Vektor

43 Chapter IV Vektor :: I. Terminologi :: A. Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah Contoh : 1. Komentator olahraga melaporkan “tinju” Kheng Hui keras dan terarah. Jadi tinju adalah besaran vektor, dimana keras menyatakan nilainya dan terarah menyatakan arahnya. 2. AB adalah vektor yang besarnya sama dengan segmen garis AB dan arahnya dari A ke B. BA adalah vektor yang besarnya sama dengan segmen garis AB dan arahnya dari B ke A. B. Vektor yang sama 2 buah vektor aljabar dikatakan sama jika dan hanya jika besar dan arahnya sama. Jadi jika u = v maka haruslah : 1. arah u = arah v 2. u = v Dalam aljabar vektor yang dibicarakan adalah vektor yang bebas pergeseran parallel ( vektor bebas ). C. Perkalian Skalar dengan vektor Perkalian k dengan v atau k v sebuah vektor yang besarnya k v dan arahnya sejajar dengan v . Bila : 1. k > 0 , maka arah k v searah dengan v 2 .k < 0 , maka arah k v berlawanan arah dengan v 3. k = 0 , maka arah k v = 0 yaitu vektor yang besarnya o dan arahnya sembarang. u v w u v w v v2 1 v2 1 v2 1 1 v2 1 1

44 D. Vektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang bertitik pangkal di titik asal (0,0). OA adalah vektor posisi dari titik A , disingkat OA = A = a = a = a OB adalah Vektor posisi dari titik B , disingkat OB = B = b = b = b OA = A = a a y x ; OA = 2 2 a a x y OB = B = b b y x ; OB = 2 2 b b x y Dua buah vektor posisi OP = OQ jika dan hanya jika P dan Q berimpit. E. Vektor Perpindahan AB adalah vektor perpindahan dari A ke B, dimana AB = b - a = b b y x - a a y x AB = 2 2 b a b a x x y y BA adalah vektor perpindahan dari B ke A, dimana BA = a - b = a a y x - b b y x BA = 2 2 b a b a x x y y Jelas bahwa : AB = - BA :: II. Jumlah dan Selisih Vektor :: A. Jumlah Vektor 1. Metoda Paralellogram ( metoda jajargenjang ) Rumus : 1 2 v v = 2 1 2 cos 2 2 2 V1 V V V 1 v 1 v 2 v 2 v 1 2 R v v

45 2. Metoda Segitiga 3. Metoda Poligon B. Selisih Vektor 1. Metoda parallelogram ( metoda jajargenjang ) ( ) 1 2 1 2 v v v v Rumus : 1 2 v v = 2 1 2 cos 2 2 2 1 v v v v 1 v 1 v 2 v 1 2 R v v 1 v 1 v 2 v 2 v 3 v 3 v 4 v 4 v 5 v 5 v R 1 2 3 4 5 R v v v v v 1 v 1 v 2 v 2 v - 2 v 1 2 v v

46 2. Metoda Segitiga :: Teladan :: 1. ABCD adalah jajargenjang dengan koordanat A(5,4) ; B(-6,-2) dan C(8,3). Tentukan koordinat titik D. Solusi : D( , ) D D x y C(8,3) AB = DC b - a = c - d d = a + c - b A(5,4) B(-6,-2) D D y x = 4 5 + 3 8 - 2 6 = 9 19 Jadi koordinat titik D(19,9) 2. Jika T tengah-tengah AB Buktikan : t = 2 1 ( a + b ) Bukti : AT = 2 1 AB t - a = 2 1 b a t = 2 1 b - 2 1 a + a t = 2 1 b + 2 1 a Jadi : t = 2 1 ( a + b ) Rumus : Jika T tengah-tengah AB, maka : t = 2 1 ( a + b ) A T B y x O a b t 1 v 1 v 1 v 2 v 2 v 2 v 1 2 v v 2 1 v v

47 3. P pada garis AB sehingga AP : PB = m : n Buktikan : p = n m na mb Bukti : AP = m n m AB p = m n m b - m n m a + m n m n a p - a = m n m ( b - a ) p = m n mb ma ma na p = m n m b - m n m a + a p = m n na mb Rumus : Jika P pada AB , sehingga AP : PB = m : n , maka : p = m n na mb 4. JIka Z adalah titik berat ABC , buktikan Bukti : z = 3 a 2d z = 3 2 2 b c a z = 3 1 ( a + b + c ) RUMUS : JIka Z adalah titik berat ABC , maka : z = 3 1 ( a + b + c ) A B P m n A B D E Z 1 1 1 1 1 1 C 2 2 z a b c 3 1

48 5. Diketahui limas ABCD, P adalah titik berat ABD dan Q pada CP sedemikian sehingga CQ : QP = 3 : 1. Buktikan q = 4 1 ( a + b + c + d ) Bukti : D q = 4 c 3p 1 = 4 1 c + 4 3 p 1 = 4 1 c + 4 3 . 3 1 ( a + b + d ) P 1 Q 3 A C = 4 1 ( a + b + c + d ) 1 1 B 6. Diketahui limas ABCD dengan a = AB , b = AC , c = AD . Titik P tengah- tengah AB, R tengah-tengah CD. Nyatakan PR dalam a , b dan c . Solusi : D PR = PA + AD + DR = = - 2 AB 1 + AD + 2 DC 1 c R = - 2 AB 1 + AD + 2 1 ( DA+ AC ) = = - 2 AB 1 + AD + 2 1 (- AD + AC ) = - 2 AB 1 + AD - 2 1 AD + 2 1 AC A b C = - 2 AB 1 + 2 1 AD + 2 1 AC P = - 2 1 a + 2 1 b + 2 1 c a = 2 1 ( - a + b + c ) B

