ตาราง คาร์นอร์แม็บ (K-map)

1

แผนผังคารน์ อจแ์ ละวงจรคอมบิเนชั่น

1 คารน์ อจ์แมพ็ (Karnaugh map)

แผนผังคารน์ อจ์ จะเป็นรปู แบบหนง่ึ ของตารางความจรงิ โดยจะมีลักษณะของพ้ืนผิวลกั ษณะเป็นทรงกลม
แต่ในการเขยี นจะเขยี นเปน็ แผนภาพที่ประกอบด้วยสี่เหลย่ี มจัตุรัสหลาย ๆ ชอ่ ง โดยมจี ำนวนช่องเท่ากับ 2n ชอ่ ง
โดย n คือจำนวนตัวแปรในฟังกช์ น่ั สี่เหลย่ี มแต่ละช่องจะแทนตารางความจรงิ ในหนึ่งแถวซ่ึงอาจจะ
เป็น mimterm หรอื maxterm หนึง่ เทอมกไ็ ด้ แล้วแต่การพิจารณาของเรา ซง่ึ คา่ ที่จะปรากฏอยู่ในช่องส่ีเหล่ียมต่าง ๆ ก็
คือ ส่วนทเี่ ปน็ output ของวงจรลอจกิ ที่ต้องการนนั่ เอง โดยมกี ารกำหนดคา่ input ของตัวแปรในแนวต่าง ๆ บรเิ วณ
นอกตาราง

2 คารน์ อจ์แม็พ 2 ตัวแปร

คาร์นอจ์แมพ็ 2 ตัวแปร จะประกอบดว้ ยช่องของสี่เหล่ยี มจตั ุรสั ต่าง ๆ จำนวน 22 ช่อง หรอื 4 ช่อง แตล่ ะช่องจะ
แทนเทอมตา่ ง ๆ ในรปู แบบของ minterm หรือ maxterm ซึ่งมีลกั ษณะของแผนภาพดงั ทแี่ สดงในรปู ท่ี 5.1 ซ่งึ จะเหน็
วา่ แผนภาพคาร์นอจน์ ้ัน ในแนวคอลัมน์ (column) จะกำหนดค่าตัวแปร input ของ A ส่วนในแนวของแถว (row) จะ
กำหนดค่าตัวแปร input ของ B โดยในรูปที่ 5.2 จะแสดงการแทนคา่ ของตวั แปรในรปู แบบ
ของ minterm และ maxterm

รปู ที่ 1 คาร์นอจ์แมพ็ 2 ตัวแปร

การลดรูปแบบ Minterm การลดรปู แบบ Maxterm

2

3 คารน์ อจแ์ มพ็ 3 ตวั แปร

คารน์ อจแ์ ม็พ 3 ตวั แปร จะประกอบดว้ ยช่องของสเ่ี หล่ยี มจัตุรัสต่าง ๆ จำนวน 23 ชอ่ ง หรือ 8 ชอ่ ง แต่ละชอ่ งจะ

แทนเทอมต่าง ๆ ในรูปแบบของ minterm หรอื maxterm เชน่ กัน ซ่งึ มีลักษณะของแผนภาพดังที่แสดงในรูป

ที่ 5.3 แต่จะในส่วนของการกำหนดค่าตัวแปรในแนวคอลมั นห์ รือแนวแถว จะมีหนึ่งแนวทจี่ ะตอ้ งแทนคา่ ของตัวแปร

มากกวา่ 1 ตัวแปร ซึ่งจะสงั เกตเห็นว่าแนวทม่ี ีการแทนตัวแปรมากกวา่ 1 ตวั แปรจะมกี ารเรียงคา่ ท่ีไม่เปน็ ไปตาม

เลขฐานสอง แตจ่ ะเปน็ การเรียงคา่ ในลักษณะของรหัสเกรย์ คือ 00, 01, 11, 10

รปู ที่ 5.3 คาร์นอจ์แมพ็ 3 ตัวแปร

การลดรูปแบบ Minterm การลดรปู แบบ Maxterm

5.5 คารน์ อจแ์ ม็พ 4 ตวั แปร

คาร์นอจ์แมพ็ 4 ตัวแปร จะประกอบดว้ ยชอ่ งของส่ีเหลยี่ มจัตรุ สั ตา่ ง ๆ จำนวน 24 ช่อง หรอื 16 ช่อง แต่ละชอ่ ง
จะแทนเทอมต่าง ๆ ในรปู แบบของ minterm หรือ maxterm เชน่ กัน ซึ่งมลี กั ษณะของแผนภาพดังท่แี สดงในรูป
ท่ี 5.4 ซึ่งในสว่ นของการกำหนดคา่ ตวั แปรในแนวคอลมั น์หรอื แนวแถว จะต้องแทนคา่ ของตวั แปรมากกวา่ 1 ตวั แปร โดย
จะมกี ารเรียงค่าของตวั แปรในแนวต่าง ๆ ตามลักษณะของรหสั เกรย์ คอื 00, 01, 11, 10 เชน่ กัน

