kvant-1-2021

№1 2021

ЯНВАРЬ Ю

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

УЧРЕДИТЕЛИ 2 Неопределенность – основа квантовой

Российская академия наук физики. А.Варламов, Ж.Виллен, А.Ригамонти

Математический институт 12 Кратчайшие пути и гипотеза Пуанкаре
им. В.А.Стеклова РАН
(окончание). В.Протасов
Физический институт
им. П.Н.Лебедева РАН ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР 23 Задачи М2634–М2637, Ф2641–Ф2644
А.А.Гайфуллин 25 Решения задач М2618–М2620, М2622–М2625,

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ Ф2625–Ф2632
Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов,
М.Н.Бондаров, Ю.М.Брук, 36 Полимино. Ю.Маркелов, А.Сайранов
А.А.Варламов, С.Д.Варламов,
КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»
А.П.Веселов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев,
Н.П.Долбилин, С.А.Дориченко, 32 О трех равных отрезках

В.Н.Дубровский, А.А.Заславский, «КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
А.Я.Канель-Белов, П.А.Кожевников
(заместитель главного редактора), 38 Задачи
С.П.Коновалов, К.П.Кохась, А.А.Леонович, 39 Почему самолет взлетает против ветра.
Ю.П.Лысов, А.Б.Минеев, В.Ю.Протасов,
А.М.Райгородский, А.Б.Сосинский, С.Дворянинов

А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА
В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова,
41 Задачи 17–20
А.В.Устинов, А.И.Черноуцан
(заместитель главного редактора) ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 42 Ртуть и вода – диффузия и испарение.
А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник,
Л.Ашкинази
А.А.Боровой, В.В.Козлов,
Н.Н.Константинов, С.П.Новиков, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
А.Л.Семенов, С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов
44 Задачи Произволова о сумме модулей.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
1970 ГОДА Е.Бакаев

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

И.К.Кикоин 50 Падение магнита в алюминиевой трубке.

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ А.Князев, А. Князев (мл.)
ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ
А.Н.Колмогоров
53 Олимпиада «Покори Воробьевы горы!»
Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский,
И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, 57 Ответы, указания, решения
В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин,
Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, Вниманию наших читателей (11, 22, 41)
А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,
Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, НА ОБЛОЖКЕ
И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, I Иллюстрация к статье В.Протасова

Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер (использован рисунок А.Даниярходжаева и
М.Панова)
II Коллекция головоломок
III Шахматная страничка
IV Прогулки с физикой

Неопределенность –
основа квантовой физики

А.ВАРЛАМОВ, Ж.ВИЛЛЕН, А.РИГАМОНТИ

1900 год, знаменующий начало XX века, ние неопределенности в проекции на ось x
является еще и датой возникновения кван- записывают следующим образом:
товой механики. Именно тогда Макс Планк
нашел окончательное решение задачи о 'x'px t ℏ. (1)
тепловом излучении тел, поставленной
Густавом Кирхгофом четырьмя десятиле- Аналогично оно записывается и для двух
тиями ранее. Решение Планка основыва-
лось на предположении, что энергия физи- других составляющих вектора импульса и
ческой системы квантуется. Например,
если монохроматический свет частотой Q координат. Это неравенство удивительно.
заключен в зеркальной камере, то его
энергия обязательно окажется кратной Законы Ньютона позволяют, исходя из
одному «кванту» энергии, равному hQ, где
h 6,63 ˜ 10 34 Дж ˜ с – постоянная величи- начальных условий, очень точно опреде-
на, называемая теперь постоянной Планка.
Сначала эта гипотеза казалась относитель- лить положение и скорость объекта в любой
но невинной. Однако спустя тридцать лет
выяснилось, что она бросает вызов детер- момент времени. В физике Ньютона, так
министическому пониманию физики…
называемой классической механике, нет
Принцип неопределенности
места для неопределенности. Но этот детер-
В 1927 году немецкий физик Вернер
Гейзенберг (1901–1976) сформулировал минизм, свойственный макроскопическому
следующий принцип, называемый прин-
ципом неопределенности. Рассмотрим ча- миру, перестает действовать в атомном мас-
стицу массой m, которая движется по оси
x со скоростью v. Если нам удастся изме- штабе. Объясним, почему это происходит.
рить ее скорость с точностью 'v, то ее
положение x оказывается невозможным Для начала приведем иллюстрацию со-
определить с точностью 'x более высокой,
отношений неопределенности. Направим
чем ℏ m'v , где ℏ h 2S . (Постоянную
поток частиц (например, электронов или
ℏ также называют постоянной Планка.)
Иными словами, m'x'v t ℏ. Это утверж- нейтронов) на стенку, в которой есть от-
дение можно распространить и на движе-
ние частицы, перемещающейся в трехмер- верстие диаметром 'x (рис. 1). Некото-
ном пространстве. Вместо того чтобы рас-
суждать о ее скорости v, часто вводят Рис. 1. Если частица проходит через отверстие
импульс p mv. В этом случае соотноше-
или щель ширины 'x, то ее положение в
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210101 направлении x известно с точностью 'x, а ее
импульс в этом направлении может быть изве-
стен только с некоторой точностью 'px. Если
частица является частью пучка с импульсом pz
вдоль оси z, то прохождение пучка через щель

вызывает его расхождение под углом, опреде-

ляемым отношением 'px pz

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ – ОСНОВА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ 3

рые из них проле-

тят через отверстие.

В момент прохож-

дения отверстия их

положение опреде-

ляется в плоскости

стенки с точностью

'x. При этом парал-

лельные этой плос-

кости составляющие

их скорости могут

быть известны толь-

ко с некоторой нео-

пределенностью,

обратно пропорци-

ональной 'x. Даже

если скорость какой-

то частицы при под-
лете строго перпен- Вернер Гейзенберг (слева) и Нильс Бор (справа) – ученые, открывшие
дикулярна стенке, квантовый индетерминизм

то после прохода через отверстие скорости менее 0,01 нм. Стало бы такое изобретение

всех прошедших частиц распределятся идеальным инструментом для точного из-

внутри некоторого телесного угла. Таким мерения положения и скорости электрона?

образом, здесь мы сталкиваемся с тем же Прежде чем праздновать победу, при-

явлением дифракции, что и в случае свето- стальнее рассмотрим наш воображаемый

вых лучей, проходящих через узкую щель. опыт. Для того чтобы получить информа-

Неопределенность и измерение цию о положении электрона, необходимо
использовать как минимум один квант

Согласно толкованию Гейзенберга, кван- электромагнитного излучения. Энергия E

товый индетерминизм является результа- такого кванта равна hc O, где c – скорость

том взаимодействия наблюдаемой частицы света в вакууме. Чем короче длина волны,

с измерительным прибором. Вот как он тем большую энергию несет квант. Однако

рассуждал. импульс кванта пропорционален этой энер-

Предположим, мы хотим проанализиро- гии, а при столкновении с электроном

вать движение электрона. Как это сде- квант неизбежно передает ему часть своего

лать? Невооруженный глаз, очевидно, не импульса. По этой причине любое измере-

обладает достаточным разрешением, а что ние положения, тем более для рентгено-

насчет микроскопа? Разрешение микро- вского или J-излучения, вносит неопреде-

скопа определяется диапазоном длин волн ленность в величину импульса электрона.

O наблюдаемого излучения. Для света они Точный анализ процесса показывает, что
составляют порядка 100 нм (т.е. 100 мил- произведение неопределенностей в уста-

лиардных частей метра), частицы меньше- новлении положения электрона и измере-

го размера не будут видны. Поэтому с нии его импульса не может быть меньше

помощью микроскопа невозможно увидеть постоянной Планка. Это возвращает нас к

атомы, размер которых порядка 0,1 нм, и принципу Гейзенберга.

тем более – обнаружить электроны. Пред- Можно предположить, что такое рас-

ставим, однако, что нам удалось сделать суждение относится только к конкретному

микроскоп с использованием электромаг- случаю или что метод измерения неверен.

нитного излучения более короткой длины Ничего подобного. Самые выдающиеся

волны: рентгеновского или даже J-излуче- ученые (в частности, как будет рассказано

ния, длина волны которого составляет далее, Альберт Эйнштейн) пытались при-

4 КВАНT $ 2021/№1

думать мысленные эксперименты, кото- точностью до 1% от ее размера, то неопре-
рые могли бы позволить определить поло-
жение и импульс тела с большей точностью, деленность в измерении ее скорости не
чем предписано соотношениями неопреде- может превышать 10 13 м с, что по-преж-
ленности. Ни одна из этих попыток успе-
хом не увенчалась. Принцип неопределен- нему очень мало. В самом деле, скорость
ности – это закон природы, фундаменталь-
ный закон. Не следует думать, что эта движения броуновской частицы составляет
неопределенность всегда связана с погреш- примерно 10 6 м с, что превышает найден-
ностями измерения: многочисленные экс- ную погрешность 'vx более чем в миллион
периментально установленные факты по- раз! Это означает, что даже мелкие частицы
казывают, что она имеет фундаментальную броуновского движения правильно описа-
природу и что соотношение неопределенно- ны классической механикой. Таким обра-
сти соблюдается даже при использовании зом, соотношение неопределенности стано-
самых точных измерительных устройств. вится существенным только для частиц,
значительно меньших броуновской. Так,
Детерминированный оно становится крайне важным для элект-
и квантовый миры рона. Важным настолько, что, как будет
показано далее, на его основании оказы-
Кажется, что принцип неопределенности вается возможным оценить размер атома.
противоречит тому, что мы знаем об окру-
жающем мире. До какой степени он опро- От принципа неопределенности к ради-
вергаеют наши детерминистические пред- усу атома. Рассмотрим атом самого про-
ставления? Для объекта массой m принцип стого элемента – водорода, который состо-
ит из протона и электрона. Первое по
Гейзенберга выглядит как 'x'vx t ℏ m. В существу верное описание атома водорода
случае шара массой 0,7 кг для игры в привел британский физик Эрнест Резер-
форд (1871–1937). Он выяснил, что элек-
петанк (провансальский национальный вид трон, обладающий отрицательным заря-
дом e, и протон, несущий заряд такой же
спорта, бросание шаров) предел произведе- по величине, но противоположный по зна-
ку, удерживаются вместе благодаря элек-
ния 'x'vx немного превышает 10 34 м2 с, тростатическому взаимодействию. При этом
что очень близко к нулю. Если положение электрон вращается вокруг протона, по-
шара известно с высокой точностью, напри- добно тому как Земля вращается вокруг
мер 'x 10 10 м (близко к размеру атома!), Солнца. Заметим, что в таком описании
то минимальная неопределенность 'vx для вращающийся электрон представляет со-
скорости остается крайне низкой – от 0,03 на- бой циркулярный электрический ток. Од-
нометра в час. Поэтому макроскопический нако любой замкнутый контур, по которо-
мир, сообразно нашим представлениям, не- му проходит ток, подобно антенне испуска-
смотря на соотношение Гейзенберга, остает- ет электромагнитное излучение. В резуль-
ся практически детерминистическим. тате, согласно описанию Резерфорда, элек-
трон должен был бы терять энергию… и в
А с какого же размера квантовые эффек- конечном итоге «упасть» на протон (рис.2)!
ты становятся существенными? Пойдем Но мы знаем, что он не падает – атом
дальше по направлению к наномиру и обсу- водорода стабилен. Чтобы дать объяснение
дим броуновское движение мельчайших этому факту, необходимо было ввести не-
кий новый физический принцип, который
частиц в жидкости. Рассмотрим броунов- выходил бы за рамки ньютоновской физи-
скую частицу массой около 10 13 кг и диа- ки. Им стал принцип неопределенности
метром примерно 1 мкм. Соотношение не- Гейзенберга. В соответствии с этим принци-
определенности говорит нам, что произве- пом, бедный электрон должен вращаться в
дение 'x'vx должно превышать величину области пространства некоторого размера с
ℏ m, в рассматриваемом случае составляю-
щую примерно 10 21 м2 с. Если мы хотим
знать положение броуновской частицы с

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ – ОСНОВА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ 5

Рис. 2. В классической физике атом Резерфор- это примерно 1 ангстрем (десятая часть
да был бы нестабилен: электрон в конце кон- нанометра).
цов упал бы на ядро
Спектр излучения атомов – ключ к
плохо определенной, но не равной нулю атомной структуре. Пребывая в своем
основном состоянии (минимума полной
скоростью. И из этих смутных соображе- энергии), атом терять энергию не может.
Однако он может ее получать, переходя
ний мы собираемся оценить размер атома! при этом в то или иное «возбужденное»
состояние. Причем бесконечно долго воз-
Пусть v и 2R суть скорость электрона и бужденным он не остается – через некото-
рое время, излучая свет, атом возвращает-
диаметр сферы, в пределах которой он ся в свое основное состояние. Этот свет
соответствует излучению точно опреде-
движется. Согласно формуле (1), 2mRv ! ℏ. ленных частот, т.е. спектр излучения ато-
ма является «линейчатым». Частоты спек-
Следовательно, кинетическая энергия элек- тральных линий образуют так называемое
дискретное множество, т.е. их можно про-
трона, равная mv2 2, не может быть мень- нумеровать, например в зависимости от
интенсивности каждой из них. Чтобы объяс-
ше чем ℏ2 8mR2 . Добавляя электростати- нить происхождение такого линейчатого
ческую энергию его взаимодействия с про- спектра, разумно предположить, что значе-
ния, которые может принимать энергия
тоном, находим неравенство для полной данного атома, также составляют дискрет-
ное множество. Поскольку свет может из-
энергии электрона W: лучаться только в виде фотонов, то закон
сохранения энергии требует, чтобы энергия
W ≥ -e2 + ℏ2 , (2) hQ каждого фотона была равна разности
4SH0 R 8mR2 между двумя допустимыми значениями
энергии атома (рис. 3). Таким образом
где элементарный электрический заряд e дискретный вид спектра излучения объяс-
няется, по крайней мере, качественно. Ос-
равен 1,6 ˜ 10 19 Кл, а H0 – электрическая
постоянная, равная 8,85 ˜ 10 12 Ф м. Рис. 3. Энергетическая диаграмма атома водо-
рода. Атом переходит из основного состояния
Энергия W атома не может стать ниже в возбужденное путем поглощения фотона,
энергия которого соответствует разнице меж-
минимума этого выражения, который, как ду двумя энергетическими уровнями атома

легко понять, реализуется при R R0, где

R0 4SH0ℏ2 | 0,0529 нм . (3)
me2
Равновесное состояние механической сис-

темы соответствует минимуму ее потенци-

альной энергии. Радиус атома R не может

сильно превышать величину R0 , потому
что потенциальная энергия электрона при

этом была бы слишком высока, но он не

может быть и намного меньше R0 , потому
что тогда кинетическая энергия была бы

слишком велика, а полная энергия должна

сохраняться. Именно поэтому электрон и

не падает на ядро! Выражение (3) дает нам

представление о размере атома водорода –

6 КВАНT $ 2021/№1

тается выяснить, почему значения энергии Рис. 4. Модель Бора позволяет объяснить
атома составляют дискретное множество.
спектр излучения атома водорода в видимой
В начале XX века вопрос о природе
атома – мельчайшей частицы вещества, области. Линии, расположенные вблизи длин
являющейся носителем его свойств, был
одним из центральных в физике. Предла- волн в 410, 434, 486 и 656 нм, соответствуют
гаемые модели, будучи внутренне проти-
воречивыми или не соответствующими переходам на уровень n 2 из возбужденных
эксперименту, одна за другой опроверга-
лись. И вот в 1913 году датский физик состояний n 6, 5, 4 и 3
Нильс Бор (1885–1962) предложил мате-
матически простую теорию атома, объяс- лучения атомов (рис. 4), однако вскоре
няющую существующие эксперименталь- выявились и ее недостатки. Спустя десяти-
ные данные, однако основанную на столь летие теория Бора была концептуально
необычных допущениях, что он сам назвал расширена введением вероятностного опи-
их «постулатами». сания нахождения электрона. Так, оказа-
лось, что значение R0 (расстояние от элек-
Атом по Нильсу Бору трона до ядра) в атоме водорода может
считаться лишь некоей усредненной вели-
Нильс Бор, предлагая свою модель ато- чиной; принцип неопределенности не по-
ма, ничего не знал о принципе неопреде- зволяет четко определить расстояние меж-
ленности, до открытия которого остава- ду протоном и электроном.
лось еще 14 лет.
Вероятность нахождения. Предполо-
В модели Бора, как и в модели Резер- жим, что в какой-то момент нам удалось
форда, электрон вращается вокруг ядра, установить положение электрона. Можно
подобно тому как Земля вращается вокруг ли предсказать его положение через секун-
Солнца, однако при этом электрон может ду? Нет, поскольку знание положения
двигаться только по определенным орби- электрона неизбежно привело бы к полной
там. Например, круговые орбиты возмож- неопределенности его скорости. Ни один
ны только в том случае, когда произведе- прибор, ни одна теория не смогли бы
ние импульса mv электрона на радиус его предсказать, куда направится электрон.
орбиты R, это произведение называют Так что же делать?
«моментом импульса», является кратным
постоянной Планка: Сменим стратегию и отметим точку про-
странства, в которой обнаружен электрон,
mvR nℏ. (4) затем еще одну точку – результат анало-
гичного измерения с другим электроном и
Однако импульс электрона и радиус ор- многократно повторим эту процедуру. Хоть
и невозможно предсказать, где появится
биты связаны также и тем обстоятельством, следующая отметка, все же их распределе-
что центростремительное ускорение элект- ние следует некоему правилу. Плотность
рона, равное v2 R, обеспечивает сила элек- отметок, которая варьирует в зависимости
тростатического притяжения. Для атома от точки пространства, указывает на веро-
водорода, ядро которого состоит из прото- ятность нахождения электрона во время
измерения. Мы были вынуждены отказать-
на, последняя равна e 4SH0R . Отсюда ся от описания движения электрона, но
можем теперь определить вероятность его
уже можно найти радиусы Rn 1 разрешен- нахождения в каждой точке пространства.
ных орбит для каждого значения n. Так, Поведение электрона в наномире характе-
для n 1 находим уже знакомое нам значе- ризуется вероятностью!
ние R0, которое соответствует основному
состоянию. Предоставим читателю самому
вывести общую формулу, применимую к

возбужденным состояниям электрона.
Модель Бора, разработанная в 1913 году,

довольно хорошо описывала спектры из-

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ – ОСНОВА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ 7

Читатель, не знакомый с этой концепци- точке. Различие же заключается в том, что
ей, не может оценить роль случайности в электрическое поле является физически
законах природы. Тем не менее, как вы измеримым, например по его действию на
увидите, такая вероятностная теория под- электрически заряженные объекты, тогда
тверждается серьезными эксперименталь- как введенная де Бройлем волновая функ-
ными доказательствами. ция ясного физического смысла не имела.

