Chapter VII Logarithm

Chapter VII

Logarithm

:: Beberapa istilah ::

34 Pangkat / eksponen
Bilangan pokok

:: Definisi ::

Logaritma a dengan bilangan pokok g atau “ g log a ” adalah sebuah eksponen yang bila
dipangkatkan pada bilangan pokok g menghasilkan a .

g g loga  a

:: Syarat Definisi :: 3. 1 3 1
3
1. a  0 log 5 81  ?
2. g  0 ; g  1 27

Contoh soal :  1 1 3 log 1 5 81 1
3
1. 5log 25  ?
3  27 27 5 81
5 5 log25  25 3 

5 5 log25  52  1 1 3 log 1 5 81 4
2 27
5 log 25  2 31.3 3 33.35

1 

2. 2 log128  ?  1 1 3 log 1 5 81 11
2 27
1  3 35

 1  2 log128  128 3 
2
 1 1 3 1 5 81   11
1
.3 log
 1  2 log128  27 2 27 5
2
1 3 1 5 81  22
1
3 log 27 5
 1  2 log128   1 7
2 2

1

 1  2 log128  7
2

124

4. 7 log 1 3 49  ?
7

7 log1 3 49  13 49

(7) 7 7

7 log1 3 49  2

(7) 7 71.7 3

7 log1 3 49 1
(7) 7  7 3

7 log 1 3 49   1
73

:: Dua macam logaritma yang lazim dipakai ::

1. Logaritma dengan bilangan pokok 10

2. Logaritma natural yaitu logaritma dengan bilangan pokok e

Contoh: e log a  ln a

Misal:  gn a

g log a  n g log a  n  g n  a

g g loga  a

Contoh Soal:

1. 5log 25  ?

misal : 5 log 25  n
5n  25

5n  52

n2

5 log 25  2

125

1 4. 7 log 1 3 49  ?
7
2. 2 log 256  ?
misal : 7 log 1 3 49  n
1 7

misal : 2 log 256  n 7n  1 3 49
7
 1 n  256
2 2

2n  28 7n  71.7 3

n  8 7n  1

1 73

2 log 256  8

1 3 1 5 81  ? n  1
3 3
3. log
27 7 log 1 3 49   1
73

1 3 1 5 81  n
3
misal : log
27

 1 3 n  1 5 81
 3  27

 1 n  4

31.32 33.35

1 n 11

(3) 2  3 5

 1 n  11
25
n  22
5

1 3 1 5 81  22

3 log 27 5

126

:: Sifat – sifat Logaritma ::

1. g log abg log ag log b

2. g log a g log ag log b
b

3. a. a log b  g log b ; g log a  0
g log a

b. a log b  1
b log a

4. a. g log an ng log a

b. g log n a  1 g log a
n

5. g n log an g log a

6. g g loga  a

7. a. a log b.b log ca log c

b. a log b.b log c.c log d alog d

8. g log g  1

9. an log bm  m alog b
n

10. a. 1. g log f (x) g log g(x) f (x)  g(x)
f (x)  g(x)
g 1
f (x)  g(x)
2. g log f (x) g log g(x) f (x)  g(x)

g 1

b. 1. g log f (x) g log g(x)

0 g 1
2. g log f (x) g log g(x)

0 g 1

127

Contoh soal:

1. Diketahui: log 2  0,3010 , log 3  0,4771 ; hitunglah :

a. log12 c. log 3 25

b. log 5 d. log 81

Solusi:

a. log12  log 22.3

 log 22  log 3

 2log 2  log 3

 2(0,3010)  0,4771

 1,0791

b. log 5  log 10
2

 log10  log 2

 1  0,3010

 0,6990

c. log 3 25  1 log 25
3

 2 log 5
3

 2 (0,6990)
3

 0,4660
d. log81  log 34

 4log 3

 4.0,4771

 1,9084

2. 7 log 1 3 2
7
49 7 log 71.73

7 log 7  1
3

  1.7 log 7
3

 1
3

128

3. log 4  log( x  3)  log x2

log 4(x  3)  log x2
4(x  3)  x2

x2  4x 12  0
(x  6)(x  2)  0

x  2(ok!)  x  6(ok!)

 Hp =  2, 6

4. (x2) log( x2  5)(x2)log( 4x 10)

x2  5  4x  10
x2  4x  5  0
(x  1)(x  5)  0

x  1(TM )  x  5(ok!)

