เอกสารประกอบการเรียนที่ 1 ลิมิตของฟังก์ชัน

แคลคลู สั เบือ้ งต้น

เอกสารประกอบการเรียนที่ 1

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
1. บอกความหมายของลิมิตของฟังกช์ นั ได้

สาระการเรียนรู้

ลมิ ิตของฟังก์ชัน

ทบทวนความรเู้ กยี่ วกับการกำหนดค่าบนเสน้ จำนวน และการหาคา่ ทใ่ี กลเ้ คยี งกับจำนวนทกี่ ำหนด
ตวั อย่าง จำนวนใดมคี ่าใกล้ 5 มากทีส่ ุด

5

จำนวนที่ใกล้ 5 มากที่สุด มี 2 จำนวน คือ 4.9999... และ 5.0000...1 ซึ่งเป็นจำนวนที่หาค่าไม่ได้
แต่สามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ คือ x → 5− และ x → 5+ เมื่อเปรียบเทียบจำนวน
x → 5− , x = 5 และ x → 5+ บนเสน้ จำนวนได้ ดังน้ี

5

จำนวนท่เี ขา้ ใกลจ้ ำนวนใด ๆ มี 2 ค่า และเราสามารถเขียนแทนได้เปน็ x → a− และ x → a+

อธิบายความหมายของ f(x) โดยใชก้ ราฟแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งโดเมนกบั เรนจ์ ดงั น้ี

Y

10 y = fሺxሻ X

05

จากกราฟแสดงความสัมพันธ์ทเี่ ปน็ ฟงั กช์ นั เมือ่ x = 5 จะได้ y = 10

แคลคลู ัสเบื้องต้น

ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน เมื่อ x → 5− และ x → 5+

Y

10 y = f(x)

05 X

จากกราฟแสดงให้เห็นว่า เมื่อ x = 5 จะได้ y = 10 และเมื่อ x → 5− จะได้ค่า y → 10− และในลักษณะ
เดยี วกนั เมือ่ คา่ x → 5+ จะได้ค่า y → 10+

อธิบายความหมายของฟังก์ชัน y = f(x) โดยใช้ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนกับเรนจ์

กำหนดให้ f(x) = x2 + 4 เมอื่ x → 2− และ x → 2+ ดังตารางต่อไปน้ี

x < 2 f(x) = x2 + 4 x > 2 f(x) = x2 + 4
1.0 5 3.0 13

1.5 6.25 2.5 10.25

1.8 7.24 2.2 8.84

1.9 7.61 2.1 8.41

1.92 7.6864 2.05 8.2025

1.99 7.9601 2.01 8.0401

1.995 7.980025 2.005 8.020025

1.999 7.996001 2.001 8.004001

จากตารางจะเห็นว่า เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นจาก 1 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ f(x) จะเพิ่มขึ้นจาก 5 และเข้าใกล้ 8

ขณะเดยี วกนั เม่ือ x มคี า่ ลดลงจาก 3 และเข้าใกล้ 2 คา่ ของ f(x) จะลดลงจาก 13 และเขา้ ใกล้ 8

แคลคูลัสเบือ้ งต้น

การเขียนสญั ลกั ษณ์และการหาค่าของลมิ ติ ของฟังกช์ ัน สามารถทำไดด้ ังนี้

จากตัวอยา่ ง f(x) = x2 + 4 เมอ่ื ค่า x เขา้ ใกล้ 2(นนั่ คอื เม่ือx< 2 และเม่ือ x> 2) ค่าของ f(x) จะเขา้ ใกล8้

ในกรณนี ี้จะกลา่ วว่า “ลิมิตของฟังกช์ ัน f(x) = x2 + 4 เมือ่ x เขา้ ใกล้ 2 มีค่าเทา่ กับ 8” เขยี นแทนด้วย

สญั ลักษณ์ lim f(x) = 8 หรอื lim (x2 + 4) = 8
x→2 x→2
จากตวั อย่าง เม่อื x เข้าใกล้ 2 ทางดา้ นซ้าย(x <2) คา่ ของf(x) เขา้ ใกล้ 8 เรียก 8 วา่ “ลมิ ิตซา้ ยของฟังก์ชัน f

