สรุปเซต

สรุป
เซต ( SET)

นาย อธริ วิทย์ ประสมพนั ธ์ เลขท่ี 12 ม.6/5

เซต (SET)

• เซต เปน็ คำท่ไี ม่ใหใ้ หน้ ิยำม (Undefined Term) เรำมักใช้เซตแทนส่งิ ทอ่ี ยู่ร่วมกัน ซ่ึงหมำยถงึ
กลมุ่ ของสิง่ ตำ่ งๆ ท่ีเรำสำมำรถกำหนดสมำชิกได้ชดั เจน (Well-Defined) หรือก็คอื ควำมหมำย
ของเซตนน่ั เอง

•

การเขียนเซต

• การเขียนเซต

• 1. เขียนแบบแจกแจงสมำชิก (Tabular Form) เป็นกำรเขียนเซตโดยบรรจุสมำชิกท้ังหมดของเซตลงในวงเล็บปกี กำ และระหว่ำงสมำชกิ แต่ละตวั คนั่ ด้วย
เครอื่ งหมำยจลุ ภำค (,)

• เช่น {A,B,C} หรอื {1, 2, 3} เปน็ ต้น
• (หมำยเหต:ุ ถำ้ เซตมีจำนวนสมำชิกมำกมำย เรำใช้ “…” แทนสมำชิกทีเ่ หลือ)
• 2. เขียนสบั เซตแบบบอกเงอ่ื นไขของสมำชิกในสบั เซต (Set builder form)
• มีหลักการ คือ แทนสมำชิกของเซตด้วยตัวแปรแล้วกำหนดเงอ่ื นไขเก่ยี วกับตัวแปรนัน้ เพ่ือแสดงวำ่ มีส่งิ ใดบ้ำงท่เี ปน็ สมำชกิ ของเซต
• วิธเี ขียนเซตโดยวิธนี ี้ คือ เขยี นตวั แปรและสิง่ ทีก่ ำหนดเง่ือนไขเก่ยี วกับตัวแปรลงในวงเลบ็ ปกี กำและคนั้ ตัวแปรกบั สงิ่ ที่กำหนดเงอ่ื นไขเกีย่ วกบั ตัวแปรดว้ ยเครอื่ งหมำย

“|” หรือ “:”
• 3. กำรเขียนเซตดว้ ยวธิ ีอ่นื ๆ เชน่ แบบบรรยำย, แบบใชแ้ ผนภำพเวนน,์ แบบช่วง เปน็ ต้น
• แผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ เปน็ แผนภำพทใ่ี ช้เขยี นแทนเซตซ่งึ แทนเอกภพสมั พัทธ์ U ด้วยสเี่ หล่ยี มผืนผำ้ และแทนเซต A, B, … ด้วยรปู วงกลม หรอื วงรี หรือรูปปิด

อน่ื ๆ

เซตจากดั

• เซตจำกดั (Finite Set) คือ เซตทีส่ ำมำรถนบั จำนวนสมำชกิ ได้ทั้งหมดและมีจำนวนทแ่ี น่นอน เช่น A = {1, 2, 3,
… ,20} จะเหน็ ได้วำ่ เซต A สำมำรถบอกจำนวนสมำชิกได้วำ่ เซตน้ีมจี ำนวนสมำชิกท้ังหมด 20 ตวั ดงั นน้ั เซต A จึงเปน็
เซตจำกดั

• ลองดอู กี ตวั อยำ่ งกันนะครบั B = { 3 } จะเหน็ ไดว้ ่ำเซต B สำมำรถทจี่ ะบอกจำนวนสมำชิกได้ คอื 1 ตวั ดงั น้ันเซต B จงึ
เปน็ เซตจำกัด

• **หมำยเหตุ เซตว่ำง (Empty Set) ถอื เปน็ เซตจำกดั เขยี นสัญลกั ษณแ์ ทนเซตว่ำงได้ดังน้ี หรือ { }

