riazi-Fasle1

‫مشت نمون ‌هي خروار‬

‫رياضيات پايه‬

‫«تصاعد»‬
‫آموزش به هم‌راه پرس ‌شهاي چهارگزينه‌اي‬

‫احسان موسوي‬
‫سجاد ثمودي‬

‫تهران‬
‫انتشارات علمي فار‬

‫را ‌هنمای کتاب‬

‫سلام! ریاضیات پایه در کنکور خیلی مهم است! خیلی! چون حدود بیست درصد تس ‌تها از ریاضیات پایه است؟‬
‫نچ! چون یادگیری این مباحث نسبت به هندس ‌ه و مباحث ریاضیات پی ‌شدانشگاهی بسيار ساد‌هتر است‪ .‬پس حیف‬

‫است که وقتی کاری ای ‌نقد ساده است‪ ،‬شما از کنارش به همین سادگی بگذرید‪.‬‬
‫ما در این کتاب ‪ 6‬فصل داریم‪:‬‬
‫محاسبات جبری و معادلات‬
‫تابع‬
‫مثلثات‬
‫تابع نمایی و لگاریتم‬
‫دنباله و تصاعد‬
‫آمار و مد ‌لسازی‬

‫هر فصل به دو یا چند بخش کوچ ‌کتر تقسیم شد‌هاست‪ .‬سعی کرد‌هایم که هر بخش‪ ،‬استقلال معنایی داشته باشد و‬
‫بتوانید آن را ی ‌کضرب بخوانید‪ .‬تس ‌تهای ای ‌ن کتاب یا تألیفی است‪ ،‬که سعی شده در راستای کنکور باشد و خیلی‬
‫سلیق ‌همان را درگیرش نکنیم؛ یا تس ‌تهای سراسری و آزاد داخل یا خارج از کشور است‪ .‬بدون اغراق م ‌یتوانیم‬
‫بگوییم که هم ‌هی تس ‌تهای کنکور در هفت سال اخیر را در این کتاب م ‌یتوانید ببینید‪ .‬پس با زدن این تس ‌تها‪،‬‬
‫م ‌یتوانید امیدوار باشید که آ ‌نقدر نمون ‌ههای مختلف دید‌هاید که سر جلس ‌هی کنکور هم از پس حل تس ‌تهای‬

‫ریاضیات پایه برم ‌یآیید‪.‬‬
‫روش خواندن کتاب چ ‌هطوری است؟‬
‫شما ابتدا شروع به خواندن پلکان آموزش م ‌یکنید‪ .‬متن درس را دقیق م ‌یخوانید‪ .‬مثال بعد از مبحث آموزش را‬
‫م ‌یبینید‪ .‬بعد م ‌یروید سراغ کادر تس ‌تهایی که در ادام ‌هاش آمده است‪ .‬تس ‌تها را بهتر است یک ‌یکیی حل کنید و‬
‫پاس ‌خش را ببینید‪ .‬در این مرحله نیازی نیست زمان بگیرید‪ .‬مهم این است که پل ‌هپله که تس ‌تهای سخ ‌تتر م ‌یشوند‪،‬‬
‫توانایی خودتان را در حل مسئله بالا ببرید‪.‬‬
‫بعد از این مرحله‪ ،‬در آخر هر فصل‪ ،‬پلکان آزمون وجود دارد‪ .‬ای ‌نجا باید خود را محک بزنید‪ .‬هر فصل حداقل یک ‬
‫آزمون «ساده و متوسط» و حداقل یک آزمون «استاندارد» دارد‪ .‬البته بعضی فص ‌لها چهار تا آزمون هم دارند‪ .‬بستگی‬
‫به اهمیت فصل دارد‪ .‬زمان بگیرید و با آزمون «ساده و متوسط» شروع کنید‪ .‬بعد به سراغ آزمو ‌نهای «استاندارد»‬
‫بروید‪ .‬بعد هم با خیال راحت بروید سر جلس ‌هی کنکور!‬
‫در آخر هم بگوییم که این فصل نمون ‌هی کتاب را که خواندید‪ ،‬لطف م ‌یکنید اگر برای ما نظرتان را بفرستید‪:‬‬

‫‪Email: [email protected]‬‬

‫يك‬

‫فهرست‪:‬‬

‫بخش ‪ :1‬دنباله و تصاعد ‪2‬‬
‫بخش ‪ :2‬مجموع جمل ‌ههاي دنباله‌ها ‪17‬‬
‫پلکان آزمون ‪28‬‬

‫تصاعد‬ ‫فصل‬

‫این فصل را به دو بخش تقسیم کرد‌هایم‪ .‬بخش اول در مورد مفهوم دنباله‪ ،‬تصاعد حسابی و تصاعد هندسی‬ ‫شـنـاسـنـامـه فـصـل‪:‬‬
‫بحث می‌کنیم‪ .‬در کتاب درسی ریاضیات سال دوم این مباحث آمده است‪ .‬بحش دوم در مورد مجموع جملات‬
‫تصاعدهاست‪ .‬این بحث برای رشته‌ی ریاضی در کتاب حسابان و برای رشته‌ی تجربی در کتاب پی ‌شدانشگاهی‬
‫آمده است‪ .‬ما برای انسجام مطلب‪ ،‬کل این مباحث را در فصل جمع‌و‌جور کرده‌ایم‪ .‬این فصل‪ ،‬ب ‌هواقع مبحث‬
‫پیچید‌های ندارد‪ .‬پس با خیال راحت پیش بروید! یادتان هم باشد که حتم ًا هر سال حداقل یک تست در کنکور‬

‫از این فصل می‌آید‪.‬‬

‫سراسری آزاد‬ ‫تألیفی‬
‫‪22 26‬‬ ‫تعداد تست‌ها ‪82‬‬

‫ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش ‪2‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش ‪10‬‬

‫دﻧﺒﺎﻟﻪ و ﺗﺼﺎﻋﺪ‬

‫‪ 1‬ـ ﻣﻔﻬﻮم دﻧﺒﺎﻟﻪ‬

‫ﻫﺮ ﺗﻌﺪادي از اﻋﺪاد را ﻛﻪ ﭘﺸﺖ ﺳﺮ ﻫﻢ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ ،‬ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ از اﻋﺪاد ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﺪد ﻛﻪ‬

‫در ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪي آن دﻧﺒﺎﻟﻪ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم دﻧﺒﺎﻟﻪ را ﻛﻪ ‪ n‬ﻳﻚ‬

‫ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ دلﺧﻮاه اﺳﺖ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ را ﻣﻌﻤﻮ ًﻻ ﺑﺎ ‪an‬‬

‫ﻳﺎ ‪ bn‬ﻳﺎ ‪ ...‬و ﺧﻮد دﻧﺒﺎﻟﻪ را ﺑﺎ } ‪ {an‬ﻳﺎ } ‪ {bn‬ﻳﺎ ‪ ...‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاي ﻣﺜﺎل دﻧﺒﺎﻟﻪي اﻋﺪاد ﻃﺒﻴﻌﻲ‬
‫‪2,4,6,  ,2n , ‬‬
‫زوج ﺑﻪ ﺻﻮرت روﺑﻪرو اﺳﺖ‪:‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ‬

‫‪ 1‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﭼﻨﺪ دﻧﺒﺎﻟﻪ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮ ﻛﺪام از دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ را ﺑﺎ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪي اﺑﺘﺪاﻳﻲاش‬

‫‪an  2n2 1‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin n‬‬ ‫ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ‪.‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬

‫ﺧﻴﻠﻲ ﺳﺎده اﺳﺖ دﻳﮕﺮ! در ﻫﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻘﺪار ‪ n‬را ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 3 ،2 ،1‬و ‪ ...‬ﻗﺮار ﻣﻲﻫﻴﻢ ﺗﺎ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي‬

‫دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ ﺑﻪدﺳﺖ ﺑﻴﺎﻳﻨﺪ‪:‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪي ‪ an‬در ﺣﺎل زﻳﺎد ﺷﺪن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪n  1 a1  1‬‬
‫ﺑﻪ اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎي ﺻﻌﻮدي ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪ nn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬
‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2n2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ a2‬‬ ‫‪ 17‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪{an }:1,7,17,‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪي ‪ bn‬در ﺣﺎل ﻛﻢﺷﺪن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a3‬‬
‫ﺑﻪ اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎي ﻧﺰوﻟﻲ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪي ‪ cn‬ﺑﻪﻃﻮر ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺗﻜﺮار ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻪ اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎي ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪bn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪{b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫}‬ ‫‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ sin   0‬‬
‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ a2‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪‬‬ ‫‪ a3‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪cn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin2  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪{cn }:1,0,1,0,1,0,1,0,1,‬‬
‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫‪sin 3‬‬ ‫‪0‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﺑﺨﺶ ‪ / 1‬دﻧﺒﺎﻟﻪ و ﺗﺼﺎﻋﺪ ‪3‬‬

‫‪ 1‬ـ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪي ‪ 4,2,196 ,2,...‬ﻛﺪامﻳﻚ از ﮔﺰﻳﻨﻪﻫﺎي زﻳﺮ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪4  (1)n1‬‬ ‫‪22n‬‬ ‫‪( 2) n 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2)n‬‬
‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬

‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﭼﻪﻗﺪر‬ ‫اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ‬ ‫ﻧﻬﻢ‬ ‫و‬ ‫ﭼﻬﺎرم‬ ‫ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n‬زوج‬ ‫ﺑﻪﺻﻮرت‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪاي‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﻲ‬ ‫ـ ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫‪2‬‬
‫‪16 (4‬‬ ‫‪14 (3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪11 (1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ n‬ﻓﺮد‬
‫‪‬‬ ‫‪13‬‬
‫‪‬‬ ‫‪n2 ‬‬

‫‪8‬‬

‫دﻧﺒﺎﻟﻪ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ اﻳﻦ‬ ‫‪2n2‬‬ ‫‪ 6n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪاي‬ ‫ُام‬ ‫‪ 3‬ـ ﺟﻤﻠﻪي ‪2n  3‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪49‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪16‬‬
‫‪25‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪ 4‬ـ در دﻧﺒﺎﻟﻪي ‪ b1  b2  2‬و ‪ ، bn1  bn  bn1 1‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﺸﺘﻢ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪22 (4 21 (3 15 (2 14 (1‬‬

‫‪ 5‬ـ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪي ‪ a1  1‬و‪ an  an1  2n 1‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪an  n2 (4‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n(n 1)2‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪n(n 1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪n 1‬‬

‫‪ 2‬ـ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‬

‫ﻧﺎم دﻳﮕﺮ »دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ«‪» ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻋﺪدي« اﺳﺖ!‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎﻳﻲ را ﻛﻪ ﻫﺮ ﺟﻤﻠﻪي آن )ﻏﻴﺮ از ﺟﻤﻠﻪي اول( از اﻓﺰودن ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي‬

‫ﻗﺒﻠﻲ ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ و ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ »ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ« دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ‪ .‬ﺑﺮاي‬
‫ﻧﻤﻮﻧﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪي زﻳﺮ را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ‪:‬‬

‫‪4 4 4 4 4‬‬
‫‪3 7 11 15 19 ...‬‬
‫واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺑﺎﻻ ﭼﻪﮔﻮﻧﻪ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد! ﻋﺪد ‪ 3‬اوﻟﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪاي اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ‬
‫ﻋﺪد ﺑﺎ ‪ 4‬ﺟﻤﻊ ﻣﻲﺷﻮد و ﺟﻤﻠﻪي دوم ﻛﻪ ‪ 7‬اﺳﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﻫﻤﻴﻦﻃﻮر ﺑﺮاي ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻮم‪،‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي دوم ﺑﺎز ﻫﻢ ﺑﺎ ﻫﻤﺎن ‪ 4‬ﺟﻤﻊ ﻣﻲﺷﻮد و ﻋﺪد ‪ 11‬ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻲﺷﻮد و‪...‬‬
‫در اﻳﻦﺣﺎﻟﺖ اﮔﺮ ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ a‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ‪ d‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ‬

‫‪d d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد‪:‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪,‬ﺟﻤﻠ‪d‬ﻪ‪‬ي‪‬د‪a‬وم ‪,‬‬ ‫‪,‬ﺟﻤﻠ‪d‬ﻪ‪2‬ي‪‬ﺳ‪a‬ﻮم‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a(n 1)d‬‬ ‫‪, and , ‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم‬
‫ﺟﻤﻠﻪي )‪ُ (n 1‬ام‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ a1‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ d‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻲﺷﻮد ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪an  a1  (n 1)d‬‬

‫‪ 2‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ 5,11,17 ,‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﺑﻴﺎورﻳﺪ‪.‬‬

‫ﺑﺮاي ﺑﻪدﺳﺖآوردن ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ »ﺟﻤﻠﻪي اول« و »ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ«‬

‫دﻧﺒﺎﻟﻪ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﻳﻚ ﻧﮕﺎه ﻣﻲﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 5‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‪a1  5 :‬‬
‫ﺣﺎﻻ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟ ﻣﮕﺮ ﻧﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ در دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬اﺧﺘﻼف دو ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ‬

‫‪d  a2  a1  a3  a2  6‬‬ ‫اﺳﺖ؟! ﭘﺲ اﻳﻦﺟﺎ ﺑﻪراﺣﺘﻲ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ‪:‬‬

‫ﺣﺎﻻ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ‪ a1‬و ‪ d‬ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ را ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ‪:‬‬
‫‪an  a1  (n 1)d ad165 an  5  (n 1)  6  an  6n 1‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪4‬‬

‫»دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ« و »ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ«‪ ،‬دو واژه‬ ‫ﺻﻌﻮدي و ﻧﺰوﻟﻲ‪ :‬در دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬اﮔﺮ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ اﻧﺪازهي‬
‫ﺑﺮاي ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم ﻳﻚﺳﺎن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﮔﻴﺞ ﻧﺸﻮﻳﺪ!‬ ‫ﺛﺎﺑﺘﻲ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﻨﺪ و اﮔﺮ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﻣﻨﻔﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ اﻧﺪازهي ﺛﺎﺑﺘﻲ ﻛﺎﻫﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﻨﺪ‪.‬‬

‫ﺑﻪ ﻧﻮع اول‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺻﻌﻮدي و ﺑﻪ ﻧﻮع دوم‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻧﺰوﻟﻲ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ‪.‬‬

‫ﺑﺮاي ﻣﺜﺎل دو دﻧﺒﺎﻟﻪاي را ﻛﻪ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي ‪ 3‬ﺷﺮوع ﻣﻲﺷﻮد و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﻳﻜﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 5‬و دﻳﮕﺮي ﺑﺮاﺑﺮ‬

‫دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺻﻌﻮدي ‪d  5 : 3 ,8,13 ,18, ‬‬ ‫‪ -5‬اﺳﺖ ﻧﮕﺎه ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬

‫دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻧﺰوﻟﻲ ‪d  5 : 3, 2, 7,12, ‬‬

‫وﻳﮋﮔﻲﻫﺎي ﻣﻬﻢ دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎي ﺣﺴﺎﺑﻲ‬

‫‪ 1‬ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻫﺮ دو ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ 2‬اﮔﺮ ‪ ap‬و ‪ aq‬دو ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻔﺎوت و دلﺧﻮاه از دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬

‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ap‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪aq‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪ 3‬اﮔﺮ ‪ a1‬را ﺟﻤﻠﻪي اول دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ و ‪ an‬را ﺟﻤﻠﻪي آﺧﺮ آن ﺑﺪاﻧﻴﻢ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻼت‬

‫ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an  a1‬‬ ‫راﺑﻄﻪي‪ 1‬‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ از‬
‫‪d‬‬

‫واﺳﻄﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ :‬ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﻪﺻﻮرت ‪ ...,a,b,c,...‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﺳﻪ ﻋﺪد ‪ b ،a‬و‬
‫‪ c‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬راﺑﻄﻪي ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺑﻪ‬

‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫اﻳﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ ﻛﻪ »وﺳﻄﻲ‪ ،‬ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ دو ﺗﺎي ﻛﻨﺎري اﺳﺖ«‪ ،‬ﺑﻪ زﺑﺎن رﻳﺎﺿﻲ ﻳﻌﻨﻲ‪:‬‬
‫در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ ‪ b‬واﺳﻄﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ دو ﻋﺪد ‪ a‬و ‪ c‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ 6‬ـ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﭼﻨﺪ دﻧﺒﺎﻟﻪ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻛﺪام دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻣﻲدﻫﺪ؟‬

‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪an  8n  n2 (2‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1 (1‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ 7‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي دوم ‪ 2‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻘﺪار ﻛﺪام ﺟﻤﻠﻪي اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ؟‬

‫‪ (4‬ﺳﻴﺰدﻫﻢ‬ ‫‪ (3‬دوازدﻫﻢ‬ ‫‪ (2‬ﺷﺸﻢ‬ ‫‪ (1‬ﭘﻨﺠﻢ‬

‫‪ 8‬ـ ﻣﻘﺪار ‪ x‬ﭼﻪﻗﺪر ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺎ ‪ 10x  8 , 6x  4 , x  2‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ؟‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ ‪3 (4 2 (3 1 (2‬‬

‫‪ 9‬ـ اﻋﺪاد‪ 3p  4 ، 5p 1‬و ‪ 2p  3‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟ )ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(84‬‬
‫‪7 (4 6 (3 5 (2 4 (1‬‬

‫‪ 10‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ tp  q‬و ‪ tq  p‬و ‪ ، p  q‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪1 (4 q  p (3‬‬ ‫‪-1 (2‬‬ ‫‪p  q (1‬‬

‫‪ 11‬ـ اﺿﻼع ﻳﻚ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢاﻟﺰاوﻳﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﻃﻮل وﺗﺮ اﻳﻦ ﻣﺜﻠﺚ ‪ 15‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﻃﻮل دو ﺿﻠﻊ دﻳﮕﺮ‬

‫ﭼﻪﻗﺪر ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫‪22 (4 21 (3 20 (2 19 (1‬‬

‫‪ 12‬ـ اﮔﺮ ﺑﻪ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ‪ 3‬واﺣﺪ اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺸﻢ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺎﺻﻞ‪ ،‬ﭼﻨﺪ واﺣﺪ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻲﺷﻮد؟‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ ‪15 (4 6 (3 2 (2‬‬

‫‪ 13‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ‪ ، t1  t7  t13  39‬اﮔﺮ ‪ t5  5‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪-4 (4‬‬ ‫‪4 (3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 14‬ـ در ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع دو ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 9/5‬و ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﺳﻮم و ﭼﻬﺎرم‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 6/5‬اﺳﺖ‪ .‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ آن ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪‬‬

‫ﺑﺨﺶ ‪ / 1‬دﻧﺒﺎﻟﻪ و ﺗﺼﺎﻋﺪ ‪5‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 15‬ـ ﺗﻔﺎﺿﻞ ﺟﻤﻠﻪي دﻫﻢ از ﺟﻤﻠﻪي دوازدﻫﻢ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي‪ 5 ،‬و ﻣﺠﻤﻮع دو ﺟﻤﻠﻪي دﻫﻢ و دوازدﻫﻢ‪ 25 ،‬اﺳﺖ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 84‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫‪37/5 (3‬‬ ‫ﺑﻴﺴﺖوﻳﻜﻢ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪36 (2 35 (1‬‬
‫‪38/5 (4‬‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(85‬‬ ‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬ ‫‪a15  a17  a19‬‬ ‫‪ a2 ‬ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫‪5‬‬ ‫و‬ ‫‪ 16‬ـ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪a1  1‬‬
‫‪a33  a35  a37‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪21‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪35‬‬
‫‪17‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪ 17‬ـ ﺗﻌﺪاد ﻋﺪدﻫﺎي دو رﻗﻤﻲاي ﻛﻪ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪهي ﺗﻘﺴﻴﻢﺷﺎن ﺑﺮ ‪ 9‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 2‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪12 (4 11 (3 10 (2‬‬ ‫‪9 (1‬‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 88‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫‪ 18‬ـ اﮔﺮ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ a1  a2  a12  30‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﭘﻨﺠﻢ ) ‪ (a5‬ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪8 (3 15 (2 12 (1‬‬
‫‪10 (4‬‬

‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬ ‫‪a1‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪ 19‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪an  ap  an1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2n  4 (4‬‬ ‫‪n  p (3‬‬ ‫‪-p (2‬‬ ‫‪p (1‬‬

‫‪ 20‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻧﺰوﻟﻲ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 27‬و ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب اﻳﻦ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 288‬ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟‬
‫‪4 (4 6 (3 7 (2 8 (1‬‬

‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﭼﻪﻗﺪر‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‪،‬‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫دﻳﮕﺮي‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﺗﺸﻜﻴﻞ‬ ‫‪a5‬‬ ‫‪, a10‬‬ ‫‪, a15‬‬ ‫ﺟﻤﻼت ‪, ‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪, ‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫در‬ ‫ـ‬ ‫‪21‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪5 (3‬‬ ‫‪1(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪ 22‬ـ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ‪ 7 , 2 , 11 , ‬اوﻟﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪاي ﻛﻪ ﺑﺰرگﺗﺮ از ‪ 420‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪425 (4‬‬ ‫‪424 (3‬‬ ‫‪423 (2‬‬ ‫‪422 (1‬‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(84‬‬ ‫‪ 23‬ـ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 63‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ 4‬ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺜﺒﺖ دارد؟‬
‫‪17 (3 16 (2 15 (1‬‬
‫‪18 (4‬‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 86‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫‪ 24‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ a1  5‬و ‪ ، a3  9‬آنﮔﺎه ‪ a7  a8  a9‬ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪57 (3 38 (2 19 (1‬‬
‫‪76 (4‬‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 87‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫‪ 25‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ a5  a6  3‬و ‪ ، a8  a9  2‬ﺣﺎﺻﻞ ‪ a13  a15‬ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪67‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬
‫و‪ ...‬ﺟﻤﻊ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫ﺳﻮم‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫و‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫دوم‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫و‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫را‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪, ‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫در‬ ‫ـ‬ ‫‪26‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﻧﻮد و ﺳﻮم ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﺪﻳﺪ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪24 (4‬‬ ‫‪20 (3‬‬ ‫‪125 (2‬‬ ‫‪139‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 27‬ـ در ﺗﺼﺎﻋﺪﻫﺎي ﻋﺪدي ‪ 5 , 9 , 13 , ‬و ‪ 4 , 7 , 10 , ‬ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺴﺎوي ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ از ‪ 50‬وﺟﻮد دارد؟‬

‫‪ (4‬دو ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ (3‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ (2‬ﭘﻨﺞ ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ (1‬ﭼﻬﺎر ﺟﻤﻠﻪ‬

‫‪ 28‬ـ ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ a1  3‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ d1  2‬ﺑﺎ ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(84‬‬ ‫اول ‪ b1  2‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ d2  3‬ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺴﺎوي دارﻧﺪ؟‬
‫‪8 (3 7 (2 6 (1‬‬
‫‪9 (4‬‬

‫‪ 29‬ـ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ﻛﻪ ﺗﻔﺎﺿﻞ آنﻫﺎ ‪ 720‬اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﻨﺞ واﺳﻄﻪي ﻋﺪدي درج ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪120 (4‬‬ ‫‪140 (3‬‬ ‫‪160 (2‬‬ ‫‪180 (1‬‬