3

รูปท่ี 5.4 คาร์นอจ์แม็พ 4 ตัวแปร

การลดรูปแบบ Minterm การลดรูปแบบ Maxterm

2 การใช้คารน์ อจแ์ ม็พในการลดรูปสมการบูลนี

การใช้คารน์ อจ์แม็พในการลดรูปสมการบลู ีนน้ัน มหี ลักสำคัญดงั นี้
1) เขยี นตารางของคารน์ อจ์แมพ็ ตามจำนวนของตัวแปร
2) ตัดสินใจเลอื กวา่ จะใช้เทอมในลกั ษณะของ minterm หรอื maxterm
3) ใสค่ า่ ของ output ลงในชอ่ งตา่ ง ๆ ของคารน์ อจ์แมพ็ โดยถ้าต้องการพจิ ารณาแบบ minterm ใหใ้ สเ่ ฉพาะ

ชอ่ งทเ่ี ป็น 1 แต่ถ้าตอ้ งการพจิ ารณาแบบ maxterm ใหใ้ สเ่ ฉพาะช่องทเี่ ปน็ 0
4) จบั กลุ่มช่องท่ีอยูต่ ดิ กนั ในลกั ษณะประชดิ (Looping) เฉพาะช่องทเ่ี ราสนใจ โดยในแต่ละกล่มุ จะต้องมี

สมาชิกในกล่มุ ทีต่ ิดกันจำนวน 2 n ชอ่ ง คอื 1 , 2 , 4 , 8 , 16 ชอ่ ง โดยพยายามใหใ้ นแต่ละกลมุ่ มสี มาชกิ
มากทส่ี ดุ สมาชิกของช่องใดท่ีเข้ากลุ่มแลว้ สามารถเป็นสมาชิกของกลมุ่ อน่ื ไดอ้ กี
5) ดำเนินการหาผลลพั ธ์ของในแตล่ ะกลมุ่ โดยในกลมุ่ ให้พิจารณาตัวแปรของแต่ละชอ่ งของสมาชิกวา่ มีตวั แปร
ซ้ำกันทกุ ช่องหรือไม่ ตัวแปรใดทีม่ ซี ำ้ กนั ทุกชอ่ งกจ็ ะเปน็ คำตอบของกลุ่มน้นั ๆ โดยกลุ่มย่ิงใหญ่จะเหลือตัว
แปรน้อยกว่า น่ันคอื กลุ่มที่มีสมาชิกจำนวน 2n ช่อง ตวั แปรจะถกู ตดั ไป n ตวั

ตัวอย่างที่ จงลดรูปสมการตอ่ ไปน้ี 4

1. ( , ) = ̅ ̅ + ̅ 2. ( , ) = ̅ + A

Y= Y=

( , ) = ̅ + A 4. ( , ) = ̅ ̅ + A ̅

Y= Y=

1. ( , ) = ̅ ̅ + ̅ + 2. ( , ) = ̅ + A + ̅

Y= Y=

( , ) = ̅ ̅ + A + ̅ 4. ( , ) = ̅ ̅ + A ̅ + ̅ + A

Y= Y=

5

1. ( , ) = ( ̅ + ̅ )( ̅ + ) 2 ( , ) = ( + ̅ )( A + )

Y= Y=

2. ( , ) = ( + ̅ )(A + ) 4. ( , ) = ( ̅ + ̅ )( A + ̅ )

Y= Y=

( , ) = ( ̅ + ̅ )(A + )( ̅ + ) 4. ( , ) = ( ̅ + ̅ )(A + ̅ )( ̅ + )( + )

Y= Y=

6

( , , ) = ̅ ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ + ̅ +

Y=

( , , ) = ̅ ̅ + ̅ + ̅ ̅ + ̅ + ̅ +

Y=

( , , ) = ̅ ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ + ̅

Y=

( , , ) = ̅ ̅ + ̅ + ̅ ̅ + ̅ +

Y=

7

( , , ) = ̅ ̅ ̅ + ̅ + ̅ +

Y=

( , , ) = m (1,3,6,7)

Y=

( , , ) = m (0,2,3,4,5,6)

Y=

( , , ) = m (0,3,5,6,7)

Y=

8

( , , ) = m (0,4,6,7)

Y=

( , , ) =  (0,2,3,4,6)

Y=

( , , ) =  (0,1,2,3,4)

Y=

( , , ) =  (0,2,5,6,7)

9

( , , , ) = m (0,1,2,3,4,6,8,10,12,14)

Y=

( , , , ) = m (0,1,2,3,4,6,9,11,12,14)

Y=

( , , , ) = m (1,3,4,6,9,11,12,14)

Y=

10

( , , , ) = m (0,1,2,3,4,6,9,11)

Y=

( , , , ) = m (1,3,6,7,8,9,12,13)

Y=

( , , , ) = m (1,8,10,12,13,14,15)

