Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Firda Mitha Andini (2225190064)

KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakaatuh.
Dengan mengucap Alhamdulillahirabbil’alamin, segala puji dan syukur kehadirat
Allah SWT yang selalu memberikan petunjuk dan rahmat-Nya, sehingga penulis
dapat menyelesaikan “E-Modul Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel untuk
Kelas Sepuluh dengan Bantuan Liveworksheet dan Flipbook” dengan tepat waktu.
Dalam kesempatan ini, penulis ingin berterima kasih kepada pihak yang telah
membantu, membimbing dan memberi semangat sehingga modul ini dapat selesai
dengan tepat waktu. Terima kasih kepada Ibu Dr. Heni Pujiasatuti, S.Pd., M.Pd.
selaku dosen mata kuliah Pengembangan Bahan Ajar Matematika, yang telah
membimbing serta menugaskan pembuatan bahan ajar ini. Saya juga berterima
kasih kepada semua pihak yang telah membagi pengetahuannya, sehingga
diharapkan modul dapat menambah wawasan bagi pembaca dan penulis.
Penulis menyadari E-modul ini tidak terlepas dari kekurangan dan keasalahan,
untuk itu kritik dan saran guna perbaikan modul ini sangat diharapkan. Penulis
berharap semoga E-modul ini dapat bermanfaat bagi pembaca maupun diri saya
sendiri.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakaatuh

Serang, 8 Oktober 2021

Firda Mitha Andini

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................................................i
DAFTAR ISI..........................................................................................................................ii
GLOSARIUM................................................................................................................... 1
PETA KONSEP ................................................................................................................ 2
PENDAHULUAN ............................................................................................................ 3

A. Identitas Modul ..................................................................................................... 3
B. Kompetensi Dasar ................................................................................................. 3
C. Indikator Pencapaian ............................................................................................. 3
D. Petunjuk Penggunaan Modul................................................................................. 3
E. Materi Pembelajaran.............................................................................................. 4
KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 ................................................................................... 5
BENTUK PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (PLTV) ..................................... 5
A. Tujuan Pembelajaran ............................................................................................. 5
B. Uraian Materi ........................................................................................................ 5
C. Contoh Soal........................................................................................................... 7
D. Rangkuman ........................................................................................................... 9
E. Latihan Soal .......................................................................................................... 9
F. Penilaian Diri ...................................................................................................... 13
KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 ................................................................................. 14
METODE PENYELESAIAN DAN PENERAPAN SPLTV........................................... 14
A. Tujuan Pembelajaran ........................................................................................... 14
B. Uraian Materi ...................................................................................................... 14
C. Contoh Soal......................................................................................................... 24
D. Rangkuman ......................................................................................................... 30
E. Latihan Soal ........................................................................................................ 30
F. Penilaian Diri ...................................................................................................... 32
TES FORMATIF ............................................................................................................ 33
KUNCI JAWABAN........................................................................................................ 35
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................... 48

ii

1

Persamaan GLOSARIUM

: Persamaan adalah suatu pernyataan matematika dalam
bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah
persis sama.

Persamaan Linear : Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang
tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian

konstanta dengan variabel tunggal.

Persamaan Linear : Persamaan yang memiliki tiga variabel.
Tiga Variabel

Sistem Persamaan : suatu persamaan matematika yang terdiri dari tiga
Linear Tiga Variabel persamaan linear yang masing – masing persamaannya

juga bervariabel tiga.

Metode Substitusi : Suatu metode untuk memperoleh penyelesaian dengan
memasukkan suatu persamaan linear satu ke persamaan
linear yang lain.

Metode Eliminasi : Suatu metode untuk memperoleh penyelesaian dengan
menyamakan koefisien salah satu variabel agar bisa
dihilangkan dengan cara ditambah atau dikurang sehingga
diperoleh nilai variabel yang lain.

Metode Campuran : Suatu metode gabungan antara eliminasi dan substitusi
dengan cara mengeliminasi kedua persamaan, kemudian
substitusikan hasil eliminasi yang di peroleh ke salah satu
persamaan linear.

1

PETA KONSEP

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA
VARIABEL (SPLTV)

Bentuk Metode Penyelesaian dan
PLTV Penerapan SPLTV

Substitusi Eliminasi Substitusi dan
Eliminasi

2

PENDAHULUAN

A. Identitas Modul : Matematika
Mata Pelajaran : X (Sepuluh)
: 12 Jam Pelajaran
Kelas

Alokasi Waktu

B. Kompetensi Dasar
3.3 Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari masalah
kontekstual.
4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem
persamaan linear tiga variabel.

C. Indikator Pencapaian
• 3.3.1 Menjelaskan konsep sistem persamaan linier tiga variabel
3.3.2 Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode
eliminasi, metode substitusi, dan gabugan (eliminasi dan substitusi)
• 4.3.1 Menentukan model matematika sistem persamaan linier tiga
variabel dari permasalahan kontekstual.
4.3.2 Menyelesaikan masalah kontekstual sistem persamaan linear
tiga variabel dengan metode eliminasi, metode substitusi, dan
gabugan (eliminasi dan substitusi)

D. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Membaca pendahuluan modul untuk mengetahui arah
pengembangan modul.
2. Bacalah dengan seksama tujuan pada kompetensi dasar materi pada
modul ini
3. Membaca dan memahami peta konsep agar memperoleh gambaran
yang utuh mengenai modul.

3

4. Mempelajari modul secara berurutan agar memperoleh pemahaman
yang utuh.

5. Pelajarilah dengan baik dan cermat. Bacalah modul ini secara runtut
agar kamu dapat memahami tiap penyampaian materi.

6. Ikutilah petunjuk yang terdapat pada modul.
7. Memahami contoh-contoh soal yang ada, dan mengerjakan semua

soal latihan yang ada.
8. Bacalah rangkuman guna memberikan kemudahan ketika sulit

menjawab pertanyaan.
9. Kerjakan tes formatif jika semua pembahasan dan pengerjaan

latihan soal-soal sudah dilakukan.

E. Materi Pembelajaran
Didalam modul ini terdapat dua materi pembelajaran, diantaranya adalah
bentuk persamaan linear tiga variabel, dan metode penyelesaian serta
penerapan sistem persamaan linear tiga variabel yang akan dilengkapi
dengan tujuan pembelajaran, uraian materi, contoh soal, rangkuman, dan
latihan soal.

4

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1

BENTUK PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (PLTV)
A. Tujuan Pembelajaran
1. Peserta didik mampu menentukan model matematika sistem persamaan
linier tiga variabel dari permasalahan kontekstual.
2. Peserta didik diharapkan mampu memahami konsep persamaan linear
tiga variabel dan penggunaannya dalam menyelesaikan masalah
kehidupan sehari-hari.
3. Peserta didik diharapkan mampu menyusum sistem persamaan linear
tiga variabel dari permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

B. Uraian Materi
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Setiap persamaan yang berbentuk ax + by + cz = d dengan a, b, c, dan d

adalah konstanta dan a, b, dan c tidak nol, maka persamaan tersebut adalah
“persamaan linear tiga variabel”. Himpunan titik – titik yang memenuhi
persamaan tersebut, yaitu {(x, y, z)| x + by + cz} adalah suatu bidang
datar dalam sumbu – sumbu orthogonal x, y, dan z.

Bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai

berikut:

₁x + b₁y + c₁z = ₁
ቐ ₂x + b₂y + c₂z = ₂

₃x + b₃y + c₃z = ₃

Yang hanya mempunyai satu penyelesaian untuk ,

Keterangan:

• , adalah variabel
• ₁, ₂, ₃, ₁, ₂, ₃, ₁, ₂, ₃ adalah koefisien

• ₁, ₂, ₃ adalah konstanta

5

Perhatikan gambar dibawah ini

Pada sebuah supermarket menjual berbagai jenis buah dan sayuran dengan
variasi harga yang berbeda-beda. Berdasarkan data penjualan setiap harinya,
ada 3 macam sayur yang paling laku terjual, diantaranya adalah buncis,
tomat, dan brokoli.
Pada hari pertama omset buah dan sayur yang berhasil terjual adalah Rp
2.588.000,- dengan barang yang terjual sebanyak 62 pack buncis, 41 pack
tomat, dan 38 pack brokoli. Dilanjutkan pada hari kedua, yang mana omset
yang berhasil didapatkan sebanyak Rp 2.632.000,- dengan barang yang
terjual sebanyak 61 pack buncis, 43 pack tomat, dan 40 pack brokoli.
Dilanjutkan pada hari ketiga, yang mana omset yang berhasil didapatkan
sebanyak Rp 2.502.000,- dengan barang yang terjual sebanyak 59 pack
buncis, 36 pack tomat, dan 42 pack brokoli. Jika variable x, y dan z
menunjukan jumlah sayuran per packnya.

6

Bagaimana persamaan matematis yang dapat diselesaikan? Untuk dapat

memahaminya lebih dalam, mari kita lihat penjelasan berikut:

Untuk menyelesaikan permasalahan kontekstual diatas, dimana variabel x,

y, dan z kita misalkan sebagai harga perpack antara buncis, tomat dan

brokoli.

x = Harga per pack buncis

y = Harga per pack tomat

z = Harga per pack brokoli

Persamaan yang terbentuk adalah:
Hari pertama : 62 + 41 + 38 = 2.588.000 …(Persamaan 1)
Hari kedua : 61 + 43 + 40 = 2.632.000 …(Persamaan 2)

Hari ketiga : 59 + 36 + 42 = 2.502.000 …(Persamaan 3)

Dari ketiga persamaan tersebut, dapat dibuat system persamaan linear tiga

variabel:

62 + 41 + 38 = 2.588.000
{ 61 + 43 + 40 = 2.632.000
59 + 36 + 42 = 2.502.000

C. Contoh Soal

1. Haga, Shaka, dan Zidane berbelanja di sebuah toko buku. Haga membeli dua
buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus. Haga harus
membayar Rp4.700. Zidane membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan
sebuah penghapus. Zidane harus membayar Rp4.300. Shaka membeli tiga
buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Shaka harus
membayar Rp7.100. Bagaimana model matematika yang sesuai dengan
persoalan tersebut?

Penyelesaian:

• Misalkan bahwa:
Harga untuk sebuah buku tulis adalah rupiah, harga untuk sebuah pensil
adalah rupiah dan harga untuk sebuah penghapus adalah rupiah.

7

• Dengan demikian, model matematika yang sesuai dengan data persoalan di
atas adalah sebagai berikut.
2 + + = 4.700
+ 2 + = 4.300
3 + 2 + = 7.100
yaitu merupakan SPLTV dengan variabel x, y, dan z.

2. Jika umur ibu, 5 tahun yang akan datang mempunyai umur 3 tahun
kurangnya dari 10 kali lipat umur adik yang paling kecil. Ubahlah kalimat
tersebut dalam bentuk persamaan matematika!

Penyelesaian:

• Permasalahan di atas adalah umur ibu dan adik yang paling kecil. (Ini adalah
problem real).

• Untuk menyederhanakan dan memudahkan langkah-langkah
penyelesaiannya, maka digunakan permisalan.

• Misalkan: = =
• Persamaan matematikanya menjadi (Ini adalah proses matematisasi):

+ 5 = 10 – 3

3. Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan
16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga
dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga
angkanya kemudian ditambah dengan 13. Bagaimana bentuk SPLTV dari
permasalahan tersebut?.

Penyelesaian:
Misalkan bilangan itu , menempati tempat ratusan, y menempati
tempat puluhan, dan z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu
100 + 10 + . Berdasarkan data pada soal, diperoleh SPLTV sebagai
berikut.

8

+ + = 16
+ = – 2

100 + 10 + = 21( + + ) + 13
Atau bisa kita ubah menjadi bentuk berikut.

+ + = 16
+ – = – 2
79 – 11 – 20 = 13

D. Rangkuman
1. Setiap persamaan yang berbentuk ax + by + cz = d dengan a, b, c, dan d

adalah konstanta dan a, b, dan c tidak nol merupakan sistem persamaan tiga
variabel.
2. Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dapat dinotasikan
sebagai

₁x + b₁y + c₁z = ₁
ቐ ₂x + b₂y + c₂z = ₂

₃x + b₃y + c₃z = ₃

3. Nilai a, b dan c adalah penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel
apabila nilai a, b dan c disubtitusikan ke dalam setiap persamaan
menghasilkan pernyataan yang benar.

E. Latihan Soal

1. Ares ingin membeli beberapa jenis buah-buahan yaitu, 3 kg buah anggur, 2
kg buah jeruk dan 4 kg buah mangga dengan uang sebesar Rp 155.000,00.
Ubahlah kalimat tersebut dalam bentuk persamaan linear tiga variabel.
A. 3 + 2 + 4 = 155.000
B. 155.000 + 3 + 2 = 3
C. 3 + 155.000 = 2 + 4
D. 3 = 155.000 + 2 +

9

E. 3 + 4 = 155.000 + 2
2. Yang merupakan bentuk persamaan linear tiga variabel adalah…

A. 4 + = 16
B. 3 + 2 = –
C. + + 5 = 20
D. 2 + – 6 = 2
E. + 7 + 18 = 0
3. Pandu memiliki 9 buah mangga, 10 buah pisang dan 17 buah jeruk, dan ia
menghabiskan uang sebanyak 177.000 untuk membeli 3 jenis buah tersebut.
Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka hasilnya adalah.
A. 10 + 17 − 9 = 159.000
B. 9 + 10 + 159.000 = 17
C. 10 = 9 + 17 + 163.000
D. 9 + 10 + 17 = 177.000
E. 9 + 17 = 10 + 177.000
4. Sebuah kotak berisi 58 karcis yang berwarna merah, kuning dan hijau. Dua
kali karcis merah ditambah karcis kuning kemudian dikurangi dua kali
karcis hijau sama dengan 30. Karcis merah dikurangi dua kali karcis kuning
dan ditambah tiga kali karcis hijau sama degan 52. PLTV dari soal ini adalah
sebagai berikut.
A. + + = 58; 2 + – 2 = 30; – 2 + 3 = 52
B. + + = 52; 2 + 2 – 2 = 30; – 2 + 3 = 58
C. + + = 58; 2 + 2 – 2 = 52; – 2 + 3 = 30
D. + + = 52; 2 + – 2 = 58; – 2 + 3 = 30
E. + + = 58; 2 + – 3 = 30; – 2 + 2 = 52
5. Pada bulan Agustus pak Ahmad, pak Yudi dan pak Fauzi panen raya untuk
buah jeruk. Hasil panen jeruk dari pak Fauzi lebih sedikit 15 kg dari pak
Ahmad dan lebih banyak dari 15 kg dari pak Yudi. Persamaan matematis
yang dapat menggambarkan kondisi tersebut adalah… .
A. + = 15; + = 15
B. + = 15; + = 15

