เอกสารประกอบการสอน เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณติ วเิ คราะห์

ครูผสู้ อน : นางสาววรรณา จิตรงาม
ครูผู้ชว่ ย โรงเรียนสมาคมปา่ ไม้แหง่ ประเทศไทยอทุ ศิ

ชอ่ื ………………………………………………………………………….
ชน้ั …………… หอ้ ง……………. เลขท…ี่ ……………..

โทรศพั ท์…………………………………………………………………..
บดั ด…้ี …………………………………………………………………………

รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ (ค30202)

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

เรขาคณติ วเิ คราะห์

3.1 ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั เรขรคณติ วเิ คราะห์ (Fundamental of Analytic Geometry)

1.) ระยะทางระหวา่ งจดุ สองจดุ (Distance between Two Points)
ถ้าจุด A และจดุ B เปน็ จดุ บนเสน้ จำนวนจรงิ แทนด้วยจำนวนจรงิ a และ b ตามลำดบั

AB
ab
ระยะทางระหว่างจดุ A และจุด B เทา่ กบั |a – b| หนว่ ย

และใชส้ ัญลักษณ์ AB หรอื |A̅B| แทนระยะทางระหวา่ งจุด A และจดุ B

นั่นคอื AB = |A̅B| = |a – b|

ซึง่ สามารถนำวธิ ีดงั กลา่ วข้างตน้ ไปใชห้ าระยะทางระหวา่ งจดุ สองจดุ บนระบบพกิ ัดฉาก ดงั นี้ หนา้ 1
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ทฤษฎบี ท 1
ถา้ A(x1 , y1) และ B(x2 , y2) เป็นจดุ ในระนาบ ระยะทางระหวา่ งจุด A และจดุ B

เท่ากบั √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 หน่วย

ตวั อยา่ งท่ี 1 ให้หาระยะทางระหวา่ งจดุ A และจดุ B ทก่ี ำหนดใหใ้ นแต่ละข้อตอ่ ไปนี้

1.1) A(5 , 4) , B(5 , 1) 1.2) A(6 , 2) , B(6 , 0)

วธิ ที ำ 1.1) A(5 , 4) , B(5 , 1)

จากโจทย์ A(5 , 4) , B(5 , 1) จะเห็นวา่ x1 = x2 ดังน้นั A̅B ขนานกบั แกน Y
Y

6

4 A(5 , 4)

2 B(5 , 1) X

-6 -4 -2 0 2 4 6

หนา้ 2

เนือ่ งจาก A̅B ขนานกบั แกน Y จะได้ |A̅B| = |y1 - y2|
= |4 – 1|
= |3|
=3

ดงั นนั้ ระยะทางระหวา่ งจุด A และจุด B เทา่ กับ 3 หน่วย
1.2) A(6 , 2) , B(6 , 0)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งท่ี 2 ให้หาระยะทางระหวา่ งจดุ A และจุด B ทกี่ ำหนดให้ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

2.1) A(6 , 0) , B(-1 , 0) 2.2) A(6 , 2) , B(-4 , 2)

วธิ ที ำ 2.1) A(6 , 0) , B(-1 , 0)

จากโจทย์ A(6 , 0) , B(-1 , 0) จะเหน็ วา่ y1 = y2 ดงั น้ัน A̅B ขนานกบั แกน X
Y

6

4

A(6 , 0)2 B(-1 , 0) X

-6 -4 -2 0 2 4 6

เน่ืองจาก A̅B ขนานกบั แกน X จะได้ |A̅B| = |x1 - x2| หนา้ 3
= |6 – (-1)|
= |6 + 1|
= |7|
=7

ดังน้นั ระยะทางระหว่างจุด A และจุด B เทา่ กบั 7 หนว่ ย
2.2) A(6 , 2) , B(-4 , 2)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งที่ 3 ใหห้ าระยะทางระหว่างจุด A และจุด B ทกี่ ำหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

3.1) A(3 , 7) , B(-3 , -1) 3.2) A(3 , 6) , B(-1 , 3)

วธิ ที ำ 3.1) A(3 , 7) , B(-3 , -1)

จากโจทย์ A(3 , 7) , B(-3 , -1) จะเห็นวา่ x1 ≠ x2 และ y1 ≠ y2
ดังน้นั A̅B ไม่ขนานกับแกน X และ แกน Y

8 Y A(3 , 7)

6

4

2

X

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

B(-3 , -1)

-2

เนอ่ื งจาก A̅B ไม่ขนานกบั แกน X และ แกน Y

จะได้ |A̅B| = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 หนา้ 4

= √(3 - (-3))2 + (7 - (-1))2 = √(3 + 3)2 + (7 + 1)2

= √62 + 82 = √36 + 64

= √100 = 10

ดงั น้นั ระยะทางระหวา่ งจุด A และจุด B เท่ากับ 10 หน่วย

3.2) A(3 , 6) , B(-1 , 3)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จิตรงาม

งานท่ี 1

ระยะทางระหวา่ งจดุ สองจดุ (Distance between Two Points)

ใหห้ าระยะทางระหวา่ งจดุ A และจดุ B ทีก่ ำหนดใหใ้ นแตล่ ะข้อต่อไปน้ี

1.) A(0 , -6) และ B(0 , 4) 2.) A(-7 , 0) และ B(-3 , 0)

3.) A(4 , 6) และ B(1 , 2) 4.) A(-2 , -6) และ B(-4 , -2)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หน้า 5

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หน้า 6
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สัง่ งานวันที่ …………../……………/……………
กำหนดสง่ …………../……………/……………

สง่ ตรงเวลา ………. สง่ ชา้ ………..
………………………………………………..

