เส้นขนาน

เส้นขนาน

รัฐสรณ์ อินทร์จันทร์

ความหมายของ เส้น

ขนาน

เส้นขนาน คือ เส้นตรงสองเส้นที่ไม่มีทางตัดกัน
หรือ เป็นเส้นตรงที่มีเส้นตั้งฉากเดียวกันได้
จากรูป เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD

สามารถเขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ AB // CD
ถ้ามีเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดผ่านเส้นขนาน จะทำให้เกิด

มุมภายใน

มุมภายใน



ถ้ามีเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดผ่านเส้นขนาน ทำให้
เกิดมุมภายใน

ถ้าเส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD แล้วมี
เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดผ่านเส้นขนาน ทำให้เกิด

มุมภายในเกิดขึ้นดังรูป จะได้ว่า
มุม 1 กับ มุม 3 บวกกันได้ 180 องศา และ

มุม 2 กับ มุม 4 บวกกันได้ 180 องศา

มุมภายในที่อยู่บน
ข้างเดียวกันของ

เส้นตัด

ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยู่
บนข้างเดียวกันของเส้นตัด เป็นไปตาม

สมบัติของเส้นขนาน ดังนี้

1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของ
มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ
180 องศา

2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุม
ภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180

องศาแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน
สมบัติข้อ 1 และข้อ 2 เมื่อนำมาเขียนใหม่โดยใช้ “ก็ต่อ

เมื่อ” จะได้ดังนี้
เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนาน
กัน ก็ต่อเมื่อขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ

เส้นตรงรวมกันเท่ากับ 180 องศา

เส้นขนานและมุมแย้ง

ทฤษฎีบท
ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมี
เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

ในการตรวจสอบว่า เส้นตรงสอง
เส้นขนานกันหรือไม่ นอกจากจะ
พิจารณาจากขนาดของมุมภายในที่
อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดเส้น

ตรงทั้งสองแล้ว ยังสามารถ
พิจารณาจากขนาดของมุมแย้งได้

ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท



ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ งตัดเส้นตรง
คู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาด
เท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้น
ขนานกัน
ทฤษฎีบทข้างต้นนนี้เป็ นบท

กลับของทฤษฎีบทที่ว่า ถ้าเส้น
ตรงสองเส้นขนานกันและมี
เส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาด
เท่ากัน เมื่อนำทฤษฎีบททั้ง

สองนี้มาเขียนใหม่โดยใช้ ก็ต่อ
เมื่อ จะได้ทฤษฎีบทดังนี้

มุมแย้ง

ถ้าเส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD แล้วมี
เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดผ่านเส้นขนาน ทำให้เกิด

มุมแย้งเกิดขึ้นดังรูป จะได้ว่า
มุม 1 และ มุม 4 จะต้องมีขนาดเท่ากัน และ

มุม 2 และ มุม 3 จะต้องมีขนาดเท่ากัน

มุมภายนอกและมุม
ภายใน

ถ้าเส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD แล้วมี
เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดผ่านเส้นขนาน ทำให้เกิด
มุมภายนอกและมุมภายในเกิดขึ้นดังรูป จะได้

ว่า
มุม 1 และ มุม 5 จะต้องมีขนาดเท่ากัน
มุม 2 และ มุม 6 จะต้องมีขนาดเท่ากัน
มุม 3 และ มุม 7 จะต้องมีขนาดเท่ากัน
มุม 4 และ มุม 8 จะต้องมีขนาดเท่ากัน
และถ้าผสมกับสมบัติของมุมแย้ง จะได้ว่า
มุม 1 , มุม 4 , มุม 5 และ มุม 8 จะต้องมี

ขนาดเท่ากัน
มุม 2 , มุม 3 , มุม 6 และ มุม 7 จะต้องมี

ขนาดเท่ากัน

บทนิยาม

เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบ
เดียวกัน ขนานกันก็ต่อเมื่อ เส้นตรง

ทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน



ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน

เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม
จากบทผ่าน ๆ มาเราเคยทราบมาแล้วว่า “ขนาดของมุม
ภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180
องศา” ข้อความนี้เป็นทฤษฎีบทที่สำคัญ ทฤษฎีบทหนึ่งทาง

เรขาคณิต ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ ดังนี้
ทฤษฎีบท

ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน
เท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎีบทข้างต้น สามารถนำมาใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับ
ขนาดของมุมภายนอกและขนาดของมุมภายในของรูป
สามเหลี่ยมได้ดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท
ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุม
ภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของ

มุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น
นอกจากทฤษฎีบทดังกล่าวแล้ว ยังมีการนำทฤษฎีบทเกี่ยว
กับผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ไป

พิสูจน์สมบัติที่เกี่ยวกับความเท่ากันทุกประการของรูป
สามเหลี่ยมดังต่อไปนี้

นักเรียนเคยศึกษามาแล้วว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความ
สัมพันธ์กันแบบ มุม – ด้าน – มุม จะเท่ากันทุกประการ
เมื่อด้านคู่ที่ยาวเท่ากันอยู่ระหว่างมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะทำให้นักเรียนเห็นว่าด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน
นั้น จะเป็นด้านคู่ใดก็ได้ ไม่จำเป็นต้องเป็นด้านคู่ที่อยู่

ระหว่างมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน แต่ต้องเป็นด้านคู่ที่อยู่ตรง
ข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน
ทฤษฎีบท

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และ
ด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันหนึ่ง

คู่แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ
เส้นตัด เป็นไปตามสมบัติของเส้นขนาน ดังนี้

1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วขนาดของ
มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ
180 องศา

2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้ขนาดของมุม
ภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180

องศาแล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน
สมบัติข้อ 1 และข้อ 2 เมื่อนำมาเขียนใหม่โดยใช้ “ก็ต่อ

เมื่อ” จะได้ดังนี้
เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนาน
กัน ก็ต่อเมื่อขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ

เส้นตรงรวมกันเท่ากับ 180 องศา