แบบฝึกทักษะเล่มที่ 2 แฟกทอเรียล การเรียงสับเปลี่ยน และการจัดหมู่

แฟกทอเรยี ล

……การเรยี งสบั เปลยี่ น……
-0-
และการจดั หมู่

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเป็น ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 -1-
โดยการจดั การเรียนรู้แบบ 5E + 3T สร้างขน้ึ เพ่อื เปน็ การเสรมิ สรา้ งและพฒั นาการเรยี นรู้ของนักเรียน
โดยเนน้ ผู้เรยี นเปน็ สำคญั เปิดโดอกาสใหน้ ักเรยี นได้แสวงหาความรูด้ ้วยตนเอง ใชท้ กั ษะต่าง ๆ ในการ
แสวงหาความรู้ มุ่งพฒั นาผลสัมฤทธแ์ิ ละสมรรถภาพการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ของนกั เรยี น ใหส้ อดคล้องกบั
สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ที่กำหนดไว้ ทัง้ น้ี ไดน้ ำสถานการณใ์ นชีวติ ประจำวันทน่ี กั เรียนเคยพบมาแลว้
มาเชือ่ โยงกบั ความรูใ้ หม่เพือ่ ให้นกั เรยี นได้เรยี นรู้ไดง้ ่ายและตอ่ เน่ืองกนั ท้ังสง่ เสรมิ ให้นกั เรียนไดศ้ กึ ษา
หาความรู้และสรปุ องค์ความรูด้ ้วยตนเอง

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลักการนบั เบือ้ งตน้ และความนา่ จะเปน็ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4
ประกอบด้วย แบบฝึกทกั ษะทางคณิตศาสตร์ท้ังหมด 4 เล่ม ดงั น้ี

เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกบั การนบั
เล่มท่ี 2 เรือ่ ง แฟกทอเรยี ล การเรียงสับเปลีย่ น และการจัดหมู่
เล่มท่ี 3 เรอ่ื ง การทดลองสุ่ม ปริภูมติ ัวอย่าง และเหตุการณ์
เล่มที่ 4 เร่อื ง ความน่าจะเปน็
แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลกั การนับเบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 นี้
ประกอบด้วย ใบความรู้ เน้ือหา แนวคิดรวบยอด โจทยป์ ญั หา โจทย์เสรมิ ทักษะ และการจดั การเรยี นรู้
ทม่ี ุ่งพัฒนาทกั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ การใหเ้ หตผุ ล การแก้ปัญหา การนำเสนอความคิด
ทางคณติ ศาสตร์ และยงั ส่งเสรมิ การเรียนรู้ดว้ ยวิธีการที่หลากหลาย เพือ่ พัฒนาคุณภาพผูเ้ รียนตามศกั ยภาพ
ซง่ึ แสดงให้เห็นถึงการเน้นบทบาทของผู้เรียนเป็นสำคญั
หวังเปน็ อย่างย่ิงว่า ของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนับเบอื้ งตน้ และความน่าจะเป็น
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 ท่ีไดจ้ ดั ทำขึน้ นี้ จะเป็นประโยชนต์ ่อนกั เรียนและครูในการพัฒนากจิ กรรมการเรยี น
การสอนใหบ้ รรลุวัตถุประสงคท์ ่ีกำหนดไว้เปน็ อยา่ งดี