‫‪ 30‬ـ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 19‬و ‪ ،39‬ﭼﻬﺎر واﺳﻄﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ درج ﻛﺮدهاﻳﻢ ﺗﺎ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻧﺰوﻟﻲ اﻳﺠﺎد ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع اﻳﻦ ﭼﻬﺎر واﺳﻄﻪ‬

‫‪121 (4‬‬ ‫‪116 (3‬‬ ‫‪114 (2‬‬ ‫ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪109 (1‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪6‬‬

‫‪ 3‬ـ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ‬

‫ﺑﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻫﺮ ﺟﻤﻠﻪي آن )ﻏﻴﺮ از ﺟﻤﻠﻪي اول( ﺑﺎ ﺿﺮب ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ در ﺟﻤﻠﻪي‬

‫ﻗﺒﻠﻲ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻣﻲﮔﻮﻳﻨﺪ‪.‬‬

‫‪3 3 3 3‬‬ ‫ﺑﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪي روﺑﻪرو ﻧﮕﺎه ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬

‫‪5 15 45 135 ...‬‬
‫دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺑﺎﻻ اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي اول در ﻳﻚ ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ )ﻛﻪ اﻳﻦﺟﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 3‬اﺳﺖ(‬

‫ﺿﺮب ﻣﻲﺷﻮد و ﺟﻤﻠﻪي دوم ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي دوم ﻫﻢ در ﻫﻤﺎن ﻋﺪد ﺿﺮب ﻣﻲﺷﻮد و‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻮم ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ و اﻟﻲ آﺧﺮ‪.‬‬

‫در ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ‪ ،‬ﻫﺮ ﺟﻤﻠﻪ )ﻏﻴﺮ از ﺟﻤﻠﻪي اول( ﺑﺎ ﺿﺮب ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ q‬در‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﻗﺒﻠﻲ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪ q .‬را »ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ« اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ اوﻟﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪي‬

‫ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ a‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ آن ‪ q‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻼت اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد‪:‬‬

‫‪q q q‬‬ ‫‪q‬‬

‫‪a , aq , aq2 , aq3 ,  , aqn1 , aqn , ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪a1 a2 a 3 a4‬‬ ‫‪a n a n1‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ a1‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ q‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻲﺷﻮد ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪an  a1qn1‬‬

‫‪ 3‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ 2,8,32,128, ‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﺑﻴﺎورﻳﺪ‪.‬‬

‫اول از ﻫﻤﻪ ﻣﻲداﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ a1  2‬اﺳﺖ‪ .‬در ﺿﻤﻦ ﻣﻲداﻧﻴﻢ ﻛﻪ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‬
‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ از ﺗﻘﺴﻴﻢ دو ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺑﺮ ﻫﻢ ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪ .‬ﭘﺲ‪:‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a4‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a3‬‬
‫ﺣﺎﻻ ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻛﺎري دارد؟!‬

‫‪: an  a1qn1 aq142 an  2 4n1  2 (22 )n1‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ‬
‫‪ 222n2  22n1  an  22n1‬‬
‫واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ‪ :‬ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻪﺻﻮرت ‪ ...,a,b,c,...‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﺳﻪ ﻋﺪد ‪ b ،a‬و ‪c‬‬

‫ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺪد ‪ b‬واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ a‬و ‪ c‬ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ و دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪b2  ac‬‬ ‫دﻟﻴﻠﺶ ﻫﻢ ﺧﻴﻠﻲ ﺳﺎده اﺳﺖ! ﺧﻮدﺗﺎن ﻓﻜﺮ ﻛﻨﻴﺪ!‬

‫وﻳﮋﮔﻲﻫﺎي ﻣﻬﻢ دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎي ﻫﻨﺪﺳﻲ‬

‫‪ 1‬اﮔﺮ ‪ am‬و ‪ an‬دو ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻔﺎوت و دلﺧﻮاه از دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪ q‬از‬

‫دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫‪qmn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪am‬‬ ‫راﺑﻄﻪي‬
‫‪an‬‬
‫‪ 2‬در دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ q‬اﮔﺮ ‪ q  0‬و ‪ a1  0‬ﺑﺎﺷﺪ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻳﻚﻧﻮاﺳﺖ و اﮔﺮ ‪q  0‬‬

‫ﻳﻚﻧﻮا ﻳﻌﻨﻲ ﻳﺎ »ﻫﻤﻮاره ﺻﻌﻮدي« ﻳﺎ »ﻫﻤﻮاره‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻏﻴﺮﻳﻚﻧﻮاﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻧﺰوﻟﻲ«‬
‫‪ 3‬اﮔﺮ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ ﺑﻴﻦ ‪ a‬و ‪ m ،k‬ﻋﺪد ﻗﺮار دﻫﻴﻢ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاي ﻛﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ دﻫﻨﺪ‪،‬‬

‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪.‬‬ ‫‪qm1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫از راﺑﻄﻪي‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪ‬ ‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬
‫‪a‬‬

‫ﺑﺨﺶ ‪ / 1‬دﻧﺒﺎﻟﻪ و ﺗﺼﺎﻋﺪ ‪7‬‬

‫‪ 31‬ـ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ 4,6,9,...‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﭘﻨﺠﻢ و ﺷﺸﻢ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪405‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪405‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 32‬ـ اﮔﺮ ‪ a1‬و ‪ a2‬و ‪ a3‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪ اول ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ 2‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻛﺪام ﮔﺰﻳﻨﻪ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(81‬‬ ‫ﻫﺴﺘﻨﺪ؟‬

‫‪ a3 16 (2‬و ‪ a2  4‬و‪a1 1‬‬ ‫‪ a3  a2 (1‬و ‪ a2  a1‬و‪a1 1‬‬
‫‪ a3  4 (4‬و ‪ a2  2‬و‪a1 1‬‬ ‫‪ a3  3 (3‬و ‪ a2  2‬و‪a1 1‬‬

‫‪ 33‬ـ اﮔﺮ‪ 5x 1‬و ‪ 6x‬و ‪ 7x  2‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﭼﻨﺪ ﻣﻘﺪار ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮل ﺑﺮاي ‪ x‬وﺟﻮد ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ؟‬

‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ ‪ (4 2 (3 1 (2‬ﺑﻴﺶﺗﺮ از ‪2‬‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(82‬‬ ‫‪ 34‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ a2a4  2a5‬اﺳﺖ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪ اول ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪4 (3 2 (2 2 (1‬‬
‫‪2 2 (4‬‬

‫‪ 35‬ـ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ ، 9 , 12 , 16 , ‬ﺣﺎﺻﻞ ‪ a6  a5‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪256‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬
‫‪a1a7‬‬
‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(86‬‬ ‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬ ‫‪a22‬‬ ‫‪ 36‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ ،2‬ﺣﺎﺻﻞ‬

‫‪4 (4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪16 (2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪ 37‬ـ ﺟﻤﻠﻪ ﻧﻬﻢ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ 5‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺸﻢ آن اﺳﺖ‪ .‬ﻧﺴﺒﺖ ﺟﻤﻠﻪي ﻳﺎزدﻫﻢ ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﭘﻨﺠﻢ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪5 (4 15 (3 25 (2 125 (1‬‬

‫‪ 38‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺟﻤﻼت اول و ﭘﻨﺠﻢ و ﻳﺎزدﻫﻢ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ از ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺻﻌﻮدياﻧﺪ‪ .‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 87‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ 39‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺟﻤﻼت ﺳﻮم‪ ،‬ﻫﻔﺘﻢ و ﻧﻬﻢ‪ ،‬ﻣﻲﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ از ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﭼﻨﺪﻣﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي اﻳﻦ‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪(88‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‪ ،‬ﺻﻔﺮ اﺳﺖ؟‬
‫‪10 (2 9 (1‬‬
‫‪12 (4‬‬ ‫‪11 (3‬‬

‫‪ 40‬ـ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ دو ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ و ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻜﻲ ﭼﻬﺎر ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻠﻪي اول دﻳﮕﺮي اﺳﺖ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪ ‪n‬اُم ﺗﺼﺎﻋﺪ اول ﭼﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ‪ُ n‬ام ﺗﺼﺎﻋﺪ دوم اﺳﺖ؟‬

‫‪n4 (4 4n (3 4n (2‬‬ ‫‪4 (1‬‬

‫‪ 41‬ـ واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 22  5  72‬و ‪ 22  53 112‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪8700 (4‬‬ ‫‪8500 (3‬‬ ‫‪7800 (2‬‬ ‫‪7700 (1‬‬

‫‪ 42‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ُﻧﻪ ﺟﻤﻠﻪ اول ﺑﺮاﺑﺮ ﻫﺸﺖ اﺳﺖ‪ (a1a2 ...a9  8) .‬آنﮔﺎه ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ‪ a2 .a4 .a6 .a8‬ﭼﻪﻗﺪر‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(81‬‬ ‫اﺳﺖ؟‬

‫‪4 (4 24 2 (3 2 2 (2 23 2 (1‬‬

‫‪ 43‬ـ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 3‬و ‪ 192‬ﭘﻨﺞ واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ درج ﻛﺮدهاﻳﻢ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع واﺳﻄﻪﻫﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ﻛﺪامﻳﻚ از ﮔﺰﻳﻨﻪﻫﺎ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ؟‬

‫‪88 (4‬‬ ‫‪77 (3‬‬ ‫‪66 (2‬‬ ‫‪55 (1‬‬

‫‪ 44‬ـ دو ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي اول ﻳﻚﺳﺎن را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ اول ﺑﺮاﺑﺮ ‪ -3‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ دوم ﺑﺮاﺑﺮ ‪27‬‬

‫اﺳﺖ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ از ﺗﺼﺎﻋﺪ دوم‪ ،‬ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي ﭼﻨﺪم از ﺗﺼﺎﻋﺪ اول ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ؟‬

‫‪ (2‬ﻧﻮزدﻫﻢ‬ ‫‪ (1‬ﺑﻴﺴﺘﻢ‬

‫‪ (4‬ﺑﺎ ﻫﻴﭻﻛﺪام از ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﺗﺼﺎﻋﺪ اول ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻫﻴﺠﺪﻫﻢ‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪8‬‬

‫‪ 4‬ـ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺗﻘﺮﻳﺒﺎت اﻋﺸﺎري‬

‫را در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﻛﺴﺮي‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫اﺑﺘﺪا‬ ‫اﻋﺸﺎري‪،‬‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺒﺎت‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪي‬ ‫ﺑﻪدﺳﺖآوردن‬ ‫ﺑﺮاي‬
‫‪b‬‬
‫وﻗﺘﻲ ﻋﻤﻞ ﺗﻘﺴﻴﻢ ‪ a‬ﺑﺮ ‪ b‬را اﻧﺠﺎم دﻫﻴﻢ‪ ،‬ﺧﺎرجﻗﺴﻤﺘﻲ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ ﻛﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻳﻚ ﻋﺪد اﻋﺸﺎري‬

‫ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﺿﺎﻓﻪﻛﺮدن ﻫﺮ ﺑﺨﺶ از اﻋﺪاد اﻋﺸﺎري )ﻳﻌﻨﻲ دﻫﻢ‪ ،‬ﺻﺪم و ‪ (...‬دﻧﺒﺎﻟﻪاي از اﻋﺪاد اﻋﺸﺎري‬

‫ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ ﻳﺎ ﻣﻴﻞ ﭘﻴﺪا ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﮔﻮﻳﺎي‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫آن‬ ‫ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻲﺷﻮد‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﻪ‬
‫‪b‬‬
‫اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪي اﻋﺪاد اﻋﺸﺎري ﺑﺮاي اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﺜﺒﺖ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻋﺪد ‪ x‬ﻧﺰدﻳﻚ‬

‫ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻮﺿﻴﺤﺎت ﺑﻴﺎنﺷﺪه‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ‪ُ n‬ام اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻳﻚ ﻋﺪد اﻋﺸﺎري ﺑﺎ ‪ n‬رﻗﻢ اﻋﺸﺎر اﺳﺖ‬

‫و ﺟﻤﻠﻪي ﺑﻌﺪي ﺑﺎ اﺿﺎﻓﻪﻛﺮدن ﻳﻚ رﻗﻢ اﻋﺸﺎر ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻗﺒﻠﻲ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪي ‪ُ n‬ام‬
‫ﺗﻘﺮﻳﺐ اﻋﺸﺎري ‪ x‬ﺑﺎ ‪ n‬رﻗﻢ اﻋﺸﺎر اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺑﻪﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺑﺎ ﺗﻘﺴﻴﻢ ‪ 13‬ﺑﺮ ‪ 6‬دﻧﺒﺎﻟﻪي اﻋﺸﺎري ﻛﻪ ﺧﺎرجﻗﺴﻤﺖ آن ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﺪ ﺑﻪﺻﻮرت‬

‫‪2 /1 , 2 /16 , 2 /166 , 2 /1666 , ‬‬ ‫زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬

‫ﻧﺤﻮهي ﺳﺎﺧﺘﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺗﻘﺮﻳﺒﺎت اﻋﺸﺎري‪ :‬اﺑﺘﺪا ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻋﺪد ﮔﻮﻳﺎي ﻣﻮﺟﻮد‪ ،‬ﺑﻴﻦ‬
‫ﻛﺪام دو ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻗﺮار دارد‪ .‬ﺑﻴﻦ اﻳﻦ دو ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ را ﺑﻪ ده ﻗﺴﻤﺖ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﺮده و ﻋﺪد دﻫﻢ ﻋﺪد‬

‫اﻋﺸﺎري را اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺷﻴﻮه ﻋﺪد ﺻﺪم‪ ،‬ﻫﺰارم و ‪ ...‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورده و در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ‬

‫ﺑﺎ اﻓﺰودن ﻳﻚ ﻋﺪد اﻋﺸﺎري دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺗﻘﺮﻳﺒﺎت اﻋﺸﺎري ﻣﻮردﻧﻈﺮ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪.‬‬

‫ﻛﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﭘﻴﺪا‬ ‫را‬ ‫اﻋﺸﺎري‬ ‫از اﻋﺪاد‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪاي‬ ‫ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫‪4‬‬
‫‪7‬‬

‫ﻣﻴﻞ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺟﻤﻼت آن ﺑﻪ‬
‫‪7‬‬

‫ﺑﻴﻦ ﻛﺪام دو ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻗﺮار دارد؟‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫اول‪:‬‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪي‬
‫‪7‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﻴﻦ ﺻﻔﺮ و ‪.1‬‬
‫‪7‬‬
‫ﻣﺮﺣﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎل روي ﻣﺤﻮر اﻋﺪاد‪ ،‬ﻓﺎﺻﻠﻪي ﺑﻴﻦ ﺻﻔﺮ و ‪ 1‬را ﺑﻪ ‪ 10‬ﻗﺴﻤﺖ ﻣﺴﺎوي ﺗﻘﺴﻴﻢ‬

‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ x .‬ﺑﻴﻦ ﻛﺪام دو ﻋﺪد ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮد؟‬

‫در‬ ‫اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﻪ ﺟﺴﺖﺟﻮﻳﻤﺎن‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻲﺷﻮد‬ ‫دﻳﺪه‬ ‫ﺑﻪراﺣﺘﻲ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ‬ ‫را‬ ‫ﻣﺤﺪوده‬ ‫دﻗﻴﻖﺗﺮﻳﻦ‬ ‫ﺑﺎﻳﺪ‬
‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬
‫ﺑﻌﺪ از ‪ 0/5‬اداﻣﻪ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪.‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬
‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺣﺎﻻ ﻧﻮﺑﺖ رﻗﻢ دوم ﺑﻌﺪ از اﻋﺸﺎر اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎزهي ﺑﻴﻦ ‪ 0/7‬و ‪ 0/8‬را ﺑﻪ ‪ 10‬ﻗﺴﻤﺖ‬

‫ﻣﺴﺎوي ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻋﺪد ‪ 5‬ﺑﻴﻦ ﻛﺪام دو ﻋﺪد ﻗﺮار دارد؟‬

‫‪7‬‬

‫‪71‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪71 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪72‬‬
‫‪100‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫ﻣﺮﺣﻠﻪي ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﻣﻲرﺳﻴﻢ ﺑﻪ ﺳﻮﻣﻴﻦ رﻗﻢ ﺑﻌﺪ از اﻋﺸﺎر‪ .‬ﺑﺎزهي ﺑﻴﻦ ‪ 0/71‬و ‪ 0/72‬را ﺑﻪ ‪ 10‬ﻗﺴﻤﺖ‬

‫ﻣﺴﺎوي ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻋﺪد ‪ 5‬ﺑﻴﻦ ﻛﺪام دو ﺗﺎ ﻗﺮار دارد؟‬
‫‪7‬‬

‫‪711‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪712‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪713‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪714‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪715‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪1000‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0/‬‬ ‫‪714‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0/‬‬ ‫‪715‬‬
‫‪7‬‬

‫دﻧﺒﺎﻟﻪ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺑﺮاي‬ ‫ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻧﺰدﻳﻚ‬ ‫ﻣﻮردﻧﻈﺮ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻲﺷﻮد‬ ‫ﺳﺎﺧﺘﻪ‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪاي‬ ‫ﺑﺎﻻ‪،‬‬ ‫ﻣﺮاﺣﻞ‬ ‫ﺗﻜﺮار‬ ‫ﺑﺎ‬
‫‪7‬‬
‫ﺑﻪﺻﻮرت روﺑﻪرو اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪0 / 7 , 0 / 71 , 0 / 714,...‬‬

‫ﺑﺨﺶ ‪ / 1‬دﻧﺒﺎﻟﻪ و ﺗﺼﺎﻋﺪ ‪9‬‬

‫اﺳﺖ ﻛﻪ‪ ، (p,q)  1‬ﻣﺠﻤﻮع ارﻗﺎم ‪ q‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬ ‫‪p‬‬ ‫ﺑﻪﺻﻮرت‬ ‫‪ 45‬ـ ﻛﺴﺮ ﻣﺘﻌﺎرﻓﻲ ﻣﺴﺎوي ﻋﺪد اﻋﺸﺎري ‪1/ 69‬‬
‫‪q‬‬

‫‪7 (4 6 (3 5 (2 4 (1‬‬

‫‪ 46‬ـ ﻛﺴﺮ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺴﻂ دهﮔﺎﻧﻲ ‪ 0 /1333...‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪12‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪99‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪90‬‬

‫‪ 5‬ـ ﻧﺰدﻳﻚﺷﺪن ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻋﺪد‬

‫اﺑﺘﺪا ﺑﺎﻳﺪ ﺗﺸﺨﻴﺺ دﻫﻴﻢ در ﭼﻪ ﺻﻮرﺗﻲ ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻋﺪد ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﺟﻤﻼت‬

‫دﻧﺒﺎﻟﻪ را از ﻳﻚ ﻋﺪد ﻣﻌﻴﻦ ﻛﻢ ﻛﻨﻴﻢ و ﺗﻚﺗﻚ ﺟﻤﻼت ﺣﺎﺻﻞﺷﺪه ﺑﻪ ﻋﺪد ﺻﻔﺮ ﻧﺰدﻳﻚ ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ‬

‫ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﻪ آن ﻋﺪدي ﻛﻪ آن را از ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻛﻢ ﻛﺮدﻳﻢ‪ ،‬ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬

‫ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻋﺪد ‪ 4‬ﺑﺮ ‪ 3‬را در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ و آن را ﺑﻪ ﺻﻮرت دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺗﻘﺮﻳﺒﺎت اﻋﺸﺎري‬

‫‪1/ 3 , 1/ 33 , 1/ 333 , ...‬‬ ‫ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬

‫ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻔﺮ ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﻋﺪد‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺗﻔﺎﺿﻞ اﻳﻦ ﺟﻤﻼت از ﻋﺪد‬
‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫در دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺛﺎﺑﺖ ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﻫﻤﺎن ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻓﻘﻂ در اﻳﻦ ﻣﻮرد‬
‫ﺧﺎص اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻲﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ دﻗﻴﻘﺎً ﻫﻤﺎن ﻋﺪدي ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬

‫ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ؟‬ ‫ﻧﺰدﻳﻚ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫‪n‬‬ ‫اﻓﺰاﻳﺶ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﻲ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪاي‬ ‫ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي‬ ‫‪5‬‬

‫‪n‬‬

‫راه ﺷﻬﻮدي ﻛﺎر اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ از دﻧﺒﺎﻟﻪ را ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ و روﻧﺪ آن را دﻧﺒﺎل ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪a1  1 ,‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪a100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a1000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a10000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10000‬‬

‫ﻣﻲﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻫﺮ ﭼﻪ ﻣﻘﺪار ‪ n‬را ﺑﻴﺶﺗﺮ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ و ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ؛ ﻳﻌﻨﻲ‬

‫ﺑﻪ ﻋﺪد »ﺻﻔﺮ« ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬

‫ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش ‪2‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش ‪10‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي ﻧﻬﻢ را ﻫﻢ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫‪ 1‬ـ ﭼﺸﻢاﻧﺪاز‪ :‬در اﻳﻦ ﻣﺪل ﺗﺴﺖﻫﺎ‪ ،‬ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﻛﺎر اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ‬
‫ﺟﻤﻠﻪ از ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﻋﻤﻮﻣﻲ دادهﺷﺪه را ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺑﻪراﺣﺘﻲ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﺪ‬
‫ﺑﻪ ‪ n‬ﻫﺎي ﻓﺮد ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪ n :‬ﻓﺮد‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪92 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪811‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪ 10‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻣﻮردﻧﻈﺮ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﭼﻬﺎرم و ﻧﻬﻢ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 (2)n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪(2)2‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪(2)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪a4  a9  4 10 14‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي دوم ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 4‬ﺷﺪ‪ ،‬اﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ‬

‫‪ 3‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺮاي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ اﺑﺘﺪا ﺑﺎﻳﺪ ‪ n‬اي را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪي دادهﺷﺪه ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬

‫ﻛﻪ ﺑﻪازاي آن ‪ 2n  3‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 7‬ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﭼﻮن ﻣﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ‪ n‬را در‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(2)n1‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻗﺮار دﻫﻴﻢ و ﻣﻘﺪار ‪ an‬را ﺑﻪدﺳﺖ آورﻳﻢ‪ .‬ﭘﺲ‬ ‫‪n2‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ 2n  3  7‬را ﺣﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪2n  3  7  2n  4  n  2 :‬‬ ‫‪(2)11‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬اﮔﺮ در ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دادهﺷﺪه ‪ n‬را ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 2‬ﻗﺮار دﻫﻴﻢ‪،‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪(2)21‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﺮدهاﻳﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪a7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2(2)2‬‬ ‫)‪ 6(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(2)31‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬
‫‪22‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪‬‬ ‫‪( 2) n 1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪ 4‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬در دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﻫﻢ واﺑﺴﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪،‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺑﻪﺻﻮرت‬ ‫ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫دادهﺷﺪه‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪي‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﻲ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬

‫ﺑﺮاي ﺑﻪدﺳﺖ آوردن ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم آن دﻧﺒﺎﻟﻪ راه ﺳﺎده اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ از ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫اول ﻣﺮﺣﻠﻪﺑﻪﻣﺮﺣﻠﻪ ﺟﻠﻮ ﺑﺮوﻳﻢ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ ﺟﻤﻠﻪاي ‪ n‬اُم را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪22n‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻳﻦﻛﻪ ‪ b1  b2  2‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪ را ﺗﻚﺗﻚ‬ ‫‪n‬‬
‫ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﺟﻤﻠﻪي ﻫﺸﺘﻢ را ﺑﻪدﺳﺖ آورﻳﻢ‪ .‬ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ‪:‬‬ ‫آﻳﺎ در ﻣﻮرد اﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻧﻴﺎز ﺑﻪ ﺗﻌﻴﻴﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪي آن ﻫﺴﺖ؟ ﺻﺪ‬

‫‪b3  b2  b1 1 2  2 1 3‬‬ ‫درﺻﺪ ﺧﻴﺮ! ﭼﻮن در دﻧﺒﺎﻟﻪاي ﻛﻪ در ﺗﺴﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﻣﻨﻔﻲ‬
‫‪b4  b3  b2 1 3  2 1 4‬‬
‫‪b5  b4  b3 1 4  3 1 6‬‬ ‫ﻫﻢ دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد؛ وﻟﻲ ﺗﻤﺎﻣﻲ ﺟﻤﻼت اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻣﺜﺒﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ اﻳﻦ‬
‫‪b6  b5  b4 1 6  4 1 9‬‬
‫‪b7  b6  b5 1 9  6 114‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻫﻢ ﺑﻪ درد ﻣﺎ ﻧﻤﻲﺧﻮرد!‬
‫‪b8  b7  b6 114  9 1 22‬‬
‫راه ﺷﺎﻳﺪ ﺳﺎدهﺗﺮ؛ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﺳﻮم ﺑﻪ ﺑﻌﺪ اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ‪ ،‬از ﺟﻤﻊ دو ﺟﻤﻠﻪي ﻗﺒﻠﻲ‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4  (1)n1‬‬

‫ﻣﻨﻬﺎي ﻋﺪد ﻳﻚ ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4  (1)21‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(1)11‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4  (1)31‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 14 , 22‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﮔﺰﻳﻨﻪي ‪ 4‬ﻫﻢ ﺟﻮاب ﺗﺴﺖ ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 2‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺟﻤﻼت زوج‬

‫)‪ n‬ﻫﺎي زوج( ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي ﭼﻬﺎرم را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬

‫‪ n :‬زوج‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪4‬‬

‫‪11‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ‪ / 1‬ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش‬

‫‪ 7‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ a2  2a7‬اﺳﺖ‪ ،‬راﺑﻄﻪي ﺑﻴﻦ‪a1‬‬ ‫‪ 5‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اول از ﻫﻤﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪي اول دﻧﺒﺎﻟﻪي دادهﺷﺪه را‬
‫)ﺟﻤﻠﻪي اول دﻧﺒﺎﻟﻪ( و ‪) d‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ( را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪ :‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪a2  2a7 an a1(n1)da1  d  2(a1  6d)  2a1 12d‬‬ ‫‪a2  a1  3 1 3  4‬‬ ‫ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬
‫‪ a1  11d  a1 11d  0‬‬
‫‪a3  a2  5  4  5  9‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬از راﺑﻄﻪي‪ a1 11d  0‬ﭼﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪاي ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﺪ؟‬
‫‪ a1 11d‬ﻫﻤﺎن ‪ a12‬ﻳﺎ ﺟﻤﻠﻪي دوازدﻫﻢ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫‪a4  a3  7  9  7 16‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي دوازدﻫﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪a5  a4  9 16  9  25‬‬
‫ﭘﺲ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪﺻﻮرت ‪ 1, 4 , 9 , 16 , 25 , ...‬در ﻣﻲآﻳﺪ‪.‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲﺗﻮان ﺣﺪس زد ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم دﻧﺒﺎﻟﻪ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﺬور ‪n‬‬

‫‪ 8‬ـ ﭼﺸﻢاﻧﺪاز‪ :‬ﺑﺮاي اﻳﻦﻛﻪ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪ از ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ‪ ،‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪ n2‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪﺻﻮرت ‪ an  n2‬در ﻣﻲآﻳﺪ‪.‬‬

‫ﻣﺘﻮاﻟﻲ از ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﺟﻤﻠﻪي وﺳﻂ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ دو‬ ‫‪ 6‬ـ ﭼﺸﻢاﻧﺪاز‪ :‬ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪي اﺑﺘﺪاﻳﻲ ﻫﺮﻳﻚ از دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ را ﻣﺸﺨﺺ‬
‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬در ﺻﻮرﺗﻲﻛﻪ ﺗﻔﺎﺿﻞ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ دﻧﺒﺎﻟﻪي‬
‫ﺟﻤﻠﻪي دﻳﮕﺮ ﺑﺎﺷﺪ؛ ﻳﻌﻨﻲ ﺟﻤﻠﻪي وﺳﻂ واﺳﻄﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ دو ﺟﻤﻠﻪي‬
‫ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻧﻤﻲدﻫﺪ‪.‬‬
‫ﻗﺒﻞ و ﺑﻌﺪ ﺧﻮد ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ و آﺧﺮ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﭼﺸﻢاﻧﺪاز‪ ،‬ﻣﻘﺪار ‪ x‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫‪6x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11x 10‬‬ ‫دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﺷﺮط اﻳﻦﻛﻪ ﺗﻔﺎﺿﻞ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺷﺮط ﻻزم‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎﻳﻲ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻣﻲدادﻧﺪ‪ .‬ﻣﻘﺪار اﻳﻦ اﺧﺘﻼف‬
‫‪12x  8 11x 10  x  2‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ اﺳﺖ‪(.‬‬

‫‪ 9‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي وﺳﻂ واﺳﻄﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬

‫دو ﺟﻤﻠﻪي دﻳﮕﺮ اﺳﺖ‪ ،‬اﺑﺘﺪا ﻣﻘﺪار ‪ p‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7p ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a1  8 1 7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺟﻤﻼت ﻣﺘﻮاﻟﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ 29‬و ‪ 22‬و ‪ 15‬درﻣﻲآﻳﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺗﻔﺎﺿﻞ دو ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪ a1  3  7  4‬‬ ‫‪‬‬
‫‪a3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪a2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪d  22 15  29 22  7‬‬ ‫ﭘﺲ اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻧﻤﻲدﻫﺪ‪.‬‬

‫‪ 10‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﮔﺮ ‪ tp‬و ‪ tq‬دو ﺟﻤﻠﻪي دلﺧﻮاه از ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪a1  8 1 7 , a2 16  4 12 , a3  24  9 15‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﺮﻗﺮار‬ ‫آن‬ ‫ﻣﻮرد‬ ‫در‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tp  tq‬‬ ‫راﺑﻄﻪي‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪،‬‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻲ‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪12  7  5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬
‫‪pq‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪15 12 ‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ tp  q‬و ‪ tq  p‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻫﻢ ﭘ‪‬ﺮ!‬

‫‪d‬‬ ‫‪tp  tq‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪qp‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(p  q‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪pq‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ 11‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢاﻟﺰاوﻳﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﺿﺎﻓﻪ‬ ‫‪1‬‬ ‫در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﻪ اﻧﺪازهي‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪ‬ ‫ﻛﻪ ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ‬
‫‪8‬‬
‫اﮔﺮ دو ﺿﻠﻊ ﻗﺎﺋﻢ ﻣﺜﻠﺚ را ‪ x‬و ‪ y‬ﺑﻨﺎﻣﻴﻢ‪ ،‬در اﻳﻦﺻﻮرت ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬ ‫‪n‬‬
‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺗﺸﻜﻴﻞ‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﻲ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪ‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪15 ‬‬
‫‪x, y , 15 ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪I‬‬ ‫ﻋﺪدي ﻣﻲدﻫﺪ‪.‬‬

‫ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a2 1 ,‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪27‬‬
‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬
‫از ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬در ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢاﻟﺰاوﻳﻪ راﺑﻄﻪي ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرث ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺗﻔﺎوت ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﭘﺲ اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻫﻢ ﺗﺸﻜﻴﻞ‬

‫ﺑﻪ راﺑﻄﻪي ‪ I‬و راﺑﻄﻪي ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرث‪ ،‬ﻣﻘﺪار ‪ x‬و ‪ y‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻧﻤﻲدﻫﺪ‪.‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪(15  x)2‬‬ ‫‪ 225  4x2 225  x2 30x‬‬ ‫راه ﻛﻤﻲ ﻫﻮﺷﻤﻨﺪاﻧﻪ؛ راهﺣﻞ ﺳﺎدهﺗﺮ ﺣﻞ ﺗﺴﺖ اﻳﻦ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪﻋﻨﻮان‬
‫‪‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 4 225  5x2  30x  3 225 5 x2  6x 135‬‬ ‫ﺟﻮاب ﮔﺰﻳﻨﻪاي را اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻲﻛﺮدﻳﺪ ﻛﻪ در آن ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪ از‬

‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪9I‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪15 ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪12‬‬ ‫درﺟﻪي اول ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﻛﻪ از درﺟﻪي اول اﺳﺖ ﻫﻤﺎن‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x  y  9 12  21‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺣﺎﺻﻞ ‪ x  y‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫ﺳﺎدﮔﻲ!‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪12‬‬

‫‪ 17‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺗﻌﺪاد اﻋﺪاد دو رﻗﻤﻲاي را ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫‪ 12‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺟﺪﻳﺪ را ‪ d  d  3‬ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺸﻢ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي اول ﺑﺮاﺑﺮ ‪ a1  5d‬اﺳﺖ‪ .‬در‬
‫ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ آنﻫﺎ ‪ an  9n  2‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﺑﺘﺪا اوﻟﻴﻦ ﻋﺪد دو رﻗﻤﻲ و آﺧﺮﻳﻦ ﻋﺪد دو رﻗﻤﻲ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺟﺪﻳﺪ ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺸﻢ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪a6  a1  5d  a1  5(d  3)  a1  5d 15‬‬
‫‪an  9n  2 n1 a1  11‬‬ ‫اوﻟﻴﻦ ﻋﺪد دو رﻗﻤﻲ‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺸﻢ ‪ 15‬واﺣﺪ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪an  9n  2 100 9n  989 n 10 / 8‬‬
‫‪ 13‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﺴﺎوي ‪ ، t1  t7  t13  39‬راﺑﻄﻪاي‬
‫‪n n  10  a10  92‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻲﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي‪ a1‬ﺗﺎ ‪ a10‬دو رﻗﻤﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺗﻌﺪاد اﻳﻦ‬ ‫ﺑﻴﻦ ‪) t1‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ( و ‪) d‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ( ﭘﻴﺪا ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫اﻋﺪاد دو رﻗﻤﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 10‬ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬ ‫)‪t1  t7  t13  t1  (t1  6d)  (t1 12d‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪18d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 18‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺗﺴﺎوي دادهﺷﺪه را ﺳﺎده ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻳﻦﻛﻪ ‪ t5  5‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻳﻚ دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ و دو ﻣﺠﻬﻮل‬
‫ﻣﻲرﺳﻴﻢ‪ .‬ﺑﺮاﺳﺎس‪ ،‬آن ﻣﻘﺪار ‪ d‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫)‪a1  a2  a12  a1  (a1  d)  (a1 11d‬‬
‫‪ 3a1 12d  30  3(a1  4d)  30  a1  4d 10‬‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪ 6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﮕﺮ ﻧﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ a1  4d‬ﻫﻤﺎن ‪ a5‬اﺳﺖ؟ ﭘﺲ ﺟﻤﻠﻪي ﭘﻨﺠﻢ‬ ‫‪t1‬‬ ‫‪ 4d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 10‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ 14‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت اول و دوم و ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﺳﻮم‬
‫و ﭼﻬﺎرم در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪ 19‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬اﺧﺘﻼف دو ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫‪a1  a2  a1  (a1  d)  2a1  d‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪ d‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ در اﻳﻦﺟﺎ ﻣﻲﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬ ‫‪a 3  a4  (a1  2d)  (a1  3d)  2a1  5d‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬اﺧﺘﻼف ﺑﻴﻦ ‪ a3  a4‬و ‪ a1  a2‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 4d‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ‬
‫‪an  an1  d‬‬ ‫‪I‬‬
‫‪ d‬را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ راﺑﻄﻪي ﺑﻪدﺳﺖآﻣﺪه و ﻓﺮض ﻣﻮﺟﻮد در ﺻﻮرت‬
‫‪3‬‬
‫را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﺗﺴﺖ‪،‬‬ ‫‪(a 3‬‬ ‫)‪ a4‬‬ ‫‪ (a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 / 5 9 /‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪d‬‬

‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ap‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a n 1‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ap‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(p‬‬ ‫‪1)d‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 15‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺮاﺳﺎس ﻓﺮضﻫﺎي ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺴﺖ ﻣﻘﺪار‪ a1‬و ‪d‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪pd‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪pd‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪a12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪a10  a12  (a1  9d)  (a1 11d)  2a1  20d  25‬‬

‫‪ 20‬ـ ﭼﺸﻢاﻧﺪاز‪ :‬ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻧﺰوﻟﻲ‪ ،‬ﺗﺼﺎﻋﺪي اﺳﺖ ﻛﻪ در آن‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2a1‬‬ ‫‪50  25‬‬ ‫‪2a1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﻴﺰان ﺛﺎﺑﺖ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻗﺒﻞ ﻛﺎﻫﺶ ﭘﻴﺪا‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪/‬‬

‫ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻧﺰوﻟﻲ‪ ،‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻣﻨﻔﻲ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ‪ a1‬و ‪ d‬ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي ﺑﻴﺴﺖ و ﻳﻜﻢ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺣﺴﺎب‬
‫‪a21  a1  20d  12 / 5  20d  12 / 5  50  37 / 5‬‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﮔﺮ ‪ x, y,z‬اﻳﻦ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ‬

‫اﺳﺖ )ﭼﺮا؟( دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪xz‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫اﺳﺖ‪،‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫و‬ ‫اﻳﻦﻛﻪ‪a1 1‬‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪:‬‬ ‫‪ 16‬ـ‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x  y  z  27  (x  z)  y  27  2y  y  27‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪ 3y  27  y  9‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎﺻﻞ ﻛﺴﺮ دادهﺷﺪه را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫اﮔﺮ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ را ‪ d‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ‪ x ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ y  d‬و ‪ z‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ y  d‬ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪a15  a17  a19‬‬ ‫‪(a15  a19 )  a17‬‬ ‫‪ 22aa1375‬‬ ‫‪ a17‬‬ ‫‪33aa1375‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ داﻧﺴﺘﻦ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب اﻳﻦ ‪ 3‬ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻣﻘﺪار ‪ d‬را‬ ‫‪a 33  a 35  a 37‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a 33  a 37 )  a 35‬‬ ‫‪ a35‬‬ ‫‪‬‬

‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪16d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪35‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪34d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪xyz  288  (y  d)y(y  d)  288 y9 (9  d)9(9  d)  288‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪35‬‬
‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪71‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9 (9  d)(9  d)  32  81 d2  32  d2  81 32  49‬‬ ‫ﺗﻮﺿﻴﺢ؛ ﻣﺘﻮﺟﻪ ﺷﺪﻳﺪ ﭼﻪﻛﺎر ﻛﺮدﻳﻢ ﻛﻪ؟ ﺑﻪﺟﺎي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي ﻣﻘﺪار ‪a15  a19‬‬

‫‪d0‬‬ ‫دو ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻘﺪار ‪ a17‬و ﺑﻪﺟﺎي ﻣﻘﺪار ‪ a33  a37‬دو ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻘﺪار ‪ a35‬را ﻗﺮار‬
‫دادﻳﻢ‪ .‬ﻳﻚ ﻛﻢ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت را ﺳﺎدهﺗﺮ ﻣﻲﻛﻨﺪ‪.‬‬
‫‪d  7‬‬

‫‪13‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ‪ / 1‬ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻘﺪار ‪ a13  a15‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪ 21‬ـ اﺧﺘﻼف دو ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬

‫‪a13  a15  (a1 12d)  (a1 14d)  2a1  26d‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ‪ d‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﺪﻳﺪ و ‪ d‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬

‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪26(‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اوﻟﻴﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ d ،‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 26‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﺪﻳﺪ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫)‪ 9d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪4d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪(1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪,‬‬ ‫(‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪,‬‬ ‫(‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ d  1‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬
‫‪ :‬ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﺪﻳﺪ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ 22‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﺑﺘﺪا ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪ an‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي ‪ d‬و ﺑﺎ داﺷﺘﻦ‪ an ، a1‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d  a2  a1  2  (7)  2  7  9‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪an  a1  (n 1)d  7  (n 1) 9  9n  9  7  9n 16‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻧﻮد و ﺳﻮم ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪ an  9n 16‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺮاي ﺗﻌﻴﻴﻦ اوﻟﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﺑﺰرگﺗﺮ از ‪ ،420‬ﺑﺎﻳﺪ ‪ n‬اي را‬
‫‪a93‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪ 92d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ 20‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬
‫ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪازاي آن‪ ،‬ﻧﺎﻣﺴﺎوي ‪ an  420‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪ 27‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دو ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬
‫‪an  420  9n 16  420  9n  436‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪,9‬‬ ‫‪, 13‬‬ ‫‪, 17‬‬ ‫ﺟ‪‬ﻤﻠ‪‬ﻪي‪‬ﻋﻤ‪‬ﻮﻣ‪‬ﻲ ‪,...‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5  4n  4  4n 1‬‬ ‫‪an  48/  n n  49‬‬
‫‪4‬‬ ‫‪,7‬‬ ‫‪, 10‬‬ ‫‪, 13‬‬ ‫ﺟ‪‬ﻤﻠ‪‬ﻪي‪‬ﻋﻤ‪‬ﻮﻣ‪‬ﻲ‪,...‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4  3n  3  3n 1‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺑﻪازاي ‪ n  49‬اوﻟﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﺑﺰرگﺗﺮ از ‪ 420‬ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪.‬‬

‫اوﻟﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﺑﺮاﺑﺮ اﻳﻦ دو ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﻤﻠﻪي دوم ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ‪ 13‬اﺳﺖ‪ .‬دوﻣﻴﻦ‬ ‫‪a49  (9 49) 16  44116  425‬‬ ‫‪ a49‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫ﻣﻘﺪار ﻣﺸﺘﺮﻛﻲ ﻛﻪ در اﻳﻦ دو ﺗﺼﺎﻋﺪ وﺟﻮد دارد ﻋﺪد ‪ 25‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬

‫‪13 , 25 , ‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪ 23‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 13‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫‪an  a1  (n 1)d  63  (n 1)(4)  4n  63  4  4n  67‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻠﻪﻫﺎﻳﻲ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪازاي آن راﺑﻄﻪي‬
‫‪ 12‬اﺳﺖ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ از ‪ 50‬اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪13,25,37,49‬‬
‫‪ an  0‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪ 4‬ﺟﻤﻠﻪي ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ از ‪ 50‬دارد‪.‬‬ ‫‪an  0  4n  67  0  4n  67  n 16 / 75‬‬
‫}‪n n {1,2, 3,...,16‬‬
‫‪ 28‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ دو ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﻣﻲﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‪:‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ داراي ‪ 16‬ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪a1  3 , d1  2  an  3  2n  2  2n 1‬‬
‫‪b1  2 , d2  3  bn  2  3n  3  3n 1‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎﻻ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﺪﻳﺪ )ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﻣﺸﺘﺮك( را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬

‫‪ : 3 , 5 , 7 , 9 , 11, ‬ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ اول‬ ‫‪ 24‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﻘﺪار ‪ d‬ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪ : 2 , 5 , 8 , 11, ‬ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ دوم‬ ‫‪a3  a1  2d  9  5  2d  2d  4  d  2‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ a7  a9  2a8‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرت دادهﺷﺪه‬
‫‪ : 5 , 11, ‬ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﺪﻳﺪ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫ﭘﺲ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺟﺪﻳﺪ ﺗﺼﺎﻋﺪي اﺳﺖ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 5‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪.6‬‬
‫)‪a7  a8  a9  (a7  a9 )  a8  2a8  a8  3a8  3(a1  7d‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﺑﻴﺴﺘﻢ ﻫﺮ دو دﻧﺒﺎﻟﻪ را ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪ 3(5 14)  3 19  57‬‬

‫‪an  2n 1 n20 a20  41‬‬ ‫‪ 25‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي‪ a1‬و ‪ d‬را در دﺳﺘﻮر ﻛﺎر ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬
‫‪bn  3n 1 n20 b20  59‬‬
‫ﭘﺲ اﻳﻦ دو دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺣﺪاﻛﺜﺮ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺗﺎ ﻋﺪد ‪ 41‬ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺸﺘﺮك داﺷﺘﻪ‬ ‫‪a5  a6  (a1  4d)  (a1  5d)  2a1  9d  3‬‬
‫‪a8  a9  (a1  7d)  (a1  8d)  2a1 15d  2‬‬
‫‪cn  5  6(n 1)  6n 1 41 6n  42‬‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ؛ ﻳﻌﻨﻲ‪:‬‬
‫ﺑﺎ ﻛﻢ ﻛﺮدن ﺗﺴﺎوي اول از ﺗﺴﺎوي دوم‪ ،‬ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫‪ n  7  n 1,2,...,7‬‬ ‫ﭘﺲ ‪ 7‬ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺸﺘﺮك ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫‪5,11,17,23,29, 35,41‬‬

‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ؛ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺴﺘﻴﻢ از ﻫﻤﺎن اول ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي آﻏﺎزﻳﻦ ﻫﺮ دو ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫را ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ و دور ﻋﺪدﻫﺎي ﻣﺸﺘﺮك داﻳﺮه ﺑﻜﺸﻴﻢ! اﻳﻦ ﻫﻤﻪ ﻫﻢ ﺧﻮدﻣﺎن را‬ ‫‪5‬‬ ‫‪21‬‬
‫‪2a1‬‬ ‫(‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2a1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2a1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬
‫ﺧﺴﺘﻪ ﻧﻤﻲﻛﺮدﻳﻢ!‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪14‬‬

‫‪a1 1 a 1‬‬ ‫‪ 29‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬دو ﻋﺪد را ‪ a‬و ‪ b‬در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ‪ a .‬اﮔﺮ ﺟﻤﻠﻪي‬
‫)‪a2  4  2a  4  2(a  2‬‬ ‫اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ ﺑﻴﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﭘﻨﺞ واﺳﻄﻪي ﻋﺪدي درج‬
‫)‪a3 16  4a 16  4(a  4‬‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ‪ b‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﭘﺲ ‪a  a1‬‬
‫ﺑﺎز ﻫﻢ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ اﻋﺪاد ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ از ﻳﻚ‬
‫و ‪ b  a7‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺮاﺳﺎس ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮي ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ ،‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ‬

‫‪a1 1 a 1‬‬ ‫ﻓﺮض اﻧﺠﺎمﺷﺪه در ﺻﻮرت ﺗﺴﺖ ﺑﻪراﺣﺘﻲ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ‪:‬‬
‫)‪a2  2  2a  2  2(a 1‬‬
‫‪a3  3  4a  3‬‬ ‫‪b  a  720  a7  a1  720  6d  720  d  120‬‬