10

C. = 15 – ; + = 15
D. = – 15; = + 15
E. = – 15; = 15 –

Kunci Jawaban

1. A. 3 + 2 + 4 = 155.000
Pembahasan:
Misal = , = , =
Jumlah uang yang dihabiskan Ares untuk membeli tiga jenis buah tersebut
sebanyak 155.000
Maka persamaannya akan menjadi: 3 + 2 + 4 = 155.000

2. C. + + 5 = 20
Pembahasan:
Karena hanya jawaban C yang persamaannya memiliki 3 variabel, yaitu
,

3. D. 9 + 10 + 17 = 177.000
Pembahasan:
Misal = , = , =
Jumlah uang yang harus dibayarkannya sebanyak 177.000
Maka persamaanny akan menjadi: 9 + 10 + 17 = 177.000

4. A. + + = 58; 2 + – 2 = 30; – 2 + 3 = 52
Pembahasan:
misalkan : kancing warna merah = , warna kuning = , warna hijau =
Sebuah kotak berisi 58 karcis yang berwarna merah, kuning dan hijau.
Maka, + + = 58
Dua kali karcis merah ditambah karcis kuning kemudian dikurangi dua kali
karcis hijau sama dengan 30
Maka, 2 + − 2 = 30
Karcis merah dikurangi dua kali karcis kuning dan ditambah tiga kali karcis
hijau sama dengan 52
Maka, − 2 + 3 = 52

11

Jadi, PLTV soal ini adalah :
+ + = 58, 2 + − 2 = 30, − 2 + 3 = 52

5. D. = – 15; = + 15
Penyelesaian:
Misal: = panen jeruk Pak Ahmad, = Panen jeruk Pak Yudi, dan =
Panen jeruk Pak Fauzi. Sesuai dengan yang diketahui pada soal cerita, maka
diperoleh persamaan matematikanya adalah: = – 15; = + 15

12

F. Penilaian Diri
Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan jujur dan bertanggungjawab!

No Pertanyaan Jawaban
Iya Tidak
1 Apakah saya dapat menentukan peramasalahan
dalam sebuah soal cerita?

2 Apakah Saya dapat menggunakan konsep variabel
dalam sebuah soal cerita?

3 Apakah Saya dapat membuat persamaan
matematika dari sebuah soal cerita?

4 Apakah Saya dapat menyusun SPLTV dalam
sebuah soal cerita?

13

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2

METODE PENYELESAIAN DAN PENERAPAN SPLTV
A. Tujuan Pembelajaran
1. Peserta didik diharapkan mampu memahami konsep persamaan linear
tiga variabel sehingga mampu menyelesaikan soal yang berhubungan
dengan persamaan linear tiga variable.
2. Peserta didik diharapkan mampu menyelesaikan sistem persamaan
linear tiga variabel dari permasalahan dalam kehidupan sehari-hari
dengan menggunakan cara eliminasi, distribusi serta eliminasi dan
distrbusi.

B. Uraian Materi
Penyelesaian sistem persamaan tiga variabel
Metode atau cara umum yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem
permasalahan tiga variabel diantaranya adalah metode substitusi, metode
eliminasi dan metode campuran.
• Metode Substitusi
Metode substitusi adalah suatu metode untuk memperoleh
penyelesaian dengan memasukkan suatu persamaan linear satu ke
persamaan linear yang lain. Langkah-langkah penyelesaiannya
adalah sebagai berikut:
1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana. Nyatakan salah
satu variabel dalam bentuk dua variabel lain. Seperti variabel x
dinyatakan dalam variabel y dan z, variabel y dinyatakan dalam
variabel x dan z, variabel z dinyatakan dalam variabel x dan y.
2. Substitusikan nilai variabel yang diperoleh pada langkah
pertama ke persamaan lain yang ada di sistem persamaan tiga
variabel, sehingga nantinya terbentuk sistem persamaan linear
dua variabel.
3. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang diperoleh
pada langkah kedua.

14

4. Gunakan nilai variabel yang sudah diperoleh, untuk mengetahui
nilai variabel yang belum diketahui.

• Metode Eliminasi
Metode eliminasi adalah suatu metode untuk memperoleh
penyelesaian dengan menyamakan koefisien salah satu variabel agar
bisa dihilangkan dengan cara ditambah atau dikurang sehingga
diperoleh nilai variabel yang lain.
1. Pilih persamaan yang memiliki bentuk variabel paling sederhana,
selanjutnya hilangkan salah satu variabel sehingga membentuk
sistem persamaan linear dua variable.
2. Eliminasi sistem persamaan dua variabel yang telah didapatkan
untuk mengetahui salah satu nilai variabel.
3. Gunakan nilai variabel yang sudah diketahui pada pada Langkah
kedua, untuk menentukan nilai variabel lainnya.

• Metode Campuran
Metode campuran adalah suatu metode gabungan antara eliminasi
dan substitusi dengan cara mengeliminasi kedua persamaan,
kemudian substitusikan hasil eliminasi yang di peroleh ke salah satu
persamaan linear.
1. Pilih persamaan yang memiliki bentuk variabel paling sederhana,
selanjutnya hilangkan salah satu variabel sehingga membentuk
sistem persamaan linear dua variable.
2. Eliminasi sistem persamaan dua variabel yang telah didapatkan
untuk mengetahui salah satu nilai variabel.
3. Substitusi nilai variable yang sudah diketahui, pada persamaan
linear tiga variable untuk mengetahui nilai dari masing-masing
variabelnya.

Perhatikan gambar dibawah ini:

15

Gambar tersebut menunjukan berbagai jenis makanan yang dijual disebuah
supermarket. Terdapat 3 jenis makanan yang kurang diminati oleh pengunjung
supermarket tersebut, diantaranya adalah makanan 1, makanan 2, dan makanan 3.
Data penjualan ketiga makanan tersebut selama tiga hari berturut-turut adalah
sebagai berikut:
Substitusi
Carilah nilai , , untuk mengetahui jumlah tiap jenis makanan yang terjual
selama tiga hari tersebut menggunakan metode substitusi :

+ 2 + = 8
a. { + 3 + 3 = 17

4 + 2 + = 14
Keterangan: x = 1 y= 2 z= 3

Penyelesaian:

16

+ 2 + = 8 … ( 1)
a. ቐ + 3 + 3 = 17 … ( 2)

4 + 2 + = 14 … ( 3)
Langkah 1: Pilih persamaan yang bentuknya paling sederhana, maka
dipilihlah persamaan 1. Kemudian nyatakan variabel x kedalam variabel y
dan z.
Persamaan 1 kita ubah menjadi = −2 − + 8 … ( 4)
Langkah 2: Substitusikan nilai variabel yang diperoleh pada langkah
pertama.
Substitusikan persamaan 4 ke persamaan 2
Persamaan 2: + 3 + 3 = 17

