matemática módulo 10

Apostila de Matemática
Módulo 10

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Módulo 10 – MATRIZES, DETERMINANTES E
SISTEMAS LINEARES

Neste módulo estudaremos as tabelas
denominadas em matemática como matrizes,
suas propriedades e operações, como também
o cálculo do determinante de uma matriz
quadrada. Por fim, relembraremos como
resolver sistemas de equações lineares.

Matrizes

Notação Genérica

Matriz quadrada
Essa matriz possui o mesmo número de linhas
m e colunas n

Exemplo: Matriz quadrada A de ordem 3. (3
linhas e 3 colunas)

2

2 −4 5
A3x3 = (0 0 1)

154

Matriz Transposta
Matriz gerada a partir da transposição das
linhas e colunas de uma matriz A, sendo
representada por At.

Exemplo

12
Se A3x2 = (3 4), a matriz transporta de At será:

56

At 2x3 = (12 3 65)
4

Matriz Identidade
A matriz identidade é uma matriz quadrada
onde sua diagonal principal é composta apenas
por números 1 e os demais elementos são

3

zeros. Esse tipo de matriz é conhecido como
elemento neutro da multiplicação entre
matrizes, assim como o número 1 na
multiplicação entre números reais.

Exemplos

I2x2 = (01 01)

100
I3x3 = (0 1 0)

001

Operações entre Matrizes

1. Soma ou subtração
Soma-se ou subtrai-se os elementos
correspondentes das linhas e colunas.
Exemplo

12 45

Se A3x2= (3 4) e B3x2= (5 4)

56 70 4

1+4 2+5 57

A3x2 + B3x2= (3 + 5 4 + 4) = ( 8 8)

5 + 7 6 + 0 12 6

2. Produto de um número por uma matriz
Multiplica-se cada elemento da matriz pelo
número.

Exemplo

2 −4 5
Se A3x3 = (0 0 1) então 5.A será:

154

5.2 5. (−4) 5.5
5A3x3 = (5.0 5.0 5.1) =

5.1 5.5 5.4

10 −20 25
(0 0 5)

5 25 20

5

3. Produto entre matrizes

Multiplica-se os termos correspondentes das
linhas por colunas, somando eles ao final. Desta
forma, a multiplicação da primeira linha, termo
a termo, pela primeira coluna resultará no
elemento da primeira linha e primeira coluna da
matriz resultante.

Exemplo

2 −5 e B2x3 = (12 3 65) então
Se A3x2 = ( 3 4) 4

−5 0
A3x2 x B2x3 será:

2.1 + (−5). 2 2.3 + (−5). 4 2.5 + (−5). 6

( 3.1 + 4.2 3.3 + 4.4 3.5 + 4.6 )

(−5). 1 + 0.2 (−5). 3 + 0.4 (−5). 5 + 0.6

−8 −14 −20
= (11 25 39 )

−5 −15 −25

6

Obs.: Só é possível multiplicar matrizes cujo o
número de colunas de uma seja igual ao número
de linhas da outra. No exemplo anterior
tivemos:

−8 −14 −20
A3x2 x B2x3 = C3x3 = = ( 11 25 39 )

−5 −15 −25

Determinantes
Par determinarmos o determinante de uma
matriz ela necessariamente precisa ser uma
matriz quadrada.

Determinante de uma matriz quadrada de
ordem 2.

Seja uma matriz quadrada A de ordem 2. Para
calcularmos seu determinante efetuaremos a
subtração do produto da diagonal principal pela
diagonal secundária.

2 2 = ( )

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2 2 = | |
Diagonal secundária Diagonal principal

2 2 = . − .

Exemplo:

Vamos calcular o determinante da matriz
quadra:

2 2 = (53 14)

2 2 = |35 41| = 20 − 3 = 17.

Para calcularmos o determinante de uma
matriz quadrada de ordem 3 utilizaremos a
seguinte regra conhecida como regra de Sarrus.



3 3 = | |
ℎ

8

1° Vamos repetir as duas primeiras colunas da

matriz A.


3 3 = | |
ℎ ℎ

2° Utilizaremos o mesmo método para a matriz
quadrada de ordem 2. Subtração do produto da
diagonal principal e suas paralelas pela diagonal
secundária e suas paralelas.



3 3 = | | =
ℎ ℎ

Diagonal secundária Diagonal principal

( . . + . . + . . ) - ( . . + . . + . . )

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Exemplo:
Vamos calcular o determinante da matriz
quadra:

10 5
3 3 = |3 2 4 |

4 8 10
1 0 51 0
3 3 = |3 2 4 | 3 2
4 8 10 4 8
3 3 = (20 + 0 + 120) − (40 + 32 + 0)
3 3 = (140) − (72) = 68.

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Sistemas Lineares
Para entendermos os sistemas lineares vamos
iniciar com a seguinte situação problema:

Imagine que em um automóvel flex foi colocado
20L de álcool e 10L de gasolina e o custo foi de
R$ 85,00. Em um outro veículo abastecido no
mesmo posto com 15L de álcool e 5L de gasolina
o custo foi de R$ 55,00. Qual é o custo do litro
do álcool e da gasolina no posto em questão?

1° Inicialmente vamos montar um sistema de
equações lineares. Chamaremos de G o custo
do litro da gasolina e A o custo do litro do álcool.

{2105 ++150 ==5855
Isolando G na primeira equação teremos:

20 + 10 = 85

10 = 85 − 20

11

85 − 20
= 10

85 20
= 10 − 10
= 8,5 − 2

Agora substituiremos G na segunda equação.
15 + 5 = 55

15 + 5(8,5 − 2 ) = 55
15 + 42,5 − 10 = 55
15 − 10 = 55 − 42,5
5 = 12,5

12,5
= 5
= 2,5

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Agora que já sabemos que o litro do álcool
custou R$ 2,50 podemos voltar na primeira
equação para calcularmos o valor do litro da
gasolina.
20 + 10 = 85
20.2,5 + 10 = 85
50 + 10 = 85
10 = 85 − 50
10 = 35
= 3,5

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MACHADO, A. S. Matemática Machado. Volume único: Ensino médio 1ª. Ed. São
Paulo: Atual, 2012

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