matemática módulo 8

Apostila de Matemática
Módulo 8

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Módulo 8 – ANÁLISE COMBINATÓRIA

Neste módulo estudaremos o conjunto de
procedimentos matemáticos que possibilitam a
construção de diferentes grupos, formado por
um número finito de elementos. Dentro deste
grupo é possível realizar a análise das
possibilidades e combinações.
Trata-se de uma parte da matemática
extremamente prática, onde a teoria é apenas
uma PEQUENA PARTE do conhecimento
exigido.
Isso significa que, mais que fórmulas e
conceitos, devemos ter muita criatividade e
uma boa dose de interpretação na hora de
resolver problemas DE ANÁLISE
COMBINATÓRIA.

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Princípio fundamental da contagem

Também chamado de princípio multiplicativo.
Se existem resultados possíveis para um
primeiro evento E para um segundo, então
existem × resultados possíveis para a
sequência de dois eventos.
Podemos ilustrar este princípio através de um
exemplo:

Quantos resultados possíveis existe se
lançarmos uma moeda e observarmos a face de
cima?

Podemos construir as possibilidades a partir do
que chamamos de diagrama de árvore, para isso
adotamos C para cara e K para coroa.

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Observamos que temos 8 resultados possíveis.

Agora observe a solução analisada a partir do
princípio multiplicativo.

Ao lançarmos a 1ª vez a moeda temos 2
possibilidades, ou cara ou coroa.

Quando lançamos pela 2ª vez a moeda temos 2
possibilidades, ou cara ou coroa.

E finalmente ao lançarmos a moeda pela 3ª vez
temos 2 possibilidades, ou cara ou coroa.

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Com isso temos:

Princípio aditivo
Se existem resultados possíveis para um
primeiro evento OU para um segundo, então
existem + resultados possíveis para a
sequência dos eventos.
Podemos ilustrar este princípio através de um
exemplo:
Ao se vestir um cavalheiro possui, limpas em seu
armário, três camisas listradas e quatro camisas
lisas de diferentes cores para escolher.
Pensando que ele só poderá escolher uma

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camisa para usar neste dia, quantas
possibilidades de escolher uma camisa de listras
ou uma camisa lisa o cavalheiro tem?
Este cavalheiro tem a possibilidade de escolher
uma das 3 camisas de listras OU uma das 4
camisas lisas, isto é, 7 possibilidades de escolha.
Resumindo:
Quanto usamos o termo “ou” em Análise
Combinatória, devemos somar as possibilidades
dos eventos e quando usamos o termo “e”,
devemos multiplicar o número de
possibilidades.

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Permutação

Uma permutação de n elementos distintos é
um agrupamento ordenado desses elementos.
Pode ser calculada pela fórmula Pn = n!. Ela
deve ser utilizada quando você quiser contar
quantas possibilidades existem de se organizar
um número de objetos de forma distinta, por
exemplo:
Quantos anagramas podemos formar com a
palavra MITO?

P4= 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

Arranjo
Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com
p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre
esses n objetos na qual a ordem importa.
Sua fórmula é dada por:

n!
A(n,p)= (n - p)!

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Por exemplo:
Supondo que quatro times de futebol (Náutico,
Santa Cruz, ABC e Remo) tem possibilidade para
subir para a série B, sendo que só sobem os três
primeiros.
Quantas são as possibilidades para os três
primeiros lugares?

Neste caso importa a ordem de classificação.

n!
An,p= (n - p)!

4!
A4,3= (4 - 3)!

4!
A4,3= 1!

4 .3 .2 .1
A4,3= 1

A4,3=24

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Combinação

Uma combinação de n elementos tomados p a
p, são grupamentos onde a ordem de
distribuição dos elementos não importa.
Sua fórmula é dada por:

n!
C(n,p)= p! .(n - p)!

Por exemplo:
Queremos formar uma comissão de 3 pessoas
escolhidas entre 10 pessoas.
Neste caso não importa a ordem das pessoas
que formam a comissão.

10!
C10,3 = 3! . (10 - 3)!

10!
C10,3 = 3! . 7!

10 . 9 . 8 . 7!
C10,3 = 3 . 2 . 1 . 7!

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720
C10,3 = 6
C10,3 = 120

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GIOVANI, J. R., GIOVANI JR, J. R., BONJORNO, J. R., SOUSA, P. R. C. Matemática
fundamental: Uma nova abordagem. 2ª Ed. São Paulo: FTD, 2015.
PAIVA, M. Moderna Plus: Matemática : Paiva. 3ª. Ed. São Paulo: Moderna, 2015
MACHADO, A. S. Matemática Machado. Volume único: Ensino médio 1ª. Ed. São
Paulo: Atual, 2012

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