เซตอนนั ต์ (INFINITE SET) เซตวา่ ง (Empty Set)

• เซตอนนั ต์ (Infinite Set) คอื เซตทีไ่ มส่ ำมำรถบอกจำนวนสมำชกิ ได้ เซตว่ำง คือ เซตทไี่ ม่มีสมำชิก หรือมีจำนวนสมำชิกใน
เพรำะสมำชกิ มีจำนวนมำก เชน่ A = {1, 2, 3, … } จะเหน็ ไดว้ ำ่ เซต เซตเปน็ ศูนย์ สำมำรถเขยี นแทนได้ด้วยสญั ลักษณ์ {}
A ไม่สำมำรถบอกจำนวนสมำชิกตวั สดุ ทำ้ ยท่ีอยู่ในเซตนไี้ ดห้ มด ดังนัน้ เซต หรือ Ø
A จึงเปน็ เซตอนนั ต์ ตัวอยำ่ งเช่น
A = {x | x เป็นจำนวนเตม็ และ 1 < x < 2}
• ลองมำดกู นั อกี ตวั อยำ่ งนงึ B = {3, 5, 7, …} จะเหน็ ได้ว่ำเซต B ไม่
สำมำรถบอกจำนวนสมำชิกทีเ่ ปน็ จำนวนคไ่ี ด้หมด ดังนัน้ เซต B จึงเปน็ เซต ∴A=Ø
อนนั ต์ B = { x | x เปน็ จำนวนเตม็ บวก และ x + 1

• เซตว่ำง และเอกภพสมั พัทธ์ จำกบทเรียนเรอ่ื งเซต คณิตศำสตร์ ม.4 ถือเป็น =0}∴B=Ø
พ้ืนฐำนของเร่อื งเซต ทเ่ี รำควรจะทำควำมสนทิ สนมกับมนั ให้มำก เพรำะมนั เน่อื งจำกเรำสำมำรถบอกจำนวนสมำชิกของเซตวำ่ งได้
เป็นพืน้ ฐำนท้งั หมดในกำรเรียนเรื่องเซต ดังน้นั เซตวำ่ งเปน็ เซตจำกัด

เอกภพสัมพัทธ์ (RELATIVE UNIVERSE)

• เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตทก่ี ำหนดขอบเขตของส่ิงทีต่ อ้ งกำรศึกษำ ซ่งึ ถอื ว่ำเป็นเซตทีใ่ หญท่ ส่ี ดุ โดยมขี ้อตกลงว่ำ ตอ่ ไปจะกลำ่ วถึงสมำชิกของเซตน้เี ทำ่ น้ัน จะไม่มกี ำรกล่ำวถงึ
ส่ิงใดทน่ี อกเหนือไปจำกสมำชกิ ของเซตทกี่ ำหนดขึน้ น้ี โดยทวั่ ไปนยิ มใชส้ ัญลกั ษณ์ U แทนเอกภพสมั พัทธ์

• เชน่ กำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8}
• A = {1,3,5,7}
• B = {2,4,8}
• หรือกำหนดให้ U = {x ε I+ | 1<x<20}
• A = {x ε U | x=n+3 เมื่อ n เป็นจำนสวนเตม็ ค่ีบวก}
• B = {x ε U | x=n+3 เม่อื n เปน็ จำนสวนเต็มคบู่ วก}
• น่นั คอื ทง้ั A และ B เปน็ สบั เซตของ U
• ยเู นยี น อนิ เตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนตข์ องเซต เป็นส่วนหนง่ึ ของกำรกระทำระหวำ่ งเซต เรำนิยมเขียนออกมำในสองรปู แบบด้วยกันคอื แบบสมกำร และแผนภำพเวนน์-

ออยเลอร์ เรำลองมำดูกันครับวำ่ ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลเี มนต์ของเซต

ยูเนยี น(UNION)

