ฟังก์ชันตรีโกณมิติเรื่องกฎของไซน์และโคไซน์

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

เรอื่ ง ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ

กฎของไซนแ์ ละโคไซน์

นายยอดเย่ียม สทุ ธิรกั ษ์ เลขท่ี 10
นางสาวญาณิศา แปน้ เจรญิ เลขท่ี 23

นกั เรยี น ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5/3
โรงเรยี นปากพนงั

สานกั งานเขตพนื้ ท่ีการศกึ ษามธั ยมศกึ ษา เขต 12
สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาพนื้ ฐาน
กระทรวงศกึ ษาธิการ

คานา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรเ์ ร่อื ง ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 ใช้
ประกอบการเรยี นการสอนในรายวชิ าเพ่มิ เตมิ 3 รหสั วชิ า ค32201 ผใู้ หผ้ เู้ รยี นเกิดการ
เรยี นรู้ เขา้ ใจบทเรยี นไดด้ ีย่งิ ขนึ้ สามารจดจาเนือ้ หาในบทเรยี นตา่ งๆไดค้ งทน ทราบ
ความกา้ วหนา้ ของตนเอง สามารนาแบบฝึก มาทบทวนเนือ้ หาเดิมดว้ ยตนเองได้
นอกจากนีย้ งั เป็นเคร่อื งบง่ ชีใ้ หค้ รูมองเหน็ จดุ เดน่ หรอื จดุ บกพรอ่ งของนกั เรยี นไดอ้ ยา่ ง
ชดั เจน ชว่ ยในการฝึกทกั ษะแกป้ ัญหาการเรยี นรูข้ องผเู้ รยี นเป็นรายบคุ คลและเป็นกลมุ่ ได้
รวมทงั้ ใชป้ ระเมนิ ผลความกา้ วหนา้ ทางการเรยี นรูแ้ ละพฒั นาทกั ษะผเู้ รยี น

นายยอดเย่ียม สทุ ธิรกั ษ์
นางสาวญาณิศา แปน้ เจรญิ

สารบญั

เรอ่ื ง หนา้ ท่ี

แบบทดสอบก่อนเรยี นเรือ่ ง กฎของไซนแ์ ละโคไซน์ ................................................................... 1

ใบงาน เรอ่ื งกฎของไซน์ ......................................................................................................... 7

ใบงาน เรอ่ื งกฎของโคไซน์ ................................................................................................... 12
แบบฝึกทกั ษะ เรอ่ื งกฎของไซนแ์ ละโคไซน์ ............................................................................. 15
แบบทดสอบหลงั เรยี น เร่อื งกฎของไซนแ์ ละโคไซน์ ................................................................. 16
เฉลยแบบฝึกทกั ษะ เรอ่ื งกฎของไซนแ์ ละโคไซน์ .................................................................... 22
เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลงั เรยี น เร่อื งกฎของไซนแ์ ละโคไซน์ ..................................... 26
แหลง่ อา้ งอิง ..................................................................................................................... 36

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

เพ่ือใหผ้ เู้ รยี น

1) เขา้ ใจและสามารถประยกุ กาของไซนเ์ พ่ือใชใ้ นการแกป้ ัญหาได้
2) เขา้ ใจและสามารถประยกุ ตก์ ฎของโคไซนเ์ พ่ือใชใ้ นการแกป้ ัญหาได้
3) สามารถหาคา่ ฟังกช์ นั ตรดี ฏณมิตโิ ดยอาศยั ตารางคา่ ฟังกช์ นั ตรโี กณมิตไิ ด้
4) สามารถเขียนกราฟของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติได้
5) เขา้ ใจสมบตั ติ า่ งๆ ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิตโิ ดยพิจารณาจากกราฟได้

แบบทดสอบก่อนเรยี น 1
เรอ่ื ง กฎของไซนแ์ ละโคไซน์
2) 3 6 หน่วย
คาส่งั : จงเลอื กคาตอบท่ีถกู ท่ีสดุ เพียงขอ้ เดียว 4) 2 3 หน่วย

1) กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC จงหาความยาวดา้ น AC

1) 2 6 หน่วย

3) 6 2 หน่วย

2

2) กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ดงั รูป จงหาความยาวดา้ น BC

3) กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียม ซ่งึ มี b= 9 , = 5และ tan = 3 จงหาคา่ ของ sin C 4) 1