(left-handed limit)” เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านซา้ ย เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ lim f(x) = 8 สญั ลกั ษณ์
x→2−

“ x → 2− ” แสดงถงึ การพิจารณาค่าของ x ท่นี อ้ ยกวา่ 2 เท่านน้ั
จากตวั อย่าง เมื่อ x เขา้ ใกล้ 2 ทางด้านขวา(x> 2) ค่าของf(x) เข้าใกล้ 8 เรียก 8 ว่า “ลมิ ิตขวาของฟังกช์ ัน f

(right-handed limit)” เมื่อ x เข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ lim f(x) = 8 สญั ลักษณ์
x→2+

“ x → 2+ ” แสดงถึงการพิจารณาค่าของ x ทีม่ ากกวา่ 2 เท่าน้ัน

ในกรณที ว่ั ไป การหาค่าของลิมิตของฟังกช์ ันจะต้องกำหนด x เขา้ ใกลจ้ ำนวนจริงหน่ึงจำนวน ซ่ึงแทน

ดว้ ย a โดยมบี ทนิยามลิมิตของฟังกช์ ัน ดงั นี้

บทนยิ าม กำหนด f(x) เปน็ ฟังกช์ ันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เปน็ สับเซตของเซตของจำนวนจริง ถ้าค่าของ
f(x) เข้าใกล้จำนวนจริง L เพียงจำนวนเดียว เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a เรียก L ว่า ลิมิตของ f ที่ a และ
เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์

lim f(x) = L

x→a

จากบทนิยาม ถ้าไม่มีจำนวนจริง L ซึ่ง f(x) เข้าใกล้ L เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a แล้วจะกล่าวว่าฟังก์ชัน f

ไมม่ ลี มิ ติ ท่ี a และ เขียนแทนว่า lim f(x) หาค่าไม่ได้
x→a
โดยทว่ั ไป สำหรับฟังกช์ นั f ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจ์เปน็ สบั เซตของเซตของจำนวนจริง ถ้าค่าของ f(x)

เข้าใกล้จำนวนจริง L1 เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย เรยี ก L1 ว่า ลมิ ิตซ้ายของ f(x) เม่ือ x เข้าใกล้ a ทาง

ดา้ นซ้าย เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ lim f(x) = L1 และถ้าค่าของ f เข้าใกลจ้ ำนวนจริง L2 เม่ือ x มคี ่าเข้าใกล้ a

x→a−

ทางด้านขวา เรียก L2 ว่า ลิมิตขวาของ f(x) เม่ือ x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์

lim f(x) = L2

x→a+

ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันซึ่งมีลิมิตซ้ายและลิมิตขวา จะสรุปได้ว่า L1 = L2 = L จะได้ว่า ฟังก์ชัน f มีลิมิต

เป็น L เมื่อ x เข้าใกล้ a นั่นคือ lim f(x) = L แต่ถ้า L1  L2 จะได้ว่า ฟังก์ชัน f ไม่มีลิมิต เมื่อ x เข้าใกล้ a
x→a

น่นั คือ lim f(x) หาคา่ ไมไ่ ด้
x→a

lim f(x) = L หาคา่ ได้ กต็ ่อเมื่อ lim f(x) = lim f(x)
x→a x→a− x→a+

แคลคูลสั เบื้องต้น

ตัวอย่างท่ี 1 หาคา่ ของ lim x2 - 4 โดยการสร้างตารางแสดงค่าฟังก์ชนั
x→2 x - 2
x2- 4
วิธที ำ เนื่องจาก f(x) = x-2 ไม่นิยามท่ี x = 2

