BAB 5 : RANGKAIAN DALAM TEORI GRAF

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 133

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Pengarah Pendidikan Negeri Pahang

Puitis Kata, Segunung Harapan

Syukur alhamdulillah, dengan izin dan inayah-Nya, Modul

Bahan Bantu Mengajar Mata Pelajaran Matematik Tingkatan 4 sejajar dengan
Kurikulum Standard Sekolah Menengah (KSSM) bagi tahun 2020 yang dikenali sebagai
Modul IMPAK telah dihasilkan. Rakaman penghargaan yang tidak terhingga kepada guru-
guru yang sentiasa menghulurkan sokongan dan bantuan kepada Jabatan Pendidikan Pahang
dalam mengimplementasikan misi dan visi jabatan.

Modul IMPAK ini dihasilkan khusus untuk rujukan guru-guru Matematik untuk menghasilkan
PdP yang lebih berkesan. Sesungguhnya kemurahan hati para guru Matematik yang
mempunyai pelbagai kepakaran ini amat menginsafkan kami agar sentiasa memberikan yang
terbaik dalam memastikan kelangsungan Pelan Pembangunan Pendidikan Malaysia (PPPM)
2013 – 2025.

Berdasarkan penyediaan modul yang melalui proses perancangan, penghasilan serta penilaian
yang begitu teliti, pasti modul ini amat memanfaatkan kelompok sasaran dan memberikan nilai
tambah tersendiri dalam kebolehupayaan anak-anak didik menguasai setiap topik-topik dan
kemahiran dalam Matematik.

Pihak Jabatan Pendidikan Pahang dengan seikhlasnya merakamkan ucapan tahniah dan
terima kasih yang tidak terhingga kepada guru-guru pakar Matematik yang telah berusaha
dengan begitu gigih untuk menghasilkan modul ini. Usaha gigih dan komitmen jitu daripada
semua yang terlibat menggambarkan kualiti pendidik di negeri ini yang berada pada tahap yang
sungguh cemerlang. Teruskanlah usaha murni dengan menyediakan modul-modul yang
berinovasi serta kompetitif sifatnya agar selari dengan perkembangan Pendidikan Abad Ke-21.

Semoga matlamat dan hasrat murni ini dapat membantu murid-murid menggapai cita-cita
mereka untuk cemerlang dalam mata pelajaran Matematik semasa SPM nanti. Insya-Allah.

DATO’ DR. HAJI TAJUDDIN BIN MOHD YUNUS
Pengarah Pendidikan Pahang

134 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Timbalan Pengarah Pendidikan Negeri Pahang
Sektor Pembelajaran

Alur Bicara, Serlah Impian

Syukur ke hadrat Allah SWT kerana dengan izin dan kurnia-Nya,

penghasilan Modul Bahan Bantu Mengajar Mata Pelajaran Matematik Tingkatan 4 sejajar

dengan Kurikulum Standard Sekolah Menengah (KSSM) bagi tahun 2020 yang dikenali

sebagai Modul IMPAK dapat direalisasikan. Ini merupakan usaha murni yang

memperlihatkan kolaboratif akrab antara Jabatan Pendidikan Negeri Pahang khasnya Sektor

Pembelajaran dengan warga pendidik di Negeri Pahang dalam menterjemah hasrat

Kementerian Pendidikan Malaysia untuk menyediakan dan melahirkan murid-murid yang

mempunyai kemahiran serta kelayakan dalam persaingan dunia realiti. Berdasarkan kemahiran

sedia ada, murid-murid ini akan mampu bersaing dengan daya dan kemampuan tersendiri

ketika cabaran serta dugaan persekitaran semasa yang semakin mencabar.

Dalam konteks pendidikan matematik, fikrah matematik merujuk kepada kualiti murid yang
dihasratkan untuk dilahirkan melalui sistem matematik kebangsaan. Murid yang berfikrah
matematik merupakan murid yang berkeupayaan melakukan matematik dan memahami idea
matematik, serta mengaplikasikan secara tanggungjawab pengetahuan dan kemahiran
matematik dalam kehidupan harian mereka berlandaskan sikap dan nilai. Modul Impak ini
dibina dengan mengambil kira keperluan sebenar para guru serta menyediakan panduan yang
signifikan khususnya dalam merancang dan melaksanakan aktiviti pengajaran dan
pembelajaran yang menyediakan murid-murid yang berfikrah matematik, seterusnya
merealisasikan kecemerlangan pada peringkat peperiksaan Sijil Pelajaran Malaysia (SPM).