 Hp = 5

 5. (2x1) log x2 1  1
 (2x1) log x2 1 (2x1)log( 2x 1)

Kemungkinan - kemungkinan :

I. (1). 0  2x 1  1

1 2x  2

 1  x 1 ……(1)
2

(2). x2 1  0

(x 1)(x 1)  0

   

1 1

 x  1 x  1 ……(2)

129

(3). x2 1  2x 1
x2  2x  0
x(x  2)  0

 

02

0  x  2 ……(3)

(2) (3)

 (1)

 SI =1  
1
0 12
2

II. (1). 2x 1  1
x  1 ……(1)

(2). x2 1  0
 x  1 x  1 ……(2)

(3). x2 1  2x 1

x2  2x  0

x(x  2)  0

   

02

 x  0  x  2 ……(3)

(2)  (1)
(3) (2)

(3)

1 0 1 2

  SII = x | x  2

  S = SI  SII = x | x  2

130

:: Invers Fungsi Eksponen :: invers : y  ax

y  2x x  ay

invers : x  2y log x  log a y
log x  y log a
log x  log 2y
log x  y log 2 y  log x
log a
y  log x
log 2 ya log x

y2log x

y  ax  invers : yalog x;a  0;a  1

y  acy

x  ainvers : cy

log x  log acy

log x  cy log a

cy  log x
log a

y 1 a log x
c

ya log c x

y  acx  invers : y 1 a log x
c

y
y y  ax;a  1 y  ax;0  a  1

(0,1) y a log x;a  1 x
(1,0) x

yx yx y a log x;0  a  1

131

Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

:: Langkah – Langkah ::

1.Tentukan daerah asal fungsi

2.Tentukan titik potong kurva dengan sumbu – sumbu koordinat (kalau ada dan mudah dihitung)
3.Cari persamaan asimtotnya (jika ada)

4.Cari titik ekstrim dan jenisnya (jika ada)
5.Cari titik – titik lain jika diperlukan

6.Gambarkan sketsa grafiknya

 Gambarkan grafik fungsi y =1 2
Contoh 1 2 log x  4x  8

 Jawab :1 x2 4x 8
y= 2 log  

f(x)

a. Mencari daerah asal fungsi :

x2  4x  8  0

D  b2  4ac

 42 4.1.8  0
 xR

b. Titik potong dengan sumbu x : y = 0

x2  4x  8  1

x2  4x  7  0

D  b2  4ac

 16  4.1.7  0

 Tidak ada titik potong dengan sumbu x.

Titik potong dengan sumbu y : x = 0

1

y 2 log0  0  8

1

 2 log8

 1 1 3
2 log 2

 Titik potong dengan sumbu y = ( 0, - 3 )

c. Mencari asimtot :

x2  4x  8  0 
D < 0  tidak ada asimtot

132

d. Mencari titik ekstrim :

fx  x2  4x  8

fmin jika x   b
2a
4
 
2.1
=2

fmin  22  4.2  8
=4

1

ymax  2 logfmin
1

 2 log4

 1 1 2
2 log 2

=-2

 Titik maksimum ( 2, - 2 )

y

2 x

-2
-3

133

Contoh 2  Gambarkan grafik fungsi y2 log x2  4x  8

 Jawab : y2 log x2  4x  8

a. Mencari daerah asal fungsi

x2  4x  8  0

a  0  xR
D  0

b. Titik potong dengan sumbu x : y = 0

x2  4x  8  1
x2  4x  7  0
D0

 Tidak ada titik potong dengan sumbu x

Titik potong dengan sumbu y : x = 0

y2 log0  0  8

=3

 Titik potong dengan sumbu y = ( 0, 3 )

c. Mencari asimtot :

x2  4x  8  0

D < 0  tidak ada asimtot

d. Mencari titik ekstrim :

fx  x2  4x  8

fmin jika x   6 y
2a
  2.41 3

=2 2

fmin  22  4.2  8 x

ymin 2 log fmin 2

2 log4

=2
 Titik minimum ( 2, 2 )

Catatan : y = a log fx

1. Jika f(x) bernilai minimum, maka :

a. Untuk 0 < a < 1  y bernilai maksimum
b. Untuk a > 1  y bernilai minimum

2. Jika f(x) bernilai maksimum, maka :

a. Untuk 0 < a < 1  y bernilai minimum
b. Untuk a > 1  y bernilai maksimum

134

 Gambarkan 1
Contoh 3 grafik log x2  4x  4
y 2

a. Daerah asal fungsi :

x2  4x  4  0

x  22  0

xR ; x  2

b. Persamaan assintot :

x2  4x  4  0

x  22  0

x=2

c. Titik potong dengan sumbu x : y = 0

x2  4x  4  1

x  22  1

x 1

x 21

x3

 Titik potong dengan sumbu x = ( 1, 0 ) dan ( 3, 0 )