‫ﺑﺎز ﻫﻢ راﺑﻄﻪي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ اﻳﻦ اﻋﺪاد ﺑﺮﻗﺮار ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬ ‫‪ 30‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﭼﻮن ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻧﺰوﻟﻲ اﺳﺖ و ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ‬

‫ﭼﻬﺎر واﺳﻄﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﻴﻦ ‪ 19‬و ‪ 39‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ را‬

‫‪a1 1 a 1‬‬ ‫ﻋﺪد ﺑﺰرگﺗﺮ ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪ 39‬و ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺸﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ را )ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 39‬و‬

‫)‪a2  2  2a  2  2(a 1‬‬ ‫‪ 4‬ﺟﻤﻠﻪ ﻫﻢ واﺳﻄﻪﻫﺎي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در ﻣﺠﻤﻮع ‪ 5‬ﺟﻤﻠﻪ ﻗﺒﻞ از ‪19‬‬

‫)‪a3  4  4a  4  4(a 1‬‬ ‫دارﻳﻢ( ﻋﺪد ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪ 19‬در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ‪.‬‬

‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻧﺰوﻟﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪5d  a6  a1 19  39  20  d  4‬‬
‫ﭘﺲ اﻳﻦ اﻋﺪاد ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ 2‬ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﻴﻦ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻌﻴﻴﻦ ‪ 4‬واﺳﻄﻪي ﻋﺪدي ﺑﻴﻦ ‪ 19‬و ‪ 39‬ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ را‬

‫ﮔﺰﻳﻨﻪ ﺟﻮاب ﺗﺴﺖ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪a2  a1  d  39  4  35‬‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮع واﺳﻄﻪﻫﺎي ﻋﺪدي ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪ 33‬ـ ﭼﺸﻢاﻧﺪاز‪ :‬اﮔﺮ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ از ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ داﺷﺘﻪ‬ ‫‪a3  a2  d  35  4  31‬‬
‫‪a4  a3  d  31 4  27‬‬
‫ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي وﺳﻂ‪ ،‬واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ دو ﺟﻤﻠﻪي دﻳﮕﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫‪a5  a4  d  27  4  23‬‬
‫‪35  31 27  23 116‬‬
‫ﻣﺠﺬور ﺟﻤﻠﻪي وﺳﻂ ﺑﺮاﺑﺮ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﺟﻤﻠﻪي ﻗﺒﻞ و ﺑﻌﺪش اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ »ﭼﺸﻢاﻧﺪاز« دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪(6x)2  (7x  2)(5x 1)  35x2  3x  2‬‬ ‫‪ 31‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪ 36x2  35x2  3x 2  x2  3x  2  0‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪6q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪12‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪ (x  2)(x 1)  0 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1.q n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)n‬‬ ‫‪1‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻳﻦ دو ﻣﻘﺪار ﺑﺮاي ‪ x‬ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﭘﻨﺠﻢ و ﺷﺸﻢ‪:‬‬

‫‪ : 9,6,4‬ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ ‪x  1‬‬ ‫ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)51‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪81‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬
‫ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫‪a5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ : 16,12,9‬ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ ‪x  2 ‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)61‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪243‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪8‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﭘﻨﺠﻢ و ﺷﺸﻢ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬
‫‪4‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪162‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪405‬‬
‫ﭘﺲ ‪ 2‬ﻣﻘﺪار ﻗﺎﺑﻞﻗﺒﻮل ﺑﺮاي ‪ x‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬ ‫‪a5‬‬ ‫‪ a6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ 34‬ـ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‪ an  a1qn1‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻘﺪار‬ ‫‪ 32‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ a1:‬و ‪ a2‬و ‪ a3‬را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬
‫‪a1  a , a2  2a , a3  4a‬‬
‫) ‪a2a4  2a5  (a1q)(a1q3 )  2(a1q4‬‬ ‫‪ a1‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﮔﺰﻳﻨﻪﻫﺎ را ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﺪام ﮔﺰﻳﻨﻪ ﺳﻪ‬

‫‪ a12q4  2a1q4  a1  2‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ 35‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ‪ a1‬و ‪ q‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻳﺎ ﻫﻤﺎن‬ ‫‪a1 1 a 1‬‬
‫‪a2  a1  a  2a  3a‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ an‬را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪.‬‬ ‫‪a3  a2  4a  2a  6a‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬
‫اﻳﻦ ﮔﺰﻳﻨﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﻤﻲدﻫﺪ‪.‬‬
‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1q n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)n1‬‬
‫‪3‬‬

‫‪15‬‬ ‫ﺑﺨﺶ ‪ / 1‬ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ b2 :‬واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ b1‬و ‪ b3‬اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ a6 :‬و ‪ a5‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫)‪b22  b1b3  (a1  6d)2  (a1  2d)(a1  8d‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪9(103254‬‬ ‫‪1024‬‬
‫‪ a12 12a1d  36d2  a12 10a1d 16d2‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪9‬‬ ‫‪)61‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪9‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪27‬‬
‫‪ 2a1d  20d2  a1  10d‬‬
‫‪a5‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)51‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪9‬‬ ‫‪256‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪256‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ an :‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪9‬‬
‫‪an  a1  (n 1)d  0  10d  (n 1)d  0  n  11‬‬
‫‪1024‬‬ ‫‪256‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ a6  a5 :‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪27‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ 102427 768‬‬
‫‪a6‬‬ ‫‪ a5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪256‬‬
‫‪27‬‬

‫‪ 40‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺟﻤﻼت ‪ُ n‬ام ﺗﺼﺎﻋﺪﻫﺎي اول و دوم‪:‬‬ ‫‪ 36‬ـ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ q  2‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرت ﺧﻮاﺳﺘﻪﺷﺪه‬
‫ﺑﻪراﺣﺘﻲ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪ : a1  4a , q1  q  an  a1q1n1  4aqn1‬ﺗﺼﺎﻋﺪ اول‬
‫‪ : a1  a , q2  q  an  a2q2n1  aqn1‬ﺗﺼﺎﻋﺪ دوم‬ ‫‪a1a 7‬‬ ‫) ‪a1(a1q6‬‬ ‫‪a12q6‬‬ ‫‪ q4‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪a1a 7‬‬ ‫‪ 24‬‬ ‫‪16‬‬
‫‪a22‬‬ ‫‪(a1q)2‬‬ ‫‪a12‬‬ ‫‪a22‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻧﺴﺒﺖ ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم ﺗﺼﺎﻋﺪ اول ﺑﻪ دوم ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 4‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 41‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺮاي ﺗﻌﻴﻴﻦ واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد‪ ،‬آن دو ﻋﺪد‬ ‫‪ 37‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫را در ﻫﻢ ﺿﺮب ﻛﺮده و از ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﺟﺬر ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬ﻣﻘﺪار ﺣﺎﺻﻞﺷﺪه‬ ‫‪a9  5a6  a1q8  5a1q5  q3  5‬‬
‫ﻫﻤﺎن واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬ ‫ﻻزم ﻧﻴﺴﺖ ﺑﺮاي ﺑﻪدﺳﺖآوردن ‪ ،q‬از ‪ 5‬رﻳﺸﻪي ﺳﻮم ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﻓﻌ ًﻼ‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬اﮔﺮ واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد را ﺑﺎ ‪ c‬ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ‪c‬‬ ‫ﻫﻤﻴﻦﻃﻮري ﺑﻪ ﺣﻞ ﺗﺴﺖ اداﻣﻪ ﻣﻲدﻫﻴﻢ!‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫را ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪a11‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻧﺴﺒﺖ‬
‫‪c2  (22  5  72 )  (22  53 112 )  24  54  72 112‬‬ ‫‪a5‬‬
‫‪ c  22  52  7 11100 77  7700‬‬
‫‪a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1q10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(q3 )2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪ 25‬‬
‫‪a5‬‬ ‫‪a1q4‬‬

‫دﻳﺪﻳﺪ ﻻزم ﻧﺒﻮد ﺗﻐﻴﻴﺮاﺗﻲ در ﺗﺴﺎوي ‪ q3  5‬ﺑﺪﻫﻴﻢ!!‬

‫‪ 42‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ‪ 9‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ ﻫﺸﺖ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪ 38‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﭼﻮن ﺟﻤﻼت اول و ﭘﻨﺠﻢ و ﻳﺎزدﻫﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬

‫‪a1a2 ...a 9‬‬ ‫‪ a19q12...8‬‬ ‫)‪8(9‬‬ ‫‪ a19q36‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ از ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺻﻌﻮدي ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي‬
‫‪ a19q 2‬‬

‫‪ (a1q4 )9  8  a1q4  9 8  3 2‬‬ ‫ﭘﻨﺠﻢ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ دو ﺟﻤﻠﻪي اول و ﻳﺎزدﻫﻢ‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ‪ a2.a4.a6.a8‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬
‫‪a2.a4 .a6 .a8  a14q1357  a14q16‬‬
‫)‪a25  a1a11  (a1  4d)2  a1(a1 10d‬‬
‫‪(a1q4 )4  (3 2)4  23 2‬‬ ‫‪ a12  8a1d 16d2  a12 10a1d‬‬
‫‪ 2a1d 16d2  a1  8d‬‬
‫‪ 43‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 3‬و ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‪ ،‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ را‬

‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 192‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪b1  a1  8d‬‬ ‫ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪:‬‬
‫‪a7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪192‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q6‬‬ ‫ﻳﺎ ‪ q  2‬‬ ‫‪q  2‬‬ ‫‪b2  a5  a1  4d  8d  4d 12d‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪b3  a11  a1 10d  8d 10d 18d‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﺗﻤﺎم ﮔﺰﻳﻨﻪﻫﺎي ﺗﺴﺖ ﻣﻨﻔﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ q ،‬را ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪b3‬‬ ‫‪12d‬‬
‫‪b1‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪8d‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪ -2‬در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ و ﺑﺎ ﺗﻌﻴﻴﻦ ‪ 5‬واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ را ﺣﺴﺎب‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪3 ,  6 , 12 , 24 , 48 ,  96 , 192‬‬ ‫‪ 39‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺗﻌﻴﻴﻦ راﺑﻄﻪي ﺑﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي اول و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬

‫)‪)5(2)(2‬وا‪2‬ﺳ‪(‬ﻄ‪‬ﻪ‪‬ي‪)‬ﻫ‪2‬ﻨ‪‬ﺪ(ﺳ‪‬ﻲ)‪(2)(2‬‬ ‫‪b1  a 3  a1  2d‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‪:‬‬
‫‪  6 12  24  48  96  66‬ﻣﺠﻤﻮع واﺳﻄﻪﻫﺎي ﻫﻨﺪﺳﻲ‬
‫‪b2  a7  a1  6d‬‬
‫‪b3  a9  a1  8d‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪16‬‬

‫ﺣﺎﻻ اﮔﺮ ﺗﻔﺎﺿﻞ ‪ 100x‬و ‪ x‬را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﻢ ﻗﺴﻤﺖ اﻋﺸﺎري ﻋﺪد ﻣﻮردﻧﻈﺮ‬ ‫‪ 44‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﻋﻤﻮﻣﻲ دو ﺗﺼﺎﻋﺪ‪:‬‬
‫‪a1  a , q  3  an  a1qn1  a1(3)n1‬‬
‫ﺣﺬف ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪a1  a , q  27  an  a1qn1  a(27)n1‬‬

‫‪100x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪99x‬‬ ‫‪ 169‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪1/‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪ 168‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪168‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ دوم‪:‬‬
‫‪99‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪a7  a(27)71  a(33 )6  318 a‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﭼﻮن‪ (p,q) 1‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺎﻳﺪ ﻛﺴﺮ ﺑﻪدﺳﺖآﻣﺪه را ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣﻜﺎن‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪاي از ﺗﺼﺎﻋﺪ اول ﻛﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 318 a‬اﺳﺖ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪318 a  (3)n1a  n 1 18  n  19‬‬
‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪168‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪(56, 33) 1‬‬ ‫ﺳﺎده ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ؛ ﭼﻮن ‪ n 118‬زوج اﺳﺖ ﻣﻘﺪار ‪ (3)18  318‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪q‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪3  3 6‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ارﻗﺎم ‪ q‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪ 46‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﺑﺘﺪا ﻋﺪد اﻋﺸﺎري دادهﺷﺪه را ﺑﻪﺻﻮرت ﻳﻚ ﻋﺪد‬

‫‪x  0 /1333...  0 /13‬‬ ‫اﻋﺸﺎري ﻣﺘﻨﺎوب ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬ ‫را ﻋﺪدي ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ x‬در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬ﺑﺮاي‬ ‫‪p‬‬ ‫ﻛﺴﺮ‬
‫‪q‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎﻻ ﺑﺎ راهﻛﺎر ﺣﺬف ﻗﺴﻤﺖ اﻋﺸﺎري ﻋﺪد دادهﺷﺪه‪ ،‬ﻛﺴﺮ ﻣﻮﻟﺪ‬ ‫ﻳﻜﻢ‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي‬ ‫‪ 45‬ـ‬

‫آنرا ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪x  0 /13 1010x 1/ 3 10100x 13 / 3 :‬‬ ‫اﻳﻦﻛﻪ از ﺷﺮّ ﻗﺴﻤﺖ اﻋﺸﺎري ﺧﻼص ﺷﻮﻳﻢ ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ ﻋﻤﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪100x 10x  90x 13 / 3 1/ 3 12  x  12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1/‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪169‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪69‬‬
‫‪90‬‬
‫‪‬‬

‫ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش ‪17‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش ‪22‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ‬

‫‪ 1‬ـ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ را ﺑﺎ ‪ Sn‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻴﻢ؛ ﻳﻌﻨﻲ در واﻗﻊ دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪Sn  a1  a2    an‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ‬

‫اﮔﺮ ﺟﻤﻠﻪي ﻧﺨﺴﺖ دﻧﺒﺎﻟﻪ را ‪ a‬در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ d‬ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ از راﺑﻄﻪي زﻳﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪:‬‬

‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[2a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫]‪1)d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an‬‬ ‫)‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 1‬در ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺟﻤﻠﻪي ﭘﻨﺠﻢ ‪ -19‬و ﺟﻤﻠﻪي دﻫﻢ ‪ 31‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي‬

‫)ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻲ ﻋﻤﻮﻣﻲ رﺷﺘﻪي ﺗﺠﺮﺑﻲ(‬ ‫اﺑﺘﺪاي اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ را ﺑﻪدﺳﺖ آورﻳﺪ‪.‬‬

‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ a5  19‬و ‪ a10  31‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ دﻧﺒﺎﻟﻪ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪a10  a5  5d  5d  31 (19)  3119  50  d  10‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي اول دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪ a1‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪a5  a1  4d  19  a1  40  a1  59 :‬‬
‫ﺣﺎﻻ دﻳﮕﺮ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول دﻧﺒﺎﻟﻪ را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪S20  220[118  (19 10)]  10(118 190)  10 72  720‬‬

‫وﻳﮋﮔﻲﻫﺎي ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎي ﺣﺴﺎﺑﻲ‬

‫‪ 1‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻛﻪ از ﻋﺪد ‪ 1‬ﺷﺮوع ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪n(n  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻓﺮد ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻛﻪ از ﻋﺪد ‪ 1‬ﺷﺮوع ﺷﺪه ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪1 3  5    (2n 1)  n2‬‬
‫‪ 3‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ زوج ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻛﻪ از ﻋﺪد ‪ 2‬ﺷﺮوع ﺷﺪه ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫ﻣﻮرد ‪ 3‬را ﻣﻲﺗﻮان از ‪ 1‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬ ‫)‪2  4  6    2n  n(n  1‬‬
‫‪ 4‬اﮔﺮ ‪ Sn‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ و ‪ Sn1‬ﻣﺠﻤﻮع‪ n 1‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﻫﻤﺎن‬
‫ﭼﻪﮔﻮﻧﻪ؟‬
‫‪an  Sn  Sn1‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ‪ُ n‬ام ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪ an‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪Sn  a1  a2  a 3    an1  an‬‬ ‫دﻟﻴﻞ ﻣﻮرد ‪ 4‬را ﻣﻲداﻧﻴﺪ؟! ﻛﺎري ﻧﺪارد ﻛﻪ! ﻧﮕﺎه ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬

‫‪Sn1  a1  a2  a 3    an1‬‬

‫ﺣﺎﻻ ﻳﻚ ﺗﻔﺮﻳﻖ ﺳﺎده‪ ،‬ﻣﺎ را ﺑﻪ راﺑﻄﻪي ﻣﻬﻢ ‪ an  Sn  Sn1‬ﻣﻲرﺳﺎﻧﺪ!‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪18‬‬

‫دو ﺷﻜﻞ زﻳﺮ را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮﺗﺎن ﻫﺮ ﻛﺪام از ﺷﻜﻞﻫﺎ‪ ،‬اﺛﺒﺎت ﺷﻬﻮدي ﻛﺪامﻳﻚ از راﺑﻄﻪﻫﺎي‬
‫ﺑﺎﻻﺳﺖ؟‬

‫‪) .........................................‬ﺷﻤﺎ اﻻن ﻣﺜ ًﻼ دارﻳﺪ ﻓﻜﺮ ﻣﻲﻛﻨﻴﺪ!( ‪...........................................‬‬
‫‪..............................................................................................................................................................‬‬

‫‪ 1‬ـ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم آن‪ an  2n 1‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﻫﻔﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪63 (4 56 (3 49 (2 42 (1‬‬

‫‪ 2‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺟﻤﻠﻪي ﭘﻨﺠﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 3‬و ﻫﺮ ﺟﻤﻠﻪ از ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺎﻗﺒﻞ ﺧﻮد ﺑﻪ اﻧﺪازهي ‪ 1‬ﻛﻢﺗﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ 10‬ﺟﻤﻠﻪي اول‬
‫‪2‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪(82‬‬ ‫آن ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪30 (4 27/5 (3‬‬ ‫‪25 (2 22/5 (1‬‬

‫‪ 3‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ‪ a6  a19  25‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻴﺴﺖوﭼﻬﺎر ﺟﻤﻠﻪي اول اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪350 (4‬‬ ‫‪300 (3‬‬ ‫‪250 (2‬‬ ‫‪200 (1‬‬

‫‪ 4‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺟﻤﻼت دوم و ﻫﺸﺘﻢ ﻗﺮﻳﻨﻪاﻧﺪ )‪ (a2  a8  0‬و ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﭼﻬﺎر اﺳﺖ )‪ ، (a7  4‬ﻣﺠﻤﻮع ﻫﺸﺖ‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(82‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي اول ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪-8 (4 4 (3 0 (2 18 (1‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪(81‬‬ ‫‪ 5‬ـ ﻣﺠﻤﻮع ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺮ ‪ 6‬ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 100‬و ‪ 200‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪2550 (4‬‬ ‫‪2520 (3‬‬ ‫‪2450 (2‬‬ ‫‪2420 (1‬‬

‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﭘﺎﻧﺰده‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﻋﺪدياﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫از‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﭼﻬﺎر‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪...‬‬ ‫اﻋﺪاد‬ ‫ـ‬ ‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪62/5 (2‬‬ ‫‪57 (1‬‬
‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 86‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬

‫‪68 (4 67/5 (3‬‬

‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺳﻲام‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺧﺘﻢ‬ ‫و‬ ‫دﻫﻢ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫از‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫ﻣﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﻲ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻲ‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫در‬ ‫ـ‬ ‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪231 (4‬‬ ‫‪210 (3‬‬ ‫‪189 (2‬‬ ‫‪168 (1‬‬

‫)آزاد ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪(85‬‬ ‫‪ 8‬ـ ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ از ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ‪ 2 , 6 , 10 , ...‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻴﺰدﻫﻢ اﺳﺖ؟‬

‫‪ 8 (4‬ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ 5 (3‬ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ 6 (2‬ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ 10 (1‬ﺟﻤﻠﻪ‬

‫‪ 9‬ـ ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ‪ 18 , 15 , 12 , ...‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ؟‬

‫‪ 13 (4‬ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ 14 (3‬ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ 10 (2‬ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ 11 (1‬ﺟﻤﻠﻪ‬

‫‪ 10‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﻧﺼﻒ ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻮم اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪي اول از اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ؟‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪ 88‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫‪19 (2‬‬ ‫‪18 (1‬‬

‫‪21 (4 20 (3‬‬

‫‪ 11‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ S5  a1  a2    a5  100‬و ‪ ، S4  a1    a4  44‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪18 (4‬‬ ‫‪9 (3 -18 (2‬‬ ‫‪-9 (1‬‬

‫‪ 12‬ـ اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﻫﺸﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول از ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ a1  1 2p‬و ‪ a2  p 1‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 60‬ﺑﺎﺷﺪ )‪ ، (S8  60‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻪﻗﺪر‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(88‬‬ ‫اﺳﺖ؟‬

‫‪-7 (4 -9 (3 7 (2 9 (1‬‬

‫‪‬‬

‫ﺑﺨﺶ ‪ / 2‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ ‪19‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 13‬ـ اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ از راﺑﻄﻪي )‪ Sn  n(3n  4‬ﺑﻪدﺳﺖ ﺑﻴﺎﻳﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻪ ﻣﻘﺪاري ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ؟‬
‫‪45 (4 43 (3 41 (2 39 (1‬‬

‫‪ 14‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻬﺎر ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 15‬و ﻣﺠﻤﻮع ﭘﻨﺞ ﺟﻤﻠﻪي ﺑﻌﺪي آن ‪ 30‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي ﻳﺎزدﻫﻢ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 85‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫‪8/5 (3‬‬ ‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪8 (2 7/5 (1‬‬
‫‪9 (4‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪(85‬‬ ‫‪ 15‬ـ ﻣﺠﻤﻮع اﻋﺪاد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻓﺮد‪ ،‬ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺮ ‪ 3‬و ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ از ‪ 101‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪884 (4‬‬ ‫‪867 (3‬‬ ‫‪852 (2‬‬ ‫‪816 (1‬‬

‫‪ 16‬ـ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺻﻌﻮدي ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ از ﺳﻴﺰده ﺟﻤﻠﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع اﻳﻦ ﺟﻤﻼت ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 325‬اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ اﺧﺘﻼف‬

‫ﺟﻤﻠﻪي اول و آﺧﺮ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 48‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻮم ﭼﻪﻗﺪر ﻣﻲﺷﻮد؟‬
‫‪15 (4 9 (3 6 (2 3 (1‬‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(87‬‬ ‫‪ 17‬ـ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ 27 , x ,  21 , ...‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﻣﻨﻔﻲ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪-270 (4‬‬ ‫‪-75 (3‬‬ ‫‪-150 (2‬‬ ‫‪-135 (1‬‬

‫‪ 18‬ـ اﮔﺮ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي اول آن )‪ Sn  n(3n  2‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪12n  2 (4‬‬ ‫‪12n  2 (3‬‬ ‫‪6n 1(2‬‬ ‫‪6n 1(1‬‬

‫‪ 19‬ـ ﻣﺠﻤﻮع ‪ 2n 1‬ﺟﻤﻠﻪي ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ 187‬و ﺟﻤﻠﻪي وﺳﻂ ‪ 17‬اﺳﺖ‪ n .‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪12 (4 10 (3 7 (2 5 (1‬‬

