การให้เหตุผลทางเรขาคณิต

คณิตศาสตร์

เรื่อง
การให้เหตุผลทางเรขาคณิต

โดย

เด็กชายพงศภัค ศรีนวลอินทร์

การให้เหตุผลทางเรขาคณิต

1.ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการให้เหตุผลทาง
เรขาคณิต



ข้อความคาดการณ์ คือ ข้อสรุปที่ได้จากการสังเกตหรือการ
ทดลองหลายครั้ง ซึ่งเชื่อว่ามีความเป็นไปได้ที่สุด แต่ยังไม่ได้

พิสูจน์ว่าเป็นจริง

ประโยคมีเงื่อนไข มีรูปแบบเดียว คือ ประกอบด้วย
ข้อความสองข้อความที่เชื่อมด้วย ถ้า…แล้ว…
เรียกข้อความที่ตามหลัง ถ้า ว่า เหตุ
และเรียกข้อความตามหลัง แล้ว ว่า ผล

1.ประโยคมีเงื่ อนไขเป็นจริง
เมื่อเหตุเป็นจริง แล้วทำให้เกิดผลเป็นจริงเสมอ



2.ประโยคมีเงื่ อนไขไม่เป็นจริง
เมื่อเหตุเป็นจริง แล้วไม่ทำให้ผลเกิดเป็นจริงเสมอไป

บทกลับของประโยคเงื่ อนไข

(บทกลับ:สลับจากเหตุเป็นผล,จากผลเป็นเหตุ)

ถ้าประโยคมีเงื่อนไขใดเป็นจริง แล้วบทกลับของ
ประโยคนั้นอาจเป็นจริงหรือไม่ก็ได้

ในทางคณิตศาสตร์ เมื่อประโยคมีเงื่อนไขเป็นจริง
และมีบทกลับเป็นจริง อาจเขียนเป็นประโยค
เดียวกันโดยใช้คำว่า ก็ต่อเมื่อ เชื่อช้อความทั้ง

สองได้ และประโยคที่ได้ก็จะเป็นจริงด้วย ในทาง
กลับกันเมื่อมีประโยคที่เชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อ ซึ่ง
เป็นจริง ก็สามารถเขียนเป็นประโยคที่มีเงื่อนไข
สองประโยคซึ่งแต่ละประโยคก็เป็นจริงด้วย เช่น

การให้เหตุผลทางเรขาคณิต

คำอนิยาม : คำที่ใช้เป็นพื้นฐานในการสื่อความหมายให้เข้าใจ
ตรงกัน โดยไม่ต้องกำหนดความหมายของคำ ได้แก่ จุด
เส้นตรง

บทนิยาม : การให้ความหมายที่ชัดเจนและรัดกุมของคำต่างๆ ที่
เกี่ยวข้องกับเนื้อหาสาระนั้นๆ(หลังจากกำหนดคำอนิยามแล้ว)
*ข้อความในบทนิยาม สามารถเขียนให้เป็นประโยคที่เชื่อมด้วย

"ก็ต่อเมื่อ"ได้เสมอ

สัจพจน์ : ข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท : ข้อความที่พิสูจน์โดยเหตุผลทางตรรกวิทยาแล้วว่า
เป็นจริงและใช้อ้างอิงเพื่ อพิสูจน์ข้อความอื่ นได้

การพิสูจน์

*ข้อความคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่อยู่ในรูปประโยคเงื่ อนไข*

แบ่ง2กรณี ได้แก่

1.การพิสูจน์ว่าข้อความเป็นจริง : อาศัยบทนิยาม สัจพจน์
ข้อความที่เคยพิสูจน์ว่าเป็นจริงและสมบัติต่างๆ มาให้เหตุผล

เพื่อสรุปให้ได้ว่าผลที่ต้องการพิสูจน์เป็นจริง
*เมื่อเหตุเป็นจริงแล้วเหตุนั้นทำให้เกิดผลที่เป็นจริงเสมอ

2.การพิสูจน์ว่าข้อความไม่เป็นจริง : ยก"ยกตัวอย่างค้าน"
(ยกตัวอย่างที่เป็นจริงตามสิ่งที่กำหนดให้หรือเหตุ
แต่ผลที่สรุปให้ไม่เป็นจริง)

