Logika Matematika Semester 1

BUKU LOGIKA MATEMATIKA

DI SUSUN OLEH :

NAMA : RIKA APLIANA
NPM : 2110010300
KELAS : 1 N REG BANJARMASIN
DOSEN PENGAMPUH : ADHI SURYA, ST,MT
NIDN : 1126058001

UNIVERSITAS ISLAM KALIMANTAN MUHAMMAD ARSYAD AL BANJARI
PROGRAM STUDI TEKNIK INFOMATIKA
FAKULTAS TEKNOLOGI INFORMASI
2021 / 2022

PRAKATA

Puji Syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. karena atas berkat rahmat
dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas E-Book yang berjudul
“Logika Matematika” ini tepat pada waktunya.

Adapun tujuan dari penyusunan buku ini adalah guna memenuhi tugas mata kuliah
Logika Matematika dari Bapak Adhi Surya, ST, MT. Selain itu, buku ini juga
bertujuan untuk menambah wawasan bagi para pembaca dan juga penulis tentang
Logika Matematika.

Penyusunan buku ini tidak akan terselesaikan tanpa adanya bantuan serta
kemurahan hati dari berbagai pihak. Oleh karena itu, disamping rasa syukur yang tak
terhingga atas nikmat yang telah diberikan Allah SWT. tak lupa penulis juga
mengucapkan rasa terimakasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Prof. Abd
Malik SPt., M.Si., Ph.D selaku Rektor Universitas Islam Kalimantan Muhammad
Arsyad Al Banjari Banjamasin. Dr. Silvia Ratna, S.Kom., M.Kom. selaku Dekan
Fakultas Teknik Informatika Universitas Islam Kalimantan Muhammad Arsyad Al
Banjari Banjarmasin. Bapak Arafat, S.Kom., M.Kom. Sebagai Wakil Dekan I
Fakultas Teknologi Informasi Universitas Islam Kalimantan Muhammad Arsyad Al
Banjari Banjarmasin Bapak Ihda Innar Ridho, S.Kom., M.Kom sebagai wakil dekan II
Fakultas Teknologi Informasi Universitas Islam Kalimantan Muhammad Arsyad Al
Banjari Banjarmasin. Bapak Fathur Rahman, S.Kom., M.Kom. Sebagai Wakil Dekan
III Fakultas Teknologi Informasi Universitas Islam Kalimantan Muhammad Arsyad
Al Banjari Banjarmasin. Bapak Wagino, S.Kom., M.Kom., Sebagai Sekretaris Prodi
Teknik Informatika Fakultas Teknologi Informasi Universitas Islam Kalimantan
Muhammad Arsyad Al Banjari Banjarmasin. Bapak Zaenuddin, S.Kom., M.Kom.,
Sebagai Kepala Bagian Tata Usaha Fakultas Teknologi Informasi Universitas Islam
Kalimantan Muhammad Arsyad Al Banjari Banjarmasin. Bapak Adhi Surya ST,. MT.
Selaku Dosen Pengampuh Mata kuliah Logika Matematika Prodi Teknik Informatika
Universitas Islam Kalimantan Muhammad Arsyad Al Banjari Banjarmasin. Ayah dan
Ibu beserta keluarga besar atas segala cinta, semangat, dukungan dan doa, serta
pegorbanan yang diberikan. Teman-teman seangkatan 2021 Teknik Informatika
Universitas Islam Kalimantan Muhammad Arsyad Al Banjari Banjramasin yang atas
kerjasamanya.

iii

Dalam penyusunan buku ini penulis menyadari bahwa masih banyak kekuran gan.
Sehingga penulis sangat mengharapkan bimbingan bagi para pembaca. Baik berupa
saran atau kritik yang bersifat membangun agar bisa menyenpurnakan penyusunan
buku dimasa yang akan datang. Akhir kata semoga buku ini bermanfaat bagi penulis
dan para pembaca.

Banjarmasin, 26 Oktober 2021
Penyusun,

RIKA APLIANA
NPM. 2110010300

iv

DAFTAR ISI

PRAKATA ........................................................................................................ iii
DAFTAR ISI ........................................................................................................v
BAB I LOGIKA MATEMATIKA

1.1. Pengertian ............................................................................................1
1.2. Penghubung dalam Logika Matematika ...............................................2
BAB II HIMPUNAN
2.1. Pengertian .............................................................................................5
2.2. Jenis-Jenis Himpunan ...........................................................................6
2.3. Cara Penyajian Himpunan ....................................................................8
2.4. Operasi Hitung Himpunan ..................................................................10
2.5. Aljabar Himpunan ...............................................................................13
2.6. Prinsip Inklusi dan Ekslusi ..................................................................14
BAB III FUNGSI
3.1. Pengertian .............................................................................................15
3.2. Jenis – Jenis Fungsi ..............................................................................15
3.3. Komposisi Dua Buah Fungsi ................................................................17
BAB IV LOGIKA PROPOSISI
4.1. Pengertian ............................................................................................18
4.2. Aturan Semantik ..................................................................................18
4.3. Sifat Kalimat ........................................................................................20
4.4. Bentuk Logika Proposisi ......................................................................21
BAB V EKUIVALENSI DAN KONSEKUENSI LOGIKA
5.1. Ekuivalensi Logika ..............................................................................22
5.2. Konsekuensi Logika ............................................................................22
5.3. Kongjungsi Disjungsi Jamak ...............................................................23

v

BAB VI LOGIKA PREDIKAT
6.1. Pengertian ...........................................................................................24
6.2. Representasi Kalimat ..........................................................................24
6.3. Variabel Bebas dan Terikat.................................................................24

BAB VII ALJABAR BOOLEAN
7.1. Pengertian ...........................................................................................26
7.2. Fungsi Boolean ...................................................................................26
7.3. Aljabar Boolean Dua Nilai .................................................................27
7.4. Ekspresi Boolean ................................................................................28
7.5. Prinsip Dualitas ..................................................................................29