4 3

1) 1 2) 5 3) 1

4 12 2

3

4) กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมซ่งึ มี a = 10 , = 11 และ cot = 3 จงหาค่าของ sin A

4

1) 6 2) 7 3) 8 4) 9

11 11 11 11

5) ถา้ ดา้ นทง้ั สามของรูปสามเหล่ียม ABC มีความยาวดงั นี้ a= 2 , = 3 และ = 4 จงหาค่าของ sin −
2

1)− 7 2) 7 3) − 1 4) 1
8 88
8

6) ถา้ ดา้ นสองดา้ นของรูปสามเหล่ียม ABC มรความยาวดงั นี้ b = 3 , = 5 และ sin + มีค่าเท่ากบั − 1 จงหาคา่ ของ
2 6

1) 39 2) 29 3) 39 4) 29

4

7) เด็กชายตน้ สนออกเดินทางจากโรงเรยี นไปรา้ นขนมเคก้ ซง่ึ อย่ทู างทศิ ใตข้ องโรงเรยี น และห่างจากโรงเรยี น 5 กิโลเมตร พอรบั ขนมเคก้ แลว้ เขาเดนิ ทาง
ตอ่ ไปบา้ นเพ่ือน ซง่ึ อยทู่ าวงทิศตะวนั ออกเฉียงไปทางใต้ 25 องศา ของโรงเรยี น และห่างจากโรงเรยี น 3 กิโลเมตร อยากทราบว่ารา้ นขนมเคก้ อยหู่ า่ งจาก
บา้ นเพ่ือนเท่าไร เม่อื กาหนดให้

sin 25° = 0.42

1) 21.4 กิโลเมตร 2) 46.6 กิโลเมตร

3) 21.4 กิโลเมตร 4) 46.6 กิโลเมตร

8) เด็กหญิงตอ้ งลมเดินทางจากเมอื ง A ไปหาเพ่ือนท่ีเมอื ง B ซ่งึ หา่ งจากเมอื ง A 3 กิโลเมตร แลว้ ชวนเพ่ือนไปทาบญุ ท่ีวดั ซ่ึงอย่หู ่างออกไปทางทิศ

ตะวนั ออกเป็นระยะทาง 3 กิโลเมตร ถา้ เมือง หง่ จากวดั 3 กิโลเมตร และตาแหน่งของเมือง และ และวดั ดงั รูป จงหาวา่ เมือง
อย่ทู างทิศใดของเมอื ง

1) ทิศตะวนั ตกเฉียงไปทางใต้ 300
2) ทศิ ตะวนั ตกเฉียงไปทางใต้ 600
3) ทิศจะวนั ตกเฉียงไปทางใต้ 450
4) ทิศตะวนั ตกเฉียงไปทางใต้ 150

5

9) กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC ดงั รูป จงหาความยาวดา้ น AB

1) 97 หน่วย 2) 47 หน่วย
3) 17 หน่วย 4) 17 หน่วย

6

10) กาหนดรูปสามเหล่ียม ABC , 2 = 2 + 2 − 2 cos 2) 4 หนว่ ย
1) 2 หน่วย
3) 2 3 หน่วย 4) 3 หน่วย

7

ใบงาน
เร่อื งกฎของไซน์

8

ตวั อย่างท่ี 1 ในรูปสามเหล่ียม ABC มี มมุ A = 60° , = 3 2 และ = 2 3 แลว้ จงหาขนาดของมมุ

sin sin
=

sin sin 600
=

23 32
sin
sin 600 2 3
=

sin = 233× 22 3
32
1

=2

9

sin B= sin 45° , sin 135 °
= 45°, 135°

แต่ B = 135° ไมไ่ ด้ เพราะ + = 60° + 135 = 195° ซ่งึ เป็นไปไมไ่ ด้
เพราะ A+B+C = 180°
ดงั นนั้ B = 45°

10

ตวั อยา่ งท่ี 2 สามเหล่ียม ABC มี B และ C เป็นมมุ แหลม และ sin = 3 , cos = 5
5 13
ถา้ ดา้ น b ยาว 13 เซนตเิ มตร แลว้ ดา้ น a ยาวก่ีเซนตเิ มตร

จาก sin = 3 ดงั นน้ั cos = 4

5 5

cos = 5 ดงั นนั้ sin = 12

13 13

หา sin จาก

A+B+C= 180°
A= 180° − ( + )

sin A= 180° − ( + )
= sin( + )