Таким образом, в наномире нахождение С помощью уравнения Шрёдингера ока-
электрона определяется законами вероят- залось возможным найти пространствен-
ности. Расставленные нами отметки в со- ное распределение плотности вероятности
вокупности напоминают облако, так же электрона для его возможных состояний в
как капельки воды образуют в небе облака атоме водорода. Изобразив эти распреде-
различной плотности. Такое «электронное ления плотности вероятности на плоско-
облако» является более точным представ- сти разными цветами, получают изображе-
лением об электроне, чем маленькая пла- ние различных атомных орбиталей (обла-
нета, вращающаяся вокруг ядра, как его стей, в которых вероятность нахождения
изображал Резерфорд. электрона наиболее высока). Такие изоб-
ражения заменяют электронные орбиты
Волна де Бройля модели атома Бора и наглядно представля-
ют поведение электронов в атоме. Осно-
и уравнение Шрёдингера ванные на уравнении Шрёдингера расче-
ты объясняют существование дискретных
Что же определяет структуру электрон- уровней энергии, которые и являются при-
ных облаков? Существует ли уравнение, чиной линейчатых спектров, наблюдае-
которое описывает квантовую механику мых при излучении и поглощении света.
так же, как классическую механику опи- Подобные, но более сложные вычисления
сывают законы Ньютона? Да, такое урав- позволяют понять, как между атомами
нение существует. Оно было предложено образуются химические связи.
в 1925 году австрийским физиком Эрви-
ном Шрёдингером (1887–1961) и являет- Заметим, что работы де Бройля и Шрё-
ся основой атомной физики и теоретиче- дингера предшествовали открытию Гей-
ской химии. зенбергом принципа неопределенности.
Последний прост, краток, элегантен, одна-
Теория Шрёдингера обобщила предло- ко содержит меньше информации, чем
женную годом ранее французом Луи де уравнение Шрёдингера.
Бройлем (1892–1987) революционную
идею, которая состояла в том, что с любой Опыт Дэвиссона–Джермера. Предло-
частицей, обладающей импульсом p, мож- женная де Бройлем концепция связи меж-
но связать волну длиной O h p. Таким ду волнами и частицами, так называемый
образом, любая частица может проявлять корпускулярно-волновой дуализм, приве-
как корпускулярное поведение, так и вол- ла к идее применения оптических методов
новое, как это делает свет. Подобно пред- исследования с заменой света на потоки
ложенной Джеймсом Максвеллом (1831– частиц. Так, в 1927 году американские
1879) волновой теории света, где электри- физики Клинтон Дэвиссон и Лестер Джер-
мер бомбардировали электронами кристалл
ческое поле E x, y, z,t является функцией никеля. В результате они получили диф-
рактограммы, подобные возникающим при
времени и трех пространственных коорди- облучении кристаллов рентгеновскими лу-
нат, уравнение Шрёдингера описывает со- чами. Для интерпретации полученных диф-
стояние частицы с помощью «волновой ракционных картин электронам следовало
приписать определенную длину волны, и
функции» \ x, y, z,t , квадрат модуля ко- она совпадала с величиной, предсказанной
де Бройлем. Таким образом, эксперимент
торой определяет плотность вероятности блестяще подтвердил его гипотезу.
нахождения частицы в заданный момент

времени t в точке x, y, z . Этот подход был

основан на аналогии с оптикой, где квадрат
модуля электрического поля определяет
вероятность нахождения фотона в данной

8 КВАНT $ 2021/№1

Исследование твердых тел с помощью 'x 'p 0, что нарушило бы соотноше-
дифрактометрии. Дифракция электронов ние неопределенности. Отсюда следует,
редко используется для изучения кристал-
лов, потому что электроны поглощаются что движение атомов прекратиться не мо-
материей куда сильнее, чем рентгеновские
лучи. Гораздо больший интерес представ- жет даже при абсолютном нуле темпера-
ляет собой еще одна элементарная части-
ца – нейтрон. Если речь идет о наблюде- тур: в этом случае тепловые колебания
нии легких атомов или изучении атомных
магнитных свойств, то дифракция нейтро- сменяются на «нулевые колебания».
нов оказывается предпочтительнее рентге-
новских лучей. Последняя позволяет со- Попробуем разобраться в этом подробнее
ставлять карты электронной плотности, в
то время как поляризованные нейтроны на примере простого кристалла, состояще-
дают возможность исследовать не все, а
лишь электроны, находящиеся на вне- го из атомов лишь одного сорта (например,
шних оболочках атома, именно те, кото-
рые определяют его химические и магнит- водорода, кислорода, железа). Упрощен-
ные свойства. Недостатком этого метода
является то, что для производства нейтро- ное, но качественно приемлемое описание
нов требуются дорогие и громоздкие ядер-
ные реакторы, в то время как рентгено- движения атома в кристалле относительно
вской установкой легко оснастить даже
скромную лабораторию. его соседей можно получить, предполагая,

Нулевые колебания атомов что при отклонении от положения равнове-

Принцип неопределенности позволяет сия на него действует возвращающая сила,
получить интересную информацию о дви-
жении атомов в твердых телах. Под твер- пропорциональная расстоянию, как если
дыми телами здесь мы будем подразуме-
вать кристаллы, поскольку при низких бы его удерживала пружина. В таком слу-
температурах кристаллическая структура
является устойчивой формой существова- чае движение атома относительно положе-
ния почти всех чистых веществ. Атомы в
кристалле не являются неподвижными: ния равновесия описывается формулой
они колеблются вокруг положения равно-
весия. Амплитуда этих колебаний очень x t x0 cos Zt D , где x0 – максималь-
мала: расстояние между двумя соседними
атомами всегда остается близким к своему ная амплитуда колебаний (для двух дру-
среднему значению, которое составляет
около нескольких десятых нанометра. Как гих координат формулы аналогичны).
правило, эти колебания обусловлены теп-
ловым движением: чем температура выше, При этом скорость атома равна vx t
тем больше амплитуда колебаний. Что же Zx0 sin Zt D . Соотношение неопре-
происходит, когда температура опускает-
ся до абсолютного нуля (0 К, т.е. деленности требует, чтобы 'x'v t ℏ m и,
273,15 qC)? Можно предположить, что
колебания прекращаются и атомы замира- следовательно, Zx02 было не менее ℏ m, где
ют. Однако в этом случае их положение m – масса атома. Частота Z для большин-
было бы точно фиксировано, в то время ства веществ лежит в диапазоне между 1013
как скорость была бы равна нулю, т.е. и 1014 Гц (характерную частоту колебаний
атома в твердых телах называют частотой

Дебая). Заменяя массу m на Amн, где A –
массовое число, а 1m0н 27– ксг,рпедонляуячимм,ачстсоа
нуклона, около 1, 67 ˜

x0 в метрах должна составлять не менее

10 11 A. Это условие устанавливает верх-

нюю границу для амплитуды нулевых ко-

лебаний в 1 100 нм, которая, как прави-

ло, мала в сравнении с равновесным рассто-

янием между соседними атомами. Поэтому

нет оснований полагать, что нулевые коле-

бания в твердых телах разрушают его ус-

тойчивость.

Сомнения могут оставаться только для

наименьших значений A, т.е. для водорода
(A 1) и гелия (A 4). Оказывается, что

только гелий является исключением из

правила: если давление не превышает

2,5 МПа, то нулевые колебания действи-

тельно делают его кристаллическое состо-

яние неустойчивым при любых температу-

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ – ОСНОВА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ 9

рах. Все остальные простые тела, включая
водород H2 , при приближении температу-
ры к абсолютному нулю рано или поздно
затвердевают при любом давлении.

Квантование магнитного момента. Мы Рис. 5. Принцип опыта Штерна–Герлаха. Ато-
уже видели, что согласно квантовой меха- мы серебра проходят через вертикально на-
нике ни в какой момент времени невозмож- правленное неоднородное магнитное поле.
но установить точные значения положения Согласно классической физике, пучок частиц с
r и скорости v электрона, вращающегося непрерывным распределением магнитного мо-
вокруг ядра. Еще более необычными ока- мента должен расходиться конусом. Опыт же
зываются свойства его магнитного момента. показывает, что он делится на две компоненты

Магнитный момент – это векторная ве- мент мог принимать хотя бы три значения,
личина, характеризующая свойство опре- то пучок делился бы натрое, а если бы
деленных объектов ориентироваться в маг- магнитный момент атомов серебра мог
нитном поле. Например, стрелка компаса меняться непрерывно, то пучок просто
располагается по магнитному полю Земли, расходился бы в конус.
указывая направление на северный маг-
нитный полюс. Многие из элементарных Еще несколько слов о пучке атомов се-
частиц и объектов атомного масштаба так- ребра. Выберем ось x вдоль направления
же обладают магнитным моментом: элект- магнитного поля. Тогда существует такое
рон, нейтрон, протон, а также большая состояние атома серебра, в котором Px P,
часть ядер, атомов и ионов. Простран- и другое, в котором Px P. Существует
ственные составляющие магнитного мо- также состояние, при котором Py P. Что
мента обозначаются Px, Py, Pz. произойдет, если частица находится в этом
состоянии и измеряется компонента Px?
Когда стрелка компаса сориентирована Измерение с равной вероятностью даст
в определенном направлении, то четко Px P или Px P. Таким образом, сред-
определены и все три составляющие ее нее значение всех измерений Px, которые
магнитного момента. В отличие от компа- можно произвести в состоянии Py P,
са, электрон или нейтрон являются объек- равно нулю. То же самое относится к
тами, принадлежащими к квантовому миру. среднему значению всех измерений Px в
Для них может быть измерена только одна состоянии Py P. Чтобы принять в расчет
из трех составляющих магнитного момен- эти свойства, в квантовой механике счита-
та, при этом она способна принимать толь- ется, что состояние Py P является «со-
ко два противоположных значения: P или единением» состояний Px P и Px P.
P. Это, казалось бы, парадоксальное ут-
верждение было подтверждено экспери- Кот Шрёдингера. Концепция «смеше-
ментально: первыми опытные данные, гово- ния состояний» очень хорошо описывает
рящие в пользу квантования магнитного реальность в масштабе атомного мира.
момента представителей квантового мира, Интересно попробовать распространить ее
еще в 1922 году получили Отто Штерн и действие на мир макроскопический. Один
Вальтер Герлах. В своих экспериментах
они направляли пучок атомов серебра,
которые благодаря электронам внешней
оболочки обладают магнитным моментом,
сквозь неоднородное магнитное поле. В
результате было обнаружено, что этот пучок
разделяется строго пополам, что и доказы-
вает квантование магнитного момента все-
го на два дискретных значения (рис. 5).
Действительно, если бы магнитный мо-

10 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

Рис. 6. В мысленном эксперименте Шрёдингер мертв и до открытия двери, неважно,
знаем ли мы его состояние». Такое пони-
представил себе кота, запертого в герметичной мание рассматриваемой ситуации базиру-
ется на иной, некогда существовавшей
коробке. Устройство, принцип действия кото- интерпретации квантовой механики, осно-
ванной на понятии скрытого параметра.
рого основан на случайном распаде радиоак- Согласно этой концепции, описание мира
является детерминистичным, однако неко-
тивного атома, может разбить колбочку с ядом. торые параметры, необходимые для его
реализации, оказываются нам недоступ-
По истечении заданного времени вероятность ными. Современная наука опровергает эту
распада атома составляет 1 2 . До тех пор пока концепцию. Но все же индетерминизм кван-
наблюдатель не откроет коробку, квантовая товой физики порождает парадоксы, кото-
рые интуитивно сложно принять.
механика утверждает, что атом одновременно
Опишем один из них.
и распался и не распался, следовательно, и кот
Парадокс Эйнштейна –
теоретически и жив и мертв
Подольского–Розена (ЭПР-парадокс)
из примеров привел Шрёдингер. Он заме-
тил, что, подобно тому как магнитный В 1935 году Эйнштейн и его коллеги
момент в рамках квантовой механики мо- Борис Подольский и Натан Розен предло-
жет принимать два различных значения, жили парадокс, который впоследствии стал
так и обычный кот при расширении послед- темой для многих научных работ (некото-
ней до масштаба комнаты может находить- рые публикуются и в наши дни). Они
ся в двух состояниях: быть и живым и рассмотрели ситуацию, которую сегодня
мертвым одновременно (рис. 6)! Если мы называют квантовой «запутанностью» (по-
открываем дверь в комнату, мы с равной английски – entanglement). Здесь задей-
вероятностью 1 2 можем обнаружить как ствован уже не один объект, как в парадок-
мертвого, так и живого кота, но пока дверь се Шрёдингера, а два. Например, возьмем
закрыта, кот одновременно и жив и мертв. кота и собаку, хотя оригинальная форму-
лировка парадокса их и не предполагала.
В 2015 году коту Шрёдингера исполни- Предположим, что одно из животных мер-
лось 80 лет! Тем не менее, старея, он тво (какое – неизвестно), а другое живо.
становится все более живым. Совсем недав- Состояние, в котором жив кот, а собака
но благодаря усилиям ученых он материа- мертва, обозначим , а состояние, в
лизовался из области абстрактных рассуж- котором кот мертв, а собака жива, запи-
дений и стал реальностью. Конечно, это не шем как . В случае если эти два
настоящий кот, а крошечный объект, кото- состояния смешаны, говорят, что они за-
рый только в шутку называют «котом путаны. Запутанное состояние представ-
Шрёдингера». Под этим названием сегодня
подразумевают любой относительно макро- лено обозначением 2. Пока
скопический объект, приведенный в состо-
яние квантовой суперпозиции. Этот коте- кот и собака находятся в двух отдельных
нок (представляющий собой лишь несколь- закрытых камерах (звуконепроницаемых
ко атомов) косвенно стал одним из лауре- и т.д.), неясно, кто из них жив, а кто
атов Нобелевской премии по физике, при- мертв. Но если мы откроем камеру с котом
сужденной в 2012 году Сержу Арошу и и обнаружим его мертвым, то узнаем, что
Дэвиду Уайнленду. собака жива, а если мы обнаружим живого
кота, будем знать, что мертва собака: оба
«Это же абсурдно! – может решить чита- наблюдения коррелируют. Отметим, что
тель. – На самом деле кот либо жив, либо эта корреляция сохраняется при нахожде-
нии животных в двух камерах, располо-
женных и на расстоянии 1000 км друг от

11Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т Ь – О С Н О В А К В А Н Т О В О Й Ф И З И К И

друга. Чтобы узнать, жива ли собака, чать в себя некоторые доступные измере-
находящаяся за 1000 км, достаточно от- нию неравенства, которые противоречат
крыть камеру с котом. Таким образом, мы обычной форме квантовой механики.
получаем информацию мгновенно, хотя
никакой сигнал не может распространять- Неравенства Белла были проверены
ся быстрее скорости света! Можно даже Аленом Аспе и его сотрудниками в Париже
подумать, что открытие камеры с котом, в 1982 году. Они воспроизвели ситуацию,
которого мы обнаружим живым, мгновен- аналогичную описанной нами чуть рань-
но на расстоянии вызовет смерть собаки, ше. Очевидно, ученые использовали не
которая до сих пор была только «полу- кота и собаку, поскольку квантовая меха-
мертвой». Конечно, невозможно предуга- ника неприменима к макроскопическим
дать исход открытия камеры, потому что объектам, а фотоны, поляризация кото-
мы найдем кота живым или мертвым с рых (т.е. направление колебаний электри-
одной и той же вероятностью 1 2, равно ческого поля) может иметь два взаимно
как и собаку; однако мы понимаем, что ортогональных направления, подобно тому
Эйнштейн, Подольский и Розен были оза- как кошка и собака могут находиться в
дачены. В конце статьи они высказали двух равновероятных состояниях (живом
мнение о необходимости разработки новой и мертвом). Исследователи намеревались
квантовой механики. Она могла бы быть обнаружить корреляцию между поляриза-
основана на предположении о существова- циями фотонов. И это лишь одна из мно-
нии скрытых параметров, т.е. параметров, гочисленных трудностей эксперимента.
недоступных для экспериментальной ве- Другая сложность была связана с тем, что
рификации и не входящих в теории Шрё- фотоны двигаются с огромной скоростью,
дингера и Гейзенберга. а за время их перемещения следует успеть
сделать очень многое. В конечном итоге
Неравенства Белла и опыты Аспе опыты Аспе привели к выводу, что нера-
венства Белла не могут быть проверены на
ЭПР-парадокс оспаривали многие ис- достоверность. Значит, квантовая механи-
следователи, в том числе и Бор. Другие ка, изложенная в учебниках, является пра-
выдающиеся ученые, в том числе Луи де вильной и не может быть заменена или
Бройль и Дэвид Бом, подобно Эйнштейну дополнена теорией скрытых параметров.
предпочли бы восстановить детерминизм. Опыт Аспе превратил мысленный экспе-
Дискуссия длилась долго и носила фило- римент Эйнштейна, Подольского и Розена
софский оттенок. В 1964 году Джон Белл в эксперимент реальный.
смог сделать ее более конкретной и пока-
зал, что детерминистическая физика, даже Статья представляет собой главу из книги
со скрытым детерминизмом, должна вклю-
«Физика повседневности», выпущенной изда-

тельством «Альпина нон-фикшн» в 2020 году.

Вниманию наших читателей

Начиная с 2017 года журнал «Квант» стал ежемесячным и в год выходит
12 номеров журнала.

Подписаться на наш журнал можно с любого номера в любом почтовом отделении.
Наш подписной индекс в каталоге «Пресса России» – 90964.

Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издатель-
ства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных
магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в
редакции журнала.

Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

Кратчайшие пути
и гипотеза Пуанкаре

В.ПРОТАСОВ

П ОСТРОЕННЫЙ НАМИ «ДЕТ- «Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что
cкий» пример четвертой геодезиче- по крайней мере тремя различными спо-
ской на поверхности эллипсоида (рис. 8) собами растянутое резиновое колечко
опровергает крупнейшее заблуждение, свя- можно надеть на наш камень так, что оно,
занное с гипотезой Пуанкаре. На эллипсо- стремясь сократить свою длину, не будет
иде с разными длинами осей может быть соскальзывать (т.е. так, что его длину
больше геодезических, а значит, и саму нельзя уменьшить при маленьком сдвиге
«гипотезу о трех геодезических» следова- в сторону на небольшом участке). При
ло, видимо, формулировать по-другому. этом рассматриваются только располо-
Этого не заметили ни Пуанкаре, ни Гиль- жения резинового колечка без самопере-
берт, ни Урысон. Да и не только они. Вот, сечений (например, не имеющие вида
например, что писал Андрей Николаевич восьмерки). На поверхности шара таких
Колмогоров (1903–1987), крупнейший рос- расположений колечка бесконечно много
сийский математик: (по любому «большому кругу»), на трех-
осном эллипсоиде ровно три (по трем
Окончание. Начало – в предыдущем номере
журнала.