วรรณา จิตรงาม

สารบญั -2-

เร่ือง หนา้
คำนำ………………………………………………………………………………………….…………………..- 1 -
สารบัญ............................................................................................................................................ - 2 -
คำแนะนำการใชช้ ุดแบบฝึกทกั ษะ เรือ่ ง หลักการนบั เบ้ืองต้นและความน่าจะเปน็
ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 สำหรบั คร…ู …………………………………………………………………………- 3 -
คำแนะนำการใชช้ ดุ แบบฝึกทกั ษะ เรอ่ื ง หลักการนบั เบื้องต้นและความน่าจะเป็น
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4 สำหรบั นักเรียน………………………………………………………………….…- 4 –
แผนผังขนั้ ตอนในการเรยี นรู้ด้วย ชุดแบบฝกึ ทกั ษะ เรื่อง หลกั การนับเบ้อื งตน้ และความน่าจะเป็น
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4……………………………………………………………………………………….…- 5 –
เนอื้ หา/สาระการเรยี นรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระสำคญั และเวลาเร่ือง
หลักการนับเบือ้ งต้นและความนา่ จะเปน็ ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 4……………………………………….…- 6 –
ใบความรูท้ ่ี 1 เรื่อง แฟกทอเรยี ล……..………………………………………….…………………….……- 9 –
แบบฝึกหัดที่ 1 เรือ่ ง แฟกทอเรียล……..…………………………………………………………………..- 12 –
ใบความรู้ท่ี 2 เรือ่ ง หลักการเรยี งสบั เปลีย่ นเชงิ เสน้ ของสิ่งของท่ีแตกต่างกนั ท้ังหมด………….….…...- 14 –
แบบฝกึ หดั ที่ 2 เรือ่ ง หลกั การเรียงสับเปลย่ี นเชิงเสน้ ของสิง่ ของท่ีแตกต่างกนั ทง้ั หมด……………..…- 17 –
ใบความรูท้ ี่ 3 เร่ือง หลักการเรียงสับเปล่ียนเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของทแ่ี ตกต่างกันทง้ั หมด 2……..……..…- 19 –
แบบฝกึ หดั ที่ 3 เรอ่ื ง หลักการเรยี งสับเปล่ียนเชิงเส้นของสิง่ ของท่ีแตกตา่ งกันทั้งหมด 2……….……- 22 –
ใบความรู้ท่ี 4 เร่อื ง หลกั การจดั หมู่ของส่ิงของที่แตกตา่ งกนั ทั้งหมด………………………………….…- 24 –
แบบฝกึ หัดท่ี 4 เรื่อง หลักการจัดหมู่ของสิ่งของทแี่ ตกต่างกนั ทง้ั หมด………………………………...…- 27 –
ใบความรู้ท่ี 5 เรอ่ื ง หลกั การจัดหมู่ของส่งิ ของท่แี ตกต่างกนั ทงั้ หมด 2..……………………………….- 30 –
แบบฝึกหัดท่ี 5 เรอ่ื ง หลักการจัดหมูข่ องสิง่ ของที่แตกต่างกันท้งั หมด 2…...……………………….…- 33 –
บรรณานุกรม…………………………………………………………………………………………………..- 35 -

การใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง หลกั การนับเบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 -3-
ครูผูส้ อนเป็นผูท้ ีม่ ีบทบาทสำคัญที่จะชว่ ยให้การดำเนินการเรียนรูข้ องนกั เรยี นบรรลตุ ามวตั ถปุ ระสงค์ ครูผู้สอน
จึงควรศึกษารายละเอยี ดเกยี่ วกบั การปฏบิ ตั ิตนกอ่ นทีจ่ ะใชช้ ุดการสอน ดงั นี้

1. ครูต้องศึกษาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนบั เบ้อื งต้นและความนา่ จะเป็น ช้นั มธั ยมศึกษา
ปที ี่ 4 และอา่ นเนื้อหาสาระอยา่ งละเอียดรอบคอบ พร้อมทัง้ ทำความเข้าใจเนอื้ หาก่อนการใช้งาน

2. ครูเตรียมแบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ให้ครบถ้วนและเพียงพอต่อจำนวนนักเรยี น
3. ครูเตรียมเครื่องมอื วดั ผลประเมนิ ผล เพอ่ื ทราบความกา้ วหน้าของนักเรยี น
4. ครูชแี้ จงใหน้ ักเรยี นทราบเกี่ยวกับขน้ั ตอนและวิธีการสอนโดยใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์อย่างชดั เจน
และประโยชน์ท่ีจะไดร้ ับจากการเรียนรูโ้ ดยใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์
5. ครูชแี้ จงใหน้ ักเรียนทราบบทบาทของนักเรียน โดยเนน้ ย้ำความซอ่ื สตั ย์ การมีวนิ ัย ใฝเ่ รียนใฝ่รู้
การแสดงความคดิ เห็น
6. ใหน้ กั เรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรียนเพ่อื ประเมนิ ความรู้เดิมของนักเรียน
7. ครูจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ใหแ้ ก่นกั เรียน โดยให้คำแนะนำ ดแู ล เสนอแนะ และเสรมิ แรง
ตามแนวทางของแผนการจดั การเรียนรู้
8. ครูสังเกตความร่วมมือและความตง้ั ใจในการเรียน การทำกิจกรรมเป็นรายบคุ คลและการทำ
กจิ กรรมรว่ มกบั ผู้อืน่
9. ครูร่วมสรุปบทเรียนกบั นกั เรยี นเพอ่ื เป็นการย้ำความเขา้ ใจของนกั เรียนในทุกกิจกรรม
10. ใหน้ กั เรยี นทำแบบทดสอบหลงั เรียนเพ่ือวัดความรู้ของนักเรียน และประเมนิ ผลการเรยี นรูข้ อง
นกั เรยี นอยา่ งต่อเนื่อง

1. นักเรียนคำชแ้ี จงเก่ียวกบั แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์และคำแนะนำการใชช้ ุดแบบฝกึ ทักษะ เร่อื ง -4-
หลักการนับเบ้อื งต้นและความนา่ จะเปน็ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 4 สำหรับนกั เรยี นใหเ้ ขา้ ใจกอ่ นลงมอื ศึกษาเรยี นรู้
หรือทำกจิ กรรมทกุ ครงั้