(วรรณา จิตรงาม)

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

ตวั อยา่ งท่ี 4 ให้หาพกิ ดั ของจดุ บนแกน X ซ่ึงหา่ งจากจุด A(3 , 6) และจดุ B(-1 , -6) เปน็ ระยะทางเท่ากนั
วธิ ที ำ

Y A(3 , 6)

6

4

2X

-4 -2 0 2 4 6

-2

B(-1 , -6)-4

-6

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หนา้ 7
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 5 ให้หาพิกดั ของจุดบนแกน X ซ่ึงห่างจากจุด A(3 , 5) และจุด B(-1 , -5) เปน็ ระยะทางเท่ากนั
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งที่ 6 ให้หาพกิ ัดของจุดบนแกน Y ซง่ึ ห่างจากจุด A(5 , 8) และจดุ B(-5 , -7) เปน็ ระยะทางเทา่ กนั หน้า 8
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 7 ใหห้ าพกิ ดั ของจดุ บนแกน Y ซงึ่ ห่างจากจดุ A(3 , 8) และจดุ B(-3 , -7) เปน็ ระยะทางเทา่ กนั
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

การตรวจสอบว่าจดุ A , B และ C เปน็ จุดท่อี ยบู่ นเสน้ ตรงเดียวกันหรอื ไม่ ตรวจสอบได้โดย
ถา้ |A̅B| + |̅A̅C̅| = |B̅C| แสดงวา่ A , B และ C เปน็ จุดทอี่ ยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ตวั อยา่ งที่ 8 ใหพ้ ิจารณาวา่ A(-2 , 8) , B(3 , -2) และ C(0 , 4) เป็นจดุ ทอี่ ยู่บนเสน้ ตรงเดียวกนั หรอื ไม่
วธิ ที ำ จาก |A̅B| + |A̅̅C̅| = |B̅C|

หา |A̅B| (จาก A(-2 , 8) , B(3 , -2))

จาก |A̅B| = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 = √(-2 - 3)2 + (8 - (-2))2 = √(-5)2 + (10)2

= √25 + 100 = √125 = √5 x 5 x 5 = 5√5
หา |A̅̅C̅| (จาก A(-2 , 8) , C(0 , 4))

จาก |A̅̅C̅| = √(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 = √(-2 - 0)2 + (8 - 4)2 = √(-2)2 + (4)2

= √4 + 16 = √20 = √5 x 2 x 2 = 2√5 หนา้ 9
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
เนอ่ื งจาก………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
น่นั คอื …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ดังนัน้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ตวั อยา่ งที่ 9 ให้พจิ ารณาว่า A(1 , 5) , B(3 , 7) และ C(-2 , 2) เป็นจุดท่ีอยู่บนเสน้ ตรงเดียวกันหรอื ไม่
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

งานที่ 2

ระยะทางระหวา่ งจดุ สองจดุ (Distance between Two Points)

1.) ให้หาพิกดั ของจดุ บนแกน X ซ่ึงห่างจากจดุ A(3 , 7) และจดุ B(-1 , -7) เปน็ ระยะทางเทา่ กนั หน้า 10
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.) ใหห้ าพิกดั ของจุดบนแกน Y ซงึ่ หา่ งจากจดุ A(6 , 2) และจดุ B(-6 , -2) เปน็ ระยะทางเทา่ กนั
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

3.) ใหพ้ จิ ารณาวา่ A(0 , -5) , B(-2 , -11) และ C(3 , 4) เป็นจดุ ทีอ่ ยูบ่ นเส้นตรงเดียวกนั หรอื ไม่ หน้า 11
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สงั่ งานวนั ท่ี …………../……………/……………
กำหนดสง่ …………../……………/……………

ส่งตรงเวลา ………. สง่ ช้า ………..
………………………………………………..

(วรรณา จติ รงาม)

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

2.) จดุ กงึ่ กลางระหวา่ งจดุ สองจดุ (Midpoint between Two Points)

กำหนด P(x̅ , y̅) เปน็ จดุ ก่งึ กลางระหว่างจดุ A(x1 , y+1)yแ2ละจดุ B(x2 , y2)
y̅ = y1 2
แล้ว x̅ = x1 + x2 และ
2

ตวั อยา่ งที่ 1 ให้หาจุดกงึ่ กลางระหวา่ ง A(8 , -2) และ B(2 , 6)

วธิ ที ำ กำหนดให้ P(x̅ , y)̅ เปน็ จดุ ก่ึงกลางระหวา่ งจดุ A(8 , -2) และ B(2 , 6)

1.) หา x̅ x1 + x2 8+2 10
2 2 2
จาก x̅ = = = = 5

2.) หา y̅ y1 + y2 -2 + 6 4
2 2 2
จาก y̅ = = = = 2

ดังนั้น จุดก่งึ กลางระหว่างจดุ A(8 , -2) และ B(2 , 6) คือ (5 , 2)

ตวั อยา่ งท่ี 2 ใหห้ าจุดก่งึ กลางระหวา่ ง A(-7 , 3) และ B(5 , 5)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. หน้า 12

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งท่ี 3 ใหห้ าจดุ กึ่งกลางระหวา่ ง A(-10 , 8) และ B(4 , -4)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จิตรงาม

ตวั อยา่ งที่ 4 ถา้ P(-4 , 1) เปน็ จุดก่งึ กลางระหว่างจดุ A(6 , -3) และจดุ B(x, y) ใหห้ าค่าของ x และ y

วธิ ที ำ เนอ่ื งจาก P(-4 , 1) เปน็ จดุ กึ่งกลางระหวา่ งจดุ A(6 , -3) และจดุ B(x, y)

จาก P(x̅ , y)̅ เป็นจุดกง่ึ กลางระหว่างจุด A(x1 , y1) และจุด B(x2 , y2)
ดงั นนั้ x̅ = -4 และ y̅ = 1
x1 + x2 y1 + y2
หาคา่ x จาก x̅ = 6 +2x หาคา่ y จาก y̅ = -3 +2 y
-4 = 1 =
2 2
-4 x 2 = 6 + x 1 x 2 = -3 + y

-8 = 6 + x 2 = -3 + y

-8 – 6 = x 2+3=y

x = -14 y=5

ดงั นัน้ x = -14 และ y = 5

ตวั อยา่ งท่ี 5 ถา้ P(-1 , 3) เป็นจดุ กง่ึ กลางระหวา่ งจุด A(8 , -2) และจดุ B(x, y) ให้หาค่าของ x และ y

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. หนา้ 13
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

งานท่ี 3
จดุ กง่ึ กลางระหวา่ งจดุ สองจดุ (Midpoint between Two Points)

1.) ให้หาจดุ กึ่งกลางระหว่างจดุ A และจดุ B ทก่ี ำหนดใหใ้ นแตล่ ะข้อต่อไปน้ี

1.1) A(8 , -4) และ B(-6 , 8) 1.2) A(5 , -10) และ B(4 , 12)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.) ถ้า P(5 , -1) เปน็ จดุ ก่ึงกลางระหวา่ งจุด A(x , y) และจุด B(-2 , -3) ให้หาค่าของ x และ y หนา้ 14

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ส่ังงานวันที่ …………../……………/……………
กำหนดส่ง …………../……………/……………

สง่ ตรงเวลา ………. สง่ ช้า ………..
………………………………………………..