‫)آزاد ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪ 87‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫‪ 20‬ـ ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ از ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ‪ 1 , 3 , 5 , ...‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 64‬اﺳﺖ؟‬

‫‪ 6 (4‬ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ 8 (3‬ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ 9 (2‬ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪ 7 (1‬ﺟﻤﻠﻪ‬

‫‪ 21‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ a‬اﮔﺮ ﻳﻚ واﺣﺪ ﺑﻪ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺟﻤﻼت اﻓﺰوده ﺷﻮد‪ ،‬آنﮔﺎه ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮع ‪ 20‬ﺟﻤﻠﻪي اول‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(83‬‬ ‫ﭼﻪﻗﺪر اﻓﺰوده ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ؟‬

‫‪190 (4‬‬ ‫‪180 (3‬‬ ‫‪170 (2‬‬ ‫‪160 (1‬‬

‫‪ 22‬ـ ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﻋﺪد ﻣﺘﻮاﻟﻲ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺻﻌﻮدي ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 69‬اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ و ﻛﻮﭼﻚﺗﺮﻳﻦ اﻳﻦ‬

‫ﻋﺪدﻫﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 76‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻮم ﭼﻪﻗﺪر ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫‪10 (4 9 (3 8 (2 7 (1‬‬

‫‪ 23‬ـ اﻋﺪاد ﻃﺒﻴﻌﻲ را ﺑﻪ ﻃﺮﻳﻘﻲ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪي ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ آﺧﺮﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﻫﺮ دﺳﺘﻪ‪ ،‬ﻣﺠﺬور ﻛﺎﻣﻞ ﺑﺎﺷﺪ‪(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),... :‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 84‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت در دﺳﺘﻪي دﻫﻢ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪1748 (4‬‬ ‫‪1729 (3‬‬ ‫‪1710 (2‬‬ ‫‪1691 (1‬‬

‫‪ 24‬ـ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ از ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ 3 , 9 , 15 , ...‬را ﺑﺎﻳﺪ ﺟﻤﻊ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻋﺪد ‪ 675‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﺑﻴﺎﻳﺪ؟‬

‫‪ (4‬ﻧﻮزده‬ ‫‪ (3‬ﻫﻔﺪه‬ ‫‪ (2‬ﭘﺎﻧﺰده‬ ‫‪ (1‬ﺳﻴﺰده‬

‫‪ 25‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 102‬و ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي ﺑﻌﺪي ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 318‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي‬

‫ﺷﺸﻢ و ﭘﺎﻧﺰدﻫﻢ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪125 (4‬‬ ‫‪119 (3‬‬ ‫‪118 (2‬‬ ‫‪115 (1‬‬

‫‪ 26‬ـ ﺑﻴﻦ ‪ 1‬و ‪ 81‬ﭼﻪ ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻠﻪ درج ﺷﻮد ﺗﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺣﺎﺻﻞ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 246‬ﮔﺮدد؟‬
‫‪6 (4 5 (3 4 (2 3 (1‬‬

‫‪ 27‬ـ ﻫﺮﮔﺎه داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ ، S  122 112 102  92  82  72    22 12 :‬ﻣﻘﺪار ‪ S‬ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪105 (4 78 (3 55 (2 36 (1‬‬

‫‪ 28‬ـ اﮔﺮ‪ 3  7 11   (4n  3)  351‬ﺑﺎﺷﺪ‪ n ،‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪15 (4 14 (3 13 (2 12 (1‬‬

‫‪ 29‬ـ در ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول از ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ردﻳﻒ ﻓﺮد ‪ 135‬و ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ردﻳﻒ زوج ‪ 150‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪ 85‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫‪2 (3‬‬ ‫اول ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (2 0 (1‬‬
‫‪3 (4‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪20‬‬

‫‪ 2‬ـ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ‬

‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬در اﻳﻦﺟﺎ ﻫﻢ ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را ﺑﺎ ‪ Sn‬ﻧﻤﺎﻳﺶ‬

‫‪Sn  a1  a2    an  a1  a1q    a1qn1‬‬ ‫ﻣﻲدﻫﻴﻢ؛ ﻳﻌﻨﻲ‪:‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ‬

‫اﮔﺮ ‪ a‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ و ‪ q‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﻫﻤﺎن دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي‬

‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a(1‬‬ ‫‪qn‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫)‪a(qn 1‬‬ ‫اول اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q 1‬‬

‫آورﻳﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﻪدﺳﺖ‬ ‫را‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(2)n‬‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪي‬ ‫اﺑﺘﺪاي‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ده‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫)ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻲ ﻋﻤﻮﻣﻲ رﺷﺘﻪي ﺗﺠﺮﺑﻲ(‬

‫اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪاي اﺳﺖ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ -3‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ .-2‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ‪ S10‬ﺑﺮاﺑﺮ‬

‫‪S10‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3(1 (2)10‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(1  1024‬‬ ‫‪ 1023‬‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫)‪1 (2‬‬

‫در ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ a‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ q‬ﻛﻪ در آن‪ | q |1‬اﺳﺖ‪،‬‬

‫ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫راﺑﻄﻪي‬ ‫از‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي‬ ‫ﺗﻤﺎم‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬

‫‪1‬‬

‫ﺑﻪ ﻧﻈﺮﺗﺎن دﻟﻴﻞ ﻧﻜﺘﻪي ﺑﺎﻻ ﭼﻴﺴﺖ؟‬

‫راهﻧﻤﺎﻳﻲ ﻫﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ! ﻳﻚ ﻋﺪد ﺑﻴﻦ ﺻﻔﺮ و ﻳﻚ‪ ،‬وﻗﺘﻲ ﺑﻪ ﺗﻮان ‪ ‬ﺑﺮﺳﺪ‪ ،‬ﻣﻘﺪارش ﺑﻪ ﻋﺪد‬
‫ﺻﻔﺮ ﻣﻴﻞ ﻣﻲﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(86‬‬ ‫‪ 30‬ـ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ 2,x, 1 ,‬ﻏﻴﺮﻧﺰوﻟﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪ اول آن ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2‬‬
‫‪23‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪41‬‬
‫‪16‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪ 31‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ q  2‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪ اول ﭼﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪ اول اﺳﺖ؟ )آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(86‬‬

‫‪9 (4 8 (3 7 (2 6 (1‬‬

‫)آزاد ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪(81‬‬ ‫‪ 32‬ـ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ ...‬و ‪ 1‬و ‪ 2‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ 5‬ﺟﻤﻠﻪ اول ﭼﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﭘﻨﺞ ﺟﻤﻠﻪ دوم اﺳﺖ؟‬
‫‪2‬‬

‫‪25 (4 2 (3 22 (2 210 (1‬‬

‫‪ 33‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت اول و ﺳﻮم ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 1‬و ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻬﺎر ﺟﻤﻠﻪي اول آن ‪ 3‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(88‬‬ ‫‪12/6 (3‬‬ ‫‪11/2 (2‬‬ ‫اول آن ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪10/8 (1‬‬
‫‪13/4 (4‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(82‬‬ ‫‪ 34‬ـ ﺣﺎﺻﻞ ) ‪ A  (1 x  x2    x8 )(1 x  x2    x8‬ﺑﻪ ازاي ‪ x  2‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪516 (4‬‬ ‫‪512 (3‬‬ ‫‪511 (2‬‬ ‫‪507 (1‬‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(78‬‬ ‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ـ‬ ‫‪35‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪64‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪4‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪2 (3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪1 (1‬‬

‫ﺑﺎ‪:‬‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ‪ ‬‬ ‫ﺣﺪ‬ ‫ـ‬ ‫‪36‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪4‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪‬‬

‫ﺑﺨﺶ ‪ / 2‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ ‪21‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)2n1‬‬ ‫اُم‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻲ‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﺣﺪ‬ ‫ـ‬ ‫‪37‬‬
‫‪3‬‬
‫‪51‬‬ ‫‪30‬‬
‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪5 (2‬‬ ‫‪6 (1‬‬

‫‪ 38‬ـ ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﺎﻣﺤﺪود ‪ 2 , 2 , 2 , ‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ k2  8‬اﺳﺖ‪ .‬آنﮔﺎه ‪ k‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪3 9 27‬‬

‫‪5 (4 4 (3 3 (2 2 (1‬‬

‫راﺑﻄﻪ‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪ a3‬‬ ‫‪ a4‬‬ ‫و‪‬‬ ‫‪S6‬‬ ‫‪ a6‬‬ ‫‪ a7‬‬ ‫ﺑﻪﺻﻮرت ‪ ‬‬ ‫را‬ ‫و ‪S6‬‬ ‫ﻣﻘﺪار ‪S3‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻲ‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫در‬ ‫ـ‬ ‫‪39‬‬

‫‪2‬‬

‫ﺑﻴﻦ ‪ S3‬و ‪ S6‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ؟‬

‫‪S3  3S6 (4‬‬ ‫‪S3 S6 (3‬‬ ‫‪S3  8S6 (2‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S6‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ 40‬ـ ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻲﭘﺎﻳﺎن ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 30‬و ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﺎت آن ﺟﻤﻼت ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 150‬اﺳﺖ‪ .‬ﻗﺪر ﻧﺴﺒﺖ اﻳﻦ‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪5‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫ارﺗﻔﺎع ﻗﺒﻠﻲ را ﺑﺎﻻ ﺑﺮود‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﻓﺘﻲ‬ ‫‪1‬‬ ‫زﻣﻴﻦ‪،‬‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﻛﺮدن‬ ‫ﺑﺮﺧﻮرد‬ ‫ﺑﺎر‬ ‫ﻫﺮ‬ ‫از‬ ‫ﭘﺲ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫رﻫﺎ‬ ‫ﻣﺘﺮي‬ ‫‪15‬‬ ‫ارﺗﻔﺎع‬ ‫از‬ ‫را‬ ‫ﺗﻮﭘﻲ‬ ‫ـ‬ ‫‪41‬‬
‫‪3‬‬

‫ﻛﻪ ﺗﻮپ ﻃﻲ ﻣﻲﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﺑﺎﻳﺴﺘﺪ ﭼﻪﻗﺪر ﻣﻲﺷﻮد؟‬

‫‪30 (4 23/5 (3 22/5 (2‬‬ ‫‪21 (1‬‬

‫‪ 42‬ـ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوياﻻﺿﻼﻋﻲ ﺑﻪ ﺿﻠﻊ ‪ 6‬ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ‪ .‬وﺳﻂ اﺿﻼع اﻳﻦ ﻣﺜﻠﺚ را ﺑﻪ ﻫﻢ وﺻﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻣﺜﻠﺚ دﻳﮕﺮي ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﻮد‪.‬‬

‫ﺑﺎر دﻳﮕﺮ وﺳﻂ اﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ داﺧﻠﻲ را ﺑﻪ ﻫﻢ وﺻﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻣﺜﻠﺚ دﻳﮕﺮي ﺣﺎﺻﻞ ﺷﻮد و‪ ...‬اﻳﻦ ﻛﺎر را ﺑﻲﺷﻤﺎر دﻓﻌﻪ اﻧﺠﺎم‬

‫ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﻴﻂﻫﺎي ﻣﺜﻠﺚﻫﺎ ﭼﻪﻗﺪر ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫‪39 (4 36 (3 33 (2 30 (1‬‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(83‬‬ ‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫ـ‬ ‫‪43‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪729‬‬
‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬
‫‪27‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪(1‬‬

‫‪ 44‬ـ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 2‬و ‪ ،16 2‬ﺷﺶ ﻋﺪد ﭼﻨﺎن درج ﺷﺪهاﻧﺪ ﻛﻪ ﻫﺸﺖ ﻋﺪد ﺣﺎﺻﻞ‪ ،‬ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺗﺸﻜﻴﻞ دادهاﻧﺪ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع اﻳﻦ ﻫﺸﺖ‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 88‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫ﻋﺪد ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪36( 2 1) (4‬‬ ‫‪30( 2 1) (3‬‬ ‫‪48 2 (2‬‬ ‫‪30(2  2) (1‬‬

‫ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش ‪17‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش ‪22‬‬

‫‪ a1  4d  0  a1  4d‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ 1‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﻘﺪار ‪) a7‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ( و‪) a1‬ﺟﻤﻠﻪي اول( ﺗﺼﺎﻋﺪ‬

‫‪a7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﺪدي را ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪an 2n 1 a7 (2 7) 114 115 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪an  2n 1 a1  (21) 1 2 1 3‬‬
‫‪I‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪4(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬
‫‪‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﻫﻔﺖ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‬ ‫راﺑﻄﻪي‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫دوم‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ 8‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫)‪7d‬‬ ‫)‪4(16 14‬‬ ‫)‪ 4(2‬‬ ‫اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫)‪15‬‬ ‫‪7 18‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪S7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪a7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 63‬‬

‫‪ 5‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬دﻧﺒﺎﻟﻪي اﻋﺪاد ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺮ ‪ 6‬ﻛﻪ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪100‬‬ ‫‪ 2‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﻌﻨﻲ ﻋﺒﺎرت »ﻫﺮ ﺟﻤﻠﻪي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي از ﺟﻤﻠﻪي‬
‫و ‪ 200‬ﻗﺮار دارﻧﺪ را ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫ﭼﻴﺴﺖ؟‬ ‫اﺳﺖ«‬ ‫ﻛﻢﺗﺮ‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻧﺪازهي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺧﻮد‬ ‫ﻗﺒﻞ‬ ‫ﻣﺎ‬
‫‪ : 102 , 108 , 114 ,  , 192 , 198‬دﻧﺒﺎﻟﻪي اﻋﺪاد‬ ‫‪2‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 102‬و ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫‪1‬‬
‫آﺧﺮ ‪ 198‬اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻌﺪاد اﻳﻦ ﺟﻤﻼت ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد اﻋﺪاد ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ‬ ‫ﻋﺪدي‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫و ﻣﺎ‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﻋﺪدي‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬
‫ﺑﺮ ‪ 6‬ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 100‬و ‪ . 200‬اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد از راﺑﻄﻪي زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﺷﻮد‪:‬‬
‫ﻧﺰوﻟﻲ دارﻳﻢ‪.‬‬

‫] ‪  [2600]  [1060]  [33 / 3]  [16 / 6‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ a5  3‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻘﺪار‪ a1‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪ 33 16 17‬‬
‫‪4d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3,d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺗﻌﺪاد اﻋﺪاد ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺮ ‪ a‬از ﻣﻴﺎن ﻋﺪدﻫﺎي ‪ 1,2,3,...,n‬ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ 10‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫[‬ ‫‪n‬‬ ‫]‬ ‫‪S10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪120[2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪9d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(10 ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪ 3‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬راﺑﻄﻪي ‪ a6  a19  25‬را ﺑﺎز ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﺑﻪ ﻧﺘﺎﻳﺞ‬

‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪an‬‬ ‫‪ S17‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪17‬‬ ‫)‪(102 198‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ 300‬‬ ‫‪(a1  5d)  (a1 18d)  25‬‬ ‫ﻣﻮردﻧﻈﺮﻣﺎن دﺳﺖ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2a1  23d  25‬‬

‫‪17 150  2550‬‬ ‫‪I‬‬

‫‪ 6‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ x :‬و ‪ y‬ﺑﻪ ﺷﻤﺎ دادهﺷﺪه ﺗﺎ ﺳﺮﮔﺮم ﺷﻮﻳﺪ!‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﻣﻮرد‬ ‫در‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫]‪1)d‬‬ ‫راﺑﻄﻪي‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫دوم‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي‬

‫‪2‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻴﺴﺖ و ﭼﻬﺎر ﺟﻤﻠﻪي اول اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬
‫ﺧﻮدﺗﺎن را ﻣﻌﻄﻞ اﻳﻦ دو ﻣﺠﻬﻮل ﻧﻜﻨﻴﺪ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي اول اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫آن‬ ‫ﭼﻬﺎرم‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫و‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪S24‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪[2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪23d‬‬ ‫]‬ ‫‪I‬‬ ‫‪S24‬‬ ‫‪ 12  25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪300‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪a4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﺪدي ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﭘﺎﻧﺰده‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫اﺳﺖ‪،‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫اﻳﻦﻛﻪ‪a1 1‬‬ ‫داﻧﺴﺘﻦ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪:‬‬ ‫‪ 4‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ دو راﺑﻄﻪي ‪ a2  a8  0‬و ‪ ، a7  4‬ﻣﻘﺪار‬
‫‪2‬‬ ‫‪ a1‬و ‪ d‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫اول ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪a2  a8  (a1  d)  (a1  7d)  2a1  8d  2(a1  4d)  0‬‬
‫‪S15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫)‪14d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15  9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪23‬‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺣﻞ اﻳﻦ دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ و دو ﻣﺠﻬﻮل‪ ،‬ﻣﻘﺪار ‪ d‬ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫‪ 7‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي دﻫﻢ و ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻲام را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪a1  2d  20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2a21a1‬‬ ‫‪ 4d  40‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬
‫‪2a1  3d  22‬‬ ‫‪3d  22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪a 30‬‬

‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ 1  15‬‬ ‫‪ 1  16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬

‫‪ 12‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺑﻪﺻﻮرت ﭘﺎراﻣﺘﺮي ﺣﺴﺎب‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎ ﺷﺮوع از ﺟﻤﻠﻪي دﻫﻢ و ﺧﺘﻢ ﺑﻪ‬
‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪) .‬ﻳﻌﻨﻲ ﺑﺮﺣﺴﺐ ‪ ( p‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻲاُم ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 21‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮع اﻳﻦ ﺟﻤﻼت ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪d  a2  a1  p 1 (1 2p)  p  2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪221(a10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪30‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2111‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪231‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﻫﺸﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول‬ ‫‪2‬‬

‫‪ a1 1 2p‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ d  p  2‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 60‬اﺳﺖ‪ p .‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪ 8‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻴﺰدﻫﻢ را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪S8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪7d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4(2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪7d‬‬ ‫‪ 60  2a1‬‬ ‫‪ 7d‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪d  a2  a1  6  2  4‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪a13  a1 12d  2  (12 4)  2  48  50‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ از اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪ 2(1 2p)  7(p  2)  2  4p  7p 14 15‬‬
‫‪ 50‬ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪3p  27  p  9‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪d  p  2  (9)  2  9  2  7‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪1)d] ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4(n‬‬ ‫])‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(4n‬‬ ‫)‬ ‫‪ 2n2‬‬ ‫‪ 50‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 13‬ـ ﭼﺸﻢاﻧﺪاز‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺧﺘﻼف‬ ‫‪ n2  25  n  5‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي اول ﺗﺎ ﻫﻔﺘﻢ و ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي اول ﺗﺎ ﺷﺸﻢ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ 9‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫ﺗﻌﻤﻴﻢ ﺑﺪﻫﻴﺪ؛ ﻫﻤﻴﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﺑﺮاي ﺟﻤﻠﻪي ‪ُ n‬ام ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲﺷﻮد‪:‬‬
‫‪d  a2  a1 15 18  3‬‬
‫‪an  Sn  Sn1‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﻢ ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ از اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬

‫دﻟﻴﻞ اﻳﻦ را در ﻗﺴﻤﺖ آﻣﻮزش ﮔﻔﺘﻪاﻳﻢ‪ .‬ﻳﺎدﺗﺎن ﻫﺴﺖ ﻛﻪ؟!‬ ‫ﻋﺪدي ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ S7 :‬و ‪ S6‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪1)d] ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[36‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫])‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(39‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3n‬‬ ‫‪0‬‬
‫‪S7  7[(3  7)  4]  7(21 4)  7 25 175‬‬
‫‪S6  6[(3  6)  4]  6(18  4)  6 22 132‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪a7  S7  S6 175 132  43‬‬ ‫‪ 10‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ »ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﻧﺼﻒ ﺟﻤﻠﻪي‬

‫ﺳﻮم اﺳﺖ«‪ ،‬دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪ 14‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬وﻗﺘﻲ ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻬﺎر ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 15‬و ﻣﺠﻤﻮع ﭘﻨﺞ‬ ‫‪a7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪ 6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫)‪ 2d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪ 6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪d‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﺑﻌﺪاز آن ‪ 30‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﻣﺠﻤﻮع ُﻧﻪ ﺟﻤﻠﻪي اول اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10d‬‬

‫‪ 45‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﭘﺲ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ‪ -10‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪S4‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3d‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6d‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬ ‫ﻣﻲﺷﻮد‪ Sn .‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ ﻗﺮار داده و ﻣﻘﺪار ‪ n‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪45‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫)‪8d‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪ 2a1‬‬ ‫‪8d‬‬ ‫‪10 ‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪S9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫]‪1)d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[20d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪1)d]  0‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻘﺪار‪ a1‬و ‪ d‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪a1  4d  5  a1  5  4d‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬
‫‪ d[(n‬‬

‫‪4a1‬‬ ‫‪ 6d‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪20  16d‬‬ ‫‪ 6d‬‬ ‫‪15 10d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 11‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻳﻚ راﺑﻄﻪي دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ و دو ﻣﺠﻬﻮل ﺑﺮ اﺳﺎس ﻣﺠﻤﻮع‬
‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺟﻤﻼت دادهﺷﺪه ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 100 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫)‪4d‬‬ ‫‪ 100 ‬‬ ‫‪5a1‬‬ ‫‪ 10d‬‬ ‫‪ 100‬‬
‫‪2‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ a11 :‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪S5‬‬ ‫‪‬‬

‫‪a11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 5(a1  2d) 100  a1  2d  20‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪S4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪22‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪24‬‬

‫‪ 19‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﮔﺮ ‪ 2n 1‬ﺟﻤﻠﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي وﺳﻂ ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫‪ 15‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬دﻧﺒﺎﻟﻪي اﻋﺪاد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻓﺮد‪ ،‬ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺮ ‪ 3‬و ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ‬
‫از ‪ ،101‬ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫)‪ُ (n 1‬ام اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ‪ an1 17‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪an1  a1  (n 11)d  a1  nd  17‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪3 , 9 , 15 , 21,  , 93 , 99‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺮاي ﺑﻪدﺳﺖآوردن اﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮع اﻋﺪاد ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺠﻤﻮع اﻋﺪاد‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ S2n1 187‬اﺳﺖ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪي‬

‫‪ ، I‬ﻣﻘﺪار ‪ n‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 3‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ 6‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫‪S2n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2n ‬‬ ‫‪1[2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(2n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫]‪1)d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2n ‬‬ ‫‪1(2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪2nd‬‬ ‫ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻼت اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪:‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪ (2n 1)(a1  nd) 187I 17(2n 1) 187  2n 111‬‬ ‫)‪an  a1 (n 1) d  99  3  6(n 1‬‬
‫‪99 3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ 2n 10  n  5‬‬ ‫‪6n  3  99  6n 102  n 17‬‬
‫ﭘﺲ اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ داراي ‪ 17‬ﺟﻤﻠﻪ اﺳﺖ!‬
‫‪ 20‬ـ ﻣﻲداﻧﻴﻢ ‪ Sn  64‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ ‪ n‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﺑﻴﺎورﻳﻢ‪ .‬ﺑﺎ‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﭘﺲ ﻣﺠﻤﻮع اﻳﻦ ﺟﻤﻼت ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫اﻳﻦ اﻃﻼﻋﺎت ﻛﻪ‪ a1 1‬و ‪ d  2‬اﺳﺖ‪ .‬دﺳﺖ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻲﺷﻮﻳﻢ‪:‬‬
‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪17‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪99‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪867‬‬
‫‪a11, d2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪1)d]  64‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(2  2n‬‬ ‫)‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪64‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 16‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻓﺮضﻫﺎي ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺴﺖ را ﺑﻪﻃﻮر دﻗﻴﻖ ﻣﺸﺨﺺ‬
‫‪n8‬‬