Saya mengucapkan setinggi-tinggi tahniah dan syabas kepada para pegawai Unit Sains dan
Matematik, Sektor Pembelajaran JPN Pahang serta ahli panel warga pendidik yang bergabung
tenaga dan idea dalam penghasilan modul ini. Sesungguhnya menjadi harapan kita semua agar
modul IMPAK ini dapat dimanfaatkan oleh para guru dengan sebaik-baik yang mungkin agar
dapat memberikan bantuan dan keilmuan untuk melakar kejayaan bagi murid-murid khususnya
di negeri Pahang.

Sekian, terima kasih.

Timbalan Pengarah Pendidikan
Sektor Pembelajaran

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 135

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

5.1 Rangkaian / Network

SP 5.1.1 Mengenal dan menerangkan rangkaian sebagai graf.
Identify and explain a network as a graph.

1. Graf Suatu siri bintik sama ada berkait atau tidak antara satu sama lain
Graph melalui garis.
A series of dots which are either linked or not linked to one another by
2. Bucu , lines.
Vertices
Bintik
3. Tepi , Contoh : kampung,bandar, individu atau kumpulan.
Edge A dot
Example: village, city, individuals or groups.
4. Rangkaian
Network Garis yang mengaitkan dua bucu.
Contoh : Jalanraya, landasan kereta api,rakan sekerja
The line joining two vertices.
Example: Road, railway lines,colleagues

Sebahagian daripada graf dengan keadaan bucu dan tepi mempunyai
sifat tersendiri.
Suatu graf yang mempunyai sekurang-kurangnya sepasang bintik
berkait.
A part of a graph with the vertices and edges having their own
characteristics.
Graph which has at least a pair of related dots.

Bucu / Vertice

Tepi / Edge
136 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

5. Darjah , MODUL MATEMATIK KSSM
Degrees, TINGKATAN 4

Bilangan tepi yang mengaitkan dua bucu.
Bilangan darjah = 2E
Is the number of edges that connect two vertices.
The sum of degrees = 2E

Σ ( ) = 2 ;

= Bucu/
= Tepi/
= Darjah /
Σ = Jumlah/Sum of

a. 3 Berdasarkan graf berikut, cari
4 Based on the graph, find
2
1 5 (i) E dan/ ( )
(ii) v dan/ ( )
(iii) bilangan darjah , 2E

/ , 2

Penyelesaian/Solution :

(i) = { (1,5), (1,2), (1,3), (2,3), (3,5), (3,4), (4,5)}
( ) = 7

(ii) = {1,2,3,4,5}
( ) = 5

(iii) Σ ( ) = 2(5)
=1

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 137

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

b

Maran Berdasarkan graf berikut, cari
Based on the graph, find
Temerloh Kuantan
(i) / ( )
Bera (ii) / ( )
(iii) bilangan darjah,2E

, 2

Pekan
Rompin

Penyelesaian/Solution :

(i) = { , , ℎ, , , )}
( ) = 6

(ii) = { ( , ), ( , ℎ)), ( ℎ, ),
( , ), , ), ( , ), ( , )}

( ) = 7

(iv) Σ ( ) = 2(7)
= 14

Praktis /Practice 5.1.1a

1. Lukiskan satu graf mudah berdasarkan maklumat yang diberikan.
Draw a simple graph based on the given information.

Bilangan bucu, ( ) Bilangan tepi, ( ) Graf
Number of Number of edges, ( ) Graph

vertices, ( )

(a) 6 7
(b) 7 8
(c) 5 6

138 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

2. Nyatakan bilangan bucu, bilangan tepi dan bilangan darjah bagi graf mudah yang berikut :

State the number of vertices, number of edges and the sum of degrees of the following
graphs.

Bilangan Bilangan Bilangan
bucu / tepi / darjah /
Sum of
Number of Number of degrees
vertices edges

( ) ( ) Σ ( )

(a)
3

24

6

15
(b)

J

KH

L N
(c) M

Selangor Kelantan
Melaka Terengganu
Pahang
Negeri Sembilan

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 139

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Maksud berbilang tepi dan gelung pada graf
Meaning of multiple edges and loops of a graph

1. Berbilang tepi ✓ melibatkan dua bucu
Multiple edge involves two vertices

2. Gelung ✓ kaitan antara dua bucu tersebut dinyatakan melalui lebih dari satu
Loops tepi.
the vertices are connected by more than one edge.

✓ bilangan darjah = 2 × .
sum of degrees = 2 × .

