เฉลยแบบฝึกทักษะเล่มที่ 2 แฟกทอเรียล การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่

แฟกทอเรยี ล

……การเรยี งสบั เปลยี่ น……
-0-
และการจดั หมู่

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนบั เบื้องตน้ และความน่าจะเป็น ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4 -1-
โดยการจัดการเรยี นรู้แบบ 5E + 3T สร้างข้นึ เพ่อื เปน็ การเสรมิ สรา้ งและพัฒนาการเรียนรูข้ องนักเรยี น
โดยเน้นผู้เรียนเป็นสำคัญ เปิดโดอกาสให้นักเรยี นได้แสวงหาความรูด้ ้วยตนเอง ใช้ทกั ษะต่าง ๆ ในการ
แสวงหาความรู้ มุง่ พฒั นาผลสมั ฤทธิ์และสมรรถภาพการเรยี นรูค้ ณิตศาสตรข์ องนักเรียน ใหส้ อดคล้องกบั
สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ทกี่ ำหนดไว้ ทั้งนี้ ไดน้ ำสถานการณ์ในชวี ิตประจำวันท่นี กั เรียนเคยพบมาแล้ว
มาเชอ่ื โยงกบั ความรูใ้ หมเ่ พื่อให้นกั เรียนไดเ้ รยี นรูไ้ ดง้ ่ายและตอ่ เนือ่ งกัน ท้งั สง่ เสริมใหน้ ักเรยี นไดศ้ กึ ษา
หาความรู้และสรุปองค์ความรู้ด้วยตนเอง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบ้ืองต้นและความนา่ จะเปน็ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4
ประกอบดว้ ย แบบฝึกทกั ษะทางคณติ ศาสตรท์ ั้งหมด 4 เลม่ ดังน้ี

เล่มที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บือ้ งตน้ เกยี่ วกับการนับ
เลม่ ที่ 2 เรอ่ื ง แฟกทอเรยี ล การเรยี งสับเปล่ยี น และการจัดหมู่
เลม่ ที่ 3 เรอ่ื ง การทดลองสุ่ม ปริภูมิตวั อย่าง และเหตุการณ์
เล่มท่ี 4 เร่อื ง ความน่าจะเปน็
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง หลกั การนบั เบ้ืองต้นและความน่าจะเปน็ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 น้ี
ประกอบด้วย ใบความรู้ เน้ือหา แนวคิดรวบยอด โจทย์ปญั หา โจทย์เสรมิ ทกั ษะ และการจัดการเรยี นรู้
ทมี่ ่งุ พฒั นาทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ การใหเ้ หตุผล การแก้ปัญหา การนำเสนอความคดิ
ทางคณิตศาสตร์ และยังสง่ เสรมิ การเรียนรูด้ ว้ ยวิธกี ารทห่ี ลากหลาย เพือ่ พัฒนาคุณภาพผูเ้ รียนตามศักยภาพ
ซงึ่ แสดงใหเ้ ห็นถึงการเน้นบทบาทของผู้เรียนเป็นสำคญั
หวังเปน็ อย่างยิง่ ว่า ของแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง หลักการนบั เบอื้ งต้นและความน่าจะเปน็
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 ท่ีไดจ้ ัดทำขนึ้ น้ี จะเป็นประโยชน์ตอ่ นกั เรียนและครูในการพัฒนากิจกรรมการเรียน
การสอนใหบ้ รรลวุ ัตถุประสงค์ท่ีกำหนดไวเ้ ป็นอย่างดี

วรรณา จติ รงาม

สารบญั -2-

เรอื่ ง หนา้
คำนำ………………………………………………………………………………………….…………………..- 1 -
สารบญั ........................................................................................................................................... .- 2 -
คำแนะนำการใช้ชดุ แบบฝกึ ทกั ษะ เร่ือง หลักการนับเบ้อื งต้นและความน่าจะเป็น
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 สำหรบั คร…ู …………………………………………………………………………- 3 -
คำแนะนำการใช้ชุดแบบฝึกทกั ษะ เรือ่ ง หลกั การนบั เบอื้ งต้นและความน่าจะเปน็
ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4 สำหรบั นกั เรียน………………………………………………………………….…- 4 –
แผนผงั ขั้นตอนในการเรียนรู้ด้วย ชุดแบบฝึกทักษะ เรื่อง หลักการนับเบอื้ งตน้ และความน่าจะเปน็
ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4……………………………………………………………………………………….…- 5 –
เน้อื หา/สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรยี นรู้ สาระสำคัญ และเวลาเรือ่ ง
หลกั การนับเบ้อื งต้นและความน่าจะเป็น ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4……………………………………….…- 6 –
ใบความรู้ที่ 1 เรื่อง แฟกทอเรยี ล……..………………………………………….……………………...…- 9 –
เฉลยแบบฝึกหดั ท่ี 1 เร่อื ง แฟกทอเรียล……..…………………………………………………………....- 12 –
ใบความรู้ท่ี 2 เรือ่ ง หลกั การเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของส่ิงของทแ่ี ตกต่างกันทั้งหมด………….….…..- 14 –
เฉลยแบบฝกึ หัดที่ 2 เร่อื ง หลักการเรียงสบั เปล่ยี นเชิงเสน้ ของส่ิงของที่แตกตา่ งกันทัง้ หมด……….…- 17 –
ใบความรู้ที่ 3 เรื่อง หลกั การเรียงสบั เปล่ียนเชงิ เส้นของส่งิ ของทแ่ี ตกต่างกนั ทั้งหมด 2……..……..…- 19 –
เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 3 เร่ือง หลกั การเรียงสับเปลี่ยนเชงิ เสน้ ของสิ่งของทแ่ี ตกต่างกันทั้งหมด 2…...…- 22 –
ใบความรูท้ ี่ 4 เรื่อง หลักการจัดหมู่ของสง่ิ ของท่ีแตกตา่ งกนั ทง้ั หมด…………………………………….- 24 –
เฉลยแบบฝกึ หัดท่ี 4 เร่ือง หลักการจัดหมูข่ องส่งิ ของท่ีแตกต่างกันท้งั หมด…………………………..…- 28 –
ใบความรู้ท่ี 5 เรอื่ ง หลกั การจดั หมูข่ องสง่ิ ของท่ีแตกต่างกันท้ังหมด 2..…………………………...…..- 31 –
เฉลยแบบฝึกหัดที่ 5 เร่ือง หลักการจัดหมู่ของสิง่ ของทีแ่ ตกต่างกนั ท้งั หมด 2…...……………………- 34 –
บรรณานกุ รม…………………………………………………………………………………………………..- 36 -

การใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบื้องต้นและความน่าจะเปน็ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 -3-
ครูผูส้ อนเป็นผู้ท่มี บี ทบาทสำคัญทจี่ ะช่วยใหก้ ารดำเนนิ การเรียนรู้ของนกั เรยี นบรรลตุ ามวัตถปุ ระสงค์ ครูผู้สอน
จงึ ควรศึกษารายละเอียดเกย่ี วกบั การปฏบิ ัติตนก่อนทจ่ี ะใชช้ ดุ การสอน ดังนี้

1. ครูต้องศึกษาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนบั เบ้ืองตน้ และความนา่ จะเปน็ ชน้ั มัธยมศึกษา
ปที ี่ 4 และอา่ นเนอ้ื หาสาระอยา่ งละเอียดรอบคอบ พร้อมทัง้ ทำความเขา้ ใจเนอ้ื หาก่อนการใช้งาน

2. ครูเตรียมแบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ให้ครบถ้วนและเพยี งพอต่อจำนวนนักเรียน
3. ครูเตรียมเครอื่ งมือวัดผลประเมนิ ผล เพอื่ ทราบความก้าวหนา้ ของนกั เรยี น
4. ครูช้แี จงให้นักเรยี นทราบเกีย่ วกับขน้ั ตอนและวธิ กี ารสอนโดยใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์อย่างชดั เจน
และประโยชน์ทีจ่ ะไดร้ ับจากการเรียนรูโ้ ดยใช้แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์
5. ครูชแ้ี จงให้นกั เรียนทราบบทบาทของนกั เรียน โดยเน้นย้ำความซือ่ สตั ย์ การมีวนิ ัย ใฝเ่ รียนใฝ่รู้
การแสดงความคิดเหน็
6. ใหน้ ักเรียนทำแบบทดสอบก่อนเรียนเพ่อื ประเมินความรู้เดมิ ของนักเรยี น
7. ครูจดั กิจกรรมการเรยี นรูใ้ หแ้ กน่ ักเรียน โดยให้คำแนะนำ ดแู ล เสนอแนะ และเสริมแรง
ตามแนวทางของแผนการจดั การเรียนรู้
8. ครูสังเกตความร่วมมือและความตงั้ ใจในการเรียน การทำกิจกรรมเปน็ รายบคุ คลและการทำ
กจิ กรรมร่วมกบั ผูอ้ ่นื
9. ครูร่วมสรปุ บทเรียนกบั นกั เรยี นเพ่อื เป็นการย้ำความเข้าใจของนักเรียนในทุกกจิ กรรม
10. ให้นกั เรียนทำแบบทดสอบหลังเรียนเพือ่ วัดความรูข้ องนักเรยี น และประเมนิ ผลการเรยี นรูข้ อง
นักเรยี นอยา่ งตอ่ เนอ่ื ง

1. นักเรียนคำช้ีแจงเก่ียวกับแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์และคำแนะนำการใชช้ ุดแบบฝกึ ทักษะ เร่อื ง -4-
หลักการนับเบอ้ื งตน้ และความนา่ จะเป็น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 สำหรับนกั เรยี นใหเ้ ขา้ ใจกอ่ นลงมอื ศึกษาเรยี นรู้
หรือทำกจิ กรรมทกุ ครั้ง

2. นักเรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน เพื่อประเมนิ ความรู้เดิมของนักเรยี น
3. นกั เรียนศึกษาจดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ และสาระการเรียนรู้ในชุดการสอนทง้ั หมด อยา่ งละเอยี ด
หากมขี ้อสงสัย หรอื มคี ำถาม ใหป้ รึกษาครูผูส้ อน
4. ศกึ ษาใบความรู้ ตัวอย่าง และทำแบบฝกึ หดั ดว้ ยความตัง้ ใจ
5. ในการเรียนรู้ นกั เรียนควรมีการวางแผนการทำกิจกรรม กรณเี ปน็ รายกลุม่ ควรมีการแบ่งหน้าที่
และร่วมกันปฏบิ ตั ิกิจกรรม
6. ในการปฏบิ ัติกิจกรรมการเรียนรู้ นักเรียนควรปฏบิ ัติงานใหท้ ันกบั เวลาทก่ี ำหนด
7. ข้นั ตอนสุดท้ายของการเรียนรูด้ ว้ ยชุดแบบฝึกทักษะ เรือ่ ง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเป็น
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 นักเรยี นตอ้ งทำแบบทดสอบประจำชุดการสอนของแตล่ ะชดุ การสอน
8. นกั เรยี นควรมีความรว่ มมือร่วมใจ มคี วามสามคั คี รว่ มกันแสดงความคดิ เห็น และยอมรบั เสยี ง
สว่ นใหญ่ในการปฏิบตั กิ จิ กรรมกลมุ่
9. หากนกั เรยี นมปี ญั หาหรอื ไมเ่ ขา้ ใจในสว่ นใด นักเรยี นสามารถสอบถามจากครูผู้สอนได้ตลอดเวลา

นกั เรียนศกึ ษาคำแนะนำการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ สำหรับนักเรียน -5-

ศึกษามาตรฐานการเรยี นรู/้ ตวั ชวี้ ัดและจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ทำแบบทดสอบก่อนเรียน

ดำเนินการศึกษาเน้ือหา โดยปฏิบัตกิ จิ กรรม
- ศกึ ษาเน้ือหา ใบความรู้
- ทำแบบฝกึ หดั
- ตรวจแบบฝึกหดั

ศึกษาแบบฝึกทกั ษะเล่มต่อไป

ทำแบบทดสอบหลงั เรียน ไม่ผ่าน 80%

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตวั ชวี้ ดั

สาระท่ี 3 สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบอื้ งต้น ความนา่ จะเป็น และนำไปใช้

ตัวชว้ี ดั

ค 3.2 ตวั ชี้วัด ม.4/1 เขา้ ใจและใชห้ ลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลย่ี น และการจดั หมู่