(วรรณา จติ รงาม)

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

3.) ความชนั ของเสน้ ตรง (Gradient of a Straight Line)

บทนยิ าม

ให้ l เป็นเส้นตรงที่ผา่ นจุด A(x1 , y1) และจุด B(x2 , yy21) โดยท่ี x1 ≠ x2
m เปน็ ความชันของเสน้ ตรง ก็ต่อเมื่อ m = x1 - y2
l - x2

กรณเี สน้ ตรงขนานกบั แกน X

…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….

กรณเี สน้ ตรงขนานกบั แกน Y หน้า 15

…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งท่ี 1 ใหห้ าความชนั ของเสน้ ตรงทผี่ า่ นจุด 1.) A(5 , 6) และ B(8 , 6) 2.) A(-2 , -3) และ B(4 , -3)

วธิ ที ำ จากโจทย์ x1 = 5 , y1 = 6 . ………………………………………………………………………
x2 = 8 , y2 =6 ………………………………………………………………………
จากสูตรการหาความชนั m y1 - y2 ………………………………………………………………………
6 = x1 - x2 ………………………………………………………………………
6- ………………………………………………………………………
แทนค่า m = ………………………………………………………………………
= 50- 8 ………………………………………………………………………
-3 =0 ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
ดังน้ัน ความชนั ของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ A(5 , 6) ………………………………………………………………………

และ B(8 , 6) เทา่ กบั 0

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งที่ 2 ใหพ้ ิจารณาวา่ เสน้ ตรงท่ีลากผา่ นจุดสองจดุ ทก่ี ำหนดให้ในแตล่ ะข้อ ขนานกบั แกน X หรอื ขนานกบั แกน Y

หรอื ไม่ขนานทงั้ แกน X และแกน Y

1.) (3 , 4) และ (-3 , 4) 2.) (5 , 10) และ (5 , 0)

3.) (8 , -2) และ (7 , -5) 4.) (1 , 2) และ (1 , 5)

5.) (-3 , 7) และ (10 , 7) 6.) (-5 , -1) และ (5 , 1)

วธิ ที ำ 1.) (3 , 4) และ (-3 , 4) ………………………………………………………………
พิจารณาเสน้ ตรง (3 , 4) และ (-3 , 4) ………………………………………………………………
………………………………………………………………
เนอื่ งจาก y1 = 4 และ y2 = 4 ………………………………………………………………
นน่ั คือ y1 = y2 ………………………………………………………………
ดังน้นั เสน้ ตรง (3 , 4) และ (-3 , 4)

ขนานกบั แกน X ………………………………………………………………

………………………………………………………………

………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ……………………………………………………………… หนา้ 16

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………………………………………………………… ………………………………………………………………

……………… ………………

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งท่ี 3 ใหห้ าความชนั ของเสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ 1.) A(0 , 4) และ B(5 , 3) 2.) A(2 , 5) และ B(4 , 10)

วธิ ที ำ จากโจทย์ x1 = 0 , y1 = 4 . ………………………………………………………………………

x2 = 5 , y2 =3 ………………………………………………………………………
m y1 - y2 ………………………………………………………………………
จากสูตรการหาความชนั 3 = x1 - x2 ………………………………………………………………………
5 ………………………………………………………………………
แทนคา่ m = 4- ………………………………………………………………………
= 01 - ………………………………………………………………………
-5 ………………………………………………………………………
ดงั น้ัน ความชนั ของเส้นตรงทีผ่ ่านจดุ A(0 , 4) ………………………………………………………………………
1 ………………………………………………………………………
และ B(5 , 3) เท่ากบั -5

ตวั อยา่ งท่ี 4 ใหห้ าคา่ ของ x ทที่ ำใหเ้ สน้ ตรงทผ่ี า่ นจดุ A และจุด B มคี วามชนั เท่ากบั m ตามทกี่ ำหนดให้ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้
1.) A(4 , -5) , B(1 , x) และ m = 2 2.) A(x , 2) , B(-6 , 0) และ m = -31
วธิ ที ำ 1.) A(4 , -5) , B(1 , x) และ m = 2
………………………………………………………………………
จากโจทย์ x1 = 4 , y1 = -5
x2 = 1 , y2 = x และ m = 2 ……………………………………………………………………… หน้า 17
จากสูตรการหาความชัน m = y1 - y2 ………………………………………………………………………
x1 - x2 ………………………………………………………………………
-5 - x ………………………………………………………………………
แทนค่า 2 = ………………………………………………………………………
2 = -45--1x ………………………………………………………………………
3 ………………………………………………………………………
2 x 3 = -5 – x ………………………………………………………………………

6 = -5 – x ………………………………………………………………………

x = -5 – 6 ………………………………………………………………………

x = -11 ………………………………………………………………………

ดงั น้นั x = -11 ………………………………………………………………………

………………………………………………………………………..

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

งานท่ี 4

ความชนั ของเสน้ ตรง (Gradient of a Straight Line)

1.) ใหห้ าความชนั ของเสน้ ตรงทผี่ ่านจุด A และจดุ B ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

1.1) A(4 , 3) และ B(2 , 0) 1.1) A(0 , -3) และ B(7 , 2)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.) ใหห้ าคา่ ของ x ทที่ ำใหเ้ สน้ ตรงที่ผ่านจุด A และจดุ B มคี วามชนั เทา่ กบั m ตามท่ีกำหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้

2.1) A(x , 3) , B(4 , -2) และ m = 1 1.1) A(0 , 5) , B(6 , x) และ m = -3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หน้า 18

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สัง่ งานวันท่ี …………../……………/……………
กำหนดสง่ …………../……………/……………

สง่ ตรงเวลา ………. สง่ ช้า ………..
………………………………………………..