49 7. Dalam ABC diketahui AD dan BE adalah garis berat dan G adalah titik berat. Buktikan : a. AG : GD = 2 : 1 b. BG : GE = 2 : 1 Bukti : C g = (1 - ) a + d 1 1 = (1 - ) a + 1 2 b c D = (1 - ) a + b 2 1 + c 2 1 …( 1 ) E (1- k (1- ) g = (1 – k ) b + ke 1 G k 1 = (1 – k ) b + k1 2 a c = (1 – k ) b + ka kc 2 1 2 1 A B = ka 2 1 + (1 – k ) b + kc 2 1 ...( 2 ) Dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) kita samakan koefisien-koefisien yang seletak, didapat : * dari koefisien c : k2 1 2 1 k * dari koefisien b : 1 k 2 1 1 2 1 1 2 3 3 2 jadi 3 2 k Kontrol terhadap koefisien a : k2 1 1 3 2 2 1 3 2 1 . benar Jadi AG : GD = :1 BG : GE = k :(1 k) = 3 2 3 2 : 1 = 3 2 3 2 : 1 = 3 1 3 2 : = 3 1 3 2 : = 2 : 1 = 2 : 1 :: Exercise 1 :: 1. Diketahui vektor-vektor : a b c d Gambarkan vektor : a. 2 a + b + c2 1 + d b. 1 a 2b 3c d 2 1 c. 2a b 2c 3d 2. Give that p 2a b and q 3a 2b , express 3p 4q and 2 p 3q in term of a and b

50 3. ABCD is quadrilateral (= segi empat) . P and Q are mid point of AB and CD respectively (= masingmasing). Prove that AD BC 2PQ 4. ABCD is quadrilateral. P, Q, R, S, are the mid point of AB, BC, CD, DA respectively. Prove that PQRS is a parallelogram. 5. Diketahui ABC . D pada BC sehingga BD : DC 4 : 5 , E pada AD sehingga AE : ED 4 : 3 , F pada CE sehingga CF : FE 4 :1. Nyatakan vektor posisi f dalam vektor posisi a , b dan c . 6. Diketahui limas ABCD dengan a = AB , b = AC , c = AD . Titik Q tengah-tengah BC , titik S tengah-tengah AD . Nyatakan QS dalam a , b dan c . 7. If 3OA 2OB 5OC O,prove that the points A,B,C are collinear (segaris). 8. The points A, B and C have position vectors a , b and ma nb respectively. If A, B and C collinear, show that m + n = 1. 9. A, B and C are points with position vectors p q , ( p q) and p q respectively, relative to an origin O. Given that A, B and C collinear, find the value of . 10. ABC is a triangle. P is a point on the side BC such that PC = 3 PB.Show that 4AP AC 3AB . 11. Points A, B, C, D have position vectors a,b,c,d respectively relative an origin O. If P divides ( membagi ) AB in the ratio 1 : 2 and Q divides CD in the ratio 1 : 2 obtain an expression for the position vector of X, where X is the mid-point of PQ. If ABCD is a parallelogram show that X is the point in which the diagonals AC and BD intersect. 12. Dalam segi enam beraturan ABCDEF , diketahui p AB dan q AE Buktikan : AB AC AD AE AF 3p q 13. Pada ABC , titik D pada BC sehingga BD : DC 2 : 5 , E pada AC sehingga AE : EC 3: 4 , garis AD dan BE berpotongan di G. Perpanjangan garis CG memotong AB di F. Hitung : a. AG :GD dan BG :GE b. CG :GF dan AF : FB 14. Diketahui segitiga ABC, titik P terletak pada sisi AC sehingga AP:PC=5:2, titik Q pada sisi BC sehingga CQ : QB = 4 : 1. Titik R pada perpanjangan PQ sehingga A, B , dan R terletak pada satu garis lurus. Hitung PQ : QR 15. ABCD merupakan sebuah jajargenjang. P pada CD sehingga DP:PC=2:5. Q pada AB sehingga AQ:QB=4:7, PB berpotongan dengan QC di Z, tentukan PZ : ZB ! 16. ABCD merupakan sebuah jajargenjang. P pada CD sehingga DP:PC=3:1. Titik Q pada CD sehingga DQ : QC = 1 : 3 , R pada AD sehingga AR : RD = 1 : 3. RQ berpotongan dengan BP di titik S. Hitung RS : SQ.

51 17. ABCD adalah jajargenjang, E tengah-tengah AD, F tengah-tengah DC, BE dan BF memotong diagonal AC masing-masing di M dan N. Buktikan : AM MN NC 18. Pada kubus ABCD.EFGH : AB a ,BC b ,CGc . Jika P tengah-tengah AC , Q tengah-tengah PH, nyatakan QG dalam a ,b ,dan c ! 19. E Pada gambar : C AB a ; AC b ; AC//BE D CD : DB 1: 3 Nyatakan AE dalam a dan b A B :: III. Vektor satuan ( vektor unit ) :: Vektor satuan ( diberi lambang e ) dari vektor v adalah sebuah vektor yang searah dengan arah vektor v dan besarnya satu satuan. Jadi jika e adalah vektor unit dari vektor v , haruslah berlaku : 1. arah e = arah v 2. 1 e y 1 v * 1 e = vektor unit dari 1 v jadi : 1. arah 1 e = arah 1 v 2 v j 1 e 2. 1 1 e 2 e x * 2 e = vektor unit dari 2 v i jadi : 1. arah 2 e 2. 1 2 e i = 0 1 = vektor unit searah sumbu x 1 2 2 x y j = 1 0 = vektor unit searah sumbu y

52 cos sin 1 2 2 e p b p a p p b p a e 1 1 y P(a,b) b a i b j b a p cos sin sin cos e i j cos p a cos ; p b sin a Secara umum : a i b j b a v ; 2 2 v a b v v e atau v v e ; cos sin sin cos e i j v a cos ; v b sin ; a b tg :: Teladan :: 1. Tentukan vektor satuan dari 4 3 v Solusi : 4 3 v ; 3 4 5 2 2 v ; v i j v e 5 4 5 3 4 3 5 1 1 5 4 5 3 2. Diketahui A(1,-3) dan B(-4,9), tentukan vektor p yang searah dengan AB dan panjangnya 5 satuan Solusi : 12 5 3 1 9 4 AB b a ; 5 12 13 2 2 AB 1 3 1 2 1 3 5 1 3 1 12 1 5 AB AB e AB arah p = arah AB 13 12 13 5 e p e AB ^ 1 3 6 0 ^ 1 3 2 5 1 3 6 0 1 3 2 5 1 3 1 2 1 3 5 ^ p p e p 5 i j 1 2 2 x y sin