Titik potong dengan sumbu y : x = 0

1

y 2 log4

=-2

 Titik potong dengan sumbu y = ( 0, - 2 )

d. Titik ekstrim :

fx  x2  4x  4

fmin jika x   b   4  2
2a 2
Ingat : Daerah difinisi fungsi y : x  2
 Tidak ada ekstrim

y x=2

x

1 23
-2

135

 Contoh 4 Gambarkan grafik y2 log x2  4x  4

f(x)

a. Daerah asal fungsi :

x2  4x  4  0

x  22  0

xR ; x  2

b. Persamaan asimtot :

x2  4x  4  0

x  22  0

x=2

c. Titik potong dengan sumbu x : y = 0

x2  4x  4  1

x  22  1
x 1

x 21

x3

 Titik potong dengan sumbu x = ( 1, 0 ) dan ( 3, 0 )

Titik potong dengan sumbu y : x = 0

y2 log4

=2

 Titik potong dengan sumbu y = ( 0, 2 )

d. Titik ekstrim :

fx  x2  4x  4

fmin jika x   b   4  2
2a 2

Ingat : Daerah difinisi fungsi y : x  2
 Tidak ada ekstrim

y x=2

2 x
1 23

136

Contoh 5  Gambarkan grafik fungsi y = 2 log  x2  2x  3

a. Daerah definisi fungsi :

 x2  2x  3  0
x2  2x  3  0

x  3x  1  0

+ - +
-3 1

-3<x<1

b. Persamaan asimtot :

 x2  2x  3  0
x2  2x  3  0

x  3x  1  0

x=-3 ; x=1

c. Titik potong dengan sumbu x : y = 0

 x2  2x  3  1
x2  2x  2  0

x 1,2  2 48
2

 22 3
2

 1  3

  Titik potong dengan sumbu x :  1  3 ,0 dan
 1  3,0

d. Titik potong dengan sumbu y :

x0

 y2log
3Titik potong dengan sumbu y  0,2 log3

137

e. Titik ekstrim :

fx  x2  2x  3

fmax jika x   b   2  1
2a
21

fmax   12  2 1  3
=4

ymax 2 log 4  2

 Titik maksimum = ( - 1, 2 )

y

-3 2 x
2log 3
1 3
-1 1

1 3

138

Contoh 6  Gambarkan grafik fungsi y2 log x2  2x  3

a. Daerah definisi fungsi :

x2  2x  3  0

x  3x  1  0

+- +

-3 1

x<-3 V x>1

b. Persamaan asimtot :

x2  2x  3  0

x  3x  1  0

x=-3 V x=1
c. Titik potong dengan sumbu x : y = 0

x2  2x  3  1
x2  2x  4  0

x 1,2  2 416
2

 22 5
2

 1  5

    Titik potong dengan sumbu x :  1  5 ,0 dan  1  5 ,0

d. Titik potong sumbu y : x = 0 ( tidak terdefinisi )

 Tidak ada titik potong dengan sumbu y

e. Titik ekstrim :

ymin jika x   b
2a
2
 
2.1
= 1 ( tidak terdefinisi )

 Tidak ada ekstrim

x = -3 y x=1

1 5

x

1 5 -3 - 2 - 1 1

139

:: Exercise ::

01. UMPTN ’93 ( Rayon C )

16 2 log3  27 3 log 1  3 3 log2 
2 2 2 log3

a. 36 4 b. 45 16 c. 62 2 d. 79 8 e. 80 11 .
5 21 5 13 24

02. UMPTN ’97 ( Rayon C )

Jika 25 log 52x 8 , maka x =

a. 1 b. 1 c. 6 d. 8. e. 10
4 2
e. 4 1
03. UMPTN ’97 ( Rayon A ) 4

Jika b = a4 , a dan b positif , maka a log b  b log a adalah :

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 3 .
4

04. UMPTN ’94 ( Rayon C )

a log 1 . b log 1 . c log 1  
b c a

a. 1 – abc b. 1 + abc c. 1 d. -1. e. 1
abc

05. UMPTN ’99 ( Rayon A )

 Diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka log 3 2 . 3 

a. 0,1505 b. 0,1590 c. 0,2007 d. 0,3389 . e. 0,3891

06. SPMB ’02 ( Regional I ) a . clog b2 . alog c

Jika a > 1 , b > 1 , dan c > 1 , maka b log d. 2

a. 1 b. 1 . c. 1 e. 3
4 2

07. SPMB ’04 ( Regional I )

Jika 3log 4a dan 3log5b , maka 8log 20

a. a  b b. a  b c. 2a  2b .
2a 3a 3a

d. a  b e. a  2b
a 3a

08. UMUGM ‘03

Jika 4 log 6  m 1, maka 9 log 8 

a. 3 b. 3 . c. 3 d. 3 e. 3
4m  2 4m  2 2m  4 2m  4 2m  2

140

09. SPMB ’04 ( Regional II )

Jika 27log 8 m , maka 8log 144 

a. 2 b. 3 c. 2m
3m 2m 3(m  1)