ในการแกป้ ญั หา

ค 3.2 ตัวชี้วัด ม.4/2 หาความนา่ จะเป็นและนำความรู้เกีย่ วกับความนา่ จะเป็นไปใช้

เนอ้ื หา/สาระการเรยี นรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา -6-
(ชว่ั โมง)

แฟกทอเรียล ด้านความรู้ (K) เมือ่ n เป็นจำนวนเต็ม 2

นกั เรยี นหาคำตอบของแฟกทอเรียล บวก แฟกทอเรียล n

ได้ หมายถึง ผลคูณของจำนวน

ด้านทกั ษะ/กระบวนการ(P) เตม็ บวกต้ังแต่ 1 ถึง n

1.นกั เรยี นสามารถแกป้ ญั หาโดยใช้ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

แฟกทอเรยี ลได้ n! อ่านวา่ แฟกทอเรียล

2.นักเรยี นสามารถให้เหตผุ ลในการ เอน็ หรือเอ็นแฟกทอเรยี ล

แกป้ ัญหาได้ เต็มบวกใดหรอื ศูนย์

ดา้ นคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะ

อนั พงึ ประสงค(์ A)

1. ความสนใจกระตอื รอื ร้น

2. ความรับผิดชอบ

เนอื้ หา/สาระการเรียนรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา
(ชวั่ โมง)

3. มีวินยั ในตนเอง ตรงต่อเวลา

4. ความใฝ่รู้ใฝเ่ รียน

5. การยอมรบั ฟังผูอ้ นื่

วิธีเรยี งสับเปลยี่ น ดา้ นความรู้ (K) วิธกี ารเรียงสบั เปลยี่ นเชงิ 2

นักเรียนนกั เรยี นสามารถแกป้ ัญหา เส้น คือ วิธีจัดเรียงสง่ิ ของ

เก่ียวกบั วิธเี รียงสับเปลี่ยนเชิงเสน้ ได้ ซึ่งอาจนำมาเพยี งบางสว่ น

ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ(P) หรอื นำมาเรียงท้ังหมด โดย

1. นักเรียนมที กั ษะในการส่อื สาร คำนงึ ถงึ ลำดบั หรือตำแหนง่

และสือ่ ความหมาย ของส่ิงมชี ีวิตแตล่ ะสงิ่ เปน็

2. นักเรยี นสามารถประยุกต์ใช้ สำคญั

ความรูใ้ นการแกป้ ญั หาได้

ดา้ นคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะ

อนั พงึ ประสงค(์ A) -7-

1.ความสนใจกระตือรือรน้

2. ความรบั ผดิ ชอบ

3. มวี ินัยในตนเอง ตรงตอ่ เวลา

4. ความใฝร่ ู้ใฝ่เรยี น

5. การยอมรบั ฟังผู้อน่ื

วิธเี รียงสับเปล่ียน ดา้ นความรู้ (K) วธิ ีการจดั หมู่ 2

(วธิ กี ารจดั หมู่) นกั เรียนสามารถแกป้ ญั หา (Combination)

เกยี่ วกบั วิธีจดั หมูไ่ ด้ หมายถงึ การนำส่งิ ของทม่ี ี

ด้านทกั ษะ/กระบวนการ(P) ความแตกต่างกนั ท้ังหมด

นกั เรยี นสามารถใหเ้ หตุผลในการ หรือเพียงบางสว่ นมาจัดหมู่

แก้โจทย์ปญั หาได้ โดยไมถ่ อื ตำแหน่งหรอื

ลำดับก่อนหลังเป็นสำคญั

จำนวนวิธีจดั หมู่ของส่ิงของ

n สิ่ง ซงึ่ แตกต่างกนั

เนอ้ื หา/สาระการเรียนรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา
(ชว่ั โมง)

ด้านคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะ ทั้งหมด ใหม้ ีหมู่ละ r สงิ่

อนั พงึ ประสงค(์ A) Cn,r= n! โดยที่ r≤n
1. ความสนใจกระตอื รอื ร้น (n-r)!r!

2. ความรบั ผดิ ชอบ

3. มวี นิ ัยในตนเอง ตรงตอ่ เวลา

4. ความใฝร่ ู้ใฝ่เรียน

5. การยอมรับฟังผู้อืน่

-8-

แฟกทอเรยี ล (Factorial)

บทนิยาม

ถ้า n เป็นจำนวนเตม็ บวก แล้วผลคูณของจำนวนเตม็ บวกตั้งแต่ 1 ถึง n ดังนี้
1 x 2 x 3 x … x n เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n! อา่ นวา่ แฟกทอเรียลเอน็ หรอื เอ็นแฟกทอเรยี ล

ตัวอยา่ งที่ 1 จงเขยี นจำนวนต่อไปนี้ในรูปของการคูณ และหาคำตอบ -9-
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขยี นจำนวนต่อไปนใ้ี นรูปของแฟกทอเรียล = 3!
3x2x1 = 6!
6x5x4x3x2x1 = 9!
9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 4!
4x3x2x1 = 7!
7x6x5x4x3x2x1

ตัวอยา่ งที่ 3 จงเขียนจำนวนต่อไปนีใ้ หอ้ ยูใ่ นรูปไมม่ ีแฟกทอเรยี ล

1. n!
(n - 2)!

วิธที ำ n! = n x (n - 1) x (n - 2)!
(n - 2)! (n - 2)!

= n x (n - 1)

2. (n + 1)!
(n - 3)!

วธิ ที ำ (n + 1)! = (n + 1) x n x (n - 1) x (n - 2) x (n - 3)!
(n - 3)! (n - 3)!

= (n + 1) x n x (n – 1) x (n – 2)

3. 13!
11!
- 10 -
13! 13 x 12 x 11!
วธิ ที ำ 11! = 11!
=
13 x 12

= 156

4. 21!
18!

วธิ ที ำ 21! = 21 x 20 x 19 x 18!
18! = 18!

21 x 20 x 19

= 7,980

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาค่า n จากสมการ (n n! = 132
- 2)!

วธิ ที ำ n! = 132
(n - 2)!

n x (n - 1) x (n - 2)! = 132
(n - 2)!

n x (n - 1) = 132

n2 – n = 132

n2 – n – 132 =0

(n - 12)(n + 11) = 0

n = -11 , 12

เนอื่ งจากบทนิยาม n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ดังนั้น ค่า n = 12 เพราะ 12 เป็นจำนวนเตม็ บวก

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาคา่ n จากสมการ (n + 1)! = 56 - 11 -
(n - 1)!