แตก่ ารหา lim f(x) เราจะพิจารณาคา่ ของ f(x) เม่อื x เขา้ ใกล้ 2 แต่ x  2 เท่านนั้
x→2

x < 2 f(x) = x2 - 4 x > 2 f(x) = x2 - 4
x-2 x-2
1.0 3 3.0 5

1.5 3.5 2.5 4.5

1.8 3.8 2.2 4.2

1.9 3.9 2.1 4.1

1.99 3.99 2.01 4.01

1.999 3.999 2.001 4.001

จากตาราง จะได้วา่ เมอ่ื x มคี ่าเขา้ ใกล้ 2 ค่าของฟงั ก์ชนั f มคี า่ เข้าใกล้ 4 ดงั น้นั lim x2 - 4 = 4
x→2 x - 2
lim x2 - 4
จะสงั เกตวา่ แม้ค่าของ f(2) จะหาค่าไม่ได้ แต่ x→2 x - 2 หาคา่ ได้ เพราะลมิ ติ คือ การหาคา่ ที่เข้าใกลเ้ ท่าน้ัน

ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาวา่ lim f(x) หาคา่ ไดห้ รอื ไม่ เม่อื กำหนดให้ f(x) = x เมอื่ x < 0
x→0 1 เมอื่ x > 0

วิธที ำ พจิ ารณาลมิ ติ โดยใช้กราฟของฟงั ก์ชนั f ซึง่ เขยี นกราฟได้ ดงั รปู

Y

y = f(x)
X

แคลคลู ัสเบือ้ งต้น

จากกราฟ จะเห็นวา่ เม่ือ x เขา้ ใกล้ 0 โดย x < 0 ค่าของฟงั ก์ชนั f เขา้ ใกล้ 0 และ
เม่ือ x เข้าใกล้ 0 โดย x > 0 ค่าของฟงั ก์ชนั f เข้าใกล้ 1

ในกรณนี ้ีค่าของฟงั กช์ ัน f เมอื่ x เข้าใกล้ 0 ซ่งึ ไดค้ า่ ของฟังก์ชัน f ไมเ่ ท่ากัน หรอื กลา่ วไดว้ า่
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ค่าของฟังกช์ นั f ไม่เข้าใกล้จำนวนจริงใด ๆ เลย แม้แต่จำนวนเดยี ว ดงั นั้น lim f(x) หาคา่ ไม่ได้

x→0

ตวั อยา่ งท่ี 3 กำหนดให้ f เป็นฟงั กช์ ันซ่งึ มีกราฟ ดงั รูป
Y

y = f(x)

X

จงหา

1ሻ lim fሺxሻ       2ሻ lim fሺxሻ        3ሻlimfሺxሻ
x→-3− x→-3+ x→-3
4ሻ lim fሺxሻ       5ሻ lim fሺxሻ         6ሻlimfሺxሻ
x→2− x→2+ x→2

วธิ ีทำ จากกราฟ y = f(x) จะได้ว่า

1) เมอื่ x เข้าใกล้ -3 ทางดา้ นซ้าย (x < -3) จะไดว้ ่า ค่าของฟังก์ชนั f เข้าใกล้ 4

ดงั นั้น lim fሺxሻ   = 4     
x→-3−

2) เมื่อ x เข้าใกล้ -3 ทางดา้ นขวา (x > -3) จะได้ว่า ค่าของฟังก์ชัน f เข้าใกล้ 4

ดังนน้ั lim fሺxሻ = 4
x→-3+
3) เนอ่ื งจาก lim fሺxሻ = lim fሺxሻ
x→-3− x→-3+
ดังนน้ั limfሺxሻ = 4
x→-3
4) เม่อื x เข้าใกล้ 2 ทางดา้ นซา้ ย (x < 2) จะได้วา่ คา่ ของฟงั กช์ นั f เขา้ ใกล้ 1

ดงั น้นั lim fሺxሻ = 1    
x→2−

5) เม่ือ x เข้าใกล้ 2 ทางดา้ นขวา (x > 2) จะไดว้ ่า ค่าของฟังก์ชัน f เขา้ ใกล้ 0

ดงั นนั้ lim fሺxሻ = 0
x→2+
6) เนื่องจาก lim fሺxሻ ≠ lim fሺxሻ
x→2− x→2+
ดงั นั้น limfሺxሻ หาคา่ ไม่ได้
x→2