⇔ (−2 − + 8) + 3 + 3 = 17
⇔ + 2 = 9
⇔ = −2 + 9 … ( 5)
Substitusikan persamaan 4 ke persamaan 3
Persamaan 3: 4 + 2 + = 14
⇔ 4(−2 − + 8) + 2 + = 14
⇔ −8 − 4 + 32 + 2 + = 14
⇔ −6 − 3 = −18 : -3
⇔ 2 + = 6
⇔ 2 = − + 6 … ( 6)
Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang didapat
pada langkah kedua.
Substitusikan persamaan 5 ke persamaan 6
Persamaan 6: 2 = − + 6
⇔ 2(−2 + 9) = − + 6
⇔ −4 + 18 = − + 6
⇔ −4 + = 6 − 18
⇔ −3 = −12
⇔ = 12

3

⇔ = 4

17

Langkah 4: Gunakan nilai variabel yang sudah diketahui, untuk mencari
nilai variabel yang lainnya.
Substitusikan = 4 ke persamaan 6
Persamaan 6: 2 + = 6

⇔ 2 + 4 = 6
⇔ 2 = 6 − 4
⇔ 2 = 2
⇔ = 2

2

⇔ = 1
Substitusikan = 1 ke persamaan 1
Persamaan 1: + 2 + = 8

⇔ + 2(1) + 4 = 8

⇔ + 2 + 4 = 8

⇔ = 8 − 2 − 4

⇔ = 2

Maka diketahui himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1, 4)}

Selanjutnya kerjakan soal b dan c dengan menggunakan cara substitusi.

2 + 3 + = 11 + 3 + 3 = 18
b. { + 2 + = 8 c. {3 + + 2 = 17

3 + 2 + 4 = 19 + + = 8

Untuk soal b dan c dapat dikerjakan secara mandiri.

Eliminasi

18

Carilah nilai , , untuk mengetahui jumlah tiap jenis makanan yang terjual
selama tiga hari tersebut menggunakan metode eliminasi.

+ 2 + = 8
a. { + 3 + 3 = 17

4 + 2 + = 14
Keterangan: x = 1

y= 2
z= 3
Penyelesaian:
+ 2 + = 8 … ( 1)
a. ቐ + 3 + 3 = 17 … ( 2)
4 + 2 + = 14 … ( 3)

Langkah 1: Pilih persamaan yang memiliki bentuk variabel paling sederhana,
selanjutnya hilangkan salah satu variabel sehingga membentuk sistem persamaan
linear dua variable.
Eliminasi variable x pada persamaan 1 dan persamaan 2

+ 2 + = 8
+ 3 + 3 = 17
− − 2 = −9 … ( 4)
Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan persamaan 3
+ 3 + 3 = 17 |× 4| = 4 + 12 + 12 = 68
4 + 2 + = 14|× 1| = 4 + 2 + = 14
= 10 + 11 = 54 … ( 5)
Langkah 2: Eliminasi sistem persamaan dua variabel yang telah didapatkan untuk
mengetahui salah satu nilai variabel.
Eliminasi nilai y pada persamaan 4 dan persamaan 5

19

− − 2 = −9|× 10| = −10 − 20 = −90

10 + 11 = 54|× 1| = 10 + 11 = 54 +

−9 = −36
36

= 9
= 4

Eliminasi nilai z pada persamaan 4 dan persamaan 5

− − 2 = −9|× 11| = −11 − 22 = −99

10 + 11 = 54|× 2| = 20 + 22 = 108 +

−9 = −9
9

= 9
= 1

Langkah 3: Gunakan nilai variabel yang sudah diketahui pada pada langkah kedua,
untuk menentukan nilai variabel lainnya. ( = 1); ( = 4)

⇔ + 2 + = 8

⇔ + 2(1) + 4 = 8

⇔ = 8 − 4 − 2

⇔ = 2

Maka berdasarkan metode eliminasi, kita ketahui bahwa himpunan
penyelesaiannya adalah {(2, 1, 4)}

2 + 3 + = 11 + 3 + 3 = 18
b. { + 2 + = 8 c. {3 + + 2 = 17

3 + 2 + 4 = 19 + + = 8

Soal b dan c dapat dikerjakan secara mandiri.

20

Metode Campuran
Carilah nilai , , untuk mengetahui jumlah tiap jenis makanan yang terjual
selama tiga hari tersebut menggunakan metode campuran.

+ 2 + = 8
a. { + 3 + 3 = 17

4 + 2 + = 14
Keterangan: x = 1

y= 2
z= 3
Penyelesaian:
+ 2 + = 8 … ( 1)
a. ቐ + 3 + 3 = 17 … ( 2)
4 + 2 + = 14 … ( 3)

Langkah 1: Pilih persamaan yang memiliki bentuk variabel paling sederhana,
selanjutnya hilangkan salah satu variabel sehingga membentuk sistem persamaan
linear dua variable.
Eliminasi variable x dengan menggunakan persamaan 1 dan 2

+ 2 + = 8
+ 3 + 3 = 17
− − 2 = −9 … ( 4)
Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan persamaan 3
+ 3 + 3 = 17 |× 4| = 4 + 12 + 12 = 68
4 + 2 + = 14|× 1| = 4 + 2 + = 14
= 10 + 11 = 54 … ( 5)
Langkah 2: Eliminasi sistem persamaan dua variabel yang telah didapatkan untuk
mengetahui salah satu nilai variabel.

21

Eliminasi variabel y pada persamaan 4 dan persamaan 5
− − 2 = −9|× 10| = −10 − 20 = −90
10 + 11 = 54|× 1| = 10 + 11 = 54 +
−9 = −36
36
= 9
= 4

Langkah 3: Substitusi nilai variable yang sudah diketahui, pada persamaan linear
tiga variable untuk mengetahui nilai dari masing-masing variabelnya.
Substitusikan = 4 pada persamaan 5
Persamaan 5: 10 + 11 = 54

⇔ 10 + 11(4) = 54
⇔ 10 + 44 = 54
⇔ 10 = 54 − 44
⇔ 10y=10
⇔ = 1
Substitusikan nilai ( = 1); ( = 4) dengan persamaan 1 + 2 + = 8
Persamaan 1: + 2 + = 8
⇔ + 2(1) + 4 = 8
⇔ + 2 + 4 = 8
⇔ = 8 − 4 − 2
⇔ = 2

22

2 + 3 + = 11 + 3 + 3 = 18
b. { + 2 + = 8 c. {3 + + 2 = 17

3 + 2 + 4 = 19 + + = 8

Soal b dan c dapat dikerjakan secara mandiri.

23

C. Contoh Soal
1. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan

apel. Hani membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar
Rp42.000,00. Devy membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 4 kg apel harus
membayar Rp49.000,00. Rheisa membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg
apel harus membayar Rp42.500,00. Berapakah harga per kilogram salak,
harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel? Kerjakan dengan
menggunakan metode substitusi dan eliminasi!

Penyelesaian:

• Substitusi

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y,
dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas,
diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

+ 3 + 2 = 42.000

2 + + 4 = 49.000

+ 2 + 3 = 42.500

Langkah 1: Pilih persamaan yang bentuknya paling sederhana, maka

dipilihlah persamaan 1. Kemudian nyatakan variabel x kedalam variabel y

dan z.

