Chapter_XI Persamaan Trigonometri

CHAPTER XI

:: Persamaan Trigonometri ::

 Tipe I

a. sin x  sin  sin x  sin 

 x    k.360 0 atau  x    k.2

  x  180 0    k.360 0  x       k.2

b. cos x  sin  atau cos x  cos 
 x     k.360 0  x     k.2

c. tan x  tan  atau tan x  tan 
 x    k.180 0  x    k.

d. cot x  cot  atau cot x  cot 
 x    k.180 0  x    k.

catatan : k  bilangan bulat

Contoh:

1. Untuk 180 0  x  180 0 , tentukan himpunan penyelesaian dari:

 a. cos 2x  30 0  1
2

   b. sin 2x  300  cos x  400

Jawab :

 a. cos 2x  30 0  1
2
cos 2x  300  cos 60 0
 2x  30 0   60 0  k. 360 0
2x  30  60  k.360
x  15  30  k.180
1) x  45  k.180  x  135, 45
2) x  15  k. 180  x   15, 165

 HP  135,  15, 45, 165 

197

   b. sin 2x  30 0  cos x  40 0
sin 2x   30 0  sin 90 0  x  40 0 
sin 2x  30 0  sin 50 0  x

1) 2x  30  50  x  k.360

3x  80  k. 360

x  26 2  k.120  x   93 1 , 26 2
3 33

2) 2x  30 180  50  x k.360

2x  30 130  x  k.360

x  160  k.360  x  160

 HP    93 1 , 26 2 , 160 
 3 3 
 

2. Untuk 0  x  2 , tentukan himpunan penyelesaian dari sin 3x   cos 3x

Jawab:
sin 3x   cos 3x

tan 3x   1

tan 3x  tan    
 4

3x     k.
4

x     k . 3  x   , 5 , 2 , 11
12 12 6 12 3 12

 HP    , 5 , 2 , 11 
 6 12 3 12 

 Tipe II

a. a sin 2 x  b sin x  c  0  syarat : 12)) D0
b. a cos 2 x  b cos x  c  0  1  sin x 1

1  sin x 1

c. a tan 2 x  b tan x  c  0 syarat : D  0
d. a cot 2 x  b cot x  c  0 

198

Contoh :
Selesaikan persamaan trigonometri berikut:
1. 3 sin x  cos 2 x  3  0
2. 2 tan x  3 cot x  4  0

Jawab :

1. 3 sin x  cos 2 x  3  0
3 sin x  1  sin 2 x  3  0
sin 2 x  3sin x  2  0

sin x  2 sin x  1 0 sin x  2 t m

sin x  1
sin x  sin 90 0

 x  90 0  k.3600

  x  180 0  90 0  k.3600

 90 0  k.3600

2. 2 tan x  3 cot x  4  0
2 tan x  3  4  0
tan x
2 tan 2 x  4 tan x  3  0

tan x   4  4 2  3. 2. 3

2. 2
  4  40

4
  4  6,32

4
1) tan x   4  6,32

4
 0,58

 tan x  tan 30,10

x  30,10  k. 180 0
2) tan x   4  6,32

4
  2,58

 tan x   tan 68,8 0
  tan  68,8 0

x   68,8 0  k. 180 0

199

 Tipe III

a cos x  b sin x  c

Bentuk a cos x  b sin x dapat diubah menjadi : R cos x  
R cos x  
R sin x  
R sin x  

Misal: a cos x  b sin  R cosx   dengan R  0
 R  cos x cos  sin xsin 

 R cos cos x  R sin sin x

a  R cos
b  Rsin
a2  b2  R2 cos2   R2 sin 2 

  R2 cos2   sin 2 

R2  a2 b2
atau

R  a2 b2

Rsin  b  tan   b
Rcos a a

acosxb sinx  c

R cosx    c  cosx    c ........ typeI

R

Syarat penyelesaian:  a2  b2  c  a2  b2
atau
1  cosx   1
c2  a2  b2
1 c 1
r

r c r

200

Contoh:

1. Tentukan batas-batas p agar persamaan trignometri berikut dapat diselesaikan:
a. 3 cos x  4sin x  2 p 1

b. 3p  2cos x  2 p 1sin x  5

Jawab:
a.  a2  b2  c  a2  b2

 32   42  2 p 1  32   42

5 2p 1 5
6  2p  4
3 p2

b. c2  a2  b2

52  3 p  22  2 p 12

9 p2 12 p  4  4 p2  4 p 1  5
13 p2 16 p  0

p13 p 16  0

p  0 atau p  16
13

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3 cos x  sin x  1 ; 00  x  3600

Jawab:

3 cos x  sin x  1

 R cosx    1 ; R  3 2 12  2

tan  1  sudut kudran IV 

3

   300

 2 cos x  300  1

 cos x  300  1
2

 cos x  300  cos 600

x  300  600  k.3600

x   300  600  k.3600

a. x  300  k.3600  x  300

b. x  900  k.3600  x  2700

 HP  300 , 2700

201

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri:

   cos 2x  400  3 sin 2x  400  1 ; 00  x  3600

Jawab:

   cos 2x  400  3 sin 2x  400  1

    R cos 2x  400    1 ; R  12  3 2  2

tan  3  sudut kuadran II 

1
  1200

2cos  2x  400 1200  1

 cos 2x  800  1
2

 cos 2x  800  cos 600

2x  800   600  k.360

x  400  300  k.1800

a. x  700  k.1800  x  700 , 2500

b. x  100  k.1800  x  100 , 1900

 HP  100 , 700 , 1900 ,2500

 Tipe IV

a cos2 x  bsin x cos x  csin2 x  d

Cara I : a cos2 x  b sin x cos x  c sin2 x  d
x2
a.2 cos2 x  b.2sin x cos x  c.2sin2 x  2d
a1 cos 2x b sin 2x  c1 cos 2x  2d
a  a cos 2x  b sin 2x  c  c cos 2x  2d
a  ccos 2x  b sin 2x  2d  a  c ..............Tipe III