2. นกั เรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน เพื่อประเมนิ ความรู้เดิมของนักเรยี น
3. นกั เรียนศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ และสาระการเรียนรู้ในชุดการสอนทง้ั หมด อยา่ งละเอยี ด
หากมขี ้อสงสัย หรอื มีคำถาม ให้ปรกึ ษาครูผูส้ อน
4. ศกึ ษาใบความรู้ ตัวอย่าง และทำแบบฝกึ หดั ดว้ ยความตัง้ ใจ
5. ในการเรียนรู้ นักเรียนควรมีการวางแผนการทำกิจกรรม กรณีเปน็ รายกลุม่ ควรมีการแบ่งหน้าที่
และร่วมกันปฏบิ ตั ิกจิ กรรม
6. ในการปฏบิ ตั ิกจิ กรรมการเรียนรู้ นกั เรียนควรปฏบิ ัติงานใหท้ ันกบั เวลาทก่ี ำหนด
7. ข้นั ตอนสุดทา้ ยของการเรียนรู้ด้วยชดุ แบบฝึกทักษะ เรือ่ ง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเป็น
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 นกั เรยี นต้องทำแบบทดสอบประจำชุดการสอนของแต่ละชดุ การสอน
8. นักเรียนควรมคี วามร่วมมือรว่ มใจ มีความสามคั คี ร่วมกันแสดงความคดิ เห็น และยอมรบั เสยี ง
ส่วนใหญใ่ นการปฏบิ ตั ิกจิ กรรมกลุ่ม
9. หากนักเรยี นมปี ญั หาหรอื ไมเ่ ข้าใจในสว่ นใด นักเรยี นสามารถสอบถามจากครูผู้สอนได้ตลอดเวลา

นกั เรียนศกึ ษาคำแนะนำการใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ สำหรับนักเรียน -5-

ศึกษามาตรฐานการเรยี นรู/้ ตวั ชวี้ ัดและจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

ทำแบบทดสอบก่อนเรียน

ดำเนนิ การศึกษาเน้ือหา โดยปฏิบัตกิ จิ กรรม
- ศกึ ษาเน้ือหา ใบความรู้
- ทำแบบฝกึ หดั
- ตรวจแบบฝึกหดั

ศึกษาแบบฝึกทกั ษะเล่มต่อไป

ทำแบบทดสอบหลงั เรียน ไม่ผ่าน 80%

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตวั ชวี้ ดั

สาระท่ี 3 สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบอื้ งต้น ความนา่ จะเป็น และนำไปใช้

ตัวชว้ี ดั

ค 3.2 ตวั ชี้วัด ม.4/1 เขา้ ใจและใชห้ ลักการบวกและการคูณ การเรียงสับเปลย่ี น และการจดั หมู่

ในการแก้ปญั หา

ค 3.2 ตัวชี้วัด ม.4/2 หาความน่าจะเป็นและนำความรู้เกีย่ วกับความนา่ จะเปน็ ไปใช้

เนอ้ื หา/สาระการเรยี นรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา -6-
(ชว่ั โมง)

แฟกทอเรียล ด้านความรู้ (K) เมือ่ n เป็นจำนวนเต็ม 2

นกั เรยี นหาคำตอบของแฟกทอเรียล บวก แฟกทอเรียล n

ได้ หมายถึง ผลคูณของจำนวน

ด้านทกั ษะ/กระบวนการ(P) เตม็ บวกต้ังแต่ 1 ถึง n

1.นกั เรียนสามารถแกป้ ญั หาโดยใช้ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

แฟกทอเรียลได้ n! อ่านวา่ แฟกทอเรียล

2.นกั เรียนสามารถให้เหตผุ ลในการ เอน็ หรือเอน็ แฟกทอเรียล

แกป้ ัญหาได้ เต็มบวกใดหรอื ศนู ย์

ดา้ นคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะ

อนั พงึ ประสงค(์ A)

1. ความสนใจกระตอื รอื ร้น

2. ความรบั ผิดชอบ

เนอื้ หา/สาระการเรียนรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา
(ชวั่ โมง)

3. มีวินยั ในตนเอง ตรงต่อเวลา

4. ความใฝ่รู้ใฝ่เรียน

5. การยอมรับฟังผูอ้ นื่

วิธีเรยี งสับเปลยี่ น ดา้ นความรู้ (K) วิธกี ารเรียงสบั เปลี่ยนเชงิ 2

นักเรียนนกั เรยี นสามารถแกป้ ัญหา เส้น คือ วิธีจัดเรียงสง่ิ ของ

เก่ียวกบั วิธเี รียงสับเปลี่ยนเชิงเสน้ ได้ ซึ่งอาจนำมาเพยี งบางสว่ น

ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ(P) หรอื นำมาเรียงท้ังหมด โดย

