X5=1) mungkin juga
tidak (X5=0)

METODE ENUMERASI IMPLISIT

Untuk menyelesaikan persoalan Integer LP yang seluruh variabel
keputusannya merupakan variabel biner (bernilai nol atau satu)
dengan beberapa fungsi pembatas maka biasa digunakan metode
enumerasi implisit. Pada metode ini variabel keputusan dibedakan
sebagai variabel bebas dan variabel tetap.

Definisi:
 Variabel bebas, yaitu variabel yang nilainya masih bebas (nol
atau satu) dan ditetapkan sebelum proses perhitungan.
 Variabel tetap, yaitu variabel yang nilainya ditetapkan
melalui proses perhitungan

METODE ENUMERASI IMPLISIT

Definisi: Penyelesaian Terbaik

Penentuan nilai-nilai variabel berdasarkan jenis fungsi tujuan (memaksimumkan
atau meminimumkan) dan berdasarkan nilai koefisien masing-masing variabel
(negatif atau positif) disebut sebagai penyelesaian terbaik pada metode
enumerasi implisit.
Contoh:

 Maks Z = 3X1 + 2X2 – X3
Maka penyelesaian terbaiknya adalah:

X1 = 1; X2 = 1; dan X3 = 0
 Min Z = 3X1 + 2X2 – X3
Maka penyelesaian terbaiknya adalah:

X1 = 0; X2 = 0; dan X3 = 1

METODE ENUMERASI IMPLISIT

Definisi: Pengujian Fisibilitas Fungsi Pembatas

Pengujian Fisibilitas Pembatas pada Metoda Enumerasi Implisit adalah pengujian
untuk mengetahui apakah suatu fungsi pembatas dapat dipenuhi oleh nilai-nilai
variabel yang ditetapkan berdasarkan nilai koefisien dan tanda dari setiap
fungsi pembatas. Aturan untuk menetapkan nilai variabel adalah:

Tanda Nilai Koefisien Nilai Variabel
Pembatas +1

≥

≥- 0

≤+ 0

≤- 1

METODE ENUMERASI IMPLISIT

Langkah Penyelesaian:

Pada awalnya (pada node 1) semua variabel adalah variabel bebas
1. Tentukan penyelesaian terbaik untuk variabel bebas pada node tersebut
2. Jika penyelesaian terbaik itu fisibel untuk setiap fungsi pembatas, stop.

Diperoleh calon solusi. Jika tidak, lanjut ke langkah 3
3. Untuk variabel bebas, tentukan nilai variabel berdasarkan aturan yang berlaku

untuk pengujian fisibilitas fungsi pembatas
4. Jika nilai variabel pada langkah 3 tidak memenuhi fungsi pembatas, stop.

Nyatakan node yang bersangkutan fathomed karena tidak fisibel. Jika fisibel,
lanjut ke langkah 5
5. Pilih salah satu variabel bebas untuk dicabangkan, dengan nilai 0 atau 1
6. Pilih salah satu node untuk diselesaikan. Nilai variabel yang dinyatakan pada
setiap cabang menjadikan variabel tersebut berstatus sebagai variabel tetap.
Kembali ke langkah 1

METODE ENUMERASI IMPLISIT - CONTOH

Suatu persoalan ILP nol-satu 1. Nilai fungsi tujuan maksimum akan
diformulasikan sebagai berikut: diperoleh jika variabel X1, X2, dan X3
berharga 1. Karena itu penyelesaian
Maksimumkan Z = X1 + 2X2 + 3X3 terbaiknya adalah X1 = X2 = X3 = 1
dengan pembatas
2. Lakukan pengujian terhadap nilai
20 X1 + 15X2 - X3  10 dari penyelesaian terbaik
12 X1 - 3X2 + 4X3  20
X1 , X2 , X3 = 0 atau 1 Pembatas 1: (20 + 15 – 1 = 34 > 10)
berarti tidak fisibel (TF)
Tentukan solusi optimumnya
Salah satu saja fungsi pembatas tidak
terpenuhi maka penyelesaian terbaik
itu tidak fisibel sehingga harus
dilakukan pengujian terhadap
fisibilitas fungsi pembatas.

METODE ENUMERASI IMPLISIT - CONTOH

3. Pengujian fisibilitas fungsi pembatas 4. Dengan menggunakan nilai-nilai
dilakukan dengan terlebih dahulu variabel tersebut, lakukan
menetapkan nilai-nilai variabel pengujian fisibilitas untuk masing-
berdasarkan masing-masing fungsi masing fungsi pembatas.
pembatas. Karena itu penetapan
nilai variabel hanya berlaku untuk (1): X1 = 0; X2 = 0; X3 = 1
masing-masing fungsi pembatas. masukkan ke pembatas (1),
didapat -1 < 10 Fisibel
Untuk pembatas (1) dan pembatas
(2) maka penetapan nilai (2): X1 = 0; X2 = 1; X3 = 0
variabelnya adalah: masukkan ke pembatas (2),