วิธที ำ (n + 1)! = 56
(n - 1)!

(n + 1) x n x (n - 1)! = 56
(n - 1)!

(n + 1) x n = 56

n2 + n = 56

n2 + n – 56 =0

(n - 7)(n + 8) =0

n = -8 , 7

เนอื่ งจากบทนยิ าม n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ดังนน้ั คา่ n = 7 เพราะ 7 เป็นจำนวนเตม็ บวก

คำชแี้ จง จงแสดงวธิ ีทำให้ถกู ตอ้ ง

ข้อที่ 1 จงเขยี นจำนวนต่อไปนี้ในรูปของการคูณ และหาคำตอบ - 12 -
1.1 9!
เขียนในรูปของการคูณ : 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
คำตอบ : 362,880
1.2 10!
เขยี นในรูปของการคูณ : 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
คำตอบ : 3,628,800
1.3 6!
เขยี นในรูปของการคูณ : 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
คำตอบ : 720
1.4 13!
เขยี นในรูปของการคูณ : 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3
x2x1
คำตอบ : 6,227,020,800

ข้อที่ 2 จงเขียน (n + 3)! ใหอ้ ยูใ่ นรูปไมม่ ีแฟกทอเรยี ล
n!

วิธีทำ (n + 3)! = (n + 3) x (n + 2) + (n + 1) x n!
n! n!

= (n + 3) x (n + 2) x (n + 1)

ดังนน้ั (n + 3)! = (n + 3) x (n + 2) x (n + 1)
n!

ขอ้ ที่ 3 จงหาคา่ n จากสมการ (n + 1)! = 110 - 13 -
(n - 1)!

วิธที ำ (n + 1)! = 110
(n - 1)!

(n + 1) x n x (n - 1)! = 110
(n - 1)!

(n + 1) x n = 110

n2 + n = 110

n2 + n – 110 =0

(n - 11)(n + 10) = 0

n = -10 , 11

เน่ืองจากบทนยิ าม n เป็นจำนวนเตม็ บวก ดังนน้ั คา่ n = 11 เพราะ 11 เป็นจำนวนเตม็ บวก

การเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของทแี่ ตกตา่ งกนั ทงั้ หมด - 14 -

ถา้ ตอ้ งการนำส่ิงของท่ีแตกตา่ งกัน n ชน้ิ มาเรียงสบั เปลีย่ นเชงิ เสน้ สามารถหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยน
ทัง้ หมดโดยใช้หลกั การคูณ ดงั น้ี

ข้นั ตอนที่ 1 ตำแหน่งที่ 1 มวี ธิ ีเลือกส่ิงของมาวางได้ n วิธี
ข้ันตอนท่ี 2 ตำแหน่งที่ 2 แตล่ ะวธิ ีท่วี างสงิ่ ของในตำแหนง่ ที่ 1

มีวธิ ีเลอื กสงิ่ ของมาวางในตำแหน่งท่ี 2 ได้ n - 1 วธิ ี
ขั้นตอนที่ 3 ตำแหนง่ ท่ี 3 แตล่ ะวิธที ่ีวางส่ิงของในตำแหนง่ ที่ 1 และ 2

มีวธิ เี ลือกสิง่ ของมาวางในตำแหนง่ ท่ี 3 ได้ n - 2 วิธี
.
.
.

ขั้นตอนท่ี n ตำแหน่งท่ี n แต่ละวิธที ี่วางสิ่งของในตำแหนง่ ท่ี 1 ถึง n - 1
มวี ธิ เี ลอื กสิ่งของมาวางในตำแหน่งที่ n ได้ 1 วิธี

ดงั นน้ั จำนวนวธิ ใี นการนำสง่ิ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด n ชน้ิ มาเรยี งสบั เปลยี่ นเชงิ เสน้ เทา่ กบั
n ĭ (n - 1) ĭ (n - 2) ĭ … ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = n! วธิ ี

ตวั อยา่ งท่ี 1 สมมตวิ ่า กิง่ กาญจน์ และแกว้ ยืนเป็นแถวหน้ากระดานเพ่ือถา่ ยรูปด้วยกันทงั้ สามคน
จะมีวธิ จี ดั แถวเพื่อถ่ายรูปได้ทั้งหมดกว่ี ิธี

วิธที ำ

กิง่ กาญจน์ แก้ว

ตำแหนง่ ท่ี 1 ตำแหนง่ ที่ 2 ตำแหน่งที่ 3
จากโจทยก์ ารเข้าแถวหน้ากระดาน เปน็ การเรียงคน 3 คน เปน็ แนวเสน้ ตรง

ดังนน้ั จะมีวิธจี ดั แถวเพื่อถา่ ยรูปท้งั หมด 3! = 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วิธี

ตัวอยา่ งท่ี 2 ร้านค้าตอ้ งการนำกระเปา๋ รนุ่ ใหม่ทีแ่ ตกตา่ งกนั 4 ใบ วางโชว์หน้าร้าน โดยวางเรยี งกนั ในแนวเสน้ ตรง
จะสามารถจัดวางกระเปา๋ ไดท้ ้งั หมดกี่วิธี

วธิ ที ำ

ตำแหนง่ ที่ 1 ตำแหนง่ ท่ี 2 ตำแหนง่ ที่ 3 ตำแหนง่ ท่ี 4
จากโจทย์การนำกระเป๋ามาวางโชว์หน้าร้าน ซงึ่ เป็นการวางเรียงในแนวเส้นตรง
ดังนน้ั จะสามารถวางเรยี งกระเปา๋ ได้ทัง้ หมด 4! = 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 =24 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 3 ต้องการจดั คน 4 คนซ่งึ มผี ูช้ าย 1 คน และมีผูห้ ญงิ 3 คน น่ังเก้าอ้ี 4 ทนี่ ั่ง จะมีวิธกี ารนง่ั เกา้ อี้
ได้ทั้งหมดก่วี ิธี ถ้าผูช้ ายต้องนงั่ เก้าอ้ีตวั ท่ี 1 เท่านนั้

วิธที ำ ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกผูช้ าย 1 คนมานัง่ เก้าอ้ีตัวที่ 1
ข้นั ตอนท่ี 2 นำคนทีเ่ หลืออยูไ่ ปเรียง

