UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Departamento de Engenharia de Estruturas TABELAS DE VIGAS: Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito Revisão e adaptação: Libânio Miranda Pinheiro Bruna Catoia Thiago Catoia Colaboração: Marcos Vinicius Natal Moreira São Carlos, fevereiro de 2010
TABELA 3.1a DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA CASO VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO wmax x EQUAÇÃO DA ELÁSTICA 1 p x EI p 8 1 4 0 4 3 24EI p 4 4 2 p EI p 30 1 4 0 5 4 120EI p 5 4 3 p EI p 120 11 4 0 5 15 11 120EI p 5 4 4 4 P EI P 3 1 3 0 3 2 6EI P 3 3 5 M EI M 2 1 2 0 2 2 1 2EI M 6 p x EI p 384 5 4 0,5 2 1 24EI p 3 2 4 7 p 4 (*) EI p 460 3 0,519 3 10 7 360EI p 4 2 4 8 p EI p 120 1 4 0,5 (**) 4 2 4 16 40 25 960EI p 9 P 2 2 EI P 48 1 3 0,5 (**) 2 3 4 3 48EI P 10 P a b x (a b) 3 2 2 3 b 3EI Pb 3 b 2 2 2 2 2 b x 6EI Pbx x a : 3EI Pa b x a : 2 2 2 2 2 x a x 6EI Pa( x) x a : 11 M EI M 9 3 1 2 0,423 3 2 6EI M 2 2 12 M a b (a 0,423) 3 2 2 b 3EI 3 M 2 2 b 3 2 2 2 3b x 6EI Mx x a : x 3a 2 x 6EI M( x) x a : 2 2 Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971) e de SCHIEL (1976). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. x / (*) Valor aproximado (**) 0,5
TABELA 3.1b DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA CASO VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO wmax x EQUAÇÃO DA ELÁSTICA 13 M M x 8EI M 2 0,5 1 2EI M 2 14 p x 4 (*) EI p 554 3 0,422 4 3 4 2 3 48EI p 15 p 4 (*) EI p 1258 3 0,447 5 3 4 2 120EI p 16 p 4 (*) EI p 328 1 0,402 2 10 11 3 240EI p 5 4 3 4 17 M 27EI M 2 3 1 3 2 2 2 4EI M 18 p x EI p 384 1 4 0,5 4 3 2 4 2 24EI p 19 p 4 (*) EI p 764 1 0,525 5 3 2 4 3 2 120EI p 20 p EI p 3840 7 4 0,5 (**) 5 3 2 4 16 40 25 960EI p 21 P 2 2 EI P 192 1 3 0,5 (**) 3 2 3 4 3 48EI P 22 p a a x 2 3 3 6a 3a 24EI pa 2 2 2 5 24a 384EI p a 0,5 3 2 2 3 2 x 4ax 6a x 6a 24EI px x 0 : 3 2 2 2 3 x 2 x 6a x 6a 24EI px 0 x : 23 a a P P x 2a 3 6EI Pa 2 8EI Pa 2 a 0,5 x 3ax 3a 6EI Px x 0 : 2 x x 2EI Pa 0 x : Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971) e de SCHIEL (1976). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. x / (*) Valor aproximado (**) 0,5
TABELA 3.1c DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA CASO VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO wmax x 24 p x a b 4 3 4 3 4b b 24EI p 0 25 p a b 3 2 3 20 10a a 120EI pa 0 26 p a b c/2 c/2 2 3 (*) 2 64 c 4 c 2a 2a ab 6EI pc a 27 P a b P a x 2 2 3 4a 24EI Pa 0,5 28 P P 3 3 3 EI P 648 23 3 0,5 29 P P 4 4 4 P 4 EI P 384 19 3 0,5 30 P P 5 5 5 P 5 P 5 EI P 1000 63 3 0,5 31 P 2 2 EI P 240 5 3 0,447 32 P P a b a x EI Pa b 24 1 2 0,5 33 p a x 3 2 3 3a 4a 24EI pa a 34 p a x 20a 15a 7a 12 360EI a p 4 2 2 3 a 35 P a x a 3EI Pa 2 a 36 p a 3 2 3 6a 6a 48EI pa a 37 P a 4a 3 6EI Pa 2 a 38 a M x 2a 4EI Ma a Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. (*) Não corresponde necessariamente ao deslocamento máximo
TABELA 3.2a MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO A B C D E F CARREGAMENTO MBA MCD MDC MEF 1 p 8 p 2 12 p 2 12 p 2 8 p 2 2 p a c a 2 2 3 c 16 pc 2 2 3 c 24 pc 2 2 3 c 24 pc 2 2 3 c 16 pc 3 p c b 2 2 2 2 2 c 8 pc 2 2 2 2 6b 4bc c 12 pc 2 2 2 4bc c 12 pc 2 2 2 b 8 pc 4 /2 p /2 2 p 128 7 2 p 192 11 2 p 192 5 2 p 128 9 5 p a c 2 2 2 a 8 pc 2 2 2 4ac c 12 pc 2 2 2 2 6a 4ac c 12 pc 2 2 2 2 2 c 8 pc 6 p /2 /2 2 p 128 9 2 p 192 5 2 p 192 11 2 p 128 7 7 a a p 3 2a 4 pa 2 3 2a 6 pa 2 3 2a 6 pa 2 3 2a 4 pa 2 8 a a p p 3 2a 4 pa 2 2 2 2 a 2 pa 2 2 2 a 2 pa 3 2a 4 pa 2 9 a P b a 2 Pab 2 2 2 Pab 2 2 Pa b b 2 Pab 2 10 P /2 /2 16 3P 8 P 8 P 16 3P 11 a a P P a 2 3Pa a Pa a Pa a 2 3Pa 12 P P /3 /3 /3 3 P 9 2P 9 2P 3 P 13 P P /4 P /4 /4 /4 32 15P 16 5P 16 5P 32 15P 14 P P a P P (*) a a a a n 1 8n P 2 n 1 12n P 2 n 1 12n P 2 n 1 8n P 2 15 a b M 2 2 2 3a 2 M 3b 2 Mb 2 2 3a Ma 2 2 2 2 3b 2 M 16 P P a/2 P P (*) a a a a/2 2n 1 16n P 2 2n 1 24n P 2 2n 1 24n P 2 2n 1 16n P 2 Extraída de SOUZA; ANTUNES (1983), JIMENES MONTOYA; GARCIA MESEGUER; MORAN CABRE (1973) e de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. (*) n / a Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.