53 :: IV. Vektor dalam Ruang ( vektor di R-3 ) :: Y x = absis = jarak titik P ke bidang YOZ (bidang YZ) P(x,y,z) y = ordinat = jarak titik P ke bidang XOZ (bidang XZ) O z = aplikat X = jarak titik P ke bidang XOY (bidang XY) Z = sudut antara OP dengan sumbu X = sudut antara OP dengan sumbu Y = sudut antara OP dengan sumbu Z Sama seperti vektor dalam bidang, kita peroleh : ^ ^ ^ x i y j z k z y x OP ; 2 2 2 OP x y z 0 0 1 ^ i = vektor unit searah sumbu X 0 1 0 ^ j = vektor unit searah sumbu Y 1 0 0 ^ k = vektor unit searah sumbu Z

54 Y ^ ^ ^ a i b j c k c b a V G(o,b,o) F(a,b,o) 2 2 2 v a b c D(o,b,c) E(a,b,c) Pada OCE siku-siku di C O C(a,o,o) x v a cos Pada OEG siku-siku di G A(0,0,c) B(a,o,c) Pada OEA siku-siku di A Z v c cos v v e ^ 2 2 2 cos cos cos = c b a v 1 = 2 2 2 2 2 2 v c v b v a = v c v b v a = = cos cos cos = 1 = cos cos cos i j k Jadi cos cos cos 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c c a b c b a b c a v b cos

55 Jika ( , , ) a a a A x y z dan ( , , ) b b b B x y z , maka AB b a = a a a b b b z y x z y x = b a b a b a z z y y x x 2 2 2 ( ) ( ) ( ) b a b a b a AB x x y y z z :: V. Vektor Product (perkalian vektor) :: Perkalian skalar 2 vektor(perkalian titik/dot product/inner product) Definisi : Perkalian titik antara 2 buah vektor 1 v dan 2 v adalah perkalian antara 1 v dengan panjang proyeksi 2 v pada 1 v atau sebaliknya. v1 cos 2 v 2 v 2 v 2 v 1 v 1 v v2 cos 1 v Jadi v1 .v2 v1 .v2 cos Tanda-tanda . : 1 2 v v Bila : tumpul v v v v lancip v v 0 cos 0 0 0 0 cos 0 0 cos 0 . 1 2 1 2 1 2 . . cos 1.1.cos90 0 0 i j i j . . cos 0 1 0 i i i i

56 i j k i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 :: Sifat-sifat dot product :: 1. Dot product antara 2 vektor menghasilkan scalar. 2. a.b b.a ( commutative law ) 3. 2 a.a a.a a atau a a.a 4. a.b 0 a 0 atau b 0 atau a b 5. 1 ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ .i ˆ i j j k k . ˆ 0 ˆ ˆ . ˆ ˆ .i ˆ j j k k i 6. a.(b c) a.b a.c ( distributive law ) 7. (a b).(c d) a.c a.d b.c b.d 8. a.b (a.b) ; konstanta 9. a.b (a.b) ; dan konstanta 10. a.a 0 dimana a.a 0 a 0 v a i b j c k ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 ; v a i b j c k ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 ) ˆ ˆ ˆ ).( ˆ ˆ ˆ . ( 1 2 1 1 1 2 2 2 v v a i b j c k a i b j c k = a a i i a b i j a c i k b a j i b b j j b c j k c a k i c b k j c c k k ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ . ˆ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = a1a2 .1 a1b2 .0 a1 c2 .0 b1a2 .0 b1b2 .1 b1 c2 .0 c1a2 .0 c1b2 .0 c1 c2 .1 = 1 2 1 2 1 2 a a b b c c Secara Umum : 1 1 1 1 c b a v ; 2 2 2 2 c b a v 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 . . a a b b c c c b a c b a v v v a i b j c k ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 ; v a i b j c k ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 v .v a a b b c c Contoh soal : 1. 1 2 3 1 v ; 3 2 4 2 v 3.( 4) 2.2 ( 1).3 11 3 2 4 . 1 2 3 . 1 2 v v

57 0..................(1) 0.................(2) 1 1 2 2 ax by c ax by c 2. v i j k ˆ ˆ 1 3 ˆ 2 ; v i j k ˆ 2 4 ˆ 3 ˆ 2 v1 .v2 3.4 + 2.3 + (-1).2 = 16 3. 4 3 2 1 p v ; 2 5 3 v2 p ; 1 2 v v Hitung : p Jawab : v1 v2 v1 .v2 0 0 2 5 3 . 4 3 2 p p 21 8 6 p 15p 8 0 p 4. Show that the vector v ai bj ˆ ˆ is perpendicular ( = tegak lurus ) to the line ax+ by+ c = 0 Solusi : : ax + by + c = 0 P1 (x1, y1 ) ax1 by1 c 0 ..........................(1) P2 (x2 , y2 ) ax2 by2 c 0 ........................(2) x x i y y j y y x x y x y x P P P P y x P y x P ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 _ a(x2 x1 ) b(y2 y1 ) 0 ...........(3) . 0 . 1 2 0 2 1 2 1 v P P y y x x b a v ai bj ˆ ˆ tegak lurus pada garis ax + by + c = 0 v ai bj ˆ ˆ adalah vektor normal dari garis ax + by + c = 0 :: Sudut antara 2 vektor :: 2 v 1 v v1 .v2 v1 v2 cos Jadi cos = 1 2 1 2 . v v v v

58 :: Proyeksi suatu vektor pada vektor lain :: 1 1 2 1 2 1 2 2 2 . . cos v v v v v v v v v v v p p Jadi : 1 1 2 . 2,1 v v v vp Panjang proyeksi 2 v pada 1 v Analog : 2 1 2 . 1,2 v v v vp Panjang proyeksi 1 v pada 2 v Arah p2,1 v = arah 1 1 1 1 ˆ ˆ 2,1 v v v e e p 1 1 1 1 2 . . ˆ 2,1 2,1 2,1 v v v v v vp vp ep Jadi : 2 1 1 1 2 . 2,1 v v v v v p Vektor proyeksi 2 v pada 1 v 2 v 2 v v2 cos p v 1 v

