MEDIA MENGAJAR UNTUK SMA/MA KELAS X MATEMATIKA
BAB 6 STATISTIKA Sumber gambar: Shutterstock.com
6.1 Penyaijan Data dalam Distribusi Frekuensi 23 10 26 18 1 24 12 2 9 28 2 28 12 12 16 18 8 23 6 21 17 1 7 17 3 11 6 14 15 15 Interval Frekuensi 0−9 10 10−19 13 20−29 7 Agar data tersebut dapat memberikan informasi yang lebih banyak dan mudah dibaca, maka sebaiknya disusun secara berkelompok yang disebut “distribusi frekuensi”. Di dalam distribusi frekuensi, data disusun secara berkelompok ke dalam kelas-kelas interval yang berbeda-beda.
Menyusun tabel distribusi frekuensi: ➢ Tentukan data terkecil 1dan data terbesar . Jangkauan = − 1. ➢ Menentukan banyaknya kelas interval K ditentukan berdasarakan “rumus Sturges”. Dengan = banyaknya kelas dan n = banyak data. Misalkan: banyaknya data n = 80 data terbesar = = 175 data terkecil = 1 = 141, maka: • = 1 + 3,3 log 80 = 7,2802 ≃ 7 ∴ banyaknya kelas = 7 • Lebar kelas = − 1 7 = 175 − 141 7 = 4,86 ≃ 5 Sehingga kemungkinan intrerval kelasnya adalah 141−145, 146−150, 151−155 = 1 + 3,3 log
6.2 Ukuran Pemusatan Data Rataan Hitung (Mean) Rataan hitung data dari 1, 2, 3, … , didefinisikan dengan: + + ⋯ + ഥ = σ= Keterangan: ҧ= rataan hitung (rataan) = data ke-i = banyak (ukuran) data Data Tunggal Contoh Rataan hitung dari data 60, 75, 62, 87, 65, 83 adalah . . . ҧ= 60 + 75 + 62 + 87 + 65 + 83 6 = 432 6 = 72 Jadi, rataannya adalah 72.
ҧ= σ=1 σ=1 Keterangan: ҧ= rataan = titik tengah interval kelas ke-i σ=1 = = ukuran data Interval Titik Tengah () Frekuensi () 21 – 25 23 2 46 26 – 30 28 8 224 31 – 35 33 9 297 36 – 40 38 6 228 41 – 45 43 3 129 46 – 50 48 2 96 30 1.020 Jadi rataan data di samping adalah ҧ= σ=1 6 σ=1 6 = 1.020 30 = 34 Rataan data berkelompok
Modus Modus dari suatu data adalah nilai (ukuran) yang paling banyak muncul atau mempunyai frekuensi tertinggi. Modus Data Tunggal ❖ Modus dari data 2, 3, 4, 2, 4, 5, 4, 2, 2 adalah 2. Karena angka 2 paling banyak muncul sebanyak 4 kali. ❖ Modus dari data 7, 3, 8, 5, 7, 7, 5, 1, 5 adalah 5 dan 7. Karena 5 dan 7 mempunyai frekunsi tertinggi, yaitu 3. Modus Data Berkelompok = + ⋅ 1 1 + 2 Keterangan: L = tepi bawah kelas modus 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya c = panjang kelas
Contoh Interval 21 –25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 Frekuensi 2 8 9 6 3 2 Dari tabel tersebut diperoleh: L = 30,5 1 = 9 − 8 = 1 2 = 9 − 6 = 3 = 5 Modus = + ⋅ 1 1 + 2 = 30,5 + 5 ⋅ 1 1 + 3 = 30,5 + 1,25 = 31,75 Jadi, modus dari data pada tabel tersebut adalah 31,75.