- 15 -

ดงั นน้ั จะมีวิธีจดั คน 4 คน นงั่ เกา้ อี้ 4 ทนี่ งั่ ได้ 1 ĭ 3! = 1 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 4 ภมู กี ระเปา๋ 5 ใบ สีดำ 2 ใบ และแดง 3 ใบ เขาตอ้ งการนำกระเปา๋ ไปวางเรียงในตู้โดยท่ี
ตำแหนง่ แรกเขาต้องการวางกระเปา๋ สีแดงเทา่ น้ัน ภจู ะสามารถนำกระเป๋าไปวางเรียงบนตูไ้ ด้ก่วี ิธี

วธิ ที ำ ขั้นตอนท่ี 1 เลอื กกระเปา๋ สแี ดง 1 ใบมาวางตำแหน่งท่ี 1
ข้นั ตอนท่ี 2 นำกระเปา๋ ทเ่ี หลือไปเรียง

ดังนน้ั จะมวี ธิ นี ำกระเปา๋ ไปเรยี งบนตู้ได้ 3 ĭ 4! = 3 ĭ 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 72 วธิ ี

- 16 -

คำชแ้ี จง จงวเิ คราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปน้ี โดยใช้ความรูเ้ รือ่ ง หลักการเรยี งสับเปลีย่ นเชงิ เสน้ ของส่งิ ของ
ทีแ่ ตกต่างกนั ทัง้ หมด

ข้อที่ 1 นารนิ นำรูปภาพทีแ่ ตกตา่ งกนั 5 รูป มาจัดแสดงโดยเรียงตอ่ กันในแนวเส้นตรง จะมีวิธจี ัดแสดงรูปภาพ
ไดท้ ง้ั หมดกีว่ ธิ ี

วธิ ที ำ มีผลงานท้งั หมด 6 ช้ิน ครูวรรณานำไปเรยี งทัง้ หมด
ดังนน้ั ครูวรรณาสามารถเรยี งผลงานไดท้ ง้ั หมด 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 วิธี

ขอ้ ท่ี 2 ศรสี ุดาต้องการนำรองเท้า 10 คู่ไปวางเรียงบนชัน้ วางรองเท้า โดยทศี่ รีสุดามรี องเท้าแตะ 4 คู่

รองเทา้ ผา้ ใบ 6 คู่ ถ้าศรสี ุดาต้องการใหร้ องเทา้ ผ้าใบวางในตำแหน่งท่ี 1 แล้วศรีสดุ าจะสามารถเรียง

รองเท้าได้ท้ังหมดกวี่ ธิ ี - 17 -

วิธที ำ ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กรองเท้าผา้ ใบไปวางในตำแหน่งที่ 1 ได้ 6 วิธี

ข้ันตอนท่ี 2 เรียงรองเท้าที่เหลอื ได้ 9! วธิ ี

ดงั นน้ั ศรสี ดุ าจะสามารถเรียงรองเทา้ ไดท้ ั้งหมด 6 x 9! = 2,177,280 วิธี

ข้อท่ี 3 ยวุ ดซี อื้ หนังสือมา 6 เลม่ เป็นหนงั สอื นวนยิ าย 2 เลม่ หนงั สอื ภาษาอังกฤษ 2 เล่ม และหนงั สือ

วทิ ยาศาสตร์ 2 เล่ม ยุวดีจะสามารถนำหนังสือไปเรยี งบนชน้ั หนงั สือช้นั หนง่ึ ไดก้ ีว่ ธิ ี ถา้ ตำแหน่งท่ี 3

ตอ้ งเปน็ หนังสือภาษาองั กฤษเท่านน้ั

วธิ ที ำ ข้ันตอนที่ 1 เลอื กหนงั หนงั สือภาษาอังกฤษไปวางในตำแหน่งที่ 3 ทำได้ 2 วธิ ี

ขั้นตอนที่ 2 นำหนงั สอื ท่ีเหลอื ไปเรียงได้ ทำได้ 5! วิธี

ดงั นน้ั ยุวดจี ะสามารถนำหนงั สือไปเรยี งบนชนั้ หนงั สือชนั้ หน่งึ ไดท้ ้ังหมด 2 x 5! = 240 วิธี

- 18 -

จำนวนวิธีในการนำส่ิงของ r ชิ้น จากสง่ิ ของทีแ่ ตกต่างกนั n ชน้ิ มาเรียงสบั เปล่ยี นเชิงเสน้ คือ

Pn , r = n! วธิ ี
(n -r)!

ตวั อยา่ งที่ 1 ร้านค้าแห่งหนึง่ มรี องเทา้ ทั้งหมด 5 แบบ ต้องการนำรองเท้า 3 แบบ มาจัดแสดงหน้ารา้ น
เป็นแนวเส้นตรงจะจัดไดท้ ั้งหมดกี่แบบ

วธิ ที ำ

จากโจทย์ มีรองเทา้ ทั้งหมด 5 คู่ นั่นคือ n = 5 และต้องการนำไปจัดแสดง 3 คู่ น่นั คือ r = 3 - 19 -

จากสูตร Pn , r = n!
(n -r)!
5!
แทนค่า P5 , 3 = (5 -3)!

= 5!
2!
5 x 4 x 3 x 2!
= 2!

= 5x4x3

= 60

ดังนน้ั รา้ นค้าสามารถนำรองเท้ามาจดั แสดงไดท้ ้ังหมด 60 แบบ

ตวั อยา่ งท่ี 2 ท่ีปา้ ยรถประจำทางแห่งหนง่ึ มเี กา้ อี้ 5 ตวั วางเรยี งกันเปน็ แถวยาว ถ้าคน 6 คน มารอรถที่ปา้ ยนี้
จงหาจำนวนวธิ ีการนัง่ เกา้ อ้ี โดยท่ีเก้าอแี้ ตล่ ะตัวจะมคี นนงั่ หนง่ึ คน

วิธที ำ

จากโจทย์ มีคนทั้งหมด 6 คน นน่ั คือ n = 6
และตอ้ งการนำมานั่งเกา้ อี้ 5 คน นน่ั คือ r = 5

จากสูตร Pn , r = n!
(n -r)!

แทนค่า P6 , 5 = 6! - 20 -
(6 - 5)!

