ÜÇGEN-DÖRTGEN-ÇEMBER-DAİRE

Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar Örnek :

Nokta : Bir kalemin düzlem üzerinde bıraktığı ize nokta denir. A BCDE
Noktanın belli bir alanı hacmi veya boyutu yoktur.
Nokta büyük harfle gösterilir.
Şekilde bir doğrunun üzerindeki A, B, C, D, E noktaları göste-
A A noktasý rilmiştir.
Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Doğru : İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir. a) [AC] , [BD] = ?
Tek boyutludur ve genişliği yoktur. Yalnız uzunluğu vardır,
fakat uzunluğu ölçülemez. b) [AC] + [BD] = ?

A Bd c) [AC[ + ]DB[ = ?

d doðrusu þeklinde isimlendirilir. d) ]BC] + [ED = ?
AB doðrusu
BA doðrusu e) ]AB + ]DB = ?

Doğru parçası : İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan nokta- Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) Örnek :
ların birleşim kümesine doğru parçası denir. Uzunluğu ölçüle-
bilir. A

A B [AB]

C D ]CD] þeklinde
isimlendirilir.

E F ]EF[

Not : | AB |, [AB] doğru parçasının uzunluğu demektir. B E L
M F
Işın : Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden
noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir. Işının uzunluğu NC K
ölçülemez.

A BC

[AB veya [AC ýþýný þeklinde isimlendirilir. D

Şekildeki verilenlere göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Açı : Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı de- a) DéAK + BéLC = ?
nir.
B A
A EL
F
AéOB = [OA , [OB M K

B NC
O D

AéOB açısı, BéOA açısı veya ëO açısı şeklinde isimlendirilir. b) (CéAF) + MéLN = ?
Not :
B A
A EL
M F
K
NC
D

Ýç Bölge c) (DéAK) + (NéLM) = ?
a
O B A
EL
B M F
K
(AéOB) : Açı ve iç bölgesi olarak tanımlanır. NC
AéOB açısının ölçüsü m(AéOB) = a° dir. D

2

Açı Çeşitleri : Açıortay : Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışına açının açıortayı
a) Dar Açı : Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir.
denir.
A
A
C
a 0° < a < 90°
O [OC ışını AéOB
d nin açıortayıdır.
B
OB
b) Dik Açı : Ölçüsü 90° olan açılara dik açı denir.
Örnek : Düzlemde, komşu iki açının açıortayları arasında ka-
A lan açı 40° dir.
Bu iki açının farkları 10° olduğuna göre, küçük açının
ölçüsü kaç derecedir?

OB Örnek : D
50°
a = 90°, [OA = [OB şeklinde gösterilir. L
c) Geniş Açı : Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş
açı denir.

A Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) E
a K

O B A B C

90° < a < 180° ABC doğru açı, m(DéBE) = 50°
d) Doğru Açı : Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir.
[BK, CéEB nin açıortayı
a
[BL, DéBA nın açıortayı
AO B olduğuna göre, m(LéBK) kaç derecedir?

a = 180° Örnek :
e) Tam Açı : Ölçüsü 360° olan açılara tam açı denir.
A
a

C

a = 360° 20°
Komşu Açılar : Başlangıç noktaları aynı olan üç ışının birer
ışını ortak olacak şekilde oluşturduğu iki açıya komşu açılar BD
denir.
AéBC ile CéBD komşu iki açı, m(AéBC) = 20° ve [BC = [BD dir.
A Buna göre, ABD açısının açıortayı ile CBD açısının açıor-
B tayı arasında kalan dar açı kaç derecedir?

C
O

AéOB ile BéOC komşu açıdır.
AéOB ile AéOC komşu açı değildir.

3

Tümler Açı : Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açı denir. Örnek :
Açılardan birinin ölçüsü a ise tümleyeni 90 – a derecedir.

Bütünler açı : Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açı a
denir.

Açılardan birinin ölçüsü a derece ise bütünleyeni 180 – a
derecedir. Şekilde belirli bir açı ile açılmış bir kapı gösterilmiştir. Bu kapı
en fazla şekilde gösterilen açının bütünleri kadar açılabilmek-
tedir.

Kapıyı şekildeki açının 2 katı daha açarsak kapının açılma-
sına 40° kaldığına göre, gösterilen şekilde iken kapı kaç
derecelik açıyla açıktır?

Örnek : Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)

Tümlerinin ölçüsü kendisinin 4 katından 20 fazla olan açı-
nın ölçüsü kaç derecedir?

Ters Açılar : Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan zıt
yönlü olanlarına ters açılar denir.

Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

d2 d1

Örnek : a b
d
Kendisi ile bütünlerinin oranı 2 olan açının tümleri kaç
7 c

derecedir?

a ile c ters açıdır ve a = c dir.
b ile d ters açıdır ve b = d dir.

