Modul matematika

A + C tidak dapat dijumlahkan, ordo kedua matriks tersebut tidak sama.
 Perkalian Matriks
1. Perkalian Matriks dengan Skalar (K)
Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan
cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan skalar k.
Contoh :

2. Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali antara A dan B adalah
sebuah matriks C = A . B yang berordo m x p, didapat dengan cara mengalikan setiap elemen baris
matriks A dengan elemen kolom matriks B.
Contoh :

diperoleh dengan cara mengalikan elemen-elemen baris ke-1 matriks sebelah kiri (matriks A) dengan
elemen-elemen kolom ke-2 matriks sebelah kanan (matriks B) kemudian menjumlahkannya. Demikian
seterusnya untuk mengisi kotak-kotak tersebut.

Contoh :

(sebelah kiri) dengan banyaknya baris matriks kedua (sebelah kanan) tidak sama.

d. Dari hasil penyelesaian a dan b diatas, ternyata AB BA. Jadi perkalian tidak komutatif.
Contoh :
Tentukan hasil kali dari matriks-matriks dibawah ini !

G. Determinan Matriks
1. Determinan Matriks Ordo 2

Misal maka determinan A (det(A)) adalah det(A) = .

Contoh :

Tentukan determinan matriks-matriks berikut :

2. Determinan Matriks Ordo 3
Misalkan matriks persegi dengan ordo tiga, diberikan dibawah ini

, determinan dari matriks A adalah Det (A) = . Banyak

cara yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks dengan ordo 3x3, tetapi yang paling

banyak digunakan adalah dengan menggunakan aturan Sarrus. Dengan langkah-langkah sebagai beriku:

· Letakkan kolom pertama dan kedua disebelah kanan garis vertikal dari determinan.

. Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur
sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak
sejajar dengan diagonal samping.

Perhatikan skema untuk menghitung dengan menggunakan sarrus dibawah ini !

= (a11)(a22)(a33) + (a12)(a23)(a31) + (a13)(a21)(a32) – (a31)(a22)(a13) – (a32)(a23)(a11) – (a32)(a21)(a12)
Contoh :

Tentukan Determinan dari matriks
Jawab :

= 1.3.3 + 2.4.1 + 3.1.4 – 1.3.3 – 4.4.1 – 3.1.2
= 9 + 8 + 12 – 9 – 16 – 6
= 29 – 31 = -2
H. Minor, Kofaktor Dan Adjoin

Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor entri atau elemen aij dinyatakan oleh Mij dan
didefinisikan sebagai determinan sub matriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari
A. Bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dinamakan kofaktor entri aij.

Jika A adalah sembarang matriks persegi (n x n) dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks

Disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin dari A dan dinyatakan dengan Adj
(A).

Contoh :

Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin dari !
Jawab :
Minor dari matriks A adalah :

Kofaktor dari matriks A adalah :
C11 = (-1)1+1 M11 = (1) 6 = 6 C21 = (-1)2+1 M21 = (-1) 3 = -3
C12 = (-1)1+2 M12 = (-1) 2 = -2 C22 =(-1)2+2 M22 = (1)(-1) =-1
Sedangkan matriks kofaktornya adalah :

Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga :

Matriks Kofaktor adalah :

Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari Matriks kofaktor, sehingga :

I. Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama sedemikian sehingga hasil kali AB = BA = I,
dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A-I atau A = B-I.

Contoh :

Diketahui .

Tunjukkan bahwa kedua matriks tersebut adalah saling invers.

Jawab :

Karena AB = BA = I, maka B = A-I dan A = B-I.
Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah :

Contoh :

Tentukan invers !
Jawab :

Determinan A (det(A)) adalah det .
Minor dari A adalah :

Kofaktor dari A adalah : C21 = (-1)2+1 M21 = -b
C11 = (-1)1+1 M11 = d C22 = (-1)2+2 M22 = a
C12 = (-1)1+2 M12 = -c

Matriks Kofaktor sedangkan matriks adjoin :

Sehingga invers matriks A adalah :

Contoh :
Dengan menggunakan hasil terakhir pada contoh diatas, tentukanlah invers dari :

Jawab :
a. Det (A) = 4.1 – 3.2 = -2 sehingga:

b. Det (A) = (-2.1.3 + 2.-1.5 + 8.1.8) – (6.1.5 + -2.-1.8 + 3.1.2)
= (-6 – 10 + 64) – (30 + 16 + 6) = -4

Catatan :
· Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya 0, matriks seperti ini
disebut Matriks Non Singular. Sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebut Matriks
Singular.
· Invers suatu matriks jika ada adalah tunggal dan berlaku sifat :
§ (A-I )-I = A
§ (A x B)-I = B-I x A-I
Contoh :
Manakah yang termasuk matriks singular dan matriks non singular

Jawab :
a. Det (A) = 2.6 – 3.4 = 12 – 12 = 0, karena determinannya 0 maka disebut matriks singular.
b. Det (B) = 4.(-5) – (-2).(-10) = -20 – 20 = -40, Karena determinannya tidak 0 maka disebut matriks
non singular.
Contoh :

Ternyata dari jawaban a dan b contoh soal diatas, diperoleh kesimpulan (A x B)-I = B-I x A-I.

J. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dua atau tiga variabel selain dengan menggunakan eliminasi dan substitusi
dapat juga digunakan invers dan kaidah Creamer untuk mencari himpunan penyelesaiannya.

Beberapa langkah yang perlu diperhatikan untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan
linear dengan menggunakan invers, adalah :

· Tulislah sistem persamaan dalam bentuk matriks.

· Nyatakan bentuk tersebut kedalam perkalian matriks koefisien dengan matriks variabelnya.

· Kalikan kedua ruas dengan invers A atau A-I, Sehingga menjadi :
A-I A X = A-I C
I X = A-I C
X = A-I C
Untuk persamaan yang berbentuk XA = C, maka untuk mendapatkan X kalikan kedua ruas dengan A-I dari
sebelah kanan, sehingga dapat :
XA A-I = C A-I
X I = C A-I
X = C A-I
Contoh :
Tentukan nilai x dan y dari sistem persamaan :
5x + 3y = 4
3x + 2y = 3
Jawab :

Sistem persamaan jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi :

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah . Disamping

menggunakan cara invers dapat pula penyelesaian sistem persamaan linear dicari dengan menggunakan

Kaidah Creamer .

Zona Aktivitas

Uji Pengetahuan
1. Tentukan ordo dari matriks dibawah ini !

a. b.

2. Tentukan Determinan dari matriks

Praktikum
Buatlah kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 2 orang. Kemudian kerjakan soal
berikut :

Dengan menggunakan hasil terakhir pada contoh , tentukanlah invers dari

Setelah menghitung buatlah prtesentasinya dalam bentuk power point dan presentasikan
di depan kelas

Tugas Mandiri Terstruktur
1. Diketahui : 3 (−2 3 −1 ) + 2 (− 1 −5 ) = (−32 −11) (−43 −34)

Nilai 8 − 5 = ⋯

2. Diketahui: (24 + )= (3 2− −75) maka nilai =
7
2

Rangkuman

Ordo (ukuran) dari matriks adalah banyaknya elemen baris diikuti banyaknya kolom. berarti

matriks A berordo m x n, artinya matriks tersebut mempunyai m buah baris dan n buah kolom.

Transpose matriks A = (aij) dengan ordo m x n ditulis AT = (aij) dan mempunyai ordo n x m. Elemen-
elemen baris matriks AT diperoleh dari elemen-elemen kolom matriks A dan sebaliknya.

 Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila ordo (baris x kolom)
kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah (selisih) didapat dengan cara menjumlahkan (mengurangkan)
elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut.

Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali antara A dan B adalah
sebuah matriks C = A . B yang berordo m x p, didapat dengan cara mengalikan setiap elemen baris
matriks A dengan elemen kolom matriks B.

. Determinan Matriks Ordo 2

Misal maka determinan A (det(A)) adalah det(A) = .

Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah :

Ujian Akhir

1. Elemen diagonal utama matriks P = (42 31)
2. Nilai p yang memenuhi persamaan (−21 51) (−21) _p (−32) = (−141)
3. Diketahui matriks B = (−−21 23) , C = (24 23) , dan E = (−11 00). Jika AB = Ct + 2E
4. Jika (32 12) (− 2 1 ) = (20 173) , x2 + y
5. Matriks X berordo 2 x 2 yang memenuhi persamaan (13 42) X = (42 31)

6. Jika matriks A = (21 43) dan I = (10 01) memenuhi persamaan A2= pA + qI, nilai p –

g

7. Diketahui matriks : = (23 14) , = (−51 26), dan = ( 2 −31)

Jika determinan dari matriks 2 − + 3 adalah 10 maka nilai adalah …

8. Invers dari matriks (23 85)
9. Diketahui matriks A = (−2 + 2).
3 Jika A = At , nilai a

10. Jika (23 5 ) + (−32 05) = 2 (31 13) + (01 33) maka nilai

BAB 8
VEKTOR
Kompetensi Dasar:
3.17 Menentukan nilai besaran vector pada dimensi dua
3.18 Menentukan nilai besaran vector pada dimensi tiga
4.17 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai besaran vector pada dimensi dua
4.18 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai besaran vector pada dimensi tiga

Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari tidak terlepas dari pengaplikasian materi vector. Misalnya dalam navigasi,
agar pesawat tidak tersesat dalam melakukan penerbangan dilengkapi dengan system navigasi. Vector
menyatakan arah dan besar suatu besaran, jurusan tiga angka dan analisis ruang. Oleh karena itu
eksplorasi materi berikut dengan seoptimal mungkin agar kalian dapat memperoleh manfaatnya.
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah. Secara geometris vektor digambarkan
sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis
menyatakan arah vektor .
Dalam matematika vektor digambarkan dalam bentuk garis lurus yang mempunyai panjang dan arah.
Penulisan nama vektor :

1. dengan menggunakan huruf kapital harus menggunakan dua huruf, sebagai contoh vektor AB ⃗

2. adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang ruas garis AB dan arahnya dari A ke B.
3. sedangkan dengan huruf kecil hanya satu huruf, sebagai contoh a̅
Sebagai Contoh

Jenis Jenis Vektor
 Vektor Nol adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu.
 Vektor Posisi adalah Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu dapat
dinyatakan dengan sebuah vektor posisi.