= 6!
1!

= 6x5x4x3x2x1
1

= 720
ดังนั้น สามารถนัง่ เกา้ อไ้ี ด้ท้ังหมด 720 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 3 รหสั บตั รATM ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
จำนวน 4 ตัว เชน่ 0123 , 2543 , 4809 จงหาจำนวนรหสั บตั รATM ทั้งหมดทเี่ ปน็ ไปได้
โดยห้ามใชเ้ ลขโดดซ้ำกนั

วธิ ที ำ

จากโจทย์ มีเลขโดดท้งั หมด 10 ตัว น่นั คือ n = 10

และนำมาสรา้ งรหสั บัตร 4 ตัว น่ันคอื r = 4

จากสูตร Pn , r = n!
(n -r)!

แทนค่า P10 , 4 = 10!
(10 - 4)!

= 10! - 21 -
6!

= 10 x 9 x 8 x 7 x 6!
6!

= 10 x 9 x 8 x 7

= 5,040
ดังนัน้ สามารถนำเลขโดดมาสรา้ งรหัสบัตร ATM ไดท้ งั้ หมด 5,040 รหัส

คำชแ้ี จง จงวิเคราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปนี้ โดยใช้ความรู้เร่ือง หลักการเรียงสับเปล่ียนเชงิ เส้นของสิง่ ของ
ทแ่ี ตกต่างกันทง้ั หมด

ขอ้ ท่ี 1 รา้ นค้าแหง่ หน่ึงมกี ระเปา๋ แบบใหม่ 9 แบบ ต้องการนำไปวางหนา้ ร้านเปน็ แนวเสน้ ตรง 4 แบบ จะสามารถ

ทำไดท้ ้งั หมดกี่วิธี

วธิ ีทำ n = …………9…………… r = ……………4……………….

สูตรที่ใช้ในการคำนวณ คอื ……………………Pn , r = (n n-!r)!…………………….. - 22 -

จากสูตร Pn , r = n!
(n - r)!
9! 9 x 8 x 7 x 6 x 5!
จะไดว้ า่ P9 , 4 = 5! = 5! = 3,024

ดงั นั้น ร้านค้าสามารถนำกระเป๋าไปวางหนา้ รา้ นได้ท้ังหมด 3,024 แบบ

ข้อท่ี 2 รหัสบตั รATM ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จำนวน 6 ตัว

จงหาจำนวนรหัสบตั รATM ท้งั หมดท่เี ปน็ ไปได้ โดยห้ามใชเ้ ลขโดดซ้ำกนั

วิธที ำ n = …………10…………… r = ……………6……………….

สูตรท่ใี ช้ในการคำนวณ คือ ……………………Pn , r = (n n-!r)!……………………..

จากสูตร Pn , r = n! - 23 -
(n - r)!

จะไดว้ า่ P10 , 6 = 10! = 10!
(10 - 6)! 3!

= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3!
3!

= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4

= 604,800
ดงั น้ันสามารถสรา้ งรหสั บัตร ATM ไดท้ ง้ั หมด 604,800 รหสั

ข้อท่ี 3 รหัสนกั เรียน ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จำนวน 5 ตัว

จงหาจำนวนรหัสประจำตวั นกั เรยี นทงั้ หมดที่เป็นไปได้ โดยหา้ มใชเ้ ลขโดดซำ้ กัน

วธิ ที ำ n = …………10…………… r = ……………5……………….

สูตรที่ใช้ในการคำนวณ คือ ……………………Pn , r = (n n-!r)!……………………..

จากสูตร Pn , r = n!
(n - r)!

จะได้วา่ P10 , 5 = 10! = 10!
(10 - 5)! 5!

= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5! - 24 -
5!

= 10 x 9 x 8 x 7 x 6

= 30,240
ดังนัน้ สามารถสร้างรหัสประจำตัวนักเรยี นไดท้ ้งั หมด 30,240 รหสั

การจดั หมู่ (Combination) คือจำนวนวธิ เี ลอื กกลมุ่ ของสิ่งของโดยไม่พิจารณาลำดับในการเลือกจำนวนวธิ ี

จดั หมู่ของส่ิงของท่ีแตกต่างกนั n ชิน้ โดยเลือกคราวละ r ชน้ิ คือ
n!
Cn , r = (n - r)!r! วิธี

ตัวอยา่ งที่ 1 ในการเลอื กตวั แทนนกั เรยี น 3 คนจากผู้สมัคร 5 คน จะมีวิธเี ลือกทัง้ หมดก่ีวิธี
วธิ ที ำ

- 25 -

จากโจทย์ มีผูส้ มคั รทง้ั หมด 5 คน น่ันคอื n = 5 ตอ้ งการเลือกตัวแทนจำนวน 3 คน นน่ั คอื r = 3

จะไดว้ า่ C5 , 3 = 5!
(5 - 3)!3!

= 5!
2!3!

= 5 x 4 x 3!
2 x 1 x 3!

= 5x2

= 10

ดังนัน้ สามารถเลือกตัวแทนนกั เรยี นไดท้ ั้งหมด 10 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 2 มีนกั เรยี นอยู่ 6 คน ตอ้ งการเลอื กนักเรยี น 3 คนไปแข่งขันทกั ษะทางคณิตศาสตรจ์ ะทำได้
ท้งั หมดก่วี ิธี

วธิ ที ำ

จากโจทย์ มีนักเรียนทง้ั หมด 6 คน น่นั คือ n = 6 และต้องการนกั เรยี น 3 คน น่นั คือ r = 3

จะไดว้ ่า C6 , 3 = 6! = 6!
(6 - 3)!3! 6!3!

= 6 x 5 x 4 x 3! = 5x4 = 20 - 26 -
3 x 2 x 1 x 3!

ดังนั้น สามารถเลือกนกั เรยี นไปแขง่ ขันทักษะทางคณิตศาสตรไ์ ดท้ ง้ั หมด 20 วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 3 ถา้ ตอ้ งการเลือกคณะกรรมการชดุ หนึง่ จำนวน 3 คน จากคน 4 คน จะเลือกไดท้ ้ังหมดก่ีวธิ ี
วธิ ที ำ

จากโจทย์ มีคนท้งั หมด 4 คน นัน่ คือ n = 4 และต้องการเลอื กคณะกรรมการ 3 คน นั่นคือ r = 3

จะได้วา่ C4 , 3 = 4! = 4!
(4 - 3)!3! 1!3!

