เซต

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 1

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 เร่ือง เซต

ตอนท่ี 1.1 เซต ( Set )

1.1.1 ความเขา้ ใจเก่ียวกบั คาว่าเซต
1.1.2 วิธีการเขยี นเซต
1.1.3 สญั ลกั ษณเ์ ก่ียวกบั เซต
1.1.4 เอกภพสมั พทั ธ์
1.1.5 แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์
1.1.6 เซตว่าง
1.1.7 เซตจากดั หรือเซตอนนั ต์
1.1.8 เซตทีเ่ ทา่ กนั หรือเซตเทียบเทา่ กนั

จุดประสงค์การเรียนรู้

1. บอกลกั ษณะของขอ้ ความที่เป็นเซตไดถ้ กู ตอ้ ง
2. เขียนเซตแบบแจกแจงและแบบบอกเงื่อนไขการเป็นสมาชิกไดถ้ กู ตอ้ ง
3. บอกไดว้ ่าส่ิงทกี่ าหนดใหเ้ ป็นสมาชิกของเซตทกี่ าหนดให้หรือไม่

พร้อมใชส้ ญั ลกั ษณ์  และ  ไดถ้ ูกตอ้ ง
4. บอกสมาชิกเซตไดถ้ ูกตอ้ ง เมื่อกาหนดเซตพร้อมเอกภพสมั พทั ธ์
5. เขียนเซตโดยใชแ้ ผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ไดถ้ กู ตอ้ ง
6. บอกไดว้ ่าเซตท่กี าหนดเป็นเซตว่างหรือไม่
7. บอกไดว้ ่าเซตใดเป็นเซตจากดั เซตใดเป็นเซตอนนั ต์
8. บอกไดว้ า่ เซตสองเซตทกี่ าหนดเทา่ กนั หรือไม่
9. บอกไดว้ ่าเซตสองเซตที่กาหนดเทยี บเทา่ กนั หรือไม่

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 2

1.1.1 ความเข้าใจเก่ยี วกบั คาว่า “เซต”

เซตเป็นคาในภาษาคณิตศาสตร์ทีไ่ ม่ตอ้ งใหค้ วามหมาย นน่ั คือเป็นคาอนิยาม นกั คณิตศาสตร์ชาว
เยอรมนั ชื่อ Georg F.L.A. Cantor นามาใชใ้ นวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ือบง่ บอกถงึ ส่ิงตา่ ง ๆ ที่รวมเป็นกลมุ่ บางกลมุ่
มสี มบตั เิ ฉพาะ และเม่อื กล่าวถงึ แลว้ สามารถทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยใู่ นกลุ่มและไมอ่ ยใู่ นกลมุ่ (Well defined)
โดยส่ิงท่อี ยใู่ นเซตจะเรียกวา่ สมาชิก(element) ของเซต ซ่ึงอาจมีหลายตวั ตวั เดียว หรือไมม่ ีเลยกไ็ ด้ เช่น

“กลุม่ ของพยญั ชนะไทย” ภาษาคณิตศาสตร์ใช้ “เซตของพยญั ชนะไทย” มี ก, ข, ค ถึง ฮ เป็นสมาชิก
ของเซต แต่ a, b, แ, ๆ, ใ ไมเ่ ป็นสมาชิกของเซตน้ี

“ชา้ งหน่ึงโขลง” ภาษาคณิตศาสตร์ใช้ “เซตของช้าง” มชี า้ งพลาย ชา้ งพงั ชา้ งทุกชนิด
เป็นสมาชิกของเซต แต่ นก, แมว, ไก่, เป็ด ไมเ่ ป็นสมาชิกของเซตน้ี

“กลุ่มของตวั เลขท่ที าใหส้ มการ x2 - x - 2 = 0 เป็นจริง” ภาษาคณิตศาสตร์ใช้ “เซตของจานวนท่ี
สอดคลอ้ งกบั สมการ x2 - x - 2 = 0” มี -1, 2 เป็นสมาชิก

สาหรบั “กลุ่มของอาหารอร่อย” “กล่มุ ของหนุ่มรูปหลอ่ ทส่ี ุดในโลก” เราไมใ่ ช้ เนื่องจากไมส่ ามารถ
ตดั สินใจไดแ้ น่นอนวา่ อาหารใดหรือชายคนใดอยใู่ นกลุ่มน้ี เนื่องจากความอร่อยและความหลอ่ ในความรู้สึก
แต่ละคนไมต่ รงกนั ทาใหบ้ อกสมาชิกของเซตไดไ้ มแ่ น่นอน

กจิ กรรม 1.1.1 จงใส่เครื่องหมาย ✓ หนา้ ขอ้ ทใี่ ชเ้ ซตถูกตอ้ ง และ  หนา้ ขอ้ ทใ่ี ชเ้ ซตไม่ถกู ตอ้ ง

คาตอบ ขอ้ ความ
1. เซตของจานวนเตม็ ทีม่ ากกวา่ 5
2. เซตของภาพท่ีสวยงาม
3. เซตของมนุษยต์ ่างดาวบนโลก
4. เซตของกระตา่ ยบนดวงจนั ทร์
5. เซตของคนดี
6. เซตของคนอว้ น
7. เซตของคนทมี่ ีน้าหนกั ตวั มากกวา่ 80 กิโลกรมั
8. เซตของคาไทยที่ใช้ “ ใ ”
9. เซตของคนสวย
10. เซตของนางงามจกั รวาล
11. เซตของคนที่ไดร้ บั รางวลั โนเบล
12. เซตของรถที่แลน่ เร็ว
13. เซตของรถทแ่ี ลน่ ดว้ ยความเร็วเกิน 80 กิโลเมตรตอ่ ชวั่ โมง
14. เซตของอาหารทไ่ี ดร้ บั รางวลั เมนูทอง
15. เซตของจานวนเตม็ บวกที่นอ้ ยกวา่ 0