✓ melibatkan satu bucu
involve one vertex

✓ tepi berbentuk lengkung atau bulatan berbalik pada bucu asal.
the edge is in the form of an arc that starts and ends at the same
vertex.

✓ bilangan darjah setiap gelung = 2
number of each loop = 2

Tepi

Edge

JK

Loop
Gelung

Berbilang tepi
Multiple edge

ML

140 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Rajah menunjukkan suatu graf yang mempunyai gelung dan berbilang tepi.
The diagram shows a graph with a loop and multiple edges.

Q
P

R

Nyatakan / State S
(i) dan / and ( )
(ii) dan / and ( )
(iii) bilangan darjah
sum of degrees

Penyelesaian / Solution :

(i) = { , , , }
( ) = 4

(ii) = { ( , ), ( , ), ( , ),(Q,R),(Q,R),(S,R),(S,S)}
( ) = 7

(iii) bil darjah /
sum of degrees = 2(7)
= 14

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 141

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Praktis / Practice 5.1.1(b)

1. Berdasarkan graf mudah diberi, tentukan
Based on the given simple graph, determine

V dan n(V) E dan n(E) Bilangan darjah
V and n(V) E and n(E) Sum of degree

a.

1

4 3 2
B C
b.

H

GD
F

c. A

B

C

d.

Q

PR

S

142 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

2. Lukis suatu graf mudah mengikut maklumat yang diberikan.
Draw a simple graph based on the given information.

VE Jawapan
Answer

a. { J, K, L, M } { (J,K) , (J,K) , (K,L),

(L,M), (L,M) , (M,J) ,

(K,M) }

b. { 1 , 2 , 3} { (1,3) , (1,3) , (1,2) , (3,2),

(2,2) }

c. { P, Q, R, S } { (P,Q) , (P,Q) , (Q,Q)

,(Q,R) , (Q,R) ,(Q,S) ,

(S,S) }

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 143

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

3. Lukis graf yang mempunyai berbilang tepi dan gelung bagi bilangan darjah yang diberikan.
Draw a graph with multiple edges and loops for the given sum of degrees.

Bilangan darjah Graf
Sum of degrees Graph

a. 1, 2, 5

b. 3, 3,3,5

c. 2, 5, 5

.

144 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

5.1 Rangkaian / Network

SP 5.1.2 Membanding beza
(i) Graf terarah dengan graf tak terarah
(ii) Graf berpemberat dengan graf tak berpemberat.
Compare and contrast
(i) Directed graphs and undirected graph
(ii) Weighted graphs and unweighted graph.

: ✓ Graf dengan keadaan tepi yang mengaitkan dua
1. Graf terarah bucu ditanda arah kaitan.
Graph in which a direction is assigned to the edge
Directed Graph connecting two vertices.

2. Graf tak terarah ✓ Digunakan untuk mewakilkan aliran suatu proses,
Undirected graph Are usually to represent the flow of certain
process

✓ Contoh : peta jalan raya, peta penerbangan, litar
elektrik dan sebagainya.
Example: road maps, airlines networks, electric
circuits.

✓ Graf yang mempunyai gelung dan berbilang tepi
yang dilukis tanpa penandaan arah pada tepi
yang mengaitkan dua bucu.
A simple graph or a graph with loops and multiple
edges drawn without any direction being
assigned.

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 145

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

1. Graf Mudah /Simple Graph

Set V dan/and Set E Darjah / Degrees

Graf tak terarah
Undirected graph

1

4 V = {1, 2, 3, 4} ∑ = 2(4)
3 E = { (1,2) , (1,3) , =8

(2,3) , (3,4) }

Graf terarah 2
Directed graph 1

4 V = {1, 2, 3, 4} ∑ = 2(4)
3 E = { (1,2) , (2,3) , =8

(3,1) , (3,4) }

2

146 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

2. Graf yang mempunyai gelung dan berbilang tepi. Darjah / Degrees
Graph with loops and multiple edges.

Set V dan /and Set E

Graf tak terarah V = {1, 2, 3, 4} ∑ = 2(6)
Undirected graph = 12
E = { (1,1) , (1,2) ,
1
4 (1,4) , (2,3) ,

(2,3) , (3,4) }

Graf terarah 2 3
Directed graph 1
V = {1, 2, 3, 4}
∑ = 2(6)
4 E = { (1,1) , (1,4) , = 12

2 (1,2) , (2,3) ,
(2,3) , (3,4)}

3

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 147

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Praktis / Practice 5.1.2 (a)

1. Berdasarkan graf mudah diberi, tentukan
Based on the given simple graph, determine

Set V dan /and Set E Darjah / Degrees

a. S

R

T
QP
b. 2

3

1 7
4
c.
5
K

L
J

M

.
148 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

2. Berdasarkan graf mudah diberi, tentukan
Based on the given simple graph, determine

Set V dan /and Set E Darjah / Degrees Graf / Graph

1. V = { 1,2,3,4 } 8 Graf terarah
Directed graph
E= { (1,2) ,(1,3),(2,3),
(3,4) } Jawapan/Answer :

2. V = {3 , 4, 5, 6} 12 Graf tak terarah
Undirected graph
E = { (3,4) ,(4,5) , (4,5),
(4,5), (5,5), (5,6), Jawapan/Answer :
(3,6) }

.