 Vektor Basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu
koordinat.

 Vektor satuan Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan
dari

Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sebagai berikut :
1. Vektor kolom ( matriks kolom )

2. Vektor baris ( matriks baris )
3. Vektor basis

MODULUS VEKTOR ( PANJANG VEKTOR )

Jika A (x A , y A , z A ) dan B (x B , y B , z B ) maka panjang vektor OA adalah OA atau a , yaitu :

Contoh Soal PANJANG VEKTOR Dan Jawabannya

PEMBAGIAN RUAS GARIS VEKTOR
Diketahui ruas garis AB. Titik P terletak pada ruas garis tersebut sedemikian hingga AP : PB = m : n .
Maka :

Pada perbandingan AP : PB = m : n ,
1. Jika P terletak di antara A dan B , maka m > 0 dan n > 0 .
2. Jika P terletak pada perpanjangan AB , maka m < 0 dan n > 0 .
3. Jika P terletak pada perpanjangan BA , maka m > 0 dan n < 0 .

Contoh Soal PEMBAGIAN RUAS GARIS VEKTOR Beserta Jawabannya

OPERASI VEKTOR
1. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Riil

Contoh Perkalian Vektor Dengan Bilangan Riil

2. Penjumlahan Vektor
Diketahui vektor a dan b . Secara geometris vektor a dan b dapat dijumlahkan dengan cara sebagai
berikut :

Contoh Penjumlahan Vektor

3. Pengurangan Vektor
Diketahui vektor a dan b . Pengurangan vektor a – b dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan
vektor a + ( – b ) , dengan vektor – b adalah vektor yang panjangnya sama dengan vektor b dan
arahnya berlawanan dengan vektor b .

Contoh Soal Dan Jawaban Pengurangan Vektor

PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR adalah Perkalian skalar antara vektor a dan b adalah a · b , dengan :

Contoh Soal PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR Dan Jawaban

SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
Jika a adalah sudut antara vektor vektor a dan b , maka nilai a dapat ditentukan dari :

CONTOH SOAL SUDUT ANTARA DUA VEKTOR DAN JAWABAN

PROYEKSI VEKTOR ORTOGONAL

Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah ‘bayangan tegak lurus’ dari vektor a pada vektor b
Ada dua macam proyeksi vektor ortogonal , yaitu :
1. Proyeksi vektor
Proyeksi vektor ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah vektor ‘bayangan’ nya , yaitu vektor c ,
dengan :

2. Proyeksi skalar ortogonal
Proyeksi skalar ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah panjang ( modulus ) dari
vektor ‘bayangan’ nya , yaitu c , dengan :

Contoh Soal Proyeksi vektor Proyeksi skalar ortogonal Dan Jawabannya

OPERASI VEKTOR
1. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Riil

Zona Aktivitas
Uji Pengetahuan

1. Diketahui titik c (0, -4), maka panjang vektor | | = ….
2. Diketahui = (17) dan = (−23) jika + 2 = maka vektor =

Praktikum
Buatlah kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 2 orang. Kemudian kerjakan soal
berikut :
Diketahui koordinat titik A (1,-5), B (-5,3), dan C (-2,-1).
Buktikan bahaw ketiga titik tersebut kolinear !
Setelah menghitung buatlah prtesentasinya dalam bentuk power point dan presentasikan
di depan kelas
Tugas Mandiri Terstruktur
Diketahui titik-titik K ( 12,-3,6) dan L (2,-5,-2). Jika titik A terletak pada perpanjangan
KL dengan perbandingan KL:LA = 2:3, tentukan koordinat A!
Rangkuman

Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sebagai berikut :
1. Vektor kolom ( matriks kolom )

2. Vektor baris ( matriks baris )

Vektor basis
MODULUS VEKTOR ( PANJANG VEKTOR )
Jika A (x A , y A , z A ) dan B (x B , y B , z B ) maka panjang vektor OA adalah OA atau a , yaitu :

SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
Jika a adalah sudut antara vektor vektor a dan b , maka nilai a dapat ditentukan dari :

Ujian Akhir BAB 8

1. Jika ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (31) maka 4 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
2. Diketahui titik D (-1, 3, -5) maka vektor =

3. Diketahui titik E (1, 2, -2) maka panjang | |=

15 4

4. Jika vektor = (2), = ( 4 ) dan = (−1) maka vektor + 2 − 3 sama

dengan … 3 −1 1

5. Diketahui titik A ( 3,2,-5) dan B (11,-2,11). Jika titik P terletak pada AB dengan

perbandingan 1:3, tentukan koordinat P!