Persamaan 1 kita ubah menjadi = −3 − 2 + 42.000 … ( 4)

Langkah 2: Substitusikan nilai variabel yang diperoleh pada langkah

pertama.

Substitusikan persamaan 4 ke persamaan 3

Maka diperoleh: (−3 − 2 + 42.000) + 2 + 3 = 42.500

− + = 500

= − 500 … ( 5)

Substitusikan persamaan 4 ke persamaan 2

Maka diperoleh:

24

2 + + 4 = 49.000

2(−3 − 2 + 42.000) + y + 4z = 49.000

−6 − 4 + 84.000 + + 4 = 49.000

−5 = −35.000
−35.000

= −5
= 7.000

Langkah 3: Substitusikan sistem persamaan linear dua variabel yang

didapat pada langkah kedua.

Substitusikan persamaan 6 ke persamaan 5

Maka diperoleh: 7.000 = − 500

= 7.500

Langkah 4: Substitusikan = 7.000 = 7.500 pada persamaan 1

Maka diperoleh:

+ 3 + 2 = 42.000

+ 3(7.000) + 2(7.500) = 42.000
= 42.000 − 21.000 − 15.000
= 6.000

Penyelesaian:

• Eliminasi

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y,
dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas,
diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

+ 3 + 2 = 42.000

2 + + 4 = 49.000

+ 2 + 3 = 42.500

25

Penyelesaian menggunakan metode campuran:

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan
harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh
sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

+ 3 + 2 = 42.000
2 + + 4 = 49.000
+ 2 + 3 = 42.500
Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode
campuran yaitu sebagai berikut.
• Eliminasi variabel pada persamaan 1 2
+ 3 + 2 = 42.000 | × 2| → 2 + 6 + 4 = 84.000
2 + + 4 = 49.000 | × 1| → 2 + + 4 = 49.000 –

5 = 35.000
35.000
= 5
= 7.000
• Eliminasi variabel pada persamaan 2 3
2 + + 4 = 49.000 | × 1| → 2 + + 4 = 49.000
+ 2 + 3 = 42.500 | × 2| → 2 + 4 + 6 = 85.000 –

−3 – 2 = −36.000

−2 = 21.000 – 36.000
−15.000

= −2
= 7.500

Subtitusikan = 7.000 = 7.500 ke persamaam pertama
sehingga diperoleh:

⇒ + 3 + 2 = 42.000
⇒ + 3 (7000) + 2 (7.500) = 42.000

26

⇒ + 21.000 + 15.000 = 42.000

⇒ = 42.000 − 21.000 − 15.000

⇒ = 42.000 − 36.000

⇒ = 6.000
Maka diketahui harga perkilo dari buah-buahan tersebut adalah:
Jeruk : 6.000
Salak : 7000
Apel : 7.500
2. Sebuah toko pakaian menjual bermacam-macam jenis baju di antaranya
kemeja, kaos, dan daster. Jani membeli 3 kemeja, 2 kaos, dan 2 daster, Jani
harus membayar sebesar Rp480.000,00. Rije membeli 4 kemeja, 1 kaos, dan
5 daster, Rije harus membayar sebesar Rp705.000,00. Metta membeli 1
kemeja, 2 kaos, dan 3 daster, Metta harus membayar sebesar Rp360.000,00.
Berapakah harga per item dari pakaian tersebut? Kerjakan menggunakan
metode campuran!
Penyelesaian:

Misalkan harga per item kemeja adalah x, harga per item kaos adalah y,
dan harga per item daster z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh
sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

3 + 2 + 2 = 480.000
4 + + 5 = 705.000
+ 2 + 3 = 360.000
Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode
campuran yaitu sebagai berikut.
• Eliminasi variabel pada persamaan 1 2

⇒ 3 + 2 + 2 = 480.000 |× 5| → 15 + 10 + 10 = 2.400.000

⇒ 4 + + 5 = 705.000 |× 2| → 8 + 2 + 10 = 1.410.000 –

7 + 8 = 990.000 … (4)

27

• Eliminasi variabel pada persamaan 2 3
⇒4 + + 5 = 705.000|× 3| = 12 + 3 + 15 = 2.115.000
⇒ + 2 + 3 = 360.000|× 5| = 5 + 10 + 15 = 1.800.000 −

7 – 7 = 315.000 … (5)
• Eliminasi variable x pada persamaan 4 dan 5

⇒ 7 + 8 = 990.000
⇒ 7 – 7 = 315.000 −
⇒ 15 = 675.000
⇒ = 675.000

15

⇒ = 45.000
• Substitusi = 45.000 ke persamaan 5

7 – 7 = 315.000
7 – 7(45.000) = 315.000
7 = 315.000 + 315.000

630.000
= 7
= 90.000
• Substitusi = 90.000 = 45.000 ke persamaan 1

3 + 2 + 2 = 480.000
3 (90.000) + 2 (45.000) + 2 = 480.000

270.000 + 90.000 + 2 = 480.000

2 = 480.000 − 360.000

2 = 120.000
120.000

= 2
= 60.000

Maka diketahui harga per item di toko pakaian tersebut adalah:

28

• Kemeja = 90.000
• Kaos = 45.000
• Daster = 60.000
3. Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari sistem persamaan linear

3 − + 2 = 15
tiga variable berikut: { 2 + + = 13

3 + 2 + 2 = 24
Penyelesaian:
Langkah pertama, Gunakan metode eliminasi terhadap salah satu
persamaan terlebih dahulu.
Eliminasi persamaan (1) dan (2) :

3 − + 2 = 15 | 1 → 3 − + 2 = 15
2 + + = 13 | 2 → 4 + 2 + 2 = 26 _

− − 3 = −11 … (4)
Eliminasi persamaan (2) dan (3) :

2 + + = 13 | 2 → 4 + 2 + 2 = 26
3 + 2 + 2 = 24 | 1 → 3 + 2 + 2 = 24 _

= 2 … (5)
Langkah kedua, karena dari persamaan (5) sudah didapatkan nilai x, sekarang
tinggal menggunakan metode substitusi terhadap persamaan (4)
Substitusi persamaan (5) ke (4) :

− − 3 = −11
−(2) − 3 = −11

3 = −11 + 2
3 = 9
= 3

29

Langkah ketiga, karena sudah didapatkan nilai x dan y. Langsung saja
disubtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan 1, 2, atau 3 untuk
mengetahui nilai z:

Substitusi nilai y ke persamaan (2) :

2 + + = 13

2(2) + 3 + = 13

= 13 − 7

= 6

Maka himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {(2, 3, 6)}.

D. Rangkuman
a. Terdapat tiga metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga
variabel pada kegiatan pembelajaran kali ini, yaitu: metode subtitusi,
metode eliminasi, dan metode eliminasi – substitusi.
b. Secara umum, langkah-langkah penyelesaian masalah kontekstual yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel adalah sebagai
berikut:
• Menyelesaikan model matematika dengan menggunakan metode
penyelesaian dan operasi aljabar secara tepat.
• Menafsirkan dan memeriksa kesesuaian dan masuk akalnya jawaban
dari model matematika terhadap masalah semula, untuk mendapat
solusi dari masalah.