Иллюстрация М.Кашина

КРАТЧАЙШИЕ ПУТИ И ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ 13

Рис. 8. Неплоские геодезические на эллипсои- Все результаты о существовании замк-
нутых геодезических на гладких поверх-
де – красная и синяя линии ностях – теоретические, их доказатель-
ства – не конструктивны: рецептов пост-
главным сечениям) (выделено мной – роения не дают. Можно находить перио-
В.П.)». дические решения уравнений Эйлера–Ла-
гранжа, но это сложно. А главная пробле-
И снова «ровно три»! А ведь подсказать ма – эта задача неустойчива, т.е. малое
идею примера было бы по силу младшему изменение данных влечет сильное измене-
школьнику. Получается, что даже на ние решения. Это может вызвать значи-
школьном уровне вполне можно сделать тельные неприятности при численном на-
важное для современной науки открытие. хождении решения на компьютере. А что
Конечно, этот случай – исключение. Тем если приблизить гладкую поверхность мно-
не менее, для исследования геодезических гогранником (с очень большим числом
иногда хватает элементарной геометрии. граней) и построить геодезическую на нем?
Например, для геодезических на поверх- Хорошая идея!2 Значит, надо научиться
ности многогранников. строить замкнутые геодезические на мно-
гогранниках.
Геодезические на многогранниках
Как определить геодезические на по-
«А что такого нового можно сказать о верхности многогранника? Во-первых, на
многогранниках? – спросите вы. – Это каждой грани геодезическая должна быть
ведь тоже выпуклые поверхности, значит, отрезком прямой, поскольку на плоскости
все, сказанное нами ранее, должно быть есть только одна локально-кратчайшая ли-
верно и для них». Не совсем. Поверхности ния – прямая. Поэтому любая геодезичес-
многогранников негладкие – на них есть
вершины и ребра. Эта «мелочь» в данном кая на многограннике – это ломаная с
случае приводит к драматическим послед- вершинами на ребрах. Чтобы не путать
ствиям. На некоторых многогранниках гео- вершины многогранника и вершины лома-
дезических нет вовсе (ни одной!). Так что ной, договоримся последние называть уз-
ни метод Люстерника–Шнирельмана, ни лами. Два соседних звена геодезической
теорема Фрэнкса–Бангерта на многогран- ломаной должны лежать на разных гранях.
ники не распространяются. Но зато в дан- Если это не так и, скажем, ребра AB и BC
ном случае геодезические имеют очень лежат на одной грани, то возьмем на этих
простое, «школьное» описание. Выходит, звеньях точки A1 и C1 соответственно, очень
можно будет строить их и получать про близко к точке B (рис.9,а). Из определения
них разные результаты, не применяя выс- геодезической, ломаная A1BC1 должна быть
шую математику. Попробуем? Мы уви- кратчайшим путем, связывающим точки A1
дим, что на некоторых многогранниках и C1, что, естественно, неправда: кратчай-
геодезических бесконечно много. Более шим путем является отрезок A1C1. Итак,
того, на правильном тетраэдре существу- звенья AB и BC лежат в разных гранях.
ют сколь угодно длинные геодезические. Развернем две эти грани на плоскость.
Тем самым, на тетраэдр с ребром 1 см Вновь воспользуемся локально-кратчайшим
можно намотать (без самопересечений!) свойством в точке B и получим, что отрезки
замкнутую геодезическую длиной, напри- AB и BC после развертки должны оказать-
мер, 100 км. Но не будем забегать вперед. ся на одной прямой. Иначе путь A1BC1
опять можно заменить на более короткий –

2 По-видимому, ее впервые высказал В.М.Ти-
хомиров, известный математик и многолетний
автор «Кванта». Он и сформулировал задачу
классификации замкнутых геодезических на
многограннике.

14 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

Рис. 9. Оптическое свойство геодезической которой выполняется оптическое свойство –
углы, образуемые соседними звеньями с
на отрезок A1C1 (рис.9,б), а затем положить ребром, равны. Понятно, что этого и дос-
развертку обратно на поверхность много- таточно: любая ломаная с такими свой-
гранника. Таким образом, на развертке ствами является локально-кратчайшей
соседние звенья геодезической оказывают- линией. Действительно, в каждой внут-
ся на одной прямой, или, что то же самое, ренней точке звена она является локально-
два соседних звена геодезической образу- кратчайшей, потому что является прямой,
ют равные углы с ребром, которое они а в узле она является локально-кратчай-
пересекают. Угол, под которым геодези- шей из-за оптического свойства. Мы дока-
ческая входит в ребро, равен углу, под зали важное утверждение, хотя и простое
которым она выходит. Это свойство есте- (на теорему не тянет), поэтому назовем его
ственно назвать оптическим – «угол паде- предложением:
ния равен углу отражения».
Предложение 1. Замкнутая линия на
Наконец, геодезическая не может прохо- поверхности многогранника является гео-
дить через вершины многогранника. А это дезической тогда и только тогда, когда
почему? Все по той же причине. Предпо- это ломаная с узлами на ребрах, не
ложим, что узел B оказался в вершине. проходящая через вершины многогранни-
Сумма плоских углов при вершине выпук- ка, и в каждом узле выполнено оптичес-
лого многогранника меньше 360q. Лома- кое свойство.
ная ABC разрезает плоские углы при вер-
шине B на две части. Хотя бы в одной из Для незамкнутой геодезической это тоже
них сумма углов будет меньше 180q. Сде- выполнено, с одной лишь оговоркой, что она
лаем развертку этих углов на плоскость. может начинаться или заканчиваться в вер-
После развертки угол ABC будет меньше шине. Вернемся к замкнутым геодезичес-
180q. Тогда вновь получаем, что путь A1BC1 ким. Если развернуть две соседние грани на
не является кратчайшим – его можно заме- плоскость, то проходящие по ним звенья
нраизтвьернтакуоторберзоаткнAо 1нCа1,поавезратхенмосптоьлмонжоигтоь- геодезической окажутся на одной прямой.
гранника (рис.10). Итак, геодезическая Возьмем произвольный узел геодезической
является ломаной, не проходящей через A и начнем последовательно разворачивать
вершины многогранника, в каждом узле грани при обходе геодезической, пока не
попадем в ту же точку A (вторую точку на
Рис. 10. Геодезическая не проходит через вер- развертке обозначим Ac; рис.11). Вся геоде-
шину
Рис. 11. Геодезическая распрямляется на раз-
вертке

зическая превратилась в отрезок AAc. При
этом углы, отмеченные на рисунке, равные
в силу оптического свойства, стали соответ-
ствующими углами при секущей AAc. Зна-
чит, отрезки MN и McNc, изображающие
одно и то же ребро, параллельны. Мы
доказали еще одно свойство, которое можно
считать еще одним (уже третьим!) определе-
нием геодезической на многограннике:

Предложение 2. Замкнутая линия на
поверхности многогранника является гео-
дезической тогда и только тогда, когда

КРАТЧАЙШИЕ ПУТИ И ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ 15

после развертки граней вдоль этой линии Фрэнкса–Бангерта о существовании бес-
конечного числа замкнутых геодезичес-
она становится отрезком, соединяющим ких. Правда, при условии, что существует
хотя бы одна. Ну одну-то, наверное, мы
две точки на параллельных отрезках, всегда найдем? Оказывается, далеко не
всегда! Виной тому теорема, доказанная в
которые изображают одно и то же реб- 1991 году Г.А.Гальпериным, российско-
американским математиком, автором мно-
ро, а данные две точки изображают одну гих статей и задач в «Кванте».

точку на этом ребре. Теорема 3 (Г.А.Гальперин, [7]). Если
Надо уточнить, что отрезки, изображаю-
замкнутая геодезическая делит поверх-
щие одно ребро, должны быть не просто
параллельны, но одинаково ориентирова- ность многогранника на две части, то в

ны, т.е. векторы MN и McNc должны быть каждой из них сумма всех плоских углов
при вершинах делится на 360q.
равны (см. рис.11).
Заметим, что на развертке одна и та же Теорема эта вытекает из формул Гаус-
са–Бонне для кривизны поверхности, из-
грань может появиться несколько раз. Это вестного результата дифференциальной
происходит, если геодезическая несколько геометрии. Доказывать ее мы не будем.
раз ее пересекает. Наконец, мы совершен- Заметим только, что она дает лишь необ-
но не обязаны обходить геодезическую ходимые, но не достаточные условия су-
один раз, мы можем бесконечно обходить ществования геодезических. И тем не ме-
ее по кругу. При этом на развертке мы нее, из нее следует, что только у малой
получим прямую линию (либо луч, если части многогранников геодезические су-
наш путь имеет начало), пересекающую ществуют, у большинства их нет вовсе.
периодически повторяющуюся последова- Например, имеет место вот такой обеску-
тельность граней. раживающий факт:

Прежде чем начать строить геодезичес- Следствие. На поверхности правиль-
кие, отметим одно интересное следствие
предложения 2. Оно настолько важное, ной треугольной пирамиды, боковое реб-
что мы объявим его теоремой.
ро которой не равно стороне основания,
Теорема 2. Если у многогранника есть
одна замкнутая геодезическая, то у него нет ни одной замкнутой геодезической.
есть и бесконечное семейство замкнутых Вот так! Правильная треугольная пира-
геодезических. Все они изоморфны (т.е.
пересекают одни и те же ребра в одина- мида, не являющаяся правильным тетраэд-
ковой последовательности) и имеют оди- ром, не имеет ни одной геодезической! Если
наковую длину. попытаться натянуть на нее резиночку, то
каким бы замысловатым способом это ни
Доказательство. Сделаем развертку, при сделать, она всегда сползет. Это тем более
которой геодезическая перейдет в отрезок удивительно, что у правильного тетраэдра
AAc (см. рис.11). Его концы лежат на таких геодезических бесконечно много,
параллельных отрезках MN и McNc, изоб- причем неизоморфных друг другу, и среди
ражающих одно ребро. Поскольку геоде- них есть сколь угодно длинные. Но об этом
зическая не проходит через вершины мно- позже. Сейчас мы посмотрим, как выгля-
гогранника, отрезок AAc также не прохо- дят геодезические на различных много-
дит через вершины многоугольников на гранниках. Но прежде докажем следствие.
развертке. Значит, можно немного подви-
нуть этот отрезок так, чтобы его концы по- Доказательство следствия. Геодезичес-
прежнему лежали на MN и McNc и чтобы кая делит поверхность пирамиды на две
он целиком лежал внутри развертки. Дли- части, 4 вершины пирамиды должны рас-
на при этом не изменится, и новый отрезок пределиться между ними как 3 : 1 или
также будет изображать геодезическую в 2 : 2. Первый случай невозможен, посколь-
силу предложения 2. ку тогда в одной части будет одна вершина
и сумма плоских улов при ней меньше
Итак, если есть одна геодезическая, то 360q. Остается второй случай: в каждую
их бесконечно много. В этом смысле для
многогранников верен аналог теоремы

16 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

часть попало по две вершины. Так как у Рис. 12. Две геодезические на кубе
проходящий через середины ребер
пирамиды четыре треугольные грани, то (рис.12,б). Оптическое свойство также
сумма всех ее плоских углов равна 360q ˜ 2. выполнено, все углы равны 45q. Эта геоде-
Поэтому сумма углов в каждой части будет зическая (как и предыдущая) – плоская,
равна 360q. В одну из частей попадут две она целиком лежит в одной плоскости.
вершины при основании пирамиды. Сум- Если сдвинуть эту плоскость параллельно,
ма углов в каждой равна 2D 60q, где D – получится изоморфная ей геодезическая
угол при основании боковой грани. Зна- (рис.12,в). Это тоже шестиугольник, но
уже не правильный. Он имеет тот же
чит, 2D 60q 180q, поэтому D 60q, т.е. периметр. Мы договорились отождеств-
боковая грань – правильный треугольник, лять изоморфные геодезические, поэтому
данный случай не дает ничего нового.
а это запрещено.
Построение геодезических на много- А вот третью геодезическую на кубе найти
непросто! Вот она, на рисунке 13. Она
гранниках. Для этого у нас есть два спосо-
ба. Первый способ: согласно предложе- Рис. 13. Третья геодезическая на кубе
нию 2, нужно найти подходящую разверт-
ку, в которой было бы два параллельных (и Рис. 14. Развертка третьей геодезической на
одинаково ориентированных!) отрезка, кубе
изображающих одно ребро. Затем надо шестиугольная и неплоская! Пересекает все
взять по точке на каждом из них – A и Ac.
Они должны изображать одну и ту же точку ребра под углами D и 90q D, где D – угол,
на ребре, т.е., отрезки NA и NcAc должны тангенс которого равен 2. Для удобства мы
быть равны. Теперь проводим отрезок AAc. указали на рисунке длины отрезков, считая
Если он не выходит за пределы развертки, сторону куба равной 1. Две вершины про-
то он изображает геодезическую.

Второй способ: можно обойтись и без
развертки, пользуясь предложением 1.
Прикинуть, какие ребра может пересекать
геодезическая (например, из физических
соображений: представив, что мы натяги-
ваем резиновое кольцо), а затем найти
положение узлов, пользуясь оптическим
свойством.

А есть ли геодезические? В свете теоре-
мы 3 мы теперь не уверены, а есть ли
вообще замкнутые геодезические у разных
многогранников? Скажем, у куба-то они
есть? Да. И у куба, и у правильного
октаэдра, и у других популярных много-
гранников (см. упражнения 9–11). При
этом, как мы знаем, каждая геодезическая
порождает бесконечно много изоморфных.
Для простоты мы будем отождествлять все
изоморфные геодезические и будем считать
только различные, т.е. неизоморфные.

Куб. Одна геодезическая очевидна – это
квадратный пояс (рис.12,а). Через верши-
ны не проходит, оптическое свойство есть
(пересекает все ребра под прямым углом).
Так что это – геодезическая, и развертку
рисовать не обязательно.

Если немного подумать, то найдется и
вторая. Это правильный шестиугольник,

КРАТЧАЙШИЕ ПУТИ И ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ 17

ходят через середины ребер, а четыре делят Оказывается, что это все. У октаэдра
их в отношении 1 : 3. Соответствующая всего две различные геодезические, и ни-
развертка представлена на рисунке 14. Эту какой третьей, как у куба, не будет. Это
геодезическую, конечно, тоже можно шеве- странно, поскольку куб и октаэдр – двой-
лить, получая изоморфные. При этом углы ственные фигуры, т.е. центры граней куба
пересечения с ребрами и периметр останут- являются вершинами правильного октаэд-
ся теми же. ра и наоборот. Куб имеет 8 вершин и 6
граней, а октаэдр – 8 граней и 6 вершин.
Оказывается, что других геодезических Как правило, если какое-то свойство есть
на кубе нет – только эти три. у куба, то оно, в некотором двойственном
виде, должно повториться у октаэдра. Но
Правильный октаэдр. Этот многогран- у куба есть три разные геодезические, а у
ник, напомним, представляет собой две октаэдра почему-то две. И как объяснить
соединенные четырехугольные пирамиды этот феномен, мы не знаем.
с примыкающими основаниями. Его по-
верхность состоит из восьми правильных Упражнения
треугольников, в каждой вершине сходят-
ся по четыре грани. 6. Докажите, что геодезическая на конусе не
может проходить через его вершину.
Первую геодези-
ческую найти про- 7. Не будет ли на кубе еще одной замкнутой
сто – это шести- геодезической, в виде перевязочной ленты (как
угольный пояс, про- на рисунках 5 и 8)? Пусть в основании короб-
ходящий через се- ки – квадрат со стороной 1, а высота равна h.
редины ребер При каких значениях h существует геодезичес-
(рис.15). кая в виде перевязочной ленты?

Сложности начи- 8. В основании параллелепипеда – квадрат
наются уже со вто- со стороной 1, а высота равна h. При каких
Рис. 15. Геодезическая рой геодезической. значениях h существует шестиугольная геоде-
на правильном окта- Есть ли она вооб- зическая, как на рисунке 12,б? При каких h
эдре ще? Да, есть. Мы она будет плоская?
оставим ее построение в виде задачи в
упражнении 12. Можем сделать только 9. Как мы знаем, правильная треугольная
одну подсказку (кто не хочет – пропустите пирамида, не являющаяся правильными тетра-
текст до конца абзаца). Представим себе эдром, не имеет замкнутых геодезических. А
вновь аналогию с резиновым кольцом. Как правильная усеченная пирамида?
надеть его на октаэдр? Не старайтесь заце-
питься за две соседних вершины. Это 10. У правильной треугольной призмы есть
бесполезно, резинка сползет. Почему? По геодезические. Это сечения, параллельные ос-
теореме 3. Сумма плоских углов при каж- нованиям. А могут ли быть другие?
дой вершине равна 60q ˜ 4 240q. Поэтому
геодезическая не может ограничивать ку- 11. Придумайте правильную четырехуголь-
сок поверхности с двумя вершинами, сум- ную пирамиду, которая имеет замкнутую гео-
ма углов 240q 240q 480q не делится на дезическую (и постройте эту геодезическую).
360q. Та же участь постигнет того, кто
попытаемся зацепить резинку за две про- Указание. Сначала с помощью теоремы 3
тивоположные вершины так, чтобы она не найдите угол при вершине пирамиды. Для
содержала внутри других вершин. А вот этого, возможно, придется разобрать несколь-
если она захватит еще одну вершину, то ко случаев.
сумма углов будет 240q ˜ 3 720q, и все
может получиться. Хотя не гарантирован- 12. Найдите вторую геодезическую у пра-
но – достаточных условий теорема 3 не вильного октаэдра.
дает.
Хаос на правильном тетраэдре

Самая удивительная картина геодези-
ческих возникает на поверхности правиль-
ного тетраэдра. Их у него бесконечно
много, притом различных (неизоморф-
ных). Число узлов может быть сколь угод-
но большим, а сама геодезическая – сколь
угодно длинной. Например, на правиль-

18 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

ный тетраэдр с ребром 1 см. можно «на- обе координаты нецелые, – вершину D.
Последовательной разверткой тетраэдра
мотать» геодезическую с 10000 узлов и
длиной более километра. Без самопересе- на плоскость заполняется вся решетка,
причем данной точке x плоскости одно-
чений! И она не сползет! Как такое воз- значно ставится в соответствие точка на
поверхности тетраэдра, независимо от по-
можно? Благодаря свойству правильного рядка, в котором разворачивались грани.
тетраэдра – его разверткой можно без Прообразом точки тетраэдра является

наложения покрыть всю плоскость. множество на развертке {rx n; m , где
Полная развертка правильного тетра-
n; m – произвольный целый вектор}. Две
эдра. Возьмем правильный тетраэдр ABCD точки плоскости изображают одну и ту же
и положим его на плоскость гранью ABC. точку тетраэдра, если они совмещаются
Разобьем эту плоскость на равные пра- либо целочисленным сдвигом, либо цент-
ральной симметрией относительно узла
вильные треугольники, один из которых – решетки.
ABC. Получившаяся треугольная решетка
называется полной разверткой правиль- Геодезические на полной развертке.
ного тетраэдра, вершины треугольников – Если развернуть тетраэдр вдоль геодези-
ческой g (последовательно разворачиваем
узлы решетки. На рисунке 16 изображе- грани на плоскость в том порядке, как их
на полная развертка, закрашены треу- пересекает геодезическая), то g перейдет в
гольники, соответствующие грани ABC, а прямую на плоскости развертки. Прямую
красным отмечены узлы, соответствую- будем обозначать тем же символом g. Она
щие вершине A. Теперь введем координаты не проходит через узлы и параллельна
целому вектору. В самом деле, поскольку
на этой плоскости: A – начало координат, геодезическая замкнута, на прямой g най-
дутся две точки, представляющие одну
Рис. 16. Полная развертка правильного тетра- точку тетраэдра. Они не могут быть сим-
эдра метричны относительно узла, так как g не
содержит узлов, значит, вектор между
B = ÁËÊ 1 ;0ˆ˜¯ , C = ÊÁË 0; 21ˆ˜¯ . Таким образом, этими точками – целый.
2
координатные оси – прямые AB и AC, они Теперь мы можем получить все замкнутые
геодезические на правильном тетраэдре.
не перпендикулярны, а образуют угол в
60q. Каждый узел решетки можно выра- Теорема 4. Любая прямая на разверт-

зить в виде суммы n ˜ AB m ˜ AC с целы- ке, не проходящая через узлы и парал-

ми числами n и m. Тогда координаты узла лельная целому вектору, представляет

– это ÁËÊ n ; m ¯˜ˆ . Этот узел изображает вер- замкнутую геодезическую на поверхнос-
2 2
шину A, если оба числа n и m – четные, т.е. ти тетраэдра. Все прямые, параллельные

если координаты узла – целые. Итак, все одному вектору, представляют изоморф-

узлы решетки делятся на четыре множе- ные геодезические с равными длинами.