KESIMPULAN ............................................................................................ .....30
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................31
BIODATA PENULIS ........................................................................................33

vi

BAB I
LOGIKA MATEMATIKA

1.1. Pengertian

Logika matematika merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu
matematika. Logika berasal dari bahasa Yunani kuno “logos” yang artinya
akal atau pikiran. Logos dapat diartikan sebagai cara berpikir dengan
mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi, bukan dengan perasaan
atau pengalaman. Sedangkan jika diartikan secara sistematis, logika dapat
dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang
mengandung kajian matematis. Logika matematika berhubungan erat
dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Logika matematika menjadi
salah satu ilmu matematika yang banyak diaplikasikan dalam kehidupan
sehari-hari. Kegunaan logika diantaranya adalah sebagai berikut.

1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara
rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheran.

2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara

tajam dan mandiri.
4. Memaksa dan mendorong agar berpikir sendiri dengan menggunakan

asas-asas sitematis.
5. Meningkatkan cinta akan keberanian dan menghindari kesalahan,

kekeliruan, serta kesesatan dalam berpikir.
6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
7. Terhindar dari tahayul atau kepercayaan turun-temurun (dalam bahasa

Jawa gugon tuhon).
8. Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis, lurus, metodis dan

analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan
meningkatkan citra diri seseorang.

1

1.2. Penghubung dalam Logika Matematika

Dalam pelajaran logika matematika, beberapa pernyataan dapat
dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung
logika seperti dan, atau, maka dan jika, dan hanya jika.pernyataan
gabungan tersebut disebut dengan pernyataan majemuk.

Dalam logika matematika, kata hubung tersebut masing-masing
memiliki lambang dan istilah sendiri, dapat dilihat pada tabel berikut.

1. Konjungsi
Konjungsi (∧) merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung
“dan”. Ini akan bernilai benar apabila variabel-variabelnya bernilai benar,
dan bernilai salah jika salah satu dari variabelnya bernilai salah. Berikut
adalah tabel kebenaran konjungsi.

Contoh :
p: Jakarta adalah ibukota Indonesia (benar)
q: Jakarta adalah kota metropolitan (benar)
p∧q: Jakarta adalah ibukota Indonesia dan kota metropolitan
(pernyataan bernilai benar).
2. Disjungsi
Disjungsi (∨) merupakan pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara
menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata
penghubung “atau”. Sebuah disjungsi bernilai benar jika salah satu

2

pernyataan bernilai benar dan bernilai salah jika kedua pernyataan b ernilai
salah. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

Contoh:
p: Jakarta adalah ibukota Indonesia (benar)
q: Jakarta adalah kota pelajar (salah)
p∨q: Jakarta adalah ibukota Indonesia atau kota pelajar ( pernyataan
bernilai benar).
3. Implikasi
Implikasi (⟹) merupakan dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam
bentuk kalimat “jika p maka q”. Berikut adalah tabel kebenaran implikasi.

Contoh :
P: Arif rajin belajar (benar)
q: Arif lulus dengan nilai gemilang (benar)
p⟹q: Jika Arif rajin belajar, maka Arif lulus dengan nilai gemilang
(pernyataan bernilai benar).
4. Biimplikasi
Biimplikasi (⇔) adalah pernyataan majemuk yang dinyatakan dalam bentuk
kalimat “...jika dan hanya jika”. Berikut adalah tabel kebenaran
biimplikasi.

3

Contoh :
p: 2+2 = 4 (benar)
q: 3 adalah bilangan genap (salah)
p⇔q: 2+2 = 4 jika dan hanya jika 3 bilangan genap (pernyataan
bernilai salah).

4

BAB II

HIMPUNAN

2.1. Pengertian

Himpunan adalah sekumpulan objek (benda-benda real atau abstrak) yang
dapat didefinisikan jelas. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksudkan agar
dapat menentukan apakah suatu benda tersebut merupakan anggota himpunan
atau tidak. Coba perhatikan objek-objek di sekeliling kita yang merupakan
contoh himpunan antara lain sebagai berikut.
 Setumpuk buku yang berada di atas meja belajar,
 Sekumpulan mahasiswa Uniska Jurusan Teknik Informatika
 Sekumpulan mahasiswa Uniska Fakultas Teknologi Informasi
Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan
contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana
anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan. Sedangkan yang bukan
himpunan merupakan himpunan yang tidak dapat didefinisikan secara jelas,
contohnya sebagai berikut.
 Himpunan makanan yang lezat
 Himpunan gadis yang cantik
 Himpunan bunga yang indah
Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif.
Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang belum tentu
lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainnya. Jadi relatif bagi setiap
orang.

Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota
himpunan. Umumnya himpunan dilambangkan dengan huruf kapital seperti A, B,
C, dan sebagainya yang dituliskan dalam tanda kurung kurawal seperti berikut
ini.

A = {himpunan sayur-sayuran}
B = {merah, kuning, hijau}
C = {1, 2, 3, 4, 5}

5

2.2. Jenis-Jenis Himpunan

Berdasarkan jenisnya himpunan dibagi menjadi beberapa jenis, yaitu:
a. Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B
ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 2, 4} maka B ⊂ A
Sebab setiap elemen dalam B merupakan elemen dalam A, tetapi tidak
sebaliknya.
b. Himpunan Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun unsur
anggota.
Syarat :

 Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal
 Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.
Sebab : { 0 } ≠ { }
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang
tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong
dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).
c. Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S”
(Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang
dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.
d. Himpunan Sama (Equal)

6

Himpunan sama merupakan himpunan yang memiliki dua buah himpunan
yang anggotanya sama, apabila setiap anggota himpunan A juga merup akan
anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya di notasikan dengan A=B.
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c, d, e} B={ c, d, e } Maka A = B
Sebab memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama yaitu anggota
himpunan A {c, d, e} dan himpunan B memiliki anggota yaitu { c, d, e }.
e. Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah dua buah himpunan yang tidak mempunyai satu pun
anggota yang sama.
Contoh :
C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6}
Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.
f. Himpunan Komplemen (Complement Set)
Himpunan komplemen dapat dinyatakan dengan notasi AC. Himpunan
komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂
U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}.
Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U, x Є A}.
g. Himpunan Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak
dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan
sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,
Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = { r,s,t,u } →n (B) = 4
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari
himpunan tersebut, bila himpunan A beranggotakan 4 karakter maka
himpunan B pun beranggotakan 4.