4

Paralel İki Doğruyu Kesen Doğrunun Oluşturduğu Açılar Karşı Durumlu Açılar : Paralel iki doğru arasında kalan ve birbi-
rine bakan açılara karşı durumlu açılar denir.
Yöndeş Açılar : İki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan aynı
yöne bakan açılara yöndeş açılar denir. Eğer doğrular birbirine k
paralel ise yöndeş açılar birbirine eşittir.

k d1

ba cd
cd
d1

yx d2

yx d2
zt

d1 // d2 d1 // d2
a = x, b = y, c = z, d = t olur. x + d = 180° ve c + y = 180° olur.

İç Ters Açılar : İki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan
içerde olup birbirlerine ters olan açılara iç ters açılar denir.

Eğer doğrular birbirine paralel ise iç ters açılar birbirine eşittir.

k Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)

d1

cd

Örnek :

yx d2 d3

d1 // d2, c = x, d = y olur. a d1
Dış Ters Açılar : İki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan b d2
dışarıda olup birbirlerine ters olan açılara dış ters açılar denir.
dc
Eğer doğrular birbirine paralel ise dış ters açılar birbirine eşit
olur.

k şekilde verilenlere göre,
I. a + b = 180°
ba d1 II. a ile c yöndeş açı
III. b ile c karşı durumlu açı
d2 IV. b ile d iç ters açı
V. a = c dir.
zt öncüllerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

d1 // d2, a = z, b = t olur.

5

Örnek : F E Sonuçlar : d1
a 1)
D C
110°
a

AB x d2
b
[BA // [CD // [EF,
m(AéBC) = m(CéBE) ve m(BéCD) = 110° dir. d1 // d2 olduğundan
Buna göre, m(BéEF) = a kaç derecedir? x = a + b dir.

Örnek : C D 2)
35°
A d1
a

b

c
d
e d2

aE Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) d1 // d2 olduğundan
a + c + e = b + d dir.
115° F 3)
B
d1
[BA // [CD, [CB] // [EF, m(AéBC) = 115° a
m(DéCE) = 35° dir.
Buna göre, m(CéEF) = a kaç derecedir? b
c d2
Örnek : A
F d1 // d2 olduğundan
L a + b + c = 360° dir.
4)

d1

B
40°

Da d2
CE
d1 // d2 olduğunda, iki paralel doğru arasındaki n
110° tane açının toplamı
(n – 1) : 180° dir.
K
[BA // [CD, [BC] // [KL, [KF + [CE = {D}

m(AéBC) = 40° ve m(FéKL) = 110° dir.
Buna göre, m(EéDF) = a kaç derecedir?

6

Örnek : Örnek :

C E A

3x + 10 70 Da B 120°
5x – 80

DE

A B

[BA // [DE, m(AéBC) = 3x + 10° F C

m(CéDE) = 5x – 80°, m(BéCD) = 70° dir. AE // CF, m(DéCF) = 2 : m(DéAB),
Buna göre, m(AéBC) kaç derecedir?
m(EéAD) = 2 : m(BéCD), m(AéBC) = 120°
Buna göre, m(AéDC) = a kaç derecedir?

Örnek :

C
40°

AB Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) Örnek : B
130° C
DE A

Egehan öğretmen bir kağıda şekildeki gibi [BA // [DE ve
m(BéCD) = 40° olacak şekilde bir soru yazıyor.

Bu soru Egehan öğretmene çok basit geldiği için cetvel ve
açıölçer yardımıyla AéBC ve CéDE açılarının açıortay doğrularını
çiziyor ve bu açıortay doğruları arasında kalan açının ölçüsünü
öğrencilerinden bulmalarını istiyor.

Buna göre, öğrencilerin bulmaları gereken açı değeri kaç
derece olabilir?

Örnek :

A B E D
40°

C Şekilde [AB] // [ED] ve m(BéCD) = 130° olan bir kağıt parçası
gösterilmiştir.

• Kağıt B noktasından katlandığında C ! [AB] oluyor.

F E a • Kağıt D noktasından katlandığında C ! [ED] oluyor.
145° D
Buna göre, katlama çizgileri arasında oluşan açı kaç
derece olabilir.

[BA // [EF, [BC] = [CD], m(AéBC) = 40°,

m(FéED) = 145°, m(EéDC) = a°
Buna göre, a kaç derecedir?

7

Örnek : Örnek :

AE B A

F 150° BC
140° D

K 130° EF

160° Dikdörtgen şeklindeki bir panoya eşkenar üçgen ve ikizkenar
L dik üçgen şeklindeki tablolar, birer kenarları panonun kenarla-
rına paralel ve birer köşeleri çakışacak şekilde yapıştırılıyor.
a

C MD

E ! AB, M ! CD, AB // CD,

m(BéEF) = 150°, m(EéFK) = 140°, a

m(FéKL) = 130°, m(KéLM) = 160° Buna göre, iki tablo arasında kalan a açısı kaç derecedir?
Yukarıda verilenlere göre, m(CéML) = a kaç derecedir?