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 3

1.1.2 วธิ กี ารเขียนเซต

วธิ ีเขียนเซตอาจเขียนได้ 3 วธิ ี คอื

1. แบบบรรยาย
เขียนบรรยายลกั ษณะสมาชิกของเซตต่อคาวา่ “เซต” เช่น เซตของเดือนที่ข้ึนตน้ ดว้ ยตวั “ก”

เซตของพยญั ชนะไทย เซตของจานวนนบั

2. แบบแจกแจงสมาชิก
เขยี นสมาชิกท้งั หมดของเซตไวใ้ นวงเลบ็ ปี กกา และคนั่ สมาชิกแต่ละตวั ดว้ ยเคร่ืองหมายจุลภาค “,”

เช่น {กมุ ภาพนั ธ์, กรกฎาคม, กนั ยายน} , {bat, cat, rat, sat, mat}
ถา้ เซตน้นั มสี มาชิกเป็นจานวนมาก แต่มรี ะบบการเรียงลาดบั ทแ่ี น่นอนให้เขียนสมาชิก 3 ตวั แรกหรือ

มากกว่า แลว้ ใชจ้ ดุ 3 จุด เพ่ือบ่งบอกสมาชิกต่อไปอกี และถา้ ทราบตวั สุดทา้ ยตอ้ งใส่ตวั สุดทา้ ย เช่น
{ก, ข, ฃ, . . . , ฮ} , {1, 2, 3, . . . }

3. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
เขยี น 3 ส่วน ตามลาดบั น้ีในวงเลบ็ ปี กกา คอื
1. ตวั แทนการเป็นสมาชิก นิยมใช้ x , y หรือตวั อื่น ๆ
2. เครื่องหมาย “ | ” อา่ นวา่ “โดยท”ี่
3. บรรยายลกั ษณะสมาชิกในรูปตวั แทนการเป็นสมาชิก

เช่น {x | x เป็นพยญั ชนะไทย} , {m | m เป็นจานวนเตม็ บวก}

ตารางเปรียบเทยี บการเขียนเซต 3 แบบ

แบบบรรยาย แบบแจกแจงสมาชิก แบบบอกเงื่อนไข
{x | x เป็นเลขโดดใน “101”}
เซตเลขโดดใน “101” {0, 1} {x | x เป็นเดือนท่มี ี 28 วนั }
{x | x เป็นจานวนเต็มบวก}
เซตของเดือนทีม่ ี 28 วนั {กุมภาพนั ธ์} {x | x เป็นพยญั ชนะไทย}
{x | x เป็นเลข 3 หลกั มคี ่านอ้ ยท่สี ุด}
เซตของจานวนเตม็ บวก {1, 2, 3, . . . } {x | x เป็นพยญั ชนะในคา “แดงขาว”}
{x | x เป็นมนุษยต์ ่างดาวบนโลก}
เซตพยญั ชนะไทย {ก, ข, ฃ, . . . , ฮ}

เซตเลข 3 หลกั มีคา่ นอ้ ยท่ีสุด {100}

เซตพยญั ชนะในคาว่า “แดงขาว” {ข, ด, ว}

เซตมนุษยต์ ่างดาวบนโลก {}

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 4

ข้อสังเกต

1. ใช้ “ ... ” กรณีท่ที ราบแน่นอนว่าสมาชิกถดั ไปคอื อะไรเทา่ น้นั เช่น

จะไมเ่ ขียน A = {3, 5, 7, . . . , 23} ซ่ึงสมาชิกของเซต A อาจเป็นจานวนคต่ี ้งั แต่ 3 ถึง 23

หรือจานวนเฉพาะต้งั แต่ 3 ถงึ 23

จะไมเ่ ขยี น {1, 2, 7, √9, . . . } เพราะไมท่ ราบวา่ สมาชิกถดั จาก √9 คอื อะไร

จะไม่เขยี น { 1 , 2 , 3 , … , 1 , 2 , 3 , … } เพราะไมท่ ราบวา่ สมาชิกกอ่ นหนา้ 1 คอื อะไร
222 333 3
2. ไมน่ ิยมเขยี นสมาชิกซ้า และลาดบั ไม่สาคญั ในการเขียนเซตแบบแจกแจงทไ่ี มม่ ีการใช้ “. . .”

เช่น {7, 4, 6 } และ {4, 6, 7 } และ {4, 4, 6, 7, 7, 6, 6 } เป็นเซตเดียวกนั

3. เซตบางเซตไม่สามารถเขยี นแบบแจกแจงสมาชิกได้ เช่น เซตของจานวนจริง {x | x เป็นจานวนท่ีมากกว่า 9}

4. สมาชิกของเซตอาจจะเป็นเซตกไ็ ด้ เช่น {1, 3, { 4, 5 }} เซตน้ีมีสมาชิก 3 ตวั คือ 1, 3 และ {4 , 5}

5. ระวงั เคร่ืองหมาย “ , ” ในการอ่านและเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก

เช่น { 123 } กบั { 1, 2, 3 } ไม่เหมอื นกนั เพราะ {123} เป็นเซตท่มี สี มาชิก 1 ตวั คือ 123

{1, 2, 3 } เป็นเซตท่ีมีสมาชิก 3 ตวั คือ 1, 2 และ 3

{กบ} กบั {ก, บ } ไม่เหมือนกนั เพราะ {กบ} เป็นเซตทีม่ ีสมาชิก 1 ตวั คอื คาว่า “กบ”

{ก, บ} เป็นเซตที่มสี มาชิก 2 ตวั คือ ตวั อกั ษร ก และ บ

กจิ กรรม 1.1.2 ก จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก

1. เซตของอกั ษรในภาษาองั กฤษ

...............................................................................................................................................................................