ства. Целые узлы изображают вершину A; Доказательство. Пусть v n; m – дан-
узлы, у которых только первая координа-
ный целый вектор, прямая g ему парал-
та целая, – вершину C; у которых только лельна и не проходит через узлы. C воз-
вторая целая, – вершину B; наконец, если можной перестановкой вершин, считаем,
что n t m t 0. Если m 0, то прямая g
параллельна одной из линий решетки, в
этом случае все ясно. Теперь пусть m t 1.
Считаем, что числа n и m взаимно просты,
иначе поделим на их наибольший общий
делитель, при этом направление вектора
n; m сохранится. Если точки x и y геоде-
зической g соответствуют одной и той же

КРАТЧАЙШИЕ ПУТИ И ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ 19

точке тетраэдра, то они либо симметричны вильном тетраэдре их бесконечно много. И
среди них есть сколь угодно длинные. А
относительно узла, либо переводятся одна если чуть потянуть вверх вершину тетра-
эдра, то все они сползут! Ведь у получив-
в другую переносом на целый вектор. Пер- шейся правильной пирамиды геодезиче-
ских нет.
вое невозможно (g не содержит узлов). Во
втором случае вектор переноса равен r ˜ v На полной развертке все просто – есть
при каком-то целом r, поскольку координа- только прямые, параллельные целым век-
торам. А на самом тетраэдре?
ты вектора v взаимно просты. Взяв r 1,
получим, что вектор от точки х к точке у Как выглядит каждая геодезическая на
тетраэдре? Будем называть пару чисел
равен v, и все точки интервала x; y соот- n; m типом геодезической. Каждая гео-
ветствуют разным точкам тетраэдра. Сле- дезическая имеет одну и ту же картину
следов на всех четырех гранях тетраэдра.
довательно, отрезок >x; y@ представляет на Она пересекает каждую грань по n m
поверхности тетраэдра замкнутую несамо- параллельным отрезкам. При этом одно
ребро (в нашем случае AC) она пересекает
пересекающуюся геодезическую, длина ко- в n точках, второе (AB) – в m точках, и
третье (BC) – в n m точках. На рисун-
торой равна длине вектора v. ке 17 мы изобразили геодезические типов
Осталось доказать, что геодезические,
Рис. 17. Геодезические типов (1;0), (3;2) и (1;1)
соответствующие параллельным прямым, и их развертки

изоморфны и имеют одинаковую длину. 1; 0 , 1; 1 и 3; 2 , а также их развертки.
Геодезическая типа n; m имеет по n m
Среди всех прямых, параллельных g и
узлов на каждом из двух противоположных
проходящих через узлы, выберем по од- ребер тетраэдра, по n – на каждом из
противоположных ребер другой пары и по m
ной ближайшей к g в каждой полуплоско- узлов на оставшихся противоположных реб-

сти и назовем их g1, g2. Возьмем пару рах. Значит, всего она имеет 4 n m узлов.
ближайших узлов решетки K, L на g1
(отрезок KL не содержит других узлов) и В случае n 1, m 0 геодезическая уст-
пару ближайших узлов M, N на g2. Так роена просто: она является четырехуголь-
как g1 и g2 совмещаются параллельным ником и пересекает последовательно две
пары противоположных ребер. Оказыва-
сдвигом решетки, то KL NM. Таким ется, что все остальные геодезические име-
ют по 4 особых узла, в которых они
образом, KLMN – параллелограмм, не

содержащий других узлов. Значит, его

вершины представляют 4 различные вер-

шины тетраэдра, иначе середина отрезка

между двумя соответствующими узлами

также была бы узлом. Любую другую пря-

мую a, параллельную g, также заключаем

в полосу a1a2, не содержащую узлов, при
этом прямые a1, a2 содержат образы Kc, Lc,
Mc, Nc четырех вершин тетраэдра. Подхо-
дящий целый сдвиг либо симметрия отно-

сительно узла решетки переводит полосу

a1a2 в g1g2, а узел Kc в K (следовательно,
полная развертка переходит в себя). По-

этому можно считать, что a лежит в той же
гпеоолдоесзеичgе1сgк2а,я а значит, соответствующая
изоморфна геодезической g.

Итак, мы приходим к важнейшему вы-
воду: каждой замкнутой геодезической

однозначно ставится в соответствие
пара взаимно простых чисел n; m либо
пара 1; 0 .

Вот так! Сколько пар чисел – столько и
геодезических. Именно поэтому на пра-

20 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

«зацепляются» за вершины тетраэдра. Узел каждая из шести точек пересечения пред-
L геодезической называется узлом зацеп- ставляет узел на геодезической, ближай-
ления, если он и два соседних с ним узла ший к вершине K на соответствующем
лежат на трех ребрах, выходящих из од- ребре тетраэдра. Следовательно, геодези-
ной вершины D тетраэдра, и являются ческая зацепляется за K. Более того, пря-
ближайшими к D узлами на этих ребрах. мые g и gc идут параллельно по треуголь-
При этом D называется вершиной зацепле- никам решетки (граням), пока не пересе-
ния для узла L. Так, геодезическая на кут 6 отрезков решетки, выходящих из K.
рисунке 18 зацепляется за каждую верши-
Оказывается, вот таким способом можно
Рис. 18. Геодезическая типа (2;1) зацепляется за получить любую из бесконечного числа
вершину D узлом L геодезических на тетраэдре. Мы «натяги-
ваем» геодезическую на трехгранный угол
ну тетраэдра; для вершин B и C узлы при вершине D, затем наматываем ее на
зацепления это K3 и K1 соответственно. поверхность тетраэдра, делая 2n 2m 1
перегибов через ребра, и зацепляем ее за
Теорема 5. Любая геодезическая типа вершину C. Любая геодезическая получа-
n; m , где n t m t 1, имеет в точности 4 ется таким образом, при этом каждая вер-
узла зацепления. Они составляют две шина тетраэдра может быть выбрана в
пары противоположных узлов геодезичес- качестве начальной.
кой, каждая пара разбивает ее на две
части с одинаковым числом узлов. Каж- То же, но более строго: геодезическая
дая вершина тетраэдра является верши-
ной зацепления для одного из узлов. зацепляется за вершину D звеньями a1 и b1,
затем звенья a2, b2 идут по одной грани,
Пусть a1 и b1 – звенья геодезической, встречают ребро этой грани в соседних
выходящие из узла зацепления, a2 и b2 –
следующие за ними и т.д. Тогда звенья ai узлах, далее a3, b3 идут по следующей
и bi лежат на одной грани и между ними грани и т.д., пока, наконец, геодезическая
нет других точек геодезической.
не зацепится за вершину C сторонами
Доказательство. Представим геодези-
ческую g как прямую на развертке и a2n 2m, b2n 2m. Геодезическая ограничивает
покажем, что g зацепляется за вершину K полосу на поверхности тетраэдра парами
из доказательства теоремы 4, с другими
вершинами рассуждение такое же. Прове- сторон ai, bi.
дем прямую gc, симметричную g относи-
тельно точки K. Ясно, что полоса между g «Понять вещи, которые
и gc не содержит других узлов, кроме тех,
которые лежат на g1. (Напомним, что g1 – не в силах вообразить»
это ближайшая к g параллельная прямая
на развертке, которая содержит узел.)По- Итак, на правильном тетраэдре есть бес-
этому прямые g и gc пересекают все 6 конечно много типов геодезических, каж-
отрезков решетки, выходящих из K, и дый тип соответствует паре взаимно про-
стых целых чисел. Оказывается, это еще
не все. Каждую геодезическую можно «раз-
множить» так, чтобы она осталась несамо-
пересекающейся.

Пучок геодезических. Геодезическая на
правильном тетраэдре определяется пря-
мой линией на развертке, параллельной
произвольному целому вектору. А давайте
проведем не одну, а несколько таких па-
раллельных прямых. Все они будут геоде-
зическими. Но удивительно другое: они
все не будут пересекаться друг с другом.
Доказать это совсем просто. Если две
такие геодезические g1 и g2 пересеклись в
какой-то точке P, то рассмотрим точки P1

КРАТЧАЙШИЕ ПУТИ И ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ 21

и P2, изображающие ее на развертке. Ясно, Рис. 20. Равногранный тетраэдр
что P1 z P2, поскольку прямые g1 и g2
параллельны. Точки P1 и P2 на развертке и признаков равногранного тетраэдра.
изображают одну точку на поверхности Часть из них мы собрали в упражнении 14.
тетраэдра, поэтому P1 должна переводить- Во всех наших рассуждениях о геодезичес-
ся в P2 либо целым сдвигом, либо симмет- ких правильный тетраэдр можно заменить
рией относительно узла. При этом g1 пе- на равногранный – ничего не изменится.
рейдет в какую-то прямую g1c. Так как и Только решетка теперь будет состоять не
симметрия и перенос сохраняют парал- из правильных треугольников, а из одина-
лельность, прямая g1c параллельна g2, а ковых треугольников, равных грани.
значит, совпадает с ней, так как пересека-
ется с ней в точке P2. Получается, что Получается, что равногранный тетраэдр
геодезические g1 и g2 совпадают. тоже имеет бесконечно много геодезичес-
ких, занумерованных парами взаимно про-
Мало того, что на тетраэдр с ребром 1 см стых чисел n; m . Строятся они так же –
можно намотать без самопересечений гео- на бесконечной развертке.
дезическую длиной более 1 км, так этих
геодезических можно намотать сколь угод- Есть ли другие поверхности с таким
но много (одновременно!), и все они не разнообразием геодезических? У равно-
будут пересекать друг друга. Кстати, со- гранного тетраэдра есть сколь угодно длин-
гласно теореме 4, все они будут изоморф- ные геодезические. А у других тетраэдров?
ны и будут иметь одинаковую длину. Оказывается, нет. Среди всех тетраэдров
таким свойством обладает только равно-
Доказали мы это легко – что может быть гранный. У любого другого тетраэдра мо-
проще пучка параллельных прямых на жет быть лишь конечное число неизоморф-
плоскости! Но представить это на поверх- ных геодезических – причем их может и не
ности тетраэдра уже не представляется быть вовсе, как у правильной пирамиды.
возможным! Академик Л.Д.Ландау гово- Может ли быть бесконечно много неизо-
рил, что «наука позволяет человеку по- морфных геодезических у другого много-
нять вещи, которые он уже не в силах гранника, не тетраэдра? Как мы видели, ни
вообразить». куб, ни правильный октаэдр на эту роль не
годятся. В 2008 году было доказано, что не
На рисунке 19 мы представили пучок из годится никакой другой многогранник [9].
трех геодезических типа 1; 1 . Среди всех многогранников только равно-
гранный тетраэдр имеет сколь угодно длин-
Рис. 19. Пучок из трех геодезических типа (1;1) ные геодезические. В той же статье была
выдвинута гипотеза о том, что равногран-
Только ли на правильном тетраэдре ный тетраэдр уникален не только среди
есть бесконечно много геодезических? многогранников, но и среди всех выпуклых
Нет, не только. Таким свойством обладает поверхностей. Десять лет гипотеза остава-
любой равногранный тетраэдр. Тетраэдр лась открытой, лишь совсем недавно ее
называется равногранным, если все его доказали А.В.Акопян и А.М.Петрунин [1]:
грани равны. Получить такой тетраэдр
просто: надо взять произвольный остро- Если на выпуклой поверхности есть
угольный треугольник и сложить его вдоль
средних линий (рис.20). Есть много свойств сколь угодно длинные замкнутые геодези-

ческие, то это поверхность равногранно-
го тетраэдра.

22 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

Таким образом, равногранный тетраэдр Литература
является совершенно уникальной фигу-
рой! Среди всех выпуклых фигур только у 1. A.Akopyan, A.Petrunin. Long geodesics on
него есть бесконечное разнообразие замк- convex surfaces. – Mathematical Intelligencer, 40
нутых геодезических линий. (2018), № 3, р.26–31.

Упражнения 2. Л.А.Люстерник, Л.Г.Шнирельман. Тополо-
гические методы в вариационных задачах и их
13. Докажите, что равногранный тетраэдр можно приложения к дифференциальной геометрии по-
сложить только из остроугольного треугольника. верхностей. – Успехи математических наук, 2
(1947), № 1, с.166–217.
14. Докажите, что следующие свойства тетра-
эдра равносильны тому, что он – равногранный: 3. J.Francs. Geodesics on S2 and periodic points
of annulus homeomorphisms. – Inventiones
1) Противоположные ребра равны в каждой Mathematicae, 108 (1992), № 2, р.403–418.
паре.
4. V.Bangert. On the existence of closed geodesics
2) Два плоских угла, противоположные одному on two-spheres. – International Journal of
ребру, равны (для каждого ребра). Mathematics, 4 (1993), № 1, р.1–10.

3) Сумма плоских углов при каждой вершине 5. W.Klingenberg. Lectures on Closed
равна 180q. Geodesics. – Springer, New York, 1978.

4) Тетраэдр имеет ось симметрии. 6. W.Klingenberg. Riemannian geometry. – de
5) Вписанный и описанный шары имеют общий Gruyter Studies in Mathematics, Berlin: Walter de
центр. Gruyter & Co. 1982.
6) Все грани имеют равные площади.
15. Сколько существует типов геодезических с 7. Г.А.Гальперин. О теореме Люстерника–
40 узлами? Шнирельмана для многогранников. – Успехи
16. Сколько узлов имеет геодезическая типа математических наук, 46 (1991), № 6, с.207–208.
(314; 15) и какова ее длина?
17. Нарисуйте картину следов на каждой грани 8. В.Ю.Протасов. Замкнутые геодезические
для геодезической типа (22; 17). на поверхности симплекса. – Математический
18. Какую минимальную длину может иметь сборник, 198 (2007), № 2, с.103–120.
геодезическая с 1000 узлами?
9. В.Ю.Протасов. О числе замкнутых геодези-
ческих на многограннике. – Успехи математиче-
ских наук, 63:5(2008), с.197–198.

10. D.B.Fuchs, E.Fuchs. Closed geodesics on
regular polyhedral. – Moscow Mathematical Journal,
7 (2007), № 2, р.265–279.

Вниманию наших читателей

Вы заметили, наверное, что в этом номере Лингвистические задачи в некотором смыс-
журнала на второй странице обложки по- ле близки к математическим: их можно ре-
явилась новая рубрика – «Лингвистические шать, опираясь на данные условия; весь
задачи». Эти задачи мы бе-
рем из замечательной книги материал, необходимый для
(Задачи лингвистических решения, содержится в усло-
олимпиад. 1965 – 1975. Изд. вии задачи или может быть
2-е, испр./Ред.-сост. В.И.Бели- восполнен решающим на ос-
ков, Е.В.Муравенко, М.Е.Алек- нове его интуитивных пред-
сеев. – М.: МЦНМО, 2020), в ставлений об устройстве род-
которой собраны задачи ного языка. Решать задачи –
Олимпиад по лингвистике и интересное занятие, но чита-
математике. Такие олимпиа- тель не только получает удо-
ды проводятся в Москве с вольствие, но и узнает много
1965 года. Один из тех, бла- нового, самостоятельно «от-
годаря кому возник сам жанр крывая» структурные элемен-
лингвистической задачи, – ты языка и закономерности
академик А.А. Зализняк, ве- его устройства. Кроме того, в
ликий российский лингвист. задачах в качестве материала
А олимпиады возникли по используется множество раз-
инициативе другого выдаю- ных языков мира, о которых,
щегося лингвиста, А.Н. Жу- возможно, читатель раньше и
ринского, и с тех пор продол- не слышал, а между тем на
жаются многие годы. этих языках говорят миллио-
ны людей.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи

по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в
нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки
школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки
задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются
впервые.

Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электрон-
ным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу:
119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант».

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим
решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2636, М2637 предлагались на XV Южном математическом турнире.

Задачи М2634–М2637, Ф2641–Ф2644 радиусов окружностей, вписанных в треу-
гольники, не превосходит M.
M2634. «Параболической длиной» отрезка
назовем длину проек- О.Титов
ции этого отрезка на
прямую, перпендику- M2636*. Натуральное число p назовем
лярную оси симмет- абсолютно простым, если для любого
рии параболы. В па-
раболе провели две натурального k такого, что 2 d k d p,
хорды AB и CD, пе-
ресекающиеся в точке выполнено неравенство ®¯­ p ¿¾½ t 0,01 (фи-
N (рис.1). Докажите k
теорему «о произве-
дении длин отрезков гурные скобки обозначают дробную часть
секущих»: произведе-
ние параболических Рис. 1 числа). Конечно ли множество абсолютно
длин отрезков AN и простых чисел?
BN равно произведению параболических
длин отрезков CN и DN. М.Дидин

М.Панов M2637*. Дана таблица с тремя строками и
100 столбцами. Изначально в левой клетке
M2635. В треугольнике ABC известны каждой строки стоит 400 ˜ 3100 фишек. За
длины сторон: BC a, CA b, AB c один ход Петя отмечает некоторые фишки
(рис.2). Из вершины C проводят несколь- в таблице (хотя бы одну), а затем Вася
ко отрезков, которые разрезают треуголь- выбирает одну из трех строк. После этого
ник ABC на несколько треугольников. все отмеченные фишки в выбранной стро-
Найдите наименьшее число M, для кото- ке сдвигаются на клетку вправо, а все
рого при каждом таком разрезании сумма отмеченные фишки в других строках уда-
ляются из таблицы. Петя выигрывает,
Рис. 2 если одна из фишек выходит за правый
край таблицы; Вася выигрывает, если все
фишки удалены. Кто выигрывает при пра-
вильной игре?