Örnek : Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)

A B Örnek :

A B

80° C BB

x aA 2a
K aA

F 80°

Þekil 1 Þekil 2

E D Hüseyin yolda bulduğu bir tel parçasını masanın üzerine
koyup aşağıdaki kurala uygun bir şekil oluşturmak istiyor.

[BA // [DE, m(BéCD) = m(KéFD) = 80°, Kural : A köşesi sabit ve telin masanın üzerinde kalması şar-
tıyla teli Şekil 1'deki gibi büküp a dar açısını oluştur.
m(AéBK) = m(KéBC), m(EéDF) = m(FéDC) dir. Sonraki büküm işlemlerinde bir önceki açının 2 katı kadar zıt
Buna göre, m(BéKF) = x kaç derecedir? yönlü açı oluştur.

Hüseyin beşinci bükümde kural dışı hareket ederek en alttaki
doğruya paralel olacak şekilde teli büktüğünde telin dik kesişti-
ğini farkediyor.

Buna göre, Hüseyin'in ilk belirlediği açı kaç derecedir?

8

Üçgende Açı 4)

Tanım : Düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı bir- b
leştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir.

Aa ax x=a+b+c
a
c

b

d + f = a+ b + c + e

bb c a ed c
B C f


• A¿BC = [AB] , [BC] , [CA] Not : İki kenarı birbirine eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir.

• a, b, c üçgenin iç açıları A
• a, b, i üçgenin dış açıları
Açı Kuralları Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) Tepe açýsý
1) Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° dir. Taban açýlarý
B
A
a Taban

a + b + c = 180° C

b c Taban açıları eşittir. m(AéBC) = m(AéCB)
B C
Not : Bütün kenarları birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen
2) Bir üçgenin dış açıları toplamı 360° dir. denir.

Aa

a + b + i = 360° A
60

b 60 60
B C
BC

3) Üçgenin bir dış açısının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki
iç açısının ölçüsüne eşittir.

Aa a+b=i m(AéBC) = m(AéCB) = m(BéAC) = 60°
a a+c=b
b+c=a
Bb c
b C

9

Örnek : Örnek :

A A
2x – 20 a

E F

40° x + 10 C 80°
D
B B C
ABC bir üçgen,

m(AéBC) = 40°, m(BéAC) = 2x – 20, m(AéCB) = x + 10 ABC bir üçgen,
olduğuna göre, m(AéCB) kaç derecedir?
D ! [BC], | EB | = | ED |,

Örnek : | FD | = | FC |, m(EéDF) = 80°
olduğuna göre, m(BéAC) = a kaç derecedir?

D
A 5x

50 6x – 34 Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)
B CE

ABC bir üçgen, D ! [BA, E ! [BC Örnek :

m(AéBC) = 50°, m(DéAC) = 5x, m(AéCE) = 6x – 34 A

olduğuna göre, ABC üçgeninin en büyük iç açısı kaç E
derecedir?

80°

Örnek : B CD

A İkizkenar üçgen şeklindeki iki karton, düzlemde bir köşesi or-
tak olacak biçimde ve B, C, D noktaları doğrusal olacak
biçimde şekildeki gibi konuluyor.

D | AB | = | BC |, | CD | = | DE |, [BA + [DE = {K}
Buna göre, m(AéKE) kaç derecedir?
BC

ABC ve DBC ikizkenar üçgen,
| AB | = | BC |, | DB | = | DC |
m(DéCB) + m(AéBD) = 40°

olduğuna göre, m(BéAC) açısının ölçüsü kaç derecedir?

10

Örnek : Örnek :

K K A
a a

99° E

Yukarıda bir tel parçasını K noktasında pozitif yönde (Saatin
dönme yönünün tersinde) a derece döndürülmesi gösterilmiş-
tir.

B C
F
ED C BA

[AE] biçimindeki bir tel parçası düzlemsel olacak şekilde sıra- D
sıyla B, C, D noktalarından döndürülürse aşağıdaki şekil olu-
şuyor. ABC ve ADF bir üçgen,
| BD | = | BF |, | AB | = | AC |, m(AéED) = 99°
BA
olduğuna göre, m(BéAC) = a kaç derecedir?

ED Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)

C Örnek :

• [AB] // [DE], E ! [BC] B

• C ile D noktalarındaki dönme açıları birbirine eşit ve D
140° dir.

Buna göre, B köşesindeki dönme açısı kaç derecedir?

A C EF

Örnek : Gökçen bir teli eşit aralıklarla büktüğünde telin her parçası
aynı düzlemde olacak biçimde yukarıdaki şekli elde ediyor.
A

Gökçen bir ipin bir ucunu F noktasına sabitlediğinde,

I.) Diğer uç A noktasına ulaşır ve C, E noktaları ip üze-
rinde olur.

D II.) Diğer uç B noktasına ulaşır ve D noktası ip üze-
rinde olur.
B C
ABC bir üçgen, öncüllerindeki ifadelerin sağlandığını farkeder.

Buna göre, m(FéED) açısı kaç derecedir?

