หนังสือออนไลน์ เซต & เลขยกกำลัง

วิชาคณิตศาสตร์

เซต
&

เลขยกกำลัง

นำเสนอ
อาจารย์ รสชกร บุปผาคำ

จัดทำโดย
นาย กิตติภัทร์ รอดดอน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/8 เลขที่ 3

เซต

คำนิยาม

เซต (Set s) หมายถึง กลุ่มของสิ่งต่างๆ ไม่ว่า
จะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่ง
สามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียกสมาชิกใน
กลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"

การเขียนเซต

การเขียนเซตนิยมใช้ตัวอักษรตัวใหญ่แทนชื่อเซต
และสามารถขียนได้ 2 แบบคือ

1.แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
ตัวอย่าง เช่น A = {1,2,3,4,5}
B = {a,e,l,o,u}
C = {...,-2,-1,0,1,2, ...}

2.แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
ตัวอย่าง เช่น A = {x|xเป็นจำนวนเต็มบวกที่มี

ค่าน้ อยกว่าหรือเท่ากับ 5}
B = {x|xเป็นสระในภาษาอังกฤษ}
C = {xlxเป็นจำนวนเต็ม}

สัญลักษณ์

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆ มีดังนี้

I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ
I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก
I แทนเซตของจำนวนเต็ม
N แทนเซตของจำนวนนับ
Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ
Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก
Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
R แทนเซตของจำนวนจริง

ประเภทของเซต

1. เซตจำกัด
คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้ซัดเจน
ตัวอย่าง เช่น A = {1,2,3,4, 5} มีสมาชิก 5 สมาชิก

B = {a,e,l,o,u} มีสมาชิก 5 สมาชิก

2.เซตอนันต์
คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิก
มากมายนับไม่ถ้วน
ตัวอย่าง เช่น C = {...-2,-1,0,1,2,...}

3. เซตที่เท่ากัน
คือ เซต A และเซต B จะเป็นเซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ
สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ
สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A
สามารถขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A = B
ตัวอย่าง เช่น A = {1,2,3,4, 5}

B = { xlx เป็นจำนวนนับและ x < 5}
ดังนั้น A= B

4. เซตว่าง
คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซต

∅เป็นศูนย์ สามารถขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ { }

หรือ

∅ตัวอย่าง เช่น A = {x|xเป็นจำนวนเต็มและ1<X<2}

ดังนั้น A =

∅B = {xlxเป็นจำนวนจริงและX²+1=0}

ดังนั้น B =
เนื่ องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกในเซตว่าง
ได้
ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

5. เอกภพสัมพัทธ์
คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เรา
ศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u
ตัวอย่าง เช่น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม

U= {...,-2,-1,0,1.2 ....} หรือ
U = { x|x เป็นจำนวนเต็ม}

สับเซตและเพาเวอร์เซต

สับเซต
คือ เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิก
ทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต B และ

⊂สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A B

ตัวอย่างที่ 1 A = {1,2,3}

⊂B = {1,2,3,4,5}

ดังนั้น A B
ตัวอย่างที่ 2

C = { xlx เป็นจำนวนเต็มบวก } = { 1,2, 3,...}

⊂D = { x|x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...}

ดังนั้น C D

ตัวอย่างที่ 3 E ={0,1,2}

F ={2,1,0} E

⊂ ⊂ดังนั้น E F และ F E
⊂ ⊂จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่าถ้า E F และ F

แล้ว E = F

● สับเซตแท้ เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B
⊂ ≠ก็ต่อเมื่อ A B และ A B
● จำนวนสับเซต ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n

สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 20 เซต

และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2ⁿ- 1 เซต

เพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วย
สมาชิกที่เป็นสับเซต ทั้งหมดของเซต A และสามารถ
เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)

∅ตัวอย่างที่ 1 A =
∅สับเซตทั้งหมดของ A คือ
∅ดังนั้น P(A) = { }

ตัวอย่างที่ 2 B= {1}

∅สับเซตทั้งหมดของ B คือ , {1}

ดังนั้น P(B) = { O,{1} }

ตัวอย่างที่ 3 C= {1,2}

∅สับเซตทั้งหมดของ C คือ ,{1},{2},{1,2}
∅ดังนั้น P(C)={ , {1} , {2}, {1, 2} }

การกระทำกันของเซต



ยูเนียน (Union)
เซต A ยูเนียนกับเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วย
สมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือเซต B
สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A U B

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบ
ด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B

∩สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A B

ผลต่าง (Difference)
ถ้า A และ B เป็นเซตใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ u
เดียวกันแล้วผลต่างของเซต A และเซต B คือ
เซต ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซด
A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทน
ได้ด้วย สัญลักษณ์ A - B

คอมพลีเมนต์ (Complements)
ถ้า A เป็นเซตใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ u แล้ว
คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วย
สมาชิกที่ เป็นสมาชิกของ u แต่ไม่เป็นสมาชิก
ของ A สามารถ เขียนแทนได้ด้วยสัญญลักษณ์ A'

สูตรการหาจำนวนสมาชิก
ของเซตจำกัด

● ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทน

●จำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n( A)
ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพ

สัมพัทธ์ u แล้ว B)

∩n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A
∩n(A-B)=n(A)-n(A B)
∩n(B-A)=n(B)-n(A B)

● ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพ

สัมพัทธ์ u แล้ว

∩n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A B)
∩ ∩ ∩ ∩n(A B)-n(B C)+n(A B C)

ศู น ย์ ฟิต เ น ส วิ ต า เ ว อ ร์ เ ด

ทำให้ร่างกาย
คุณแข็งแรง

เป็นสมาชิกตอนนี้
และรับการฝึกได้ 2 ครั้งฟรี

9.00 น. ถึง 10.00 น.
123 ถนนเลี่ยงเมือง
ขอนแก่น

รายละเอียดที่
www.deesite.co.th

ศู น ย์ ฟิต เ น ส วิ ต า เ ว อ ร์ เ ด

ทำให้ร่างกาย
คุณแข็งแรง

เป็นสมาชิกตอนนี้
และรับการฝึกได้ 2 ครั้งฟรี

9.00 น. ถึง 10.00 น.
123 ถนนเลี่ยงเมือง
ขอนแก่น

รายละเอียดที่
www.deesite.co.th

ศู น ย์ ฟิต เ น ส วิ ต า เ ว อ ร์ เ ด

ทำให้ร่างกาย
คุณแข็งแรง

เป็นสมาชิกตอนนี้
และรับการฝึกได้ 2 ครั้งฟรี

9.00 น. ถึง 10.00 น.
123 ถนนเลี่ยงเมือง
ขอนแก่น

รายละเอียดที่
www.deesite.co.th

เลข
ยกกำลั ง

ความหมายของเลขยกกำลัง

การยกกำลัง มีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน
คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว จะเขียนได้เป็น
aⁿ= a × a × a × ... × a
aⁿ เรียกว่าการยกกำลัง มีความหมายเหมือนการ
คูณซ้ำ ๆ กัน
คือ ล คูณกันเป็นจำนวน n ตัว จะเขียนได้เป็น
aⁿ = a x a x a x ... x a
aⁿ เรียกว่า เลขยกกำลัง
a เรียกว่า ฐานของเลขยกกำลัง
n เรียกว่า เลขชี้กำลังเลขยกกำลัง
a เรียกว่า ฐานของเลขยกกำลัง
n เรียกว่า เลขชี้กำลัง

สมบัติเลขยกกำลัง

สมบัติข้อที่ 1
จะช่วยให้เราสามารถประหยัดเวลาในการคำนวณได้
มาก คือ เมื่อเราพบเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลัง
เท่ากับ 0 จะทำให้เลขยกกำลังตัวนั้นมีค่าเท่ากับ 1
ได้ทันที

สมบัติข้อที่ 2
โดยปกติแล้วการเขียนเลขยกกำลังนิยมเขียนให้
เลขยกกำลังมีค่าเป็นบวกอยู่เสมอ เพราะฉะนั้น
สมบัตินี้จะช่วยให้เราสามารถเปลี่ยนเลขยกกำลังที่
ติดลบให้มาเป็ นบวกได้

สมบัติข้อที่ 3
“เลขฐานเหมือนกันคูณกัน เลขยกกำลังนำมาบวก
กัน” สมบัติในข้อนี้จะช่วยให้เราสามารถยุบเลขยก
กำลังที่มีเลขฐานเดียวกัน ให้สามารถเขียนเพียงตัว
เดียวได้

สมบัติข้อที่ 4
“ฐานเหมือนกันหารกัน เลขยกกำลังนำมาลบกัน”
สมบัติในข้อนี้จะช่วยให้เราสามารถยุบเลขยกกำลังที่
มีเลขฐานเดียวกัน ให้สามารถเขียนเพียงตัวเดียวได้

สมบัติข้อที่ 5
สมบัติการกระจายเลขยกกำลัง เพื่อความสะดวก
ในการยุบเลขยกกำลังที่มีการซ้อนกัน ซึ่งควรระวัง
วงเล็บดี ๆ เนื่องจากความหมายจะเปลี่ยนไปทันที
ถ้าไม่ได้ใส่วงเล็บ

สมบัติข้อที่ 6
นี้คล้ายกับสมบัติข้อที่ 5 คือ ใช้หลักการการกระจาย
เหมือนกัน ข้อควรระวังของสมบัตินี้คือ สามารถ
กระจายได้แค่การคูณและการหารเท่านั้น โดยเลขยก
กำลังจะไม่สามารถกระจายได้ในการบวกและการลบ
เด็ดขาด

สมบัติข้อที่ 7
นี้คล้ายกับสมบัติข้อที่ 5 และ 6 คือ ใช้หลักการ
การกระจายเหมือนกัน ข้อควรระวังของสมบัตินี้
คือ สามารถกระจายได้แค่การคูณและการหาร
เท่านั้น โดยเลขยกกำลังไม่สามารถกระจายได้ใน
การบวกและการลบเด็ดขาด

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลัง
เป็นเศษส่วน

เมื่อ a > 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า

≠เมื่อ a 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวก
≥; n 2

ศู น ย์ ฟิต เ น ส วิ ต า เ ว อ ร์ เ ด

ทำให้ร่างกาย
คุณแข็งแรง

เป็นสมาชิกตอนนี้
และรับการฝึกได้ 2 ครั้งฟรี

9.00 น. ถึง 10.00 น.
123 ถนนเลี่ยงเมือง
ขอนแก่น

รายละเอียดที่
www.deesite.co.th