TABELA 3.2b MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO A B C D E F CARREGAMENTO MBA MCD MDC MEF 17 p 15 p 2 30 p 2 20 p 2 120 7p 2 18 p 120 7p 2 20 p 2 30 p 2 15 p 2 19 p /2 /2 2 p 480 17 30 p 2 2 p 160 3 2 p 960 41 20 p /2 /2 2 p 960 41 2 p 160 3 30 p 2 2 p 480 17 21 p /2 /2 2 p 1920 53 2 p 960 7 2 p 960 23 2 p 1920 37 22 p /2 /2 2 p 1920 37 2 p 960 23 2 p 960 7 2 p 1920 53 23 p /2 /2 2 p 64 5 2 p 96 5 2 p 96 5 2 p 64 5 24 p p /2 /2 2 p 64 3 32 p 2 32 p 2 2 p 64 3 25 parábola p 2 p 120 11 20 p 2 15 p 2 12 p 2 26 parábola p 24 p 2 60 p 2 30 p 2 30 p 2 27 parábola p 10 p 2 15 p 2 15 p 2 10 p 2 28 p parábola p /2 /2 2 p 80 7 2 p 120 7 2 p 120 7 2 p 80 7 29 a EI 3a 2 EI 6a 2 EI 6a 2 EI 3a 2 30 EI 3 EI 2 EI 4 --- 31 --- EI 4 EI 2 EI 3 32 h t+t t t 2h 3EI t t h EI t t h EI t t 2h 3EI t Extraída de SOUZA; ANTUNES (1983), JIMENES MONTOYA; GARCIA MESEGUER; MORAN CABRE (1973) e de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.
TABELA 3.2c MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO A B C D E F a (a c) 2c (2a c) 8 p M 4 4 2 BA 2 3 3 4 4 CD 2 4 (b c) b 3 (b c) b 12 p M 3 3 4 4 DC 2 4 (a c) a 3 (a c) a 12 p M 33 p a c b b (b c) 2c (2b c) 8 p M 4 4 2 EF 2 30a 20c 45a 28c (3a 2c) 9( a ) 12ac c 4 108 pc M 2 2 2 BA 2 2 2 3 CD 2 10(3b c) (3a 2c) 15c (3b ) 17c 540 pc M 2 2 3 DC 2 10(3b c)(3a 2c) 15c (3a ) 28c 540 pc M 34 p a c b 270b 90c 45b 17c (3b c) 9( b ) 6bc c 1 9 108 pc M 2 2 2 EF 2 270a 90c 45a 17c (3a c) 9( a ) 6ac c 1 9 108 pc M 2 2 2 BA 2 2 2 3 CD 2 10(3a c)(3b 2c) 15c (3b ) 28c 540 pc M 2 2 3 DC 2 10(3a c) (3b 2c) 15c (3a ) 17c 540 pc M 35 p a c b 30b 20c 45b 28c (3b 2c) 9( b ) 12bc c 4 108 pc M 2 2 2 EF 2 c (5 3c ) 30 p M 2 2 2 BA 2 c (10 15c 6c ) 30 p M 2 2 2 CD 2 c (5c 4c ) 20 p M 2 2 DC 2 36 p c b c (40 45c 12c ) 120 p M 2 2 2 EF 2 Extraída de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.
TABELA 3.2d MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO A B C D E F 2 2 2 BA 2 c 40 45c 12c 120p M 2 2 CD 2 c 5c 4c 20p M 2 2 2 DC 2 c 10 15c 6c 30p M 37 p a c 2 2 2 EF 2 c 5 3c 30p M 2 2 2 BA 2 c 20 15c 3c 120p M 2 2 CD 2 c 5c 3c 60p M 2 2 DC 2 c 10a 3c 60p M 38 p a c 2 2 2 EF 2 c 10 3c 120p M 2 2 2 BA 2 c 10 3c 120p M 2 2 CD 2 c 10b 3c 60p M 2 2 DC 2 c 5c 3c 60p M 39 p c b 2 2 EF 2 20 15c 3c 120p M 3 2 3 BA 2a a 8p M 3 2 3 CD 2a a 12p M 3 2 3 DC 2a a 12p M 40 p a c a 3 2 3 EF 2a a 8p M Extraída de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ISNARD, V.; GREKOW, A.; MROZOWICZ, P. Formulario del ingeniero: metodos practicos de calculo de obras de ingenieria. Bilbao, Urmo, 1971. JIMENES MONTOYA, P.; GARCIA MESEGUER, A.; MORAN CABRE, F. Hormigon Armado, 2v. 7.ed. Barcelona, Gustavo Gili, 1973. PINHEIRO, L. M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1986. SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. v.1. 6.ed. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1976. SCHREYER, H. Estática das construções. v.2. Porto Alegre, Globo, 1965. SOUZA, João Carlos A. O.; ANTUNES, Helena M. C. C. Estática das estruturas: temas complementares. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1983.