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 149

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Perbezaan graf berpemberat dengan graf tak berpemberat.
The differences between weighted graphs and unweighted graphs.

Graf Berpemberat Graf Tak Berpemberat
Weighted Graph Unweighted Graph

✓ Graf terarah dan graf tak terarah. ✓ Graf terarah dan graf tak terarah.

Jenis graf Directed graph and undirected Directed graph and undirected
Type of graph
Tepi graph. graph.
Edge
✓ Diberi nilai atau pemberat ✓ Tiada nilai atau pemberat yang
Contoh
Example Associated with a value or a dinyatakan.

weight. Not associated with a value or a

weight.

✓ Jarak diantara dua bandar. ✓ Hierarki jawatan dalam carta
Distance between two cities. organisasi.
Job hierarchy in an organization
✓ Masa yang diambil untuk suatu chart.
gerakan.
Travelling time ✓ Peta alir.
Flow map
✓ Nilai arus suatu litar elektrik.
The current in an electrical circuit. ✓ Peta pokok
Tree map

✓ Peta buih.
Bubble map

150 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

a. Lakar satu graf terarah dan tak berpemberat mewakili jalan yang menghubungkan beberapa buah
sekolah seperti dalam jadual di bawah.

Draw a directed and unweighted graph to represent the road that connecting a few schools as shown
in the table.

Nama sekolah Penyelesaian / Solution : D
Name of school T

SMK Tanah Baru – SMK Damai A
SMK Tanah Baru – SMK Mahkota
MG
SMK Mahkota – SMK Geliga
SMK Damai – SMK Ali Bakar
SMK Ali Bakar – SMK Geliga

b. Lakar satu graf terarah dan berpemberat mewakili jalan yang menghubungkan beberapa buah
sekolah seperti dalam jadual di bawah.
Draw a directed and weighted graph to represent the road that connecting a few schools as shown in
the table.

Nama sekolah Jarak (km)
Name of school Distance (km)

SMK Tanah Baru – SMK Damai 8.5
SMK Tanah Baru – SMK Mahkota 7.3
4.9
SMK Mahkota – SMK Geliga 5.3
SMK Damai – SMK Ali Bakar 2.2
SMK Ali Bakar – SMK Geliga

Penyelesaian / Solution 8.5 D
5.3
T
7.3

A

M 4.9 2.2
G

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 151

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Praktis / Practice 5.1.2 (b)

1. Apakah yang dimaksudkan dengan:
What is the meaning of :

(i) Graf berpemberat
Weighted graph

(ii) Graf tidak berpemberat
Unweighted Graph

2. Apakah dua perbezaan diantara:
What is the differences between

Perbezaan / Differences

(i) Graf perpemberat 1.
Weighted graph 2.

(ii) Graf tidak berpemberat 1.
Unweighted Graph

2.

152 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

3. Lukis graf berpemberat dan tak terarah berdasarkan maklumat yang diberikan.
Draw a weighted and undirected graph based on the given information.

Bucu Pasangan Bucu Pemberat (km)
Vertex
Vertex Pair Weight (km)
J
K (J,K) 4
L (J,M) 3
M (K,L) 3
(L,M) 4
(L,J) 2

Jawapan / Answer:

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 153

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

5.1 Rangkaian / Network

SP 5.1.3 Mengenal dan melukis subgraf dan pokok.
Identify and draw subgraphs and trees.

1. Subgraf Sebahagian atau keseluruhan suatu graf yang dilukis semula tanpa
Subgraph mengubah kedudukan asal bucu dan tepi.

Is a part of a graph or the whole graph redrawn without changing the
original positions of the vertices and edges.

Graf M / Graph M Subgraf / Subgraph

JK J KJ KJ K
MK LM L
ML
ML

2 Pokok Subgraph bagi suatu graf dengan ciri-ciri berikut :
Trees Subgraph of the graph with the following properties:

✓ tanpa gelung atau berbilang tepi.
without loops and multiples edges.