2. เซตของจานวนเต็มบวก ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมการ x2 – 2x – 8 = 0

...............................................................................................................................................................................

3. {x | x2  4 และ x เป็นจานวนเต็ม}

...............................................................................................................................................................................

4. {a | a เป็นสีธงชาติไทย}

...............................................................................................................................................................................

5. {m | m เป็นจานวนนบั ทน่ี อ้ ยกว่า 100 และหารดว้ ย 10 ลงตวั }

...............................................................................................................................................................................

6. {x | x เป็นเลขโดดของจานวน “13,513,007”}

...............................................................................................................................................................................

7. {y | y = 3n + 1 เมอ่ื n = 1, 2, 3, 4}

...............................................................................................................................................................................

8. {b | b = 2n เมอ่ื n เป็นจานวนนบั }

...............................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 5

กิจกรรม 1.1.2 ข จงเขียนเซตต่อไปน้ี แบบบอกเงือ่ นไขการเป็นสมาชิก
1. เซตของพยญั ชนะในคาว่า “งามอยา่ งยอดนารีสตรีวิทยา”
...............................................................................................................................................................................
2. {2, 4, 6, . . . , 200}
...............................................................................................................................................................................
3. {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }
...............................................................................................................................................................................
4. {กรุงเทพมหานคร}
...............................................................................................................................................................................
5. {100, 101, 102, 103}
...............................................................................................................................................................................
6. {จนั ทร์, องั คาร, พุธ, พฤหสั บดี, ศกุ ร์, เสาร์, อาทติ ย}์
...............................................................................................................................................................................
7. {-1, -3, -5, -7, -9}
...............................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 6

1.1.3 สัญลักษณ์ท่ีใช้เกีย่ วกับเซต

1. ใช้ “ ” แทนคาว่า “เป็นสมาชิกของเซต” เช่น 5  {x | x เป็นจานวนนบั }

“ ” แทนคาวา่ “ไมเ่ ป็นสมาชิกของเซต” เช่น 0 {1, 2, 3, . . . , 10}

2. สญั ลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทนเซตของจานวนชนิดต่างๆ ทีค่ วรทราบ

สัญลกั ษณ์ เซต

N เซตของจานวนนบั คือ {1, 2, 3, . . .}

I+ เซตของจานวนเตม็ บวก คอื {1, 2, 3, . . .}

I0 เซตของจานวนเต็มศนู ย์ คอื { 0 }

I- เซตของจานวนเตม็ ลบ คอื {-1, -2, -3, . . .}

I เซตของจานวนเตม็ คือ {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . .}

Q เซตของจานวนตรรกยะ สมาชิกของเซตประกอบดว้ ย

- จานวนเต็มบวก จานวนเต็มศูนย์ จานวนเต็มลบ

- จานวนเศษส่วนทีไ่ มใ่ ช่จานวนเต็มโดยส่วนไมเ่ ป็นศูนย์

- ทศนิยมซ้า เช่น 0.7, 0.3535 . . .

Q/ เซตของจานวนอตรรกยะ สมาชิกของเซตประกอบดว้ ย

-,e

- จานวนทีไ่ ม่สามารถถอดรากไดเ้ ช่น 2 , 3 , 5

- ทศนิยมไมซ่ ้า เช่น 0.893889388893888893 . . .

R เซตของจานวนจริง สมาชิกของเซตประกอบดว้ ย

จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะท้งั หมด

E เซตของจานวนคู่ คอื {. . . , -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . .}

O เซตของจานวนคี่ คือ {. . . , -5, -3, -1, 1, 3, 5, . . .}

P เซตของจานวนเฉพาะ คือ

{ . . . ,-11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, . . .}

3. นิยมใช้ A, B, C, . . . , Z แทนชื่อเซต และ a, b, c, . . . , z แทนสมาชิกของเซตแบบแจกแจง

เช่น A แทนเซตของอกั ษรในคาวา่ “apple” เขียนแบบแจกแจงไดด้ งั น้ี A = { a, p, l, e}

4. ใช้ n(A) แทนคาว่า “ จานวนสมาชิกของเซต A ” ซ่ึงนบั สมาชิกทีแ่ ตกตา่ งกนั ถา้ ซ้ากนั นบั เพียงคร้ังเดียว

เช่น

A = {123} n(A) = 1 ตวั

B = {1, 2, 3, 1, 1} n(B) = 3 ตวั

C = {a, b, c, . . . , z} n(C) = 26 ตวั

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 7

กิจกรรม 1.1.3 ก จงเขยี นเคร่ืองหมาย  หรือ  เพอื่ ให้ขอ้ ความถกู ตอ้ งสมบรู ณ์

ขอ้  หรือ  เซต

1.  เซตของจานวนจริงทอี่ ยู่ระหว่าง 3 กบั 4
2. 0 เซตของจานวนเต็มลบทนี่ อ้ ยกว่า 1
3. -2 เซตของจานวนเตม็ ลบทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ x2 = 4
4. 0 { x  I+ | x2 = 0 }
5. ก เซตของพยญั ชนะในคาว่า “พฤษภาคม”
6. 0 {x |x = 2n ; n  I }
7. 1 เซตของจานวนเฉพาะ
8. 0 N
9. เสือลาย {เสือ}
10. เสือลาย {x | x เป็นเสือ}