59 Analog : 2 2 2 1 2 . 1,2 v v v v v p Vektor proyeksi 1 v pada 2 v :: Teladan :: 1. Diketahui : a i j k ˆ ˆ 2 ˆ 2 b i j k ˆ 2 ˆ 3 ˆ 6 Ditanya : a. a b . b. a b , c. panjang proyeksi a pada b d. panjang proyeksi b pada a e. vektor proyeksi a pada b f. vektor proyeksi b pada a Jawab : a. 1.2 2.3 2.( 6) 4 6 3 2 . 2 2 1 . a b b. 1 2 2 3 2 2 2 a ; 2 3 ( 6) 7 2 2 2 b 21 4 arccos 21 4 3.7 . 4 cos a b a b c. 7 4 7 . 4 , b a b vpa b d. 3 4 3 . 4 , a a b vpb a e. b i j k b a b vpa b ˆ 2ˆ 3 ˆ 6 49 . 4 , 2

60 f. a i j k a a b vp b a ˆ ˆ 2 ˆ 2 9 . 4 , 2 2. Hitung luas ABC jika A(2,3,4) ; B(1,2,1) ; C(1,1,2) Jawab : Alternatif 1 : ( 1) ( 2) ( 6) 41 6 2 1 4 3 2 2 1 1 ( 3) ( 5) ( 3) 43 3 5 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 AC c a AC AB b a AB luas ABC AB CD AD panjang proyeksi vektor AC pada AB 43 802 43 802 43 31 41 43 . 31 ( 3).( 1) ( 5).( 2) ( 3).( 6) 31 6 2 1 . 3 5 3 . 2 2 2 2 CD AC AD CD AB AB AC AD AB AC 802 . . 2 1 43 802 . 43. 2 1 2 1 sl luas ABC AB CD Alternatif 2 : 43. 41 . 31 cos sin 2 1 AB AC AB AC luas ABC AB AC sin cos 1 2 2 D C(1,1,2) A(2,3,4) B(1,2,1) 43. 41 802 0 180 sin 43. 41 802 sin 802 . . 2 1 43. 41 802 43. 41. 2 1 sin 2 1 sl luas ABC AB AC

61 43.41 31 1 sin 1 cos 2 2 2 3. Use vector method to find the distance of the point 1 1 P x , y from the line ax by c 0 Solution : 1 1 1 1 0 y a c x a c y x KP p k d panjang proyeksi KP pada N Jadi : 2 2 1 1 . . a b b a y a c x N KP N d Sehingga didapat : 2 2 1 1 a b ax by c d jarak titik 1 1 P x , y ke garis ax by c 0 y x ,0 a c K d b a N d ax by c 0 1 1 P x , y

62 Perkalian vektor antara 2 vektor (cross product / perkalian silang) Definisi : Cross product antara 2 vektor 1 v dan 2 v adalah sebuah vektor yang tegak lurus pada bidang yang melalui 1 v dan 2 v dan searah dengan kaidah majunya sebuah sekrup yang diputar dengan arah dari 1 v ke 2 v . Sedangkan besarnya = v1 v2 sin Jadi : v1 xv2 v1 v2 sin v1 xv2 e ˆ v1 v2 sin e ˆ vektor satuan dari 1 2 v xv y i x j k i j k 0 sin 90 j sin 0 0 0 i x i e i i k i x z j i k x i j k i 0 k j j k 0 i k j i 0 2 v 1 v 2 1 v xv 1 2 v xv e ˆ

63 Sifat-sifat cross product : 1. a. 1 2 2 1 v x.v v .xv b. 1 2 2 1 v xv v xv 2. p 1 2 1 2 v xqv pqv xv 3. 1 2 3 1 2 1 3 v x(v v ) v xv v xv ( hukum distributif ) v1 a1 i b1 j c1 k v2 a2 i b2 j c2 k ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 2 v xv a i b j c k x a i b j c k = a a i x i a b i x j a c i x k b a j x i b b j x j b c j x k c a k x i 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 c b k x j c c k x k 1 2 1 2 = a1a2 0 a1b2 k a1 c2 ( j) b1a2 (k) b1b2 0 b1 c2 i c1a2 j c1b2 (i) c1 c2 0 = 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 a b k a c j b a k b c i c a j c b i = b c c b i (a c c a ) j (a b b a ) k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = b c c b i (a c c a ) j (a b b a ) k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = k a b a b j a c a c i b c b c 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = 2 2 2 1 1 1 a b c a b c i j k Kesimpulan : v a i b j c k 1 1 1 1 v2 a2 i b2 j c2 k 2 2 2 1 1 1 2 1 a b c a b c i j k v xv 1 1 1 2 2 2 1 2 a b c a b c i j k v x v

64 Contoh : Hitung luas ABC jika A(2,3,4) ; B(-1,-2,1) dan C(1,1,-2) Jawab : Luas ABC = sin 2 1 AB AC = ABxAC 2 1 AB b a AC c a = 3 5 3 4 3 2 1 2 1 = 6 2 1 4 3 2 2 1 1 1 2 6 3 5 3 i j k ABxAC = 30 i 3 j 6k 5k 6 i18 j = 24 i15 j k 2 2 2 ABxAC 24 (15) 1 = 802 Jadi luas ABC = ABxAC 2 1 = 802 2 1 satuan luas :: Exercise 2 :: 1. Diketahui : A 5,4,2 ; B 5,3,5 ; dan C 2,5,3 Jika titik P pada AB sehingga AP : PB 3: 2 Tentukan : a). PC b). Vektor satuan dari PC c). Arah PC 2. Diketahui : A 1,5,q ; B 2,1,2 ; dan C 3, p,4 Jika A, B, dan C terletak pada satu garis, hitung p dan q ! 3. Diketahui : A 2,3,4 ; B 1,2,3 ; dan C 1,1,4 Jika adalah sudut antara AB dan AC . Tentukan cos !