✓ semua bucu berkait dan setiap pasangan bucu dikaitkan oleh satu
tepi sahaja.
all the vertices are connected and each pair of the vertices is
connected by only one edge only.

Bil. tepi = bil.bucu – 1
Number of edges = number of vertices - 1
Bil. bucu = n
Number of vertices = n
Bil tepi = n-1
Number of edges = n -1

154 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Graf M / Graph M Pokok / Trees

Praktis / Practice 5.1.3 Subgraf
Subgraph
1. Lukis empat subgraph bagi graf-graf yang diberikan.
Draw four subgraphs for each given graph.

Graf
Graph
a.

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 155

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

b.

c. B

A C
D

E

F R

2. Tandakan ( √ ) yang merupakan subgraf bagi graf M.
Mark ( √ ) the subgraph for graph M.

a. P Q

U TS

Graf / Graph M
QR

PQ
R

Q

S
U

S

156 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

b.. 13

1 24
2 Graf / Graph M

4 3 1 3
1 4 2

3. Lukis dua pokok berdasarkan graf yang diberi di bawah. Pokok / Trees
Draw two trees based on the graphs given below.

Graf / Graph

a.

b.

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 157

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

4. Lukis satu pokok dengan maklumat yang diberikan. Pokok / Tree
Draw a tree based on the given information.

Maklumat / Information

a. 6 Bucu
6 Vertices

b. 4 Tepi
4 Edges

158 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

5.1 Rangkaian / Network

SP 5.1.4 Mewakilkan maklumat dalam bentuk rangkaian.
Represent information in the form of networks.

1. Rangkaian ✓ Merupakan satu bentuk graf yang unik dan boleh digunakan untuk
Networks mewakilkan maklumat yang bertindih atau bersilang.
Is a type of unic graphand can be used to represent overlapping and
intersecting information.

✓ Boleh dilukis sebagai:
➢ Graf terarah dan berpemberat atau graf terarah dan tak

berpemberat.

Directed weighted graph or directed unweighted graph.
➢ Graf tak terarah dan berpemberat atau graf tak terarah dan tak

berpemberat.

Undirected weighted graph or undirected unweighted graph.

2. Rangkaian ✓ Boleh digambarkan dengan menggunakan graf berpemberat dan
pengangkutan graf tak berpemberat.
Transportation Can be shown as weighted graphs and unweighted graphs.
Networks
✓ Contoh / Example : Sistem Kedudukan Global

Global Position System (GPS)

3. Rangkaian social ✓ Popular dikalangan remaja dan orang dewasa.

Social networks Popular among teenagers and adults.

✓ Digunakan dalam peluang pekerjaan, perniagaan, pendidikan dan

kekeluargaan.

Used in areas like job opportunities, business, education dan family

relationship.

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 159

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Jadual menunjukkan hobi yang digemari oleh beberapa orang guru di SMK Modulus.
Table shows five types of favourite drinking of several students.

Minuman kegemaran Nama pelajar
Favourite drink Name of students

Membaca (R) Suzanne, Kamal, Moorthy
Reading Kamal, Tony
Mendengar Music (M)
Listening Music Tony, Moorthy, Francis
Menunggang basikal (B) Suzanne, Radzi
Cycling Radzi, Francis
Membeli-belah (S)
Shopping
Menonton wayang (W)
Watching movie

a. Tukar maklumat yang diberi dalam bentuk rangkaian.
Represent the information in the form of a network.

Penyelesaian / Solution :

Kamal

Suzanne Tony

Radzi

Francis

160 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Praktis / Practice 5.1.4

1. Jadual menunjukkan jenis minuman yang digemari oleh beberapa orang pelajar.
Table shows five types of favourite drinking of several students.

Minuman kegemaran Nama pelajar
Favourite drink Name of students
Wafi, Aniza, Ravi
Oren
Orange Aniza, Chong
Chong, Ravi
Teh Wafi, Radziah
Tea Radziah, Tony
Laici
Lychee
Coklat
Chocolate
Mangga
Mango

b. Tukar maklumat yang diberi dalam bentuk rangkaian.
Represent the information in the form of a network.

2. Jadual menunjukkan tempat dan jarak dalam km,di daerah Kuantan.
Table shows place and distance in km, in Kuantan district.