6.3 Ukuran Letak Data Median Jangkauan antarkuartil= 3 − 1 1(Data terkecil) Kuartil bawah Kuartil atas (Data terbesar) Jangkauan = − 1 Diketahui data 8, 2, 7, 15, 8, 12, 17, 20, 5 2 5 7 8 8 12 15 17 20 Data terkecil 1 2 3 Data terbesar 1 = data ke− 1 4 + 1 = data ke−2 1 2 = 5 + 1 2 7 − 5 = 6 2 = Median = data ke − 1 2 + 1 = data ke−5 = 8 3 = data ke− 3 4 + 1 = data ke−7 1 2 = 15 + 1 2 17 − 15 = 16 Kuartil Data Tunggal
Kuartil Data Berkelompok 2 = 2 + 1 2 − 2 2 1 = 1 + 1 4 − 1 1 3 = 3 + 3 4 − 3 3 dengan: 1 = tepi bawah kelas kuartil bawah 1 = ukuran data (jumlah frekuensi) 1 = frekuensi pada interval kelas kuartil bawah 1 1 = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil bawah 1 = panjang kelas 2 = tepi bawah kelas kuartil bawah 2 = ukuran data (jumlah frekuensi) 2 = frekuensi pada interval kelas kuartil bawah 2 2 = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil bawah 2 = panjang kelas 3 = tepi bawah kelas kuartil bawah 3 = ukuran data (jumlah frekuensi) 3 = frekuensi pada interval kelas kuartil bawah 3 3 = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil bawah 3 = panjang kelas
Contoh Hitunglah semua kuartil pada distribusi frekuensi pada tabel berikut. Jawab: Interval Frekuensi Frekuensi kumulatif 21 – 25 3 3 26 – 30 9 12 31 – 35 4 16 36 – 40 10 26 41 – 45 3 29 46 – 50 11 40 a. Interval kelas kuartil bawah 1 terletak pada 26 – 30 = 40; 1 = 25,5; 1 = 9; 1 = 3; dan = 5 1 = 25,5 + 5 1 4 ∙ 40 − 3 9 = 25,5 + 35 9 = 29,39 b. Interval kelas kuartil tengah 2 terletak pada 36 – 40 = 40; 2 = 35,5; 2 = 10; 2 = 16; dan = 5 2 = 35,5 + 5 1 2 ∙ 40 − 16 10 = 35,5 + 20 10 = 37,5 c. Interval kelas kuartil atas 3 terletak pada 46 – 50 = 40; 3 = 45,5; 3 = 11; 3 = 29; dan = 5 3 = 45,5 + 5 3 4 ∙ 40 − 29 11 = 45,5 + 5 11 = 45,95
Desil Selain kuartil data yang telah diurutkan juga dapat dicari nilai desilnya, jika ukuran data lebih dari 10. Desil membagi kumpulan data menjadi 10 bagian yang sama. Desil untuk data tunggal Letak = Data ke- (+1) 10 atau (+1) 10 Desil untuk data berkelompok Desil ( ) = + 10− Contoh Interval Frekuensi Frekuensi kumulatif 21 – 25 3 3 26 – 30 9 12 31 – 35 4 16 36 – 40 10 26 41 – 45 3 29 46 – 50 11 40 Akan dicari desil kelima 5 dari data pada tabel di samping. Interval desil ke-5 5 terletak pada 36 – 40. = 40; 5 = 35,5; 5 = 10; 5 = 16; dan = 5 5 = 35,5 + 5 5 10 ∙ 40 − 16) 10 = 37,5
Persentil Persentil adalah suatu nilai yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama. Persentil terdiri dari persentil pertama, persentil ke-2, …, persentil ke-99. Persentil untuk data tunggal Letak = Data ke- (+1) 100 atau (+1) 100 Persentil untuk data berkelompok Persentil = + 100− Contoh Persentil ke-30 30 dari data di samping adalah 30 100 ∙ 50 = 15; Kelas 30 adalah 50 – 59, maka 30 = 49,5; 30 = 5; 30 = 14; = 10, maka 30 = 30 + 30 100−30 30 = 49,5 + 10 15−5 14 = 56,64 Interval Frekuensi Frekuensi kumulatif 40 – 49 5 5 50 – 59 14 19 60 – 69 16 35 70 – 79 12 47 80 – 89 3 50 total 50 -
