หลักการนับเบื้องต้น เรื่อง หลักการคูณ

หลกั การคูณ (multiplication principle)

จัดทาโดย นางสาววรรณา จิตรงาม
ครูผูช้ ว่ ย โรงเรียนสมาคมปา่ ไมแ้ หง่ ประเทศไทยอทุ ศิ

หลกั การคณู (multiplication principle)

ในการทางานอยา่ งหนง่ึ ถา้ สามารถแบ่งวิธกี ารทางานออกเปน็ k ขั้นตอน ซงึ่ ต้องทาต่อเนื่องกัน โดยท่ี
ขน้ั ตอนที่ 1 สามารถทางานได้ n1 วธิ ี

ข้ันตอนที่ 2 ในแต่ละวธิ ขี น้ั ตอนที่ 1 สามารถทาขัน้ ตอนที่ 2 ตอ่ ไปได้ n2 วิธี
ขั้นตอนท่ี 3 ในแต่ละวิธขี องขั้นตอนที่ 1 และข้ันตอนที่ 2 สามารถทาข้ันตอนที่ 3 ต่อไปได้ n3 วิธี

.
.
.
ขั้นตอนท่ี k ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 ถงึ ขัน้ ตอนที่ k - 1 สามารถทาขั้นตอนท่ี k ต่อไปได้ nk วิธี
จะสามารถทางานนไ้ี ดท้ งั้ หมด n1 ĭ n2 ĭ n3 ĭ … ĭ nk วธิ ี

Ex.1 เจนตอ้ งการเดินทางจากกรงุ เทพมหานครไปเชยี งใหม่ โดยระหวา่ งทางเจนจะตอ้ งแวะเย่ียมญาติทีน่ ครสวรรค์

ถา้ เส้นทางจากกรุงเทพมหานครไปนครสวรรค์มี 2 เสน้ ทาง และเส้นทางจากนครสวรรค์ไปเชียงใหมม่ ี 3 เส้นทาง

แล้วเจนจะสามารถเดนิ ทางจากกรุงเทพไปเชยี งใหมไ่ ดท้ ง้ั หมดกเี่ ส้นทาง

วิธที า จะเหน็ วา่ การเดินทางของเจนมีขั้นตอนยอ่ ย 2 ขนั้ ตอน ดงั น้ี

ข้ันตอนที่ 1 เจนเดินทางจากกรงุ เทพมหานครไปนครสวรรค์

ขนั้ ตอนที่ 2 เจนเดินทางจากนครสวรรค์ไปเชยี งใหม่ เชยี งใหม่(1) ……….#1

เชียงใหม่(2) ………#2

นครสวรรค์(1) เชยี งใหม่(3) ………#3

กรุงเทพมหานคร เชยี งใหม่(1) ……….#4
เชียงใหม่(2) ………#5
นครสวรรค์(2) เชยี งใหม่(3) ………#6

ดังนน้ั จะเหน็ ว่าเจนสามารถเดนิ ทางจากกรงุ เทพมหานครไปเชยี งใหมไ่ ดท้ งั้ หมด 6 เสน้ ทาง 3

Ex.1 เจนตอ้ งการเดนิ ทางจากกรุงเทพมหานครไปเชยี งใหม่ โดยระหวา่ งทางเจนจะต้องแวะเยี่ยมญาตทิ ่ีนครสวรรค์
ถา้ เสน้ ทางจากกรงุ เทพมหานครไปนครสวรรค์มี 2 เสน้ ทาง และเสน้ ทางจากนครสวรรคไ์ ปเชยี งใหมม่ ี 3 เสน้ ทาง
แลว้ เจนจะสามารถเดนิ ทางจากกรงุ เทพไปเชยี งใหม่ไดท้ งั้ หมดกเี่ ส้นทาง

วธิ ที า จะเห็นว่าการเดินทางของเจนมีขั้นตอนยอ่ ย 2 ขนั้ ตอน ดังน้ี
ขั้นตอนท่ี 1 เจนเดนิ ทางจากกรุงเทพมหานครไปนครสวรรค์
ขั้นตอนท่ี 2 เจนเดินทางจากนครสวรรค์ไปเชยี งใหม่

กรงุ เทพมหานคร 2 3

นครสวรรค์ เชียงใหม่

เจนสามารถเดินทางจากกรงุ เทพมหานครไปเชียงใหมไ่ ดท้ ้ังหมด 2 ĭ 3 = 6 เส้นทาง 4
ดงั นน้ั จะเหน็ ว่าเจนสามารถเดนิ ทางจากกรงุ เทพมหานครไปเชยี งใหมไ่ ดท้ งั้ หมด 6 เสน้ ทาง

Ex.2 ร้านอาหารแหง่ หน่ึงมีอาหารคาว 4 อยา่ ง และขนม 3 อยา่ ง ถา้ ลูกคา้ ต้องการส่งั อาหารคาวหนง่ึ อย่าง และขนมหน่งึ อยา่ ง ลูกคา้
จะมีวิธีเลือกส่งั อาหารไดก้ ีว่ ิธี

วิธีทา จะเหน็ วา่ การส่งั อาหารของลูกค้านนั้ ตอ้ งทา 2 ขัน้ ตอนดว้ ยกนั คือ
ขนั้ ตอนที่ 1 สั่งอาหารคาว
ขนั้ ตอนท่ี 2 สั่งขนม