11

Y=

( , , ) =  (3,7,8,9,10,11,12,13,14,15)

Y=

( , , ) =  (0,2,4,5,6,7,12,13,14,15)

Y=

( , , ) =  (0,2,4,5,6,7,12,13,14,15)

12

Y=

( , , ) =  (0,1,2,5,7,8,10)

Y=

( , , ) =  (0,1,2,4,6,8,10)

Y=

13

( , , ) =  (0,4,5,9,11,13,14)

Y=

4 Don’t care term

ในการออกแบบวงจรลอจิกจากตารางความจรงิ ที่ตอ้ งการในบางครั้ง อาจจะมีการใช้อินพตุ ไม่ครบทกุ แถว
ของตารางความจริง เชน่ ในกรณีที่อินพตุ เป็นรหัส BCD ทใ่ี ชแ้ ทนเลขฐานสบิ จะเหน็ งา่ จำเปน็ ต้องใช้อินพตุ จำนวน 4 บิต
ซงึ่ สามารถแทนจำนวนแถวทัง้ หมดได้ 16 แถว แต่ในกรณีนี้เป็นรหัส BCD จะต้องการอนิ พุตทีเ่ ป็นได้เพียง 10 แถวนั่นเอง
ฉะน้นั อนิ พุตอนื่ ๆ ทไ่ี ม่เป็นรหสั BCD จะตอ้ งควบคมุ ไม่ใหเ้ กดิ ข้ึนซง่ึ จะได้ศกึ ษากันต่อไป ส่วนเอาท์พุตของสถานะอนิ พตุ ท่ี
ไม่ตอ้ งการให้เกดิ ขึน้ เราสามารถนำมาใช้ช่วยในการลดรปู สมการบูลีนได้ โดยจะชว่ ยในการจับกลุ่มของสมาชกิ ในลูปตา่ ง
ๆ ของคารน์ อจ์แมพ็ ให้ใหญ่ขึน้ ได้ เน่ืองจากเอาท์พตุ ตา่ ง ๆ เหล่านี้ จะให้เป็นลอจิก “0” หรือ “1” กไ็ ดไ้ ม่มีผลตอ่ ภาพ
โดยรวมซง่ึ เป็นงานท่ีตอ้ งการ ซง่ึ เอาท์พุตทเี่ ป็นเอาทพ์ ุตในลกั ษณะนี้เราเรียกวา่ Don’t care term ซงึ่ สามารถเขียนแทน
ด้วย d หรือ x
ตวั อยา่ งท่ี 5.2 จงเขยี น Logic Diagram จาก Truth table ต่อไปนี้

INPUT OUTPUT

BCD-8421

ABCD F

0000 1

0001 0

0010 0

0011 0

0100 1

0101 0

0110 1

0111 1

1000 1

1001 1

14

วธิ ีทำ
นำค่าต่าง ๆ จากตารางความจริงมาเขียนแผนผงั คารน์ อจไ์ ด้ดังนี้

5.8 วงจรลอจิกหลายเอาตพ์ ตุ

ในการออกแบบวงจรลอจิกในบางกรณจี ำเป็นที่ตอ้ งการเอาต์พุตมากกวา่ หน่ึงเอาต์พตุ แตใ่ ชต้ วั แปรที่เป็น
อินพตุ ชุดเดยี วกัน ตัวอยา่ งของวงจรในลกั ษณะนที้ ่เี หน็ ไดช้ ดั เจนท่ีสุดไดแ้ ก่ วงจรลอจิกทท่ี ำหน้าทเี่ ปลีย่ นรหสั ตา่ ง ๆ จาก
รหัสชนดิ หนึ่งเป็นรหัสอีกชนดิ หน่งึ ซึง่ ในการออกแบบใหแ้ ยกคิดทีละเอาตพ์ ตุ ซ่งึ จะไดส้ มการบลู ีนตามจำนวนของ
เอาต์พตุ จากนั้นนำสมการบูลีนท่ีได้ของแต่ละเอาต์พตุ มาเขียนเป็น Logic Diagram ซึง่ ตอ่ เขา้ กบั อินพุตชุดเดยี วกนั

ตัวอยา่ งท่ี 5.3 จงออกแบบ Logic Diagram ทใ่ี ช้สำหรบั เปลี่ยนรหสั จาก BCD-8421 เปน็ รหสั BCD-5421 จาก Truth
table ต่อไปนี้

INPUT OUTPUT

BCD-8421 BCD-5421

A B CDWX Y Z

00 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 1 0 0 0 1

20 0 1 0 0 0 1 0

30 0 1 1 0 0 1 1

40 1 0 0 0 1 0 0

50 1 0 1 1 0 0 0

60 1 1 0 1 0 0 1

70 1 1 1 1 0 1 0

81 0 0 0 1 0 1 1

91 0 0 1 1 1 0 0

15

วิธีทำ
พิจารณาเอาตพ์ ตุ ทลี ะเอาต์พตุ ดงั นี้

16