กิจกรรม 1.1.3 ข จงใส่เครื่องหมาย ✓ หนา้ ขอ้ ที่ถูกตอ้ ง และ  หนา้ ขอ้ ทไี่ มถ่ กู ตอ้ ง

คาตอบ ขอ้ ความ
1. 3  {{ 3, 4, 5}}
2. 20  เซตจานวนคู่ระหวา่ ง 20 ถึง 30
3. {5}  {1, {5, 6}, 7}
4. {{a, b}}  {{ a, b}, c}
5. รถแข่ง  {รถ}
6. สามเหล่ยี มมุมฉาก  เซตของสามเหลีย่ ม
7. 0  {x | x2 + x = 0}
8. -3  {x  I | x2 = 9 และ x2 - 5x + 6 = 0}
9. 4.57  { x | 2 < x < 5}
10. 0.5  {x  I | x > 0}

กิจกรรม 1.1.3 ค จงเตมิ ขอ้ ความในช่องวา่ งตอ่ ไปน้ีให้ถูกตอ้ ง

1. ถา้ x  {0, 2, 4, 6} ดงั น้นั x = ……………………………………….

2. ถา้ x  {x  I+| x2 < 9} ดงั น้นั x = ……………………………………….

3. ถา้ x  {1, 3, 3, 6, 6, 6} ดงั น้นั x = ……………………………………….

4. ถา้ x  {x | x2 + 3x = 4} ดงั น้นั x = ……………………………………….

5. ถา้ {1, x}  {2, {{1, 3}}, {3}, {1, 5}, {3, 6}} ดงั น้นั x = ……………………………………….

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 8

6. ถา้ {2, x, 3}  {2, 3, {5, 6, 7}, {2, 3, 6}, {7, 8, 9}} ดงั น้นั x = ……………………………………….

7. ถา้ {, x}  {, {{}}, {{, 2}}, {5, }} ดงั น้นั x = ……………………………………….
8. ถา้ {a, b, x}  {{a}, b, 1, {2, a, b}} ดงั น้นั x = ……………………………………….
9. ถา้ A = {x | x เป็นนกั เรียนที่มี 20 หวั ในหอ้ งน้ี} ดงั น้นั n(A) = ……………………………………
10. ถา้ B = {ก, ข, {ค, ง}} ดงั น้นั n(B) = ……………………………………

1.1.4 เอกภพสัมพทั ธ์ (Relative Universal Set)

ในการใชค้ าว่า “เซต” ใหถ้ กู ตอ้ งการระบสุ มาชิกไดแ้ น่นอนตรงกนั ทกุ คนเป็นสิ่งสาคญั
การพจิ ารณาสมาชิกเซตแบบบรรยายหรือแบบบอกเง่ือนไขจึงตอ้ งมีขอบเขตที่แน่นอน ซ่ึงเซตที่กาหนด
ขอบเขตของเซตยอ่ ย เรียกวา่ “เอกภพสัมพทั ธ์”

บทนิยาม เอกภพสัมพทั ธ์ คือ เซตใหญ่ท่กี าหนดขอบเขตของเซตยอ่ ย ซ่ึงสมาชิกของเซตยอ่ ย
จะมีนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสมั พทั ธ์ไม่ได้ ใชส้ ัญลกั ษณแ์ ทนดว้ ย U

ตวั อย่างที่ 1 อาจเขยี นเซต Aโดยระบุเอกภพสัมพทั ธใ์ นเซตไดด้ งั น้ี
A = {x I- | x เป็นจานวนคู่}
จะไดส้ มาชิกของ A คอื -2, -4, -6, -8, . . . แต่ 0, 2, 4, 6, . . . ไม่เป็นสมาชิกของ A

เพราะไม่ไดอ้ ยใู่ นเอกภพสมั พทั ธ์ ดงั น้นั A = {-2, -4, -6, . . .}
แตถ่ า้ โจทยก์ าหนด B = {x  N | x เป็นจานวนคู่} สมาชิกของ B จะไม่เหมอื น A โดย B = {2, 4, 6,...}

ตัวอย่างที่ 2
กาหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} และ M = { x | x + 2 = 0 }
จะไดว้ ่าจานวนทส่ี อดคลอ้ งกบั สมการ x + 2 = 0 คือ -2 แต่ -2 ไม่อยใู่ นเอกภพสัมพทั ธ์

ดงั น้นั M =  คือ M เซตว่าง แต่ถา้ U = I แลว้ M = {-2}

ข้อตกลง
ในการพิจารณาสมาชิก เซตทเ่ี ก่ียวกบั จานวนตวั เลข ถา้ ไมก่ าหนดเอกภพสัมพทั ธ์

ใหถ้ ือวา่ เอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตจานวนจริง (R) เช่น
{x | (2x – 1)(x + 3) = 0} มคี วามหมายเช่นเดียวกบั {x  R | (2x – 1)(x + 3) = 0}
แตต่ ่างกบั {x I | (2x – 1)( x + 3) = 0} ซ่ึงจะมสี มาชิกคอื -3 เพยี งตวั เดียว

