จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน

ชาลิสา โบสิทธิพิเชฎฐ์
ม.5/3 เลขที่ 14

จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน คือ จำนวนที่ประกอบด้วยทั้งจำนวนจริง และ

The onlyจำนวนจินตภาพ โดยเราจะสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูป a+bi

โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริงได้เสมอ

เรียก a ว่า ‘ส่วนจริง’ แทนด้วยสัญลักษณ์ Re(a+bi)

queer peopleเรียก b ว่า ‘ส่วนจินตภาพ’ แทนด้วยสัญลักษณ์ Im(a+bi)

ถ้าส่วนจริงเท่ากับ 0 เราจะเรียกว่า "จำนวนจินตภาพแท้"
ถ้าส่วนจินตภาพเป็น 0 เราจะเรียกว่า "จำนวนจริง"

are thoseหมายเหตุ: ในเรื่องนี้ เรานิยมใช้ 2 เป็นตัวแปร แทน

จำนวนเชิงซ้อน
ตแัวลอะยเ่ราางสใาหม้าzรถ=ใ(ช้-ส2ัญ,1)ลักจงษหณ์า R(ae,b(2))แทน a + bi ได้

who don'tวิธีทำ จำนวนเชิงข้อน (-2,1) ก็คือ -2 + i นั่นเอง

ดังนั้น Re(2z) = -2

love anybody.จำนวนเชิงช้อนสองจำนวน จะ "เท่ากัน" ไต้ ต้องมีทั้งส่วนจริงและส่วน

จินตภาพเหมือนกัน
นั่นคือ a + bi=c+di ก็เมื่อ a = c และ 6 = d เท่านั้น
อย่างไรก็ตาม จำนวนเชิงช้อนไม่มีสมบัติการเทียบมากกว่าน้อยกว่า
นั่นคือ เราจะไม่สาRมาIรTถบAอกMได้วA่า 2E - Bi กัRบ O1 +Wi อNันไหนมากกว่ากัน
จำนวนเชิงข้อนสองจำนวน บวก/ลบกัน ให้เอาส่วนจริง บวก/ลบ ส่วน
จริง ส่วนจินตภาพ บวก/ลบ ส่วนจินตภาพ

การสังยุคและการหาร

"สังยุคของ Z แทนด้วยสัญลักษณ์ Z bar หมายถึง การเปลี่ยน

The onlyเครื่องหมายส่วนจินตภาพ เป็นตรงข้าม

ตัวอย่าง ให้ z = 2 + i จงหาค่าของ z + z bar และ z *z bar
วิธีทำ จะได้ z bar = 2-i

queer peopleดังนั้น z bar + z = (2 +i)+ (2 -i) = 4

และ z •z bar= (2 +i)(2 -i) = 4-i*2 = 5

are thoseจากตัวอย่างที่ผ่านมา จะเห็นว่า ถ้านำ z กับ z bar มาบวกหรือคูณกัน

ส่วนจินตภาพจะตัดกันหายไปหมดเสมอ
กล่าวคือ (a + bi) + (a - bi) = 2a

who don't(a + bi) • (a - bi) = a*2 - b*2i*2 = a*2+b*2

ซึ่งเราจะใช้สมบัตินี้ในการคำนวณ "ผลหาร" ของจำนวนเชิงซ้อน
ในการหาผลหาร z1 / z2 เราจะเปลี่ยนรูปการหาร ให้เป็นเศษส่วน

love anybody.แล้วคูณทั้งเศษและส่วน ด้วย สังยุคของ z2

RITA MAE BROWN

นิยาม

จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่ง
การบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้
กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ
1)(a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=ca=c และ b=db=d

The only2)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)
นีค่ ือนิยามเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน และข้อกำหนดเกี่ยวกับการคูณการบวก การเท่า

queer peopleกันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเราจำเป็นต้องจำให้ได้

นิยาม กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง
เรียน a ว่าส่วนจริง(real part) เขียนแทนด้วย Re(z)

are thoseเรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z1=(2,−4) จงหาz1=(2,−4) จงหา Re(z1)Re(z1)
และ Im(z1)Im(z1)

who don'tวิธีทำ Re(z1)=2Re(z1)=2
lm(z1)=−4Im(z1)=−4
เนื่องจาก จำนวนเชิงซ้อนใดๆที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a,b)(a,b) สามารถเขียนให้อยู่ในรูป

love anybody.ของ a+bia+bi ได้ ดังนั้นเขาจึงนิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ a+bi

เพราะสะดวกในการนำไปใช้มากกว่าครับ ตัวอย่างเช่น
(2,4)(2,4) มันก็คือ 2+4i2+4i
(−3,9)(−3,9) มันก็คือ −3+9i−3+9i

RITA MAE BROWN

(−8,−2)(−8,−2) มันก็คือ −8−2i−8−2i นั่นเองครับ
ต่ออีกนิดหนึ่งจำนวนเชิงซ้อนเขียนให้อยู่ในรูป a+bia+bi
จะเรียก aa ว่าส่วนจริง (Real part)
จะเรียก bb ว่าส่วนจินตภาพ(Imaginary part)

การสร้างจำนวนเชิงซ้อน

นิยามของจำนวนเชิงซ้อนและการสร้างจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นจำนวนจริงและ
กำหนดการเท่ากัน

The onlyการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน โดยเราจะกล่าวได้ว่า

1. การเท่ากันนั้น (a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. การบวก (a . b) + (c, d) = (a +c . b+d)

queer peopleㆍ3. การคูณ (a , b) (c,d) = (ac - bd , ad - bc)

โดยที่ได้มานั้น จะได้ เซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ว่า
‘C" ดังนั้นหากเปรียบเทียบกับจำนวนเชิงซ้อน เราก็จะได้ว่า z = ( a , b)

are thoseโดย ค่าของ a นั้นเป็นส่วนจริง เราเรียกว่า ส่วนจริงของ 2 ซึ่งเขียน

แทนด้วย Re (2) และค่าของ b นั้นเป็นส่วนจินตภาพ เราเรียกว่า ส่วน

who don'tจินตภาพของ z ซึ่งเขียนแทนด้วย Im(Z)

โดยที่กล่าวมานั้น เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ โดยมีข้อพิสูจน์ว่า ค่า
จินตภาพนั้นจะไม่เท่ากับ 0 เราจึงกล่าวได้ว่า เมื่อกำหนดให้ (O.1(0.1) =

love anybody.(-1.0) นั้นหมายความว่าถ้าเราแทนค่า (0,1) ด้วย i เราจะกล่าวได้ว่า

ทุกๆ 2 ตัวของ เ คูณกัน จะได้ -1 และทุกๆ 4 ตัวของ i คูณกัน จะได้ 1
ซึ่งเราสามารถเขียนอีกฟอร์มหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อน ได้ว่า z = ( a , b
ซึ่งกรณีนี้ทำให้เราRได้IผTลกAารบMวกAแลEะผลBกาRรคOูณWใหมN่ว่า
(a + bi) + (c + di)= (a + c) + (b + d) i
(a + bi( c + di ) = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i

สมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน
จากที่กล่าวมาสามารถเกิดสมบัติได้ดังต่อไปนี้
กำหนดให้ z1 / z2 / z3 เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้วจะได้ว่า
สมบัติปิด : z1 + z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ z1 z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน
สมบัติการสลับที่ : z1 + z2 = z2 + z1
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ : z1+(z2+z3)= (z1+z2 ) +z3 และ z1(z2z3)=

The only(z1z2)z3

สมบัติการแจกแจง : z1( z2 + z3 ) = z1z2 + z1z3

queer peopleบทนิยาม

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน Z = (a,b) เมื่อจำนวนจริงเรียก a ว่าส่วนจริง
(real part) ของ 2 และ แทนด้วย Re(Z)เรียก 6 ว่าส่วนจินตภาพ

are those(imaginary part) ของ z และแทน ด้วย Im( x ) จากบทนิยามนี้อาจ

กล่าวได้ว่าจำนวนจริงก็คือ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์

who don'tจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่า

จำนวนจินตภาพแท้(purely imaginary number) ต่อไปพิจารณา
จำนวนเชิงซ้อน (0, 1)(0,1)(O.1)= (O-1.0+O) = (-1.0) ซึ่ง

love anybody.จำนวนเชิงซ้อน ( - 1 , 0 คือจำนวนจริง - 1 นั่นเองเขียนแทน

จำนวนเชิงซ้อน (O, 1)
ด้วยสัญลักษณ์ i จะได้ว่า 12 = - 1
สำหรับจำนวนเชิงซR้อนI T(aA, b)MใดAๆ E B R O W N
(a. b) = ( a, O)+ (O,b)

=(a. O) + ( b, O ) (0. 1)
=a + bi
ฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อน (a, b) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a +
bi

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (complex conjugate)
เปรียบได้กับการ เปลี่ยนเครื่องหมายบนส่วนจินตภาพของ
จำนวนเชิงซ้อนนั้นให้เป็นตรงข้าม เช่น กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อน z = a

The only+ ib ดังนั้นสังยุคของ z คือ 2 = a - ib (เมื่อ ล กับ 6 แทนจำนวนจริง)

การบ่งบอกว่าจำนวนเชิงซ้อนใดเป็นสังยุค ให้เขียนขีดเส้นตรงไว้เหนือ
จำนวนเชิงซ้อน หรือใส่เครื่องหมายดอกจัน (*)ไว้ที่มุมขวาบน เช่น 2*

queer peopleแต่ในที่นี้จะใช้ขีดเพื่อไม่ให้สับสนกับสัญลักษณ์ ของการสลับเปลี่ยนสัง

ยุคของเมทริกซ์ ดังตัวอย่าง

are those(3 - 2i)= 3 +2i

7 - 7 (สังยุคของจำนวนจริงได้ค่เต็มเสมอ)
5i - 5 (สั่งยุคของจำนวนจันตภาพได้เครื่องหมายตรงข้าม)

who don'tแนวความคิดอีกอย่างหนึ่งคือการให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นผักัดอยู่บน

ระนาบในระบบพิกัดคาร์ที่ เขียน โดยให้แกน x เป็นส่วนจริงและแกน
Y เป็นสัมประสิทธิ์ของ : (ส่วนจินตภาพ) ในแผนภาพทางขวามือ พิกัด

love anybody.ของจำนวนเชิงซ้อนสังยุดเปรียบเหมือนภาพสะท้อนที่อยู่บนแกน x

RITA MAE BROWN