d. 2(2m  1) . e. 3(m  1)  n
3m 2m
c. a log b m
10. UMPTN ’94 ( Rayon A ) am log bn 
Untuk a > 0 dan b > 0 ,

a. n a log b . b. m a log b
m n

d. a log b m e. n blog a
n m

11. SPMB ’02 ( Regional III )

Jika 1 log 1 2 , maka:
a

b

a. b log a  2 b. a log b  2 . c. 1 log b  1
a
e. b log 1  1
a2 2

d. a log 1  2
b

12. UMPTN ’94 ( Rayon B )

Jika a  6log 5 dan b  5log 4 , maka 4log 0,24 

a. a  2 b. 2a  1 c. a  2 d. 2a  1 e. 1  2a .
ab ab ab 2ab ab

13. UMPTN ’95 ( Rayon A )

Jika 9 log 8 3m , nilai 4 log 3 

a. 1 . b. 3 c. 3 d. m e. 4
4m 4m 2m 4 4m

14. UMPTN ’97 ( Rayon B ) d.  4 e.  1
3p 2p
Jika 9 log 8  p , maka 4 log 1 
3

a.  3 b.  3 . c.  2
2p 4p 3p

15. UMPTN ’00 ( Rayon B )

Jika 3 log 5 p dan 5log 4  q , maka 4log15 

a. pq b. p  q c. p 1 . d. p 1 e. pq
1 p pq pq q 1 1 p

141

16. UMPTN ’01 ( Rayon B )

Jika a = 0,111... maka nilai a log 729 

a. – 5 b. – 4 c. – 3. d. 4 e. 5

17. UMPTN ’01 ( Rayon A ) 16log b  5 maka a log 1 
b3
Jika 2 log 1  3 dan c. 40
a2 3

a. 40. b. – 40 d.  40 e. 20
3

18. UMPTN ’96 ( Rayon B )

Jika a log 1  3log 1   2 , maka nilai a yang memenuhi adalah :
 27 

a. 1 b. 1 c. 2 . d. 3 e. 4
8 4

19. UMPTN ’98 ( Rayon A )

Jika a log b  4 , c log a  2 dan a, b, c bilangan positif , a 1, c 1, maka

  a log bc 4 1

2=

a. 2 6 b. 3 2 . c. 16 d. 36 e. 64

20. SPMB ’04 ( Regional II )

   5 log10 2  5 log 2 2 
5 log 20

a. 1 b. 1 c. 2. d. 4 e. 5
2

21. UMPTN ’98 ( Rayona C )

Jika a log 3  blog 27 , a  0, b  0 , a 1 ,b 1 maka a log b 

a. 1 b. 1 c. 1 d. 3. e. 9
9 3

22. UMPTN ’01 ( Rayon A )

Jika m , n > 1 , maka n log x 
1 n log m

a. m  n log x b. x log mn c. m n log x .

d. mn log x e. m  n mnlog x

23. UMPTN ’01 ( Rayon A )

Jika 2 log a  m dan 3 log a  n , a  1 dan b  1 , maka m 
3 log b 2 log b n

a. 2 log 3 b. 3 log 2 c. 4 log 9  d. 3 log 2 2  e. 2 log 3 2 .

142

24. SPMB ’03 ( Regional I )

Jika 2 log x  4log y  4log z 2 , maka z 2 

a. x y b. x 2 y . c. xy d. x 4 y e. x 2 4 y

25. SIPENMARU ‘85

Jika log  a2    24 , maka log 3 b2 sama dengan :
b4 a d. 4 .

a. – 8 b. – 4 c. 2 e. 8

26. UMPTN ’97 ( Rayon A )

Jika 2 log a  2log b 12 dan 3 2log a  2log b  4 , maka a + b =

a. 144 b. 272 . c. 528 d. 1 024 e. 1 040

27. UMPTN ’99 ( Rayon C )

Nilai x yang memenuhi persamaan  3x  2  log 27  5log 3 adalah :

a. 42 b. 41 . c. 39 d. 7 2 e. 7 1
3 3
28. SPMB ’03 ( Regional II )