แคลคลู สั เบือ้ งต้น

คาชี้แจง ใบกจิ กรรมท่ี 1
ใหน้ กั เรียนเติมคำตอบลงในตำรำงใหถ้ ูกตอ้ งสมบูรณ์ พร้อมท้งั สรุปผลที่ไดต้ ำม
ตัวอย่าง ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี
วธิ ีทา กำหนด f(x) = x2 + 4 จงหำคำ่ f(x) เม่ือ x มีคำ่ เขำ้ ใกล้ 2
หำค่ำ f(x) เม่ือกำรมีคำ่ เขำ้ ใกล้ 2 ท้งั ทำงซำ้ ยและขวำ ดงั ตำรำงต่อไปน้ี

x เขำ้ ใกล้ 2 ทำงซำ้ ย x เขำ้ ใกล้ 2 ทำงขวำ
x<2 x>2

x < 2 f(x) x > 2 f(x)
1 5.0000 3 13.000
1.5 6.2500 2.5 10.2500
1.9 7.6100 2.45 10.0025
1.99 7.9601 2.20 8.4100

1.999 7.996001 2.001 8.0040

จำกตำรำงพบวำ่ ขณะที่ x มีค่ำเขำ้ ใกล้ 2 ทำงซำ้ ย f(x) มีค่ำเขำ้ ใกล้ 8

จะใชส้ ัญลกั ษณ์ lim f(x) = 8
x → 2−

ขณะที่ x มีคำ่ เขำ้ ใกล้ 2 ทำงขวำ f(x) มีคำ่ เขำ้ ใกล้ 8

จะใชส้ ญั ลกั ษณ์ lim f(x) = 8
x → 2+

นน่ั คอื ลิมิตของ f(x) เทำ่ กบั 8 เมื่อ x มีคำ่ เขำ้ ใกล้ 2 ซ่ึงจะแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์

lim f(x) = lim x 2 + 2 = 8
x →2 x →2

แคลคลู สั เบื้องต้น

1) ให้ f(x) = x2 + 1 จงหำคำ่ ของ f(x) จำกท้งั สองกรณี สรุปไดว้ ำ่ ขณะท่ี x มี
เมื่อ x มีค่ำเขำ้ ใกล้ 4 ค่ำเขำ้ ใกล้ 4 แลว้ f(x) จะมีคำ่ เขำ้ ใกล้ ……...

วธิ ีทา lim f(x) = lim x 2 + 1 = .......... ..
x เขำ้ ใกล้ 4 ทำงซำ้ ย x →4 x →4

x < 4 f(x) 2) ให้ f(x) = x + 5 จงหำค่ำของ f(x)
3 เมื่อ x มีคำ่ เขำ้ ใกล้ 2
3.5
3.9 วิธีทา x เขำ้ ใกล้ 2 ทำงซำ้ ย (x < 2)
3.99 x 1 1.5 1.7 1.99 1.999
f(x)
จำกตำรำงพบวำ่
ขณะที่ x มีคำ่ เขำ้ ใกล้ 4 ทำงซำ้ ย f(x) จะพบวำ่ เม่ือ x มีค่ำเขำ้ ใกล้ 2 ทำงซำ้ ยแลว้
f(x) มีคำ่ เขำ้ ใกล้ ……………………….
มีค่ำเขำ้ ใกล้ ……………………………….
lim f(x) = .......... .......... ..........
lim f(x) = .......... .......... ..........
x → 2−
x → 4−
x เขำ้ ใกล้ 2 ทำงขวำ (x > 2)
x เขำ้ ใกล้ 4 ทำงขวำ x 3 2.5 2.3 2.1 2.001
x>4 f(x)
จำกตำรำง จะไดว้ ำ่ เมื่อ x มีค่ำเขำ้ ใกล้ 2
x < 4 f(x) ทำงขวำ แลว้ f(x) มีคำ่ เขำ้ ใกล้ ……………
3
3.5 lim f(x) = .......... .......... ..........
3.9
3.99 x → 2+

