identitas-trigonometri (1)

Kegiatan Belajar 2

A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat
a. Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian
b. Membuktikan identitas trigonometri sederhana dengan menggunakan rumus hubungan
antara perbandingan trigonometri
c. Memahami hubungan antara koordinat kutub dan koordinat cartesius suatu titik.

B. Uraian Materi 2

Identitas Trigonometri

a). Identitas Pythagoras

• P (x, y)

ry

θ
x

Pada gambar di atas berlaku :
x2 + y2 = r2
sinθ = y ⇒ y = r sinθ
r
cosθ = x ⇒ x = cosθ
r

Sehingga titik P (x, y) kita bisa menuliskan menjadi P (r cos θ, r sin θ) dengan menggunkan
teorema Pythagoras maka akan didapat

x2 + y2 = r2

⇒ (r cosθ )2 + (r sinθ )2 = r 2

⇒ r 2 cos2 θ + r 2 sin 2 θ = r 2

( )⇒ r 2 cos2 θ + sin 2 θ = r 2

⇒ cos2 θ + sin 2 θ = r 2
r2

⇒ cos2 θ + sin 2 θ = 1

Hubungan dari persamaan-persamaan di atas disebut identitas trigonometri dan sering
disebut dengan identitas Pythagoras.
Dari identitas di atas dapat diturunkan menjadi beberapa identitas, diantaranya.
a).1 + tan 2 θ = sec2 θ
b).1 + cot 2 θ = cos ec2θ

b). Identitas Kebalikan

1. sinθ = 1 atau cos ecθ = 1
cos ecθ sin

2. cosθ = 1 atau secθ = 1
secθ cosθ

3. tanθ = 1 atau cotθ = 1
cotθ tanθ

c). Identitas Perbandingan (Kuesien)

1. tanθ = sinθ
cosθ

2. cotθ = cosθ
sinθ

Contoh :
1. Jika diketahui tan A = − 5 dan 90o < A < 180o tentukan

12

a. sec A b. sin A

Penyelesaian

a. Dengan menggunakan identitas Pythagoras maka

1 + tan 2 A = Sec2 A
1 +  − 5 2 = sec2 A

 12 
sec2 A = 1 + 25

144
sec2 A = 144 + 25

144
sec A = 169

144
sec A = 13

12

Karena 90o < A < 180o terletak dikuadran II maka sec A = − 13
12

b. Dengan menggunakan identitas kebalikan

cos A = 1
sec A

cos A = 1
− 13
12

cos A = − 12
13

Selanjutnya diselesaikan dengan identitas perbandingan

tan A = sin A
cos A

sin A = tan A × cos A
sin A =  − 12  − 5 

 13  12 

sin A = 5
13

2. Buktikan bahwa sec A = tan A + cos A
1 + sin A

Penyelesaian
Kita ubah ruas kanan

sec A = sin A + cos A
cos A 1 + sin A

sec A = sin A(1 + sin A) + cos A.cos A
cos A(1 + sin A)

sec A = sin A + sin2 A + cos2 A

cos A(1 + sin A)

sec A = sin A + 1 A)

cos A(1 + sin

sec A = 1
cos A

sec A = sec A ⇒ (terbukti)

Jadi, terbukti sec A = tan A + cos A
1 + sin A

3. Sederhanakan bentuk dari

cosθ tan 2 θ b. 3 – 3 cos2 θ
a.