 Nilai x yang memenuhi persamaan 4 log x 2 2 log x  3  0 adalah
4

a. 16 atau 4 b. 16 atau 1 c. 8 atau 2
4
d. 8 atau 1 .
2 e. 8 atau 4

29. SPMB ’03 ( Regional I )

Jika 4 log 4log x  4log 4log 4log16  2 , maka :

a. 2 log x 8 b. 2 log x  4 c. 4 log x 8 .

d. 4 log x 16 e. 16 log x 8

30. SPMB ’04 ( Regional II )

Nilai x yang memenuhi 3 log 2 x  log x5  2 adalah :

a. 0,005 b. 0,05 c. 100. d. 125 e. 500

31. UMPTN ’97 ( Rayon A )

log x  1 log 8  log 9  1 log 27 dipenuhi untuk x sama dengan
33
a. 8 b. 6. c. 4 d. 2 e. 1

32. UMPTN ’97 ( Rayon B )

Jumlah dari penyelesaian persamaan 2 log 2 x  5 2log x  6  0 sama dengan

a. 1 b. 3 c. 1 d. 3 . e.  5
4 4 8 8 8

143

33. UMPTN ’94 ( Rayon A )

Hasil kali semua nilai x yang memenuhi persamaan log 64 24 2x2 40x   0

adalah : b. 100 c. 72 d. 5 e. 6
a. 144 .

34. UMPTN ‘ 97 ( Rayon C )

Jika 2 log x + log 6x - log 2x – log 27 = 0 , maka x sama dengan :

a. 3. b. – 3 c. 3 atau – 3 d. 9 e. 9 atau – 9

35. UMPTN ‘ 96 ( Rayon A ) log ( x2 + 7x + 20 ) = 1 , maka

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan
( x1 + x2 )2 – 4 x1x2 adalah

a. 39 b. 29 c. 20 d. 19 e. 9 .

36. SPMB ’04 ( Reginal II )

 Jika a = x2 dan x log10  a log 5u  40 , maka nilai u adalah :

a. 25 b. 26 c. 27 d. 28 . e. 29

37. UMPTN ’93 ( Rayon C )
   Jika
1 log 2x2 x2  log x2 , maka nilai maksimum f(y) = - y2 + 4xy + 5x2
2

Sama dengan :

a. 302 b. 306 c. 212 d. 318 e. 324 .

38. UMPTN ’93 ( Rayon A )

log x5  log x  5
10 log x
Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan , maka x1 + x2 =
log x d. 110 e. 1 100 .

a. 5 b. 6 c. 60

39. UMPTN ’92 ( rayon A )

 Jika t  x2  3 , maka log 1 t dapat ditentukan untuk :
3x  7

a. 2 < x < 6 b. – 2 < x < 5. c.  2  x  6

d. x  2 atau x  6 e. X < - 1 atau x > 3

40. UMPTN ’92 ( Rayon B ) x 10000logx , dengan demikian 100log x =

Jika x memenuhi persamaan b. – 3 atau 3 c. – 2 atau 2
a. – 4 atau 3
d. – 1 atau 1. e.  1 atau 1
22

41. UMPTN ’94 ( Rayon B )  54x log x2  7x  5  log10 adalah :

Jika x memenuhi persamaan

a. – 4 b. – 3 c. – 2 . d. 3 e. 2

42. UMPTN ’94 ( Rayon A )

   Jika a log 3x 1 5 log a 3 , maka x =

a. 42. b. 48 c. 50 d. 36 e. 35

144

43. UMPTN ’01 ( Rayon C )

Jika 2 log x2 16  2 , maka x log 2 

a. 1 b. 2 . c. 3 d. 4 e. 4
5 5 5 5

44. UMPTN ’94 ( Rayon C )
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x( 2 + log x ) = 1 000 , maka x1.x2

sama dengan : b. 10-2. c. 100
a. 10-1
d. 10 e. 100

45. UMPTN ’94 ( Rayon C )
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan :

{ log ( x + 2 ) }2 + log ( x + 2 )3 = log 0,01 , maka nilai dari x1  x2 adalah
e. 0,009
a. 0,9 b. 0,11 c. 0,011 d. 0,09 .