จำกตำรำงพบวำ่ ขณะท่ี x มีคำ่ เขำ้ ใกล้ 4 จำกท้งั สองกรณี สรุปไดว้ ำ่
f(x) มีค่ำเขำ้ ใกล้ ……………………………
lim f(x) = lim x + 5 = .......... ..
lim f(x) = .......... .......... .......... x →2 x →2

x → 4+

แคลคูลัสเบือ้ งต้น

แบบฝกึ ทักษะที่ 1

รายวชิ า คณติ ศาสตร์ ก5 รหัสวชิ า ค33201 ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 6
คำชแ้ี จง : ให้นกั เรยี นหาคา่ ลิมิตของฟังก์ชันต่อไปน้ี (สามารถใช้เครื่องคิดเลขชว่ ยในการคำนวณได้)
1. หาค่าลมิ ติ ของฟังก์ชนั ตอ่ งไปนี้ โดยใชต้ ารางทีก่ ำหนดให้

1) √ - 2
x-4
→4

x<4 x>4
x 3.9 3.99 3.999 x 4.1 4.01 4.001
f(x) f(x)

2) 3x + 9
2- 9
→-3

x < -3 -3.001 x > -3
x -3.1 -3.01 x -2.9 -2.99 -2.999
f(x) f(x)

3) 1

→0

x x<0 x>0
f(x) -0.1 -0.01 -0.001 x 0.1 0.01 0.001
f(x)

3. x 2 2.5 2.7 2.9 2.99 2.999
f(x) = x + 2 4 4.5 4.7 4.9 4.99 4.999

x 4 3.5 3.2 3.01 3.001 3.0001
f(x) = x + 2 6 5.5 5.2 5.01 5.001 5.0001

จงหา 3.1 lim f(x) =………………
x → 3−
3.2 lim f(x) =………………
x → 3+
3.3 lim f(x) =………………
x →3

แคลคูลัสเบือ้ งต้น

4. x 4 4.5 4.9 4.99 4.999
f(x) = x2 + 2 18 22.25 26.01 26.901 26.9901

x 6 5.5 5.2 5.01 5.001
f(x) = x2 + 2 38 32.25 29.04 27.100 27.010

จงหา 4.1 lim f(x) =………………
x → 5−
4.2 lim f(x) =………………
x → 5+
4.3 lim f(x) =………………
x →5

5. กำหนดกราฟ y = f(x) ดังรปู

1) lim fሺxሻ =…………………………………… 5) lim fሺxሻ =……………………………………

x→3− x→7−

2) lim fሺxሻ =…………………………………… 6) lim fሺxሻ =……………………………………

x→3+ x→7+

3)limfሺxሻ =………………………………… 7)limfሺxሻ =……………………………………

x→3 x→7

4) f(3) =…………………………………… 8) f(7) =……………………………………

แคลคลู สั เบือ้ งต้น

6. กำหนดกราฟ y = g(x) ดงั รูป

1) lim gሺxሻ =………………………………… 5) lim gሺxሻ =…………………………………

x→2− x→5−

2) lim gሺxሻ =………………………………… 6) lim gሺxሻ =…………………………………

x→2+ x→5+

3) limgሺxሻ =………………………………… 7) limgሺxሻ =…………………………………

x→2 x→5

4) g(2) =…………………………………… 8) g(5) =…………………………………
7. กำหนดกราฟ y = h(x) ดังรูป

1) lim hሺ xሻ=……………………………… 5) lim hሺ xሻ =………………………………

x→5− x→9−

2) lim hሺ xሻ=……………………………… 6) lim hሺ xሻ =………………………………

x→5+ x→9+

3) lim hሺ xሻ =………………………………… 7) lim hሺ xሻ =…………………………………

x→5 x→9

4) h(5) =………………………………… 8) h(9) =…………………………………

คะแนนที่ได้ …………………. ชื่อ ………………………………
ผตู้ รวจ ……………………… นำมสกลุ ………………………..
วนั ท่ี ……. เดือน ………. พ.ศ…….. ช้นั ………….. เลขที่ ……………

แคลคลู สั เบือ้ งต้น