เลขยกกำลัง

ªÇÅÔµ àÃÍ× ¹¨ÃÊÑ ÈÃÕ
¡Å؋ÁÊÒÃСÒÃàÃÂÕ ¹Ã¤ŒÙ ³µÔ ÈÒʵÏ
âçàÃÂÕ ¹ÇªÑ ÃÇ·Ô ÂÒ ÊíÒ¹¡Ñ §Ò¹à¢µ¾×é¹·¡èÕ ÒÃÈ¡Ö ÉÒÁ¸Ñ ÂÁÈ¡Ö ÉÒ à¢µ 41

บทนิยาม ถ้า a เป็ นจํานวนจริง และ n เป็ นจํานวนเตม็ บวก

an  a a  . . .a

n ตวั

เรียก a ว่า ฐานของเลขยกกาํ ลงั
เรียก n ว่า เลขชีกาํ ลงั
เช่น 2 3  2  2  2  8

ให้ a , b เป็ นจํานวนจริงใดๆ m , n เป็ นจํานวนเตม็

1. a m a n  a m  n เช่น 5 2  5 4  5 2  4  5 6

2. ( a m ) n  a mn เช่น ( 3 2 ) 4  3 2 4  3 8

3. ( ab ) m  a m b m เช่น ( 2  3 ) 2  2 2  3 2  36

4.  a  m  am , b 0 เช่น  3  2  3 2  9
b  bm 4  4 2 16

บทนิยาม ถ้า n เป็ นจํานวนเตม็ บวก a เป็ นจํานวนจริงใดๆ

ซึง a 0 แล้ว a  n 1
an

เช่น a -3 = 1 เม่ื อ a  0
a3

1 = 1 = 1× a2 = a2 เม่ื อ a  0
a -2 1 1

a2

บทนิยาม ถ้า a เป็ นจํานวนจริงใดๆ ซึง a  0 แล้ว a 0  1
และ a m  a m  n

an

เช่ น a 5  a 5  3  a 2
a3
32 61 6 2
61  32  9  3

MF MA BT HN

จงเขยี นเลขยกกาํ ลงั ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี ใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ยและมีเลขชี
กาํ ลงั เป็ นจาํ นวนเต็มบวก

 x 3 y 2 z 0 5  ( x3 )5 ( y2 )5 ( z 0 )5

 x15 y 10 z 0

 x 15 y 10 (1)

 1
x15 y10

MF MA BT HN

จงเขยี นเลขยกกาํ ลงั ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี ใหอ้ ยใู่ นรปู อยา่ งงา่ ยและมีเลขชี

กาํ ลงั เป็ นจาํ นวนเต็มบวก 5
4
 x  y2x  x4  ( y2 x)5
 y4 z5
 
 y   z 
 

 x4  ( y2 )5 x5
y4 z5

 x4  y10 x5
y4 z5

 x9 y6
z5

รากที n ของจาํ นวนจริง

จะกล่าวว่า x เป็ นรากทสี องของ a กต็ ่อเมือ x2 = a
โดยที x และ a ต่างกเ็ ป็ นจํานวนจริง
กรณที ี 1 a เป็นจาํ นวนบวก
เขียน รากทีสองของ a ทีเป็นบวกดว้ ย a

รากทีสองของ a ทีเป็ นลบดว้ ย  a

กรณที ี 2 ถ้า a เป็ นศูนย์ รากทสี องของ a มีจํานวนเดยี ว คือ 0

กรณที ี 3 ถ้า a เป็ นจํานวนลบ รากทสี องของ a ไม่ใช่จํานวนจริง
( จําน วน ลบ ไม่ใช่จํานวนจริง แต่เราเรียกว่า จํานวนจินตภาพ

ซึงนักเรียนจะได้เรียนในระดับต่อไป )

สรุป a จะเป็ นจํานวนจริง เมือ a  0 เท่านัน

a2  |a|

เพราะสัญลกั ษณ์ดงั กล่าว หมายถึง รากทีเป็นบวกเท่านนั

ตวั อย่าง 1 เป็ นรากทีสองของ 1 เพราะวา่ (  1 ) 2  1
2 4 24
3
เป็ นรากทีสองของ 3 เพราะวา่ ( 3 ) 2  3
-4 เป็ นรากทีสองของ 16 เพราะวา่ (  4 ) 2  16

4  22  | 2|  2

(2)2  | 2|  2

สมบตั ิทีสําคญั ของรากทสี อง ให้ x > 0 และ y > 0

1. x y  xy

2. x  x

yy

เช่น 1. 2 3  2  3  6

2. 2  2
3 3

3. 2  23  23  6

3 33 33 3

ถ้า n เป็ นจํานวนเตม็ บวกคู่ n x n  | x |

เลขยกกาํ ลงั ทมี เี ลขชีกาํ ลงั เป็ นจํานวนตรรกยะ

บทนิยาม ถ้า x เป็ นจํานวนจริงบวก และ n เป็ นจํานวนเตม็ บวก
1
ทมี ากกว่า 1 แล้ว
xn  n x

เช่น 1
16 2  2 16  16  4

1 1 1 1
81 3
  4  4 

81

บทนิยาม ถ้า x เป็ นจํานวนจริงบวก m และ n เป็ นจํานวนเตม็

 m 1 m

และ n > 0 x n = x n

ตวั อย่าง 2   1  2
 64 3 
64 3

 