1. นักเรียนมที กั ษะในการสื่อสาร คำนงึ ถงึ ลำดบั หรือตำแหนง่

และสือ่ ความหมาย ของส่ิงมชี ีวิตแตล่ ะสงิ่ เปน็

2. นักเรยี นสามารถประยุกต์ใช้ สำคญั

ความรูใ้ นการแกป้ ญั หาได้

ดา้ นคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะ

อนั พงึ ประสงค(์ A) -7-

1.ความสนใจกระตือรือรน้

2. ความรบั ผดิ ชอบ

3. มวี ินัยในตนเอง ตรงตอ่ เวลา

4. ความใฝ่รู้ใฝเ่ รยี น

5. การยอมรับฟังผู้อน่ื

วิธเี รียงสับเปล่ียน ดา้ นความรู้ (K) วธิ ีการจดั หมู่ 2

(วธิ กี ารจดั หมู่) นกั เรียนสามารถแกป้ ญั หา (Combination)

เกยี่ วกบั วิธีจดั หมู่ได้ หมายถงึ การนำส่งิ ของทม่ี ี

ด้านทกั ษะ/กระบวนการ(P) ความแตกต่างกนั ท้ังหมด

นกั เรยี นสามารถใหเ้ หตุผลในการ หรือเพียงบางสว่ นมาจัดหมู่

แก้โจทย์ปญั หาได้ โดยไมถ่ อื ตำแหน่งหรอื

ลำดับก่อนหลังเป็นสำคญั

จำนวนวิธีจดั หมู่ของส่ิงของ

n สิ่ง ซงึ่ แตกต่างกนั

เนอ้ื หา/สาระการเรียนรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา
(ชว่ั โมง)

ด้านคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะ ทั้งหมด ใหม้ ีหมู่ละ r สงิ่

อนั พงึ ประสงค(์ A) Cn,r= n! โดยที่ r≤n
1. ความสนใจกระตอื รอื ร้น (n-r)!r!

2. ความรบั ผดิ ชอบ

3. มวี นิ ัยในตนเอง ตรงตอ่ เวลา

4. ความใฝร่ ู้ใฝ่เรียน

5. การยอมรับฟังผู้อืน่

-8-

แฟกทอเรยี ล (Factorial)

บทนิยาม

ถ้า n เป็นจำนวนเตม็ บวก แล้วผลคูณของจำนวนเตม็ บวกตั้งแต่ 1 ถึง n ดังนี้
1 x 2 x 3 x … x n เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n! อา่ นวา่ แฟกทอเรียลเอน็ หรอื เอ็นแฟกทอเรยี ล

ตัวอยา่ งที่ 1 จงเขยี นจำนวนต่อไปนี้ในรูปของการคูณ และหาคำตอบ -9-
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขยี นจำนวนต่อไปนใ้ี นรูปของแฟกทอเรียล = 3!
3x2x1 = 6!
6x5x4x3x2x1 = 9!
9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 4!
4x3x2x1 = 7!
7x6x5x4x3x2x1

ตัวอยา่ งที่ 3 จงเขียนจำนวนต่อไปนีใ้ หอ้ ยูใ่ นรูปไมม่ ีแฟกทอเรยี ล

1. n!
(n - 2)!

วิธที ำ n! = n x (n - 1) x (n - 2)!
(n - 2)! (n - 2)!

= n x (n - 1)

2. (n + 1)!
(n - 3)!

วธิ ที ำ (n + 1)! = (n + 1) x n x (n - 1) x (n - 2) x (n - 3)!
(n - 3)! (n - 3)!

= (n + 1) x n x (n – 1) x (n – 2)

3. 13!
11!
- 10 -
13! 13 x 12 x 11!
วธิ ที ำ 11! = 11!
=
13 x 12

= 156

4. 21!
18!

วธิ ที ำ 21! = 21 x 20 x 19 x 18!
18! = 18!

21 x 20 x 19

= 7,980

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาค่า n จากสมการ (n n! = 132
- 2)!

วธิ ที ำ n! = 132
(n - 2)!

n x (n - 1) x (n - 2)! = 132
(n - 2)!

n x (n - 1) = 132

n2 – n = 132

n2 – n – 132 =0

(n - 12)(n + 11) = 0

n = -11 , 12

เนอื่ งจากบทนิยาม n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ดังนั้น ค่า n = 12 เพราะ 12 เป็นจำนวนเตม็ บวก

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาคา่ n จากสมการ (n + 1)! = 56 - 11 -
(n - 1)!

วิธที ำ (n + 1)! = 56
(n - 1)!