11

= sin cos + cos sin

35 4 12
= 5 13 + 5 13

sin A = 63
65

จะได้ =

sin sin

a= 13 63
65
3

5

13 (63)(5)
= (65)(3)

= 21

12

ใบงาน
เรอ่ื ง กฎของโคไซน์

13

ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดให้ a= 15 , = 7 , = 13 จงหาค่าของ
จาก cos C = 2+ 2− 2

2

152 + 72 − 132
= 2(15)(7)

225 + 49 − 169
= 210

105
= 210

1
=2
= cos 60°

ดงั นน้ั C = 60°

14

ตวั อยา่ งท่ี 2 กาหนด a = 2 , = 3 + 1 , = 60° จงหา

2 = 2 + 2 − 2 cos
= 22+(√3 + 1)2-2(2)( 3 + 1)60°
1
= 4 + 4 + 2 3 − 4 3 + 1) × 2
=8+2 3−2 3−2
=6

ดงั นน้ั c = √6

15

แบบฝึกทกั ษะ
เรอ่ื ง กฎของไซนแ์ ละโคไซน์

1) ใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A , B และ C ยาว a , b และ c หนว่ ย ตามลาดบั ถา้ a = 12 , = 7 , = 40° ≈ 0.766
จงหาคา่ ของ

2) ใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A , B และ C ยาว a , b และ c หน่วย ตามลาดบั ถา้ a = 10 , = 42° , =
51° , sin 42° ≈ 0.6691 และ sin 87° ≈ 0.9986 จงหาค่าของ

3) ใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A , B และ C ยาว a , b และ c หนว่ ย ตามลาดบั ถา้ A = 30° , = 2.5 , = 3.41
จงหาขนาดของมมุ

4) ใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A , B และ C ยาว a , b และ c หน่วย ตามลาดบั ถา้ A = 30° , = 32 และ b = 24
จงหาขนาดของมมุ B

16

17

18

19

20

21

22

เฉลยแบบฝึกทกั ษะ
เรอ่ื งกฎของไซนแ์ ละโคไซน์

1) ใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A , B และ C ยาว a , b และ c หนว่ ย ตามลาดบั ถา้ a =12 , =7 , =40° ≈0.766 จงหาคา่ ของ
วธิ ีทา จากกฎของโคไซน์ 2 = 2 + 2 − 2

2 = 122 + 72 − 2 12 7 40°
≈ 144 + 49 − 2 12 7 0.766
≈ 64.312

ดงั นน้ั c ≈ 8.02

2) ใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A , B และ C ยาว a , b และ c หนว่ ย ตามลาดบั ถา้ a =10 , =42° , =51° ,sin〖42° ≈0.6691 23
และ sin87° ≈0.9986 จงหาคา่ ของ

วิธีทา เน่ืองจาก A + B + C = 180°

ดงั นนั้ A = 180° − +

= 180° − 42° + 51°

= 87°

จากกฎของไซน์ =



ดงั นนั้ 87° = 42°
10

จะได้ b = 10 42°

0.9986

≈ 10(0.6691)

0.9986

≈ 6.7

3) ใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A , B และ C ยาว a , b และ c หน่วย ตามลาดบั ถา้ A =30° , =2.5 , =3.41 จงหาขนาดของมมุ 24

วิธีทา จากกฎของไซน์ =


ดงั นน้ั 30° =

2.5 3.41

sin B = 3.41 30°
2.5

= 0.682

เน่ืองจาก sin B > 0 ดงั นนั้ มมุ B อาจเป็นมมุ แหลม (0° < < 90° ) หรอื มมุ อาจเป็นมมุ ปา้ น 90° < < 180°
พจิ ารณา 0° < < 90° เม่อื ใชเ้ คร่อื งคานวณ จะได้ 0.682 ≈ 43° ดงั นนั้ B ≈ 43°

พิจารณา 90° < < 180° เน่ืองจาก sin = sin 180° −
น่นั คือ sin B = sin(180° − sin0.682) ดงั นน้ั ≈ 180° − 43° หรอื ≈ 137°

ถา้ ≈ 43° จะได้ + ≈ 73° ซ่งึ นอ้ ยกว่า 180° แสดงว่ามมุ เป็นมมุ ภายนรูปสามเหล่ยี ม
ถา้ B ≈ 137° จะได้ + ≈ 167° ซ่งึ นอ้ ยกวา่ 180° แสดงว่ามมุ เป็นมมุ ภายในของรูปสามเหล่ยี ม
ดงั นนั้ ขนาดของมมุ B มีไดส้ องคา่ คือ ประมาณ 43° และ 137°