Cara II : a cos2 x  b sin x cos x  c sin2 x  d : cos2 x

a  b tan x  c tan2 x  d sec2 x

 a  b tan x  c tan2 x  d tan2 x 1

c  d tan2 x  b tan x  a  d   0 ...........tipe II

202

Contoh soal:
Selesaikan persamaan trigonometri 3sin2 x  4sin x cos x  cos2 x  2 ; 00  x  3600

Jawab:
3sin2 x  4sin x cos x  cos2 x  2 x2
3.2sin2 x  4.2sin x cos x  2 cos2 x  4

31 cos 2x  4sin 2x  1 cos 2x  4

3  3cos 2x  4sin 2x 1 cos 2x  4
 4 cos 2x  4sin 2x  2
2cos2x 2sin2x  1

R cos2x     1 ; R   22  22  2 2
tan  2  sudut kuadran II 

2
  1350

 2 2 cos 2x 1350  1
 cos 2x 1350  1

22

 cos 2x 1350  cos 69,30

2x 1350   69,30  k.3600
x  67,50  34,650  k.1800
x1  102,150 ; 282,150
x2  32,850 ; 212,850

203

:: Exercise ::

1. Selesaikan persamaan trigonometri berikut untuk interval yang diberikan:

 a. 2sin 2x  30 0  1 ; 00  x  3600
   b. tan 3x  100  cot 2x  150 ;  900  x  1800
   c. sin 2x  30 0   cos 2x  30 0 ; 180 0  x  180 0

d. sin 4x  cos 2x  0 ; 00  x 1800

e. 2cos 2 3x  cos 3x  1  0 ; 0  x  2

f. 2cos 2 2x  sin 2x  1  0 ; 0  x  2

g. 2sin 2 2x  sin 2x cos x  0 ; 0  x  2

h. 2cos 2  2x     3 sin  2x    ;   x  
 3  3

i. 4 cos 2 2x  4 sin    2x  3  0 ;    x  
2 

j. 2sin 2 x  3cos x  3 ; 1800  x  1800

k. 2cos 2 3x  sin 3x  4  0 ; 1800  x  1800

l. 2sin 2 4x  cos 4x  1 0 ; 1800  x  1800

m. 4sin 2 2x  5sin 2x  2  2cos2 2x ;   x  2

n. 2 2 cos2 2x  2 2 sin x  2sin x  2 2 1 ; 0  x  

2. Untuk 1800  x  1800 , selesaikan persamaan trigonometri berikut:

   a. sec2 2x 100  sec 2x 100  2
   b. 4sin 3x  450  csc 3x  450  0

c. cos 2x  sin 2x tan 2x  2

d. sec3x csc3x  2csc3x

3. Untuk 00  x  3600 , selesaikan persamaan trigonometri berikut:
a. cos 2x  sin x 1  0
b. cos 2x  5sin x  2  0
c. cos 4x  3sin 2x  1

d. 2sin2x 1100  2sin2x 100 1

e. 3  3cos2 2x  cos 4x  2

4. Tentukan batas-batas p agar persamaan trigonometri berikut mempunyai penyelesaian:

a. 5cos x 12sin x  2 p 1

b. p 1cos x  2 psin x  5
c. 3p  2cos x  p 1sin x  2 p 1

5. Untuk 00  x  3600 , selesaikan persamaan trigonometri berikut:

a. 2 cos x  2 sin x 1

b. 2 cos4x 100  2 sin4x 100 1

204

c.  3 cos2x  300  sin2x  300 1
d. 3 sin2x  300  cos2x  300 1
e.  3 cos2x  300  sin2x  300  2

f. 6 sin 2x  2 cos 2x  2

g. sin2x 100  3 cos2x 100  3  0

h. 2 3 cos2 x  2sin x cos x  1 3
i. csc x  cot x 1
j. sec2x  tan 2x 1

6. Untuk 1800  x  1800 , selesaikan persamaan trigonometri berikut:

a. 1 sin x  cos x  4
cos x 1 sin x

b. cos 2x.cot 2x  3
1 sin 2x

c. sin x  sin x  cos x  cos x
cos 2x cos 2x

d. 2sin x  cot x  2cos x  1

e. 4sin3 x  2sin2 x  2sin x 1  0

f. 4sin2 x cos x  2sin2 x  2cos x 1  0

g. 2sin2 3x  sin 3x  sin 6x  cos 3x  0

h. cos 4x  sin 2x  cos 2x  sin 4x  1

i. cos 4x  2cos2 2x 14sin 2x  9  0

7. Untuk 00  x  3600 , selesaikan persamaan trigonometri berikut:

a. sin 3x  sin x  sin 2x
b. cos 2x  cos x  cos 3x
c. cos x  cos 3x  sin x  sin 3x
d. sin 3x  cos 3x  sin x  cos x
e. cos 3x  3cos x  0
f. tan x  tan 2x  tan3x
g. sin 2x  tan 2x  sin 4x
h. sin 5x  cos 3x  sin x

8. Untuk 00  x  3600 , selesaikan persamaan trigonometri berikut:

a. 2cos2 x  sin x cos x  3sin2 x  0
b. cos2 x  3sin x cos x  2sin2 x  2
c. cos2 x  4sin x cos x  3sin2 x  2

205