П.Святокум, А.Хузиева, Д.Шабанов

Ф2641. Прямой участок магистрального
газопровода (МГ) высокого давления про-
ходит с востока на запад мимо двух посел-
ков: Анискино и Борискино. Поселки рас-
положены севернее газопровода. Кратчай-

24 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

шие расстояния от этих поселков до газо- Рис. 4
провода составляют 14 км и 16 км соот-
ветственно. Расстояние между точками на нии до некоторой температуры расширяет-
МГ, которым соответствуют эти мини- ся в вертикальном направлении на 15,4%, а
мальные расстояния, равно 10,39 км. Для в горизонтальном направлении на 2,2%. На
газификации поселков на магистральном рисунке 4,а направление наилучшего рас-
газопроводе требуется построить одну рас- ширения материала показано вертикаль-
пределительную станцию, которая будет ными линиями. Из этой пластинки выреза-
подавать газ с уменьшенным давлением в ют прямоугольную пластину таким обра-
поселки. Определите наименьшую сум- зом, что направление наилучшего расшире-
марную длину газопровода низкого давле- ния составляет угол 45q с основанием пла-
ния (ГНД), необходимую для поставки стины (рис.4,б), и нагревают ее до той же
газа в поселки. Укажите также место на температуры. На сколько процентов увели-
МГ, в котором следует построить эту рас- чатся при нагреве длины боковых сторон
пределительную станцию. прямоугольной пластины? На сколько про-
центов увеличится площадь пластины?
Г.Азпром
Указание. Анизотропными называют мате-
Ф2642. Однородный тонкий круглый об-
риалы, у которых физические свойства в раз-
руч радиусом R и массой m набросили на
ных направлениях разные.
вбитый горизон- Е.Соколов

тально гвоздь Ф2644. Пакет для доставки клиентам за-
казанных горячих продуктов сделан из
(рис.3). Найдите бумаги с нанесенным на нее тонким слоем
алюминия. От этого пакета отрезали лен-
период малых ко- точку шириной h | 2,7 мм и длиной
L | 2,7 дм. С помощью мультиметра про-
лебаний обруча вели два измерения. Слева на фотографии

около положения

равновесия, если

предполагается, что

Рис. 3 сечение гвоздя –
круг радиусом r и

обруч обкатывает гвоздь без проскальзыва-

ния. Ускорение силы тяжести равно g.

А.Буров

Ф2643. Квадратная пластинка, сделанная
из анизотропного материала, при нагрева-

Рис. 5

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 25

(рис.5) выводы щупов мультиметра зако- сетки назовем a,b,c -треугольником, если
рочены. На фото в середине и справа между
выводами щупов закреплена ленточка. По на одной его стороне расположено ровно a
показаниям прибора определите пример- узлов (не считая вершин), на другой
ное число атомов алюминия на этой полос- стороне – ровно b узлов, а на третьей
ке. Удельное сопротивление алюминия стороне – ровно c узлов.
O 2,7 ˜10 8 Ом ˜ м, плотность U 2,7 г см3,
молярная масса 0 2,7 ˜ 10 2 кг моль. а) Существует ли 9,10,11 -треугольник?

К.Урьер б) Найдите все тройки целых неотрица-
тельных чисел a d b d c, для которых
Решения задач М2618–М2620,
M2622–2625, Ф2625–Ф2632 существует a,b,c -треугольник.

Решения задач М2617 и М2621 будут в) Для каждой такой тройки найдите

опубликованы позже. минимальную возможную площадь a,b,c -

M2618. Для данного числа D пусть fD – треугольника.
1
функция,определеннаякакfD x «¬ªDx 2 º , В решении будем пользоваться следую-
¼» щим известным фактом (его несложно
где квадратными скобками обозначена доказать, см., например, статью А. Полян-
ского «Одной рукой узелок не развяжешь»
целая часть числа. Пусть D ! 1 и E 1 D. в «Кванте» №2 за 2013 г.): если на отрез-
ке с концами в узлах X, Y находится ровно
Докажите, что для любого натурального a узлов, не считая X и Y, то он поделен
узлами на A a 1 равных частей; при
n выполнено соотношение этом НОД координат вектора XY равен A.
Дадим сразу ответы на вопросы б) и в).
fE fD n n. Положим A a 1, B b 1, C c 1,

Так как fD (n) = ÍÎÈDn + 1˘ и f1 x ªx 1 ¼»º, D НОД A, B,C , Ac A D, Bc B D,
2 ˚˙ «¬ D 2 Cc C D. Мы покажем, что a,b,c -треу-
D
то для доказательства равенства гольник существует тогда и только тогда,
когда Ac, Bc и Cc попарно взаимно просты,
fE fD n n достаточно установить, что
и при этом минимальная площадь a,b,c -
«¬ªDn 1º 1
2 ¼» треугольника равна D2 ˜ Ac ˜ Bc ˜ Cc 2.
n d n 1,
D2 Пусть XYZ – a,b,c -треугольник, на сто-

или, эквивалентно, ронах YZ, ZX, XY которого расположено
соответственно a, b, c узлов. Пусть
D § n 1 · d ¬ª«Dn 1º D § n 1 ¹·¸.
©¨ 2 ¹¸ 2 »¼ ©¨ 2 Dc НОД A, B . Тогда координаты векто-

Последнее следует из неравенств ров YZ, ZX делятся на Dc. Значит, и

D § n 1 · 1 d Dn 1 D § n 1· координаты вектора YX YZ ZX делят-
©¨ 2 ¹¸ 2 ¨© 2 ¸¹
ся на Dc, откуда C делится на Dc. Тем
(они верны в силу D ! 1).
Задача решена. Нетрудно заметить, что самым, Dc НОД A,B,C D и Ac A D,

при 0 D 1 условие задачи нарушается. Bc B D взаимно просты. Аналогично
В этом случае несложно показать, что уже доказываем, что Ac, Bc и Cc попарно взаим-
но просты.
fD не является инъективной. Далее считаем, что Ac, Bc и Cc попарно
И.Дорофеев взаимно просты. Общий случай сводится к
случаю D 1 увеличением шага сетки в D
M2619. Пусть даны целые неотрицатель- раз (при увеличении линейных размеров в
D раз площадь увеличится в D2 раз).
ные числа a d b d c. Треугольник на клет- Пусть далее D 1, т.е. A, B, C – попарно
чатой плоскости с вершинами в узлах взаимно простые.
Сторона YZ поделена узлами Y U0,
U1,…,UA Z на A равных частей, поэтому

26 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

треугольник XYZ разбивается на A равно- дый спутник доступен не более чем для
великих треугольников ZU0U1, ZU1U2,… одной точки из пары A, B. Поэтому потре-
…, ZUA 1UA с вершинами в узлах. Как буется (помимо рассмотренных 1-го и 2-го
известно, удвоенная площадь треугольни- спутников) еще не менее 4 спутников.
ка с вершинами в узлах – целое число, Пример. Спутники – вершины правиль-
ной треугольной призмы, а планета –
поэтому 2SXYZ делится на A. Аналогично маленький шарик с центром в центре при-
показываем, что 2SXYZ делится на B и на змы (т.е. в точке O, проектирующейся в
C. Так как A, B, C попарно взаимно центр основания и лежащей на срединном
просты, отсюда следует, что 2SXYZ делит- сечении, параллельном основанию). Тогда
ся на ABC, в частности, 2SXYZ t ABC. каждая опорная плоскость шарика близка
Для завершения решения остается приве- к плоскости, проходящей через центр при-
змы. Нетрудно видеть, что (строго) в
сти пример, в котором 2SXYZ ABC. Пусть каждом полупространстве относительно
такой плоскости расположено не менее
Z имеет координаты 0;0 , а Y – A;0 . двух вершин призмы. Действительно, если
плоскость D отделяет одну вершину A, то
Тогда, очевидно, на стороне YZ ровно она пересекает все три ребра, выходящих
из A, т.е. в сечении призмы получается
a A 1 узлов. Подберем такое целое t, треугольник, плоскость которого «доволь-
что но далеко» от O.

tB { A mod C И.Богданов, С.Волчёнков

(такое t найдется в силу НОД B,C 1), и M2622. Точки E, F, G, H расположены на
сторонах DA, AB, BC, CD ромба ABCD
пусть вершина X имеет координаты соответственно так, что отрезки EF и
GH касаются вписанной в ромб окружно-
Bt; BC . Отметим, что НОД t,C 1, ина- сти (рис.1). Докажите, что FG HE.
че НОД A,C ! 1. Тогда НОД Bt,BC B,
Рис. 1
значит, на стороне ZX находится ровно У треугольников BGF и DEH две пары
b B 1узлов. Далее,tB A делится на C и, параллельных сторон (рис.2). А значит,
для доказательства параллельности
кроме того, НОД tB A,B НОД A,B FG HE достаточно доказать подобие этих
1, поэтому НОД tB A,BC C, значит треугольников. Так как ‘B ‘D, остается

(поскольку tB A; BC – координаты век- доказать, что BG BF DE DH, или

тора YX), на стороне XY находится ровно BG ˜ DH BF ˜ DE. (*)

c C 1 узлов. Пусть ‘ABD ‘ADB x, ‘BFE 2y,
‘DEF 2z; из четырехугольника BFED
П.Кожевников имеем x y z 180q. Обозначим через O
центр окружности. Так как FO и EO –
M2620. Какое наименьшее количество биссектриcы углов BFE и DEF, то
спутников надо запустить над шарооб-
разной планетой, чтобы в некоторый
момент с каждой точки поверхности пла-
неты были доступны сигналы хотя бы
двух спутников? Спутник считается
доступным из точки A поверхности пла-
неты, если он находится относительно
касательной плоскости, проведенной в
точке A, строго по другую сторону, не-
жели сама планета.

Ответ: 6.
Оценка. Докажем, что пяти спутников не
хватит. Для каждого спутника есть боль-
шая недоступная окружность (т.е. ок-
ружность, для точек которой он недосту-
пен). Недоступные окружности 1-го и 2-го
спутника имеют пару диаметрально проти-
воположных общих точек A и B. Но каж-

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 27

Рис. 2 иметь больше хотя бы на три поражения.
Поэтому k 5 d 2k 1, т.е. n t 12.
‘BFO ‘OFE y и ‘DEO ‘OEF z. Аналогично получаем, что при нечетном
числе команд n t 11.
В треугольнике BFO имеем ‘BOF Предположим, что случай n 11 возмо-
жен. Рассуждая так же, как раньше, полу-
180q x y z. Отсюда следует подобие чаем, что при двухочковой системе коман-
ды набирают от 15 до 5 очков, причем у
BFO ∼ DOE, поэтому FB BO OD DE первой должно быть 5 побед и 5 ничьих, а
у второй – 7 побед и 3 поражения, так что
или BF ˜ DE BO ˜ OD. Аналогично дока- при переходе к трехочковой они меняются
местами. Далее, у последней команды дол-
зывается, что BG ˜ DH BO ˜ OD, тем са- жно быть не менее двух побед и, поскольку
при пяти очках побед не больше двух, то
мым, требуемое равенство (*) доказано и у нее две победы и одна ничья. Тогда она
задача решена. может только поменяться местами с пред-
Другое решение можно получить, заме- последней, имеющей 6 ничьих и 5 пораже-
тив, что параллельность FG HE эквива- ний. Аналогично получаем, что третья
лентна гомотетичности треугольников BGF команда, имеющая либо 3 победы и 7
и DEH, или пересечению прямых BD, EG, ничьих, либо 4 победы, 5 ничьих и 1
FH в одной точке. Последнее следует из поражение, может только поменяться мес-
теоремы Брианшона для описанного шес- тами с четвертой, у которой либо 5 побед,
тиугольника BFEDHG. 2 ничьих и 1 поражение, либо 6 побед и 4
поражения. Из остальных пяти команд
В.Айзенштадт какие-то три должны меняться по циклу.
Это могут быть пятая-шестая-седьмая или
M2623. В однокруговом футбольном тур- седьмая-восьмая-девятая команды. Оба
нире все команды набрали разное число случая рассматриваются аналогично, по-
очков. Если бы за победу давали не три, этому ограничимся разбором первого.
а два очка, то у всех команд тоже оказа- Так как седьмая команда при переходе на
лось бы разное число очков, но занятое трехочковую систему должна обогнать
место у каждой команды было бы другим. пятую, от которой отстает на два очка, у
При каком наименьшем числе команд это нее должно быть больше хотя бы на три
возможно? победы и на пять поражений. Таким обра-
зом, у пятой команды 1 победа и 9 ничьих,
Ответ: при 12. а у седьмой 4 победы, 5 поражений и 1
Предположим сначала, что число команд ничья. Тогда для шестой команды возмож-
четно: n 2k. Заметим, что при двух очках ны два варианта: 1 победа, 8 ничьих и 1
за победу более высокое место занимает поражение или 4 победы, 2 ничьих и 4
команда, у которой больше разность меж- поражения (в остальных случаях она при
ду числом побед и числом поражений. трех очках за победу наберет столько же
Поскольку эти разности у всех команд очков, сколько какая-то из соседних ко-
различны, то у команды, занимающей пер- манд). Наконец, для восьмой и девятой
вое место, разность (а значит, и число команд также получаем две возможности:
побед) не может быть меньше k. Команда, 0-8-2 и 2-3-5 или 1-6-3 и 3-1-6 побед-
обгоняющая ее при переходе на трехочко- ничьих-поражений соответственно.
вую систему, должна иметь больше хотя Посмотрим теперь на распределение ничь-
бы на две победы (каждая команда полу- их. Поскольку у второй команды ничьих
чает дополнительно столько очков, сколь- нет, а у пятой их 9, все команды, кроме
ко у нее побед) и, следовательно, должна второй, играют с пятой вничью, откуда, в
частности, следует, что у третьей и четвер-

28 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

Таблица Ф2625.1 У Васи есть несколько одинако-
вых шариков с резиновой оболочкой, за-
той команд было 7 и 2 ничьи соответствен- полненных гелием. Если такой шарик
но. Так как у седьмой и одиннадцатой отпустить в спокойном воздухе, то он
команд ничьих больше нет, у остальных не поднимается вверх с установившейся
может остаться больше 6 ничьих, т.е. у
шестой команды 1, а у восьмой 5. Но тогда скоростью 3 м с. Вася взял с собой не-
у девятой команды ничьих нет, а у третьей
6 – противоречие. сколько шариков и на электричке поехал
Пример турнира 12 команд приведен в на дачу. Дорога ведет на север, и элект-
таблице (О3, О2 – число очков по трех- и
двухочковой системе). ричка едет со скоростью 12 м с. Погода

А.Заславский ветреная, и над землей дует восточный

M2624*. Даны n t 2 натуральных чисел ветер со скоростью 4 м с. Один из шари-
a1 a2 … an таких, что an 2a1 .
Пусть количество различных простых ков Вася выпустил «на свободу» из окна
электрички. На каком примерно рассто-
делителей числа a1a2 …an равно m. До- янии от Васи окажется этот шарик
через 2 минуты?
кажите, что a1a2 … an m 1 t n! m.
С момента когда шарик окажется на свобо-
Пусть p – некоторый простой делитель де, он за пару секунд поднимется над
электричкой и далее будет подниматься
произведения a1a2 …an . Положим вверх со скоростью 3 м с относительно
ai pki ˜ bi, где bi не делится на p (i 1, 2,... окружающего воздуха. Ветер будет нести
…, n). Тогда, поскольку a1 a2 … с собой шарик в горизонтальном направле-
… an 2a1, получаем, что все нии с востока на запад, а Вася вместе с
числа bi – попарно различные. Действи- электричкой будет по горизонтали переме-
тельно, если bi bj для некоторых i ! j, то щаться на север. По теореме Пифагора
относительная скорость движения шарика и
aj pkj ˜ bi pkj ki t 2.
ai pki ˜ bi Васиравнаповеличине 122 42 32 м с

Из того, что все bi различны, следует, что 13 м с. Пренебрегая начальными секун-
b1b2 …bn t n!.
Перемножая полученные неравенства для дами, получим примерное расстояние меж-
ду Васей и шариком через 2 минуты:
всех простых делителей произведения
l 13 м с ˜ 120 c 1560 м.
a1a2 … an, получаем нужный результат.
Д.Бурек Ф2626. Кеша и Тучка, находясь в своих
домиках, получили одновременно СМС-
M2625. Решение этой задачи приведено в сообщения от Лисички с информацией,
статье Ю.Маркелова и А.Сайранова «По- что яблочный пирог уже готов, и тут же
лимино». бросились бежать к дому Лисички. Кеша
половину времени бежал со скоростью
5 м с, а оставшуюся половину времени –
со скоростью 4 м с (устал). Тучка пер-
вую половину пути пробежал со скорос-
тью 4 м с , а вторую половину пути – со
скоростью 5 м с. В результате оба при-
бежали к Лисичке одновременно. Каково
расстояние от дома Кеши до дома Лисич-
ки в шагах Цыпы, если расстояние от
дома Тучки до дома Лисички равно 800
шагов Цыпы?