65 4. Diketahui : 2 3 3 k k k a dan 3 1 1 b Hitung k jika a b ! 5. Diketahui : | a | 6 ; a b.a b 0 ; dan a.a b 3 Hitung sudut antara a dan b ! 6. Diketahui : a i j k ˆ 8 ˆ ˆ 3 dan b i j k ˆ ˆ 6 ˆ 4 Tentukan sudut antara a b dan a b ! 7. Diketahui : A (4,1,2) ; B (6,4,3) ; dan C (2,3,5) Jika p AB dan q AC . Tentukan : (a) p q . (b) p q , (c) Panjang proyeksi p pada q (d) Panjang proyeksi q pada p (e) Vektor proyeksi p pada q (f) Vektor proyeksi q pada p (g) p x q (h) Luas ABC 8. Diketahui : A 2,3,4 dan B 1,2,3 Tentukan vektor p , jika p searah AB dan | p |10 ! 9. Diketahui : OA i j k ˆ ˆ ˆ 2 dan OB i j k ˆ ˆ 2 ˆ 3 Titik P pada garis AB sehingga | AP || OB| Hitung : OA.AP ! 10. Diketahui : a i j k ˆ 2 ˆ 3 ˆ 4 dan b i j k ˆ ˆ ˆ 2 Jika c a dan c b , serta | c | 5 Tentukan c ! 11. Diketahui : A (2,3,4) ; B (1,1,2) ; C (4,1,2) ; dan D (1,2,3) Selidikilah apakah A, B, C, dan D terletak pada satu bidang? 12. Diketahui : | a |:| b | 2 :3 ; a.b 3 ; dan a | x b |4 Hitung : (e) | a b | (f) Panjang proyeksi a pada b 13. Diketahui : | a | 3 ; | b | 4 ; | a b | 6 Hitung : a b . !

66 14. Pada segitiga ABC, A(2,3,4) , B(6,3,2) dan C(-3,1,-1) dibuat garis tinggi BE, tentukan koordidat E 15. AB 1 4 3 2 AD CD BC Tentukan panjang proyeksi AD pada AB ! 16. AB = diameter lingkaran dengan metoda vektor, buktikan ACB 90 ! 17. Titik A(7,8,9) dan B(1,2,3). Titik P terletak pada garis AB sehingga AP:PB = 7 : 17, tentukan vector satuan dari AP ! 18. Diketahui Tentukan cos ! 19. Pada gambar di bawah ABCD dan CEFG masing-masing adalah persegi. Buktikan ED BG LATIHAN PILIHAN GANDA 1. Nilai k supaya vektor a 1 k 2 5 mempunyai panjang 35 adalah : a. -1 atau 5. b. 1 atau 5 c. 1 atau -5 d. -1 atau -5 e. 5 2. Jika titik P(1,-2,3) dan Q(7,-4,6), maka vektor yang panjangnya 3 satuan dan searah dengan vektor PQ adalah : a. 3 2 6 2 3 b. 3 2 6 c. 3 2 6 2 1 d. 3 2 6 5 3 e. 3 2 6 7 3 . 3. Diketahui 5 4 5 3 a 4 2 , b 3 1 dan c jika u 3a 2 b , maka pernyataan yang benar adalah : a. u c b. u // c . c. a . b c d. b . c // u e. a . c u (SIPENMARU 1988) A B D C A B C a 4, a b 3 ; a , a b 120 dan a b ,a b 0 A B C D E F G θ

67 4. Diketahui ^ ^ u 7i 8 j dan P(1,-2). Jika PQ u dan QP berlawanan arah dengan u , maka koordinat titik Q adalah : a. (6,10) b. (6,-6) c. (-6,6). d. (8,10) e. (8,-10) (UMPTN 1989) 5. Diketahui titik P(2,-3,0) , Q( 3,-1,2) dan R(4,-2,-1). Panjang proyeksi PQ pada PR adalah : a. 2 1 b. 3 1 c. 2 3 1 d. 3 2 e. 6 3 1 . (UMPTN 1990) 6. Jika 0 ^ ^ ^ ^ ^ ^ OA i k , OB j k dan OC c j 4k , dan ABC 60 , maka c = a. 3 b. 2 c. 1 d. -1 e. -2. (UMPTN 1990) 7. Jika titik P , ,1 , Q1,0,0 dan R2,5,a 2 5 2 3 terletak pada satu garis lurus, maka a = a. 0 b. 2 1 c. 1 d. 2. e. 2 5 (UMPTN 1991) 8. Diketahui titik A(1,-2,-8) dan titik B(3,-4,0). Titik P terletak pada garis AB sehingga AP : PB = 1 : -3 Vektor posisi titik P adalah : a. ^ ^ ^ 4i 5 j 4k c. ^ ^ j 12k . e. ^ ^ ^ i 5 j 2k b. ^ ^ ^ 4i 5 j 4k d. ^ ^ ^ 3i j 12k (UMPTN 1991) 9. Garis g melalui A(2,4,-2) dan B(4,1-1) sedangkan garis h melalui C(7,0,2) dan D(8,2,-1). Besar sudut antara g dan h adalah : a. 0o b. 30o c. 45o d. 60o . e. 90o (UMPTN 1992) 10. Diberikan vector ^ ^ ^ OA i j 2k dan ^ ^ ^ OB i 2 j 3k . Titik P pada garis AB sehingga AP OB , maka OA. AP a. 5 7 b. 4 7 c. 3 7 . d. 2 7 e. 7 (UMPTN 1992) 11. Jika vector a dan vektor b membentuk sudut 60o , a 4 dan b 3 , maka a .a b a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10. (UMPTN 1992) 12. Jika ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ u 3xi x j 4k , v 2i 4 j 5k serta w 3i 2 j k . Jika u v , maka u w = a. ^ ^ ^ 33i 8 j 5k c. ^ ^ ^ 27i 8 j 5k e. ^ ^ ^ 27i 12 j 5k . b. ^ ^ ^ 33i 12 j 5k d. ^ ^ ^ 33i 8 j 5k (UMPTN 1993)