sin θ

Penyelesaian

a. cosθ tan 2 θ = cos θ . sin θ  2
cosθ 

sinθ sinθ

sin 2 θ

= cosθ
sin θ

= sin 2 θ × 1
cosθ sinθ

= sinθ
cosθ

= tanθ

b. 3 – 3 cos2 θ = 3 – 3 (1 – sin2 θ)
= 3 – 3 + 3sin2 θ
= 3sin2 θ

Koordinat kutub

• • P (3, 3)
•

32

•

θ

••••••••

•

•
•

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri maka nilai θ pada gambar di atas adalah
45o. titik P (3, 3) dapat ditulis dalam bentuk lain, yakni P (3 2 , 45o) .
Titik P(3, 3) disebut koordinat cartesius sedangkang P (3 2 , 45o) disebut sebagai koordinat
kutub.
Secara umum koordinat cartesius dapat ditulis P(x, y) dan koordinat kutub P(r, θ)
Kita telah mengetahui bahwa

sinθ = y
r

cosθ = x
r

maka kita temukan hubungan antara koordinat cartesius dan koordinat kutub
y = r.sinθ
x = r.cosθ
r = y2 + x2
r = y atau r = x
sinθ cosθ

Contoh
1. Tentukan koordinat cartesius titik R (4, 150o)
Penyelesaian

r = 4 θ = 150o •
x = r cosθ
•R(4, 150o) •
= 4 cos150o
= 4 − 1 3  •

2  150o
= −2 3
••••••

y = r sinθ •

= 4 sin150o

= 4 1 
2 

=2

Jadi koordinat titik R ( − 2 3 , 2)

2. Tentukan koordinat kutub dari Q(6, 3)
Penyelesaian

r = 62 + 32 • • P (6, 3)
= 36 + 9 •
= 45

=3 5 •

sinθ = y θ
r
••••••••
sinθ = 3
35 •

sinθ = 1 5 •
5

sinθ = 0,4472
θ ≈ 27o

( )Jadi, koordinat kutub dari P(6,3) adalah P 3 5, 270

C. Rangkuman 2

1. Jenis-jenis identitas trigonometri

a. Identitas Pythagoras

cos2 θ + sin 2 θ = 1

1 + tan 2 θ = sec2 θ

1 + cot 2 θ = cos ec2θ

b. Identitas Perbandingan

tanθ = sinθ
cosθ

cot θ = sin θ
cosθ

c. Identitas kebalikan

sinθ = 1 atau cos ecθ = 1
cos ecθ sin

cosθ = 1 atau secθ = 1
secθ cosθ

tanθ = 1 atau cotθ = 1
cotθ tanθ

2. Hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub
sinθ = y
r
cosθ = x
r
y = r.sinθ
x = r.cosθ
r = y 2 + x 2 atau

r = y atau r = x
sinθ cosθ

D. Lembar Kerja 2
1. Sederhanakanlah
a. cos x.tan x
b. sin2 x. cot2 x + cos2x. tan2 x
c. sec x. tan x. cos x
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
2. Buktikan bahwa
a. (sin x – cosx)2 = 1 – 2 sin x cos x
b. (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = 2
c. 1 − cos x = tan x
cos x sin x sin x
d. sin 3 A + cos3 A = 1 − sin Acos A
sin A + cos A

e. 1 − cosθ = cos ecθ − cotθ
1 + cosθ

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
3. Nyatakan bentuk akar berikut ini ke dalam bentuk fungsi trigonometri sederhana
dengan mensubtitusikan x yang diberikan.

a. 9 − x 2 ; untuk x = 6sin α

b. 16 − x 2 ; untuk x = 4 cos β

c. 4 + x2 ; untuk x = 2 tanθ
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

4. Tentukan koordinat cartesius dari titik

a. R (6, 30o) c. P (5, 240o)

b. Q (2, 120o) d. T (8, 300o)

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

5. Tentukan koordinat kutub dari

a. R (5, 13) c. P ( − 2 15,−2 10 )

b. Q (- 24, 7) d. T (- 5, - 5)

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

6. Sebuah perahu berlayar dari pelabuhan dengan arah 037o. kecepatan rata-rata perahu

itu adalah 12 KM/jam, setelah 5 jam hitunglah:

a. Jarak dari pelabuhan

b. jarak dari timur pelabuhan

c. jarak dari utara pelabuhan

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

7. Gambar di samping adalah bandul B yang diayun ke Atap C
kanan sebesar 30o. jika panjang tali 30 cm, hitunglah

a. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi tali (BA) 30o
b. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi atap (BC) Tali
…………………………………………………………