กจิ กรรม 1.1.4 จงตอบคาถามตอ่ ไปน้ี
1. {x | x เป็นพยญั ชนะในคาว่า “ขยนั เรียน”} ควรมีเซตใดเป็นเอกภพสมั พทั ธ์
ตอบ.......................................................................................................................................................................
2. {x | (x – 1)(x – 2)(x – 5) = 0} ควรมีเอกภพสมั พนั ธเ์ ป็นเซตใด ถา้ แจกแจงสมาชิกไดเ้ ป็น {2}
ตอบ.......................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 9

1.1.5 แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ (Venn – Euler Diagrams )

เป็นการเขยี นเซตโดยใชร้ ูปภาพซ่ึงนกั คณิตศาสตร์ชื่อ จอนห์ เวนน์ และ เลโอนาร์ด ออยเลอร์
ได้เป็ นผูค้ ิดข้ึนเพ่ือให้มองภาพพจน์เซตชัดเจนข้ึน นิยมเขียนสี่เหล่ียมมุมฉากแทนเอกภพสัมพทั ธ์ รูปวงรี,
วงกลม, สี่เหลีย่ ม หรือรูปปิ ดอน่ื ๆ พร้อมเขยี นชื่อเซตกากบั แทนเซตยอ่ ยในเอกภพสัมพทั ธ์ โดยรูปปิ ดแทนเซต
ย่อยจะมีเน้ือที่เกินส่ีเหล่ียมมมุ ฉากท่ีแทนเอกภพสัมพทั ธ์ไมไ่ ด้ หากตอ้ งการบ่งบอกสมาชิกให้เขียนสมาชิกใน
รูปปิ ดแทนเซตน้นั
ตวั อย่างท่ี 3 จงเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ แสดงเซตแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี

1. U = { x | x เป็นจานวนนบั }
C = {x|0<x<5}

2. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
T = {1, 2, 3} S = {4, 5}

C U SU

1234 123 45

5 6 7 8... T6

3. U = {a, b, c, d, e, f}
A = {a, b, c, d} B = {c, d, e}

4. U = {ก, ข, ค, ง, จ, ฉ}
M = {ข, ค, ง} N = {ค}

A U M U
B N

ac คข ก

b de ง ฉจ

f

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 10

ตวั อยา่ งการเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ เมือ่ ไมต่ อ้ งการบง่ บอกสมาชิก
1. ถา้ เซต A และ B ไม่มสี มาชิกร่วมกนั หรือไม่เหมอื นกนั แมแ้ ต่ตวั เดียว
เรียกว่า A และ B เป็น Disjoint Set

U
A

B

2. ถา้ เซต A และ B มีสมาชิกบางตวั เหมือนกนั บางตวั ไม่เหมือนกนั

U
AB

3. ถา้ สมาชิกทกุ ตวั ของเซต A เหมอื นของเซต B แตบ่ างตวั ของเซต B ไมเ่ หมอื นกบั เซต A

U
B
A

4. ถา้ สมาชิกของ A และสมาชิกของ B เหมอื นกนั ทกุ ตวั ( A = B )

U
A, B

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 11

กิจกรรม 1.1.5 ก จากแผนภาพท่กี าหนดให้

A1 3 5 B U
2 4 6
7 8
9

จงหาเซตตอ่ ไปน้ี 1. เซต A ………..................................…………………………..
2. เซต B ………..................................…………………………..
3. เซต U ………..................................…………………………..
4. เซตที่ประกอบดว้ ยสมาชิกของ A และ B

………..................................…..........................………………………..

5. เซตท่ปี ระกอบดว้ ยสมาชิกทีไ่ มเ่ ป็นของ A และไมเ่ ป็นของ B

………..................................…………...........................………………..

6. เซตที่ประกอบดว้ ยสมาชิกทีอ่ ยใู่ น A หรือใน B

………..................................…………………...........................………..

กจิ กรรม 1.1.5 ข จงเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ แสดงเงอื่ นไขในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1. สมาชิกทกุ ตวั ของ C มอี ยใู่ น B แต่สมาชิกบางตวั ของ B ไม่อยใู่ น C

และสมาชิกบางตวั ของ A มอี ยใู่ น B แต่ไม่มีสมาชิกตวั ใดของ A อยใู่ น C

U

2. สมาชิกทกุ ตวั ของ C มีอยใู่ น B แต่สมาชิกบางตวั ของ B ไมอ่ ยใู่ น C
และสมาชิกทุกตวั ของ B มอี ยใู่ น A แตม่ สี มาชิกบางตวั ของ A ไม่อยใู่ น B

U

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 12

1.1.6 เซตว่าง (Empty Set หรือ Null Set)

บทนยิ าม เซตว่าง คอื เซตทไี่ มม่ ีสมาชิก
นิยมใชส้ ญั ลกั ษณแ์ ทนเซตวา่ งแบบแจกแจงดว้ ย { }หรือ 

เช่น เซตของมนุษยต์ า่ งดาวในโรงเรียนสตรีวิทยา
{x  I | 2 < x < 3}
{y | y เป็นเดือนท่มี ี 40 วนั }
{m  I+ | 2m – 1 = 0}
{x | x + 2 = x}
{x  I | x2 < x}

ข้ อ พึ ง ร ะ วั ง
สัญลกั ษณ์ 0, {0}, {} และ {{ }} ไม่ใช่เซตวา่ ง

0 คือ จานวนเต็มศนู ย์
{0} คือ เซตทม่ี ีสมาชิก 1 ตวั คือ 0
{} และ {{ }} คือ เซตท่มี ีสมาชิก 1 ตวั คือ  และ { } ตามลาดบั
** หมายเหตุ {} เป็นเซตเดียวกนั กบั {{ }}