68 13. Diketahui u i j v i j w i j dan X pu qv ^ ^ ^ ^ ^ ^ 4 , 2 , 3 4 dengan p dan q bilangan real tidak nol. Jika X // W , maka p dan q memenuhi hubungan : a. 8p – 5q = 0. c. 5p – 8q = 0 e. 5p – 9q = 0 b. 8p + 5q = 0 d. 5p + 8q = 0 (UMPTN 1993) 14. Diketahui a 3i 2 j , b i 4 j dan c i 6 j. Jika c k a mb ^ ^ ^ ^ ^ ^ , maka k + m = a. 3. b. 2 c. 1 d. -1 e. -2 (UMPTN 1994) 15. Pada persegi panjang OABC, D adalah titik tengah OA dan P titik potong CD dengan diagonal OB. Jika a OA dan b OB , maka CP a. a b3 2 3 1 c. a b3 2 . e. a b3 1 3 21 b. a b3 2 3 1 d. a b3 2 3 1 (SPMB 2002) 16. Diketahui vektor-vektor ^ ^ ^ ^ ^ ^ u 2i j 2k dan v 4i 10 j 8k . Jika vector u cv tegak lurus vektor u , maka nilai c = a. 1 b. -2 c. 2 1 d. 2 1 . e. -1 (UMPTN 1993) 17. Diketahui titik A(-1,2,7) , B(2,1,4) dan C(6,-3,2). Apabila u AB dan v BC , maka u .v a. 30 b. 22. c. 14 d. 10 e. -2 (EBTANAS 2000) 18. Diketahui vektor-vektor 3 4 0 4 3 2 u dan v , besar sudut u dan v adalah : a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o . e. 120o (EBTANAS 2000) 19. Vektor a dan b berturut-turut diwakili oleh PQ dan QR dengan P(5,-1,-2), Q(6,3,6) dan R(2,5,10). Cosinus sudut antara a dan b adalah : a. 1 b. -1 c. 2 1 d. 2 1 e. 3 2 . (EBTANAS 1999) 20. Diketahui titik A(2,-5,3), B(8,-8,5) dan C(6,-5,0). u AB dan v BC . Nilai proyeksi scalar orthogonal vektor v pada u adalah : a. 5 18 b. 7 18 c. 7 31 . d. 7 18 e. 5 18 (EBTANAS 1998) 21. Diketahui vector OA 1 2 dan OB 2 1 . Jika titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 1 : 2, maka panjang vector OP = a. 2 2 3 b. 2 3 1 c. 2 3 2 d. 41 3 1 . e. 41 2 3 (UMPTN 1991)

69 22. Diketahui titik-titik P(1,2,3), Q(3,-4,0), R(5,4,-1). Panjang proyeksi vektor PQ pada PR adalah : a. 2 b. 3 c. 3 4 . d. 3 8 e. 3 16 (UMPTN 1990) 23. Diketahui vektor u 2 1 1 dan v 1 1 1.Vektor w yang panjangnya 1 dan tegak lurus u dan tegak lurus v adalah : a. 1 0 0 b. 2 2 0 2 1 2 1 . c. 2 2 0 2 1 2 1 d. 3 2 3 1 3 2 e. 3 2 3 1 3 2 (UMPTN 1990) 24. Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T pada ruas PQ dan 2 QT PT , maka vektor posisi titik T adalah : a. (3 -1 11) c. (2 0 11) e. (3 -1 12). b. (2 -1 12) d. (3 1 12) (UMPTN 1989) 25. Diketahui titik P(1,-2,5), Q(2,-4,4) dan R(-1,2,7). PQ a. 3QR b. 3 QR 2 c. 3 QR 1 d. 3 QR 1 . e. 3QR (UMPTN 1989) 26. Diketahui vektor ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ u i j k , v i j 2k dan w 3i k . Panjang proyeksi vector v w pada u = a. 2 3 2 b. 2 2 c. 4 3 d. 3 3 4 . e. 3 3 2 (SIPENMARU 1988) 27. Diketahui titik P(-3,-1,-5), Q(-1,2,0) dan R(1,2,-2). Jika PQ a dan QR PR b , maka a . b a. 16 b. 22 c. 26. d. 30 e. 38 (UMPTN 1989) 28. Jika besar sudut antara p dan q adalah 60o , dan panjang p dan q masing-masing 10 dan 6, maka panjang vektor p q a. 4 b. 9 c. 14 d. 2 17 e. 2 19 . (UMPTN 1991) 29. Jika PQ (2 0 1) dan PR 1 1 2 . Jika PS PQ ,makavektor RS 2 1 a. 2 3 0 1 . c. 1 0 2 3 e. 1 1 1 b. 2 3 1 0 d. 0 1 2 1 (UMPTN 1997) 30. Diketahui P(a,0,3), Q(0,6,5) dan R(2,7,c). Agar vektor PQ QR , maka a – c = a. – 3 b. – 2. c. 3 d. 4 e. 6 (UMPTN 1998)

70 31. Vektor yang merupakan proyeksi vektor (3 1 -1) pada vektor (2 5 1) adalah: a. 2 5 1 2 1 c. 2 5 1 30 1 e. 2 5 1 4 1 b. 2 5 1 3 1 . d. 302 5 1 3 1 (SIPENMARU 1988) 32. Diketahui titik-titik P1(1,2,2), P2(0,1,0) dan P3(2,-1,-1), maka panjang proyeksi P1P3 pada P1P2 a. 19 19 8 b. 19 19 10 c. 6 3 4 . d. 6 3 5 e. 3 5 (SIPENMARU 1988) 33. Diberikan segi enam beraturan ABCDEF. Jika u AB dan v AF ,maka AB AC AD AE AF a. 0 c. 4u 4v e. 6u 6v . b. 2u 2v d. 5u 5v (SPMB 2002) 34. ABCDEF adalah segi enam beraturan dengan pusat O. Bila u AB dan v BC , maka CD a. u v b. u v c. 2v u d. u 2 v e. v u . (SPMB 2002) 35. Jika OA 1 2 dan OB 4 2 dan OA ,OB ,maka tan a. 5 3 b. 4 3 . c. 3 4 d. 16 9 e. 9 16 (UMPTN 1991) 36. Jika 2 3 5 , 45 , 0 u k dan v dan u v maka nilai konstanta positif k adalah: a. 4 1 b. 2 1 . c. 2 d. 4 e. 8 (UMPTN 2001) 37. A(2,-1,1), B(-1,1,1) dan C(x,y,z) adalah tiga titik. a , b dan c berturut-turut merupakan vector posisi titik A, B dan C tersebut. Jika c tegak lurus a dan b dan panjang vector c sama dengan 14 , maka x = a. 1 atau 2 b. 2 atau -2. c. 3 atau -3 d. 2 1 atau 2 1 e. 3 1 atau 3 1 (UMPTN 1993) 38. Panjang vector a , b dan a b berturut-turut 12, 8 dan 4 7 . Maka besar sudut antara a dan b adalah : a. 45o b. 60o c. 90o d. 120o . e. 150o (UMPTN 1996) 39. Agar kedua vector a x 4 7 dan b 6 y 14 segaris, maka nilai x – y = a. -5. b. -2 c. 3 d. 4 e. 6 (UMPTN 1995)

