จำนวน เชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน

COMPLEX NUMBER

น.ส.กนต์รพี ทองถนอม
ม.5/1 เลขที่ 11

จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร

จำนวนเชิงซ้อน ( complex number ) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่
ต่อมาจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มคำว่าจำนวนซึ่งทำให้สมการเป็น
จริง ปละหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซ๖ที่ได้ใหม่
มีสมบัติการปิด ภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อนทุกตัว
สามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียกว่าส่วนจริง (
real part ) และส่วนจินตภาพ ( imaginary part ) ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยศัญลักษณ์ จากนิยาม
ข้างต้นเราได้ว่า เซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซต
จำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เรา
สามารถบวก ลบ คูร และหารสมาชิกสองตัวใดๆของเซตของ
จำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารหรือศูนย์) และผลลัพธืที่ได้
จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่า
เซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อน
ยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุ
นามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม) เป็น
จำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อ ทฤษฎีบทมูลฐานของ
พีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า " เชิงซ้อน '' ถูกใช้เป็นคำ
คุณศัพท์ที่มีความหมายว่า ฟีลด์ ของตัวเลขที่เราสนใจคือ ฟีลด์ ของ
จำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น พหุนามเชิงซ้อน การวิเคราะห์
เชิงซ้อน เมทริกซ์เชิงซ้อน และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

การ บวก ลบ คูณ หาร

จำนวนเชิงซ้อน

การกำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi เมื่อ a และ bเป็น
จำนวนจริง ทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้
ง่ายโดยใช้สมบัติต่างๆเกี่ยว กับการบวกและการคูณ เช่นเดียวกับ
สมบัติของการบวกและการคูณของ จำนวนจริง และมีข้อตกลงว่า =
-1 เช่น
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( bi + di )

=(a+c)+(b+d)i
( a + bi )( c + di ) = a( c + di ) + bi( c + di )

= ac + adi + bic +bd
a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ต่อไป เมื่อกล่าวว่า z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะถือว่า a และ b
เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกและผลคูณ ตัวอย่างที่ 3
ของจำนวนเชิงซ้อน 3 + 2i และ 1 - i จงหาจำนวนจริง A , B ที่ทำให้
วิธีทำ (a + 2i ) + (-1 +2bi ) = 3 + 8i
( 3 + 2i ) + (1- i ) = (3+1) + (2 -1) i วิธีทำา
เนื่องจาก
=4+i (a + 2i ) + (-1 + 2bi ) = (a-1) + (2+2b)
( 3 + 2i)(1- i ) = 3(1-i) + 2i(1 - i) i
ฉะนั้น a - 1 = 3 และ 2 + 2b = 8
= 3 - 3i + 2i - ดังนั้น a = 4 และ b = 3
= (3+2) + (-3+2) i
= 5-i

การสร้างจำนวนเชิงซ้อน

นิยามของจำนวนเชิงซ้อนและการสร้างจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a , b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นจำนวนจริง
และกำหนดการเท่ากัน
การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน โดยเราจะกล่าวได้ว่า
1. การเท่ากันนั้น (a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ㆍ2. การบวก (a . b) + (c, d) = (a +c . b+d)

3. การคูณ (a , b) (c , d) = (ac - bd , ad - bc)
โดยที่ได้มานั้น จะได้ เซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ว่า
"C" ดังนั้นหากเปรียบเทียบกับจำนวนเชิงซ้อน เราก็จะได้ว่า z = ( a , b )

โดย ค่าของ a นั้นเป็นส่วนจริง เราเรียกว่า ส่วนจริงของ 2 ซึ่งเขียน
แทนด้วย Re(z) และค่าของ b นั้นเป็นส่วนจินตภาพ เราเรียกว่า ส่วน
จินตภาพของ z ซึ่งเขียนแทนด้วย Im(z)
โดยที่กล่าวมานั้น เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ โดยมีข้อพิสูจน์ว่า ค่า
จินตภาพนั้นจะไม่เท่ากับ 0 เราจึงกล่าวได้ว่า เมื่อกำหนดให้ (0.1(0.1)
= (-1.0) นั้นหมายความว่าถ้าเราแทนค่า (0,1) ด้วย i เราจะกล่าวได้ว่า
ทุกๆ 2 ตัวของ i คูณกัน จะได้ -1 และทุกๆ 4 ตัวของ i คูณกัน จะได้ 1
ซึ่งเราสามารถเขียนอีกฟอร์มหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อน ได้ว่า z = ( a , b
) = a + bi

ซึ่งกรณีนี้ทำให้เราได้ผลการบวกและผลการคูณใหม่ว่า
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
(a + bi( c + di ) = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i

1. จงหาจำนวนจริงของ a , b ที่ทำให้ (a + 3i) + (-2 + 3bi) = 4 + 9i
วิธีทำ ( a + 3i ) + ( -2 + 3bi ) = 4 + 9i
( a - 2 ) + ( 3 + 3b )i = 4 + 9i
จับแยกหาค่าของ a
a-2=4 :a=6
จับแยกหาค่าของ b
3 + 3b = 9 : b = 2
ดังนั้น คำตอบของข้อนี้ คือ a = 6 และ b = 2

สมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน

จากที่กล่าวมาสามารถเกิดสมบัติได้ดังต่อไปนี้
กำหนดให้ z1 / z2 / z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้วจะได้ว่า
สมบัติปิด : z1 + z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ z1z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน
สมบัติการสลับที่ : z1 + z2 = z2 + z1 และ z1z2 = z2z1
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ : z1+ ( z2 + z3 ) = (z1+ z2 ) + z3 และ z1(z2z3)=
(z1z2)z3
สมบัติการแจกแจง : z1( z2 + z3 ) = z1z2 + z1z3

บทนิยาม

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = (a , b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงเรียก a ว่า
ส่วนจริง (real part) ของ z และ แทนด้วย Re(z)เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ
(imaginary part) ของ z และแทน ด้วย Im( x ) จากบทนิยามนี้อาจกล่าวได้
ว่า จำนวนจริงก็คือ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์
จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่า
จำนวนจินตภาพแท้
(purely imaginary number) ต่อไปพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน (0,1)
(0,1)(0.1) = (0-1.0 + 0) = (-1.0)
ซึ่งจำนวนเชิงซ้อน ( - 1 , 0 ) คือจำนวนจริง - 1 นั่นเองเขียนแทน
จำนวนเชิงซ้อน (0, 1)
ด้วยสัญลักษณ์ i จะได้ว่า I2 = -1

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ใดๆ
(a. b) = ( a , 0 ) + ( 0, b )
= ( a. 0 ) + ( b, 0 ) ( 0. 1)
=a + bi

ฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อน (a, b) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a + bi

สังยุคจำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate)
เปรียบได้กับการ เปลี่ยนเครื่องหมายบนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน
นั้นให้เป็นตรงข้าม เช่น กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a + ib ดังนั้นสังยุค
ของ z คือ z = a - ib (เมื่อ a กับ b แทนจำนวนจริง)

การบ่งบอกว่าจำนวนเชิงซ้อนใดเป็นสังยุค ให้เขียนขีดเส้นตรงไว้เหนือ
จำนวนเชิงซ้อน หรือใส่ เครื่องหมายดอกจัน (*) ไว้ที่มุมขวาบน เช่น z* แต่
ในที่นี้จะใช้ขีดเพื่อไม่ให้สับสนกับสัญลักษณ์ ของการสลับเปลี่ยนสังยุค
(conjugate transpose) ของเมทริกซ์ ดังตัวอย่าง

(3 - 2i)= 3 +2i
7 - 7 (สังยุคของจำนวนจริงได้ค่เต็มเสมอ)
5i - -5i (สั่งยุคของจำนวนจันตภาพได้เครื่องหมายตรงข้าม)
แนวความคิดอีกอย่างหนึ่งคือการให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นผักัดอยู่บนระนาบ
ในระบบพิกัดคาร์ที่ เขียน โดยให้แกน x เป็นส่วนจริงและแกน y เป็น
สัมประสิทธิ์ของ : (ส่วนจินตภาพ) ใน
แผนภาพทางขวามือ พิกัดของจำนวนเชิงซ้อนสังยุดเปรียบเหมือนภาพ
สะท้อนที่อยู่บนแกน x

คุณสมบัติ

MODULAS OF

A COMPLEX NUMBER

ในทางคณิตศาสตร์ ขนาด (อังกฤษ: magnitude)
คือสมบัติอย่างหนึ่งของวัตถุที่ใช้เปรียบเทียบว่า สิ่งใดใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าสิ่ง
ใดในวัตถุชนิดเดียวกัน ในทางเทคนิคคือการจัดอันดับ ของวัตถุ ในชีวิตจริงมี
การใช้ขนาดในการจัดอันดับของวัตถุต่งๆ เช่น ความดังของเสียง (เดซิเบล)
ความสว่างของดาวฤกข์ หรือมาตราริกเตอร์ยนระดับความรุนแรงของแผ่น
ดินไหว เป็นต้น
กล่าวง่ายๆ โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน คือ ขนาด หากคุณนึกภาพ
จำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดบนระนาบ เชิงซ้อนมัน คือ ระยะทางของจุดนั้นจากจุด
กำเนิด หากจำนวนงซ้อนแสดงเป็น พิกัดเชิงขั้ว (เช่น จำนวน r ( cosθ
+ isinθ )) จากนั้นเป็นเพียงรัศมี (R). หากจำนวนเชิงซ้อนแสดงเป็นพิกัด
สีเหลี่ยมผืนผ้า - เช่นในแบบฟอร์ม A + IB - แล้วมันถือความยาวของด้านตรง
ข้ามมุมฉากของ สามเหลี่ยมมุมฉากกี่มีด้านอื่น A และ B.

De Moivre's Theorem

ซึ่งทฤษฎีบทนี้นำไปใช้งานเมื่อเราต้องการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
ต้องการยกกำลังครั้งละมากๆ เช่น ยกกำลังร้อย ยกกำลังสิบ ก็จะนำ
ทฤษฎีบทนี้มาช่วยในการยกกำลัง เพราะ ถ้าเรายก
กำลังแบบวิธีธรรมดาทั่วไปคงทำไม่ได้ ฉะนั้นเรามาดูว่าทฤบฎีบทนี้มีใจความ
สำคัญว่าอย่างไร

กฤษฎีบทของเตอร์มัวร์ (De Moivre's Theorem)

∈ ∈ถ้า z = r( cosθ + isinθ )z = r(cosθ + isinθ ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

และ n In
จะได้ว่า
zn = rn( cosθ ( nθ ) + isin( nθ )) zn = rn (cos( nθ ) + isin ( nθ )))

THANK YOU
THANK YOU
THANK YOU