(วรรณา จิตรงาม)

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ลกั ษณะของเสน้ ตรงกบั คา่ ของความชนั

กรณที ี่ 1 x1 < x2 และ y1 < y2 จะได้ว่า ……………………………………………………………………………….
กรณที ่ี 2 x1 > x2 และ y1 > y2 จะไดว้ ่า ……………………………………………………………………………….

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงพจิ ารณาวา่ ความชนั ของเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด A และจดุ B มคี ่ามากกวา่ หรอื น้อยกว่า 0 พรอ้ มทงั้ หาความชนั

1.) (-2 , 4) , (5 , 8) 2.) (-3 , 2) , (6 , 4)

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

3.) (7 , 6) , (-1 , 0) 4.) (-1 , 4) , (2 , -3)

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………… ………………………………………………………………… หน้า 19

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………

จุดที่อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกนั
A , B และ C เปน็ จุดท่อี ยูบ่ นเสน้ ตรงเดียวกัน ก็ตอ่ เมอ่ื ความชนั ของ A̅B เทา่ กบั ความชนั ของ B̅C

ตวั อยา่ งที่ 6 กำหนดให้ A(-2 , 1) , B(1 , 4) และ C(4 , 7) จงพิจารณาว่าจดุ A , B และ C อยูบ่ นเส้นตรงเดยี วกนั
หรอื ไม่

วธิ ที ำ ………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งที่ 7 กำหนดให้ A(6 , 1) , B(3 , 2) และ C(-3 , 4) จงพิจารณาวา่ จดุ A , B และ C อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกนั หนา้ 20
หรอื ไม่

วธิ ที ำ ………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งท่ี 8 กำหนดให้ A(-2 , 1) , B(1 , 4) และ C(4 , 7) จงพิจารณาว่าจุด A , B และ C อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกนั
หรอื ไม่

วธิ ที ำ ………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 9 กำหนดให้ A(1 , 3) , B(4 , 9) และ C(7 , 13) จงพิจารณาวา่ จุด A , B และ C อยบู่ นเสน้ ตรงเดยี วกัน
หรอื ไม่

วธิ ที ำ ………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

งานที่ 5

ความชนั ของเสน้ ตรง (Gradient of a Straight Line)

พิจารณาว่า จดุ A , จดุ B และจุด C ในแตล่ ะข้ออยบู่ นเส้นตรงเดียวกนั หรือไม่ หนา้ 21
1.) A(3 , 4) , B(5 , 7) และ C(9 , 13)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.) A(5 , 2) , B(6 , -1) และ C(7 , -4)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.) A(-1 , 2) , B(4 , 9) และ C(7 , 15)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สั่งงานวนั ที่ …………../……………/……………
กำหนดส่ง …………../……………/……………

ส่งตรงเวลา ………. สง่ ช้า ………..
………………………………………………..

(วรรณา จิตรงาม)

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จิตรงาม

4. เสน้ ขนาน (Paralel Lines)
ทฤษฎบี ท

เสน้ ตรงสองเสน้ ทีไ่ ม่ขนานกบั แกน Y จะขนานกัน กต็ ่อเมอื่ ความชันของเสน้ ตรงทง้ั สองเทา่ กัน

ตวั อยา่ งที่ 1 ให้พิจารณาว่า A⃡ B ท่ผี า่ นจดุ A และจดุ B ขนานกบั ⃡CD ที่ผ่านจุด C และจดุ D ทก่ี ำหนดให้ต่อไปน้หี รอื ไม่ หนา้ 22
1.1) A(1 , -2) , B(6 , 3) , C(-2 , -4) และ D(3 , 3)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2) A(2 , 2) , B(3 , 1) , C(8 , -3) และ D(5 , 0)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3) A(3 , 5) , B(-2 , 6) , C(4 , 4) และ D(3 , 8)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.4) A(5 , 7) , B(5 , 4) , C(3 , -6) และ D(3 , 2)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งท่ี 2 ใหห้ าคา่ ของ x ทที่ ำใหเ้ สน้ ตรงทผี่ ่านจดุ A(x , 0) และจดุ B(-5 , 2) ขนานกบั เส้นตรงทผี่ า่ นจุด C(1 , -3) หนา้ 23
และจุด D(4 , 2)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 3 ใหห้ าค่าของ x ทท่ี ำให้เสน้ ตรงท่ีผ่านจดุ A(x , 0) และจดุ B(1 , 3) ขนานกบั เสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ C(2 , 4)

และจุด D(5 , 1)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

งานท่ี 6

ความชนั ของเสน้ ตรง (Gradient of a Straight Line)

1. ใหพ้ จิ ารณาว่า A⃡ B ท่ผี ่านจุด A และจุด B ขนานกับ C⃡ D ท่ผี า่ นจดุ C และจุด D ทก่ี ำหนดให้ต่อไปนห้ี รอื ไม่

1.1) A(3 , 6) , B(-2 , 4) , C(5 , 5) และ D(0 , 3)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.2) A(-1 , 4) , B(6 , 0) , C(-8 , -2) และ D(-1 , 2)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หน้า 24

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ให้หาคา่ ของ x ทท่ี ำให้เส้นตรงทผ่ี ่านจดุ A(5 , 4) และจุด B(2 , -2) ขนานกบั เสน้ ตรงท่ีผ่านจุด C(-6 , 9) และ

จดุ D(x , 7)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….. สง่ั งานวนั ท่ี …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. กำหนดสง่ …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. สง่ ตรงเวลา ………. สง่ ช้า ………..

………………………………………………………………………………………. ………………………………………………..