‫‪ 21‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬اول از ﻫﻤﻪ ﻣﻲداﻧﻴﻢ ‪ S13  325‬اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ‪a13  a1  48‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ a‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ d‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪a13  a1  48 12d  48  d  4‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪(2a‬‬ ‫)‪19d‬‬ ‫‪10(2a‬‬ ‫)‪19d‬‬ ‫‪S13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫) ‪ 12d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪325 ‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫)‪ 48‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪325‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪S20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2a1  48  50  2a1  2  a1 1‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻳﻚ واﺣﺪ ﺑﻪ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ اﺿﺎﻓﻪ ﺷﻮد‪ .‬در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﭘﺲ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 1‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ 4‬روﺑﻪرو ﻫﺴﺘﻴﻢ‪.‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول را ﺑﺎ ‪ S20‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ S20 .‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻮم ﻳﺎ ‪ a3‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪a3  a1  2d 1 (4 2) 1 8  9‬‬
‫‪S2 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪220[2a‬‬ ‫‪ 19(d‬‬ ‫])‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10(2a‬‬ ‫‪19d‬‬ ‫)‪19‬‬ ‫)‪10(2a 19d‬‬ ‫‪190‬‬

‫‪ S2 0  S20 190‬‬ ‫‪S20‬‬

‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 190‬واﺣﺪ اﺿﺎﻓﻪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ 17‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬

‫‪ 22‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻛﻮﭼﻚﺗﺮﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪ را‪ a1‬و ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪ را ‪a6‬‬ ‫‪a3  a1  21 (27)  21 27  6  2d  d  3‬‬
‫در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻓﺮضﻫﺎي ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺴﺖ‪ ،‬رواﺑﻂ را‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺻﻌﻮدي ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ 3‬دارﻳﻢ‪.‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬آﺧﺮﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﻨﻔﻲ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ -3‬اﺳﺖ ﻛﻪ‬

‫ﻧﻮﺷﺘﻪ و ﻣﻘﺪار‪ a1‬و ‪ a6‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﻧﻬﻤﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻣﺤﺴﻮب ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﭼﻮن دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪27, 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3‬‬
‫‪S6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪23‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ﻧﻬﻢ‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻲداﻧﻴﻢ ‪ a1a6  76‬اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ اﻋﺪادي ﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﺸﺎن ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﻣﻨﻔﻲ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪.‬‬

‫‪ 23‬و ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮبﺷﺎن ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 76‬ﻣﻲﺷﻮد‪ ،‬اﻋﺪاد ‪ 19‬و ‪ 4‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ‬ ‫‪S9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪(27‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪(30‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪9(15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪135‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪ a1  4‬و ‪ a6 19‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻮم ﻳﺎ ﻫﻤﺎن‬ ‫‪ 18‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ راﺑﻄﻪي دادهﺷﺪه ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي ﻣﺠﻤﻮع ‪n‬‬

‫‪a6  a1  5d 19  4 15  5d  d  3‬‬ ‫‪ a3‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي اول‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع )‪ (n 1‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ را ﺑﻪدﺳﺖ‬
‫‪a3  a1  2d  4  (2 3)  4  6 10‬‬ ‫ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬

‫‪ 23‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﺑﺘﺪا دﺳﺘﻪي دﻫﻢ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ .‬ﻋﺪد آﺧﺮ اﻳﻦ‬ ‫)‪Sn1  (n 1)[(3(n 1)  2]  (n 1)(3n  3  2)  (n 1)(3n 1‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺮاي ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي ‪ُ n‬ام اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ‪ ،‬ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ اﺧﺘﻼف ‪Sn‬‬
‫دﺳﺘﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺠﺬور ﻋﺪد ‪ 10‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ آﺧﺮﻳﻦ ﻋﺪد دﺳﺘﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 100‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫و ‪ Sn1‬را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫ﻋﺪد اول دﺳﺘﻪ ﻫﻢ اوﻟﻴﻦ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺑﻌﺪ از ﻣﺠﺬور ﻋﺪد ‪ 9‬ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪81‬‬ ‫)‪an  Sn  S(n1)  n(3n  2)  (n 1)(3n 1‬‬
‫‪ 3n2  2n  3n2  4n 1 6n 1‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻋﺪد اول اﻳﻦ دﺳﺘﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 82‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ اﻳﻦ دﺳﺘﻪ ﺑﻪﺻﻮرت‬

‫‪82 , 83 , 84 , 85 ,  , 99 , 100‬‬ ‫زﻳﺮ در ﻣﻲآﻳﺪ‪:‬‬

‫‪25‬‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش‬

‫‪ 28‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي اول آن ‪a1  3‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬اﻳﻦ دﺳﺘﻪ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 82‬و ﺟﻤﻠﻪي آﺧﺮ‬
‫و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ آن ‪ d  4‬اﺳﺖ روﺑﻪرو ﻫﺴﺘﻴﻢ‪ .‬ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ ‪ 4n  3‬ﺟﻤﻠﻪي‬
‫‪ 100‬اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻌﺪاد اﻋﻀﺎي اﻳﻦ دﺳﺘﻪ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 19‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﺠﻤﻮع اﻋﺪاد‬

‫ﭼﻨﺪم اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ اﺳﺖ ﺑﺎ ﻛﻤﻲ دﻗﺖ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻔﻬﻤﻴﻢ ﻛﻪ ‪4n  3‬‬ ‫اﻳﻦ دﺳﺘﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫ﺟﻤﻠﻪي )‪ (n 1‬اُم ﺗﺼﺎﻋﺪ اﺳﺖ )ﭼﺮا؟(‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪(82‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪100‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪182‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1729‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ راﺑﻄﻪي ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪Sn 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1[a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫] ‪a n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪351‬‬ ‫‪ 24‬ـ ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ 3‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬

‫‪2‬‬
‫‪ n21[3  4n  3]  351 (n 1)(2n  3)  351‬‬
‫‪ ،6‬ﻣﻘﺪاري ﺑﺮاي ‪ n‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ راﺑﻄﻪي ‪ Sn  675‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪3511327 n 1 13  n  12‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[2a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1)d‬‬ ‫]‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6(n‬‬ ‫])‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(6n‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪3n2‬‬ ‫‪ 675‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 29‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ردﻳﻒ ﻓﺮد ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 135‬و ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫‪ n2  225  n  15‬‬

‫ﺟﻤﻼت ردﻳﻒ زوج ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 150‬ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ زﺑﺎن رﻳﺎﺿﻲ ﻳﻌﻨﻲ‪:‬‬ ‫‪ 25‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬در واﻗﻊ ‪ S6 102‬و ‪ S12  S6  318‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‬

‫‪a1  a 3  a5  ...  a19 135‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ S12  420‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول و ﻣﺠﻤﻮع‬
‫دوازده ﺟﻤﻠﻪي اول‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي اول و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي را‬
‫‪a2  a4  a6  ...  a20 150‬‬ ‫‪II‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺳﻄﺮ اول را از ﺳﻄﺮ دوم ﻛﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ ﺑﻪ ﻛﺠﺎ ﻣﻲرﺳﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪S6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫)‪5d‬‬ ‫‪102  2a1‬‬ ‫‪5d‬‬ ‫‪34‬‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪II - I  (a2 a1)  (a4 a 3 )  (a6 a5 )    (a20 a19 )  15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﻲداﻧﻴﻢ اﺧﺘﻼف دو ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻫﺮ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪S12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫) ‪ 11d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪420‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2a1‬‬ ‫‪11d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪70‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ از راﺑﻄﻪي ﺑﺎﻻ ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ ﻛﻪ‪:‬‬ ‫ﺑﺎ ﻛﻢﻛﺮدن راﺑﻄﻪي اول از راﺑﻄﻪي دوم ‪ d‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫‪ddd ... d 15 10d 15  d 1/ 5‬‬ ‫‪6d  70 34  36  d  6‬‬
‫‪2a1  5d  34 d6 2a1  30  34  2a1  4  a1  2‬‬
‫‪ 10‬ﺗﺎ‬
‫ﭘﻠﻪي ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﺣﺎﻻ از راﺑﻄﻪي ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ و ‪II‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﺷﺸﻢ و ﭘﺎﻧﺰدﻫﻢ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬ ‫‪a6  a1  5d  2  (5  6)  2  30  32‬‬
‫‪a15  a1 14d  2  (14  6)  2  84  86‬‬
‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[a2‬‬ ‫]‪ a20‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪(a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪a20‬‬ ‫‪ 150‬‬
‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﺷﺸﻢ و ﭘﺎﻧﺰدﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a6  a15  32  86 118‬‬
‫‪ 5[(a1  d)  (a1 19d)] 150  2a1  20d  30‬‬
‫‪d1/5 2a1  30  30  a1  0‬‬

‫‪ 30‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪ 26‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻋﺪد ‪ 1‬را ﺟﻤﻠﻪي اول و ﻋﺪد ‪ 81‬را ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم ﻓﺮض‬

‫‪a3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ Sn  246‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ‪ n‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪ q2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ q2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫)‪81‬‬ ‫‪ 41n‬‬ ‫‪ 246 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫ﭼﻮن در ﺻﻮرت ﺗﺴﺖ ﺷﺮط ﺷﺪه ﻛﻪ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻏﻴﺮﻧﺰوﻟﻲ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺗﻌﺪاد ﻛﻞ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 6‬ﺟﻤﻠﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﻴﻦ ‪ 1‬و ‪ 81‬ﺑﺎﻳﺪ‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻗﺒﻮل‬ ‫ﻏﻴﺮﻗﺎﺑﻞ‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫‪ 4‬ﺟﻤﻠﻪ درج ﺷﻮد ﺗﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 246‬ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻲآﻳﺪ‬ ‫در‬ ‫‪2,1,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪,...‬‬ ‫ﺑﻪﺻﻮرت‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫واﻗﻊ‬ ‫در‬ ‫‪ 27‬ـ ﺧُﺐ ﻛﺎري ﻧﺪارد! ﻣﺠﻤﻮع دادهﺷﺪه را ﺳﺎده ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫ﺑﻪﺻﻮرت‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫اﻣﺎ‬ ‫ﻧﻤﻲﺧﻮرد‪.‬‬ ‫ﺑﻪ درد ﻣﺎ‬ ‫ﻧﺰوﻟﻲ اﺳﺖ و‬ ‫‪S 122 112 102  92  82  72    22 12‬‬
‫‪2‬‬ ‫)‪ (144 121)  (100 81)  (64  49)   (4 1‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 23 19 15 11 7  3  78‬‬
‫واﻗﻊ‬ ‫در‬ ‫ﺻﻌﻮدي‬ ‫ﻧﻪ‬ ‫و‬ ‫اﺳﺖ‬ ‫ﻧﺰوﻟﻲ‬ ‫ﻧﻪ‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻲآﻳﺪ‬ ‫در‬ ‫‪2,‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪,...‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ؛ در ﻣﻮاﻗﻌﻲ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي ﺳﺎده ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ را‬
‫ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ‪ ،‬ﻧﻴﺎزي ﻧﻴﺴﺖ ﺧﻮدﺗﺎن را درﮔﻴﺮ ﻓﺮﻣﻮلﻫﺎ و ﻧﻜﺘﻪﻫﺎي ﺗﺼﺎﻋﺪ‬
‫‪‬ﻫﻲ ﻛﻢ و زﻳﺎد ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﺑﻪ اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪي ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﺧﻮدﺗﺎن اﻋﺘﻤﺎد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ!‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪S6‬‬ ‫) ‪a1(11qq6‬‬ ‫‪2(1‬‬ ‫‪(‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫)‬ ‫‪2(1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪21‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪16‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪26‬‬

‫‪ 35‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع دادهﺷﺪه را ﺑﺎزﻧﻮﻳﺴﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪ 31‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ S6 :‬و ‪ S3‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪S6  a1(11qq6 ) , S3  a1(11qq3‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪64‬‬
‫‪(21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪‬‬ ‫را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪S6‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻧﺴﺒﺖ‬
‫‪S3‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻲداﻧﻴﻢ ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻲﻧﻬﺎﻳﺖ ﺟﻤﻠﻪ از ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ‬
‫) ‪a1 (1 q6‬‬
‫ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫اﺳﺖ‪،‬‬ ‫ﻛﻪ‪| q |1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫و‬ ‫‪a‬‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬
‫‪q‬‬ ‫‪S6‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫‪1 q6‬‬ ‫ﺗﺠﺰﻳﻪ‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪q3 )(1‬‬ ‫) ‪q3‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫) ‪a1 (1 q3‬‬ ‫‪1 q3‬‬ ‫‪1 q3‬‬ ‫‪1 q3‬‬
‫دو ﺑﺎر از اﻳﻦ راﺑﻄﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 q‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪S6‬‬ ‫‪1 23‬‬ ‫‪1 8  9‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪S3‬‬

‫‪ 36‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع دادهﺷﺪه را ﺑﺎزﻧﻮﻳﺴﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﭘﻨﺞ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و‬ ‫‪a1‬‬ ‫اﻳﻦﻛﻪ ‪ 2‬‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪:‬‬ ‫‪ 32‬ـ‬
‫‪4‬‬
‫‪S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻌﻨﻲ ‪ S5‬و ﻣﺠﻤﻮع ‪ 5‬ﺟﻤﻠﻪي دوم ﻳﻌﻨﻲ ‪) S10  S5‬ﭼﺮا؟(‬
‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﺴﺖ ﻗﺒﻞ ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻫﺮﻳﻚ از ﭘﺮاﻧﺘﺰﻫﺎي‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎﻻ ﻣﻲروﻳﻢ ﺳﺮاغ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي ﻧﺴﺒﺖ اﻳﻦ دو ﻋﺒﺎرت‪:‬‬

‫ﻋﺒﺎرت ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه‪ ،‬ﻣﻘﺪار ‪ S‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬ ‫)‪a (q10 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S10  S5‬‬ ‫‪S10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S5‬‬ ‫‪S5‬‬ ‫)‪a (q5 1‬‬ ‫‪q5‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪q 1‬‬
‫ﺗﺠﺰﻳﻪ‬
‫‪ 37‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪي اول اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪(q5‬‬ ‫‪ 1)(q 5‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q5‬‬
‫‪‬‬ ‫‪q5 1‬‬

‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻌﻜﻮس اﻳﻦ ﻛﺴﺮ را ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ‪ .‬ﭘﺲ‪:‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S5‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)41‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5(‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪S10  S5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪210‬‬
‫‪q5‬‬
‫‪5(‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)61‬‬ ‫‪5(‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)5‬‬
‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 33‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي اول و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را ﻣﺸﺨﺺ‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬ﻫﻨ‪2‬ﺪ)ﺳ‪23‬ﻲ‪ ‬ﺑ(ﺮا‪‬ﺑﺮ‪)3‬ا)‪23‬ﺳ‪(23‬ﺖ(ﺑ‪5‬ﺎ‪:5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a1  a 3  1 a1  a1q2 1 a1(1 q2 )  1‬‬ ‫‪I‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪9‬‬
‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪S4  3  a2  a4  2  a1q  a1q3  2  a1q(1 q2 )  2 I‬‬
‫ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﺣﺪ‬ ‫ﺳﻮم‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي‬
‫‪q 2‬‬
‫‪5(‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪90‬‬
‫‪S‬‬ ‫‪ 1a1q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪a1(1 q2 )  1 q2‬‬ ‫‪a1(1‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪:‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ 6‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪ 38‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﺎﻣﺤﺪود را‬ ‫‪S6‬‬ ‫)‪a1(qq611‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(26‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪12/6‬‬
‫ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪S  1a1q‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ 34‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻫﺮ ﻛﺪام از ﭘﺮاﻧﺘﺰﻫﺎ ﻣﺠﻤﻮع ‪ 9‬ﺟﻤﻠﻪ از ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬
‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪1(x9 1‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻘﺪار ‪ k‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪k2  8 1 k2 9 k  3 :‬‬
‫]‪[1(x)9 1‬‬
‫‪ 39‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻮم و ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺸﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1‬‬

‫‪a1‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرت ﺑﺮﺣﺴﺐ ‪: x‬‬

‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1q2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1(21)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﻋﺒﺎرت‬ ‫‪‬‬ ‫‪x9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x18 1‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2 1‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪a1(21)5‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫(‬ ‫‪2 )18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪29‬‬
‫‪a6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1q5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪2 )2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪511‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺣﺎﻻ ﺟﺎيﮔﺬاري ‪: x  2‬‬
‫‪32‬‬

‫‪27‬‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﭘﻠﻜﺎن آﻣﻮزش‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﻴﻂ ﻣﺜﻠﺚﻫﺎي ﻣﺘﺴﺎوياﻻﺿﻼع ﺑﺮاﺑﺮ ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﺣﺪ‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫‪a‬‬ ‫آن‬ ‫در‬ ‫ﻛﻪ‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫راﺑﻄﻪي‬ ‫از‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫دوم‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲِ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪1‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮع اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﺴﺒﺖ ‪ S3‬و ‪ S6‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬
‫‪1a1q‬‬ ‫‪18‬‬
‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪18 2 ‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪q  21‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪S3‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫‪a1q2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪8‬‬
‫‪S6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1q5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S6‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪ 8S6‬‬
‫‪q3‬‬
‫‪ 43‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻋﺒﺎرت دادهﺷﺪه را ﺳﺎده ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪1 q‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 40‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﮔﺮ ﺟﻤﻠﻪي اول اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻲﭘﺎﻳﺎن ‪ a‬و‬
‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪729‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ آن ‪ q‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫)‪ ‬‬ ‫((‪ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫)‪ ‬‬ ‫ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﺣﺪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪I‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪1 q‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻫﺮﻳﻚ از ﭘﺮاﻧﺘﺰﻫﺎ ﻣﻘﺪار ‪ S‬را ﺑﻪدﺳﺖ‬ ‫ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﺣﺪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪ 150‬‬

‫ﻣﻲآورﻳﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪1 q2‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ اﻳﺠﺎد ﺗﻐﻴﻴﺮاﺗﻲ در رواﺑﻂ ﺑﺎﻻ ﻣﻘﺪار ‪ q‬ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ را‬
‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬
‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪26‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪I‬‬
‫)‬ ‫‪27‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪aa‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ 150‬‬
‫‪1 q2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫)‪(1 q)(1 q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬
‫)‪301a q  5  a  5(1 q‬‬ ‫‪II‬‬

‫‪ 44‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﮔﺮ ﺷﺶ ﻋﺪد ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 2‬و ‪ 16 2‬ﻗﺮار داﺷﺘﻪ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪:‬‬

‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬در اﻳﻦﺻﻮرت ﻋﺪد ‪ 2‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ و ﻋﺪد ‪16 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪II‬‬ ‫)‪5(1 q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬
‫‪‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪي ﻫﺸﺘﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪1 q  6  6q  7q  5  q  5‬‬
‫‪a8‬‬ ‫‪ q7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪2)7  q7  q ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪7‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪2‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع اﻳﻦ ﻫﺸﺖ ﺟﻤﻠﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪ 41‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬دﻧﺒﺎﻟﻪاي ﻛﻪ ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهي ﻣﺴﺎﻓﺖ ﻃﻲﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ‬

‫‪S8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1(q‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫((‪2‬‬ ‫)‪2)8 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪2(16 1‬‬ ‫ﺗﻮپ در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ اﺳﺖ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬
‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2 1‬‬
‫‪1‬‬ ‫ﻃﻲﺷﺪه‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺖ‬ ‫دﻧﺒﺎﻟﻪي‬ ‫‪:‬‬ ‫‪15, 5, 5,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,...‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪30( 2 1‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﻓﺖ ﻃﻲﺷﺪه ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪30‬‬ ‫)‪2 1‬‬

‫‪S‬‬ ‫‪ 15  2(5 ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪...‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‬
‫‪3‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪ 42‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺷﻜﻞ ﮔﻮﻳﺎﻳﻲ از‬

‫ﺗﻮﺿﻴﺤﺎت ﺑﻴﺎن ﺷﺪه رﺳﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ و‬

‫دﻧﺒﺎﻟﻪاي را ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﻣﺤﻴﻂ ﻣﺜﻠﺚﻫﺎي‬

‫ﻣﺘﺴﺎوياﻻﺿﻼع اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻲﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬

‫‪ :‬ﻣﺤﻴﻂ ﻣﺜﻠﺚﻫﺎي ﻣﺘﺴﺎوياﻻﺿﻼع‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,‬‬
‫‪2‬‬

‫ﭘﻠﻜﺎن آزﻣﻮن ‪28‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻜﺎن آزﻣﻮن ‪31‬‬

‫آزﻣﻮن ﻳﻜﻢ )ﺳﺎده و ﻣﺘﻮﺳﻂ(‬

‫‪ 30‬دﻗﻴﻘﻪ‬

‫ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮع ‪ 5‬ﺟﻤﻠﻪي اول ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻘﺪار ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟‬ ‫‪33‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‪،‬‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫‪10‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ـ‬ ‫‪1‬‬
‫‪32‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺸﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 13‬و ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻴﺰدﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 6‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول‪ ،‬ﭼﻪﻗﺪر از ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي‬

‫دوم ﺑﻴﺶﺗﺮ اﺳﺖ؟‬
‫‪36 (4 35 (3 34 (2 33 (1‬‬

‫‪ 3‬ـ اﮔﺮ دو ﻋﺪد ‪ 5‬و ‪ x‬ﺑﻪﺗﺮﺗﻴﺐ ﺟﻤﻼت دوم و ﻫﻔﺘﻢ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ d‬و در ﻋﻴﻦ ﺣﺎل ﺟﻤﻼت ﭘﻨﺠﻢ و ﺷﺸﻢ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‬

‫ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ q‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ‪ q  d‬ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪4 (4 3 (3 2 (2 1 (1‬‬

‫‪ 4‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ راﺑﻄﻪﻫﺎي ‪ a7  a9  8‬و ‪ a6  a11  11‬ﺑﺮﻗﺮار ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ 20‬ﺟﻤﻠﻪي اول اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻪﻗﺪر ﻣﻲﺷﻮد؟‬

‫‪200 (4‬‬ ‫‪210 (3‬‬ ‫‪220 (2‬‬ ‫‪230 (1‬‬

‫‪ 5‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي دﻫﻢ ‪ 3‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻠﻪي دوم اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي اول و ﻧﻬﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 12‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي اول ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪-4 (4 -3 (3 4 (2 3 (1‬‬

‫‪ 6‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﺳﻴﺰده ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 104‬اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪي اول و ﭘﻨﺠﻢ آن ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ‬