= 4 x 3! =4
1 x 3!

ดงั นน้ั สามารถเลือกคณะกรรมการไดท้ ้งั หมด 4 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 4 ข้อสอบชดุ หนงึ่ มี 8 ขอ้ โดยในการสอบใหน้ กั เรยี นเลอื กทำขอ้ สอบ 5 ขอ้ จงหาจำนวนวิธีทนี่ กั เรียน
สามารถเลอื กทำขอ้ สอบในครงั้ น้ี

วธิ ที ำ

จากโจทย์ มขี ้อสอบทั้งหมด 8 คน นนั่ คอื n = 8 และนักเรียนเลือกทำ 5 ขอ้ นัน่ คือ r = 5

จะไดว้ า่ C8 , 5 = 8!
(8 - 5)!5!

= 8!
3!5!

= 8 x 7 x 6 x 5! - 27 -
3 x 2 x 1 x 5!

= 8x7

= 56

ดังนั้น นักเรยี นสามารถเลือกทำข้อสอบไดท้ งั้ หมด 56 วิธี

คำชแี้ จง จงวเิ คราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปน้ี โดยใช้ความรู้เร่ือง หลกั การจัดหมู่ของสงิ่ ของทีแ่ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด

ข้อที่ 1 มนี กั เรยี นอยู่ 6 คน ตอ้ งการเลือกนกั เรียน 4 คนไปแขง่ ขนั ทักษะทางดา้ นภาษาองั กฤษ จะทำไดท้ ้งั หมด

ก่ีวิธี

วธิ ีทำ n = …………6…………… r = ……………4……………….
สูตรทใ่ี ชใ้ นการคำนวณ คอื ……………………Cn , r = (n -n!r)!r!……………………..
n!
จากสูตร Cn , r = (n - r)!r!

จะได้วา่ C6 , 4 = 6! - 28 -
(6 - 4)!4!

= 6!
2!4!

= 6 x 5 x 4!
2 x 1 x 4!

= 15

ดงั น้นั สามารถเลือกนกั เรียนไปแขง่ ขนั ทักษะทางด้านภาษาอังกฤษไดท้ ัง้ หมด 15 วิธี

ข้อท่ี 2 ข้อสอบชุดหนึ่งมี 10 ขอ้ โดยในการสอบใหน้ กั เรยี นเลอื กทำขอ้ สอบ 6 ข้อ จงหาจำนวนวิธีที่นักเรียน

สามารถเลอื กทำข้อสอบในคร้งั น้ี

วิธีทำ n = …………10…………… r = ………………6…………….

สูตรท่ีใชใ้ นการคำนวณ คอื ……………………Cn , r = (n -n!r)!r!……………………..

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

จะไดว้ ่า C10 , 6 = 10!
(10 - 6)!6!

= 10! - 29 -
4!6!

= 10 x 9 x 8 x 7 x 6!
4 x 3 x 2 x 1 x 6!

= 5x3x2x7

= 210

ดงั นนั้ นักเรยี นสามารถเลอื กทำข้อสอบไดท้ ั้งหมด 210 วิธี

ขอ้ ท่ี 3 ในงานเลย้ี งแห่งหน่ึงมคี น 6 คน ถ้าคนสองคนใด ๆ จับมอื กนั หน่ึงครั้ง จงหาว่าจะมีการจับมอื ท้ังหมดก่คี ร้งั

วิธีทำ n = …………6…………… r = ……………2……………….
สูตรท่ใี ชใ้ นการคำนวณ คอื ……………………Cn , r = (n -n!r)!r!……………………..

จะไดว้ า่ C6 , 2 = 6!
(6 - 2)!2!

= 6!
4!2!

= 6 x 5 x 4!
2 x 1 x 4!
- 30 -
= 3x5

= 15

ดงั นัน้ จะมีการจับมอื กันท้งั หมด 15 คร้ัง

การจดั หมู่ (Combination) คือจำนวนวธิ ีเลือกกลุ่มของสิ่งของโดยไมพ่ จิ ารณาลำดับในการเลือกจำนวนวธิ ี

จัดหมูข่ องสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น โดยเลือกคราวละ r ชน้ิ คอื
n!
Cn , r = (n - r)!r! วธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 1 ในตะกรา้ ใบหนงึ่ มแี อปเปลิ 8 ผล และมังคดุ 4 ผล จงหาจำนวนวธิ ีในการเลอื กหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยบิ ได้
แอปเปิลทงั้ 4 ผล

วิธที ำ

จากโจทย์ มีแอปเปลิ ทง้ั หมด 8 ผล น่ันคอื n = 8 และต้องเลอื กมา 4 ผล นนั่ คือ r = 4 - 31 -

จะได้ว่า C8 , 4 = 8!
(8 - 4)!4!

= 8!
4!4!

= 8 x 7 x 6 x 5 x 4!
4 x 3 x 2 x 1 x 4!

= 2x7x5

= 70

ดังนั้น สามารถหยิบผลไมใ้ นตะกรา้ โดยทีห่ ยิบไดแ้ อปเปลิ ท้งั 4 ผล 70 วิธี

ตัวอยา่ งท่ี 2 ในตะกรา้ ใบหนง่ึ มีแอปเปลิ 4 ผล และมังคดุ 4 ผล จงหาจำนวนวธิ ีในการเลือกหยบิ ผลไม้ 4 ผล
โดยหยิบได้แอปเปิลทง้ั 1 ผล และ มงั คดุ 3 ผล

วธิ ที ำ

ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กหยิบแอปเปิล 1 ผล จาก 4 ผล จะได้วา่ n = 4 , r = 1

C4 , 1 = 4!
(4 - 1)!1!

= 4!
3!1!

= 4 x 3!
1 x 3!

=4

- 32 -

ขนั้ ตอนที่ 2 เลอื กหยิบมงั คดุ 3 ผล จาก 4 ผล จะได้วา่ n = 4 , r = 3

C4 , 3 = 4!
(4 - 3)!3!

= 4!
1!3!

= 4 x 3!
1 x 3!