• ยเู นียน (Union) มีนิยำมวำ่ เซต A ยูเนียนกบั เซต B คอื เซตซง่ึ ประกอบดว้ ยสมำชกิ ที่เปน็ สมำชกิ ของเซต A หรอื เซต
B หรือทงั้ A และ B สำมำรถเขียนแทนได้ดว้ ย สญั ลักษณ์ A ∪ B

• ตัวอย่ำงเช่น
• A ={1,2,3}
• B= {3,4,5}
• ∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}
• เรำสำมำรถเขียนกำรยูเนยี่ นลงในแผนภำพไดด้ ังน้ี

อนิ เตอรเ์ ซกซนั (INTERSECTION)

• อินเตอร์เซกชนั (Intersection) มีนิยำมคือ เซต A อินเตอร์เซกชนั เซต B คอื เซตซ่งึ ประกอบดว้ ยสมำชกิ ทเี่ ปน็ สมำชกิ
ของเซต A และเซต B สำมำรถเขียนแทนได้ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A ∩ B

• ตัวอย่ำงเช่น
• A ={1,2,3}
• B = {3,4,5}
• ∴ A ∩ B = {3}
• เรำสำมำรถเขยี นกำรอินเตอร์เซกชนั ลงในแผนภำพได้ดังนี้

คอมพลเี มนต์ (COMPLEMENTS)

• คอมพลเี มนต์ (Complements) มีนยิ ำมคือ ถ้ำเซต A ใดๆ ในเอกภพสมั พทั ธ์ U แล้วคอมพลีเมนตข์ องเซต A คอื
เซตท่ีประกอบดว้ ยสมำชิกทเี่ ป็นสมำชิกของ U แต่ไม่เป็นสมำชกิ ของ A สำมำรถเขียนแทนไดด้ ว้ ยสัญลกั ษณ์ A’
• ตัวอยำ่ งเช่น
• U = {1,2,3,4,5}
• A ={1,2,3}
• ∴ A’ = {4,5}
• เรำสำมำรถเขียนกำรคอมพลีเมนต์ของเซตลงในแผนภำพได้ดงั นี้

สบั เซต สมบัติสบั เซต

• ถำ้ สมำชิกทกุ ตวั ของ A เปน็ สมำชิกของ B แลว้ จะ 1) A ⊂ A (เซตทกุ เซตเปน็ สบั เซตของตวั มนั
เรยี กวำ่ A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่ำ เอง)
เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B 2) A ⊂ U (เซตทกุ เซตเปน็ สับเซตของเอกภพ
สมั พัทธ์)
• ถำ้ สมำชิกบำงตัวของ A ไมเ่ ปน็ สมำชกิ ของ B จะ 3) ø ⊂ A (เซตวำ่ งเป็นสบั เซตของทกุ ๆ เซต)
เรยี กวำ่ A ไม่เป็นสับเซตของ B 4) ถำ้ A ⊂ ø แล้ว A = ø
เซต A ไม่เปน็ สับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B 5) ถำ้ A ⊂ B และ B ⊂ C แลว้ A ⊂ C
(สมบัตกิ ำรถำ่ ยทอด)
6) A = B กต็ อ่ เมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A
7) ถำ้ A มจี ำนวนสมำชิก n ตวั สับเซตของเซต
จะมที ้งั สิ้น 2n สบั เซต

สับเซตแท้

• นยิ ำม A เป็นสับเซตแท้ของ B กต็ อ่ เมอื่ A⊂B และ A ≠ B
• ตัวอย่ำง กำหนดให้ A = { a , b , c } จงหำสับเซตแทท้ ัง้ หมดของ A
• วธิ ที ำ สบั เซตแทข้ อง A ได้แก่
• ø, {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c}
• มีจำนวนสมำชิกท้ังสน้ิ 7 สับเซต
• หมำยเหตุ ถำ้ A มีจำนวนสมำชกิ n ตัว สับเซตแทข้ องเซตA จะมที ั้งส้นิ 2n –1 สบั เซต
• เรำสำมำรถเขยี นควำมสัมพนั ธ์ของสบั เซตออกมำในรูปของแผนภูมไิ ดด้ งั นีค้ รับ