(วรรณา จติ รงาม)

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

5. เสน้ ตงั้ ฉาก (Perpendicular Line)
ทฤษฎบี ท
เสน้ ตรงสองเสน้ ท่ไี มข่ นานกบั แกน Y จะต้งั ฉากกนั กต็ อ่ เมอื่ ผลคณู ของความชนั ของเส้นตรงทง้ั สองเทา่ กบั -1

ตวั อยา่ งท่ี 1 กำหนดเสน้ ตรงซงึ่ ผา่ นจุด A(2 , 3) และจุด B(-3 , -4) และเส้นตรงทผี่ า่ นจดุ C(5 , 1) และจุด D(-2 , 6)

จงพิจารณาว่าเส้นตรงทงั้ สองเสน้ นตี้ ั้งฉากกนั หรือไม่

วธิ ที ำ ขนั้ ตอนที่ 1 หาความชนั ของเสน้ ตรง AB
y1 - y2
จากสูตร m = x1 - x2

แทนค่า m = 3 - (-4) = 3+4 = 7
2 - (-3) 2+3 5

ขน้ั ตอนที่ 2 หาความชนั ของเสน้ ตรง AB
y1 - y2
จากสูตร m =
แทนค่า m = x1 - x-2 6 -5 -5
1 5+2 7
= =
5 - (-2)
หนา้ 25
ขน้ั ตอนท่ี 3 พจิ ารณาผลคูณของความชนั ของเสน้ ตรง AB กบั ความชนั ของเสน้ ตรง AB
7
ความชันของเสน้ ตรง AB x ความชันของเสน้ ตรง AB = 5 x (-75) = -1

เนอ่ื งจาก ผลคณู ของความชนั ของเสน้ ตรงทงั้ สองเทา่ กบั -1

ดังนั้น เสน้ ตรงซ่งึ ผา่ นจุด A(2 , 3) และจุด B(-3 , -4) ต้ังฉากกบั เสน้ ตรงท่ผี า่ นจดุ C(5 , 1)

และจุด D(-2 , 6)

ตวั อยา่ งที่ 2 กำหนดเส้นตรงซ่งึ ผา่ นจุด A(5 , 7) และจุด B(8 , 4) และเสน้ ตรงทผี่ ่านจดุ C(-3 , 2) และจดุ D(-8 , -3)

จงพิจารณาว่าเสน้ ตรงทงั้ สองเสน้ น้ีตั้งฉากกนั หรอื ไม่

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

ตวั อยา่ งท่ี 3 กำหนดเส้นตรงซง่ึ ผา่ นจดุ A(0 , -2) และจุด B(1 , 4) และเสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ C(3 , 0) และจดุ D(-3 , 1) หน้า 26
จงพิจารณาวา่ เส้นตรงทัง้ สองเสน้ นี้ตั้งฉากกนั หรือไม่

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 4 กำหนดเสน้ ตรงซงึ่ ผ่านจุด A(2 , 3) และจดุ B(-3 , -4) และเส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ C(x , 1) และจดุ D(-2 , 6)

ถา้ A̅B ตง้ั ฉากกบั B̅C แล้วคา่ x เท่ากบั เทา่ ใด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 5 กำหนดเสน้ ตรงซง่ึ ผ่านจดุ A(5 , 7) และจุด B(8 , 4) และเส้นตรงท่ผี า่ นจดุ C(-3 , 2) และจดุ D(x , -3)

ถา้ A̅B ต้ังฉากกบั B̅C แล้วคา่ x เท่ากบั เทา่ ใด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

6. ความสมั พนั ธท์ มี่ กี ราฟเปน็ เสน้ ตรง

1.) ความสมั พนั ธซ์ งึ่ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงทข่ี นานกบั แกน X

Y

(0 , b) l กำหนด l เปน็ เสน้ ตรงทข่ี นานกบั แกน X

ดังนัน้ เสน้ ตรง l ย่อมตัง้ ฉากกับแกน Y

X และตดั แกน Y ทจ่ี ดุ (0 , b)

ความสัมพนั ธซ์ ึ่งมกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงที่ขนานกบั แกน X คอื {(x , y) ∈ R x R | y = b} หน้า 27
ถา้ b เปน็ จำนวนจรงิ บวก แลว้ เสน้ ตรง l จะอยูเ่ หนอื แกน X และหา่ งจากแกน X เป็นระยะ b หนว่ ย
ถา้ b = 0 แลว้ เสน้ ตรง l จะทับแกน X
ถ้า b เปน็ จำนวนจริงลบ แล้วเส้นตรง l จะอยู่ใตแ้ กน X และหา่ งจากแกน X เป็นระยะ |b| หนว่ ย

ตวั อยา่ งที่ 1 ใหเ้ ขยี นกราฟของความสมั พันธ์ {(x , y) ∈ R x R | y = 6}
วธิ ที ำ พิจารณา {(x , y) ∈ R x R | y = 6}

จาก y = 6
จะเหน็ วา่ a = 6 ซง่ึ 6 > 0
ดังนั้น กราฟของความสมั พนั ธ์ {(x , y) ∈ R x R | y = 6}

อยูเ่ หนอื แกน X

ตวั อยา่ งที่ 2 ใหเ้ ขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ {(x , y) ∈ R x R | y = -3}
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 3 ใหเ้ ขียนกราฟของความสมั พันธ์ {(x , y) ∈ R x R | y = 0}
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

2.) ความสมั พนั ธซ์ งึ่ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงทข่ี นานกบั แกน Y

Yl

(0 , b) กำหนด l เปน็ เสน้ ตรงท่ขี นานกบั แกน Y

ดงั นน้ั เส้นตรง l ยอ่ มต้ังฉากกบั แกน X

X และตัดแกน X ท่จี ดุ (a , 0)

ความสัมพนั ธซ์ ึง่ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงที่ขนานกบั แกน X คือ {(x , y) ∈ R x R | x = a} หน้า 28
ถ้า a เป็นจำนวนจรงิ บวก แล้วเส้นตรง l จะอยู่ทางขวาของแกน Y และหา่ งจากแกน Y เปน็ ระยะ a หนว่ ย
ถ้า a = 0 แลว้ เสน้ ตรง l จะทบั แกน Y
ถา้ a เปน็ จำนวนจรงิ ลบ แลว้ เสน้ ตรง l จะอยูท่ างซ้ายของแกน Y และห่างจากแกน Y เปน็ ระยะ |a| หนว่ ย