46. UMPTN ’94 ( Rayon B )

 Hasil kali akar-akar persamaan 3 log x 2  3logx  15 adalah :

a. 1 . b. 1 c. 1 d. 3 e. 9
93
47. UMPTN ’94 ( Rayon C ) 3 x  4y   1
81
 Dari persamaan x log 2x  8  3 x log 4  1  0 dan
e. – 3
Diperoleh y = b. 0 c. - 1 d. – 2.
a. 1

48. UMPTN ’95 ( Rayon A )

1

 Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 log 1  2x  3

adalah :

a. x  7 b. x  7 . c. x  7 d. x  7 e. x  7
16 16 18 18 16

49. UMPTN ’95 ( Rayon A )

 x log y 2   4 log z 2 
1 3  1 1 
Nilai x yang memenuhi persamaan log z 
log y 2

adalah :

a. 3 . b. 3 c. 2 d. -3 e. 0

50. UMPTN ’95 ( Rayon A )
Diketahui deret log 2 + log 4 + log 8 + . . .

a. deret hitung dengan beda b = 2
b. deret hitung dengan beda b = log 2.

c. deret ukur dengan ratio r = 2
d. deret ukur dengan ratio r = log 2

e. bukan deret hitung maupun deret ukur

145

51. UMPTN ’95 ( Rayon A )

 Jika 2x 12log2x  64x3 , maka

a. 1  x  4 b. x  1 atau x  4 c. x < 4
4 4

d. 0  x  1 atau x  4. e. x  1
4 4

52. UMPTN ’95 ( Rayon B )

Jika 2 log x  5  2log 3  x  2log 4  x , maka :
   a.
x   1 1 45 atau x   1 1 45
2 2
   b.
5 x   1 1 45 atau  1 1 45  x  3 .
2 2
   c.
5 x   1 1 45 atau  1 1 45  x  4
2 2
 d.
5 x   1 1 45 atau x  3
2
 e.
5 x   1 1 45 atau x  4
2

53. UMPTN ‘ 95 ( Rayon C ) , maka nilai x yang berlaku adalah : 1  x  2.
b. x < 2 c. 8
 Jika 2 log 1 2log x  2
e. x > 2
a. x  1
8

d. x  1 atau x  2
8

54. Himpunan jawab pertidaksamaan log (x+3) + 2log 2 > log x 2 adalah :

a. x / 3 x 0 b. x /  2  x  0  x / 0  x  6.

c. x /  2 x 6 d. x /  3  x   2  x / x  6

e. x / x   2  x / x  6

55. UMPTN ’93 ( Rayon B )

 Penyelesaian persamaan 3 log 9x 18  2  x adalah p dan q. Maka p+ q =

a. 3 log 3 b. 3 log 9 c. 3 log18 . d. 3 log 216 e. 3 log 726

56. UMPTN ’97 ( Rayon C )

Jika 2 3log y  3log x 1 2 , maka : c. y2 = - 9 ( x + 1 )

a. y = x + 3 b. y = 3x + 3
d. y2 = 9 ( x + 1 ). e. y2 = 3 ( x + 1 )

57. UMPTN ’95 ( Rayon B )

Jika f (x)  1 11log x , maka f (x)  f  11  
 2 11log x x

a. – 11 b. – 9 c. – 7 d. – 2 e. – 1.

58. UMPTN ’95 ( Rayon A )

Diketahui sistem persamaan 5 log x  5log y 5 dan 5log x4  5log y3  1 .

Nilai x dan y yang memenuhi persamaan itu mempunyai jumlah :

a. 225 b. 150 . c. 100 d. 75 e. 50

146

59. UMPTN ’96 ( Rayon C )
 Jika 4 log 4x .4  2  x , maka x =
a. – 1 b. – ½ c. ½ . d. 1 e. 2

60. UMPTN ’96 ( Rayon A )

 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 log x  log x  3  log 4 adalah :

a. x /  2 x 6 b.. x / x  6 c. x / 0  x 6.

d. x / 0 x  2 e. x / 0 x  2 atau x 6

61. UMPTN ’96 ( Rayon B ) 11

Nilai-nilai t yang memenuhi 4 2 log t  2 log 81 adalah :
a. t > 3.
d. – 3 < t < 0 b. – 3 < t < 3 c. 0 < t < 3
e. t < - 3 atau t > 3

62. UMPTN ’97 ( Rayon B )
Jika log ( y + 2 ) + 2 log x = 1 , maka y =

a. 1  2 b. 5  2 c. 10  2 . d. 1  2 e. 8 – x2
x2 x x2 2x

63. UMPTN ’96 ( Rayon A ) 1  1  1 adalah : c. 0 < x < 2
2 log x 2 log x  1
Nilai x yang memenuhi
b. 1 < x < 2
a. x < 1 atau x > 2 e. 0 < x < 1 atau x > 2.
d. x < 2 atau x > 3