43

ลูกคา้ อาหารคาว ขนม

ลูกค้าสามารถสั่งอาหารได้ท้งั หมด 4 ĭ 3 = 12 วิธี 5
ดงั นน้ั ลูกคา้ สามารถสง่ั อาหารไดท้ ้งั หมด 12 วธิ ี

Ex.3 วรัญญามเี สอ้ื 3 แบบ กระโปรง 3 แบบ และนาฬิกา 3 แบบ ถา้ วรัญญาจะตอ้ งแต่งตัวออกจากบ้าน โดยต้องใสเ่ สื้อ กระโปรง
และใสน่ าฬิกา แลว้ วรัญญาจะสามารถแตง่ ตวั ไดท้ ง้ั หมดกแ่ี บบ

วธิ ีทา จะเห็นวา่ การแต่งตัวของวัญญาน้ันมที ้ังหมด 3 ขั้นตอนทตี่ อ่ เนอ่ื งกนั ดงั นี้
ขนั้ ตอนท่ี 1 วรญั ญาเลอื กเสอื้ ได้ 3 วิธี
ข้ันตอนที่ 2 วรญั ญาเลอื กกระโปรงได้ 3 วิธี
ขน้ั ตอนที่ 3 วรญั ญาเลอื กนาฬิกาได้ 3 วธิ ี

3 33

วรญั ญาสามารถแตง่ ตวั ไดท้ ั้งหมด 3 ĭ 3 ĭ 3 = 27 วธิ ี 6
ดังนั้น วรัญญาสามารถแตง่ ตวั ไดท้ ง้ั หมด 27 วธิ ี

Ex.4 ตอ้ งการสร้างจานวนที่มีสามหลกั จากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 7 , 8 โดยทแี่ ตล่ ะหลักสามารถใชต้ ัวเลขซา้ กนั ได้ จะสามารถ
สร้างได้ทง้ั หมดกี่จานวน

วธิ ที า จะเหน็ ว่าการสรา้ งจานวนที่มสี ามหลกั มขี ัน้ ตอนทงั้ หมด 3 ขั้นนตอนดงั นี้
ข้นั ตอนท่ี 1 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เป็นหลักหนว่ ย
ข้ันตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั เปน็ หลักสบิ
ขัน้ ตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน็ หลกั รอ้ ย

5 วธิ ี 5 วธิ ี 5 วิธี

หลกั ร้อย หลกั สบิ หลักหน่วย

จะสามารถสรา้ งจานวนท่ีมีสามหลักไดท้ ้ังหมด 5 ĭ 5 ĭ 5 = 125 จานวน
ดังนัน้ สามารถสรา้ งจานวนสามหลกั จากเลขโดดที่กาหนดไดท้ งั้ หมด 125 จานวน

7

ใบงานที่ 2 เร่อื ง หลักการคณู

ขอ้ ท่ี 1 ลกู น้าจะเดินทางจากอุบลราชธานไี ปเยยี่ มญาตทิ ่ีขอนแกน่ โดยระหวา่ งทางเขาตอ้ งแวะซอื้ ของฝากทรี่ อ้ ยเอด็ ถา้
เส้นทางจากอุบลราชธานไี ปรอ้ ยเอ็ดมี 4 เส้นทาง และเสน้ ทางจากร้อยเอ็ดไปขอนแก่นมี 3 เส้นทาง แลว้ ลกู นา้
จะสามารถเดนิ ทางจากอบุ ลราชธานีไปขอนแกน่ ไดท้ ัง้ หมดก่ีเส้นทาง

ขอ้ ท่ี 2 มจี ดหมายทแ่ี ตกตา่ งกนั 4 ฉบบั และมตี ูจ้ ดหมายที่แตกต่างกัน 5 ตู้ จะมีวธิ นี าจดหมายไปใสต่ ูไ้ ด้ท้ังหมดก่ีวิธี
ข้อที่ 3 ห้างสรรพสินค้าแห่งหน่งึ ตอ้ งการจัดแสดง เสอื้ กระโปรง และรองเทา้ ของสตรี โดยใช้หุ่นโชวห์ นา้ ร้าน

ถา้ หา้ งสรรพสนิ ค้าดงั กลา่ วมเี ส้อื 12 แบบ กระโปรง 8 แบบ และรองเท้า 6 แบบ จะมวี ิธกี ารจัดชดุ เสื้อผา้
สาหรบั หนุ่ โชว์ได้ท้ังหมดกีว่ ิธี
ขอ้ ที่ 4 กาหนดเลขโดด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 จะสรา้ งจานวนต่อไปนีไ้ ดท้ งั้ หมดกีจ่ านวน

4.1) จานวนท่ีมี 2 หลกั โดยที่เลขโดดแต่ละหลักสามารถซา้ กันได้
4.2) จานวนทีม่ ี 3 หลกั โดยท่เี ลขโดดแต่ละหลักสามารถซา้ กนั ได้
4.3) จานวนทมี่ ี 5 หลัก โดยที่เลขโดดแต่ละหลกั สามารถซา้ กนั ได้

8

9