4) ใหร้ ูปสามเหล่ียม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A , B และ C ยาว a , b และ c หน่วย ตามลาดบั ถา้ A =30° , =32 และ b =24 จงหาขนาดของมมุ B 25

วิธีทา จากกฎของไซน์ sin = sin



ดงั นนั้ 30° = sin
32 24

sin B = 24 30°

32

= 0.375

เน่ืองจาก > 0 ดงั นน้ั มมุ อาจเป็นมมุ แหลม 0° < < 90° หรอื มมุ อาจเป็นมมุ ปา้ น ( 90° < < 180°

พจิ ารณา 0° < < 90° เม่อื ใชเ้ คร่อื งคานวณ จะได้ 0.375 ≈ 22° ดงั นนั้ ≈ 22°
พจิ ารณา 90° < 180° เน่ืองจาก sin = sin 180° − น่นั คือ sin B = sin( 180° − 0.375 )
ดงั นนั้ ≈ 180° − 22° หรอื ≈ 158°

ถา้ ≈ 22° จะได้ + ≈ 52° ซ่งึ นอ้ ยกว่า 180° แสดงว่ามมุ เป็นมมุ ภายในของรูปสามเหล่ยี ม
ดงั นน้ั ขนาดของมมุ B มเี พียงค่าเดียว คือ ประมาณ 22°

26

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น
และหลงั เรยี น

เร่อื ง กฎของไซนแ์ ละโคไซน์

เฉลย 3

27

ใชก้ ฎของไซน์

෠ = 180° − 30° − 15° = 135° และ sin = sin 135° = sin 45° √2
=2

แทนค่าตา่ งๆ จะได้ sin 30° = sin 45° แลว้ = 6 √2 × 2 = 6√2
6 2

28

เฉลย 1
ใชก้ ฎของไซน์

แทนคา่ ต่างๆ จะได้ sin 60° = sin 45° แลว้ =4 × 3 × 2 = 2√6
4 2


เฉลย 4

29

ใชก้ ฎของไซน์ และ sin B = 3 จากรูป

5

แทนคา่ ต่างๆ จะได้ 3 = sin แลว้ sin = 1
5 ×9 5 3

เฉลย 3 และ sin C = 4 จากรูป
ใชก้ ฎของไซน์
5

30

แทนค่าตา่ งๆ จะได้ sin = 4 แลว้ sin A = 8
10 5 ×11 11

เฉลย 2 ได้ 4 = 9 + 16 − 2 × 12 cos
ใชก้ ฎของโคไซน์

แลว้ sin − = cos = 9+916 −4 = 21 = 7

2 24 24 8

31

เฉลย 1 และ − 1 = sin + = sin cos + sin cos
ใชก้ ฎของโคไซน์ 62 2 2

ดงั นน้ั - 1 = cos แทนค่าต่างๆ จะได้ 2 = 9 + 25 − 2 × 3 × 5 × − 1 = 39 ฉะนนั้ = √39

66

32

เฉลย 1

ได้ cos B መ = cos 90° − 25° = sin 25° 0.42
ใชก้ ฎของโคไซน์ 2 = 2 + 2 − 2 cos = 9 + 25 − 2 × 3 × 5 × 0.42 = 21.4 ได้ = √21.4

33

เฉลย 1

ใชก้ ฎของโคไซน์ 2 = 2 + 2 − 2 cos

แทนค่าต่างๆ จะได้ 3 = 3 + 9 − 6 3 cos และ = 9 = √3

6√3 2

มมุ ท่ีตอ้ งการมีค่าเท่ากบั ෠ = 30°

34
เฉลย 3

35

เฉลย 1

ใชก้ ฎของโคไซนก์ บั ∆ , 2 = 2 + 2 − 2 cos

෠ = ෠ + ෠ = 90° − 70° + 10° = 30° และ cos = cos = cos ෠ = √3
2

แทนคา่ ตา่ งๆ จะได้ 2 = 12 + 16 − 2 2 3 4 3 = 4 ดงั นน้ั = = 2
2

36

แหลง่ อา้ งอิง

https://www.mathpaper.net/index.php/en/mathsheet5/1463-4-2
http://www.satriwit3.ac.th/files/1203141212561842_20051012
121728.pdf