1 Автор решений задач Ф2625–2628 – С.Вар-
ламов.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 29

Введем обозначения: l – расстояние от дома рость его движения станет в 2 раза
Кеши до дома Лисички и s – расстояние от меньше? Мощность W излучения нереля-
дома Тучки до дома Лисички. Из условия тивистской электрически заряженной
задачи следуют такие соотношения: частицы, движущейся с ускорением a,
пропорциональна квадрату произведения
5 м с ˜ t 4 м с ˜ t l, s 2 s 2 t. ускорения на заряд q частицы:
2 2 4м с 5м с
W qa 2 ˜ A, где A – постоянная величи-
Отсюда получаем
на, зависящая от выбора системы еди-
l 81, или l 81 s 810 шагов Цыпы. ниц. Получите численный ответ для слу-
s 80 80 чая, когда B 1 Тл, v c 100. Как изме-
нится ответ для времени, если в том же
Ф2627. Вася собрал электрическую схе- поле и с той же начальной скоростью
му, которая изменяет мощность W элек- будет двигаться протон?
трического нагревателя по линейному
закону от времени t, прошедшего после Излучение возникает за счет уменьшения
включения нагревателя: W W0 ˜ t W, где кинетической энергии частицы. Посколь-
W0 100 Вт, W 10 с. Этот нагреватель ку по условию задачи частица (электрон
помещен на дно банки с водой. Начальная или протон) движется со скоростью, много
температура воды 20 qC. Пренебрегая меньшей скорости света, то она нереляти-
теплоемкостью банки и потерями тепла вистская. Следовательно, выполняется
в окружающую среду, найдите, сколько соотношение
воды было в банке, если она вскипела
через 5 минут. Удельная теплоемкость d § m v2 · A qa 2
dt ¨¨© 2 ¸¸¹
воды 4,2 Дж 㠘 qС . Давление воздуха ¸¸¹·2,
A § q qvB ·2 A § q2vB
нормальное. ¨© m ¹¸ ¨¨© m

Если мощность W изменяется линейно со или
временем, то количество теплоты, выделив-
шееся в воде, пропорционально времени и dv2 2 A q4B2 ˜ dt.
средней мощности, равной полусумме на- v2 m3
чального и конечного значений мощности:
Отсюда следует
Q t 0 W0t W W0t2 .
2 2W ln vкон A q4 B2 ˜ t,
vнач m3
Это количество теплоты тратится на на-
грев воды до температуры кипения, кото- или
рая при нормальном давлении воздуха
равна 100 qC: t ln 2 ˜ m3 .
Aq4 B2
Q cm'T.
Для скоростей, малых по сравнению со
Отсюда находим
скоростью света, полная излучаемая мощ-

W0t2 ность определяется формулой Лармора,

m 2Wc Tк T0 | 1, 3 кг. которая в системе единиц «СИ» имеет вид

Итак, в банке было приблизительно 1,3 W 2 q2a2 .
литра воды. 3 4SH0c3

Следовательно, величина постоянной А в

Ф2628. В однородном магнитном поле с этой системе единиц равна
индукцией B движется электрон, и его
скорость всегда перпендикулярна полю. A 2 k , где k 9 ˜ 109 Н ˜ м2 Кл2.
В момент начала наблюдений скорость 3 c3
электрона равна v ≪ c (здесь c – это
скорость света). Через какое время ско- Тогда получается, что для электрона, дви-

жущегося перпендикулярно магнитному

полю с индукцией 1 Тл, время уменьше-

30 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

ния скорости в два раза равно примерно Интегрируем и находим угол наклона пла-
3,6 секунды. стины в точке x:
А для протона, движущегося в том же
магнитном поле, время уменьшения скоро- mg x L x dx³M mg § Lx x2 ¸¸·¹.
сти в два раза увеличится в огромное число k0 ¨¨© 2
раз, а именно в 6,2 ˜ 109 раз, и составит k0 0
больше 704 лет!
По этому углу находим изменение верти-
Ф2629. Легкая упругая пластина (кон-
соль) длиной L, один из концов которой кальной координаты для элемента пласти-
закреплен в стене, под действием груза
массой m прогибается на величину h ≪ L ны. При малом угле наклона элемента
(рис.1). Без груза на свободном конце
dy dx ˜ M.
Рис. 1
пластина горизонтальна. Какую работу Интегрируя, получаем уравнение прогиба
нужно совершить, чтобы такую же пла- пластины:
стину свернуть в кольцо?
Вводим систему координат в соответствии mg³y x x§ Lx x2 · dx mg § L x2 x3 ·
с рисунком 2. Поскольку прогиб невелик, k0 0 ¨¨© 2 ¹¸¸ k0 ¨©¨ 2 6 ¸¸¹.

Для конца пластины находим зависимость

величины «стрелы провиса» h от парамет-

ров системы:

h mg L3.
Отсюда выражаем в3еkл0ичину удельной уп-

ругости пластины: mgL3 .
3h
k0

При сворачивании пластины в кольцо угол

деформации равен 2S. Теперь, используя

известную формулу, легко определить ве-

личину необходимой работы:

A k M2 k0 M2 2 S2mg L2 .
2 L2 3h

А.Власов

Рис. 2 Ф2630. Космонавты на МКС нашли в
очередном «грузовике» тонкостенную ци-
т.е. h ≪ L, то cos M | 1. Элемент пластины, линдрическую круглую трубу массой
находящийся в точке x, изгибается момен- m 1 кг, длиной L 1 м и внутренним
сечением S 10 см2. Оказалось, что внут-
том силы M mg L x . Для этого эле- ренняя поверхность трубы замечательно
смачивается водой, а внешняя совсем не
мента (при небольшом изгибе dl | dx мож- смачивается. Из шприца внутрь трубы
но записать закон деформации (аналогич- выдавили воду. Делали это очень акку-
ратно, так что ни одного пузырька возду-
ный закону Гука) в виде ха в трубе не оказалось. Труба с водой
внутри долгое время в неподвижности
M k0 ˜ dM. «висела» посреди космической лаборато-
dx рии, пока ее случайно не толкнули в на-
правлении оси симметрии. Толчок был
Здесь k0 – коэффициент упругости изгиба кратковременным, 't 10 3 с, и труба
для единицы длины пластины. Отсюда приобрела скорость v 1 см с. В дальней-
шем труба то останавливалась, то вновь
получаем угловую величину изгиба эле-
двигалась с приобретенной при ударе скоро-
мента: dM mg L x ˜ dx.

k0

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 31

стью. Через большое время скорость тру- Максимальная площадь свободной поверх-

бы с водой установилась и стала равной ности воды при движении трубы с водой

0,5 см с. Оцените период колебаний сис- достигается в те моменты времени, когда

темы «вода-труба». Коэффициент повер- вода останавливается по отношению к стен-

хностного натяжения воды кам трубы. Вязкость воды по условию

V 0,07 Дж м2. Вязкостью воды при рас- мала, поэтому на начальном этапе движе-

чете периода колебаний можно пренеб- ния ею можно пренебречь и считать, что

речь. потерь энергии нет, т.е. сохраняется сумма

Поскольку установившаяся скорость дви- механической энергии и энергии свобод-
жения трубы с водой равна половине от
начальной скорости трубы, то это означа- ной поверхности воды. Максимальное уве-
ет, что масса воды в трубе в точности равна
массе самой трубы. Иными словами, до личение площади свободной поверхности
толчка вода заполняла весь внутренний
объем трубы и ее торцевые поверхности 'S воды у одного из торцов трубы можно
были плоскими. Обозначим через r радиус
окружности, соответствующей границе найти из соотношения
касания воды, воздуха и внутренней по-
верхности трубы. Согласно условию, mv 2 mv 2 2V'Smax,
Sr2 S, откуда r | 1,8 см ≪ 1 м. Следова-
тельно, можно считать, что масса «кри- 2m 4m
вых» участков воды на концах трубы
гораздо меньше суммарной массы всей откуда mv2 | 1,78 см2 ≪ S 10 см2.
воды в трубе. Выде- 8V
ленный красным цве- 'Smax
том на рисунке учас-
ток жидкости, выпук- Рис. 3 Таким образом, площадь поверхности уве-
лый слева и ограниченный вертикальной
плоскостью справа, имеет объемV x ˜ Sr2, личилась немного (меньше чем на 20%).
где x – это величина смещения от равно-
весного положения жидкости внутри тру- Полученное неравенство можно интерпре-
бы вдоль оси трубы. Этот же объем пред-
ставляет собой объем шарового сегмента тировать и так: h 3 ≪ R. Будем этим пользо-
(выпуклого вблизи одного торца трубы и
вогнутого у другого торца) с радиусом ваться, а в итоге убедимся, что оно на
кривизны R. Смещение вдоль оси трубы
средней точки поверхности этого шарового самом деле выполняется. Тогда
сегмента от положения равновесия обозна-
чим через h. Величины R, r и h связаны V | Sh2 ˜ R x ˜ Sr2, или h2 r2 ˜ x ,
R
соотношением (теорема Пифагора)
и R r2 h2 | r2 .
R2 r2 R h 2, откуда следует 2h 2h

R r2 h2 2h . Объем сегмента шара, Исключаем величину h, и получаем

как известно, равенV Sh2 ˜ R h 3 . Если 1 R 4x r2. Вблизи поверхностей воды с
такой кривизной возникают Лапласовы
мы найдем радиусы кривизны R свобод-
ных поверхностей воды вблизи торцов давления: повышенное там, где поверх-
трубы, то мы найдем силу, действующую
на воду в трубе, и получим уравнение ность воды выпуклая, и пониженное там,
динамики (в нашем случае уравнение ко-
лебаний). где поверхность воды вогнутая. В данном

случае они одинаковы по величине и рав-

ны 2V R.
В системе отсчета центра масс механичес-

кой системы «вода–труда» вода и труба

смещаются от своих положений равнове-

сия в противоположных направлениях на

одинаковые расстояния x 2. При этом на

воду действует суммарная «возвращаю-

щая» к положению равновесия сила, рав-
ная 2 ˜ 2V R ˜ Sr2. Напишем уравнение ди-
намики для воды:
m xcc
2 4Sr2 ˜ 4Vx , или mxcc 32SV ˜ x.
r2

(Продолжение см. на с. 34)

О трех равных отрезках

В геометрии существует ряд задач, где Рис. 4
необходимо доказать равенство трех отрез-
ков или построить (найти) точки, создаю- делят хорду FN на три равные части:
щие три равных отрезка. Такие задачи x y z.
полезны, красивы, порой непросты и часто
имеют творческий характер. Предлагаем Задача 5. Точка O – центр окружности Z,
вниманию читателей коллекцию таких за- описанной около остроугольного треуголь-
дач – задач, в которых x y z. ника ABC (рис.5). Луч AO пересекает
сторону BC и окружность Z в точках K и T
Задача 1. На диагонали AC квадрата соответственно. Перпендикуляры KD и KE
ABCD взята точка F такая, что AF AB
(рис.1). Перпендикуляр, восставленный в

Рис. 1 Рис. 2

точке F к прямой AC, пересекает сторону Рис. 5
BC в точке N. Докажите, что x y z.
к сторонам AC и AB пересекают радиусы
Задача 2. Дан острый угол A и точка F OC и OB в точках F и N соответственно.
внутри угла (рис.2). Постройте на сторо- Докажите, что x y z (TK CF BN).

нах угла точки B и C такие, что x y z. Задача 6. Биссектрисы треугольника ABC
Задача 3. На стороне BC треугольника пересекаются в точке I. Луч AI пересекает
окружность Z, описанную около треуголь-
ABC взяты точки K и T такие, что отрезки
AK и AT делят угол BAC на три равные

Рис. 3 Рис. 6

части: ‘1 ‘2 ‘3 D (рис.3). При ка-
ких D возможно, что x y z?

Задача 4. В окружность Z вписан равно-
сторонний треугольник ABC (рис.4). Точ-
ки F и N – середины дуг AC и AB соответ-
ственно. Докажите, что отрезки AC и AB

ника ABC, в точке W (рис.6). Докажите,
что IW BW CW, или x y z.

Задача 7. Три окружности с центрами O1,
O2 и O3 попарно касаются внешним обра-
зом (рис.7). Докажите, что три их внутрен-

ние общие касательные пересекаются в

Рис. 7 Рис. 10

одной точке и что отрезки этих касатель- Задача 10. Окружности Z и s с центрами
ных равны: x y z. O1 и O2 пересекаются в точках A и B
(рис.10). Окружность Z1 проходит через
Задача 8. Дана прямая l и параллельный точки A, O1 и O2, второй раз пересекает
ей отрезок AB (рис. 8). Пользуясь только прямую AB в точке T, а окружности Z и s
(вторично) – в точках K и N соответствен-
но. Докажите, что KT BT NT
(x y z).

Задача 11. Пусть OA и OB – радиусы в
окружности Z (рис.11). Проведите хорду
TQ так, чтобы она делилась этими радиуса-
ми на три равные части: x y z.

Рис. 8 Рис. 11

линейкой, разделите АВ на три равные Задача 12. На сторонах AC и AB треу-
части (x y z). гольника ABC постройте точки F и N

Задача 9. Точка O – общий центр окруж-
ностей Z и s (рис.9). Проведите секущую
A B C D так, чтобы АВ ВС CD,
или x y z.

Рис. 12

такие, чтобы длины отрезков CF, FN и NB
были равны: x y z (рис.12).

Материал подготовил
Г.Филипповский

Рис. 9

34 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

(Начало см. на с. 23) среда, и напряжением U, которое подано
на двигатель. В установившемся режиме
Из этого уравнения гармонических коле- сумма моментов сил, действующих на ро-
баний находим угловую частоту Z и пери- тор двигателя, равны нулю, т.е.
од колебаний Т:
M m BINS m 0.
Z2 32SV , Z | 2,65 c 1, T 2S | 2,37 c.
mZ Механическая мощность, развиваемая дви-
гателем, равна произведению механиче-
Если скорость движения воды при про- ского момента сил на угловую скорость Z
хождении положения равновесия в систе- вращения ротора: W m ˜ Z.
ме отсчета центра масс равна v 2, т.е. При вращении ротора двигателя возника-
0,005 м с, то максимальное смещение воды ет электродвижущая сила (ЭДС) индук-
внутри трубы по отношению к ее стенкам ции E, пропорциональная величине маг-
нитного поля, числу витков в каждой об-
составляет величину xmax v Z | 3,8 мм. мотке ротора и частоте вращения ротора:
Зная xmax, находим hmax 3 2,53 мм и E BSNZ. При этом ток в цепи опреде-
Rmin 21,3 мм. Получается, что неравен-
ство h 3 ≪ R, которым мы пользовались ляется законом Ома: I U E R
U BSNZ R, где R – это сопротивле-
при вычислении (оценке) периода колеба-
ний, действительно выполняется. ние обмотки, по которой течет ток. В
результате получается, что развиваемая
Г.Агарин двигателем механическая мощность равна

Ф2631. Коллекторный двигатель посто- W mZ BINS ˜ Z Z ˜ BNS ˜ U BSNZ.
янного тока, имеющийся в электродрели, Если нагрузка отсутствует, а трRение в
при подаче на него напряжения 100 В подшипниках ротора и на коллекторе мало,
вращается (на холостом ходу), делая в то ротор двигателя раскручивается до та-
установившемся режиме 1000 оборотов
в минуту. При сверлении отверстия в кой угловой частоты Z U BSN , при
дереве двигатель производит механиче-
скую мощность 100 Вт на 700 оборотах которой ЭДС индукции равна ЭДС источ-
в минуту при напряжении на нем 100 В. ника тока, к которому подключен двига-
Какую максимальную механическую мощ- тель. Еще одной характеристикой такого
ность сможет в течение длительного двигателя является ток Imax, текущий по
времени развивать такой двигатель, если подключенной к источнику обмотке при
на него подать напряжение 220 В? заторможенном роторе. Величина этого
тока определяется ЭДС источника тока и
Согласно условию задачи коллекторный электрическим сопротивлением провода
двигатель дрели является двигателем по- обмотки, по которой ток течет: Imax U R.
стоянного тока. Это означает, что магнит- Этому максимальному току соответствует
ное поле статора постоянно. Поскольку в
вопросе задачи говорится об установив- максимальный момент сил Mmax
шемся режиме работы, то рассматривать BUNS R, создаваемый магнитным по-
будем только установившиеся движения.
Механический момент сил в двигателе лем статора, действующим на обмотку, по
создается магнитным полем статора, дей- которой течет ток.
ствующим на обмотку ротора двигателя, При максимальной угловой скорости (на
по которой течет ток. Величина этого мо- холостом ходу) частота вращения ротора
мента сил M пропорциональна величине самая большая, а момент сил, действую-
магнитного поля B, силе тока I, числу щих со стороны магнитного поля на обмот-
витков в обмотке ротора N и площади ки, равен нулю, поскольку ток в обмотках
каждого витка S, а именно, M BINS. нулевой. При заторможенном роторе мак-
Установившаяся скорость вращения опре- симален момент сил, действующих на об-
деляется нагрузкой, т.е. механическим мотки ротора, но частота вращения равна
моментом сил m, который оказывает на нулю. В обоих этих случаях развиваемая
вал дрели сопротивляющаяся «дрелению» двигателем механическая мощность равна
нулю. Максимальная мощность отбирает-
ся от источника энергии как раз в режиме

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 35

с заторможенным ротором. Но вся эта рямитель из четырех идеальных диодов.
электрическая мощность превращается в Первичная обмотка трансформатора
тепловую, выделяющуюся в сопротивле- включена в сеть (220 В, 50 Гц). На вы-
нии обмотки. Если же нагрузка не настоль- ходе вторичной обмотки эффективное
ко велика, что ротор затормаживается, то напряжение равно U 12 В, оно подано
в этом случае часть электрической энер- на этот самый выпрямитель. Амперметр
гии, отбираемой от источника тока (источ- постоянного тока, включенный между
ника энергии), превращается в механиче- выпрямителем и усилителем, показыва-
скую работу дрели, которая обычно и ет средний ток I 1 А. Усилитель рабо-
считается полезной. Максимальная меха- тал, но противно гудел на частоте 100 Гц
ническая мощность при заданном напря- и ее гармониках, так как конденсатор,
жении (ЭДС) источника энергии достига- стоявший на выходе выпрямителя парал-
ется, согласно написанному выражению лельно нагрузке, вышел из строя. В рас-
для мощности, при частоте вращения Z1 , поряжении Васи оказались два конденса-
равной половине частоты вращения ротора тора емкостями C1 C2 103 мкФ и две
катушки индуктивностями L1 L2. Вася
двигателя на холостом ходу: Z1 U 2BSN . собрал такую схему, что гудение на час-
тоте 100 Гц пропало вовсе, а на других
При этом ток, текущий по обмотке, равен частотах значительно уменьшилось.
половине от максимального тока при затор- Нарисуйте схему, придуманную Васей.
моженном роторе. Следовательно, полови- Чему равно сопротивление нагрузки?
на отдаваемой источником мощности пре- Какова индуктивность катушек? Счи-
вращается в теплоту (обмотки греются), а тайте, что нагрузка представляет со-
половина – в механическую мощность, бой активное сопротивление и оно оста-

которая равна Wmax U2 4R . Рис. 4

Эта максимальная механическая мощность валось неизменным.
пропорциональна квадрату поданного на
двигатель напряжения. Схема, собранная Васей, изображена на
По условию задачи при частоте 700 оборо-
тов в минуту и напряжении источника рисунке. Комбинация последовательно
100 В механическая мощность, развивае-
мая двигателем, равна 100 Вт. А частота соединенных катушки индуктивностью L
вращения на холостом ходу при этом на- и конденсатора емкостью C, включенных
пряжении равна 1000 оборотов в минуту. параллельно нагрузке, имеет по условию
Мощность зависит от частоты вращения
ротора двигателя по закону W ∼ задачи нулевое сопротивление для пере-

∼ Z ˜ Zxx Z . Подставив численные значе- менного тока на частоте f 100 Гц, и в

ния Z 700 и Zxx 1000, получим множи- нагрузку напряжение с такой частотой не
тель 21 ˜ 104. А если подставить значение
попадает. Частота Z 2Sf связана с пара-
Z Zmax 2 500, то получится множитель метрами L и C соотношением
25 ˜ 104. Это означает, что максимальная
мощность двигателя при поданном на него Z2 1 .
напряжении 100 В равна LC

Wmax 100 Вт ˜ 25 21 119 Вт. Отсюда находим индуктивность:

Тогда максимальная мощность такого дви- L 1 | 2,5 мГн.
гателя, работающего при напряжении 4S2f 2C
220 вольт, получается равной
Сопротивление нагрузки равно
119 Вт 2202 1002 | 576 Вт.
Д.Релев R U 12 Ом.
I
Ф2632. Для звукового усилителя исполь-
зуется блок питания с трансформато- С.Дмитриев
ром. В нем есть двухполупериодный вып-

36 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

Полимино

Ю.МАРКЕЛОВ, А.САЙРАНОВ Рис. 3 Замечание. Не-

В этой статье мы обсудим решение задачи сложно видеть, что
М2625. Но начнем с другой задачи, из
варианта 7 класса Математического празд- фигур, которые
ника 2018 года:
Существует ли такая фигура, что при можно разрезать как
любом выборе вида фигурок тетрамино
(рис.1) эту фигуру можно составить, на тетраминошки

Рис. 1 типа О, так и на тет-
используя тетраминошки только выб-
ранного вида? (Переворачивать тетра- раминошки типа Z,
миношки можно.)
бесконечно много.
Оказывается, такая фигура существует
(рис.2). Рис. 4 Например, можно

В фигуре из рисунка 2 есть дырка (т.е. взять фигуру из ри-
фигура неодносвязна). И во всех приме-
рах, найденных жюри, была дырка. Воз- сунка 3 и склеивать копии этой фигуры
никает гипотеза: если для каждого типа
тетрамино данную фигуру можно раз- друг с другом (рис.4). Но есть и другие
бить на тетрамино этого типа, то в
фигуре есть дырка. Мы докажем более примеры (см. рис.2 и 5).
сильное утверждение (которое и составля-
ет задачу М2625): если фигуру можно Пусть существует фигура Ф без дырок,
разрезать как на фигуры типа O, так и
на фигуры типа Z, то в ней есть дырка. которую можно разделить и на фигурки

Рис. 2 типа O, и на фигурки типа Z.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210102 Раскрасим клетки фигуры Ф в черный и

белый цвета в шахматной раскраске. Рас-

смотрим фиксированное разбиение фигу-

ры Ф на фигурки типа O и разбиение на

фигурки типа Z. В любой фигурке типа O

или фигурке типа Z будет ровно две чер-

ные и ровно две белые клетки. Соединим

в каждой фигурке типа O и в каждой

фигурке типа Z центры черных клеток

отрезком. Рассмотрим объединение всех

таких отрезков. Из каждой черной клетки

выходит ровно два отрезка (в некоторых

случаях они могут совпадать), поэтому

наше множество отрезков будет состоять

из циклов. Назовем это множество отрез-

ков черным разбиением. Аналогичную кон-

струкцию для белых клеток назовем бе-

лым разбиением (рис.5).