6.4 Ukuran Penyebaran Data Jika 1, 2, 3, … , −1, adalah suatu kumpulan data dan 1= data terkecil, = data terbesar, 1= kuartil bawah, 2 = = median, 3= kuartil atas, maka 1, , 1, 2, 3 disebut statistik lima serangkai. Jangkauan Jangkauan (J) adalah selisih dari statistik maksimum dan statistik minimum. = − 1 Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah. = 3 − 1
Simpangan kuartil = 1 2 (3 − 1) Simpangan kuartil adalah setengah dari selisih antarkuartil atas dan kuartil bawah. Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata dari data 1, 2, 3, … , didefinisikan sebagai: = σ=1 − ҧ σ=1 = σ=1 − ҧ Dengan: = data ke-i n = ukuran data ҧ= rataan (mean) Simpangan rata-rata apabila data berkelompok Dengan: = nilai tengah ke-i = frekuensi kelas ke-i ҧ= rataan (mean)
Ragam (variansi) Jika diketahui data 1, 2, 3, … , maka ragam 2 didefinisikan sebagai: 2 = σ=1 − ҧ 2 dengan: = data ke-i n = ukuran data ҧ= rataan (mean) 2 = σ=1 − ҧ 2 σ=1 Untuk data berkelompok Dengan: = nilai tengah kelas ke-i = frekuensi kelas ke-i ҧ= rataan (mean) σ = jumlah frekuensi Untuk data tunggal 2 = σ=1 − σ=1 2 atau
Contoh Ragam dari data 4, 5, 6, 7, 8, 6 adalah ҧ= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 6 6 = 36 6 = 6 Ragam = (4−6) 2+(5−6) 2+(6−6) 2+(7−6) 2+(8−6) 2+(6−6) 2 6 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0 6 = 1,67 Simpangan Baku (Standar Deviasi) Jika diketahui data 1, 2, 3, … , maka simpangan baku () didefinisikan sebagai: = σ=1 − ҧ 2 Simpangan baku σ = (4−6) 2+(5−6) 2+(6−6) 2+(7−6) 2+(8−6) 2+(6−6) 2 6 = 4+1+0+1+4+0 6 = 1,29 = σ=1 − σ=1 2 atau
6.4 Diagram Pencar Diagram pencar atau scatter plot adalah diagram yang menunjukkan hubungan antara dua kelompok data yang digambarkan dalam bentuk titik-titik (points) pada bidang koordinat Cartesius. Jika titik-titik pada diagram pencar membentuk pola yang menyerupai garis lurus dengan kemiringan positif (miring ke atas dari kiri ke kanan), maka terdapat hubungan positif atau korelasi positif antara dua kelompok data. Korelasi positif
Jika titik-titik pada diagram pencar membentuk pola yang menyerupai garis lurus dengan kemiringan negatif (miring ke bawah dari kiri ke kanan), maka terdapat hubungan negatif atau korelasi negatif antara dua kelompok data. Korelasi negatif Jika titik-titik pada diagram tampak menyebar secara acak, maka hubungan antaradua kelompok data semakin rendah atau tidak ada korelasi. Tidak ada Korelasi
Contoh Gambar diagram pencar dari himpunan 1, 2 , 2, 3 , 3, 5 , 4, 7 , 5, 7 , 6, 9 , 7, 8 , 8, 10 , 9, 13 , (10, 15) 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 12 Berdasarkan sebaram titik-titik, titik-titik tersebut membentuk pola menyerupai garis lurus dengan kemiringan positif. Jadi, terdapat hubungan positif antara x dan y.