Pusat membeli-belah 3 Masjid Negeri
Shopping Mall 6 State Mosque

Hospital 2 Taman Esplanade
Hospital
Esplanade Garden

Restoran Makanan Segera
Fast Food Restaurant

Jeti / Jetty

a. Lukis satu pokok berpemberat minimum dengan keadaan satu tempat dilalui sekali
sahaja.
Draw a tree with a minimum weight with shows every place being visited once only.

b. Jika kos menaiki teksi ialah RM5 untuk satu kilometer. Nyatakan jumlah minimum yang
perlu dibayar untuk perjalanan dari Taman Esplanade ke hospital.
If the cost of a taxi is RM5 per kilometer. State the minimum amount to pay for a trip
from the Esplanade Garden to the hospital.

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 161

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

5.1 Rangkaian / Network
SP 5.1.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan rangkaian.

Solve problem involving networks.

Puan Siti ingin ke Melaka untuk menghadiri satu mesyuarat, peta di bawah menunjukkan tiga pilihan
laluan yang dicadangkan untuk Puan Siti beserta anggaran jarak dan masa yang diambil dari rumahnya
ke Bandaraya Melaka.
Puan Siti want to go to Melaka to attend a meeting. The maps below shows three alternative routes with
the distance and estimated time needed to travel from her house to Malacca City.

J
K

L

Diberi bahawa jarak bagi laluan J ialah 263 km, jarak bagi laluan K ialah 257 km dan jarak bagi laluan L
ialah 376 km.
Pada pandangan anda , jarak manakah yang perlu dicadangkan oleh Puan Siti untuk beliau tiba awal di
Bandaraya Melaka?
Given that the distance for J route is 263 km, K route is 257 km and L route is 376 km.
In your opinion, which route shoud be suggested to Puan Siti to arrive early in Malacca City?

Penyelesaian / Solution:
Lalulan K akan mengambil masa yang lebih cepat kerana ia melalui lebuhraya LPTberbanding dua lagi
laluan.
Route K take the shortest time because the route passes the LPT expressway compare the two other
routes.

162 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Praktis / Practice 5.1.5

1. Steven ingin ke Bukit Bintang untuk menonton wayang, Peta di sebelah menunjukkan tiga
pilihan laluan yang dicadangkan untuk Steven beserta anggaran jarak dan masa yang
diambil dari rumahnya di Gombak.
Steven want to go to Bukit Bintang to attend a movie. The maps shows three alternative
routes with the distances and estimated time needed to travel from his house at Gombak.

P

Q

R

Diberi bahawa jarak bagi laluan P ialah 22.3 km, jarak bagi laluan Q ialah 22 km dan jarak
bagi laluan R ialah 17.4 km.
Given that the distance for P route is 22.3 km, Q route is 22 km and R route is 17.4 km.
Pada pandangan anda , jarak manakah yang perlu dicadangkan oleh Steven untuk beliau
tiba awal di Bukit Bintang?
In your opinion,,which route shoud be suggested to Steven to arrive early in Bukit Bintang ?
Jawapan / Answer

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 163

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

2. Peta menunjukkan laluan penerbangan domestik bagi sebuah syarikat penerbangan yang
beroperasi di Malaysia.
The map shows the domestic flight routes for one of the airway company in Malaysia.

a. Hana bekerja di Johor Bahru. Beliau ingin melawat temannya di Kuching. Nyatakan
laluan penerbangan terbaik yang boleh dipilih oleh Hana.
Hana works in Johor Bahru. She wants to visit her friend in Kuching. State the best
route can she chooses.

b. Apakah kelebihan bagi pilihan Hana di (a).
What are the advantages for the Hana’s choice in (a).

Jawapan / Answer

164 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Praktis Pengukuhan / Enrichment Practice

Kertas / Paper 1 : R
1. Nyatakan n(V) untuk graf mudah berikut :

State n(V) for this simple graph.

Q

A3 S
B4
C6
D8

2. Diberi {(P,P),(P,Q),(P,S),(Q,S),(Q,S),(Q,R),(S,R),(R,R)}
Nyatakan bucu bagi data di atas
Given that {(P,P),(P,Q),(P,S),(Q,S),(Q,S),(Q,R),(S,R),(R,R)}
State the vertices for the above data.

A {P,Q,S} C {P,R,R,S}
B {P,P,Q,S} D {P,Q,R,S}

3. Yang manakah di antara berikut mewakili maklumat berikut.
Which of the following represent the following information?

Tepi / Edge = 4
Bucu / Vertices = 5

AC

BD

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 165

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

4. Rajah di bawah menunjukkan suatu graf tak terarah dan berpemberat.
Manakah di antara berikut yang menunjukkan pokok dengan nilai pemberat minimum.
Diagram show the undirected and weighted graph.
Which of the following represent the tree with minimum weighted.