7

2.3. Cara Penyajian Himpunan

Himpunan dapat disajikan atau dinyatakan dengan beberapa cara, yaitu :

a. Enumerasi
Enumerasi yaitu penyajian dengan cara menuliskan semua elemen
himpunan yang bersangkutan di antara dua buah kurung kurawal.
Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf
kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.
Himpunan biasanya digunakan untuk mengelompokkan objek yang
mempunyai sifat yang mirip, tetapi dari definisi himpunan kita
mengetahui bahwa sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan
tidak mempunyai hubungan satu sama lain. Contohnya {kucing, a,
Amir, 10, paku} adalah himpunan yang etrdiri dari lima elemen yaitu
kucing, a, amir, 10 dan paku.

Contoh :
A=
R = {a,b,{a,b,c},{a,c}}
C = {a, {a}, {{a}}}
K = {{}}
Himpunan C memperlihatkan bahwa suatu himpunan dapat menjadi
anggota himpunan lain. Sedangkan K berisi satu elemen yaitu {}.
Untuk menuliskan himpunan dengan jumlah anggota yang besar dan
telah memiliki urutan tertentu dapat dilakukan dengan menggunakan
tanda ‘…..’ (ellipsis)

Contoh :
Himpunan alfabet ditulis sebagai {a,b,c,…,x,y,z}
Himpunan bilangan bulat positif ditulis {1,2,3,…}
Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan digunakan notasi :
xA yang menyatakan x merupakan anggota himpunan A
xA menyatakan x bukan anggota A
b. Simbol-simbol Baku

8

Terdapat sejumlah simbol baku yang biasanya digunakan untuk
mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, yaitu :
P = himpunan bilangan bulat positif
N = himpunan bilangan asli
Z = himpunan bilangan bulat
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan real
C = himpunan bilangan kompleks
Adakalanya beberapa himpunan merupakan bagian dari sebuah
himpunan yang universal. Himpunan universal ini dilambangkan
dengan U, yang harus diberikan secara eksplisit atau diarahkan
berdasarkan pembicaraan.

Contoh :
U = {1,2,3,4,5} dan A = {1,3,5}
A adalah himpunan bagian dari U
c. Notasi Pembentuk Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh
anggotanya.
Notasi : {x syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Contoh :
A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan
sebagai
A = {x x adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari
5}
A = {x x  P, x < 5} = {1,2,3,4}
d. Diagram Venn
Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian
himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama
John Venn pada tahun 1881. Di dalam diagram Venn himpunan semesta
U digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya
digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut.

9

Contoh :
U = {1,2,…,7,8}, A = {1,2,3,5} dan B = {2,5,6,8} Ketiga himpunan
tersebut digambarkan dengan diagram Venn pada gambar berikut :

U 12 7
4 8

A 5 6B
5

2.4. Operasi Hitung Himpunan

1. Gabungan / Union ( ∪ )
Operasi gabungan pada himpunan menyatakan operasi untuk
menggabungkan anggota – anggota menjadi satu dalam himpunan baru.
Sehingga, anggota – anggota himpunan gabungan berasal dari anggota –
anggota himpunan yang dioperasikan. Jika terdapat anggota himpunan yang
sama cukup dituliskan satu kali. Sebagai contoh perhatikan dua buah
himpunan A dan B, dengan A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, i, u, e, o}. Ada
dua anggota himpunan yang sama – sama terletak pada himpunan A dan B
tersebut, yaitu a dan e. Namun, pada operasi gabungan himpunan, sobat
idschool hanya perlu menuliskan sekali anggota himpunan yang sama. Jadi,
anggota – anggota pada himpunan gabungan A dan B adalah {a, b, c, d, e, i,
u, o}.
Simbol untuk menyatakan gabungan himpunan adalah notasi ∪ (union),
dibaca gabungan. Notasi pembentuk himpunan untuk gabungan dua
himpunan A dan B dinyatakan dalam persamaan A ∪ B = {x|x ϵ A atau x ϵ
B}.

10

2. Irisan Himpunan/Intersection ( ∩ )
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan dengan anggota –
anggota yang berada pada dua himpunan tersebut. Dalam kata lalin,
anggota – anggota himpunan irisan merupakan anggota yang sama pada dua
himpunan. Sebagai contoh terdapat himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B =
{a, i, u, e, o}. Ada dua anggota himpunan yang sama – sama terletak pada
himpunan A dan B tersebut, yaitu a dan e. Sehingga, irisan himpunan A dan
B adalah a dan e.
Simbol himpunan beririsan dinyatakan dalam notasi ∩, dibaca irisan.
Notasi pembentuk himpunan untuk irisan dua himpunan A dan B dinyatakan
dalam persamaan A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.