Докажем, что в черном разбиении или в

белом разбиении найдется цикл длины

больше 2. В разбиении есть цикл длины 2,

если есть фигурка типа O и фигурка типа

Z, в пересечении которых две одноцвет-

ные клетки. Пусть в белом разбиении все

циклы имеют длину 2. Тогда рассмотрим

какую-нибудь фигурку O1 типа O. Суще-
ствует фигурка Z1 типа Z, которая содер-
жит две белые клетки фигурки O1. Но

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 37

Рис. 5 ток. Тогда наш цикл – фигура, идущая по
линиям новой сетки. Количество внутрен-
тогда фигурка Z1 содержит ровно одну из них узлов сетки равно количеству старых
черных клеток фигурки O1. Значит, из внутренних черных клеток, т.е. b. Количе-
соответствующей клетки в черном разби- ство узлов на границе – это длина цикла,
ении отрезки идут в разные клетки. Они т.е. 2k. Теперь посчитаем по формуле
и порождают цикл длины больше 2. Пика (см. [1] и [2]) площадь нашей фигу-
ры: S b 2k 2 1 b k 1. Но площадь
Далее мы докажем, что внутри любого новой фигуры – это количество внутрен-
цикла длины больше 2 обязательно будет них центров новых клеток, т.е. количество
дырка. Не умаляя общности, будем счи- старых белых клеток внутри цикла. Отку-
тать, что цикл длины больше 2 есть в да заключаем, что w S b k 1. Про-
черном разбиении. Назовем внутренней тиворечие.
фигурку типа O из разбиения, целиком
лежащую внутри нашего цикла. Назовем Из предположения об отсутствии дырок
граничной фигурку типа O из разбиения, внутри данного цикла мы пришли к проти-
две черные клетки которой принадлежат воречию. Значит, в любом цикле будет
выбранному нами циклу. Отрезки в цикле хотя бы одна дырка.
чередуются: после отрезка, соединяющего
черные клетки фигурки типа O, идет отре- Замечание. Из доказательства следует
зок, соединяющий черные клетки фигурки даже более сильное утверждение: в фигу-
типа Z, значит, длина нашего цикла равна ре, которую можно разрезать и на тетра-
2k, где k  N. Обозначим количество чер- миношки типа О, и на тетраминошки типа
ных и белых клеток, лежащих строго Z, существует дырка нечетной площади. В
внутри нашего цикла, через b и w соответ- качестве такой дырки можно выбрать ту,
ственно. Любая черная клетка внутри цик- которая не содержит внутри себя других
ла принадлежит внутренней фигурке типа связных компонент нашей фигуры. По-
O, любая белая клетка внутри цикла при- пробуйте самостоятельно модифицировать
надлежит либо граничной фигурке типа доказательство для этого случая, выведя
O, либо внутренней. Всего есть k гранич- условие на количество черных и белых
ных фигурок, и каждой из них принадле- клеток внутри такой дырки.
жит ровно одна внутренняя белая клетка.
С другой стороны, всем внутренним фи- Литература
гуркам типа O принадлежит ровно b чер-
ных клеток, а значит, и ровно b белых 1. Г.Мерзон. Формула Пика и тающий лед. –
клеток. Таким образом, w b k. «Квант», 2018, №9.

Теперь посчитаем соотношение между b 2. Н.Васильев. Вокруг формулы Пика. –
и w иным способом. Рассмотрим новую «Квант», 1974, №12.
сетку. Узлами новой сетки будут центры
бывших черных клеток. Центрами новых
клеток будут центры бывших белых кле-

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

1. У кенгуренка Смартика есть 8 ку- 3. Разрежьте изображенный ниже

биков 1u 1u 1. У каждого кубика две прямоугольник по линиям сетки (т.е.
соседние грани красные, а осталь- по горизонтальным и вертикальным
линиям) на равные части так, чтобы
ные – белые. Смартик сложил из них
большой куб 2 u 2 u 2. Какое наиболь-

шее количество полностью красных каждая часть содержала ровно одну
граней может оказаться у большого снежинку.
куба?
С.Костин
2. Все углы на рисунке – прямые.
4.Равенство
Чему равен периметр фигуры на ри-
сунке? 2 1 1 – 3 3 = 2 0 2 1,

разумеется, неверно. Но если в этом
равенстве переместить три цифры, то

Иллюстрации Д.Гришуковой

Задачи 1 и 2 предлагались на Международ- равенство станет верным. Какие три
ном математическом конкурсе-игре «Кенгуру». цифры и как именно надо переме-
стить?

С.Костин

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 39

Почему самолет – Ты не прав, – возразил Папа Карло. –
взлетает И сейчас сам в этом убедишься. Чтобы
ответить на вопрос твоего учителя, мы
против ветра выстроим логическую цепочку. Я буду
задавать тебе вопросы, а ты будешь на них
С.ДВОРЯНИНОВ отвечать. Итак, начали. – Что происходит
с самолетом, прежде чем он отрывается от
– Я вижу, ты о чем-то крепко задумал- земли и оказывается в воздухе?
ся? – спросил Папа Карло своего Бурати-
но, заметив, что тот уже долго листает – Самолет разгоняется, двигаясь по взлет-
страницы учебника физики. ной полосе, это ясно, – ответил Буратино.

– Да, сегодня на уроке учитель сказал, – А относительно чего движется само-
что самолету легче взлетать против ветра. лет?
А нам надо объяснить, почему это так. Я
весь учебник просмотрел, а ответа не на- – Относительно земли, конечно, и отно-
шел. сительно того, что на ней находится. Это,
например, здание аэровокзала, люди, ко-
– Что ж, давай будем рассуждать логи- торые, наблюдают за самолетами, дере-
чески, – Папа Карло отряхнул стружки с вья…
фартука, отошел от верстака и присел у
стола. – Ну а самое главное-то что? Относи-
тельно чего движется самолет? Самолет
– А как это – «рассуждать логически»? разгоняется относительно воздуха! Будем
Логика – это когда из А следует В. А в этой вначале считать, что стоит безветренная
физической задаче никаких А и В нет, – погода, полный штиль, такой, что ни один
разочарованно произнес Буратино. листочек на дереве не шелохнется. Так вот
относительно этого неподвижного воздуха
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210103 самолет по взлетной полосе движется все
быстрее и быстрее. Согласен? – уточнил
Папа Карло.

– Да, согласен, это похоже на ускорен-
ное движение моторной лодки по озеру. В

40 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

озере никакого течения нет, вода стоит но большая скорость v набегающего воз-
неподвижно, – откликнулся Буратино. – душного потока. Скорость – понятие отно-
Как корабль плавает в океане, так и само- сительное. Можно сказать, что поток набе-
лет плавает в воздушном океане. гает на самолет, а можно сказать, что
самолет движется относительно воздуш-
– Не ошибайся в терминах, мой дорогой ной массы. Когда на взлетной полосе ветер
Буратино. Корабли не плавают, а ходят, дует навстречу самолету, то скорость само-
так говорят настоящие мореходы-моряки. лета относительно воздуха равна его соб-
Плавают в воздушном океане, согласно ственной скорости плюс скорость ветра.
закону Архимеда, воздушные шары, аэро- При этом требуемое значение скорости v
статы, дирижабли да еще детские шарики, получается при меньшей собственной ско-
наполненные гелием. А самолеты летают. рости самолета. Вот так.
Но сначала они должны взлететь. И отры-
вает их от земли и поднимает вверх сила, – Это правильно, молодец, – заключил
которая называется подъемной. Она воз- Папа Карло. – Поэтому и говорят, что
никает, когда воздушный поток набегает против ветра самолету взлетать легче. Это
на самолет, – продолжил Папа Карло. было особенно важно на заре авиации,
когда двигатели были не очень мощные.
– А вот когда я еду на велосипеде, я этот Современные же самолеты могут взлетать
поток набегающий чувствую даже очень и при попутном ветре, но в любом случае
хорошо. Но при этом я вверх не поднима- пилоты учитывают и скорость ветра, и его
юсь. И даже автомобиль, набравший боль- направление. Так что, вырастешь – ста-
шую, скорость, продолжает катиться по нешь пилотом и вспомнишь сегодняшний
земле и никуда не улетает, – возразил разговор! А мне надо продолжать работу.
Буратино.
И Папа Карло направился к своему
– Верно ты все говоришь. Но самолет и верстаку.
особенно его крылья имеют такую специ-
альную форму, которая приводит к появ-
лению подъемной силы, направленной
вверх. Чем больше скорость набегающего
потока, тем больше становится подъемная
сила. Наконец, она превосходит силу тя-
жести, действующую на самолет, и тогда
воздушное судно отрывается от земли.

– Но если подъемная сила больше силы
тяжести, то самолет будет подниматься
вверх все выше и выше неограниченно. А
так не бывает, – снова пытался спорить
Буратино.

– Нет, конечно. Когда надо, пилот само-
лета, изменяя угол атаки крыла, добивает-
ся того, что две силы – подъемная и
тяжести – становятся равными, и тогда
самолет летит на неизменной высоте, –
заключил Папа Карло. – А теперь сопо-
ставь все факты, о которых мы сейчас
говорили, и объясни, почему против ветра
самолету взлететь легче.

– Да, я могу объяснить! – воскликнул
Буратино, – вот она, логическая цепочка.
Для подъема самолета требуется достаточ-

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчи-
таны в основном на учащихся начиная с 8–9 классов, а более младшим школьникам
советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com).

Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу:
[email protected] или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский про-
спект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии
укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес.

Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в
таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно,
начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы.

Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com view savin-contest

Желаем успеха!

17. Требуется записать по кругу все а) 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6;
натуральные числа от 1 до n в таком б) 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
порядке, чтобы сумма любых двух сосед- в) 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
них чисел была простым числом. Можно
ли это сделать, если: С.Костин

а) n 2021; б) n 2022?

И.Акулич

18. Нетрудно нарисовать на клетчатой
бумаге треугольник с целочисленными дли-
нами сторон и вершинами в узлах – напри-
мер, прямоугольный треугольник со сторо-
нами 3, 4, 5. А можно ли нарисовать треу-
гольник с целочисленными длинами сторон
и вершинами в узлах так, чтобы ни одна его
сторона не проходила по линиям сетки?

Фольклор

19. Можно ли грани додекаэдра раскра-
сить в 6 цветов так, чтобы для любой
тройки цветов нашлась вершина, в кото-
рой сходятся три грани этих трех цветов?

Е.Бакаев

20. На доске написаны 8 целых чисел. За
ход разрешается произвольным образом
сгруппировать числа, написанные на дос-
ке, в четыре пары и в каждой паре произ-

вести операцию a, b ֏ a b, a b (т.е.

заменить числа на их сумму и на модуль их
разности). Можно ли за конечное число
таких ходов добиться того, чтобы все 8
чисел на доске стали равными, если исход-
но на доске были написаны следующие
числа:

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Ртуть и вода – откуда она испаряется. В нашем случае
диффузия покрытие, т.е. слой воды на ртути, однород-
и испарение но, и подозревать его в таких фокусах не
приходится.
Л.АШКИНАЗИ
Два года назад появилось сообщение, что
ТО, ЧТО ПАРЫ РТУТИ ВРЕДНЫ, ЗНА- графен, т.е. монослой углерода (слой тол-
ют все. Поэтому, если ртуть находится в щиной в один атом), подавляет испарение
емкости, из которой она может испариться и воды с гидрофильных поверхностей и уско-
попасть в помещение, где находятся люди, в ряет испарение с гидрофобных. Правда,
эту емкость доливают некоторое количество считать графен «покрытием» немного стран-
воды. Вода, как вы знаете, легче ртути но, уравнение диффузии и обычные принци-
приблизительно в 13,6 раз, она располага- пы расчета здесь неприменимы. Но в нашем
ется поверх ртути и тормозит испарение. Все случае и это не важно, потому что ртуть не
кажется понятным, однако мы уже сказали покрывают ни графеном, ни монослоем воды.
несколько несуразностей. Так что будем считать, что это обычная вода.

Вода действительно легче, но из этого не Сначала рассмотрим ситуацию без воды,
следует, что она «располагается поверх». но в закрытой банке: поверхность ртути
Спирт и ацетон легче воды, но они не распо- открыта, над ртутью есть какое-то количе-
лагаются поверх, а растворяются в воде. ство воздуха, а далее – закрытая крышка.
Причем их растворимость ничем не ограни- Ртуть испаряется в замкнутый объем возду-
чена, в таких случаях обычно говорят: «сме- ха, концентрация ртути в воздухе растет,
шиваются во всех соотношениях». А вот появляется обратный поток ртути из воздуха
бензин располагается поверх, но не полнос- в жидкую фазу. Через какое-то время дости-
тью – растворимость бензина в воде при гается так называемое динамическое равно-
нормальных условиях около 10 5 (по весу). весие, когда потоки равны, и концентрация
А в обратную сторону, т.е. растворимость ртути в воздухе расти перестает. Эта равно-
воды в бензине, около 10 4. Такие вот у воды весная концентрация известна; например,
и бензина сложные отношения. Что касается при температуре 15 qC она составляет
взаимной растворимости воды в ртути и 2 ˜ 10 5 кг м3. Предельно допустимая кон-
ртути в воде, то они невелики: 2 ˜ 10 6 и 6 ˜ 10 8
соответственно (опять же, по весу). Так что центрация равна 3 ˜ 10 10 кг м3, т.е. на 5
про воду и ртуть вполне можно сказать
«поверх», но это не следует автоматически порядков меньше. Очевидно, что сидеть в
из того, что вода легче (даже в 13,6 раз). закрытой банке над слоем ртути весьма
опасно.
А откуда мы взяли, что водяное покрытие
«тормозит испарение»? Может ли вообще Если ртуть покрыта слоем воды, а за ним
какое-либо покрытие не тормозить, а уско- находится опять же замкнутый объем возду-
рять испарение? Идея кажется странной, но, ха, то ситуация становится сложнее. Кон-
скажем, термобелье, надетое на человека, центрация ртути в воде ведет себя так же, как
испарение воды (т.е. пота), как пишут, мо- при испарении в замкнутое воздушное про-
жет и ускорять. Там этот эффект если и странство – растет до установления динами-
возникает, то из-за неоднородной структу- ческого равновесия. Однако равновесная
ры – капилляры посредством поверхностно- концентрация оказывается больше в 3 раза,
го натяжения выводят воду на поверхность, чем в первом случае, и составляет

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210104 6 ˜ 10 5 кг м3. Причин у этого явления может

быть две – либо молекулы воды притягивают
своим электрическим полем атомы ртути
(поляризуя их) и облегчают их отрыв от
слоя ртути, либо обратный поток атомов
ртути из воды на поверхность ртути при той
же концентрации (и температуре) оказыва-
ется меньше, чем из воздуха. Оба эти процес-
са нам скоро потребуются. Какой из этих

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 43

процессов сильнее, не существенно; но важ- наша задача – определить равновесную кон-
но, что они действуют в одну сторону. центрацию ртути в зависимости от площади
поверхности ртути, толщины слоя воды,
Одновременно с переходом ртути из ее кратности обмена воздуха в помещении.
слоя на дне в воду идет аналогичный процесс
испарения ртути из воды в воздух. Есте- Ситуация в воде такова. Уходящий с по-
ственно, он замедляет процесс достижения верхности ртути в воду поток N определяет-
динамического равновесия в воде. Но как ся условием N Z uC, где Z – скорость
влияет наличие воды на равновесную кон- покидания атомами ртути поверхности рту-
центрацию ртути в замкнутом воздушном ти, uC – скорость возвращения атомов ртути
пространстве над водой с растворенной в ней из воды в ртуть, C – концентрация ртути в
ртутью? Если на границе воды и воздуха воде на границе с ртутью, u – тепловая
вода вообще «не влияет», то концентрация в скорость. С другой стороны, N CD L, где
воздухе будет такая же, как в воде. Однако D – коэффициент диффузии, L – толщина
в предыдущем абзаце было указано на два слоя воды. Это выражение можно считать
возможных процесса – притяжение водой вариантом определения коэффициента диф-
ртути и торможение водой потока атомов фузии. Но формула эта приближенная, она
ртути. Оба эти процесса уменьшают равно- написана для случая, когда у наружной
весную концентрацию ртути в воздухе, одна- поверхности воды концентрация ртути мно-
ко мы не знаем, во сколько раз. Может быть, го меньше, чем на границе со слоем ртути.
они влияют и слабо. Во всяком случае, равно- Приравнивая правые части выражений для
весная концентрация – напоминаем, под зак- N, получаем
рытой крышкой – вроде бы действительно с
водой может быть больше, чем без воды. На C DZ LuL, N ZD .
этом основании в некоторых книжках пишут, D uL
что наливать воду в емкость со ртутью бес-
полезно. Это верно, только если мы собира- Проверим полученные формулы на разум-
емся жить и дышать в банке под закрытой
крышкой. Но мы ведь этого не делаем! ность, т.е. посмотрим на поведение ответа

Реальная ситуация для человека не такая при варьировании всех величин. При Z 0
(см. рисунок). Мы находимся в помещении, обнуляются и С и N, что, очевидно, правиль-
но. При L 0 поток N Z, т.е. происходит
а оно всегда проветривается, даже если окна свободное испарение, и C 0. При D 0
закрыты. Скорость обмена воздуха в поме- концентрация на границе C Z u, как и
щении принято характеризовать «кратно- должно быть, а поток N 0. При u 0 имеем
стью обмена» n, т.е. тем, сколько раз сменя- уход с поверхности при запрете возвраще-
ется воздух в помещении за некоторое время,
обычно за час. В книжках пишут, что крат- ния, тогда, естественно, поток N Z, а кон-
ность обмена должна быть не менее двух раз центрация на границе получается C ZL D.
в час, воздух должен сменяться не более чем (Заметим, что при решении любых задач
за 30 минут, иначе люди начинают чувство-
вать себя плохо, и совершенно не из-за имеет смысл формулы проверять примерно
ртути! Мы будем пользоваться системой
единиц СИ и полагать кратность обмена так.) Можно начать немного иначе, сначала
равной n 5,5 ˜ 10 4 c 1 соответственно. Итак,
разделить два случая, когда D ≪ uL и
D ≫ uL, и рассматривать их по отдельнос-
ти. В общем, метод понятен.