(n + 1) x n x (n - 1)! = 56
(n - 1)!

(n + 1) x n = 56

n2 + n = 56

n2 + n – 56 =0

(n - 7)(n + 8) =0

n = -8 , 7

เนอื่ งจากบทนยิ าม n เปน็ จำนวนเตม็ บวก ดังนน้ั คา่ n = 7 เพราะ 7 เป็นจำนวนเตม็ บวก

คำชแี้ จง จงแสดงวธิ ที ำให้ถกู ต้อง - 12 -

ข้อท่ี 1 จงเขยี นจำนวนต่อไปนใ้ี นรูปของการคูณ และหาคำตอบ
1.1 9!
เขยี นในรูปของการคูณ : ………………………………………………………………………
คำตอบ : ………………………………………………………………………………………...
1.2 10!
เขียนในรูปของการคูณ : ………………………………………………………………………
คำตอบ : ………………………………………………………………………………………...
1.3 6!
เขียนในรูปของการคูณ : ………………………………………………………………………
คำตอบ : ………………………………………………………………………………………...
1.4 13!
เขยี นในรูปของการคูณ : ………………………………………………………………………
คำตอบ : ………………………………………………………………………………………...

ข้อท่ี 2 จงเขียน (n + 3)! ใหอ้ ยู่ในรูปไมม่ ีแฟกทอเรียล
n!

………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………....

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....

………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อที่ 3 จงหาค่า n จากสมการ (n + 1)! = 110
(n - 1)!

……………………………………………………………………………………………………………………………… - 13 -
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………

การเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสง่ิ ของทแี่ ตกต่างกนั ทงั้ หมด - 14 -

ถา้ ตอ้ งการนำส่ิงของท่ีแตกตา่ งกัน n ชน้ิ มาเรียงสบั เปล่ยี นเชิงเสน้ สามารถหาจำนวนวิธีเรยี งสับเปลี่ยน
ทัง้ หมดโดยใชห้ ลกั การคูณ ดังน้ี

ข้นั ตอนที่ 1 ตำแหน่งที่ 1 มวี ธิ ีเลือกส่ิงของมาวางได้ n วิธี
ข้ันตอนท่ี 2 ตำแหน่งท่ี 2 แตล่ ะวธิ ีท่วี างสงิ่ ของในตำแหนง่ ที่ 1

มีวธิ ีเลอื กสงิ่ ของมาวางในตำแหน่งที่ 2 ได้ n - 1 วธิ ี
ขั้นตอนที่ 3 ตำแหนง่ ท่ี 3 แตล่ ะวิธที ่ีวางส่งิ ของในตำแหน่งที่ 1 และ 2

มีวธิ เี ลือกสิง่ ของมาวางในตำแหน่งท่ี 3 ได้ n - 2 วิธี
.
.
.

ขั้นตอนท่ี n ตำแหน่งท่ี n แต่ละวิธที ี่วางสงิ่ ของในตำแหน่งท่ี 1 ถึง n - 1
มวี ธิ เี ลอื กสิ่งของมาวางในตำแหน่งท่ี n ได้ 1 วิธี

ดงั นน้ั จำนวนวธิ ใี นการนำสง่ิ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด n ชนิ้ มาเรียงสบั เปลยี่ นเชงิ เสน้ เทา่ กบั
n ĭ (n - 1) ĭ (n - 2) ĭ … ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = n! วธิ ี

ตวั อยา่ งท่ี 1 สมมตวิ ่า กิง่ กาญจน์ และแกว้ ยนื เป็นแถวหน้ากระดานเพอื่ ถ่ายรูปด้วยกันทงั้ สามคน
จะมีวธิ จี ดั แถวเพื่อถ่ายรูปได้ทั้งหมดกว่ี ิธี

วิธที ำ

กิง่ กาญจน์ แก้ว

ตำแหนง่ ท่ี 1 ตำแหนง่ ท่ี 2 ตำแหน่งที่ 3
จากโจทยก์ ารเข้าแถวหน้ากระดาน เปน็ การเรียงคน 3 คน เปน็ แนวเสน้ ตรง

ดังนน้ั จะมีวิธจี ดั แถวเพื่อถา่ ยรูปท้งั หมด 3! = 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วิธี

ตัวอยา่ งท่ี 2 ร้านค้าตอ้ งการนำกระเปา๋ รนุ่ ใหม่ทีแ่ ตกตา่ งกัน 4 ใบ วางโชว์หน้าร้าน โดยวางเรยี งกนั ในแนวเสน้ ตรง
จะสามารถจัดวางกระเปา๋ ไดท้ ้งั หมดก่วี ิธี