………………………………………………………… B
………………………………………………………… A

………………………………………………………… Bandul
…………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………

E. Tes Formatif 2

1. Jika 0 ≤ θ ≤ π, maka cos θ identik dengan …

a. sec2 θ −1 d. 1 − cos2 θ
sec2 θ

b. tanθ e. secθ.cosθ
secθ cos ecθ

c. cotθ
cos ecθ

2. Betnuk sederhana dari sin 4 x − cos4 x = ....
sin x − cos x

a. sin3x – cos2x d. sin x – cos x

b. sin3x + cos3x e. sin x + cos x

c. sin2x – cos2x

3. Bentuk yang senilai dengan 5.tan2 x + 3 adalah….

a. 5 − 2 d. 3 + 2
sin 2 x sin 2 x

b. 5 − 2 e. 2 + 5
cos2 x cos2 x

c. 5 x +3
sin 2

4. Bentuk yang senilai dengan bentuk 1 − cos x adalah…
sin x

a. − sin x d. cos x
1 + cos x 1 + cos x

b. − cos x e. sin x
1 − sin x 1 + cos x

c. sin x
1 − cos x

( )5. Bentuk 1 − sin 2 A tan 2 A dapat disederhanakan menjadi…

a. 2 sin2 A – 1 d. 1 – sin2A

b. sin2 a + cos2 A e. cos2 A + 2

c. 1 – cos2 A

6. Nilai dari 2.tan x adalah…
1 + tan 2 x

a. 2. sin x. cos x d. 2 sin x
e. 2 cos x
b. sin x cos x

c. 1 – 2 sin x

7. Bentuk sederhana dari 1 + sec x adalah…
tan x + sin x

a. sec x d. cosec x

b. sin x e. cos x

c. tan x

8. Diketahui p − q = cos x dan 2 pq = sin x maka p2+ q2 =…..

a. sin x + cos x d. sin2 x + sin2 x
b. sin2 x + cos2 x e. cos2 x – sin2 x
c. sin2 x – cos2 x

9. Untuk setiap sudut β, maka bentuk (1 – sin2 β)(1 + tan2 β) dapat disederhanakan

menjadi… d. 1
a. 1 + sin2 β e. sin2 β
b. sin2 β – cos2 β
c. 1 + cos2 β

10. Bentuk sederhana dari tan A + cos A adalah…
1 + sin A

a. sec A d. tan A

b. cos A e. cosec A

c. cot A

11. Koordinat kutub (8, 30o) jika dinyatakan dalam koordinat cartesius adalah….

a. (4, 4 3) ( )d. 4 2, 4 3

b. (4 3, 4) (e. 4, 4 2)

c. (4 2, 4)

( )12. Koordinat kutub dari titik − 1, 3 adalah..

a. (2, 120o) d. (2, 330o)
b. (2, 240o) e. (2, 360o)
c. (2, 300o)

13. Koordinat cartesius dari titik P (1, y) dan koordinat kutubnya adalah P ( 2 , βo),

jika titik P terletak di kuadran I. maka nilai y dan β berturut-turut adalah…

a. 3 dan 30o d. 2 dan 225o

b. 1 dan 45o e. 1 dan 315o

c. 1 dan 135o

14. Koordinat titik P adalah (3, 30o). posisi P pada koordinat cartesius adalah..

a.  3 , 3 3  d.  3, 3 3 
2 2   2 

b.  3 3, 3  e.  3 3,3
2 2 2 

c.  3, 3 
2 

15. Koordinat titik Q adalah  1 2, 1 2  . Posisi Q dalam koordinat kutub adalah..
2 2 

a. 1, π  d.  1 ,π 
3   2 4 

b. 1, π  e. 1, π 
 6  3

c.  1 , π 
2 3