64. UMPTN ’98 ( Rayon A )

 Jika 2x + y = 8 dan log x  y  3 log 2 . 8log 36 , maka x2 + 3 y =

2
a. 28 b. 22 c. 20 d. 16 . e. 12

65. SIPENMARU ’84

Bila f : x  52x , maka f -1 adalah :

a. 5 log 2x b. 5 log x . c. 5 log 2x d. 2x log 5 e. 2 log 5x

66. UMPTN ’98 ( Rayon B )

Penyelesaian pertidaksamaan : 2 log  x 1 log  x  4   log 4 adalah :

a. x  7 b. x > 5 c. 1 x 5. d. 1 x  6 e. x  6

67. UMPTN ’98 ( Rayon C )

 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 log 2x  7  2 adalah :

a. x   7 b.  7  x   3 c.  7  x  0
2 22 2

d. x   3 . e.  3  x  0
2 2

147

68. UMPTN ’99 ( Rayon B )

5 x  y  49

Nilai x yang memenuhi persamaan : x  y  6 adalah :

a. 3  1 5log 7 b. 1 ( 3 5log 7) c. 49  5log 6
2 2

d. 6 5log 49 e. 3 5log 7 .

69. SPMB ’04 ( Regional III )   a log 2x 1 3 log a  1 adalah :

Jika a > 1 maka penyelesaian

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 . e. 5

70. UMPTN ’98 ( rayon A, B, C ) b. y c. Y
Grafik fungsi y = log x2 adalah
a. y

x x x
y
d. e.
y

x x.

71. UMPTN ’99 ( Rayon A ) 1  1  1 adalah :
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan log x 2 log x  1

a. 0 < x < 1 b. 0  x  10 c. 1  x  10

d. 0  x  10 atau x  10 e. 0  x  1 atau x  10 .

72. UMPTN ’99 ( Rayon B )

Jika a, b dan c bilangan-bilangan positif dengan b  1, dan b log a  x ; b log c  y

b  a 1 1  a  b
log b 
.b c 
maka adalah :
1
 c a

a.  a b  x  1  y  b.  a  b  x  1  y  . c.  a b  x  1  y 
 b c a  b c a
 b c a

148

d.  a  b  x  1  y  e.  a  b  x  1  y 

 b c a  b c a

73. UMPTN ’99 ( Rayon B )  1

Nilai-nilai x yang memenuhi 2 log
x2 3 0 adalah :
a.  3  x  3
d. x  2 atau x  3 b. – 2 < x < 2 c. x  2 atau x   2

e.  2  x   3 atau 3  x  2 .

74. UMPTN ’99 ( Rayon B ) 2 log x  x log 2  0 adalah :
Nilai-nilai x yang memenuhi
b. x > 1 c. 1 < x < 2
a. x  1
2 e. – 1 < x < 0 atau x > 1

d. 1  x  1 atau x  2 .
2

75. UMPTN ’00 ( Rayon B )

Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan  2log x  1  1  log10 , maka
x1x2 adalah :
x log10

a. 5 10 b. 4 10 c. 3 10 d. 2 10 e. 10 .

76. UMPTN ’00 ( Rayon B )
Nilai x yang memenuhi :

 log x  4log a  b  2log a  b  3log a2  b2  log a  b adalah :
ab e. 1.
a. a + b b. a – b c. ( a + b )2 d. 10

77. UMPTN ’00 ( Rayon B )

 Nilai x yang memenuhi persamaan 2 log 2 log 2x 1  3  1  2log x adalah:

a. log 2 b. 2 log 3. c. 3 log 2 d. – 1 atau 3 e. 8 atau 1
3 2

78. UMPTN ’00 ( Rayon B )

 Persamaan  x 1  log 3x  2   x 1log x  2 mempunyai penyelesaian x1

dan x2 dengan x1 > x2. Nilai x12 + 2x2 =

a. 2  1 6 b.  2  1 6 c.  2  2 6 d. 2 1  6 e. 1  2 6 .
2 22 2

79. UMPTN ’00 ( Rayon C )

 2
log x  2Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan
1 2log x , maka nilai x1 + x2 =

a. 2 1 . b. 2 1 c. 4 1 d. 4 1 e. 6 1
4 2 4 2 4

80. UMPTN ’00 ( Rayon C )

Nilai maksimum dari f x  4log  x  5   4log  3 x  adalah :

a. 2. b. 4 c. 6 d. 8 e. 16

149

81. UMPTN ’01 ( Rayon A )

Jumlah akar-akar persamaan log x2 16  1 sama dengan :
x
a. 10. b. 6 c. 2 d. 0 e. – 2

82. UMPTN ’01 ( Rayon A )  b log x 2 10  7 b log x dengan b > 1 adalah :
b. x < 2 atau x > 5 c. b2 < x < b5.
Nilai x yang memenuhi
a. 2 < x < 5 e. 2b < x < 5b
d. x < b2 atau x > b5