‫‪12 (4 10 (3‬‬ ‫ﭼﻪﻗﺪر ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫‪8 (2 6 (1‬‬

‫ﻫﺴﺘﻨﺪ؟‬ ‫‪50‬‬ ‫از‬ ‫ﺑﺰرگﺗﺮ‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي‬ ‫ﻫﻤﻪي‬ ‫ﺑﻌﺪ‪،‬‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﭼﻨﺪم‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫از‬ ‫ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪.‬‬ ‫ﻧﻈﺮ‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2,‬‬ ‫‪...‬‬ ‫ﻋﺪدي‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ـ‬ ‫‪7‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬
‫‪317 (4‬‬ ‫‪316 (3‬‬ ‫‪315 (2‬‬ ‫‪314 (1‬‬

‫‪ 8‬ـ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﻛﺪام دو ﺟﻤﻠﻪ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﺬور ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘ ِﻢ ﻫﻤﺎن ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻣﻲﺷﻮد؟‬

‫‪ (2‬ﭼﻬﺎرم ـ ﻳﺎزدﻫﻢ‬ ‫‪ (1‬اول ـ دوازدﻫﻢ‬

‫‪ (4‬ﺳﻮم ـ ﺳﻴﺰدﻫﻢ‬ ‫‪ (3‬ﭘﻨﺠﻢ ـ ﻧﻬﻢ‬

‫‪ 9‬ـ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ دو ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ و ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ دوم‪ ،‬ﭼﻬﺎر ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻠﻪي اول دﻳﮕﺮي اﺳﺖ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم ﺗﺼﺎﻋﺪ اول‪ ،‬ﭼﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ‬

‫ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم ﺗﺼﺎﻋﺪ دوم اﺳﺖ؟‬

‫‪n2 (4 2n (3 22 (2‬‬ ‫‪26 (1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 10‬ـ اﮔﺮ ﺳﻪ زاوﻳﻪي ﻣﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺪﻫﻨﺪ‪ ،‬ﻳﻜﻲ از زاوﻳﻪﻫﺎ ﺣﺘﻤﺎً ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪30 (4‬‬ ‫‪45 (3‬‬ ‫‪60 (2‬‬ ‫‪90 (1‬‬

‫‪ 11‬ـ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ دﻧﺒﺎﻟﻪي ‪ ...,x,y,4,...‬ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻧﺰوﻟﻲ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪ 1‬واﺣﺪ ﺑﻪ ‪ x‬اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ‪ x 1,y,4‬ﺗﺸﻜﻴﻞ‬

‫ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪ y .‬ﻛﺪام ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪5 (4 4 (3 3 (2 2 (1‬‬

‫ﭘﻠﻜﺎن آزﻣﻮن ‪29‬‬

‫‪ 12‬ـ ﺣﺎﺻﻞ ‪ 32  33  34  ...‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪51‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪...‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪1 (4‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪(1‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ اﻧﺴﺎﻧﻲ ـ ‪(83‬‬ ‫‪ 13‬ـ در دراﻳﻪﻫﺎي ﻣﺮﺑﻌﻲ ﺷﻜﻞ زﻳﺮ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي دﻫﻢ ﭼﻨﺪ ﻋﻀﻮ ﺳﻔﻴﺪ دارد؟‬

‫‪55 (1‬‬

‫‪72 (2‬‬

‫‪65 (3‬‬

‫‪56 (4‬‬

‫اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ دارد؟‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫آن‬ ‫ﻋﻤﻮﻣﻲ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫و‬ ‫‪16‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻲ‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ـ‬ ‫‪14‬‬
‫‪16‬‬
‫‪8‬‬
‫‪16 (4 12 (3 8 (2 4 (1‬‬

‫‪ 15‬ـ ﭼﻪ ﻋﺪدي ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺗﻚﺗﻚ ﻋﺪدﻫﺎي ‪ 21‬و ‪ 11‬و ‪ 5‬اﺿﺎﻓﻪ ﺷﻮد‪ ،‬ﺗﺎ ﺳﻪ ﻋﺪد ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺪﻫﻨﺪ؟‬
‫‪-3 (4 4 (3 -4 (2 3 (1‬‬

‫‪ 16‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻼت ﻣﺜﺒﺖ‪ ،‬اﮔﺮ ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﺬور ﺟﻤﻠﻪي دوم ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﭼﻨﺪم ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻜﻌﺐ ﺟﻤﻠﻪي اول اﺳﺖ؟‬

‫‪ (4‬ﺷﺸﻢ‬ ‫‪ (3‬ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫‪ (2‬ﻫﺸﺘﻢ‬ ‫‪ (1‬ﻧﻬﻢ‬

‫‪ 17‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ S8  a1  a2  ...  a8  76‬و ‪ S7  a1  a2  ...  a7  68‬اﺳﺖ‪ .‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪(1‬‬

‫ﺑﻮد؟‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ‬ ‫ﻋﺪدي‬ ‫ﭼﻪ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫و ‪ ...  0 / 98‬‬ ‫اﮔﺮ‪a  1‬‬ ‫ـ‬ ‫‪18‬‬

‫‪a2‬‬ ‫‪a4‬‬ ‫‪a6‬‬
‫‪10 (4 9 (3 8 (2 7 (1‬‬

‫‪ 19‬ـ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 2‬و ‪ -486‬ﭼﻬﺎر واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ درج ﻛﺮدهاﻳﻢ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع اﻳﻦ ﭼﻬﺎر واﺳﻄﻪ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪140 (4‬‬ ‫‪130 (3‬‬ ‫‪120 (2‬‬ ‫‪110 (1‬‬

‫‪ 20‬ـ ﻣﻘﺪار ‪ x‬از ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ 3  5 13  ...  x  407‬ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪88 (4 77 (3 66 (2 55 (1‬‬

‫آزﻣﻮن دوم )اﺳﺘﺎﻧﺪارد(‬

‫‪ 30‬دﻗﻴﻘﻪ‬

‫‪ 1‬ـ ﻣﺠﻤﻮع زواﻳﺎي ﻳﻚ ﺷﺶﺿﻠﻌﻲ ‪ 720‬اﺳﺖ‪ .‬اﻧﺪازهي زاوﻳﻪﻫﺎ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ زاوﻳﻪ ‪ 190‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬اﺧﺘﻼف‬

‫اﻧﺪازه دو زاوﻳﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪40 (4‬‬ ‫‪36 (3‬‬ ‫‪32 (2‬‬ ‫‪28 (1‬‬

‫ﻛﺪام دو ﻋﺪد اﺳﺖ؟‬ ‫ﺑﻴﻦ‬ ‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪2n(7n‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫ﻋﺪدي‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي اول‬ ‫‪ 2‬ـ ﻣﺠﻤﻮع‬
‫‪9‬‬
‫‪ 5 (4‬و ‪6‬‬ ‫‪ 4 (3‬و ‪5‬‬ ‫‪ 3 (2‬و ‪4‬‬ ‫‪ 2 (1‬و ‪3‬‬

‫‪ 3‬ـ ﻣﻮﺟﻲ ﺑﺮ روي ﻧﻴﻢداﻳﺮهﻫﺎي ﺑﺎﻻي ﻳﻚ ﻣﺤﻮر ﺣﺮﻛﺖ ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﻗﻄﺮ اوﻟﻴﻪي ‪ 1‬واﺣﺪ‪ ،‬ﻫﺮ ﺑﺎر ﻛﻪ ﺑﻪ ﻣﺤﻮر ﺑﺮﺧﻮرد ﻛﻨﺪ‪ 20 ،‬درﺻﺪ از ﻃﻮل ﻗﻄﺮ‬

‫آن ﻛﺎﺳﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬اﻧﺪازهي ﻣﺤﻴﻂ اﻳﻦ ﻧﻴﻢداﻳﺮهﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ دﻧﺒﺎﻟﻪي اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع اﻳﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ‪ ،‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟ )ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(84‬‬

‫‪3 (2 2 (1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(3‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 4‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﺰوﻟﻲ ﺑﻲﭘﺎﻳﺎن‪ ،‬ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﭘﻨﺞ ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻠﻪي اول اﺳﺖ‪ .‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﭼﻪﻗﺪر اﺳﺖ؟‬

‫‪5‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﭼﻬﺎرم‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﭼﻨﺪ‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺑﻌﺪي‬ ‫ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﻧﺎﻣﺤﺪود‪،‬‬ ‫ﻧﺰوﻟﻲ‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻲ‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ـ‬ ‫‪5‬‬

‫‪64‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪125‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪64‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪30‬‬

‫‪ 6‬ـ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ‪ 9  99  999  ...  99...9‬را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬در ﻋﺪد ﺑﻪدﺳﺖآﻣﺪه‪ ،‬ﭼﻨﺪ رﻗﻢ ‪ 1‬ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﻛﻨﻴﺪ؟‬
‫‪ 15 12 (1‬ﺗﺎ‬
‫‪15 (4‬‬ ‫‪14 (3‬‬ ‫‪13 (2‬‬

‫‪ 7‬ـ داﻳﺮهاي ﺑﻪ ﻗﻄﺮ ‪ 1‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬داﻳﺮهي دﻳﮕﺮي را رﺳﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻗﻄﺮ آن ﺑﺎ ﺷﻌﺎع داﻳﺮهي اول ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ و اﻳﻦ ﻋﻤﻞ را اداﻣﻪ ﻣﻲدﻫﻴﻢ؛ ﻳﻌﻨﻲ‬

‫ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ ﻣﻲﺷﻮد؟‬ ‫‪‬‬ ‫از‬ ‫ﻣﺤﻴﻂاش‬ ‫داﻳﺮه‬ ‫ﻗﺒﻞ رﺳﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﭼﻨﺪﻣﻴﻦ‬ ‫داﻳﺮهي‬ ‫ﺷﻌﺎع‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫ﺑﻪ ﻗﻄﺮ‬ ‫دﻳﮕﺮي را‬ ‫ﻫﺮ داﻳﺮه‪ ،‬داﻳﺮهي‬ ‫رﺳﻢ‬ ‫ﭘﺲ از‬

‫‪900‬‬ ‫‪ (4‬ﻳﺎزدﻫﻢ‬ ‫‪ (3‬دﻫﻢ‬ ‫‪ (2‬ﻧﻬﻢ‬ ‫‪ (1‬ﻫﺸﺘﻢ‬

‫‪ 8‬ـ ﺑﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪي اول و ﻳﺎزدﻫﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ‪ 5,9,13,...‬ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺳﻪ ﻋﺪد ﻗﺮار دﻫﻴﻢ‪ ،‬ﺑﻪﻃﻮري ﻛﻪ اﻳﻦ ﭘﻨﺞ ﻋﺪد ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ‬

‫‪ 3 (4‬‬ ‫‪ 2 (3‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺪﻫﻨﺪ‪ .‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟‬
‫‪3 (2 2 (1‬‬

‫‪ 9‬ـ اﮔﺮ ‪ a,b,4‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺎﺷﻨﺪ و ‪ b,a,4‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﻛﻪ ‪ a  b‬اﺳﺖ‪،‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ‪ a  b‬ﭼﻪﻗﺪر ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ ‪-4 (4 -2 (3 -1 (2‬‬

‫‪ 10‬ـ ﺟﻤﻼت اول‪ ،‬ﻳﺎزدﻫﻢ و ﺳﻲوﻳﻜﻢ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ‪ ،‬ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪ .‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟‬
‫‪5 (4 4 (3 3 (2 2 (1‬‬

‫‪ 11‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪ اول ‪ 136‬و ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪ اول آن ‪ 153‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﻤﻠﻪ اول ﭼﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻠﻪ ﭘﻨﺠﻢ اﺳﺖ؟‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(89‬‬ ‫‪8 (2‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪(1‬‬
‫‪16 (4‬‬ ‫‪16‬‬
‫‪9 (3‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪(89‬‬ ‫اﺳﺖ؟‬ ‫ﻛﺪام‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫‪15‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺑﻪﺻﻮرت‬ ‫ُام‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﻋﺪدي‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫ﻳﻚ‬ ‫در‬ ‫ـ‬ ‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪135 (4‬‬ ‫‪120 (3‬‬ ‫‪105 (2‬‬ ‫‪90 (1‬‬

‫‪ 13‬ـ اﻋﺪاد ‪ 3 3 ,9,b‬و ‪ 3a‬ﺟﻤﻼت ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬واﺳﻄﻪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ a 3‬و ‪ b‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟ )آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(89‬‬

‫‪9 (4 3 (3 3 (2 3 3 (1‬‬

‫‪ 14‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻣﺠﻤﻮع ده ﺟﻤﻠﻪي اول‪ 4 2 1‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮع ‪ 5‬ﺟﻤﻠﻪ اول اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻣﺠﻤﻮع ‪ 8‬ﺟﻤﻠﻪ اول ﭼﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ‬

‫)آزاد ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(89‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻬﺎر ﺟﻤﻠﻪ اول اﺳﺖ؟‬

‫‪17 (4 9 (3 3 (2 5 (1‬‬

‫)آزاد ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪(89‬‬ ‫‪ 15‬ـ در دﻧﺒﺎﻟﻪ ‪ an  n2  (n 1)2‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ 19‬ﺟﻤﻠﻪ اول ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪-400 (4‬‬ ‫‪401 (3‬‬ ‫‪-399 (2‬‬ ‫‪1 (1‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 89‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫‪ 16‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺻﻌﻮدي ﺑﻪﺻﻮرت ‪ 4,a,9,b,...‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪83‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪8178 (2‬‬ ‫‪8138 (1‬‬
‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ 17‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻣﺠﻤﻮع ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ‪ 19‬و ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب آنﻫﺎ ‪ 216‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻛﻮﭼﻚﺗﺮﻳﻦ و ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ اﻳﻦ ﺳﻪ ﻋﺪد‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪(90‬‬ ‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪7 (4 6 (3 5 (2 4 (1‬‬

‫‪ 18‬ـ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺳﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮع دوازده ﺟﻤﻠﻪ اول آن اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﺟﻤﻠﻪي ﺳﻮم ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 6‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي دﻫﻢ‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪(90‬‬ ‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪38 (4 36 (3 34 (2 32 (1‬‬

‫‪ 19‬ـ در ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ‪ ،1,2,4,...‬ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻬﺎرده ﺟﻤﻠﻪي اول ﭼﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﻫﻔﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول آن اﺳﺖ؟ )ﺳﺮاﺳﺮي ـ ﺗﺠﺮﺑﻲ ـ ‪ 90‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬

‫‪129 (4‬‬ ‫‪127 (3‬‬ ‫‪63 (2‬‬ ‫‪65 (1‬‬

‫ﺑﻪ‬ ‫ﺧﺘﻢ‬ ‫و‬ ‫ﻫﻔﺘﻢ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫از‬ ‫ﺷﺮوع‬ ‫ﺟﻤﻼت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫در‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n(n‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪15‬‬ ‫ﺑﻪﺻﻮرت‬ ‫ﻋﺪدي‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫از‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫ـ‬ ‫‪20‬‬
‫‪6‬‬

‫)ﺳﺮاﺳﺮي ـ رﻳﺎﺿﻲ ـ ‪ 90‬ـ ﺧﺎرج از ﻛﺸﻮر(‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي ﻫﺠﺪﻫﻢ‪ ،‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬

‫‪18 (4‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪9 (1‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﭘﻠﻜﺎن آزﻣﻮن ‪28‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﭘﻠﻜﺎن آزﻣﻮن ‪31‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻘﺪار ‪ q‬ﻳﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺴﺖﻫﺎي آزﻣﻮن ﻳﻜﻢ‬

‫‪a5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪a6  x ‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬
‫‪a5‬‬
‫‪5‬‬

‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ q  d :‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ده ﺟﻤﻠﻪي اول و ﭘﻨﺞ ﺟﻤﻠﻪي اول ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬

‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ q‬و ﺟﻤﻠﻪي اول ‪ a‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪a(q10 1‬‬ ‫)‪a(q5 1‬‬
‫‪q 1‬‬ ‫‪q 1‬‬
‫‪S10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪S5‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ 4‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬راﺑﻄﻪﻫﺎي دادهﺷﺪه را ﺑﺎز ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ و ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه دو‬ ‫ﻣﻲآورﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﻪدﺳﺖ‬ ‫را‬ ‫‪q‬‬ ‫ﻣﻘﺪار‬ ‫اﺳﺖ‪،‬‬ ‫‪S10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪S5‬‬ ‫اﻳﻦﻛﻪ‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ‬
‫‪32‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ و دو ﻣﺠﻬﻮل ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺟﻤﻠﻪي اول )‪ (a1‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ )‪(d‬‬ ‫)‪a (q10 1‬‬ ‫)‪a(q5 1‬‬
‫ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪S10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪S5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q1‬‬ ‫دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬
‫‪a7  a9  8  (a1  6d)  (a1  8d)  8  2a1 14d  8‬‬ ‫‪33‬‬
‫‪‬‬ ‫‪(q5‬‬ ‫‪1)(q5‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪(q5‬‬ ‫)‪1‬‬

‫‪ a1  7d  4‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪a6  a11  (a1  5d)  (a1 10d)  2a1 15d 11‬‬ ‫‪II‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دو ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ I‬و ‪ II‬ﻣﻘﺪار‪ a1‬و ‪ d‬را ﺣﺴﺎب‬ ‫‪ 2‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ a6 13‬و ‪ a13  6‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻘﺪار‬
‫‪ a1‬و ‪ d‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪a13  a6  7d  7d  6 13  d  1‬‬
‫‪a1  7d ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2a1 14d  8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a6  a1  5d  a1  5 13  a1 18‬‬
‫‪2a1 15d‬‬ ‫‪2a1 15d 11‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪ .‬ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي‬
‫‪‬‬

‫‪I‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪d3‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪17‬‬
‫‪‬‬

‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻴﺴﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي دوم ﻫﻢ اﺑﺘﺪا ﻣﺠﻤﻮع دوازده ﺟﻤﻠﻪي اول را‬

‫‪S20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫) ‪ 19d‬‬ ‫‪ 10(34‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪57‬‬ ‫‪ 10 23‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪230‬‬ ‫ﺑﻪدﺳﺖ آورده و ﺳﭙﺲ ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول را از آن ﻛﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫دﺳﺖ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻲﺷﻮﻳﻢ‪:‬‬

‫‪ 5‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺮاﺳﺎس اﻳﻦ ﻓﺮض ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي دﻫﻢ ‪ 3‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫‪S6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a6‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪3(18‬‬ ‫)‪13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪31 ‬‬ ‫‪93‬‬
‫‪2‬‬
‫دوم اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪12‬‬
‫‪S12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪a12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6(18‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 25‬‬ ‫‪ 150‬‬

‫‪a10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)ﻣﺘﻮﺟﻪ ﺷﺪﻳﺪ ﻛﻪ ﭼﺮا ‪ a12  7‬اﺳﺖ دﻳﮕﻪ؟(‬
‫‪a2‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎﻻ ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي اول را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪S12  S6 150 93  57  S‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺗﻔﺎوت ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول و دوم ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫) ‪a1  a9  a1  a1q8  a1(1 a8‬‬
‫‪ a1(1 3)  4a1 12  a1  3‬‬ ‫‪S6  S  93  57  36‬‬
‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ؛ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛﺮدﻳﺪ ﻛﻪ ﻧﻴﺎزي ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ ‪ q‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺑﺎ‬
‫‪ 3‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ‪ d‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ روﻧﺪ ﺣﻞ‪ q8 ،‬را دارﻳﻢ و اﻳﻦ ﺑﺮاي ﻣﺎ ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ‪ .‬زﺣﻤﺖ‬
‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫زﻳﺎدي ﺑﻪ ﺧﻮدﺗﺎن ﻧﺪﻫﻴﺪ!‬ ‫‪a2  5 , a7  x  a7  a2  5d  x  5  d  x55‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪32‬‬

‫در ﻧﻈﺮ‬ ‫و‪x‬‬ ‫و‪y‬‬ ‫را ‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫زاوﻳﻪي‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪:‬‬ ‫‪ 10‬ـ‬ ‫‪ 6‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻠﻪي اول و ﭘﻨﺠﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬
‫‪ABC‬‬
‫ﻳﻚ ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮي ﻣﻬﻢ اﻧﺠﺎم ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪a1  a5  0 a1  (a1  4d)  0 :‬‬
‫ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ‪ y .‬واﺳﻄﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﻴﻦ ‪ x‬و ‪ z‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪ 2a1  4d  0  a1  2d  0  a1  2d‬‬ ‫‪I‬‬
‫‪y  x 2 z  x  z  2y‬‬ ‫‪I‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮع ﺳﻴﺰده ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 104‬اﺳﺖ‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ راﺑﻄﻪي ‪ I‬ﻣﻘﺪار ‪ y‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪي ‪ I‬ﻣﻘﺪار‪ a1‬و ‪ d‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪x  y  z  180I2y  y 180 3y 180  y  60‬‬ ‫‪13‬‬
‫‪S13‬‬ ‫‪ 104‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫)‪12d‬‬ ‫‪ 13 (a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪6d‬‬ ‫‪ 104‬‬

‫‪ 11‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ y :‬واﺳﻄﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 4‬و ‪ x‬و واﺳﻄﻪي‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪2d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬
‫‪‬‬

‫ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 4‬و‪ x 1‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ رواﺑﻂ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪‬‬

‫)‪y  x 2 4 , y2  4(x 1‬‬ ‫واﺳﻄﻪﻫﺎي ﺣﺴﺎﺑﻲ و ﻫﻨﺪﺳﻲ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ رواﺑﻂ ﺑﻪدﺳﺖآﻣﺪه و ﺑﺎ ﻳﺎدآوري اﻳﻦﻛﻪ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪a7  a1  6d  4  (62)  4 12  8‬‬

‫ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻧﺰوﻟﻲ اﺳﺖ )ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻨﻔﻲ ﺑﺎﺷﺪ( ﻣﻘﺪار ‪y‬‬ ‫‪ 7‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪163‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13 14‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬
‫‪y2  4(x 1) x2y4 y2  4(2y  3)  8y 12‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪ y  6‬ﻳﺎ ‪ y2  8y 12  0  (y  2)(y  6)  0  y  2‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﻣﻲﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‪:‬‬

‫ﺗﻨﻬﺎ ﻋﺪد ‪ 2‬در ﮔﺰﻳﻨﻪﻫﺎ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪ (n‬‬ ‫‪1)d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ (n‬‬ ‫()‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬
‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬
‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪ 12‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺗﻐﻴﻴﺮاﺗﻲ در ﺻﻮرت و ﻣﺨﺮج ﻛﺴﺮ اﻳﺠﺎد ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻧﺎﻣﺴﺎوي ‪ an  50‬را ﺣﻞ ﻛﺮده و اوﻟﻴﻦ ﻣﻘﺪار ﺑﺮاي ‪ n‬را ﻛﻪ‬
‫‪32‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪ 34‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪‬‬
‫‪51‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪ 55‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺑﻪازاي آن ﻫﻤﻪي ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﺗﺼﺎﻋﺪ از ‪ 50‬ﺑﺰرگﺗﺮ اﺳﺖ‪ ،‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬
‫(‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪50 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 506 n‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪300‬‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺻﻮرت ﻛﺴﺮ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫‪6‬‬
‫‪ n  315 nn  316‬‬
‫ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬ﻣﺨﺮج ﻛﺴﺮ ﻫﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻲﭘﺎﻳﺎن‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫و‬ ‫‪1‬‬ ‫اول‬
‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫ﺑﺎ‪:‬‬ ‫اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﻘﺪار ﻛﺴﺮ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ‬ ‫‪25‬‬ ‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫و‬ ‫‪5‬‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫ﺑﺎ‬ ‫‪ 8‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺠﺬور ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ‬