=4
ดงั น้ัน สามารถเลอื กหยิบผลไม้ 4 ผล โดยหยบิ ได้แอปเปลิ ทงั้ 1 ผล และ มงั คุด 3 ผล ได้ 16 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 3 ถ้าต้องการเลอื กคณะกรรมการนักเรยี น 5 คน ซง่ึ ประกอบด้วยนกั เรียนชาย 3 คน และนักเรยี น
หญิง 2 คน จากผู้สมคั รนักเรียนชาย 5 คน และนักเรยี นหญิง 4 คน จงหาจำนวนวิธีในการเลอื ก
คณะกรรมการนกั เรยี นชุดน้ี

วิธที ำ

ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกคณะกรรมการผู้ชายจำนวน 3 คน จาก 5 คน จะไดว้ ่า n = 5 , r = 3

C5 , 3 = 5! = 5!
(5 - 3)!3! 2!3!

= 5 x 4 x 3! = 5x2
2 x 1 x 3!

= 10 - 33 -

ขนั้ ตอนท่ี 2 เลอื กคณะกรรมการผู้หญงิ จำนวน 2 คน จาก 4 คน จะได้ว่า n = 4 , r = 2

C4 , 2 = 4! = 4!
(4 - 2)!2! 2!2!

= 4 x 3 x 2! = 2x3
2 x 1 x 2!

=6

ดังนั้น สามารถเลอื กคณะกรรมการนกั เรยี นไดท้ ง้ั หมด 10 x 6 = 60 วิธี

คำชแ้ี จง จงวเิ คราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปน้ี โดยใช้ความรู้เรื่อง หลกั การจดั หมูข่ องส่ิงของที่แตกตา่ งกนั ทง้ั หมด

ขอ้ ท่ี 1 ถ้าตอ้ งการเลือกคณะกรรมการนกั เรียน 8 คน ซึ่งประกอบดว้ ยนกั เรียนชาย 3 คน และนักเรียน
หญงิ 5 คน จาก ผูส้ มัครนกั เรียนชาย 7 คน และนกั เรียนหญงิ 9 คน จงหาจำนวนวธิ ใี นการเลอื ก
คณะกรรมการนักเรียนชุดน้ี

วธิ ีทำ ขัน้ ตอนท่ี 1 เลอื กนกั เรยี นชาย 3 คน จากผู้สมัคร 7 คน นนั่ คือ r = 3 และ n = 7

จะได้ว่า C7 , 3 = 7! = 7! = 7 x 6 x 5 x 4! = 7 x 5 = 35 - 34 -
(7 - 3)!3! 4!3! 3 x 2 x 1 x 4!

ขนั้ ตอนที่ 2 เลือกนักเรยี นหญงิ 5 คน จากผูส้ มคั ร 9 คน น่ันคอื r = 5 และ n = 9

จะไดว้ า่ C9 , 5 = 9! = 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5!
(9 - 5)!5! 4!5! 4 x 3 x 2 x 1 x 5!

= 3 x 2 x 7 x 3 = 126

ดังนั้น สามารถเลือกคณะกรรมการนักเรยี นไดท้ งั้ หมด 35 x 126 = 4,410 วธิ ี

ข้อที่ 2 มีพนักงาน 10 คน ซ่งึ มี a , b และ c รวมอยูด่ ้วย ต้องการเลอื กพนักงานทั้งหมด 6 คน
เพือ่ เข้าอบรม จะมีวิธีเลอื กได้กว่ี ิธี ถ้าใน 6 คนนัน้ ต้องมี a , b และ c รวมอยูด่ ว้ ยเสมอ วิธีทำ

วธิ ที ำ

ขัน้ ตอนท่ี 1 เลือก a , b

จะไดว้ า่ n = 2 , r = 2

C2 , 2 = 2! = 2! = 2! = 1
(2 - 2)!2! 0!2! 1 x 2!

ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกนักเรยี นอกี 3 คน

จะไดว้ ่า n = 6 , r = 3

C6 , 3 = 6! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3! = 20
(6 - 3)!3! 3!3! 3 x 2 x 1 x 3!

ดงั นัน้ สามารถเลอื กนักเรียนไดท้ ั้งหมด 1 x 20 = 20 วิธี - 35 -

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. 2551. หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขัน้ พนื้ ฐาน พุทธศักราช 2551.กรงุ เทพฯ - 36 -
โรงพมิ พ์ชุมนมุ สหกรณก์ ารเกษตรแห่งประเทศไทย.

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และ รณชัย มาเจรฐิ ทรัพย.์ (2553). แบบฝกึ หัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
พ้นื ฐาน ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4-6 เล่ม 2. กรงุ เทพมหานคร : สำนักพิมพเ์ ดอะบุคส์.

ฉววี รรณ เศวตมาลย.์ 2545. การพัฒนาหลักสูตรคณติ ศาสตร.์ กรงุ เทพมหานคร : สวุ ีริยาสาสน.์
ทชิ ากร ทองระยับ ธนิน กระแสร์ และวนั ทนยี ์ นามสวัสดิ.์ (2557). ผลการใช้แบบฝกึ ทกั ษะ เร่อื ง

ความนา่ จะเปน็ กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ สําหรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 3 ท่เี รียนรู้
ตามทฤษฎคี อนสตรคั ติวสิ ต์.
กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณติ ศาสตร์ : ความน่าจะเปน็ กรุงเทพมหานคร :
สำนกั พิมพฟ์ ิสิกสเ์ ซน็ เตอร.์
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2554). หนงั สือเรยี นรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์
เลม่ 2 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4-6 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2554). หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์
เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4-6 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลาง
การศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.
ทินกฤต เรอื นสม (2560). รายงานการพัฒนาแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ความนา่ จะเป็น วิชาคณิตศาสตร์
พืน้ ฐาน สําหรบั นกั เรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5.
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2557). หนงั สอื เรียนรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 2
ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 กล่มุ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน
พทุ ธศักราช 2551. พิมพ์ครั้งที่ 5. กรุงเทพมหานคร: โรงพมิ พ์องคก์ ารค้า สกสค.
สริ ิพร ทพิ ยแคง. 2545. หลักสูตรและการสอนคณติ ศาสตร.์ กรงุ เทพ : พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.) จํากดั .
Dewey, J. (1963). Experience and education. New York: Macmilan Publishing Company.
Eves, Jamie H. (1990). An Introduction to the History of Mathematics. 6th Ed. USA:
Thomson Learning, Inc.

- 37 -