วธิ ที ำ

ตำแหนง่ ที่ 1 ตำแหนง่ ท่ี 2 ตำแหนง่ ที่ 3 ตำแหนง่ ท่ี 4
จากโจทย์การนำกระเปา๋ มาวางโชวห์ น้าร้าน ซงึ่ เป็นการวางเรียงในแนวเส้นตรง
ดังนนั้ จะสามารถวางเรยี งกระเปา๋ ได้ทั้งหมด 4! = 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 =24 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 3 ต้องการจดั คน 4 คนซ่งึ มผี ูช้ าย 1 คน และมีผูห้ ญงิ 3 คน น่ังเก้าอ้ี 4 ทนี่ ั่ง จะมีวิธกี ารนง่ั เกา้ อี้
ได้ทั้งหมดก่วี ิธี ถ้าผูช้ ายต้องนัง่ เก้าอ้ีตวั ท่ี 1 เท่าน้ัน

วิธที ำ ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกผูช้ าย 1 คนมาน่งั เกา้ อ้ีตัวที่ 1
ข้นั ตอนท่ี 2 นำคนทีเ่ หลืออยูไ่ ปเรียง

- 15 -

ดงั นน้ั จะมีวิธีจัดคน 4 คน นง่ั เก้าอี้ 4 ทนี่ งั่ ได้ 1 ĭ 3! = 1 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 4 ภมู กี ระเปา๋ 5 ใบ สีดำ 2 ใบ และแดง 3 ใบ เขาตอ้ งการนำกระเปา๋ ไปวางเรียงในตู้โดยท่ี
ตำแหนง่ แรกเขาต้องการวางกระเปา๋ สีแดงเทา่ น้ัน ภจู ะสามารถนำกระเป๋าไปวางเรียงบนตูไ้ ด้ก่วี ิธี

วธิ ที ำ ขั้นตอนท่ี 1 เลอื กกระเปา๋ สแี ดง 1 ใบมาวางตำแหน่งท่ี 1
ข้นั ตอนท่ี 2 นำกระเปา๋ ทเ่ี หลือไปเรียง

ดังนน้ั จะมวี ธิ นี ำกระเปา๋ ไปเรยี งบนตู้ได้ 3 ĭ 4! = 3 ĭ 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 72 วธิ ี

- 16 -

คำชแี้ จง จงวเิ คราะห์โจทย์และตอบคำถามต่อไปน้ี โดยใช้ความรู้เรอื่ ง หลักการเรยี งสับเปลีย่ นเชิงเส้นของสิ่งของ - 17 -
ที่แตกต่างกนั ท้งั หมด

ข้อท่ี 1 นารนิ นำรูปภาพที่แตกตา่ งกัน 5 รูป มาจดั แสดงโดยเรียงต่อกนั ในแนวเสน้ ตรง จะมีวธิ ีจดั แสดงรูปภาพ
ได้ทงั้ หมดก่วี ิธี

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

ขอ้ ที่ 2 ศรสี ดุ าตอ้ งการนำรองเท้า 10 คูไ่ ปวางเรียงบนช้ันวางรองเท้า โดยที่ศรีสุดามีรองเท้าแตะ 4 คู่
รองเทา้ ผ้าใบ 6 คู่ ถ้าศรีสุดาต้องการใหร้ องเท้าผ้าใบวางในตำแหน่งที่ 1 แล้วศรีสดุ าจะสามารถเรียง
รองเทา้ ได้ทั้งหมดก่ีวิธี

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

ข้อท่ี 3 ยุวดีซ้อื หนังสือมา 6 เลม่ เปน็ หนงั สอื นวนยิ าย 2 เลม่ หนังสือภาษาองั กฤษ 2 เลม่ และหนงั สอื - 18 -
วทิ ยาศาสตร์ 2 เลม่ ยวุ ดจี ะสามารถนำหนังสือไปเรยี งบนชั้นหนังสือช้นั หน่ึงได้ก่ีวิธี ถ้าตำแหน่งท่ี 3
ตอ้ งเป็นหนังสือภาษาองั กฤษเทา่ น้ัน

…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………..

จำนวนวิธีในการนำส่ิงของ r ชิ้น จากสง่ิ ของทีแ่ ตกต่างกนั n ชน้ิ มาเรียงสบั เปล่ยี นเชิงเสน้ คือ

Pn , r = n! วธิ ี
(n -r)!

ตวั อยา่ งที่ 1 ร้านค้าแห่งหนงึ่ มีรองเทา้ ทั้งหมด 5 แบบ ต้องการนำรองเท้า 3 แบบ มาจัดแสดงหน้ารา้ น
เป็นแนวเส้นตรงจะจัดไดท้ ั้งหมดกี่แบบ

วธิ ที ำ

จากโจทย์ มีรองเทา้ ทั้งหมด 5 คู่ นั่นคือ n = 5 และต้องการนำไปจัดแสดง 3 คู่ น่นั คือ r = 3 - 19 -

จากสูตร Pn , r = n!
(n -r)!
5!
แทนค่า P5 , 3 = (5 -3)!