ͨ3. Komplemen Himpunan ( A )

Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan semua anggota
himpunan semesta (S) yang tidak ada di himpunan A. Himpunan semesta
memuat semua anggota dari himpunan yang dibicarakan. Pada pembicaraan
bilangan ganjil, maka himpunan semesta mencakup bilangan ganjil yang tak
berhingga. Pada bahasan lima bilangan ganjil pertama maka himpunan
semesta memiliki anggota – anggota 1, 3, 5, 7, dan 9.
Notasi komplemen suatu himpunan dinyatakan dalam pangkat C yang
melekat pada himpunan terkait. Misalkan diketahui sebuah himpunan A,
komplemen dari himpunan A dinyatakan dalam notasi AC (dibaca A
komplemen). Notasi pembangkit untuk Untuk menyatakan pernyataan suatu

ͨhimpunan komplemen adalah A = {x| x ∈ S tetapi x ∉ A}.

11

4. Selisih Himpunan/Difference ( – )
Selisih dua himpunan meliputi semua anggota himpunan yang tidak
dimiliki himpunan lain. Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh
tanda kurang ( – ). Notasi pembangkit untuk selisih dua himpunan A dan B
ditulis dalam persamaan A – B = {x|x ϵ A atau x ∉ B}.
Pada selisih himpunan A – B, himpunan barunya berupa semua anggota A
yang tidak ada pada B. Sedangkan selisih himpunan B – A, himpunan baru
yang dihasilkan sama dengan anggota himpunan B yang tidak ada pada A.
Sebagai contoh, diketahui dua buah himpunan A = {a, b, c, d, e} dan B =
{a, i, u, e, o}. Selisih dua himpunan A – B = {b, c, d} dan B – A = {i, u,
o}.

2.5. Aljabar Himpunan

Hukum–hukum pada himpunan dinamakan hukum aljabar himpunan.
Berikut hukum-hukum aljabar himpunan dualitas.

12

Contoh prinsip dualitas :
Misalkan A ∈ U dimana A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B), maka pada dualnya,
misalkan U*, berlaku :
A = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)

2.6. Prinsip Inklusi dan Ekslusi

Prinsip Inklusi dan Ekslusi merupakan perluasan ide dalam Diagram
Venn beserta operasi irisan dan gabungan. Banyaknya anggota

13

himpunan gabungan antara himpunan A dan himpunan B merupakan
jumlah banyaknya anggota dalam himpunan tersebut dikurangi
banyaknya anggota didalam irisannya.
Untuk dua himpunan A dan B:

A  B = A + B – A  B
A  B = A +B – 2A  B

14

BAB III
FUNGSI

3.1. Pengertian

Konsep fungsi dalam matematika umumnya diartikan sebagai pemetaan
yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, dalam pembahasan relasi
dan fungsi, himpunan yang terlibat digolongkan ke dalam tiga jenis daerah.
 Daerah asal (domain). Dalam hal ini, himpunan A adalah daerah asal

(domain).
 Daerah kawan (kodomain). Dalam hal ini, himpunan B adalah daerah kawan

(kodomain).
 Daerah hasil (range fungsi). Daerah dari hasil dari pemetaan antara domain

dan kodomain .

3.2. Jenis-Jenis Fungsi

Berdasarkan sifatnya fungsi dikelompokkan menjadi 3 jenis, yaitu :
1. Fungsi Injektif (Fungsi Satu-satu)

Fungsi injektif adalah fungsi into atau fungsi satu-satu.
Catatan : Fungsi f: A → B dikatakan fungsi Injektif

 Jika anggota kodomain (B) hanya dipasangkan satu kali dengan
anggota domain (A).

 Anggota himpunan daerah kodomain boleh tidak memiliki
pasangan, namun dari semua anggota kodomain yang
terpasangkan hanya ada satu, tidak boleh ada yang lebih dari
satu. Perhatian gambar dibawah ini.

AB

1a
2b
3c

15

Gambar diatas menunjukkan fungsi injektif karena anggota kodomain
hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain.
2. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto / Fungsi Pada)
Fungsi surjektif atau onto memiliki ciri-ciri yaitu :

 Anggota kodomainnya boleh memiliki pasangan lebih dari satu.
 Tetapi, tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak

dipasangkan.
Catatan :
Fungsi surjektif biasanya dipenuhi apabila jumlah anggota kodomain sama
atau lebih sedikit dari anggota domain. Perhatikan gambar dibawah ini.

AB

1a
2b
3c
4

Gambar diatas menunjukkan fungsi surjektif karena anggota kodomain
boleh memiliki pasangan lebih dari satu.
3. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Fungsi bijektif adalah gabungan dari fungsi injektif dan surjektif.

 Pada fungsi bijektif, semua anggota domain dan kodomain
terpasangkan tepat satu.

 Kebalikan fungsi dari fungsi injektif dan surjektif belum pasti
fungsi/pemetaan, namun kebalikan fungsi dari fungsi bijektif
juga merupakan fungsi/pemetaan.

Perhatikan gambar dibawah ini.

AB

1a
2b
3c

16

Gambar diatas menunjukkan fungsi bijektif karena semua anggota
domain dan kodomain terpasangkan satu-satu.

3.3. Komposisi Dua Buah Fungsi

Operasi fungsi merupakan operasi yang digunakan pada minimal 2 buah
fungsi untuk menghasilkan sebuah fungsi yang baru. Notasi dari fungsi
komposisi adalah 'o' atau sering disebut dengan 'bundaran' atau 'komposisi'.

Contohnya terdapat 2 fungsi yaitu f(x) dan g(x) maka (fog) (x) atau dibaca
fungsi bundaran maka dapat dikerjakan dengan memasukkan fungsi g ke
dalam fungsi f. Untuk lebih jelasnya lihat di gambar berikut.