ตวั อยา่ งที่ 4 ให้เขยี นกราฟของความสัมพันธ์ {(x , y) ∈ R x R | x = 0}
วธิ ที ำ พิจารณา {(x , y) ∈ R x R | x = 0}

จาก x = 0
จะเห็นว่า a = 0
ดงั น้ัน กราฟของความสมั พนั ธ์ {(x , y) ∈ R x R | x = 0}

ทบั แกน Y

ตวั อยา่ งที่ 5 ให้เขยี นกราฟของความสมั พันธ์ {(x , y) ∈ R x R | x = -5}
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 6 ใหเ้ ขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ {(x , y) ∈ R x R | x = 9}
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

3.) ความสมั พนั ธซ์ ง่ึ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงท่ีไมข่ นานกบั แกน X และไมข่ นานกบั แกน Y

3.1) ความสมั พนั ธซ์ ง่ึ มกี ราฟเปน็ สน้ ตรงทผี่ า่ นจดุ 1 จดุ และมคี วามชนั m
ความสัมพนั ธซ์ ่งึ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ (x1 , y1) และมคี วามชนั m คอื
{(x , y) ∈ R x R | y - y1 = m(x - x1)}

#สมการเสน้ ตรงทม่ี กี ราฟผา่ นจดุ 1 จดุ และมคี วามชนั m คอื y - y1 = m(x - x1)

ตวั อยา่ งที่ 7 ให้หาสมการเสน้ ตรงทม่ี คี วามชนั เปน็ 2 และผ่านจุด (2 , 8) หน้า 29

วธิ ที ำ จากโจทย์ m = 2 , x1 = 2 และ y1 = 8
จากสมการเสน้ ตรง y - y1 = m(x - x1)
แทนคา่ y – 8 = 2(x - 2)
y – 8 = 2x – 4
y – 8 – 2x + 4 = 0
–2x + y – 4 = 0
ดงั น้ัน สมการเส้นตรงทีท่ ม่ี คี วามชนั เปน็ 2 และผ่านจุด (2 , 8) คอื –2x + y – 4 = 0

ตวั อยา่ งท่ี 8 ให้หาสมการเสน้ ตรงท่ีมคี วามชนั เปน็ 5 และผ่านจดุ (-2 , 4)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 9 ใหห้ าสมการเสน้ ตรงทีม่ คี วามชนั เปน็ -3 และผ่านจุด (-1 , -5)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งที่ 10 ให้หาสมการเสน้ ตรงทม่ี คี วามชนั เปน็ -7 และผ่านจุด (2 , -1)
4
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
-4
ตวั อยา่ งท่ี 11 ใหห้ าสมการเสน้ ตรงทมี่ คี วามชนั เปน็ 5 และผา่ นจดุ (-2 , -6)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หน้า 30

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 12 ใหห้ าสมการเสน้ ตรงท่ผี ่านจดุ (-4 , 1) และจุด (-2 , -5)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งที่ 13 ให้หาสมการเส้นตรงท่ผี า่ นจุด (-1 , 7) และจดุ (-4 , -8)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

หน้า 31

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จิตรงาม

งานที่ 7

ความสมั พนั ธท์ ม่ี กี ราฟเปน็ เสน้ ตรง

1.) จงพิจารณาวา่ กราฟของความสมั พันธต์ ่อไปนี้ขนานกบั แกน X ขนานกบั แกน Y
1.1) {(x , y) ∈ R x R | y = 6} ตอบ…………………………………………………………………
1.2) {(x , y) ∈ R x R | x = 2} ตอบ…………………………………………………………………
1.3) {(x , y) ∈ R x R | y = -16} ตอบ…………………………………………………………………
1.4) {(x , y) ∈ R x R | y = 0} ตอบ…………………………………………………………………
1.5) {(x , y) ∈ R x R | x = 9} ตอบ…………………………………………………………………
1.6) {(x , y) ∈ R x R | x = -4} ตอบ…………………………………………………………………

2.) ใหห้ าสมการเสน้ ตรงท่ีมคี วามชนั เปน็ 3 และผา่ นจดุ (1 , 5)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หนา้ 32
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.) ใหห้ าสมการเส้นตรงทมี่ คี วามชนั เปน็ 5 และผา่ นจุด (-5 , 15)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.) ใหห้ าสมการเส้นตรงทมี่ คี วามชนั เปน็ -7 และผ่านจุด (-1 , -9)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….. สง่ั งานวนั ท่ี …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. กำหนดสง่ …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. สง่ ตรงเวลา ………. สง่ ช้า ………..

………………………………………………………………………………………. ………………………………………………..

(วรรณา จิตรงาม)

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

3.2) ความสมั พนั ธซ์ งึ่ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงทมี่ คี วามชนั m และตดั แกน Y ทจี่ ดุ (0 , c) (Y – Intercept Form)

ความสมั พนั ธซ์ ง่ึ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรงท่ีมคี วามชนั m และตัดแกน Y ทจี่ ุด (0 , c) คอื
{(x , y) ∈ R x R | y = mx + c}

#สมการเสน้ ตรงทมี่ คี วามชนั m และตดั แกน Y ทจ่ี ดุ (0 , c) คอื y = mx + c

ตวั อยา่ งท่ี 14 ใหห้ าสมการเสน้ ตรงท่ีมคี วามชนั เปน็ -7 และตัดแกน Y ทีจ่ ดุ (0 , -2)

วธิ ที ำ จากโจทย์ m = -7 , และ c = -2

จากสมการเสน้ ตรง y = mx + c

แทนคา่ y = -7x + (-2)

y = -7x – 2

ดงั น้นั สมการเส้นตรงท่มี คี วามชนั เปน็ -7 และผา่ นจดุ (0 , -2) คอื y = -7x – 2

ตวั อยา่ งที่ 15 ให้หาสมการเสน้ ตรงทมี่ ีความชนั เปน็ 4 และตดั แกน Y ทจี่ ดุ (0 , 9)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หน้า 33