D ! [AC], | AD | = | DB | = | BC |, | AB | = | AC |
olduğuna göre, m(BéDC) kaç derecedir?

11

Örnek : Örnek :

A D
a

B 18 C E
a 70

25 B 35
C
A

D ACE ve BCD bir üçgen,

| AB | = | AC | = | AD | | DE | = | AE |, m(BéEC) = 70°,

m(BéCD) = 18° m(DéCE) = 35°, m(EéAB) = 25°
olduğuna göre, m(AéEB) = a kaç derecedir?
olduğuna göre, m(BéAD) = a kaç derecedir?

Örnek :

A

E 100 D Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)
100

B C Örnek :
ABC bir üçgen [BD] ve [CE] açıortay
A
m(AéEC) = m(BéDC) = 100 10
olduğuna göre, m(BéAC) kaç derecedir?

C

Örnek : Ba

Bir üçgenin bir köşesinden çizilen açıortay doğrusu ile D
yükseklik doğrusu arasında kalan açı 8° olduğuna göre, ABC bir eşkenar üçgen,
üçgenin diğer açılarının farkının mutlak değeri kaç dere-
cedir? | BD | = | AC |, m(DéAC) = 10°, m(AéDC) = a
olduğuna göre, a kaç derecedir?

12

Örnek : Örnek :

A A Aý
D 20 KD
50
10 a 100
B C
E
Þekil 1
a
F

B C
Þekil 2
35 25
D C Bir yüzü kırmızı diğer yüzü yeşil renkli üçgen şeklindeki karton
B [CD] boyunca katlandığında şekil 2 oluşmaktadır.

ABC bir üçgen,

E ! [AB], D ! [BC] m(BéAC) = 20°, m(BéCD) = 100°, |AD| = |AıK|
olduğuna göre m(AéBC) = a kaç derecedir?
[AD] + [EC] = {F}

m(CéAD) = 10°, m(BéAD) = 50° 5)

m(EéCD) = 25°, m(AéBC) = 35° B A I : İç açıortayların
olduğuna göre, m(CéED) = a kaç derecedir? I kesim noktasıdır.
6) a
Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) (iç teğet çemberin
A merkezi)

a = 90 + WA
C2

Örnek :

A, B Iı : Dış açıortayların
A kesim noktasıdır.

a (Dış teğet çemberin
merkezi)
E

B C

50 7) a = 90 - WA
a2
B CD C B

Þekil 1 Þekil 2

Bir yüzü kırmızı diğer yüzü yeşil renkli ikizkenar üçgen biçimin- Iý
deki Şekil 1'deki karton, B köşesi A köşesi ile çakışarak
şekilde katlanıp Şekil 2'deki görüntü elde ediliyor.

| AB | = | BC |, m(EéDA) = 50° A
olduğuna göre, m(CéAD) = a kaç derecedir?
D D : Dış teğet
a çemberin

merkezi olur.

a = WA
2

C

13

Örnek : Örnek :

A A D
40°
F

130° D B a E
KC

B a m(CéDE) = 40°, m(CéKF) = a° dır.
C
Üçgen biçimindeki ABC ve DBE kartonları şekildeki gibi üst
[AD] ve [BD] doğruları sırasıyla BéAC ve AéBC açılarının üste konmuştur.
açıortayları, m(AéDB) = 130° dir.
DCE üçgeni [DC] boyunca katlandığında E noktası F noktası
olduğuna göre, m(AéCD) = a kaç derecedir? ile çakışmakta, ABF üçgeni [BF] boyunca katlandığında A
noktası K ile çakışmaktadır.

Buna göre, a kaç derecedir?

Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) Örnek :

Örnek : A A F
a 80
D
25 20
a

E

B D C

B C m(BéAD) = 20°, m(DéAC) = 80°, m(BéFD) = a
ABC bir üçgen,
[DF] : açıortay
[CD] ve [BD] açıortay doğruları, Buna göre, a kaç derecedir?

m(BéDC) = 25°, m(BéAD) = a°
Buna göre, a kaç derecedir?

14

EK ÇİZİMLER Örnek :
Şimdi Geometri dersinin en önemli konularından birine başlı-
yoruz. Çünkü geometri bazen çizim işidir, ancak bazı çizimler A
sorularda kafa karışıklığına yol açabilir. Sorularda verilen bil- 70°
gilerin mantığını kullanarak çizim yapmak gereklidir. Geometri
dersindeki ek çizimler, D
a
1) Muhteşem üçlü
B E C
2) İkizkenarlık
ABC bir dik üçgen,
3) Orta taban
[AC] = [BC]
4) Özel açı mantığını kullanmak
| AD | = | DB | = | CE |
5) Alan sorularında tabana ait yükseklik çizmek
yukarıdaki 5 maddedir. m(BéAC) = 70°, m(EéDC) = a
Dördüncü ve beşinci maddeyi gerekli konu işlenirken anlataca- Buna göre, a kaç derecedir?
ğımız için şimdilik ilk üç maddeyi öğrenelim.
Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)
1.) Muhteşem Üçlü
Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüsün
yarısına eşittir.

k
2k

Örnek : Örnek : Bir ABC üçgeninde,

A • A köşesinden çizilen yükseklik [BC]'yi H noktasında
74° kesiyor.