20

25 10 12 17

19 14

A. 64 C. 47
B. 55 D. 22

5. Suatu graf mudah tidak mempunyai gelung. Apakah ciri lain yang perlu ada pada suatu graf
mudah.
A simple graph has no loops. What other property must a simple graph have.

A. Ia mesti mempunyai arah. C. Ia mesti mengandungi
It must be directed sekurang-kurangnya satu bucu.
It must have at least one vertex

B. Ia mesti tiada arah. D. Ia mesti tidak mengandungii pelbagai tepi.
It must be undirected. It must have no multiple edges.

166 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Kertas / Paper 2 :

1. Berikan definisi :
Give definition :
a. Graf / Graph
-----------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------

b. Rangkaian / Network
-----------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------

c. Subgraf / Subgraph
-----------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------

2. Jelaskan perbezaan antara graf terarah dan graf tidak terarah.
Explain the difference between directed and undirected graph.

Graf terarah Graf tak terarah
Directed graph Undirected Graph

1. 1.

2. 2.

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 167

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

3 Rajah menunjukkan peta 4 kampung dan jarak diantaranya dalam kilometer. Jika seorang pelawat
ingin melawat setiap kampung hanya sekali, dengan syarat beliau bermula dan berakhir di
Kampung Tas. Apakah laluan dari kampung ke kampung yang dapat meminimumkan jarak yang
dilalui oleh pelawat tersebut.
The diagram shows a map of four villages and the distance between them in kilometers. Is a tourist
wants to visit each village only once, provided that he starts and ends in Kampung Tas. What is the
route from village to village that can be minimizes the distance that the tourist goes through.

Damai 6 Jaya Gading
5
6 10 7 Sungai Isap
Tas 8
Jawapan / Answer

168 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

Praktis / Practice 5.1.1 a MODUL MATEMATIK KSSM c
1. a. TINGKATAN 4 .

JAWAPAN / ANSWER

b.

Bilangan.bucu Bilangan tepi Bilangan. darjah
Sum of degrees
Number of vertices Number of edges

2. a. 6 7 14
b. 6 6 12
c. 6 5 10

Praktis / Practice 5.1.1b E dan/and n(E) Bilangan darjah
Sum of degrees
1. V dan/and n(V) E = {(1,2), (1,2), (2,3),(2,4),
a. V = {1,2,3,4} (1,4),(1,4)} 12
n(V) = 4
n(E) = 6 20
b. V = {B,C,D,F,G,J,H}
n(V) = 6 E = { (B,J), (B,J), (E,J), 10
(C,D),(D,J), 22
c. V = { A,B,C} (F,J),(F,J),(J,G),(J,H),(G,H) }
n(V) = 3 c.
n(E) = 10
d. V = {P,Q,R,S}
n(V) = 4 E = {(A,B),(A,B),(A,C),(B,C),(C,C)}
n(E) = 5

E = {(P,Q), (P,Q), (Q,Q),(Q,R),
(Q,R),(R,S),(R,S),(P,R),(P,S),
(P,S),(S,S)}

n(E) = 11

2. a. b.

3. a. b. c.

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 169

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Praktis / Practice 5.1.2(a) 10
20
1. a. V = {P,Q,R,S,T} 14

E = {(P,Q), (Q,R),(R,S),(R,S),(S,T)}
b. V = {1,2,3,4,5,6,7}

E = {(1,7),(1,7),(7,2),(2,7),(7,3),(3,3),(7,4),(4,7),(5,7),(7,5)}
c. V = {J,K,L,M}

E = { (J,K),(K,J),(K,L),(L,K),(L,M),(M,M),(M,J)}

2. a. b.

Praktis / Practice 5.1.2(b) Graf terarah dan graf tak terarah.
Directed graph and undirected graph.
1. (i) Graf perpemberat
Weighted graph Graf terarah dan graf tak terarah.
Directed graph and undirected
(ii) Graf tidak berpemberat graph.
Unweighted Graph

2. Perbezaan / Differences

(i) Graf perpemberat 1. Graf terarah dan graf tak terarah.
Weighted graph Directed graph and undirected graph.

(ii) Graf tidak berpemberat 2. Diberi nilai atau pemberat
Unweighted Graph Associated with a value or a weight

1. Graf terarah dan graf tak terarah.
Directed graph and undirected graph.

2. Tiada nilai atau pemberat yang dinyatakan.
Not associated with a value or a weight.

3.