Перейдем к ситуации в помещении. За

время t приход ртути в помещение равен
NSt, где S – площадь поверхности, а уход
равен pVtn, где p – концентрация в помеще-
нии, V – объем помещения, n – кратность
обмена, которую будем полагать равной двум

в час. Приравнивая приход и уход, находим

концентрацию:

p = NS = Vn ZDS .
Vn
(D + uL)

Опять же полезно проверить поведение отве-
та при варьировании всех переменных (вы

44 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

уже понимаете, как это делается). Проведем воздухообменом, а не банка с глухой крыш-
численные оценки. При D 10 9 м2 ˜ с 1, кой. Заметим, что без воды, при L 0,
L 10 2 м, u = 150 м ◊ с-1, т.е. при D ≪ uL, концентрация p | 2,4 ˜ 10 6 кг м3, а это уже
104 предельной – недопустимая ситуация.
получаем p ZDs VnuL . Поведение ответа
Ну и еще посмотрим, за какое время уста-
по Z, D, S – правильное; по uL, стремящем- новится равновесие в системе вода-ртуть.
ся к нулю, натыкается на D; по Vn, стремя-
щемся к нулю, натыкается на ограничение Слой воды площадью S и толщиной L с
p d C. Численная оценка при Z =
= 6 ◊ 10-5 кг ◊ м-2 ◊ с-1 (20 qС), S 10 3 м2, концентрацией ртути на одной границе C, а
V 50 м3, n 5 ˜ 10 4 c 1 дает p | на другой много меньшей содержит количе-
| 1,6 ˜ 10 15 кг м3 при предельно допустимой ство ртути CSL 2. Это количество поставля-

концентрации 3 ˜ 10 10 кг м3. Таким обра- ется в слой воды потоком NS за искомое

зом, даже более тонкий слой воды защищает время t CL 2N . Подставляя выражения
надежно, если, конечно, n z 0, т.е. у нас
помещение с каким-то, хоть плохоньким, но для C и N, приведенные выше, получаем

t L2 2D . Эта формула позволяет быстро

оценивать время диффузионных процессов.
В данном случае t ª 14 часов.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Задача случайное совпадение – такой ответ будет
Произволова
о сумме модулей получаться при любых разбиениях чисел на
две группы.
Е.БАКАЕВ
Это утверждение (точнее, его обобщение
Разобьем числа от 1 до 10 на две группы по для произвольного четного количества чи-
5 чисел. Например, так: сел) – задача Вячеслава Викторовича Про-
изволова со Всесоюзной олимпиады школь-
6, 2, 3, 9, 7 ников 1985 года. Мы разберем ее решение и
1, 5, 4, 8, 10
Упорядочим числа в первой строке по возра- попутно обсудим другие задачи, в том числе
станию, во второй – по убыванию и выпишем встречавшиеся на олимпиадах. Начнем с
разности чисел, стоящих в одном столбце: такой.

2, 3, 6, 7, 9 Задача 1 (А.Шаповалов, Всероссийская
10, 8, 5, 4, 1 олимпиада, 1998). На столе лежали две
разности – 8, 5, 1, 3, 8 колоды, по 36 карт в каждой. Первую
Найдем сумму разностей: 8 5 1 3 8 25. колоду перетасовали и положили на вто-
Сделаем те же действия, но разобьем числа рую. Затем для каждой карты первой коло-
каким-нибудь другим способом (и снова ды посчитали количество карт между ней
упорядочим): и такой же картой второй колоды (т.е.
сколько карт между семерками червей, меж-
1, 5, 6, 8, 9 ду дамами пик и так далее). Чему равна
10, 7, 4, 3, 2 сумма 36 полученных чисел?
разности – 9, 2, 2, 5, 7
Снова найдем сумму разностей: 9 2 2 Решение. Если порядок карт в колодах
5 7 25. Опять получилось 25, и это не одинаковый, то между какой-то картой од-
ной колоды и такой же картой другой коло-
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210105 ды находится 35 карт, значит, сумма всех 36
чисел равна 35 ˜ 36 1260. (Если карт в
колодах не по 36, а по n, то аналогично

получим ответ n 1 n.) Докажем, что сумма

будет такой при любом расположении карт.
Первый способ. Используем прием, кото-

рый часто помогает, когда надо доказать, что

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК 45

какое-то свойство выполняется для произ- Рис. 2
вольной конфигурации. (В данном случае
свойство – что сумма всегда равна 1260.) примере получилось, что «синие части» (ко-
Докажем два утверждения: личества карт, лежащих в первой колоде)
рассматриваемых сумм равны 0, 1, 2, 3, 4 и
1. Если поменять местами две любые кар- «красные части» (карты второй колоды)
ты одной колоды, то сумма не изменится. равны тем же числам. Так будет получаться
и в других случаях: если карт в каждой
2. Такими преобразованиями можно све- колоде по n, от первой карты первой колоды
сти любую ситуацию к конкретному частно- до границы между колодами лежит n 1
му случаю – когда порядок карт в колодах карт, от второй до этой границы n 2 карты
одинаковый. и т.д., от последней карты первой колоды до
границы 0 карт. Таким образом, искомая
Тогда в любой конфигурации (т.е. при сумма разбивается на две суммы чисел от 0
любом расположении карт в колодах) сумма до n 1. Поэтому ответ
будет такой же, как в частном случае, – и ее
мы уже сосчитали. 0 1 … n 1 ˜ 2 n 1 n.

Убедимся в верности утверждения 1. Пусть Сформулируем теперь лемму, утвержде-
мы меняем местами карты А и Б второй ние которой очень похоже на утверждение
колоды (рис.1). Тогда из 36 сумм меняются предыдущей задачи.

Рис. 1 Лемма 1. На прямой отмечено 2n точек,
расстояние между соседними точками рав-
только две – количества карт между картами но 1. Первые n точек пронумеровали числа-
А и между картами Б. Несложно видеть, что ми от 1 до n в каком-то порядке. Последние
сумма этих двух количеств не меняется. n точек также пронумеровали числами от
1 до n в каком-то порядке. Точки с одинако-
Утверждение 2 также несложно доказать. выми номерами соединили отрезками. До-
Пронумеруем все карты колоды. Можно кажите, что сумма длин отрезков равна n2.
попарно менять карты местами так, чтобы
карты шли в порядке возрастания. Сначала Доказательство этой леммы точно такое
добьемся того, чтобы первая карта была на же, как решение предыдущей задачи. Ответ
первом месте, затем последовательно – чтобы получается иным за счет того, что «расстоя-
вторая на втором, третья – на третьем и т.д. ние» между двумя картами считалось как
количество карт между ними, а расстояние
Итак, задача решена. В конце статьи мы между двумя точками на 1 больше количе-
приводим еще несколько задач, в которых ства точек между ними, поэтому и ответ
помогает рассмотренный прием – элементар- получается на n больше.
ными перестановками сводим конфигура-
цию к частному случаю и показываем, что Лемма 2. На прямой отмечено 2n точек,
при этом некоторое свойство не меняется расстояние между соседними точками рав-
(является инвариантом). Отметим, что хоть но 1. Точки разбили на n пар и в каждой паре
мы и решили задачу, но нельзя сказать, что две точки соединили отрезком. Тогда:
мы хорошо разобрались в устройстве этой
конструкции. а) наибольшее возможное значение суммы
их длин равно n2;
Второй способ. Идея решения в следую-
щем. Давайте при каждом подсчете количе- б) оно достигается только при таких
ства карт между двумя одинаковыми карта- разбиениях на пары, как в предыдущей
ми обращать внимание на то, сколько из них задаче (т.е. когда в каждой паре точки
лежит в первой колоде, а сколько – во находятся в разных половинах).
второй.
Доказательство леммы 2. Первый способ.
Рассмотрим пример (рис.2). Обозначим Рассмотрим произвольную конфигурацию
одинаковые карты одинаковыми буквами. В

46 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

(т.е. разбиение точек на пары) с наибольшей Упражнения
суммой; это можно сделать, потому что кон- 1. Докажите, что если целиком слева от середи-
фигураций конечное число. Заметим, что в ны лежит k отрезков, то и целиком справа от
такой конфигурации не может быть двух середины лежит k отрезков.
непересекающихся отрезков. Действитель- 2. На плоскости расположены прямоугольники
но, если отрезки AB и CD не пересекаются так, что любые два прямоугольника имеют общую
(рис.3), то если их заменить на отрезки AC точку. а) Можно ли утверждать, что все прямоу-
гольники имеют общую точку? б) А если добавить
Рис. 3 условие, что стороны прямоугольников парал-
лельны осям координат?
и BD или же на AD и BC, то сумма длин Продолжение доказательства леммы 2.
отрезков увеличится, чего произойти не мо- Второй способ. Рассмотрим промежуток
жет. между первой и второй точками. Он входит
только в один отрезок. Промежуток между
Таким образом, в конфигурации с наи- второй и третьей точками входит не более
большей суммой любые два отрезка пересе- чем в два отрезка, потому что слева от него
каются. Покажем, что тогда все отрезки только две точки. И так далее: рассмотрим
пересекаются. Для этого докажем следую- промежуток между точками с номерами k и
щую лемму. k 1 (рис.6). Он входит не более чем в k
отрезков, потому что только те точки, кото-
Лемма 3. На прямой дано несколько от- рые слева от него, могут быть левыми конца-
резков, любые два из которых пересекают- ми отрезков, содержащих этот промежуток.
ся. Тогда все отрезки имеют общую точку.
Рис. 6
Это утверждение не такое очевидное, как
может показаться, – в других ситуациях, Рис. 7
похожих на эту, аналогичное утверждение
бывает и неверным. Пример такой ситуации Аналогично, рассматривая правые концы,
приведен в упражнении 2. можно сказать, что этот промежуток входит
не более чем в n k отрезков. (Для примера
Доказательство леммы 3. Рассмотрим се- на рисунке 7 написано, в какое наибольшее
редину – промежуток между точками с номе- количество отрезков может входить каждый
рами n и n 1 (точки по-прежнему пронуме- промежуток при n 5.)
рованы по порядку числами от 1 до 2n).
Покажем, что она содержится во всех отрез- Суммируя оценки того, сколько раз может
ках. Посмотрим, как расположены левые и быть посчитан каждый из этих единичных
правые концы отрезков. Если слева от сере-
дины не все концы являются левыми (рис.4), отрезков, получим 1 2 … n 1 n
то слева есть правый конец какого-то отрез- n n 1 … 2 1 n2.
ка, а справа есть левый конец какого-то
отрезка. Тогда эти два отрезка не пересека- Упражнение 3. Завершите доказательство,
ются. Значит, слева все концы левые, а показав, что все складываемые здесь неравенства
справа все концы правые (рис.5). обращаются в равенства ровно в тех случаях,
когда все отрезки содержат середину.
Таким образом, все отрезки содержат сере-
дину, и лемма 3 доказана, а тем самым Третий способ. Пусть номера (координа-
доказана и лемма 2. ты) концов i-го отрезка – это ai и bi, где
ai ! bi. Тогда его длина равна разности ai bi.
Рис. 4 Сложим все длины отрезков: a1 b1 a2
b2 … an bn. В этой сумме присутству-
Рис. 5 ют все числа 1, 2, …, 2n по одному разу,
половина со знаком плюс, половина со зна-
ком минус. Чтобы сумма была наибольшей,
понятно, что с плюсом надо взять наиболь-

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК 47

шие числа, а с минусом наименьшие! Таким путь она могла при этом пройти? (Мы
образом, мы понимаем, что левыми концами считаем, что если ладья делает ход, напри-
должны быть n левых точек, а правыми мер, с поля a2 на поле a5, то она при этом
концами – n правых точек. не посещает клетки a3 и a4. Длиной такого
прыжка считаем расстояние между цент-
В конце статьи приведены еще несколько рами полей, в данном примере оно равно 3.)
задач про модули разностей и суммы рассто-
яний на прямой, решить которые помогают Решение. Рассмотрим произвольный ряд
схожие соображения. (строчку или столбец). Прыжков, начало и
конец которых лежат в этом ряду, было
*** ровно четыре (рис.8). Таким образом, клет-

Заметим, что лемму 2 можно обобщить Рис. 8
следующим образом. ки этого ряда разбиваются на пары, между
которыми проводился прыжок. По лемме 2,
Лемма 4. На прямой отмечено 2n точек сумма длин таких прыжков не превышает
(расстояние между соседними точками 42 16. Всего рядов 16 (8 строк и 8 столб-
может быть различным!). Точки разбили цов), длина прыжков в каждом из них не
на n пар и в каждой паре две точки соеди- больше 16, значит, суммарная длина прыж-
нили отрезком. Тогда наибольшее возмож- ков не больше 16 ˜ 16 256.
ное значение суммы их длин достигается
тогда и только тогда, когда все отрезки Осталось привести пример. В таком при-
пересекают середину (промежуток между мере в каждом ряду должна достигаться
двумя средними по порядку точками). максимальная сумма длин, а для этого каж-
дый прыжок должен проходить через сере-
Убедитесь, что все те же три доказатель- дину соответствующего ряда, т.е. через одну
ства леммы 2 работают и для леммы 4! из средних линий доски (рис.9). Это сообра-

Упражнение 4. Сколькими способами можно Рис. 9
провести эти n отрезков так, чтобы все они
пересекали середину? жение помогает догадаться, как придумать
пример. В каждую клетку записываем ее
Следующую задачу мы оставим для само- номер в порядке обхода доски ладьей. Мож-
стоятельного решения. но сначала заполнить строки 1 и 5 (рис.10),
после чего аналогичным образом заполняют-
Задача 2 (И.Изместьев, Всероссийская
олимпиада, 1996). На прямой отмечены
1996 точек.1 Петя раскрашивает половину
из них в красный цвет, а остальные – в
синий. Затем Вася разбивает их на пары
красная–синяя так, чтобы сумма расстоя-
ний между точками в парах была макси-
мальной. Докажите, что этот максимум
не зависит от того, какую раскраску сде-
лал Петя.

***

Обсудим теперь задачу, где помогает дока-
занная нами лемма 2.

Задача 3 (А.Грибалко, Турнир математи-
ческих боев имени А.П.Савина, 2018). Ла-
дья обошла все клетки шахматной доски по
одному разу, чередуя горизонтальные и
вертикальные ходы, и вернулась на исход-
ную клетку. Какой наибольший по длине

1 На самой олимпиаде в условии задачи Рис. 10
было добавлено, что точки отмечены через
равные промежутки.

48 К В А Н T $ 2 0 2 1 / № 1

ся строки 2 и 6, потом 3 и 7, потом 4 и 8, и Решение этой задачи, а также много дру-
в итоге ладья возвращается на клетку, с гих интересных задач можно найти в книге
которой начинала. В.В.Произволова «Задачи на вырост». Очень
рекомендуем ее к изучению. Скачать книгу
Наконец мы готовы решить задачу, о кото- можно в интернете:
рой шла речь в самом начале.
https: math.ru lib 501 (издание 1995 года)
Задача 4 (В.Произволов, Всесоюзная олим- и https: www.mathedu.ru text
пиада школьников, 1985). Первые 2n нату- proizvolov_zadachi_na_vyrost_2003 (издание
ральных чисел разбиты на два множества
по n чисел в каждом. Пусть a1 a2 … an – 2003 года).
числа первого множества, расположенные в
порядке возрастания, а b1 ! b2 ! … ! bn – ***
числа второго множества, расположенные В заключение предлагаем еще несколько
в порядке убывания. Докажите равенство задач для самостоятельного решения.

a1 b1 a2 b2 … an bn n2. Сведение к частному случаю
Вот небольшая подборка задач, которые удоб-
Решение. Модуль разности ai bi – это но решать способом, разобранным в первом реше-
нии задачи 1: сведением к частному случаю
длина отрезка между точками с координата- элементарными преобразованиями.
ми ai и bi. Рассмотрим точки с координатами 6. В ряд стоят m мальчиков и d девочек в каком-
1, 2, …, 2n на прямой. Тогда, по лемме 2, то порядке. Каждого ребенка спросили, сколько
равенство достигается тогда и только тогда, слева от него стоит детей другого пола. Чему
когда все такие отрезки пересекают середи- равна сумма чисел, названных детьми?
ну. Иными словами, осталось доказать, что Указание. Докажите два утверждения:
для каждого i точки с координатами ai и bi 1. Если поменять местами мальчика и девочку,
лежат по разные стороны от середины. то сумма чисел не изменится.
2. Такими действиями можно привести ситуа-
Посмотрим, как расположены точки типов цию к простому частному случаю: когда сначала
a и b относительно середины. Если слева от
середины находится k точек типа a, то слева
от середины находится n k точек типа b,
значит, справа от середины – оставшиеся k
точек типа b. Таким образом, сколько точек
типа a слева от середины, столько и точек
типа b справа от середины! Тогда при i d k
точка ai находится слева от середины, а bi –
справа; при i ! k – наоборот.

Задача решена.
Напоследок приведем одну сложную зада-
чу В.Произволова про сумму модулей.
Задача 5. Произвольные m k различных
чисел разбили на две группы из m и k чисел
и в каждой группе расположили их в поряд-
ке возрастания:

a1 a2 … am , b1 b2 … bk.

Затем те же m k чисел снова разбили на
две группы из m и k чисел и в каждой группе
опять расположили в порядке возрастания:

c1 c2 … cm, d1 d2 … dk.

Докажите равенство

a1 c1 a2 c2 … am cm

b1 d1 b2 d2 … bk dk .