E • B köşesinden çizilen kenarortay [AC]'yi D noktasında
kesiyor.

• | AC | = 2| BH |

• m(CéBD) = 20° dir.
Yukarıda verilenlere göre, m(CéAH) kaç derecedir?

a

B D C
ABC bir üçgen,

| ED | = | BD | = | DC |

m(BéAC) = 74°
olduğuna göre, m(AéBE) = a kaç derecedir?

15

Örnek : 2.) İkizkenarlık

A İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik hem kenarortay
hem de açıortaydır.

A

E

a 30° C 1) | AB | = | AC |
D 2) [AH] : yükseklik
B 3) [AH] : Açıortay
4) [AH] : Kenarortay
ABC bir üçgen,

| AE | = | BD | = | DC |, m(CéDE) = 30° BH C
olduğuna göre, m(AéBC) = a kaç derecedir?

Bu dört özelliğin ikisi sağlanırsa diğerleride sağlanır.

Örnek :

A Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)
15°

Örnek :

A

B D a ABC ve BED
C üçgen,
44
ABC bir üçgen, 44 E [AC] = [BE],
a | AE | = | CD |
[DA] = [AC] B
C D
m(BéAD) = 15°, m(AéCD) = a, | DC | = 2| AB |
Buna göre, a kaç derecedir? m(AéBE) = m(EéBC) = 44
olduğuna göre, m(CéED) = a kaç derecedir?

Örnek : Örnek :

C D A

x D

6 20°
E

BE C

A B ABC bir üçgen,

ABC ve ACD birer üçgen, [DE] = [BC], | BE | = | EC |,

m(AéBC) = m(DéCB) = 90° | DC | = | AB |, m(AéCB) = 20°
olduğuna göre, m(AéBC) kaçderecedir?
m(CéAD) = 2 : m(BéAD), | AC | = 6 birim
Buna göre, | DE | = x kaç birimdir?

16

Örnek : Örnek :

Bir ABC üçgeninde m(BéAC) = 25° dir. [AC] kenarının kenar
orta dikme doğrusu [AB] kenarını D noktasında kesiyor. A

| BD | = | BC | olduğuna göre, m(AéBC) kaç derecedir?

DE DE

I

35°

B CB C

Ön yüzü kırmızı arka yüzü mavi renkli olan üçgen biçimindeki
karton şekildeki gibi katlandığında, A noktası ABC üçgeninin
iç teğet çemberinin merkezi ile çakışıyor.

Örnek :

A [DE] // [BC], m(DéBI) = 35° dir.
15° 15° Buna göre, m(IéEC) kaç derecedir?

BD F Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)
E
a
C
ABC bir üçgen,

[AE] + [BF] = {D}

m(BéAD) = m(EéAF) = 15° Örnek :
Yön bulma : Kuzey yarım kürede öğle vaktinde yere dikilen bir
[AE] = [BF], | BE | = | FC | çubuğun gölgesinin ucuna 1. taş, bir süre sonra oluşan gölge-
Buna göre, m(AéCB) = a kaç derecedir? nin ucuna 2. taş konulur.
1. taş solda, 2. taş sağda kalacak şekilde kollarınızı açtığı-
Örnek : nızda sağ kolunuz doğuyu, sol kolunuz batıyı, önünüz kuzeyi
ve arkanız güneyi gösterecek şekilde konumlanarak yönünüzü
A bulabilirsiniz.
Gökçen, yön bulma yöntemini kullanarak iki taşın tam orta-
E sında durarak 1. taşı A, 2. taşıda B noktası olarak belirliyor.
a Sonra güneyde bir C noktası, doğuda da | AB | < | AD | olacak
şekilde bir D noktası seçtiğinde | AC | = | BD | ve | CD | = | AD |
B 40° C olduğunu farketmiştir.
D Buna göre, oluşan m(AéBC) açısının ölçüsü kaç derecedir?

| AB | = | AC |, | BD | = | EC | 17

m(BéAE) = m(EéAC),

m(DéCE) = 40°, m(DéEC) = a
Buna göre, a kaç derecedir?

Örnek : ABC üçgeninde, B noktasının [AC]'ye göre simetriği D Örnek : A
noktasıdır.
D E
%
m (BDC)
| AB | = | AC | olduğuna göre, % kaçtır?
m (BAC)

B KL C

F

ABC ve DEF bir üçgen,

| AD | = | DB |,

3.) Orta taban | AE | = | EC |,

A | EL | = | LF |

olduğuna göre, KL oranı kaçtır?

1) | AD | = | DB | Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) BK + LC

2) | AE | = | EC | Örnek :

DE

3) [DE] // [BC]

4) DE = 1
BC 2

BC

şartlarından en az ikisi varsa diğerleride sağlanır.