เพาเวอรเ์ ซต (POWER SET) สมบตั เิ พาเวอร์เซต

• คำว่ำ เพำเวอร์เซต เปน็ คำศพั ทเ์ ฉพำะ ซงึ่ ใช้เป็นช่ือ ให้ A , B เปน็ เซตใดๆ
เรยี กเซตเซตหนึง่ ทเ่ี ก่ยี วข้องกบั เร่อื งสบั เซต 1) ø ⊂ P(A)
2) A ⊂ P(A)
• เพำเวอร์เซตของ A เขียนแทนดว้ ย P(A) 3) P(A) ≠ ø
• P(A) คือเซตที่มสี ับเซตทงั้ หมดของ A เป็น 4) P(A) ⊂ P(B) กต็ ่อเมือ่ A ⊂ B
5) ถำ้ A มสี มำชกิ n ตวั P(A) จะมีสมำชิก 2n ตัว
สมำชกิ แผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ (เซต) คณิตศำสตร์ ม.4 มี
ควำมสำคัญมำกในกำรแก้ปัญหำเกย่ี วกับโจทยป์ ญั หำของ
เซต เน้นท่ีกำรหำจำนวนสมำชกิ ของเซตภำยใตเ้ งอื่ นไขที่
กำหนดให้ ซง่ึ เรำสำมำรถแกป้ ัญหำกำรหำจำนวนสมำชิก
ของเซตโดยทั่วไป

แผนภาพออยเลอร์ (EULER DIAGRAM) แผนภาพเวนน์-ออนเลอร์
(Venn-Euler
• แผนภำพออยเลอร์ (Euler diagram) เปน็ แผนภำพทีใ่ ชใ้ น Diagram)
กำรอธบิ ำยควำมสมั พนั ธ์ของเซตตำ่ ง ๆ โดยให้วงกลมแต่ละวงแทนแต่
ละเซต และแสดงควำมสมั พนั ธ์ของแต่ละเซตดว้ ย กำรครอบซึ่งแสดง แผนภำพเวนน-์ ออยเลอร์ เปน็ แผนภำพแสดง
ควำมเป็นสับเซต กำรทบั ซอ้ นกัน หรือกำรไมท่ ับซ้อนกนั ซงึ่ แสดงว่ำท้ัง ควำมเกีย่ วขอ้ งของเซตตำ่ ง ๆ ซง่ึ ชอื่ ที่ใชเ้ รยี ก
สองเซตไม่มีควำมสมั พันธก์ ัน ลักษณะแผนภำพวงกลมเช่นนีเ้ ชือ่ วำ่ ถกู เปน็ ช่ือของนักคณติ ศำสตรส์ องคน คือ จอหน์
ใช้ครั้งแรกโดยนกั คณติ ศำสตรช์ ำวสวิสนำมว่ำ เลออนฮำรด์ ออยเลอร์ เวนน์ และ เลโอนำรด์ ออยเลอร์
แผนภำพออยเลอร์นน้ั มียังลกั ษณะคล้ำยคลึงกันกับแผนภำพเวนนม์ ำก
ในทฤษฎเี ซตซงึ่ เป็นแขนงหนงึ่ ของคณิตศำสตรจ์ ึงนิยมใชแ้ ผนภำพ
ประยกุ ต์จำกแผนภำพท้ังสองในกำรอธบิ ำยเซตตำ่ ง ๆ ใหเ้ ข้ำใจได้งำ่ ย
ย่งิ ขนึ้

ตวั อยา่ ง ขอ้ สอบเซต

ตวั อยา่ ง ขอ้ สอบเซต

แบบฝึกหดั