83. UMPTN ’01 ( Rayon C )
Nilai x yang memenuhi b2x + 10 < 7bx dengan b > 1 adalah :

a. x  b log 2 b. x  blog 5 c. x  blog 2
e. blog 2  x  blog 5 .
d. x  blog 2 atau x  blog 5

84. UMPTN ’01 ( Rayon B )

Jika log x = b , maka 10x log100 

a. 1 b. 2 . c. 1 d. 2 e. 2
b 1 b 1 b b 10 b

85. UMPTN ’01 ( Rayon B )

 Pertidaksamaan 5 log x2  2x 10  2 mempunyai penyelesaian untuk :
a. – 5 < x < 3 b. – 3 < x < 5. c. x < - 5 atau x > 3

c. x < - 5 atau x > 5 d. 3 < x < 5

86. UMPTN ’01 ( Rayon B )

Nilai x yang memenuhi : log  2x  10    2x 10 log100 adalah :
 10 

a. x   4,95 atau x  45 b.  4,95  x  45

c. x  5 atau  4,95  x  45 d.  5  x  4,95 atau x  45

e.  4,95  x  4,5 atau x  45 .

87. UMPTN ’01 ( Rayon B )

Jika x > y > 1 dan x2 + 4y2 = 12xy , maka log x  2y2 
x  2y2

a. 2 b. 4 c. – log 2 d. log 2 . e. 2 log 2

88. UMPTN ’01 ( Rayon B )

Jika 2 log x  2 4log y  2 dan 2log x  y  0 , maka x + y =
3
a. 1 b. 3 c. 4 d. 5 . e. 6

89. SPMB ’04 ( Regional III )

   Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan x  1 logx1  x  1 3 maka x1 + x2 =
e. 144
100

a. 81 b. 96 c. 108. d. 120

150

90. UMUGM ’04
Jika x1 dan x2 dengan x1 < x2 memenuhi persamaan :

3 log a  2x2  x , 9log b  5x  x2 dan 9a = b maka x2 
x1

a. 12 b. 10 c. 9 d. 8 . e. 6

91. UMUGM ’04 =

log x x  log y  log x
y2

log x
y

a. 1 b.  1 c.  5 d. 5 . e. 3
2 2 2 2 2

92. SPMB ’04 ( Regional II )

2 log x 2  2 log 4x  4 , maka x1x2 =
4 2 log x
Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan
2 log x

a. 24 b. 22 c. 2-2 d. 2- 4 . e. 2- 8

93. USM UGM MIPA ’05 2x log4x  1 adalah :
Nilai x yang memenuhi x log2x 2
a. x < - 100
b. x < - 10 c. 0  x  1 .
100

d. 1  x  1 e. 2 < x < 10
100 10

94. SPMB ’02 ( Regional 1 )

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 log  x  12   3 adalahh :
 x

a. x  R / x  2 atau x 6 b. x  R / 0 x  2 atau x 6.

c. x  R / 0 x atau 2  x 6 d. x  R /1 x  2 atau x 6

e. x  R / 2 x 6

95. SPMB ’02 ( Regional II )

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma

log 2x  3 log x 1 2log x  3 adalah :

a. x  R /  2  x  3 b. x  R / x  3 c. x  R / 1  x  3.

d. x  R / 0  x 6 e. x  R / 0  x  3

96. SPMB ’05 ( Regional II ) x2 10logx 6  1000 adalah :
Hasil kali x yang memenuhi persamaan 1000 x2

151

a. 106 b. 104 c. 103 d. 102. e. 10

97. SPMB ’03 ( Regional III )

       x 1  x 1Himpunan semua nilai x yang memenuhi
2 5 log x2 1 2 5 log x2 1

adalah : b. x / 1  x  1 c. x / 0  x  1

a. x / x bilangan real

d. x / x  0 e. x / x  1 atau x  1.

98. SPMB ’04 ( Regional I )

 3 log log x 

3log log x1000

a. 1 log 1 x b. 1  1000 1 log x c. 1  100 1 x
3000 log 3
log log log

d. 1 1 e. 1 .
3 3

99. SPMB ’04 ( Regional I )

Penyelesaian pertidaksamaan 2x2 log 2  2 log x  1  0 adalah :

a. x   3 atau  1  x  1 b. 1  x   3 atau  1  x 1
42 42

c.  3  x   1 atau x  1 d.  3  x   1 atau x  1.
42 42

e. 1  x   1 atau x  1
2

100. SPMB ’04 ( Regional II ) 2  x2 x6 a log b c log a adalah :
Semua nilai x yang memenuhi c log b

a. – 2 < x < 3 . b. x < - 2 atau x > 3 c. 1  17  x  1  17
22
d. x  1  17 atau x  1 17
22 e. Semua bilangan real

152