A

D DE
K E

k LK L
2k NM

B CB Aý C

üçgenlerinde eksik parçaları tamamlayınız. Þekil 1 Þekil 2

Dikkat : Bir yüzü kırmızı diğer yüzü yeşil renkli üçgen biçimindeki bir
kartona, şekil 1'deki gibi |DK| = |KB| olacak biçimde [BC] kena-
rına paralel iki tane mavi çizgi çizilmiştir.

A Üçgen şeklindeki karton [DE] boyunca katlandığında
Şekil 2'deki gibi A köşesi [BC] üzerine gelip,
| DN | = | KB | oluyor.

Buna göre, 2 ML + BAl + DE oranı kaçtır?

DE BC
k

B 2k C

Durumunda [DE] orta taban çizgisi olmayabilir.

18

Örnek : Örnek :

A A
25°

E D 11

a5 a 8 4
D
B E
110° 3
B ABC bir üçgen, C

10 C
ABC bir üçgen,
| BC | = 8 br, | AE | = 11 br, | EC | = 3 br, | DE | = 4 br
| AE | = | EC |, | DE | = 5 br, | BC | = 10 br | DA | = | DB |, m(BéAC) = 25°, m(AéBC) = a
olduğuna göre, a kaç derecedir?
m(AéBC) = 110°, m(AéDE) = a
olduğuna göre, a kaç derecedir?

Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) Örnek :

A
E 110°

Örnek : A

ABC bir a
üçgen, B D C
ABC üçgen,
10 E | AB | = 10 br,
| BD | = 3 br,
| CD | = 13 br, | AE | < | EB |
| AE | = | EC |,
52° a 13 | BD | = | DC |
B 3D C

| AC | = 2 | ED |

m(CéDE) = a, m(AéBD) = 52 m(AéCB) = 2 m(AéBC) + 10°
olduğuna göre, a kaç derecedir?

m(BéAC) = 110°
olduğuna göre, a kaç derecedir?

19

Örnek : Örnek :

A D A

9

B 20 20 B 17
CE F

Birbirine eş üçgen şeklindeki iki karton yukarıdaki şekilde ve- FE
rilmiştir. Mavi kartonun A köşesi [DF]'nin orta noktasına B kö-
şeside [EF]'nin üzerine gelecek biçimde sarı kartonun üzerine x
konuluyor.

Son durumda m(AéBE) > 90° olduğuna göre, iki üçgenin D C
kesişiminde oluşan bölgenin en büyük açısı kaç derece- ABC bir üçgen,
dir?

[AF] : açıortay

[AD] = [DC]

| BE | = | EC |

| AB | = 9 br, | AC | = 17 br, | DE | = x br
Buna göre, x kaç birimdir?

Örnek : Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)

A

7 E 17
B x

D

C
ABC üçgen,

m(BéAE) = m(EéAC), m(AéEB) = 90°

| BD | = | DC |, | AB | = 7 br,

| AC | = 17 br, | ED | = x br

olduğuna göre, x kaç birimdir?

20

Dik Üçgen  Örnek :

Pisagor Bağıntısı B 2A
8
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi dik kenar uzun-
luklarının kareleri toplamına eşittir.

a x x2 = a2 + b2 D 12 C
b
Örnek : C [AB] // [CD]
x
A 18 m(BéCD) = 90°
6
| AB | = 2 br
B
| BC | = 8 br

| CD | = 12 br

Buna göre, A ile B noktaları arasındaki en kısa uzaklık kaç
birimdir?

Örnek : Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) Örnek :

10 Kuzey

x x=?
Örnek : 15
Batý Doðu

14 21 x = ? Güney

Örnek : x Ana yönler yukarıdaki şekilde verilmiştir.

Sadece doğuya ve güneye gidecek olan bir kişi ard arda aynı
yönü kullanmamak şartıyla sırasıyla 2m, 3m, 5m, 1m ve 13 m
yol gidiyor.

Buna göre, ilk konumuyla ikinci konumu arasındaki uzak-
lık kaç metredir?

x 41 x = ?

40

21

Örnek : Örnek : Bir ABC üçgeninde,
K ! [BC], | AB | = 3ñ5 br,
B | AC |= 10 br, | BC | = 11 br'dir.

D K noktasının A noktasına en yakın olduğu noktada | BK |
kaç birimdir?
A C E
ABC ve CDE bir dik üçgen, Örnek :

[BC] = [CD]
Egehan, birim kareli dikdörtgen şeklindeki bir kağıda 3 x 2 br
A, C, E noktaları doğrusal boyutunda eş dikdörtgenlerden çizecektir. Çizdiği ilk dikdörtge-
nin sol alt köşesi kağıdında sol alt köşesi ile çakışacak, sonraki
| AB | + | CD | = 7 br çizdiği her dikdörtgenin sol alt köşesi bir önceki dikdörtgenin
üst tabanının orta noktası ile çakışacaktır.
| BC | + | DE | = 14 br Egehan bu şekilde 9 adet dikdörtgen çizdiğinde son dikdörtge-
olduğuna göre, | AE | kaç birimdir? nin sağ üst köşesi ile kağıdın sağ üst köşesi çakışıyor.
Kağıdın bir parçası şekilde gösterildiğine göre, bu kağıdın
Örnek : köşegen uzunluğu kaç birimdir?

A Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)
x3

BD

69

C
ABCD bir dörtgen,

m(BAC) = m(BCD) = 90°

| AD | = 3 br, | CD | = 9 br, | BC | = 6 br, | AB | = x br
olduğuna göre, x kaç birimdir?

Örnek :

A

6ñ5
10

B x D 4 C

ABC ve ABD bir dik üçgen,

| AD | = 10 br, | AC | = 6ñ5 br, | CD | = 4 br
olduğuna göre, | BD | = x kaç birimdir?

22

Örnek : Örnek :

d1 A A

AB D 16
6
d2


Şekildeki d1 ve d2 doğruları AB doğru parçasına paraleldir. B CE Bý x C
d1 ve d2 doğruları arasındaki en kısa uzaklık 6 birim,
| AB | = 8 birimdir. Þekil 1 Þekil 2

A noktasının d2'ye göre simetriği K, B noktasının d1'e göre Şekil 1'deki ABC üçgeni şeklindeki karton, B köşesi [BC] üze-
simetriği L noktası olduğuna göre, | KL | kaç birimdir? rinde olacak şekilde katlandığında Şekil 2'deki görüntü elde
ediliyor.

| AC | = 16 br, | DE | = 6 br,
| BıC | = x, | AD | = | DBı | dir.
Buna göre, x kaç birimdir?

Örnek : Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)

D Örnek : C
D

A
7

3

B P C

[AB] = [BC]

[BC] = [DC]

| AB | = 3 br, | DC | = 7 br, A B

| BC | = 8 br, P ! [BC] Kare şeklindeki bir tahtanın C ve D köşelerine uzunluğu 20 cm
olan bir ip sabitlenmiştir.
Yukarıdaki verilere göre, | PA | + | PD | toplamının en küçük
değeri kaç birimdir? İpi tahtanın üzerinde kalacak şekilde AB kenarına doğru yak-
laştırdığımızda [AB]'ye en kısa uzaklığı 4 cm oluyor.

Buna göre, ip gergin halde ve tahta üzerindeyken ipin tu-
tulan kısmının [AB] kenarına olan dik uzaklığı en fazla kaç
cm olur?

23

Özel Kenarlı Üçgenler Örnek : ABC bir dik üçgen,
• 3 - 4 - 5 Üçgeni A | AB | = 12 cm,
| BC | = 3x,
3k 5k 12 2x + 9 | AC | = 2x + 9
B 3x C Buna göre, x kaç cm dir?

4k

5 – 12 – 13 8 – 15 – 17 7 – 24 – 25 1 – 2 – ñ5
üçgeni üçgeni üçgeni üçgeni

5k 13k 8k 17k 7k 25k k kñ5 Örnek : ABC bir dik üçgen,
12k 15k 24k 2k | AC | = 6ñ5 cm, | CD | = 4 cm
A | AD | = 10 cm, | BD | = x
6ñ5 Buna göre, x kaç cm dir?
10
C
Not : Yukarıdaki özel üçgenlerin hepsini öğrenmeniz şiddetle Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) B xD 4
tavsiye edilir. Geometri dersindeki çoğu soru bu özel üçgenler
kalıpları üzerine yazılır. Hatta bazı sorularda hissederek soru- Örnek : x + 14 ABCD bir dörtgen,
nun çözümüne daha kolay yoldan ulaşılır. Şimdi aşağıdaki
örnekleri inceleyelim. A | AB | = 2x – 5 br,
D | BC | = x + 10 br
Örnek : 7 | CD | = 7 br,
C | AD | = x + 14 br
A 2x – 5

ABC dik üçgen,

17 | AB | = 2x br
2x | BC | = x + 11 br

B x + 11 | AC | = 17 br B x + 10

C Buna göre, x kaç birimdir?

Buna göre, | BC | kaç birimdir?

Örnek :

A Örnek :
x
x + 2025 A
15
x + 2021 ABC üçgen,
E m(BéAC) = m(BéED)
C | AE | = | ED |,
B x + 2023 C B D9



ABC dik üçgen,| AB | = x + 2021 br, |CD | = 9 br, | AC | = 15 br,| AB | = x br
Buna göre, x kaç birimdir?
| BC | = x + 2023 br, | AC | = x + 2025 br
Buna göre, x kaçtır?