2.การสร้างและการให้เหตุผลเกี่ยวกับการสร้าง

การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต 6ข้อ

1.การสร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่ากับความยาว
ของส่วนบองเส้นตรงที่กำหนดให้

2.การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่กำหนดให้

3.การสร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมที่กำหนดให้

4.การแบ่งครึ่งมุมที่กำหนดให้

5.การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรงที่กำหนดให้

6.การสร้างเส้นตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งที่อยู่บนเส้นตรงที่กำหนดให้

เราจะนำความรู้เกี่ยวกับการสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิต6ข้อ มาใช้ในการ
สร้างรูปเรขาคณิตต่างๆเช่น สามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยม ให้มีลักษณะตาม

โจทย์ และพิสูจน์ว่าผลการสร้างเป็นจริง(ให้เหตุผล)

ตัวอย่าง กำหนดจุดP อยู่ภายนอก เส้นตรงAB จงสร้างเส้นตรง
ผ่านจุดP และขนานกับเส้นตรงABพร้อมแสดงเหตุผล

กำหนดให้ จุดPอยู่ภายนอกเส้นตรงAB
ต้องการสร้าง เส้นตรงCP ผ่านจุดPและขนานกับเส้นตรงAB

สร้าง

1.กำหนดจุดE เป็นจุดจุดหนึ่งบน เส้นตรงAB แล้วลาก

ส่วนของเส้นตรงEP

2.สร้าง มุมEPC ให้มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมBEP

โดยมุมEPCและมุมBEPเป็นมุมแย้งกัน พิสูจน์
3.ลากเส้นตรงCP จะได้เส้นตรงCPผ่านจุดP

และขนานกับเส้นตรงAB เนื่องจาก มุมEPC=มุมBEP (จากการสร้าง)

ดังนั้น เส้นตรงCPขนานกับเส้นตรงAB

(ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่า

กันแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน)

นั่นคือเส้นตรงCP ผ่านจุดPและขนานกับเส้นตรงAB

3.การให้เหตุผลเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม
และรูปสี่เหลี่ยม

ในหัวข้อนี้ จะนำทฤษฎีบทเหล่านี้จะใช้อ้างอิงในการพิสูจน์สมบัติสำคัญ
บางประการของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม

ทฤษฎีบท ด้านสองด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งจะยาวเท่ากัน
ก็ต่อเมื่อมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้านทั้งสองนั้นมีขนาดเท่ากัน
*มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน

*รูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดของมุมเท่ากันสองมุมเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีความสัมพันธ์กันแบบ
ฉาก-ด้าน-ด้าน(ฉ.ด.ด) กล่าวคือ มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน

และมีด้านอื่ นอีกหนึ่งคู่ยาวเท่ากัน
แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ทฤษฎีบท รูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานก็ต่อเมื่อ
ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นยาวเท่ากันสองคู่
ส่วนของเส้นตรงAB = ส่วนของเส้นตรงCD
ส่วนของเส้นตรงAD=ส่วนของเส้นตรงBC

ทฤษฎีบท ถ้ารูปสี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุมตรงข้าม
ที่มีขนาดเท่ากันสองคู่

แล้วรูปสี่เหลี่ยมรูปนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
มุมDAB=มุมBCD
มุมADC=มุมABC

ทฤษฎีบท เส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุม
AE=CE
BE=DE

ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงที่ปิดหัวท้ายของ
ส่วนของเส้นตรงที่ขนานกันและยาวเท่ากัน

จะขนานกันและยาวเท่ากัน
เช่น ส่วนของเส้นตรงACและส่วนของเส้นตรงBD ปิดหัวท้าย

ส่วนของเส้นตรงCDและส่วนของเส้นตรงAB
ซึ่งส่วนของเส้นตรงCD=ส่วนของเส้นตรงAB
และ ส่วนของเส้นตรงCD//ส่วนของเส้นตรงAB
ดังนั้น ส่วนของเส้นตรงAC=ส่วนของเส้นตรงBD
และ ส่วนของเส้นตรงAC//ส่วนของเส้นตรงBD

ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านสอง
ด้านของรูปสามเหลี่ยมใดๆ

จะขนานกับด้านที่สามและยาวเป็นครึ่งหนึ่งของด้านที่สาม
ส่วนของเส้นตรงDE//ส่วนของเส้นตรงBC
และ DE 1/2BC