ถา้ เปรียบเคร่ืองหมายปี กกาหรือเซตคือกล่อง
 {}

กลอ่ งเปลา่ กล่องเปลา่ ซอ้ นกลอ่ งเปลา่

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 13

กิจกรรม 1.1.6 จงพิจารณาวา่ เซตในขอ้ ใดเป็นเซตวา่ ง

1. ............ เซตของจานวนนบั ท่มี ากกวา่ ศนู ย์ 7. ............ {m  R | m2 < m}

2. ............ {x | x + x = 1} 8. ............ {x | x เป็นเซตว่าง}

3. ............ {x  I | x + x = 1} 9. ............ {0, }

4. ............ {x  R| x > 4 และ x < -3} 10............ {{ }}

5. ............ {x | x2 + 4 = 0}

6. ............ {x | x เป็นมนุษยท์ ม่ี ี 20 หัวในหอ้ งเรียนขณะทาขอ้ น้ี}

1.1.7 เซตจากัดหรือเซตอนนั ต์ (Finite Set หรือ Infinite Set)

บทนิยาม เซตจากดั หมายถึง เซตทจ่ี านวนสมาชิกทแี่ ตกต่างกนั ในเซตเป็นจานวนเตม็ บวก
หรือจานวนเตม็ ศูนย์ นนั่ คือจานวนสมาชิกแน่นอน หรือไมม่ ีสมาชิกเลย

บทนิยาม เซตอนนั ต์ หมายถึง เซตท่ีไม่ใช่เซตจากดั นนั่ คอื จานวนสมาชิกมากมายไม่จากดั

กิจกรรม 1.1.7 ก ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาตารางและเตมิ คาตอบตารางให้สมบรู ณ์

เซต จานวนสมาชิกเซต ชนิดเซต

1. {1, 2, 4, 9} 4 ตวั เซตจากดั
2. {2, 4, 6, . . ., 100} 50 ตวั เซตจากดั
3. {1, 2, 3, . . .} มากมายไม่สิ้นสุด เซตอนนั ต์
4. {x | x เป็นจานวนจริงที่อยรู่ ะหว่าง 5 กบั 8} มมี ากบอกไมไ่ ด้ เซตอนนั ต์
5. {x | x เป็นจานวนเตม็ ระหว่าง 5 กบั 8} 2 ตวั .....................
6. {x | x เป็นจานวนเตม็ ระหวา่ ง 5 กบั 6} 0 ตวั เซตจากดั
7. {a, b, c, . . ., z} .................................. .....................
8. {y  I | 2y – 1 = 0} .................................. .....................
9. {m | m  R และ 2m – 1 = 0} .................................. .....................
10. {x  I | x2 > 0} .................................. .....................
11. {1, 2, {5, 6}, {{9}, 4, 3}, 8} .................................. .....................
12. {a, b, {1, 2, 3, . . .}} .................................. .....................

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 14

สั ง เ ก ต 1. เซตวา่ งมีจานวนสมาชิก 0 ตวั เสมอ
นกั เรียนคิดว่าเซตวา่ งเป็นเซตจากดั หรือเซตอนนั ต์ ?

คาตอบ ....................................................................

2. มีเซตใดหรือไม่หรือไม่? ที่เป็นท้งั เซตจากดั และเซตอนนั ต์
คาตอบ .........................................................................

กจิ กรรม 1.1.7 ข จงพิจารณาว่าเซตในขอ้ ตอ่ ไปน้ีเป็นเซตจากดั หรือ เซตอนนั ต์

1. เซตของนกั เรียนในหอ้ งน้ี .........................................
2. {} .........................................
3. {1, 2, {1, 2, 3, . . .}} .........................................
4. เซตของจานวนเฉพาะ .........................................
5. {x  N | x < 0} .........................................
6. เซตของรูปส่ีเหลี่ยม .........................................
7. {2n – 1 | n  I} .........................................
8. {x | 3  x  9} .........................................
9. {0, -1, -2, . . ., -99} .........................................
10. {1, 1 , 1 , … } .........................................

23

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 15

กจิ กรรม 1.1.7 ค จงพิจารณาวา่ ขอ้ ความตอ่ ไปน้ีขอ้ ใดถกู และขอ้ ใดผิด
____ 1. D = {x  I | x =−√x } เป็นเซตจากดั และเซตวา่ ง
____ 2. {x  I | x2 > -1} เป็นเซตว่าง
____ 3. {x  I−| x > -50} เป็นเซตอนนั ต์
____ 4. เซตของรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก เป็นเซตอนนั ต์
____ 5. เซตของเศษส่วนซ่ึงเศษมีค่าเท่ากบั ส่วน เป็นเซตอนนั ต์
____ 6. {x | x2 < -1} เป็นเซตจากดั
____ 7. {} เป็นเซตว่างและเซตจากดั
____ 8. {x | 0 < x < 1} เป็นเซตวา่ ง
____ 9. {R} เป็นเซตอนนั ต์
____ 10. {x  Q | 0.5 < x < 1} เป็นเซตอนนั ต์
____ 11. {{1, 2, 3, . . .}} เป็นเซตอนนั ต์
____ 12. ถา้ I เป็นเซตจานวนเต็ม แลว้ {-1, 0, I} เป็นเซตอนนั ต์
____ 13. เซตของประชากรไทยในขณะทาโจทยข์ อ้ น้ี เป็นเซตจากดั
____ 14. เซตของวงกลมในระนาบ เป็นเซตอนนั ต์
____ 15. ถา้ กาหนด A = {x | x = 5n ; n  I} แลว้ เขียน A แบบแจกแจงสมาชิกได้
เป็น {15, 20, 25, 30, . . . , 1000} แสดงว่า เอกภพสมั พทั ธ์ คอื เซตจานวนเต็มบวก

