Chapter VI Exponential Equation and Function

Chapter VI

Exponential Equation and Function

:: Persamaan Eksponen ::

Persamaan eksponen adalah persamaan di mana terdapat pangkat (eksponen) yang berbentuk fungsi

dalam x ( x sebagai peubah/variabel).

 Bentuk I :

a f (x)  ag(x) ; a  0 , a  1 , a  1
maka : f (x)  g(x)

Contoh soal :

 1. 2 x 1 1 x2 3x5 2 x1
5  52.
3 3 814x2

x 1 16 x 8 x2  3x  5  2x  1

3 2 3 3 3 x2  5x  4  0

x  1   16 x  8 (x  4)(x 1)  0
2 33 x  4  x  1

3x  3  16x  8
2

19x  13
2

x  13
38

 Bentuk II :

ab

a f (x)  b f (x) ; a  0, a  1, a  1
b  0,b  1,b  1

maka : f (x)  0

Contoh soal :

3  7x2 3x2 x2 3x2

x2  3x  2  0

(x  2)(x 1)  0

x  2 x 1

112

 Bentuk III :

a f (x)  1 ; a  1, a  1, a  0

Maka f(x) = 0

Contoh:

5  1x3  5x2  6x

5  5x3  5x2  6 x 0

x3  5x2  6x  0

 x x2  5x  6  0

x x  2x  3  0

x  0 atau x  2 atau x  3

 Bentuk IV :

a f (x)  bg(x) ; a  b,a  0,b  0
a  1,b  1

maka : Penyelesaian dengan Logaritma

(i) Ambil f (x)  0 dan g(x)  0 (karena a0  b0 ), lalu dicari nilai x yang memenuhi kedua

persamaan f (x)  0 dan g(x)  0 . Jika cara ini tidak menghasilkan nilai x, lanjutkan

ke cara (ii)
Contoh :

3  52x1 6x2 x2

Karena 30  50

diperoleh 2x 1  0 dan 6x2  x  2  0

x   1 dan 3x  22x 1  0

2
x   1 dan x  2 atau x   1

23 2

Nilai x yang memenuhi kedua persamaan adalah x   1 , maka solusinya x   1
22

(ii) Kedua ruas ditarik logaritma

a f (x)  bg(x)  log a f (x)  log bg(x)
f (x) log a  g(x) log b

113

Contoh :

32x1  53x2

log 32x1  log 53x2

(2x 1) log 3  (3x  2) log 5

2x log 3  log 3  3x log 5  2 log 5

3x log 5  2x log 3  2 log 5  log 3

x(3log 5  2 log 3)  2 log 5  log 3

x(log125  log 9)  log 25  log 3

x log 125  log 75
9

x  log 75
log 125
9

 125

9 log 75

114

 Bentuk V :

f (x) g(x)  1 1. g(x)  0 , asal harga x yang didapat,

Kemungkinan : tidak menyebabkan f(x) = 0

2. f (x)  1
3. f (x)  1 , asal harga x yang didapat

 memenuhi f (x) g(x)  1

Contoh Soal :

g( x)

(4x3)8x2 2x  1

f (x)

Kemungkinan-kemungkinan :

1. g(x)  0  8x2  2x  0

x8x  2 0

Kontrol : x0 x 1
4

Untuk x = 0  f (x)  4x  3  0 OK!

Untuk x =  1  f (x)  4x  3  0 OK!
4

2. f (x)  1  4x  3  1

x 1
2

3. f (x)  1  4x  3  1
x  1

Kontrol :  g(x) 8x2  2x
untuk x = - 1

82

16  1 OK! 6

 HP   1,  1 ,  1 , 0
 2 4 

115

 Bentuk VI :

f (x) h(x)  gxhx

Kemungkinan : 1. h(x)  0 , asal harga x yang didapat, tidak menyebabkan

f(x) = 0 atau g(x) = 0

 2. f (x)  g x , asal harga x yang didapat, tidak menyebabkan

f(x) = 0 dan h(x) = 0 atau g(x) = 0 dan h(x) = 0

 3. f (x)  g x , asal harga x yang didapat menyebabkan

h(x) bernilai genap atau memenuhi

f (x) h(x)  gxhx

Contoh Soal :

hx hx
   2x 2 3x x2  4x  x24x6 x2  4x
f x gx

Kemungkinan-kemungkinan :

1. hx  0  x 2  4x  0
x x  4  0

x  0 atau x  4

kontrol :

untuk x  0  f x  2x 2  3x  0
jadi x  0 tidak memenuhi 

untuk x  4  f x  2x 2  3x  0 OK 
gx  x2  4x  6  0 OK 

116

2. f x gx  2 x 2  3x  x2  4x  6

x2x  6  0

x  2  x  3  0

x  2 atau x   3

Kontrol :

untuk x  2  f x  2x 2  3x  0 dan hx  x 2  4x  0 ok 
gx  x 2  4x  6  0 dan hx  x 2  4x  0 ok 

untuk x   3  f x  2x 2  3x  0 dan hx  x 2  4x  0 ok 
gx  x 2  4x  6  0 dan hx  x 2  4x  0 ok 

 3. f x  gx  2 x 2  3x   x2  4x  6

3x 2  7x  6  0  D  0 ; x  R

Jadi HP    3, 2, 4 

 Bentuk VII :

f (x) g(x)  f (x) h(x)

Kemungkinan : 1. g(x)  h(x)
2. f (x)  1
3. f (x)  1 , asal harga x yang didapat memenuhi

f (x) g(x)  f (x) h(x)

4. f (x)  0 , asal harga x yang didapat menyebabkan g(x)  0 dan

h(x)  0

Contoh soal :

   x2  5x  5 2x3  x2  5x  5 3x2

f (x) g(x) f (x) h(x)