E. Latihan Soal
1. Shaka, Zidane, dan Haga ingin membeli bahan makanan untuk mengisi

dapur pada kostan barunya. Shaka membeli 3 dus mie instan, 17 liter beras,
dan 8 liter minyak goreng. Zidane membeli 82 bungkus mie instan, 11 liter
beras, dan 9 liter minyak goreng. Sedangkan Haga membeli 51 bungkus mie
instan, 20 liter beras, dan 11 liter minyak goreng. Shaka harus membayar
seharga 585.700, Zidane 426.700, dan Haga 493.200, maka berapa harga 1

30

bungkus mie instan, 1 liter beras, dan 1 liter minyak yang dibeli, jika
diketahui 1 box mie instan berisi 40 bungkus?
A. 2.350/mie instan, 11.300/L beras, 13.400/L minyak.
B. 2.400/mie instan, 11.400/L beras, 13.200/L minyak
C. 2.400/mie instan, 11.300/L beras, 13.200/L minyak
D. 2.300/mie instan, 11.400/L beras, 13.400/L minyak
E. 2.400/mie instan, 11.400/L beras, 13.300/L minyak
2. Dirga, Ares, dan Yudis berbelanja di sebuah toko buku. Dirga membeli dua
buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus. Dirda harus
membayar Rp4.700. Ares membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan
sebuah penghapus. Ares harus membayar Rp4.300. Yudis membeli tiga
buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Yudis harus
membayar Rp7.100. Bagaimana model matematika yang sesuai dengan
persoalan tersebut?
A. 2 + + = 4.700, + 2 + = 4.300, 3 + 2 + = 7.100
B. + + = 4.700, + 2 + = 4.300, 3 + 2 + = 7.100
C. 2 + + = 4.700, + 2 + 3 = 4.300, 2 + 3 + = 7.100
D. 2 + 2 + = 4.700, + 2 + 2 = 4.300, 3 + 2 + = 7.100
E. 2 + + 2 = 4.700, + 2 + = 4.300, 3 + 2 + = 7.100
3. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya alpukat, jambu,
dan nanas. Seseorang yang membeli 1 kg alpukat, 3 kg jambu, dan 2 kg
nanas harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg alpukat, 1
kg jambu, dan 1 kg nanas harus membayar Rp23.500,00. Orang yang
membeli 1 kg alpukat, 2 kg jambu, dan 3 kg nanas harus membayar
Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram alpukat, jambu, dan nanas?
A. 7000/kg, 6000/kg, 5000/kg
B. 6000/kg, 4000/kg, 7500/kg
C. 7500/kg, 5000/kg, 6000/kg
D. 6000/kg, 5000/kg, 7000/kg
E. 6500/kg, 4500/kg, 7500/kg

31

4. Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan
16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga
dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga
angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu!
A. = 4, = 4, = 9
B. = 4, = 3, = 9
C. = 3, = 4, = 8
D. = 4, = 4, = 8
E. = 3, = 4, = 9

5. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angka itu sama dengan
9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya. Angka
ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3. Carilah
bilangan itu.
A. x = 3, y = 1, z =6
B. x = 1, y = 3, z =6
C. x = 2, y = 4, z =5
D. x = 2, y = 3, z =6
E. x = 1, y = 4, z =6

F. Penilaian Diri
Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan jujur dan bertanggungjawab!

No Pertanyaan Jawaban
Iya Tidak
1 Apakah saya dapat menentukan peramasalahan
dalam sebuah soal cerita?

2 Apakah Saya dapat menggunakan konsep variabel
dalam sebuah soal cerita?

3 Apakah Saya dapat membuat persamaan
matematika dari sebuah soal cerita?

4 Apakah Saya dapat menyusun SPLTV dalam
sebuah soal cerita?

32

TES FORMATIF

1. Diketahui tiga bilangan x, y, dan z. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama
dengan 19. Bilangan kedua dikurang 3 sama dengan jumlah bilangan
lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurang
15. Carilah bilangan-bilangan itu.

2. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angka itu sama dengan
12. Nilai bilangan itu sama dengan 13 kali jumlah ketiga angkanya. Angka
ketiga dikurangi jumlah angka lainnya adalah nol. Carilah bilangan itu.

3. Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut:
• −4 + 2 + 3 = −12
• 2 + 6 − 7 = 30
• −2 − 5 + 7 = −25

4. Rumah Antares menjual berbagai macam jenis makanan. Terdapat 3 menu
yang menjadi best seller di kedai tersebut, diantaranya adalah menu nasi
rendang, nasi rames, dan nasi goreng. Penjualan yang terjadi pada ketiga
menu tersebut untuk 3 hari berturut-turut adalah sebagai berikut:
Hari pertama: 23 nasi rendang, 20 nasi rames, 22 nasi goreng
Hari kedua: 19 nasi rendang, 24 nasi rames, 21 nasi goreng
Hari ketiga: 25 nasi rendang, 18 nasi rames, 20 nasi goreng
Dengan pendapatan dari ketiga menu tersebut adalah:
Hari pertama: 781.000
Hari kedua: 766.000
Hari ketiga: 761.000
Tentukan harga untuk setiap porsi makanan tersebut!

5. Pertimbangkan sistem persamaan linear berikut.
4 + + = – 2 3 + 2 = 2 3 + = 0
– + 4 = 4 × – 2 + 2 = + 2 × – = 2

5 + 3 + 2 = + 2 2 – 5 = 0 13 – + 100 = 100
10 – + = 5 + 10 5 + 3 = 2 + 5 7 + + 11 = 0
Sistem persamaan linear yang homogen ditunjukkan oleh angka?

33

6. Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi :
+ + 2 = 13 … … … . . (1)
2 + 4 – 3 = 4 … … . . (2)
3 + 6 – 5 = 4 … … . . (3)

7. Sebuah pabrik memiliki 3 buah mesin A, B, dan C. Jika ketiganya bekerja
akan dihasilkan 5.700 dalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan B saja
bekerja akan dihasilkan 3.400 lensa dalam satu minggu. Jika hanya mesin
A dan C yang bekerja akan dihasilkan 4.200 lensa dalam satu minggu.
Berapa banyak lensa yang dihasilkan oleh tiaptiap mesin dalam satu minggu?

8. Bentuk kuadrat 2 + + mempunyai nilai 1 untuk = 0 ,
mempunyai nilai 6 untuk = 1 dan mempunyai nilai 2 untuk = −1.
Carilah nilai a, b, dan c.
A. a = 1, b = 2, c = 3
B. a = 3, b = 2, c = 1
C. a = 2, b = 4, c = 6
D. a = 3, b = 5, c = 5
E. a = 3, b = 4, c = 1

9. Ibu Gita membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp
305.000,00. Ibu Damar membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga
Rp 131.000,00. Ibu Naila membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga
Rp 360.000,00. Jika Ibu Ayu membeli 3 kg telur, 1 kg daging, dan 2 kg
udang, berapah harga yang harus ia bayar?