(1): X1 = 0; X2 = 0; X3 = 1 didapat -3 < 20 Fisibel

(2): X1 = 0; X2 = 1; X3 = 0

METODE ENUMERASI IMPLISIT - CONTOH

Karena kedua fungsi pembatas fisibel Mdiissealelksaaniksaunbpleebrishodaalahnul2u.(PXa1d=a0)SPa-k2anini
maka solusi awal untuk subpersoalan 1
(nSilPa-i1f)unagdsai ltauhju: aXn1 = =X26= X3 = 1 dengan variabel tXe1tasupd.aMhabkearsptarotuses ssebbearuglaaing
Z variabel dari
langkah 1.
5. Karena Xv1a,riXa2b,edl abnebXa3sm, masaihkabelarkstuaktauns
sebagai SP-2: X1 = 0; X2 = X3 = 1
pencabangan pada salah satu
variabel. 1. Pengujian:
Pembatas 1: (0 + 15 – 1 = 14 > 10) TF
Misalkan pencabangan akan dilakukan
terhadap variabel X1 2. Pengujian fisibilitas pembatas
(1): X1 = 0; X2 = 0; X3 = 1
1 X1 = 1; X2 = 1; X3 = 1 -1 < 10 F
Z=6
(2): X1 = 0; X2 = 1; X3 = 0
X1 = 0 X1 = 1 3 -3 < 20 F
2
Maka X1 = 0; X2 = X3 = 1 dengan Z = 5

METODE ENUMERASI IMPLISIT - CONTOH

1 X1 = 1; X2 = 1; X3 = 1 1 X1 = 1; X2 = 1; X3 = 1
Z=6 Z=6

X1 = 0 X1 = 1 X1 = 0 X1 = 1 3
5
2 X1 = 0; 3 2 X1 = 0;
X2 = X3 = 1 X2 = X3 = 1
Z=5 Z=5

4 X2 = 0 X2 = 1

Sampai di sini, baru X1 yang sudah Pada SP-4 maka nilai variabelnya
berstatus sebagai variabel tetap, X2 dan adalah X1 = 0; X2 = 0; X3 = 1 (X3 masih
X3 masih berstatus variabel bebas. Maka berstatus sebagai variabel bebas).
lakukan pencabangan pada salah
satunya. Misalkan pencabangan dilakukan Maka ulangi proses dari langkah 1
terhadap variabel X2

METODE ENUMERASI IMPLISIT - CONTOH

SP-4: X1 = 0; X2 = 0; X3 = 1 Dengan demikian perhitungan akan
1. Pengujian: dilanjutkan untuk menyelesaikan SP-5

Pembatas 1: (0 + 0 – 1 = - 1 < 10) F SP-5: X1 = 0; X2 =1; X3 = 1
Pembatas 2: (0 - 0 + 4 = 4 < 20) F 1. Pengujian:
Karena pengujian nilai variabel pada
langkah 1 memnuhi seluruh fungsi Pembatas 1: (0 + 15 – 1 = 14 > 10) TF
pembatas maka SP- 4 fathomed,
didapat calon solusi: 2. Pengujian fisibilitas pembatas
(1): X1 = 0; X2 = 1; X3 = 1
X1 = 0; X2 = 0; X3 = 1 ; Z = 3 14 > 10 TF

1 X1 = 1; X2 = 1; X3 = 1 Karena saat pengujian fisibilitas ternyata
Z=6 tidak fisibel maka sub-persoalan 5
dinyatakan fathomed karena tidak fisibel.
X1 = 0 X1 = 1 3 Lanjutkan ke sub-persoalan 3 dan ulangi
proses dari langkah 1
2 X1 = 0;
X2 = X3 = 1
Z=5

4 X2 = 0 X2 = 1 5

X2 = 0; X1 = 0;
X3 = 1; Z = 3
Calon Solusi

METODE ENUMERASI IMPLISIT - CONTOH

1 X1 = 1; X2 = 1; X3 = 1 SP-3: X1 = 1; X2 =1; X3 = 1
Z=6
1. Pengujian:
X1 = 0 X1 = 1 3 Pembatas 1: (20 + 15 – 1 = 34 > 10)
TF
2 X1 = 0;
X2 = X3 = 1 2. Pengujian fisibilitas pembatas
Z=5 (1): X1 = 1; X2 = 0; X3 = 1
20 + 0 – 1 = 19 > 10 TF
4 X2 = 0 X2 = 1 5
Karena saat pengujian fisibilitas
X2 = 0; X1 = 0; X2 = 1; X1 = 0; X3 = 1 ternyata tidak fisibel maka sub-
X3 = 1; Z = 3 Tidak Fisibel persoalan 3 dinyatakan fathomed
Calon Solusi karena tidak fisibel.

METODE ENUMERASI IMPLISIT - CONTOH

1 X1 = 1; X2 = 1; X3 = 1
Z=6

X1 = 0 X1 = 1 3

2 X1 = 0; X1 = 1; X2 = 1; X3 = 1
X2 = X3 = 1 Tidak Fisibel
Z=5

4 X2 = 0 X2 = 1 5

X2 = 0; X1 = 0; X2 = 1; X1 = 0; X3 = 1
X3 = 1; Z = 3 Tidak Fisibel
Calon Solusi

Karena tidak ada lagi sub-persoalan yang harus diselesaikan maka perhitungan
selesai dan diperoleh solusi optimum:

X1 = 0; X2 = 0; X3 = 1 ; Z = 3

AKHIR PEMBAHASAN
MODEL PERSOALAN INTEGER-LP

DENGAN VARIABEL BINER