‫‪11‬‬ ‫‪a7  a1q6  a27  (a1q6 )2  a12q12‬‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪99‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب دو ﺟﻤﻠﻪي ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪a12q12‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺷﻮد‪ .‬ﮔﺰﻳﻨﻪﻫﺎ را ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪5 5 24‬‬ ‫‪a1.a12  a1(a1q11)  a12q11 ‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪24‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪a4 .a11  (a1q3 )(a1q10 )  a12q13 ‬‬

‫‪ 13‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺮﺑﻊ اول‪ 11‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﺮﺑﻊ دوم ‪ ، 22‬ﻣﺮﺑﻊ ﺳﻮم‬ ‫‪a5 .a9  (a1q4 )(a1q8 )  a12q12 ‬‬
‫‪ 3  3‬و ‪ ...‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﺮﺑﻊ دﻫﻢ‪ 1010‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬دﻧﺒﺎﻟﻪاي ﻛﻪ ﻛﻞ‬
‫ﭘﺲ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﭘﻨﺠﻢ و ﻧﻬﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﺬور ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫ﻋﻀﻮﻫﺎي ﺳﻴﺎه و ﺳﻔﻴﺪ را در ﻣﺮﺑﻊ دﻫﻢ ﻧﺸﺎن دﻫﺪ ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪a 3 .a13  (a1q2 )(a1q12 )  a12q14 ‬‬
‫‪1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬اﻋﺪادي ﻛﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪهاﻧﺪ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﻋﻀﻮﻫﺎي ﺳﻔﻴﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ 9‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم ﺗﺼﺎﻋﺪ اول و دوم را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻛﻞ ﺗﻌﺪاد ﻋﻀﻮﻫﺎي ﺳﻔﻴﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪ : an  a1qn1‬ﺗﺼﺎﻋﺪ اول‬
‫‪3  7 1115 19  55‬‬ ‫‪ : bn  b1qn1  4a1qn1‬ﺗﺼﺎﻋﺪ دوم‬

‫‪ 14‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬از روي ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي اول‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻧﺴﺒﺖ ‪ an‬ﺑﻪ ‪ bn‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1q n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪22‬‬
‫‪bn‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪an‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n1 a1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4a1q n 1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬
‫‪8‬‬

‫‪33‬‬ ‫ﭘﺎﺳﺦﻫﺎي ﭘﻠﻜﺎن آزﻣﻮن‬

‫‪ 19‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﻴﻦ ‪ 2‬و ‪ -486‬ﭼﻬﺎر واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ درج ﺷﺪه‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ‪ a1‬و راﺑﻄﻪاي ﻛﻪ ‪ an‬را ﺑﻴﺎن ﻣﻲﻛﻨﺪ و ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ﺑﺎ‬

‫اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 2‬و ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺸﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫داﻧﺴﺘﻦ اﻳﻦﻛﻪ ‪ Sn 16‬اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ‪ n‬ﻳﺎ ﻫﻤﺎن ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي ﺗﺼﺎﻋﺪ‬

‫ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ -486‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪ an‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(116‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪ 16‬‬ ‫را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫‪a6‬‬ ‫‪4286‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪ q5‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪ 16 16‬‬ ‫‪ 28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪16‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪S6‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪a1(qq6 11‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪2((3)6 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪2(729 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪728‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪364‬‬ ‫‪ 15‬ـ ﻋﺪد اﺿﺎﻓﻪﺷﺪه را ‪ x‬ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬در اﻳﻦﺻﻮرت اﻋﺪاد‬
‫‪3 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 5  x , 11 x , 21 x‬ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻋﺪد ‪11 x‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻬﺎر واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ‪ 21 x‬و ‪ 5  x‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ‪:‬‬
‫‪(11 x)2  (5  x)(21 x)  x2  22x 121 x2  26x 105‬‬
‫)‪S  S6  (a1  a6 )  364  (2  486‬‬ ‫‪ 4x 16  x  4‬‬
‫‪ 364  (484)  364  484  120‬‬

‫‪ 20‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ x :‬ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول‬

‫‪ -3‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ 8‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ‪ n‬ﺟﻤﻠﻪي اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫‪ 16‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﻣﺠﺬور ﺟﻤﻠﻪي دوم اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ‬

‫‪ 407‬ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ‪ n‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﺟﻤﻼت ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ‪ ،‬راﺑﻄﻪي ﺑﻴﻦ‪ a1‬و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬
‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪Sn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[2a1‬‬ ‫‪ (n‬‬ ‫]‪1)d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪[6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8(n‬‬ ‫])‪1‬‬
‫‪a7  a22  a1q6  (a1q)2  a12q2  a1  q4‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺟﻤﻠﻪي ‪ n‬اُم ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻜﻌﺐ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(8n‬‬ ‫)‪14‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n(4n‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪407‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫در اﻳﻦﺻﻮرت ‪ n‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪an  a13 a1q4a1qn1  q12 a1q4q4  qn1  q12‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ x :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻳﺎزدﻫﻢ اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﻘﺪار آن‬
‫‪ n 1 8  n  9‬‬
‫‪x  a11  a1 10d  3  (10 8)  3  80  77‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫ﭘﺎﺳﺦ ﺗﺴﺖﻫﺎي آزﻣﻮن دوم‬

‫‪ 1‬ـ ﭼﺸﻢاﻧﺪاز‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع زواﻳﺎي ﺷﺶ ﺿﻠﻌﻲ ﻛﻪ اﻋﻀﺎي آن ﺗﺸﻜﻴﻞ‬ ‫‪ 17‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﻣﻘﺪار ‪ S7‬و ‪ S8‬را دارﻳﻢ‪ ،‬ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪ ،‬ﻫﻤﺎن ‪ S6‬در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ‬ ‫دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ و دو ﻣﺠﻬﻮل ﺑﺮﺣﺴﺐ‪ a1‬و ‪ d‬ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫زاوﻳﻪ ﻫﻢ ‪ a6‬اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎﻻ ﻛﻪ اﻳﻦ دو ﻣﻘﺪار را دارﻳﻢ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻘﺪار ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫‪7‬‬
‫‪S7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫)‪ 6d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7a1‬‬ ‫‪ 21d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪I‬‬
‫ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﻳﺎ ﻫﻤﺎن اﺧﺘﻼف اﻧﺪازهي دو زاوﻳﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪S8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(2a1‬‬ ‫)‪7d‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪4(2a1‬‬ ‫)‪7d‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪2a1‬‬ ‫‪7d‬‬ ‫‪ 19‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ S6  720 :‬و ‪ a6 190‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‪ a1‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪S6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪a6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3(a1‬‬ ‫)‪190‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪720‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬دﺳﺘﮕﺎه دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ و دو ﻣﺠﻬﻮل را ﺣﻞ ﻛﺮده و ﻣﻘﺪار ‪ d‬را‬
‫‪2‬‬
‫‪ a1 190  240 a1  50‬‬ ‫‪2a1  7d 19 36a1  21d  57‬‬ ‫ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪I 7a1  21d  a1  (6a1 21d)  68  a1 11‬‬
‫‪57‬‬
‫‪a6  a1  5d 190 50 140  5d  d  28‬‬ ‫‪2a1  7d 19 a11122  7d 19  7d‬‬
‫‪ 3 ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪7‬‬

‫‪ 2‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﻘﺪار‪ S1‬و ‪ S1) S2‬ﻛﻪ ﻫﻤﺎن ﺟﻤﻠﻪي اول اﺳﺖ‬ ‫‪ 18‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻲﺷﻤﺎر ﺟﻤﻠﻪ از ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ‬

‫و ‪ S2‬ﻣﺠﻤﻮع دو ﺟﻤﻠﻪي اول و دوم اﺳﺖ( را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪2(7 ‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪S1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 9 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫آن‬ ‫ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ‬ ‫و‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫اﻳﻦ‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺷﺪه‬ ‫‪0/98‬‬
‫‪9‬‬ ‫‪a2‬‬
‫‪(2  2)(14‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪4 911‬‬ ‫‪44‬‬
‫‪S2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪي ‪ S  1a1q‬ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‪:‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺑﻪدﺳﺖآوردن ﻣﻘﺪار ﺟﻤﻠﻪي دوم‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻢ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0 / 98‬‬

‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺑﻪراﺣﺘﻲ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﺷﻮد‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪a2‬‬
‫‪a2‬‬ ‫)‬

‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪a1 a‬‬ ‫‪7‬‬
‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬
‫‪28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫دارد‪.‬‬ ‫ﻗﺮار‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫دو‬ ‫ﺑﻴﻦ‬ ‫‪9‬‬
‫‪4‬‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬

‫ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪34‬‬

‫‪‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ‬ ‫دﻫﻴﻢ‪an ،‬‬ ‫ﻧﺸﺎن‬ ‫ﺑﺎ ‪an‬‬ ‫را‬ ‫اُم‬ ‫‪n‬‬ ‫داﻳﺮهي‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪:‬‬ ‫‪ 3‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬دﻧﺒﺎﻟﻪاي ﻛﻪ ﺷﻌﺎع ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ ﻧﻴﻢداﻳﺮهﻫﺎ در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ‬

‫‪2n1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪(4521‬‬ ‫‪,‬‬ ‫) ‪(4525‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪...‬‬ ‫ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﺪ‪ ،‬ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﻲﺷﻮد‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﻣﻘﺪاري ﺑﺮاي ‪ n‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪازاي آن ‪ an‬از ‪900‬‬
‫ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ ﺷﻮد‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪28‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬دﻧﺒﺎﻟﻪاي ﻛﻪ ﻣﺤﻴﻂ اﻳﻦ ﻧﻴﻢداﻳﺮهﻫﺎ ﺗﺸﻜ‪5‬ﻴ‪2‬ﻞ ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪5‬ﺑﻪﺻﻮرت‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2n1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪900 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1  10 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 11‬‬
‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪2n1‬‬ ‫‪900‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪...‬‬

‫ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫از‬ ‫ﻳﺎزدﻫﻢ‬ ‫داﻳﺮهي‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع اﻳﻦ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻲﭘﺎﻳﺎن ﻛﻪ ﺑﺮاﺑﺮ اﻧﺪازهي‬

‫‪900‬‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ ﻧﻴﻢداﻳﺮهﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻲﺷﻮد ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪ 8‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻳﺎزدﻫﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪a11  a1 10d  5  (10 4)  5  40  45‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1a1q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﻴﻦ ‪ 5‬و ‪ ،45‬ﺳﻪ واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ درج ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﭘﺲ‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪي ﭘﻨﺠﻢ آن ‪ 45‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﺗﻤﺎم ﺟﻤﻠﻪﻫﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫‪5‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻫﻢ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪ 4‬ـ ﺣﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت در ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﺰوﻟﻲ ﺑﻲﭘﺎﻳﺎن از‬

‫‪a5‬‬ ‫‪ q4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪ q4‬‬ ‫‪ q4‬‬ ‫‪ 9 q0‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪3‬‬ ‫راﺑﻄﻪي ‪ S  1a1q‬ﺣﺴﺎب ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ‪ q‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪a1‬‬ ‫‪5‬‬
‫‪S‬‬ ‫‪ 1a1q‬‬ ‫‪ 5a1 1 q ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ 9‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ b :‬واﺳﻄﻪي ﺣﺴﺎﺑﻲ ﺑﻴﻦ ‪ a‬و ‪ 4‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‪:‬‬

‫‪b  a 2 4‬‬ ‫‪ 5‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﺑﻌﺪ از ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪a2  4b‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ a :‬واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ ‪ b‬و ‪ 4‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1a1q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1a1qq‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻌﻴﻴﻦ ‪ a‬و ‪ ، b‬ﺣﺎﺻﻞ ‪ a  b‬را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪1‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻤﻼت ﺑﻌﺪي اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻘﺪار ‪q‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اول‬ ‫ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫دوم‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي‬
‫‪b a42 ‬‬
‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a42‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a24‬‬ ‫‪ a2‬‬ ‫‪ 2a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻲﺷﻮد ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a2  2a  8  0  (a  4)(a  2)  0a4 a  2‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1a1qq‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪5q‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪4‬‬
‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻧﺴﺒﺖ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺑﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﭼﻬﺎرم ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪2‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﭼﻬﺎرم‪ :‬ﻳﻚ ﺟﻤﻊ ﺳﺎده‪:‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪a  b  2 1 -1‬‬ ‫‪a4‬‬ ‫‪a1q 3‬‬ ‫‪125‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪64‬‬
‫‪5‬‬ ‫‪125‬‬
‫(‬ ‫)‬

‫‪ 10‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي ﻳﺎزدﻫﻢ‪ ،‬واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي اول‬ ‫‪ 6‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي ﻋﺒﺎرت دادهﺷﺪه ﺗﻐﻴﻴﺮاﺗﻲ در آن اﻳﺠﺎد‬

‫و ﺳﻲوﻳﻜﻢ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪A  9  99  999    99...9‬‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬

‫)‪a121  a1.a31  (a1 10d)2  a1(a1  30d‬‬ ‫)‪ 151)    (1015 1‬ﺗ‪3‬ﺎ‪ (101)  (102 1)  (10‬‬
‫‪ a12  20a1d 100d2  a12  30a1d‬‬
‫‪10a1d 100d2  a1 10d‬‬ ‫‪ (10102 103   1015 ) 15‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ در ﻣﻲآﻳﻨﺪ‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻋﺒﺎرت داﺧﻞ ﭘﺮاﻧﺘﺰ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻳﻚ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺎ ﺟﻤﻠﻪي‬

‫‪b1  a1  10d‬‬ ‫اول و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ‪ 10‬ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﻘﺪار ‪ A‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪b2  a11  a1 10d 10d 10d  20d‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪10(1015 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪190 (1015‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬
‫‪b3  a31  a1  30d 10d  30d  40d‬‬ ‫‪10  1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪q‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪20d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪(99...9‬‬ ‫‪15 10(11...1) 15 111...10‬‬ ‫‪15 11...1095‬‬
‫‪b1‬‬ ‫‪10d‬‬ ‫ﺷﺪه ‪ 13‬رﻗﻢ ‪ 1‬ﻣﺸﺎ‪5‬ﻫ‪1‬ﺗﺪﺎه ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪‬‬ ‫‪15‬ﺗﺎ‬ ‫ﻋﺗﺎﺪد‬ ‫‪13‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ‬ ‫در‬ ‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬

‫‪ 11‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻓﺮضﻫﺎي ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺴﺖ دﺳﺘﮕﺎه دو‬ ‫‪ 7‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬دﻧﺒﺎﻟﻪاي را ﻛﻪ ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهي ﻗﻄﺮ اﻳﻦ داﻳﺮهﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ و دو ﻣﺠﻬﻮﻟﻲ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﺠﻬﻮلﻫﺎي آن ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬
‫ﻫﻨﺪﺳﻲ و ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ را‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪...‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪:‬‬

‫‪S3‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪a(q3 1‬‬ ‫‪ 136‬‬ ‫ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻲداﻧﻴﻢ ﻣﺤﻴﻂ داﻳﺮه ﺑﺮاﺑﺮ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﻗﻄﺮ داﻳﺮه در ﻋﺪد ‪‬‬
‫‪q 1‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ دﻧﺒﺎﻟﻪاي ﻛﻪ ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهي ﻣﺤﻴﻂ اﻳﻦ داﻳﺮهﻫﺎ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻪﺻﻮرت‬
‫)‪a(q6 1‬‬ ‫‪a(q3‬‬ ‫‪ 1)(q 3‬‬ ‫)‪ 1‬‬ ‫‪ 153‬‬
‫‪S6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q 1‬‬ ‫‪, 2 , 4 , 8 ,...‬‬ ‫زﻳﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪:‬‬

‫‪35‬‬ ‫ﭘﺎﺳﺦﻫﺎي ﭘﻠﻜﺎن آزﻣﻮن‬

‫‪ 16‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫را ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫ﻣﻘﺪار ‪S3‬‬ ‫)‪a(q3 1‬‬ ‫ﺑﻪﺟﺎي ﻣﻘﺪار‬
‫‪q 1‬‬
‫‪a3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪q0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪153‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪q2‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪136(q3‬‬ ‫)‪ 1‬‬ ‫‪ 153‬‬ ‫‪q3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪136‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪q3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع ﺷﺶ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻧﺴﺒﺖ‬
‫‪a5‬‬
‫) ‪a1(1 q6‬‬ ‫( ‪4(1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫)‬ ‫‪4(1‬‬ ‫) ‪76249‬‬ ‫(‪4‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪ 729‬‬ ‫)‬ ‫‪q21‬‬
‫‪1 q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪64‬‬
‫‪S6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16 ‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪ 16‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪a5‬‬ ‫‪a1q4‬‬ ‫‪a5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a5‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q4‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪665‬‬
‫‪‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪665‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 12‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﺟﻤﻠﻪي اول و ﺟﻤﻠﻪي ﭘﺎﻧﺰدﻫﻢ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻋﺪدي را‬
‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬
‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪83‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪a‬‬ ‫و‬ ‫و‪a‬‬ ‫ﺑﻪﺻﻮرت ‪aq‬‬ ‫را‬ ‫ﻣﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪي‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪:‬‬ ‫‪ 17‬ـ‬ ‫‪a15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪35‬‬
‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ‪ 3‬ﺟﻤﻠﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 216‬اﺳﺖ‪،‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﻣﻘﺪار‪ a1‬و ‪ ، a15‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪي ‪ S15‬ﻛﺎر دﺷﻮاري ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪ a  aq‬‬ ‫‪ 216‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪ 216‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ a‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪S15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫) ‪ a15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪(‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪35‬‬ ‫)‬ ‫دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺣﺎﻻ ‪ q‬را ﻫﻢ ﺗﻌﻴﻴﻦ و در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﺗﻔﺎﺿﻞ ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ و‬ ‫‪‬‬ ‫‪S15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 105‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬
‫ﻛﻮﭼﻚﺗﺮﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪ را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪aq‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19q‬‬ ‫‪ 13‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ 3 3 :‬واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ ‪ 9‬و ‪ 3a‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬
‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ a‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪(3 3 )2  9 3a  27  9 3a  3a  3  a 1 :‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﻗﺪرﻧﺴﺒﺖ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 3‬اﺳﺖ‬
‫‪6q2‬‬ ‫‪ 13 q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪9,6,4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 b9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)ﭼﺮا؟( ﻣﻘﺪار ‪ b‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬
‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬واﺳﻄﻪي ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺑﻴﻦ ‪ a 3‬ﻛﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 3‬اﺳﺖ و ‪ b‬ﻛﻪ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺟﻤﻠﻪ‬ ‫ﺳﻪ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪4,6,9‬‬
‫‪2‬‬ ‫‪c2  9 3  3  27  c  3 3‬‬
‫‪ 9 3‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫در ﻫﺮ دو ﺣﺎﻟﺖ ﺗﻔﺎﺿﻞ ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ و ﻛﻮﭼﻚﺗﺮﻳﻦ ﺟﻤﻠﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 5‬اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ 18‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﺑﺘﺪا ﻣﻘﺪار ‪ d‬را ﺑﺮﺣﺴﺐ ‪ a‬ﻳﺎ ﺟﻤﻠﻪي اول ﺗﺼﺎﻋﺪ‬ ‫‪ 14‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬ﻓﺮض ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺴﺖ را ﺑﻪ زﺑﺎن رﻳﺎﺿﻲ ﺑﺮﻣﻲﮔﺮداﻧﻴﻢ‬

‫ﺗﺎ ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ ﭼﻪ ﭼﻴﺰي ﻋﺎﻳﺪﻣﺎن ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬دارﻳﻢ‪:‬‬

‫)‪S20  3S12  10(2a 19d)  3  6(2a 11d‬‬ ‫ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪S10  (4‬‬ ‫‪2 1)S5‬‬ ‫‪ a1(qq1011)  (4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪(q5‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ 5(2a 19d)  9(2a 11d)  10a  95d  18a  99d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ 8a  4d  0  2a  d  0  d  2a‬‬ ‫)‪q10 1 (4 2 1)(q5 1)  (q5 1)(q5 1)  (4 2 1)(q5 1‬‬

‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ‪ a3  6‬اﺳﺖ ﻣﻘﺪار ‪ a‬و ‪ d‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪ q5 1 4 2 1 q5  4 2  ( 2)5  q  2‬‬

‫‪a3  6  a  2d  6‬‬ ‫‪d2a‬‬ ‫‪a  4a  6‬‬ ‫را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪S8‬‬ ‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻧﺴﺒﺖ‬
‫‪S4‬‬

‫‪3a  6  a  2  d  4‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ :‬ﻣﻘﺪار ‪ a10‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬ ‫‪S8‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪a1(q8 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(q4 1)(q4 1‬‬ ‫‪ q4‬‬ ‫‪1‬‬
‫‪S4‬‬ ‫‪q 1‬‬ ‫‪q4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(q4 1‬‬
‫‪a10  a  9d  2  36  34‬‬
‫)‪a1(q4 1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫را ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪S14‬‬ ‫ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫‪S8‬‬
‫‪S7‬‬ ‫‪ 19‬ـ‬ ‫‪q 2‬‬ ‫‪S4‬‬ ‫(‪‬‬ ‫‪2)4 1 4 1 5‬‬

‫‪S14‬‬ ‫) ‪a1(1 q14‬‬ ‫‪1 q14‬‬ ‫) ‪(1 q7 )(1 q7‬‬ ‫‪1 q7‬‬ ‫‪ 15‬ـ ﭘﻠﻪي ﻳﻜﻢ‪ :‬اﮔﺮ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ را ﺳﺎده ﻛﻨﻴﻢ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ‬
‫‪S7‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫‪1 q7‬‬ ‫) ‪(1 q7‬‬
‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ an  2n 1‬در ﻣﻲآﻳﺪ‪ .‬ﭼﻮن درﺟﻪي ‪ n‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 1‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺎ ﻳﻚ دﻧﺒﺎﻟﻪ‬
‫) ‪a1(1 q7‬‬ ‫ﺣﺴﺎﺑﻲ روﺑﻪرو ﻫﺴﺘﻴﻢ‪.‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪ 1 27  1128  129‬‬
‫ﭘﻠﻪي دوم‪ :‬ﻣﻘﺪار‪ a1‬و ‪ a19‬را ﺣﺴﺎب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪a1  2(1) 1 3 :‬‬

‫‪ 20‬ـ ﺑﺎﻳﺪ ﺣﺎﺻﻞ ‪ S18  S6‬را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫‪a19  2(19) 1 39‬‬ ‫ﭘﻠﻪي ﺳﻮم‪ S19 :‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬

‫‪S18‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S6‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪18(18 15‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪6(6 15‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪S19‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a19‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪39‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19‬‬ ‫)‪(42‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪19  21 ‬‬ ‫‪399‬‬
‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