Rumus Fungsi Komposisi
Secara umum rumusan fungsi komposisi adalah
di bawah terdapat 2 fungsi yaitu fungsi f(x) dan fungsi g(x), maka fungsi h(x)
yang didefinisikan sebagai h(x)=(fog)(x) dapat dicari dengan cara:

h(x) = (kabut)(x) = f(g(x))

Ilustrasinya adalah jika terdapat fungsi f dan g yang merupakan mesin yang
bekerja secara beriringan.
Fungsi g mendapatkan input berupa (x) yang dinikmati oleh mesin f kemudian
outputnya berupa g(x).
Kemudian g(x) menjadi input untuk diolah mesin f sehingga diperoleh output
berupa f(g(x)).
Catatan : Terdapat beberapa sifat dari komposisi fungsi, diantaranya :

Tidak bersifat komutatif : (kabut)(x) (gof)(x)
Bersifat assosiatif : ((kabut) oh)(x) = (fo (goh))(x).

17

BAB IV
LOGIKA PROPOSISI

4.1. Pengertian

Proposisi adalah istilah yang digunakan untuk kalimat pernyataan yang
memiliki arti penuh dan utuh. Hal ini berarti suatu kalimat harus dapat
dipercaya, disangsikan, disangkal, atau dibuktikan benar tidaknya. Singkatnya,
proposisi adalah pernyataan mengenai hal-hal yang dapat dinilai benar atau
salah.
Dalam ilmu logika, proposisi mempunyai tiga unsur yakni:

 Subjek, perkara yang disebutkan adalah terdiri dari orang, benda,
tempat, atau cara.

 Predikat adalah perkara yang dinyatakan dalam subjek.
 Kopula adalah kata yang menghubungkan subjek dan predikat.
Contohnya :
kalimat ”Semua manusia adalah fana”. Kata semua dalam kalimat tersebut
dinamakan dengan pembilang. Kemudian kata manusia berkedudukan sebagai
subjek, sedang adalah merupakan kopula. Adapun predikat di sini diwakili
oleh kata fana.
Banyak pemikir modern berpikir bahwa "pernyataan" dan "proposisi"
adalah sinonim, atau paling tidak seharusnya sama.

4.2. Aturan Semantik

Aturan Semantik (semanti rule) merupakan suatu aturan yang digunakan
untuk menentukan arti atau nilai kebenaran dari suatu kalimat logika. Dalam
interpretasi untuk sebuah kalimat, kita dapat menentukan nilai kebenaran dari
kalimat tersebut pada interpretasi tersebut. Ini dilakukan dengan
mengaplikasian aturan - aturan berikut.

Aturan - aturan semantic bisa diandaikan e adalah sebuah kalimat dan I
adalah interpretasi untuk e. Maka nilai kebenaran dari e (dan semua sub-
kalimatnya) pada I ditentukan dengan menggunakan aturan - aturan semantik
berikut secara berulang ulang :

18

 Aturan Proposisi : Nilai Kebenaran dari tiap tiap simbol proposisi P, Q,
R,..... dalam e sama dengan nilai kebenaran yang diberikan oleh I.

 Aturan True : Kalimat T bernilai Ture pada I.
 Aturan false : kalimat F bernilai false pada I.
 Aturan Not : ¬F bernilai true jika F bernilai false; dan sebaliknya.
 Aturan and : F ∧ G bernilai true jika F dan G kedua-duanya bernilai

true; dan bernilai false kalau tidak.
 Aturan or : F ∨ G bernilai true jika F bernilai true atau G bernilai true;

dan bernilai false kalau tidak.
 Aturan if-then : F ⇒ G bernilai true jika F bernilai false atau jika G

bernilai true; dan bernilai false kalau tidak.
 Aturan if-and-only-if : F ⇐⇒G bernilai true jika nilai kebenaran F sama

dengan nilai kebenaran G; dan bernilai false kalau tidak.
 Aturan if-then-else : if F then G else H sama dengan nilai kebenaran G

jika F bernilai true dan sama dengan nilai kebenaran H jika F bernilai
false.

Aturan-aturan tersebut dapat diungkapkan dengan tabel kebenaran sebagai
berikut.
1. Aturan Not

2. Aturan and, or, if-then, if-and-only-if

19

3. Aturan if-then-else

Contoh Penggunaan Aturan Semantik :
Perhatikan kalimat:
F = (P ∧ ¬Q) ⇒(¬P ∨ R),
dan interpretasiI:
I : P ← true; Q ← false; R ← false.
Nilai kebenaran dari kalimat F dapat ditentukan sebagai berikut:
Karena Q bernilai false, maka (dari aturan not) ¬Q bernilai true,
Karena P bernilai true dan ¬Q bernilai true, maka (dari aturan and) P ∧ ¬Q
bernilai true,
Karena P bernilai true, maka (dari aturan not) ¬P bernilai false,
Karena ¬P bernilai false dan R bernilai false, maka (dari aturan or) ¬P ∨ R
bernilai false,
Karena P ∧ ¬Q bernilai true dan ¬P ∨ R bernilai false, maka (dari aturan if-
then) (P ∧ ¬Q) ⇒ (¬P ∨ R) bernilai false,
Maka kalimat F bernilai false pada interpretasi I.

4.3. Sifat Kalimat

 VALID (TAUTOLOGI)

20

 Kalimat A valid jika bernilai true berdasarkan semua interpretasi
untuk A.

 SATISFIABLE
Kalimat A satisfiable jika bernilai true berdasarkan beberapa
intrepretasi untuk A.

 CONTRADICTORY (UNSATISFIABLE)
Kalimat A contradictory jika bernilai false berdasarkan semua
interpretasi untuk A

 IMPLIES
Kalimat A implies kalimat B, jika untuk sebarang interpretasi I
untuk A dan B, jika A bernilai true berdasarkan I maka B juga
bernilai true berdasarkan I.

 EQUIVALENT
Kalimat A dan B ekuivalen, jika untuk setiap interpretasi A dan B, A
mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan B.

 CONSISTENT
Sekumpulan kalimat A1, A2,...konsisten jika ada interpretasi untuk
A1, A2,...sehingga A2 ( I = 1, 2, 3,...) bernilai true.