1 3  1 1 3
81  81
  4     4 



m   1  m 1
x n 
xn   x m  n
 
2
ตวั อย่าง   1 2   1 2  22  4
หรือ 83  
83  (23 )3 
2  
 
83
1 11

 82 3  64 3  4 3 3  4

ในการหาค่าของ m โดยใช้หลกั ดังกล่าวจะกระทาํ ได้กต็ ่อเมือ

xn

m เป็ นเศษส่วนอย่างตาํ หรือ ห.ร. ม . ของ m และ n เท่ากบั 1
n

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 2

83

2 4

วธิ ีทาํ 8 3  3 8 2  3 64

 หรือ 2
8 3  3 8 2  22  4

การบวก ลบ คูณ หาร จํานวนทอี ย่ใู นรูปเครืองหมายกรณฑ์

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 3 2  50  32
วธิ ีทาํ
=3 2  50  32
3 2  25  2  16  2

= 3 2  52  2  42  2
= 3 2 5 2 4 2

= 12 2

ตัวอย่าง จ ง ทํ า 5 0 + 3 2 - 3 2 - 3 1 6 ในรปู อยา่ งงา่ ย
วธิ ีทาํ

50 + 3 2 - 32 - 3 16 = 52  2  3 2  4 2  2  3 23  2

= 5 2  3 2  4 2  23 2

= 2  32

ตวั อย่าง จงทาํ 3  2 ให้ส่วนอยู่ในรูปไม่ตดิ กรณฑ์
3
วธิ ีทาํ 2
=3  2
3 2  3 2
3 2
3 2 3 2

=3 3 2  3 2 2

32

= 32 3 2

= 32 6

ตวั อย่าง จงหาค่าของ 2 8  125  40

=วธิ ีทาํ 2 8  125  40 2 2 2 ( 2 )  5 2 ( 5 )  4 2 (10 )

= 4 2  5 5  2 10

= 40  2  5  10

= 40  10
= 400

ตวั อย่าง จงหาร ด้วยx 2  y 2  x x2  y2  y
x2  y2  y x  x 2 y 2

วธิ ีทาํ x2  y2  x  x2  y2  y

x2  y2  y x  x 2 y 2

= x2  y2  x  x  x2  y2
x2  y2  y x 2 y 2  y

= x  x2  y2  x  x2  y2
x2  y2  y x 2 y 2  y

= x 2  (x 2  y 2 ) = y2
x 2 y 2 y 2 x2

การแก้สมการเมือตวั แปรอย่ใู นรูปเครืองหมายกรณฑ์

หาคําตอบสมการ โดยการยกกาํ ลงั สอง ซึงคาํ ตอบทีได้ บางค่าอาจ
ไม่ใช่คาํ ตอบสมการเดิม ดงั นนั สิงทีตอ้ งทาํ ต่อก็คือ ตอ้ งตรวจคาํ ตอบ
กบั สมการเดิมวา่ คาํ ตอบใดบา้ งทีใชไ้ ด้ คาํ ตอบใดบา้ งทีใชไ้ ม่ได้

ตวั อย่าง จงหาคาํ ตอบของสมการ x  2  7 x 3
วธิ ีทาํ ยกกาํ ลงั สองทังสองข้างจะได้

2

7 x 3
   2
x2 

x  2  (7  x )  6 7  x  9

2 x  14 = 6 7  x x = -2 , 7

ยกกาํ ลงั สองทงั สองขา้ งจะได้

4 x 2  56 x  196 = 36 ( 7  x ) ตรวจคาํ ตอตอบ แล้ว

4 x 2  20 x  56 =0 - 2 ทาํ ให้สมการเป็ นจริง
x 2  5 x  14 =0
=0 ดงั นนั เซตคาํ ตอบของสมการคือ{ - 2 }
( x + 2 ) (x - 7)

ตวั อย่าง จงหาเซตคาํ ตอบของสมการ x 2  2 x  2 x 2  2 x  6  3  0

วธิ ีทาํ ( x 2  2 x  6 )  2 x 2  2 x  6  3  0

ให a = x 2 + 2 x + 6 = - 1x 2  2 x  6

สมการอยใู่ นรูป a2 - 2a - 3 = 0
( a -3 ) ( a + 1 ) = 0
a = 3 , -1

นันคือ x 2  2 x  6  3

x 2  2x  6  9 ไม่มคี ่า x ทที าํ ให้สมการเป็ นจริง

x 2  2 x  3x = -03 , 1
ดงั นนั เซตคาํ ตอบ คือ { - 3 , 1 }

ตวั อย่าง จงหาเซตคําตอบของสมการ 2 x 2  3 2 x 2  7 x  7  7 x  3
วธิ ีทาํ
(2x 2  7 x  7)  3 2x 2  7 x  7  4  0

ให a = 2 x 2 - 7 x + 7 2x 2  7x  7   1

สมการอยใู่ นรูป a2 -3a - 4 = 0 ไม่มีค่า x ทีทาํ ใหส้ มการเป็ นจริง
(a - 4 ) ( a + 1 ) = 0
ตอบ { 9 ,  1 }
a = 4 , -1 2
นนั คือ 2 x 2  7 x  7  4

2x2 - 7x - 9 = 0
( 2x - 9 ) ( x + 1 ) = 0

x  9 , 1
2