71 40. Diketahui vektor-vektor ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ a 2i 4 j 3k , b x i z j 4k , c 5i 3 j 2k dan ^ ^ ^ d 2i z j x k . Jika a b dan c d , maka a b a. ^ ^ 6 j k c. ^ ^ 6i k e. ^ ^ ^ 4i 6 j k . b. ^ ^ ^ 4i 2 j k d. ^ ^ 2i k (UMPTN 1996) 41. Diketahui titik A(1,-1,2), B(4,5,2) dan C(1,0,4). Titik D terletak pada AB sehingga AD : DB = 2 : 1. Panjang CD adalah : a. 3 b. 17 . c. 61 d. 17 e. 61 (UAN 2005) 42. Diketahui vektor satuan ^ ^ u 0,8i a j .Jika vector ^ ^ v bi j tegak lurus u ,maka b a a. 20 18 b. 20 15 c. 20 12 d. 20 9 e. 10 8 . (SPMB 2005) 43. Diketahui vector 2 2 1 1 3 u dan vektor v p . Jika proyeksi scalar orthogonal vector u pada vector v sama dengan setengah panjang vector v , maka nilai p = a. -4 atau 4 b. -4 atau 2. c. 4 atau -2 d. 8 atau -1 e. -8 atau 1 (UAN 2004) 44. Jika vector a b dan c , maka a 2b 3c 1 1 4 1 4 5 , 3 2 1 a. 8 11 6 b. 8 13 7 c. 2 12 1 d. 2 13 1 . e. 8 12 6 (UAN 2004) 45. Jika p , q , r dan s berturut-turut adalah vector posisi titik sudut jajargenjang PQRS dengan PQ sejajar SR, maka s a. p q r c. p q r . e. p q r b. p q r d. p q r (UM UGM 2005) 46. Diketahui vector u 2 1 1 dan v 1 1 1 . Vektor w yang panjangnya satu, tegak lurus pada u dan tegak lurus pada v adalah : a. 0 0 1 c. 0 2 2 2 1 2 1 e. 3 2 3 1 3 2 b. 0 2 2 2 1 2 1 . d. 3 2 3 1 3 2 (UM UGM 2004)

72 47. Diketahui vector a 2 1 2 dan b 4 10 8 . Agar vector x a kb tegak lurus dengan b , maka nilai k adalah : a. 10 1 . b. 8 1 c. 6 1 d. 8 1 e. 10 1 (SPMB 2004) 48. Diketahui bidang empat ABCD dimana DA a , DB b , DC c . Jika titik Q pada AB dengan AQ : QB = 1 : 2 dan titik R pada BC dengan BR : RC = 1 : 2, maka QR a. a b c 3 1 c. 2a b c 3 1 . e. 2a b c 3 1 b. a b c 3 1 d. 2a b c 3 1 (SPMB 2004) 49. Bila panjang proyeksi vector ^ ^ b i 2 j pada vector ^ ^ a x i y j dengan x,y > 0 adalah 1, maka nilai 4x – 3y +1 = a. 1. b. -1 c. 0 d. 2 e. 3 (SPMB 2004) 50. Diketahui segitiga ABC dalam ruang. Jika AB i j k AC i k dan ABC ^ ^ ^ ^ ^ 2 , , maka tan = a. 6 11 b. 5 3 c. 5 11 . d. 3 3 e. 2 3 (SPMB 2004) 51. Diketahui vektor-vektor berikut : 2 0 2 2 2 , 2 1 1 dan c q p a b . Jika panjang proyeksi vector b pada a adalah 1, dan vector b tegak lurus dengan vector c , maka nilai p + q = a. -1. b. 0 c. 1 d. 2 e. 3 (SPMB 2004) 52. Diberikan matriks dan vektor-vektor sebagai berikut : q p A a , b 2 2 1 , 3 2 2 1 2 2 dan AT menyatakan transpose dari A. Jika AT a tegak lurus dengan vector b , maka nilai p = a. q b. –q c. 2q d. -2q. e. 3q (SPMB 2004) 53. Rasio suatu deret geometri tak berhingga adalah . Suku pertama deret itu merupakan hasil kali scalar vector ^ ^ ^ ^ ^ ^ a i 2 j 2k dan b 2i j k . Jumlah deret geometri tak berhingga tersebut adalah : a. 4 1 b. 3 1 c. 4 3 d. 2 e. 4. (UAN 2004) 2 6 4 2 2 2 lim x x x x r

73 54. Diketahui segitiga ABC dengan A(1,4,6), B(1,0,2) dan C(2,-1,5). Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga AP : BP = 3 : 1. Panjang vector yang diwakili oleh PC adalah : a. 3 b. 13 c. 3 3 . d. 35 e. 43 (UAN 2003) 55. Diketahui 1 3 2 3 2 1 u dan v . Proyeksi scalar 2u 3v pada v adalah : a. 2 1 b. 2 2 1 c. 14 14 1 d. 2 14 . e. 14 2 7 (UAN 2003) 56. Diketahui titik A (-2,-2,-2), B (1,0,-1) dan titik M membagi AB di luar sedemikian sehingga MB : MA = 1 : 2. Panjang vector posisi M adalah : a. 13 b. 20 . c. 34 d. 42 e. 50 (UAN 2003) 57. Proyeksi vector ^ ^ ^ ^ ^ ^ a i 2 j 3k pada vektor b 5i 4 j 2 k adalah : a. 2 4 5 3 1 b. 2 4 5 4 1 c. 2 4 5 5 1 . d. 2 4 5 2 1 e. 2 4 5 3 1 (UAN 2003) 58. Dalam ABC diketahui P titik berat ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA u dan CB v ,maka PQ = a. v u 3 1 b. v u3 1 c. v u6 1 3 1 d. u v3 1 6 1 . e. v u3 1 6 1 (UAN 2003) 59. Diketahui kubus beraturan ABCD.EFGH . Misal vector 1 0 0, 0 1 0 ^ ^ AB i AD j dan 0 0 1 ^ AE k . Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Vektor proyeksi FP ke vektor AC adalah : a. 20 1 1 2 1 c. 1 0 1 2 2 1 e. 1 1 0 4 1 . b. 0 1 1 2 2 1 d. 1 1 0 2 2 1 (UM UGM 2003) 60. Sudut antara vector ^ ^ ^ a x i 2x 1 j x 3 k dan vector b adalah 600 . Jika panjang proyeksi vektor a pada vektor b sama dengan 5 2 1 , maka x = a. 2 1 4 atau c. 1 atau 2 e. 1 2 1 atau . b. 1 atau 4 d. 1 2 1 atau (SPMB 2003) 61. Vektor ^ ^ ^ ^ ^ ^ u 3i 4 j x k dan v 2i 3 j 6k . Jika panjang proyekasi u pada v adalah 6 , maka x = a. 8 b. 10 c. 12 d. -4 e. -6.