4.4. Bentuk Logika logika Proposisi

Berdasarkan bentuknya, proposisi diklasifikasikan menjadi dua kategori, yaitu :
1. Proposisi Tunggal

Proposisi tunggal hanya mengungkap satu pernyataan saja dimana hanya
didukung satu subjek dan satu predikat (kalimat tunggal).
Contoh :
kalimat "Setiap manusia akan mati", dalam kalimat tersebut hanya terdapat
satu subjek, yakni "manusia", sedang predikatnya berupa "mati".
2. Proposisi Majemuk
Proposisi ini dibentuk dari gabungan dua proposisi tunggal atau lebih
dimana kalimat pernyataan ini sekurang-kurangnya didukung dua pola
kalimat.
Contoh :
Jika Rika rajin belajar, maka ia lulus ujian dan mendapat hadiah istimewa.

21

BAB V
EKUIVALENSI DAN KONSEKUENSI

LOGIKA

5.1. Ekuivalensi Logika

Dalam logika matematika dikenal konsep kesetaraan atau ekuivalensi untuk
menyatakan hubungan antar pernyataan. Dua pernyataan dikatakan setara atau
ekuivalen jika kedua pernyataan tersebut menghasilkan nilai kebenaran yang
sama pada tabel kebenaran.

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika
(berekivalensi logis) jika memiliki nilai kebenaran yang sama. Jika pernyataan
majemuk X dan Y ekuivalen, ditulis X≡Y, maka nilai kebenaran pernyataan
majemuk X dan Y sama. Dapat kita tulis : p⇒q≡∼p∨q≡∼q⇒∼p.
Contoh :
1. Indah sangat cantik dan peramah
2. Indah peramah dan sangat cantik
Kedua pernyataan diatas akan dikatakan ekuivalen.
Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan sebagai berikut.
A = Indah sangat cantik
B = Indah itu ramah
Ekspresi logikanya adalah:
1) A ∧ B
2) B ∧ A
Jika dikatakan kedua ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, maka
dapat ditulis : (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)

5.2. Konsekuensi Logika

Konsekuensi logis, sering dianggap suatu konsep paling dasar dalam
logika, merupakan hubungan antara suatu kalimat (atau proposisi) dan kalimat
lain (proposisi) sewaktu kalimat yang terakhir "mengikuti" kalimat
sebelumnya. Konsekuensi logis dapat pula diekspresikan sebagai suatu

22

fungsi dari himpunan kalimat terhadap himpunan kalimat lain (formulasi
Tarski), atau sebagai hubungan antara dua himpunan kalimat (logika simpulan
jamak, multiple-conclusion logic).
Contoh :

 Kermit berwarna hijau
 Semua katak berwarna hijau
 Kermit adalah seekor katak
”Kermit berwarna hijau” adalah konsekuensi logis dari "Semua katak berwarna
hijau" dan "Kermit adalah seekor katak". Suatu hubungan konsekuensi logis
yang terspesifikasi dengan formal dapat dikarakterisasikan dengan teori model
atau teori pembuktian (atau keduanya).

5.3. Konjungsi Disjungsi Jamak

Konjungsi Disjungsi Jamak adalah apabila diberikan kalimat yang
mengandung operator konjungsi/disjungsi lebih dari satu. Urutan pengerjaan
operasi pada kalimat tersebut dari kiri ke kanan sesuai aturan.
 Konjungsi Jamak bernilai TRUE jika setiap conjuct-nya adalah TRUE
 Disjungsi Jamak bernilai TRUE jika setidaknya salah satu dari disjuctnya

adalah TRUE.

23

BAB VI
LOGIKA PREDIKAT

6.1. Pengertian

Logika predikat atau disebut kalkulus predikat adalah perluasan dari logika
proposisi dimana objek yang dibicarakan dapat berupa anggota kelompok.
Logika predikat menangani kelemahan kalkulus proposisi dengan
menambahkan representasi objek yang memiliki sifat tertentu dan relasi antar
objek.

Logika predikat digunakan untuk merepresentasikan hal-hal yang tidak
dapat direpresentasikan dengan menggunakan logika proposisi. Logika predikat
digunakan untuk merepresentasikan fakta sebagai suatu pernyataan yang
dikenal dengan wff (well - formed formula).

6.2. Representasi Kalimat

Representasi kalimat adalah cara untuk menyajikan pengetahuan yang
diperoleh kedalam suatu skema / diagram tertentu sehingga dapat diketahui
relasi antara suatu pengetahuan dengan pengetahuan yang lain dan dapat
dipakai untuk menguji kebenarannya.
Contoh representasi bahasa alami ke dalam Kalkulus Predikat :
Ada apel berwarna merah

(FOR SOME x) (Apel(x) AND Merah(x))
Semua apel berwarna merah

(FOR ALL x) ( IF Apel(x) THEN Merah(x))
Setiap orang mencintai seseorang

(FOR ALL x) (FOR SOME y) LOVES(x,y)

6.3. Variabel Bebas dan Terikat

Suatu variabel dikatakan terikat dalam sebuah ekspresi jika sedikitnya ada
satu kemunculan x terikat pada ekspresi tersebut. Sebaliknya dikatakan

24

variabel bebas jika sedikitnya ada satu kemunculan bebas dalam ekspresi
tersebut.