1.1.8 เซตทเ่ี ท่ากนั หรือเซตท่ีเทียบเท่ากัน (Equal Set หรือ Equivalent Set)

กิจกรรม 1.1.8 ก ให้นกั เรียนพจิ ารณาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งเซต A และ B ดงั ตารางตอ่ ไปน้ี

เซต A เซต B ความสัมพนั ธ์เซต A และ B

{4, 2, 3} {4, 2, 3} เท่ากนั

{4, 2, 3} {1, 2, 3, 4} ไมเ่ ท่ากนั

{4, 2, 3} {a, b, c} ไม่เทา่ กนั

{ข, ค} {ข, ค} เท่ากนั

{1, 2, 3, . . ., 100} {1, 2, 3, 4, . . . , 99}

{a, {b}} {a, b}

{1, 3, 5, . . . , 99} {2, 4, 6, 8, . . . , 100}

นกั เรียนสามารถสรุปความหมายของเซต A เทา่ กบั เซต B ไดด้ งั น้ี

นยิ าม เซต A เท่ากบั เซต B กต็ ่อเม่ือ...............................................................
ใชส้ ัญลกั ษณแ์ ทน A เทา่ กบั B ดว้ ย A = B และ A ไมเ่ ทา่ กบั B ดว้ ย A ≠ B

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 16

กจิ กรรม 1.1.8 ข ให้นกั เรียนพิจารณาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งเซต A และ B ดงั ตารางต่อไปน้ี

เซต A เซต B ความสัมพนั ธเ์ ซต A และ B
{4, 2, 3} {4, 2, 3} เทยี บเท่า
{4, 2, 3} {1, 2, 3, 4} ไมเ่ ทียบเท่า
{4, 2, 3} {a, b, c} เทยี บเทา่
{ข, ค} {ข, ค} เทยี บเท่า
{1, 2, 3, . . ., 100} {1, 2, 3, 4, . . . , 99}
{a, {b}} {a, b}
{1, 3, 5, . . . , 99} {2, 4, 6, 8, . . . , 100}

นกั เรียนสามารถสรุปความหมายของเซต A เทียบเท่ากบั เซต B ไดด้ งั น้ี

นิยาม เซต A เทยี บเท่ากบั เซต B กต็ ่อเมื่อ...........................................................
ใชส้ ัญลกั ษณแ์ ทน A เทียบเทา่ กบั B ดว้ ย A ~ B

เซตเท่ากนั กบั เซตทเ่ี ทียบเทา่ กนั
เหมอื นกนั หรือตา่ งกนั อยา่ งไร ?

ถา้ A = B แลว้ A ~ B ถูกตอ้ งหรือไม่ ?

ถา้ A ~ B แลว้ A = B ถูกตอ้ งหรือไม่?

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 17

ตวั อย่างที่ 4 จงพิจารณาความสัมพนั ธ์ระหว่างเซตในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีเซตเท่ากนั หรือเทยี บเทา่ กนั

1. A = {3, 5, 7, 9}

B = {x | x = 2n + 1 เมื่อ n  I และ 1  n < 5}

ตอบ ......................................................................................................................................................................................

2. C = {x | (x – 1) (x – 3) (x – 5) (x – 2) = 0}

D = {1352}

F = {x | x - 1325 = 0}

G = {1, 3, 3, 5, 2, 2, 5}

ตอบ ......................................................................................................................................................................................

3. H = {x  I | 1 < x  5}

K = {x | 1 < x  5}

ตอบ ......................................................................................................................................................................................

4. L = {x  N | x < 0}

M=

Q = {}

ตอบ ......................................................................................................................................................................................

11 1
5. S = {1, 4 , 9 , 16 , . . .}

T = {x | x = 1 เมื่อ n  N}
m2

ตอบ ......................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 4 (G) โรงเรียนสตรีวิทยา หนา้ 18

กจิ กรรม 1.1.8 ค จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ีขอ้ ใดถกู ตอ้ งและขอ้ ใดไมถ่ กู ตอ้ ง

____ 1. {รถ} = {car}

____ 2. {1, 3, 7, 9} เทียบเท่า {x ∈ I+ | x2  16}

____ 3. {a, b, c} = {ก, ข, ค}
____ 4. {1, 2, 3, . . . }  {x  I | x  0}
____ 5. {-3, -4, -5, . . .} = {x  I | x < -2}
____ 6. 0 = {0}
____ 7. A = A เม่ือ A เป็นเซตใด ๆ
____ 8. A และ B เป็นเซตใด ๆ ถา้ A = B แลว้ B = A
____ 9. A, B, C เป็นเซตใด ๆ ถา้ A = B และ B = C แลว้ A = C
____ 10. A, B, C เป็นเซตใด ๆ ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  C
____ 11. A, B, C เป็นเซตใด ๆ ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  C
____ 12. ถา้ A เทา่ กบั B แลว้ A เทียบเทา่ B
____ 13. ถา้ A เทียบเทา่ B แลว้ A เทา่ กบั B
____ 14. { x  I+ | x2 – 3x – 10 = 0 } เทา่ กนั และเทียบเท่ากนั กบั

{ x | x = 2n – 1 เม่อื n = -1 , 0 }
____ 15. {เรือ} เทียบเท่าและเทา่ กบั {เรือดาน้า}

แนวคดิ ขอ้ 10, 11, 13 ใชก้ ารยกตวั อยา่ งท่ขี ดั แยง้ เพยี ง 1 ตวั อยา่ ง
ข้อ 10 ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  C หาตวั อยา่ งให้ตรงกบั เหตุ (ขอ้ ความหลงั ถา้ ...)