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
-4
ตวั อยา่ งท่ี 16 ใหห้ าสมการเสน้ ตรงทม่ี ีความชนั เปน็ 5 และตัดแกน Y ทจ่ี ดุ (0 , 11)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งที่ 17 กำหนดสมการของเสน้ ตรงเปน็ 4x + y = 5 หนา้ 34
1.) ใหห้ าความชนั ของเสน้ ตรง 2.) ให้หาจุดทเ่ี สน้ ตรงตัดแกน X และตัดแกน Y
3.) ให้เขียนกราฟของเสน้ ตรง

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………N……o……t……e ………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 18 กำหนดสมการของเสน้ ตรงเปน็ -2x + 5y = -10

1.) ใหห้ าความชนั ของเส้นตรง 2.) ให้หาจดุ ทเี่ สน้ ตรงตัดแกน X และตัดแกน Y
3.) ให้เขียนกราฟของเสน้ ตรง
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

งานท่ี 8

ความสมั พนั ธท์ มี่ กี ราฟเปน็ เสน้ ตรง

1.) ให้หาสมการเสน้ ตรงทม่ี คี วามชนั เปน็ -5 และตดั แกน Y ท่จี ุด (0 , -11)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.) ให้หาสมการเสน้ ตรงที่มคี วามชนั เปน็ 3 และตดั แกน Y ท่ีจดุ (0 , 5)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หนา้ 35
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1
3.) ให้หาสมการเสน้ ตรงทม่ี คี วามชนั เปน็ 6 และตัดแกน Y ที่จดุ (0 , 6)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….. สงั่ งานวนั ท่ี …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. กำหนดสง่ …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. สง่ ตรงเวลา ………. สง่ ช้า ………..

………………………………………………………………………………………. ………………………………………………..

(วรรณา จิตรงาม)

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม

สมการเส้นตรงในรูปท่ัวไป คอื Ax + By + C = 0 ถ้า A ≠ 0 และ B ≠ 0

จะไดว้ ่า กราฟเสน้ ตรง Ax + By + C = 0 มคี วามชัน (m) เทา่ กบั -AB และผ่านจดุ (0 , - CB)

ตวั อยา่ งที่ 19 ให้เขยี นสมการเสน้ ตรง 7x – 5y = 13 ในรูปท่ัวไป พรอ้ มหาความชนั ของเสน้ ตรงและบอกว่าเส้นตรงผ่านจุดใด หน้า 36
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 20 ให้เขียนสมการเส้นตรง 3x + 4y = 7 ในรูปท่วั ไป พร้อมหาความชนั ของเส้นตรงและบอกวา่ เส้นตรงผ่านจุดใด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 21 ใหเ้ ขียนสมการเส้นตรง -2x – 8y = 10 ในรูปทวั่ ไป พรอ้ มหาความชนั ของเส้นตรงและบอกว่าเส้นตรงผ่านจดุ ใด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 22 ใหเ้ ขยี นสมการเสน้ ตรง -5x + 15y = 9 ในรูปทวั่ ไป พรอ้ มหาความชนั ของเสน้ ตรงและบอกว่าเสน้ ตรงผ่านจุดใด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

งานที่ 9

ความสมั พนั ธท์ มี่ กี ราฟเปน็ เสน้ ตรง

1.) ใหเ้ ขียนสมการเสน้ ตรง 9x – y = -2 ในรูปทว่ั ไป พรอ้ มหาความชันของเสน้ ตรงและบอกว่าเสน้ ตรงผา่ นจดุ ใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.) ใหเ้ ขยี นสมการเสน้ ตรง x + 2y = -6 ในรูปทว่ั ไป พร้อมหาความชนั ของเสน้ ตรงและบอกว่าเสน้ ตรงผา่ นจดุ ใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หน้า 37
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.) ใหเ้ ขยี นสมการเสน้ ตรง 21x – 9y = 22 ในรูปท่ัวไป พรอ้ มหาความชนั ของเสน้ ตรงและบอกว่าเส้นตรงผา่ นจุดใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4.) ใหเ้ ขยี นสมการเส้นตรง 7x + 17y = 13 ในรปู ทั่วไป พร้อมหาความชนั ของเสน้ ตรงและบอกวา่ เสน้ ตรงผา่ นจุดใด

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….. สงั่ งานวนั ท่ี …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. กำหนดส่ง …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. สง่ ตรงเวลา ………. ส่งช้า ………..

………………………………………………………………………………………. ………………………………………………..

(วรรณา จติ รงาม)

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จิตรงาม

7. ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงกบั จดุ และระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงสองเสน้ ทขี่ นานกนั
7.1 ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงกบั จดุ

ทฤษฎบี ท

ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง Ax + By + C = 0 กับจดุ (x1 , y1) คอื

d = |Ax1 + By1 + C| หนว่ ย
√A2 + B2

ตวั อยา่ งท่ี 1 ให้หาระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรง 3x + 4y – 9 = 0 กบั จุด (2 , -3) หนา้ 38
วธิ ที ำ จากสมการเสน้ ตรง 3x + 4y – 9 = 0 และ จดุ (2 , -3)

จะไดว้ ่า A = 3 , B = 4 , C = -9 , x1 = 2 และ y1 = -3
จากสูตรการหาระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงจะได้ว่า

d = |Ax1 + By1 + C| = |(3)(2) + (4)(-3) + (-9)| = |6 - 12 - 9| = |-15| = 15 = 3
√A2 + B2 √(3)2 + (4)2 √9 +16 √25 5

ดงั นั้น ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรง 3x + 4y – 9 = 0 กบั จดุ (2 , -3) เทา่ กบั 3 หนว่ ย

ตวั อยา่ งท่ี 2 ให้หาระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรง 5x + 12y + 7 = 0 กบั จดุ (-1 , 2)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวั อยา่ งที่ 3 ให้หาระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรง 3x + 4y - 13 = 0 กบั จุด (2 , 8)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จิตรงาม