= 5!
2!
5 x 4 x 3 x 2!
= 2!

= 5x4x3

= 60

ดังนน้ั รา้ นค้าสามารถนำรองเท้ามาจดั แสดงไดท้ ้ังหมด 60 แบบ

ตวั อยา่ งท่ี 2 ท่ีปา้ ยรถประจำทางแห่งหนง่ึ มเี กา้ อี้ 5 ตวั วางเรียงกันเปน็ แถวยาว ถ้าคน 6 คน มารอรถที่ปา้ ยนี้
จงหาจำนวนวธิ ีการนัง่ เกา้ อ้ี โดยท่ีเกา้ อแี้ ตล่ ะตวั จะมคี นนงั่ หนง่ึ คน

วิธที ำ

จากโจทย์ มีคนทั้งหมด 6 คน น่นั คือ n = 6
และตอ้ งการนำมานั่งเก้าอี้ 5 คน นน่ั คือ r = 5

จากสูตร Pn , r = n!
(n -r)!

แทนค่า P6 , 5 = 6! - 20 -
(6 - 5)!

= 6!
1!

= 6x5x4x3x2x1
1

= 720
ดังนั้น สามารถนัง่ เกา้ อไ้ี ด้ท้ังหมด 720 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 3 รหสั บตั รATM ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
จำนวน 4 ตัว เชน่ 0123 , 2543 , 4809 จงหาจำนวนรหสั บตั รATM ทั้งหมดทเี่ ปน็ ไปได้
โดยห้ามใชเ้ ลขโดดซ้ำกนั

วธิ ที ำ

จากโจทย์ มีเลขโดดท้งั หมด 10 ตัว น่นั คือ n = 10

และนำมาสรา้ งรหสั บัตร 4 ตัว น่ันคอื r = 4

จากสูตร Pn , r = n!
(n -r)!

แทนค่า P10 , 4 = 10!
(10 - 4)!

= 10! - 21 -
6!

= 10 x 9 x 8 x 7 x 6!
6!

= 10 x 9 x 8 x 7

= 5,040
ดังนัน้ สามารถนำเลขโดดมาสรา้ งรหัสบัตร ATM ไดท้ งั้ หมด 5,040 รหัส

คำชแ้ี จง จงวิเคราะห์โจทย์และตอบคำถามต่อไปนี้ โดยใช้ความรู้เร่ือง หลักการเรียงสับเปลย่ี นเชงิ เส้นของสง่ิ ของ
ทแ่ี ตกตา่ งกนั ทั้งหมด

ข้อท่ี 1 ร้านค้าแห่งหน่ึงมีกระเป๋าแบบใหม่ 9 แบบ ต้องการนำไปวางหนา้ รา้ นเปน็ แนวเส้นตรง 4 แบบ จะสามารถ - 22 -
ทำไดท้ ั้งหมดกว่ี ธิ ี

วธิ ีทำ n = ……………………… r = …………………………….
สูตรทีใ่ ช้ในการคำนวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ที่ 2 รหัสบัตรATM ประกอบด้วยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จำนวน 6 ตัว - 23 -
จงหาจำนวนรหสั บัตรATM ท้ังหมดที่เปน็ ไปได้ โดยห้ามใชเ้ ลขโดดซำ้ กัน

วิธีทำ n = ……………………… r = …………………………….
สูตรที่ใชใ้ นการคำนวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ที่ 3 รหัสนกั เรียน ประกอบดว้ ยเลขโดด 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 จำนวน 5 ตัว
จงหาจำนวนรหัสประจำตวั นกั เรียนทัง้ หมดทเี่ ปน็ ไปได้ โดยห้ามใชเ้ ลขโดดซ้ำกนั

วธิ ีทำ n = ……………………… r = …………………………….
สูตรทใ่ี ช้ในการคำนวณ คอื …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การจดั หมู่ (Combination) คือจำนวนวธิ เี ลอื กกลมุ่ ของสิ่งของโดยไม่พิจารณาลำดับในการเลือกจำนวนวธิ ี

จดั หมู่ของส่ิงของท่ีแตกต่างกนั n ชิน้ โดยเลือกคราวละ r ชน้ิ คือ
n!
Cn , r = (n - r)!r! วิธี

ตัวอยา่ งที่ 1 ในการเลอื กตวั แทนนกั เรยี น 3 คนจากผู้สมัคร 5 คน จะมีวิธเี ลือกทัง้ หมดก่ีวิธี
วธิ ที ำ

- 24 -

จากโจทย์ มีผูส้ มคั รทง้ั หมด 5 คน น่ันคอื n = 5 ตอ้ งการเลือกตัวแทนจำนวน 3 คน นน่ั คอื r = 3

จะไดว้ า่ C5 , 3 = 5!
(5 - 3)!3!