24

Örnek : Örnek :

18 A D C
12
8
B C
A 30 B
Dik üçgen biçimindeki karton B köşesinden katlandığında B ABCD dikdörtgeni şeklindeki bir kartonun A köşesinde bulunan
noktası C noktası ile çakışmaktadır. Katlanan kısım tekrar açıl- bir karınca kartonun ön yüzünden ilerleyerek DC kenarı üzerin-
dığında kartonda oluşan katlama çizgisi ile AB doğru parçası K deki bir noktaya varıyor ve bu noktadan kartonun arka yüzüne
noktasında kesişiyor. geçerek arka yüzünden ilerleyerek B köşesine varıyor.

| AC | = 12 br, | AB | = 18 br olduğuna göre, | BK | kaç birim- | AB |= 30 cm, | BC | = 8 cm dir.
dir? Buna göre, karıncanın gittiği en kısa yol kaç cm dir?

Örnek : Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)

A

Örnek : B 3 D 2F
4 3 E
40 7
25 x C 9

B 7 D y E 14 C A x G
ABC bir dik üçgen,


| AB | = 7, | BC | = 4, | CD | = 3

| BD | = 7 br, | AD | = 25 br, | AC | = 40 br, | DE | = 3, | EF | = 2, | FG | = 9, | AG | = x

| CE | = 14 br, | AE | = x br, | DE | = y br [AB] = [BC], [BC] = [CD], [CD] = [DE],
Buna göre, x – y farkı kaç birimdir?
[DE] = [EF], [EF] = [FG] dir.
Buna göre, x kaçtır?

25

Örnek : Örnek :

D C E
6
18
8A

D

A 60 B B x C
Þekil 1 C
Þekil 2

ABC ve EDA bir üçgen,

• Şekil 1'de, kenar uzunluğu 60 cm olan bir kağıt A ! [EC], | EA | = 6 br, | ED | = 8 br
verilmiştir.
| AC | = 18 br, | DA | = | DB | dir.
• Bu kağıt üzerinden, [AB] ve [AD] kenarlarına olan Buna göre, | BC | = x kaç birimdir?
uzaklıkları sırasıyla 37 cm ve 54 cm olan bir K
noktası seçiliyor.

• Kağıt 4 eşit bölgeye ayrılıp bölgelerden biri kesilip
atılıyor.(Şekil 2)

• Bölgeler üst üste gelecek biçimde kağıt iki kez kat- Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı)
lanıyor.

• K noktasında delik açılıp kağıt geri açılıyor.

• Delikler arası düz çizgiler çiziliyor.

Buna göre, son durumda çizilen çizgilerle oluşan bölgenin
çevresi kaç cm dir?

Örnek :

A

Örnek : 19

A 24

D x
9
B 25 C E
B


ABC üçgen,

Zehra açıölçer ve cetvel yardımıyla dik üçgen biçimindeki bir m(BéAC) = 90°| BE | = | EC |,
kartona aşağıdaki çizimleri yapıyor.

1. Çizim : C köşesinden açıortay doğrusunu çizip | BD | = 9 br, | AD | = 19 br,
[AB]'yi kestiği noktaya D noktası olarak harflendiri-
yor. | AC | = 24 br, | DE | = x br
Yukarıda verilenlere göre, x kaç birimdir?

2. Çizim : D noktasından [AC]'ye paralel çizip [BC]'yi
kestiği noktayı E olarak harflendiriyor.

| BC | = 25 br, | BD | = 15 br dir.
Buna göre, Zehra'nın çizdiği ikinci çizgi kaç birimdir?

26

Örnek : Örnek :
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden [BC]'na ait kenarortay doğ-
rusu çizildiğinde [BC]'yi K noktasında kesiyor. Þekil 1 Þekil 2 Þekil 3

| AB | = 16 br, Egehan'ın kırmızı ve mavi renkli kare şeklinde kartonları var-
| AK | = 6 br dır. Egehan mavi kareyi makasla keserek 4 bölgeye ayırıp kır-
[AB] = [AK] dir. mızı karenin etrafına şekil 3'teki gibi yerleştirerek yeni bir kare
Buna göre, | AC | kaç birimdir? elde ediyor.

Örnek : Kýrmýzý renkli karenin Mavi renkli karenin
kenar uzunluklarý (br) kenar uzunluklarý (br)
A
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 4, 5, 8, 10, 12, 15, 20, 24

Kenan Kara İle Geometri (Youtube Kanalı) Buna göre Egehan, kırmızı karenin kenar uzunluğu mavi
karenin kenar uzunluğundan küçük ve en son oluşan
karenin kenar uzunluğu tam sayı olacak biçimde
şekil 3'teki kareden kaç tane oluşturabilir?

8

7
BC

4
D

[AB] = [BC],
[BC] = [CD]

| AB | = 8 br,

| BC | = 7 br,

| CD | = 4 br

Bu şekile [DK] = [DC] olacak şekilde 2 birim uzunluğunda [DK]
doğru parçası çizilip, A ve K noktaları arasına bir cetvel yardı-
mıyla düz bir doğru çiziliyor.

Buna göre, AK uzunluğunun alacağı değerler toplamı kaç
birimdir?

27