Contoh :
(FOR ALL x) [p(x,y) AND (FOR SOME y) q(y,z,x)]
x pada p(x, y) adalah terikat
y pada p(x, y) adalah bebas
y pada q(y, z) adalah terikat
z pada q(y, z) adalah bebas
Kemunculan variabel terikat dipengaruhi oleh kemunculan kuantifier yang
paling dekat.
Contoh :
(FOR ALL x) [p(x) OR (FOR SOME x) (FOR ALL y) r(x, y)]
variabel x pada p(x) dipengaruhi kuantifier FOR ALL x
variabel x pada r(x, y) dipengaruhi kuantifier FOR SOME x
Catatan,
Perbedaan antara variabel Bebas dan Variabel Terikat adalah
Variabel Bebas, Nilainya diberikan oleh interpretasi
Variabel Terikat,Nilainya terbatas dari interpretasi yang diberikan

25

BAB VII
ALJABAR BOOLEAN

7.1. Pengertian

Aljabar Boolean atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Boolean Algebra
merupakan matematika yang digunakan untuk menganalisis dan
menyederhanakan Gerbang Logika pada Rangkaian-rangkaian Digital
Elektronika. Boolean pada dasarnya merupakan Tipe data yang hanya terdiri
dari dua nilai yaitu “True” dan “False” atau “Tinggi” dan “Rendah” ya ng
biasanya dilambangkan dengan angka “1” dan “0” pada gerbang logika ataupun
bahasa pemrograman komputer. Aljabar Boolean ini pertama kali diperkenalkan
oleh seorang Matematikawan yang berasal dari Inggris pada tahun 1854. Nama
Boolean sendiri diambil dari nama penemunya yaitu George Boole.

7.2. Fungsi Boolean

Fungsi Boolean adalah sebuah fungsi yang dibentuk oleh n variabel Aljabar
Boolean. Diantara fungsi-fungsi tersebut adalah :

1. Fungsi konstan : f(x1, x2, … , xn) = a
2. Fungsi Proyeksi : f(x1, x2, … , xn) = xi , i = 1, 2, 3, … , n
3. Fungsi Komplemen : g(x1, x2, … , xn) = (f(x1, x2, … , xn))’
4. Fungsi Gabungan : h = f + g dan h = f . g
5. Fungsi Identitas : f(x) = x

Fungsi Boolean yang lainnya :

f(x) = x + x’.a fungsi dengan 1 variabel
fungsi dengan 2 variabel
f(x,y) = x’y + xy’ + x fungsi dengan 3 variabel

f(x,y,z) = xy’z

Nilai Fungsi Boolean ditentukan oleh berapa banyak variabelnya contoh :
 Fungsi dengan satu variabel :
f(x) = f(1)x + f(0)x’
 Fungsi dengan dua variabel :

26

f(x,y) = f(1,1)xy + f(1,0)xy’+f(0,1)x’y+f(0,0)x’y’

Oleh sebab itu maka fungsi konstan f(x) = a
disebabkan oleh f(x) = f(1)x + f(0)x’ = ax + ax’ = a ( x + x’ ) = a . 1 = a
f(1)x + f(0)x’ = a adalah bentuk Kanonik (berdasarkan nilai) dari fungsi
konstan.
f(x) = a adalah bentuk Standar dari fungsi konstan

7.3. Aljabar Boolean Dua Nilai

Aljabar Boolean yang terkenal dan memiliki terapan yang luas adalah
aljabar Boolean dua-nilai (two-valued Boolean algebra). Aljabar Boolean dua-
nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1
(sering dinamakan bit – singkatan dari binary digit), yaitu B = {0, 1}, operator
biner, + dan . operator uner, ‘.

Kaidah untuk operator biner dan operator uner ditunjukkan pada tabel di bawah
ini.

Tabel kaidah operasi .
a B a.b
0 00
0 10
1 00
1 11

Tabel kaidah operasi +
a B a+b
0 00
0 11
1 01
1 11

27

Tabel kaidah operasi ‘
ab
00
01
10
11

Kita harus memperhatikan bahwa keempat aksioma di dalam definisi terpenuhi
pada himpunan B = {0, 1} dengan dua operator biner dan satu operator uner
yang didefinisikan di atas.

7.4. Ekspresi Boolean

Pada aljabar Boolean dua-nilai, B = {0, 1}. Kedua elemen B ini seringkali
disebut elemen biner atau bit (singkatan binary bit). Peubah (variable) x
disebut peubah Boolean atau peubah biner jika nilainya hanya dari B. Ekspresi
Boolean dibentuk dari elemen – elemen B dan / atau peubah – peubah yang
dapat dikombinasikan satu sama lain dengan operator +, ., dan ‘. Secara
formal, ekspresi Boolean dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut.

Misalkan (B, +, ., ‘, 0, 1) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu
ekspresi Boolean dalam (B, +, ., ‘) adalah :

(i). Setiap elemen di dalam B,
(ii). setiap peubah,
(iii). jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 . e2, e1’ adalah

ekspresi Boolean.

Ekspresi Boolean yang mengandung n peubah dinamakan ekspresi Boolean
bagi n peubah.Dalam penulisan ekspresi Boolean selanjutnya, kita
menggunakan perjanjian berikut : tanda kurung ‘()’ mempunyai prioritas
pengerjaan paling tinggi, kemudian diikuti dengan operator ‘, + dan Α. Sebagai
contoh, ekspresi a + b . c berarti a + (b . c), bukan (a + b) . c dan ekspresi a .
b’ berarti a . (b’), bukan (a . b)’.

28

7.5. Prinsip Dualitas

Di dalam aljabar Boolean, banyak ditemukan kesamaan (identity) yang
dapat diperoleh dari kesamaan lainnya, misalnya pada dua aksioma distributif
sebagai berikut.
(i) a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
(ii) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
Aksioma yang kedua diperoleh dari aksioma pertama dengan cara mengganti
Α dengan + dan mengganti + dengan Α. Prinsip ini dikenal dengan prinsip
dualitas, prinsip yang juga kita temukan di dalam teori himpunan maupun
logika. Definisi prinsip dualitas di dalam aljabar Boolean adalah sebagai
berikut.

Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean
yang melibatkan operator +, Α, dan ‘, maka jika pernyataan S* diperoleh dari S
dengan cara mengganti Α dengan +, + dengan Α, 0 dengan 1, 1 dengan 0 dan
membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga
benar. S* disebut sebagai dual dari S.