10. Tiga tukang cat, Andi, Kia, dan Chandra yang biasa bekerja secara
bersamaan, mereka dapat mengecat eksterior (bagian luar) sebuah rumah
dalam waktu 10 jam kerja. Pengalaman Kia dan Chandra pernah bersama-
sama mengecat rumah yang serupa dalam waktu 15 jam. Suatu hari ketiga
tukang cat ini, bekerja mengecat rumah serupa selama 4 jam kerja. Setelah
itu, Chandra pergi karena ada suatu keperluan mendadak, Andi dan Kia
memerlukan tambahan waktu 8 jam kerja lagi untuk menyelesaikan
pengecatan rumah. Tentukan waktu yang dibutuhkan masing-masing
tukang cat jika masing-masing bekerja sendirian

34

KUNCI JAWABAN

1. Penyelesaian:
Ketiga bilangan adalah a, b, dan c.
Ketentuan soal adalah sebagai berikut:
• Rata-rata ketiga bilangan sama dengan 17 berarti:
( + + )
3 = 19
• Bilangan kedua dikurang 3 sama dengan jumlah bilangan lain berarti:
− 3 = +
atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.
– + = −3
• Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang 4 berarti:
= + – 15
atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.
+ – = −15
Sampai sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.
+ + = 57
– + = −3
+ – = 15
Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode
campuran yaitu sebagai berikut.
Langkah 1
• Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 2
+ + = 57
– + = −3 −
2 = 60
= 30

35

Langkah 2

• Eliminasi variabel a pada persamaan 1 dan 3
+ + = 57
+ – = 15 −

2 = 42
42

= 2
= 21

Langkah 3
Subtitusikan nilai = 30 dan nilai = 21 ke persamaan +
– = 15 sehingga diperoleh nilai a yaitu sebagai berikut.

⇒ + + = 57
⇒ + 30 + 21 = 57

⇒ + 51 = 57
⇒ = 57 − 51

⇒ = 6
Jadi, ketiga bilangan tersebut berturut-turut adalah 14, 17 20
2. Penyelesaian:
Misalkan bilangan yang dimaksud adalah abc, dengan a menempati tempat
ratusan, b menempati tempat puluhan dan c menempati tempat satuan.
Ketentuan dalam soal adalah sebagai berikut.
• Jumlah ketiga angka sama dengan 12 berarti:

+ + = 12

• Nilai bilangan itu sama dengan 13 kali jumlah ketiga angkanya berarti:
100 + 10 + = 13( + + )

100 + 10 + = 13 + 13 + 13
100 – 13 + 10 – 13 + – 13 = 0

87 – 3 – 12 = 0

36

• Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 0
berarti:
– – = 0

atau bisa kita tulis sebagai berikut
+ – = 0

Dari sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.
+ + = 12

87 – 3 – 12 = 0
+ – = 0

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode
gabungan yaitu sebagai berikut.
• Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 2

+ + = 12 | × 3| → 3 + 3 + 3 = 36
87 – 3 – 12 = 0 |× 1| → 87 – 3 – 12 = 0 +

90 − 9 = 36
• Eliminasi variabel a dan b pada persamaan 1 dan 3

+ + = 12

+ – = 0 −

2 = 12
12

= 2
= 6

Subtitusikan nilai = 6 ke persamaan 9 – = 4 sehingga diperoleh
nilai sebagai berikut.
⇒ 10 – = 4
⇒ 10 – 6 = 4
⇒ 10 = 4 + 6
⇒ = 1

37

Terakhir subtitusikan nilai = 1 = 6 ke persamaan + +
= 12 sehingga kita peroleh nilai b sebagai berikut.

⇒ + + = 12
⇒ 1 + + 6 = 12

⇒ + 7 = 12
⇒ = 12 – 7
⇒ = 5

Karena nilai = 1, = 5 = 6 maka bilangan tersebut adalah 156.

3. Penyelesaian: +
Langkah 1:
• Eliminasi variable x pada persamaan (1) dan (2)

−4 + 2 + 3 = −12 |× 2| = −8 + 4 + 6 = −24

2 + 6 − 7 = 30|× 4| = 8 + 24 − 28 = 120

= 28 − 22 = 96 … ( 4)

Langkah 2:
• Eliminasi variable x dan z pada persamaan (2) dan (3)

2 + 6 − 7 = 30
−2 − 5 + 7 = −25

= 5
Langkah 3:
• Substitusi = 5 pada persamaan 4

28 − 22 = 96
28(5) − 22 = 96
−22 = 96 − 140

−44
= −22

38

= 2
Langkah 4:
• Substitusi = 5, = 2 pada persamaan 1

−4 + 2 + 3 = −12
−4 + 2(5) + 3(2) = −12

−4 + 10 + 6 = −12
−4 = −12 − 10 − 6

−4 = −28
−28

= −4
= 7

Maka diketahui himpunan penyelesaiannya adalah {(7, 5, 2)}

4. Penyelesaian:
Langkah 1:
Kita misalkan : ; : ; ℎ:
Maka akan menghasilkan persamaan
23 + 20 + 22ℎ = 781.000
19 + 24 + 21ℎ = 766.000
25 + 18 + 20ℎ = 761.000
Langkah 2:
• Eliminasi variable pada persamaan (1) dan (2)
23 + 20 + 22ℎ = 781.000 |× 19| = 380 + 418ℎ = 14.839.000
19 + 24 + 21ℎ = 766.000 |× 23| = 552 + 483ℎ = 17.618.000
−172 − 65ℎ = −2.779.000 … ( 4)
Langkah 3:
• Eliminasi variable pada persamaan (2) dan (3)

19 + 24 + 21ℎ = 766.000|× 25| = 600 + 525ℎ = 19.150.000

25 + 18 + 20ℎ = 761.000|× 19| = 342 + 380ℎ = 14.459.000

258 + 145ℎ = 4.691.000 … ( 5)

39

Langkah 4:
• Eliminasi variable ℎ pada persamaan (4) dan (5)

172 + 65ℎ = 2.779.000|× 145| = 24.940 = 402.955.000
258 + 145ℎ = 4.691.000|× 65| = 16.770 = 304.915.000

8.170 = 98.040.000
98.040.000

= 8.170
= 12.000

Langkah 5:
• Substitusi = 12.000 pada persamaan (4)

172 + 65ℎ = 2.779.000
172(12.000) + 65ℎ = 2.779.000

65ℎ = 2.779.000 − 2.064.000
65ℎ = 715.000
2.779.000
ℎ = 65
ℎ = 11.000

Langkah 6:
• Substitusi = 12.000 ℎ = 11.000 pada persamaan (1)

23 + 20 + 22ℎ = 781.000
23 + 20(12.000) + 22(11.000) = 781.000

23 = 781.000 − 240.000 − 242.000
23 = 200.000
299.000
= 23
= 13.000

Maka diketahui harga perporsi menu tersebut adalah:
• Nasi rendang: 13.000
• Nasi rames: 12.000
• Nasi goreng: 11.000

40

5. Penyelesaiannya:
Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear, di
mana setiap persamaan memiliki konstanta 0.
Bentuk umumnya adalah
1 + 1 + 1 = 0
2 + 2 + 2 = 0
3 + 3 + 3 = 0
Nomor analisis SPL 1:
4 + + = – 2
3 + 2 = 2
3 + = 0
Analisis SPL di atas menjadi bentuk umum.
4 + = −2
3 – 2 + 2 = 0
3 + = 0
Tampaknya Persamaan (1) berisi konstanta -2 sehingga SPL tidak
homogen.
Nomor analisis SPL 2:
− + 4 = 4
10 – 2 + 2 = + 2
6 − = 2 ℎ
Ubah SPL di atas ke bentuk umumnya.
− = 0
10 − 2 − = 0
6 − 3 = 0
Maka sistem persamaan linear yang homogen ditunjukkan oleh angka 2
dan 4.