ตวั อยา่ งที่ 4 ใหห้ าความยาวของรัศมีวงกลมท่มี จี ุด (-1 , 3) เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง และมเี สน้ ตรง x – y = 4 เปน็ เสน้ สมั ผสั หน้า 39
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 5 ใหห้ าความยาวของรัศมวี งกลมท่ีมจี ดุ (2 , 3) เปน็ จดุ ศูนยก์ ลาง และมีเสน้ ตรง 7x + 24y = 11 เปน็ เสน้ สมั ผัส
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 6 ใหห้ าสมการเสน้ ตรงท่ขี นานกบั เสน้ ตรง 12y = 5x – 7 และอยูห่ ่างจากจุด (1 , -2) เท่ากับ 3 หนว่ ย
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วิเคราะห์ : วรรณา จิตรงาม

ตวั อยา่ งท่ี 7 ใหห้ าสมการเสน้ ตรงท่ขี นานกบั เสน้ ตรง 5y = 3x – 9 และอยูห่ า่ งจากจุด (2 , -4) เท่ากบั 2 หนว่ ย
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

หนา้ 40

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จิตรงาม

งานที่ 10

ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงกบั จดุ

1.) ให้หาระยะห่างระหวา่ งเสน้ ตรง 5x + 12y + 7 = 0 กบั จุด (-1 , 2)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.) ให้หาระยะห่างระหว่างเสน้ ตรง 6x + 8y = 20 กบั จดุ (0 , 4)

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.) ใหห้ าความยาวของรัศมวี งกลมทม่ี จี ดุ (-1 , 5) เปน็ จุดศูนย์กลาง และมีเสน้ ตรง 2x + 4y = 2 เปน็ เสน้ สมั ผัส หน้า 41

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4.) ให้หาสมการเสน้ ตรงท่ขี นานกบั เสน้ ตรง 8y = 6x – 2 และอยู่ห่างจากจดุ (-1 , 2) เท่ากบั 4 หนว่ ย

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….. สง่ั งานวนั ท่ี …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. กำหนดสง่ …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. สง่ ตรงเวลา ………. สง่ ช้า ………..

………………………………………………………………………………………. ………………………………………………..

………………………………………………………………………………………. (วรรณา จติ รงาม)

เรขาคณิตวิเคราะห์ : วรรณา จติ รงาม
7.2 ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงสองเสน้ ทข่ี นานกนั

ทฤษฎบี ท

ระยะห่างระหวา่ งเส้นตรง Ax + By + C1 = 0 และเสน้ ตรง Ax + By + C2 = 0 คอื
d = √|CA12-+C2B|2หน่วย

ตวั อยา่ งท่ี 8 ให้หาระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรง 3x + 4y – 7 = 0 กบั เสน้ ตรง 3x + 4y + 18 = 0 หน้า 42
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 9 ใหห้ าระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรง 6x – 8y + 5 = 0 กบั เสน้ ตรง 6x - 8y - 15 = 0
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

ตวั อยา่ งท่ี 10 ใหห้ าระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรง 4x + 3y – 3 = 0 กับเสน้ ตรง 4x + 3y + 7 = 0 หน้า 43
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 11 ถา้ เสน้ ตรง 12x + 5y – 10 = 0 เป็นเสน้ ตรงทอี่ ยู่กง่ึ กลางระหวา่ งเสน้ ตรงขนานคูห่ น่งึ ซงึ่ อยูห่ ่างกนั 8 หนว่ ย

ให้หาสมการเส้นขนานคนู่ ้ี
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งท่ี 12 ถ้าเสน้ ตรง 5x + 12y + 19 = 0 เปน็ เสน้ ตรงทอ่ี ยู่กึง่ กลางระหวา่ งเสน้ ตรงขนานคูห่ นงึ่ ซง่ึ อยูห่ า่ งกนั 6 หน่วย

ให้หาสมการเส้นขนานคนู่ ี้
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จติ รงาม

ตวั อยา่ งท่ี 13 ให้หาสมการเสน้ ตรงทขี่ นานกับเสน้ ตรง 7x + 24y – 8 = 0 ซง่ึ อยู่ห่างจากเสน้ ตรงนี้ 4 หน่วย หนา้ 44
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวั อยา่ งที่ 14 ใหห้ าสมการเสน้ ตรงที่ขนานกบั เส้นตรง 6x + 8y – 3 = 0 ซึง่ อยูห่ า่ งจากเสน้ ตรงนี้ 3 หนว่ ย
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณิตวเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

งานที่ 11

ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ ตรงกบั จดุ

1.) ใหห้ าระยะห่างระหวา่ งเส้นตรง 7x + 24y + 20 = 0 กบั เส้นตรง 7x + 24y – 5 = 0 หน้า 45
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.) ให้หาระยะห่างระหว่างเสน้ ตรง 3x + y + 5 = 0 กบั เสน้ ตรง -3x – y + 7 = 0
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.) ถา้ เสน้ ตรง 3x + 4y + 10 = 0 เปน็ เสน้ ตรงทอี่ ยูก่ ่ึงกลางระหวา่ งเสน้ ตรงขนานคู่หนง่ึ ซึ่งอยู่หา่ งกนั 6 หน่วย

ให้หาสมการเส้นขนานคนู่ ้ี
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรขาคณติ วเิ คราะห์ : วรรณา จิตรงาม

4.) ถา้ เสน้ ตรง 8x + 6y – 2 = 0 เปน็ เส้นตรงทอ่ี ยู่กงึ่ กลางระหว่างเสน้ ตรงขนานคู่หนง่ึ ซ่งึ อยู่ห่างกัน 1 หน่วย

ใหห้ าสมการเสน้ ขนานคนู่ ี้

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5.) ใหห้ าสมการเสน้ ตรงทขี่ นานกบั เสน้ ตรง 15x + 9y + 4 = 0 ซงึ่ อยูห่ ่างจากเส้นตรงน้ี 5 หน่วย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… หน้า 46
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………….. สง่ั งานวนั ที่ …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. กำหนดสง่ …………../……………/……………

………………………………………………………………………………………. สง่ ตรงเวลา ………. สง่ ชา้ ………..

………………………………………………………………………………………. ………………………………………………..

………………………………………………………………………………………. (วรรณา จติ รงาม)