74 (SPMB 2003) 62. Diketahui titik-titik P(1,1), Q(5,3) dan R(2,4). Jika titik S merupakan proyeksi PR pada garis PQ, maka panjang PS sama dengan : a. 5 5 1 b. 5 3 1 c. 5 5 2 d. 5 2 1 e. 5 . (SPMB 2003) 63. Besar sudut antara : 3 3 2 4 2 3 a dan b adalah a. 1800 b. 900 . c. 600 d. 300 e. 00 (UAN 2002) 64. Diketahui vector ^ ^ ^ ^ ^ ^ u 2i 4 j 6k dan v 2i 2 j 4k . Proyeksi orthogonal vector u pada vektor v adalah : a. ^ ^ ^ 4i 8 j 12k c. ^ ^ ^ 2i 2 j 4k e. ^ ^ ^ i j 2k . b. ^ ^ ^ 4i 4 j 8k d. ^ ^ ^ i 2 j 3k (UAN 2002) 65. Diketahui a b i j 4k dan a b 14 . Hasil a . b ^ ^ ^ a. 4 b. 2 c. 1. d. 2 1 e. 0 (UAN 2002) 66. c adalah proyeksi a pada b . Jika a 2 1 dan b 3 4, maka c a. 3 4 5 1 b. 3 4 5 2 . c. 3 4 25 4 d. 3 4 25 2 e. 3 4 25 1 (UAN 2002) 67. Diketahui ABC dengan A(4, -1, 2), B(-2, 3, 4) dan C(7, 1, 3). Koordinat titik berat ABC tersebut adalah : a. (4, 3, 1) b. (5, 1, 3) c. (3, 1, 3). d. 2 9 2 3 2 15 , , e. 2 7 2 1 2 15 , , (UAN 2002) 68. Diketahui panjang proyeksi vector 4 0 4 8 2 a pada vektor b p adalah 8, maka nilai p = a. -4 b. -3 c. 3. d. 4 e. 6 (UAN 2002) 69. Diketahui titik A(-4, 1, 3) dan B(1, -4, 3). Titik P(x, y, z) pada AB sehingga AP : AB = 3 : 5. Vektor posisi titik P adalah : a. 15 10 5 b. 2 23 2 7 2 17 c. 3 4 1 d. 3 2 1 . e. 8 24 8 7 2 17 (UAN 2002) 70. Besar sudut antara vector ^ ^ ^ ^ ^ ^ a 3i 5 j 4k dan b 8i 4 j k adalah : a. 300 b. 600 c. 900 . d. 1200 e. 1350 (UAN 2002)

75 71. Jika vector tak nol a dan b memenuhi a b a b maka vektor a dan b : a. membentuk sudut 900 . c. membentuk sudut 450 e. berlawanan arah b. membentuk sudut 600 d. searah (UMPTN 2001) 72. Pada segi empat sembarang OABC, S dan T masing-masing adalah titik tengah OB dan AC. Jika u OA , v OB dan w OC , maka ruas garis berarah ST dapat dinyatakan dalam u , v , dan w sebagai : a. u v 2 w 1 2 1 2 1 d. u v 2 w 1 2 1 2 1 b. u v 2 w 1 2 1 2 1 e. u v 2 w 1 2 1 2 1 c. u v 2 w 1 2 1 2 1 . (UMPTN 2001) 73. Pada segi empat sembarang ABCD, S dan T masing-masing adalah titik tengah AC dan BD. Jika u ST , maka AB AD CB CD dapat dinyatakan dalam u sebagai : a. u4 1 d. 2u b. u2 1 e. 4u . c. u (UMPTN 2001) 74. Pada segitiga ABC , E adalah titik tengah BC dan M adalah titik berat segi tiga tersebut. Jika u AB dan v AC , maka ruas garis berarah ME dapat dinyatakan dalam u dan v Sebagai : a. u v6 1 6 1 . d. u v2 1 6 1 b. u v6 1 6 1 e. u v2 1 6 1 c. u v6 1 6 1 (UMPTN 2000) 75. Diketahui persegi ABCD dengan panjang sisinya 2, maka nilai dari AB .BC AB .AC a. 4 2 b. 0 c. 4 2 d. 4. e. 8 2 (UMPTN 1999) 76. Diketahui vector ^ ^ ^ a 4i 5 j 3k dan titik P(2,-1,3). Jika panjang PQ sama dengan panjang a dan PQ berlwanan arah dengan a , maka koordinat Q a. (2, -4, 0) b. (-2, 4, 0). c. (6, -6, 6) d. (-6, 6, -6) e. (-6, 0, 0) (UMPTN 1999) 77. Diketahui persegi panjang OABC dengan panjang OA= 12 dan AB = 5. Jika OA u dan OB v , maka u . v a. 13 b. 60 c. 144. d. 149 e. 156 (UMPTN 1999) O A B C S T A B C D S T A B M E C

76 78. A(-1, 5, 4), B(2, -1, -2) dan C(3, p, q). Jika titik-titik A, B dan C segaris, maka nilai p dan q berturut adalah : a. -3 dan -4. b. -1 dan -4 c. -3 dan 0 d. -1 dan 0 e. 3 dan 0 (UMPTN 1997) 79. Diketahui u dan v vector tidak nol sembarang, w v u u v . Jika u , w dan v , w , maka : a. 0 90 c. . e. 0 180 b. 0 90 d. 0 90 (UMPTN 1996) 80. Diketahui vector p 1 2 dan vektor q 3 5. Jika vector r p q tegak lurus p , maka a. 8 7 b. 5 7 . c. 7 3 d. 7 5 e. 5 3 (UMPTN 1995)