6. Penyelesaian:
Langkah 1:
Ubah bentuk persamaan 1
Maka akan di dapatkan = – – 2 + 13 ……….. (4)

41

Langkah 2:

Substitusi persamaan (4 )kedalam persamaan (2) dan (3)

Persamaan 2: 2 + 4 – 3 = 4
2( – – 2 + 13) + 4 – 3 = 4

−2 − 4 + 26 + 4 − 3 = 4

2 − 7 = −22 … ( 5)

Persamaan 3: 3 + 6 − 5 = 4

3( – – 2 + 13) + 6 − 5 = 4

−3 − 6 + 39 + 6 − 5 = 4

3 − 11 = −35 … ( 6)

Langkah 3

Ubah bentuk pada persamaan (5)

2 = 7 − 22
7
= 2 − 11 … ( 7)

Langkah 3

Substitusi persamaan (7 )kedalam persamaan (6)

Persamaan 6: 3 − 11 = −35

7
3 (2 − 11) − 11 = −35

21
2 − 33 − 11 = −35
21 22
2 − 2 = −35 + 33

1
− 2 = −2

= 4

Langkah 4

Substitusi z=4 kedalam persamaan (6)

Persamaan 6: 3 − 11 = −35

3 − 11(4) = −35

3 = 9

42

9
= 3
= 3

Langkah 4
Substitusi y=3 dan z=4 kedalam persamaan (1)
Persamaan 1: + + 2 = 13

+ 3 + 2(4) = 13
= 13 − 8 − 3
= 2

Maka substitusi penyelesaian menggunakan substitusinya adalah {(2,3,4)}
7. Penyelesaiannya

Terdapat 3 Buah mesin A, B, C
+ + = 5.700 … ( 1)

+ = 3.400 … ( 2) } Produksi dalam seminggu
+ = 4.200 … ( 3)
Langkah 1:
Ubahlah bentuk pada persamaan 2
+ = 3.400 => = 3.400 − … ( 4)
Langkah 2:
Substitusi persamaan (4) kedalam persamaan 1
+ + = 5.700 => 3.400 − + + = 5.700

= 3.400 + = 5.700
= = 5.700 − 3.400

= 2.300
Langkah 3:
Substitusi persamaan (4) dan nilai C kedalam persamaan 3
+ = 4.200 => 3.400 − + 2.300 = 4.200

− = 4.200 − 2.300 − 3.400
− = −1.500
= 1.500

43

Langkah 4:
Substitusi nilai C dan B pada persamaan (1)
+ + = 5.700 => + 1.500 + 2.300 = 5.700

= 5.700 − 1.500 − 2.300
= 1.900

Sehingga diketahui bahwa yang dihasilkan tiap mesin dalam waktu satu
minggu ialah sebanyak:
Mesin A: 1.900
Mesin B: 1.500
Mesin C: 2.300
8. Penyelesaian
2 + +
Langkah 1:
1.) Hasilnya 1 apabila = 0 maka: (0)2 + (0) + = 1

= 1
2.) Hasilnya 6 apabila = 1 maka: (1)2 + (1) + = 6

+ + 1 = 6
+ = 5 … ( 1)
3.) Hasilnya 2 apabila = −1 maka: (−1)2 + (−1) + = 2

− + 1 = 2
− = 1 … ( 2)
Langkah 2:
Eliminasi persamaan (1) dan (2)

+ = 5
− = 1 −

2 = 4
= 2
Langkah 3:
Substitusi nilai a dan b kedalam persamaan (1)
+ 2 = 5
= 3

44

Maka diketahui nilai a, b, c, berturut-turut adalh 3, 2, 1.

9. Penyelesaian

Misal: =Telur

= Daging

= Udang

Ibu Gita : 5 + 2 + = 305.000 … ( 1)

Ibu Damar : 3 + = 131.000 … ( 2)

Ibu Naila : 3 + 2 = 360.000 … ( 3)

Langkah 1:

Ubahlah bentuk pada persamaan 2

3 + = 131.000 => = 131.000 − 3 … ( 4)

Langkah 2:

Substitusi persamaan (4) kedalam persamaan (1)
5 + 2 + = 305.000 => 5 + 2(131.000 − 3 ) + = 305.000

5 − 6 + = 305.000 − 262.000

− + = 43.000 … ( 5)

Langkah 3:

Ubahlah bentuk pada persamaan 5
2 + = 43.000 => = 43.000 + … ( 6)

Langkah 4:

Substitusi persamaan (6) kedalam persamaan (3)

3 + 2 = 360.000 => 3 + 2(43.000 + ) = 360.000

3 + 2 = 360.000 − 86.000

2 + 3 = 274.000 … ( 7)

Langkah 4:

Eliminasi persamaan (2) dan persamaan (7)

3 + = 131.000 | 3| = 9 + 3 = 393.000

2 + 3 = 274.000 | 1| = 2 + 3 = 274.000

7 = 119.000

= 17.000

Langkah 5:

45

Substitusi nilai a kedalam persamaan 2:
3 + = 131.000 => 3(17.000) + = 131.000

= 131.000 − 51.000
= 80.000

Substitusi nilai b kedalam persamaan 3
3 + 2 = 360.000 => 3(80.000) + 2 = 360.000

2 = 360.000 − 240.000
2 = 120.000
= 60.000

Diketahui bahwa nilai untuk a, b, dan c berturut-turut adalah 17.000, 80.000,
dan 60.000
Maka uang yang harus dibayarkan bu Ayu untuk membeli 3 kg telur, 1 kg
daging dan 2 kg udang adalah:
3 + + 2 = 3(17.000) + 80.000 + 2(60.000)
3 + + 2 = 51.000 + 80.000 + 120.000
3 + + 2 = 215.000
Maka uang yang harus dibayarkan bu Ayu adalah Rp 251.000,00.
10. Penyelesaian:
Misal : Andi = a

: Kia = b
: Chandra = c


=
1 + 1 + 1 = 1 … (Pers 1)

10

1 + 1 = 1 … (Pers 2)

15

Langkah 1:
Eliminasi persamaan 1 dan persamaan 2

111 1
+ + = 10

11 1
+ = 15 −

46

11
a = 30
= 30

Suatu hari Andi, Kia dan Chandra bekerja bersama kembali, namun setelah

4 jam berlangsung pekerjaan hanya dilanjutkan oleh Kia dan Chandra

Maka: 10−4 = 6 ada 6 bagian lagi yang harus diselesaikan oleh Kia dan
10 10 10

Chandra dalam waktu 8 jam

1 1 0,6
a + = 8 … (Pers 3)

Substitusikan nilai a pada perasamaan 3

1 1 0,6
30 + = 8

= 24

Substitusikan nilai b pada persamaan 2
11 1
24 + = 15
= 40

Maka diketahui waktu yang dibutuhkan jika masing-masing bekerja

sendirian adalah:

: 30
: 24
ℎ : 40

Kerjakan soal dibawah ini!

1. https://www.liveworksheets.com/ic2584199lx

2. https://www.liveworksheets.com/mu2356947lf

47