29

KESIMPULAN

Dalam logika matematika dikenal konsep kesetaraan atau ekuivalensi untuk
menyatakan hubungan antar pernyataan. Dua pernyataan dikatakan setara atau
ekuivalen jika kedua pernyataan tersebut menghasilkan nilai kebenaran yang
sama pada tabel kebenaran.

Himpunan adalah sekumpulan objek (benda-benda real atau abstrak) yang
dapat didefinisikan jelas. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksudkan agar
dapat menentukan apakah suatu benda tersebut merupakan anggota himpunan atau
tidak.

Konsep fungsi dalam matematika umumnya diartikan sebagai pemetaan
yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, dalam pembahasan relasi dan
fungsi, himpunan yang terlibat digolongkan ke dalam tiga jenis daerah. Daerah
asal (domain), Daerah kawan (kodomain), dan Daerah hasil (range fungsi).

Proposisi adalah istilah yang digunakan untuk kalimat pernyataan yang
memiliki arti penuh dan utuh. Hal ini berarti suatu kalimat harus dapat dipercaya,
disangsikan, disangkal, atau dibuktikan benar tidaknya. Singkatnya, proposisi
adalah pernyataan mengenai hal-hal yang dapat dinilai benar atau salah.

Logika predikat atau disebut kalkulus predikat adalah perluasan dari logika
proposisi dimana objek yang dibicarakan dapat berupa anggota kelompok. Logika
predikat menangani kelemahan kalkulus proposisi dengan menambahkan
representasi objek yang memiliki sifat tertentu dan relasi antar objek.
Belajar logika matematika harus disesuaikan dengan tabel kebenaran yang sudah
ditentukan. Secara tidak langsung, mempelajari logika matematika membuat
berpikir secara lurus, tepat, dan teratur.

Manfaat belajar logika dari sedini mungkin akan membiasakan untuk lebih
berpikir kritis dalam menanggapi berbagai masalah. Tidak hanya itu, belajar
logika matematika membantu berpikir secara rasional, sistematis, meningkatkan
kemampuan berpikir secara objektif dan cermat, serta meningkatkan cinta kepada
kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir.

30

DAFTAR PUSTAKA

Nur Hadi. 2013. Logika Matematika.
http://blog.uny.ac.id/nurhadi/2013/09/16/logika-matematika/18/10/2013

Author . 2013. Logika Matematika.
http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika 18/10/2013

Fitri Dewanty. 2021. Materi Logika Matematika kelas 11.
https://pahamify.com/blog/materi-logika-metematika-kelas-11/

Bella Octavia. 2019. Memahami Logika Matematika: Konjungsi Disjungsi Implikasi.
https://www.zenius.net/blog/memahami-logika-matematika-dengan-mudah

Blogmipa. 2018. Kumpulan contoh soal dalam logika matematika dan pembahasannya.
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-biimplikasi-dalam-logika-
matematika.html?m=0.

Rinaldi Munir. 2016-2017. Himpunan.
http://informatika.stie.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2016-2017/Himpunan-(2016).pdf

Pitri Sundary.2021. Soal dan Jawaban Materi Himpunan.
https://www.dosenmatematika.co.id/soal-dan-jawaban-materi-irisan-dan-gabungan-dua-
himpunan/

Rinaldi Munir. 2016-2017. Himpunan.
http://informatika.stie.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2016-2017/Himpunan-(2016).pdf

Pitri Sundary.2021. Soal dan Jawaban Materi Himpunan.
https://www.dosenmatematika.co.id/soal-dan-jawaban-materi-irisan-dan-gabungan-dua-
himpunan/

Blogmipa. 2017. Definisi fungsi, contoh soal dan pembahasan.
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/07/fungsi-surjektif-injektif-dan-
bijektif.html?m=0

Chanel Youtube Utak Atik Otak. 2021. perbedaan fungsi injektif, surjektif, dan Bijektif
https://youtu.be/S90OAeEsMqw

Yan Batara P. 2019. Fungsi Komposisi dan Invers.
https://teknik.uma.ac.id/wp-content/uploads/2019/07/34.pdf

Samhis Setiawan. 2021. Pegertian Proposisi.
https://www.gurupendidikan.co.id/proposisi-adalah/

Syafnidawaty. 2020. Proposisi.
https://raharja.ac.id/2020/11/06/proposisi/#:~:text=Proposisi%20majemuk%2C%20meupaka
n%20proposisi%20yang,dan%20lebih%20dari%20satu%20predikat.

31

Sheetmath. 2016. Contoh Soal Proposisi Dan Tabel Kebenaran.
Https://Www.Sheetmath.Com/2016/06/Contoh-soal-proposisi-dan-tabel.Html?M=1
Ratna Wardani. 2008. Ekivalensi+Logis.
http://staffnew.uny.ac.id
Galang Setianto. 2015. Ekuivalensi Logika Informatika
https://otnaites.blogspot.com/2015/10/ekuivalensi-logika-informatika.html?m=1
Study With Student. 2020. Equivalensi Logika
https://youtu.be/_EVcvgfiAmQ
UNIKOM. Logika Predikat
https://repository.unikom.ac.id/60609/1/5%20-%20LOGIKA%20PREDIKAT.pptx
Ratna Wardani. 2007/2008. Logika Predikat
LogikaP11-Logika+Predikat.pdf
Fika Hastarita Rachman. 2013. Logika Predikat
https://www.slideshare.net/yulindajustin/8-logika-predikat

32

BIODATA PENULIS

Nama : Rika Apliana
NPM : 2110010300
Kelas : 1 N REG Banjarmasin
TTL : Tabalong, 07 Agustus 2002
Alamat : Tanjung
No. Hp : 082213594215
Email : [email protected]
Asal Sekolah : SMK Negeri 1 Murung Pudak
Motto Hidup : Hiduplah seakan-akan esok mati

33