Kemungkinan – kemungkinan : 4. f (x)  0

1. g(x)  h(x) x2  5x  5  0
2x  3  3x  2
x1,2  5  25  20
x5 2
2. f (x)  1

 5 5
2

117

x2  5x  5  1

x2  5x  4  0

(x 1)(x  4)  0 Kontrol :
x 1  x  4

3. f (x)  1 Untuk x  5  5
2
x2  5x  5  1
x2  5x  6  0 1. g(x)  2x  3
(x  2)(x  3)  0
8 5 0

2. hx  3x  2

x2  x3  11 3 5  0
2
Kontrol :
x  5 5
 untuk x  2 2
g(x)  2x  3  7

h(x)  3x  2  4

 (1)7  (1)4 untuk x  5  5
2
 x  2(TM )
 untuk x  3 1. gx  2x  3

g(x)  2x  3  9

h(x)  3x  2  7  8 5  0

 (1)9  (1)7 2. hx  3x  2

x 3   3 5  5  2  0
2

Hp :  5 5 ,3, 5 5  x  5 5
1, 2 2 , 4 , 5 2



x2 3x
x2 3x2 !

3  3  10Carilah Hp dari :

x2 3x
x2 3x2

3  3  10Solusi :

118

32.3x 2 3x  3x 2 3x  10
9.3x 2 3x  3x 2 3x  10

10.3x 2 3x  10
3x2 3x  1
3x 2 3x  30

x2  3x  0
x(x  3)  0
x  0 x 3

:: Grafik Fungsi Eksponen ::

y  2x y  2x

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y11 1 1 1 2 4 8 16 y 16 8 4 2 11 1 1 1
6
16 8 4 2 y 6 2 4 8 16

y  2x 16 y  2x
6

8

4 x
2
1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

119

Secara umum : y y  ax;a 1

y  ax;a 1 y  ax;0  a  1

y  ax;0  a 1 x

1
0

:: Pertidaksamaan Eksponen ::

1. a f (x)  ag(x) f (x)  g(x) 2. a f (x)  ag(x) f (x)  g(x)
0 a 1 f (x)  g(x)
a 1
a f (x)  ag(x)
a f (x)  ag(x) f (x)  g(x) 0 a 1

a 1

Contoh soal : atau
33(3x2)   1 4(4x1)
273x2   1 4x1
 81 3
 1 3(3x2)   1 4(4x1)
33(3x2)   1 4(4x1) 3 3
3  3(3x  2)  4(4x  1)

3  33(3x2) 4(4 x 1)  9x  6  16x  4
 25x  2
9x  6  16x  4
x 2
25x  2 25 ( : -25 )

x 2
25

120

:: Exercise ::

1. Solve the following equations: b. 7 x2 4 1  0

 a. 4x 52x  10

c. 9 x  ( 3) x2 d. 4x  82x
2 x1

2  4e. x2 2( x1) f. 7 x2  4962x

g. 4 x2 6 16 x1  0 h. 3 x2  9 x1
27 x

i. 5x2 3x2  1  0 j. 52x7  32x7

7  4x2 5x6 x2 5x6 l. 5x2 3x2  5x2 3x1  30

k.

m. 8 1  x  2  2 x 8
2
n. 4 x  2 x

 o. 3x1 92x  1 p. 52x  6.5x  5  0
3

q. 22x 10.2x 16  0 r. 2.16x  5.4x  2  0

s. 7 x1  2  2.7 x  3 t. 9 x1  1  10.3x

u. 6.3x1  34  3x v. x 1  2 x3  8  7.2 x

42

w. 22x1  3.2x  2 x. 5 x1  20  3
10  5 x

2 x.5x  1 10 x1 4 3 3
100
 y. z. x 2  8x 2  7

2. Solve the following simultaneous equations:

a. 5 x.252 y  1 and 35x.9 y  1
9

b. n 2.4m 8 and 27m  81
9n 1

c. 64.4 y  16x and 3y  4.3x2 1 .

d. 4x3  32.2xy and 9x  3y  10

121

3. Solve the following inequalities:

 3  3 x 2

1  3  1  b. x 1
243   3x2  3 9 22x . 32 8
a.
x

c. 3 2x 4x13 3 16x2  1 d. 92x1 12.32x1  27  0

16x 3 4

4. Solve the following equations, giving your answers correct to 3 significant figures.

a. 2x.3x  10 b. 2 x1  3x
d. 22x.5x1  7
c. 5x1.3x2  10

e. 4.32x  e x f. 3x.102x  4.20x2

4.Solve the following equations:

a. 72x 3 1

3 12x2  3x 5

b.

 c. x  5 2x4  1

 d. 2x  3 2x5  1

 e. 2x 1 x2 3x10  1

 f. x2  3x 1 2x1  1
 g. x 2  3x  1 x2 3x4  1

   h. 3x 4 2x 4 x  1 2x  4

   2x 4  x  1x2  2x 3 x2  2x 3

i.

   j. 2x 2 5x x2  2x  x2  2x  8 x2  2x

   k. 2x 2 x  4 x2  3x  2 x2  2x 14 x2  3x 2

   l. 2x 2 9x  4 2x2  5x  3 x2  8x 16 2x2  5x 3

m. 2x 1 4x1  2x 1 x3

122

   n. x  2 x2 4x1  x  2 2x2 3x13

   o. x2  3x 1 2x1  x2  3x 1 3x8

   p. x2  3x  1 2x2 3x12  x2  3x  1 x2 2x8

6. Sketch the graph of each of the following functions:

a. y  2 x1 b. y   1  x1
2

y  2x2 2x3 d. y   1  x2 2x3
2
c.

123