170 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Praktis / Practice 5.1.3
1.(a)

(b)
(c)

2(a)

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 171

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

(b)

3(a)

(b)

4(a) (b)

Praktis / Practice 5.1.4
1.

2.(a)

(b) (1.5 + 1.5 + 4) × 5
RM35

172 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

Praktis / Practice 5.1.5

1. Laluan R. Ini kerana masa yang di ambil adalah lebih pantas dan jaraknya lebih dekat.
Route R. It is because it will take a fastest time and the shortest distance.

2. (a) Penerbangan terus daripada Johor Bharu ke Kuching.
Direct flight from Johor Bharu to Kuching.

(b) Kerana ianya penerbangan terus dan lebih menjimatkan masa tanpa transit.
It is because it is a direct flight and will save our time without transit.

Praktis Pengukuhan / Enrichment Practice C
Kertas / Paper 1

1. A 2. D 3. C 4. D 5.
Kertas / Paper 2

1. (a) Graf / Graph Suatu siri bintik sama ada berkait atau tidak antara satu sama lain melalui
(b) Rangkaian / Network garis.
(c) Subgraf / Subgraph A series of dots which are either linked or not linked to one another by
lines.

Sebahagian daripada graf dengan keadaan bucu dan tepi mempunyai
sifat tersendiri.
Suatu graf yang mempunyai sekurang-kurangnya sepasang bitnik berkait.
A part of a graph with the vertices and edges having their own
characteristics.
Graph which has at least a pair of related dots

Sebahagian atau keseluruhan suatu graf yang dilukis semula tanpa
mengubah kedudukan asal bucu dan tepi.
Is a part of a graph or the whole graph redrawn without changing the
original positions of the vertices and edges.

2. Graf terarah Graf tak terarah

Directed Graph Undirected graph

Graf dengan keadaan tepi yang mengaitkan Graf yang mempunyai gelung dan berbilang

dua bucu ditanda arah kaitan. tepi yang dilukis tanpa penandaan arah pada

Graph in which a direction is assigned to the tepi yang mengaitkan dua bucu.

edge connecting two vertices. A simple graph or a graph with loops and

multiple edges drawn without any direction

Contoh : peta jalan raya, peta penerbangan✓, being assigned.
Contoh : Hobi pelajar SMK Bt. 10

litar elektrik dan sebagainya. Students of SMK Bt. 10 hobbies

Example: road maps,airlines networks, electric

circuits

3. Damai ke Sungai Isap = 14 km
Damai to Sungai Isap = 14 km

JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG | MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4 173

MODUL MATEMATIK KSSM
TINGKATAN 4

TINTA PANEL PENULIS

Modul IMPAK ini dihasilkan khusus untuk rujukan guru-guru dan murid-murid bagi mata
pelajaran Matematik Tingkatan 4 Kurikulum Standard Sekolah Menengah (KSSM). Kandungan
modul disusun mengikut bab dan subtopik menepati Dokumen Standard Kurikulum dan
Pentaksiran (DSKP) bagi memudahkan guru-guru menguasai sukatan dengan lebih terperinci,
sistematik dan berkesan disamping membantu murid-murid menguasai suatu bab itu dengan
lebih mudah. Ianya disusun mengikut tahap daripada mudah kepada yang lebih sukar.

Sebagai nilai tambah dan memenuhi keperluan terkini, turut disediakan latihan Sumatif
dan Formatif untuk memastikan latihan yang diberi kepada pelajar mampu memenuhi matlamat
untuk menerapkan pengetahuan, memantapkan kemahiran dan mengukuhkan penguasaan
penyelesaian masalah. Adalah disedari bahawa kebolehan menyelesaikan soalan yang
mempunyai elemen Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT) dalam setiap topik perlu didahului
dengan penguasaan konsep yang mantap, kemahiran serta aplikasi penyelesaian masalah
yang asas. Justeru, modul ini juga turut menyediakan soalan-soalan yang mempunyai unsur
KBAT tersebut.

Semoga guru-guru akan menjadikan modul ini sebagai alat yang paling berguna dalam
melaksanakan proses PdP Matematik di dalam kelas dan seterusnya dapat membantu pelajar
beroleh kejayaan yang cemerlang dalam peperiksaan SPM. Akhir kata, kepada rakan-rakan
guru teruslah berusaha untuk meningkatkan prestasi mata pelajaran Matematik di sekolah
masing-masing . Semoga usaha murni ini mendapat keberkatan di dunia dan akhirat.
In Sya Allah.

174 MODUL MATEMATIK KSSM TINGKATAN 4| JABATAN PENDIDIKAN NEGERI PAHANG