A  B และ B  C แตไ่ ม่เป็นไปตามผล (ขอ้ ความหลงั แลว้ ...) A  C
เช่น A = {1} , B = {2}, C = {1}
จะเห็นวา่ A  B และ B  C แต่สรุปได้ A = C ข้อ 10 จงึ ไม่ถกู ต้อง

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 19

กจิ กรรม 1.1.8 ง จงพิจารณาเซตแตล่ ะคู่ตอ่ ไปน้ีเทา่ กนั หรือเทียบเท่ากนั เท่ากัน เทยี บเท่ากนั

ข้อ เซต
1. A = {123} กบั B = {1123}
2. C = {ก, บ} กบั D = {กบ}
3. F = {1, 1, 2, 24, 24, 44} กบั G = {1, 24, 4, 44}
4. H = {x | x2 – 6x + 8 = 0} กบั J = {x | x เป็นจานวนคู่ระหวา่ ง 2 ถงึ 8}
5. K = {x | x2  4 และ x เป็นจานวนคี่} กบั L = {0, 1, -1}
6. M = {x | x2 + 2x – 3 = 0} กบั Q = {y | y4 + 2y3 – 2y2 + 2y – 3 = 0}
7. S = {x | x เป็นพยญั ชนะในคาวา่ “สุดสวย”} กบั

T = {m | m เป็นพยญั ชนะในคาวา่ “สายวาด”}
8. U = {{1, 2, 3}, 4} กบั V = {1, 2, {3, 4}}
9. W = {x | x + 1 = x} กบั X = {x  I+ | 3x = 0}
10. Y = {a, {b, c}, d, e} กบั Z = {a, b, {c, d}, e}

กิจกรรม 1.1.8 จ จงเตมิ คาตอบลงในช่องวา่ งให้ถกู ตอ้ งสมบรู ณ์
1. ให้ {7, a} = {4, b} แลว้

a = …...............................................................................................…
b = …..............................................................................................…

2. ถา้ A = {1, 4, 9} B = {1, 9, 2m} และ A = B แลว้
m = ........................................................................................................

3. ให้ {1, 1 + p, 1 + 2p} = {1, q, q2} แลว้
p = ..............................., q = ............................... หรือ p = ..............................., q = ...............................

4. ให้ E = {2n + 1, 5, 2n – 1} F = {5, 7} ถา้ E = F แลว้
n = ……..........................................................................................……
E = ……......................................................................................………

5. ถา้ A = {x2, 3, 2} B = {x + 6, 2, 3} และ A = B แลว้
x = ………........................................................................................……

เอกสารประกอบการเรียนเร่ือง เซต ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ท่ี 4 (G) โรงเรียนสตรีวทิ ยา หนา้ 20

สา ห รั บ นั ก เ รี ย น ท่ี ส น ใ จ พิ เ ศ ษ

เซตทีเ่ ทียบเท่ากันกรณีเป็ นเซตอนนั ต์

พิจารณา A = {a, b, c} และ B = {x, y, z} จะไดว้ า่ n(A) = 3 ตวั และ n(B) = 3 ตวั
ซ่ึงมีจานวนสมาชิกเทา่ กนั กล่าววา่ เซต A และ เซต B เป็นเซตทเี่ ทียบเทา่ กนั

แตก่ รณี A และ B เป็นเซตอนนั ต์ เราไม่สามารถบอกจานวนสมาชิกของเซต A และ เซต B ได้
จึงใชก้ ารจบั คแู่ บบหน่ึงตอ่ หน่ึงแทน เช่น

A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . } 2n – 1 ; n ∈ N

B = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . } 2n ; n ∈ N

จะไดว้ ่า A เทียบเทา่ กบั B

ตัวอย่างท่ี 5 ให้ C = {1, 2, 3, . . . } และ D = {1, 4, 9, 16, . . .} จงพจิ ารณา C และ D เทยี บเทา่ กนั หรือไม่
พจิ ารณา 1 จบั คู่ 1 , 2 จบั คู่ 4 , 3 จบั คู่ 9 , 4 จบั คู่ 16 และ . . . .

สามารถจบั คูแ่ บบหน่ึงตอ่ หน่ึงภายใตร้ ูปทว่ั ไปว่า n n2 ; n ∈ I+

ดงั น้นั เซต C เทียบเท่ากบั เซต D

ตัวอย่างท่ี 6 กาหนดให้
A = { . . . , -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, . . . }
Y = {. . ., -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 40, . . .}
Z = {x | 1 < x < 100}

จงพิจารณาวา่ มีเซตคู่ใดบา้ งที่เทียบเท่ากนั
พิจารณา สามารถจบั คู่แบบหน่ึงตอ่ หน่ึงระหว่างสมาชิกเซต A และ เซต Y

ภายใตร้ ูปทว่ั ไป 3n 10n เม่ือ n  I

ดงั น้นั เซต A เทียบเทา่ กบั เซต Y
แตไ่ มส่ ามารถสร้างรูปแบบจบั คูห่ น่ึงตอ่ หน่ึงระหวา่ งสมาชิกของ A และ Z
ดงั น้นั เซต A ไมเ่ ทียบเทา่ กบั เซต Z