= 5!
2!3!

= 5 x 4 x 3!
2 x 1 x 3!

= 5x2

= 10

ดังนัน้ สามารถเลือกตัวแทนนกั เรยี นไดท้ ั้งหมด 10 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 2 มีนกั เรยี นอยู่ 6 คน ตอ้ งการเลอื กนักเรยี น 3 คนไปแข่งขันทกั ษะทางคณิตศาสตรจ์ ะทำได้
ท้งั หมดก่วี ิธี

วธิ ที ำ

จากโจทย์ มีนักเรียนทง้ั หมด 6 คน น่นั คือ n = 6 และต้องการนกั เรยี น 3 คน น่นั คือ r = 3

จะไดว้ ่า C6 , 3 = 6! = 6!
(6 - 3)!3! 6!3!

= 6 x 5 x 4 x 3! = 5x4 = 20 - 25 -
3 x 2 x 1 x 3!

ดังนั้น สามารถเลือกนกั เรยี นไปแขง่ ขันทักษะทางคณิตศาสตรไ์ ดท้ ง้ั หมด 20 วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 3 ถา้ ตอ้ งการเลือกคณะกรรมการชดุ หนึง่ จำนวน 3 คน จากคน 4 คน จะเลือกไดท้ ้ังหมดก่ีวธิ ี
วธิ ที ำ

จากโจทย์ มีคนท้งั หมด 4 คน นัน่ คือ n = 4 และต้องการเลอื กคณะกรรมการ 3 คน นั่นคือ r = 3

จะได้วา่ C4 , 3 = 4! = 4!
(4 - 3)!3! 1!3!

= 4 x 3! =4
1 x 3!

ดงั นน้ั สามารถเลือกคณะกรรมการไดท้ ้งั หมด 4 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 4 ข้อสอบชดุ หนงึ่ มี 8 ขอ้ โดยในการสอบใหน้ กั เรยี นเลอื กทำขอ้ สอบ 5 ขอ้ จงหาจำนวนวิธีทนี่ กั เรียน
สามารถเลอื กทำขอ้ สอบในครงั้ น้ี

วธิ ที ำ

จากโจทย์ มขี ้อสอบทั้งหมด 8 คน นนั่ คอื n = 8 และนักเรียนเลือกทำ 5 ขอ้ นัน่ คือ r = 5

จะไดว้ า่ C8 , 5 = 8!
(8 - 5)!5!

= 8!
3!5!

= 8 x 7 x 6 x 5! - 26 -
3 x 2 x 1 x 5!

= 8x7

= 56

ดังนั้น นักเรยี นสามารถเลือกทำข้อสอบไดท้ งั้ หมด 56 วิธี

คำชแ้ี จง จงวเิ คราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปนี้ โดยใช้ความรูเ้ รือ่ ง หลกั การจดั หมูข่ องส่ิงของท่ีแตกต่างกนั ทัง้ หมด - 27 -

ข้อท่ี 1 มีนกั เรียนอยู่ 6 คน ตอ้ งการเลอื กนักเรียน 4 คนไปแขง่ ขันทักษะทางด้านภาษาอังกฤษ จะทำไดท้ ง้ั หมด
กว่ี ิธี

วธิ ีทำ n = ……………………… r = …………………………….
สูตรท่ใี ชใ้ นการคำนวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อท่ี 2 ข้อสอบชุดหนึ่งมี 10 ข้อ โดยในการสอบให้นักเรยี นเลอื กทำขอ้ สอบ 6 ข้อ จงหาจำนวนวิธที ่ีนักเรียน - 28 -
สามารถเลือกทำข้อสอบในครั้งน้ี

วธิ ที ำ n = ……………………… r = …………………………….
สูตรทใี่ ช้ในการคำนวณ คือ …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ข้อที่ 3 ในงานเลย้ี งแหง่ หนง่ึ มคี น 6 คน ถ้าคนสองคนใด ๆ จับมอื กันหน่งึ ครง้ั จงหาว่าจะมีการจับมอื ทั้งหมดกี่คร้งั - 29 -
วิธที ำ n = ……………………… r = …………………………….

สูตรท่ีใช้ในการคำนวณ คอื …………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

การจดั หมู่ (Combination) คือจำนวนวธิ ีเลือกกลุ่มของสิ่งของโดยไมพ่ จิ ารณาลำดับในการเลือกจำนวนวธิ ี

จัดหมูข่ องสิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น โดยเลือกคราวละ r ชน้ิ คอื
n!
Cn , r = (n - r)!r! วธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 1 ในตะกรา้ ใบหนงึ่ มแี อปเปลิ 8 ผล และมังคดุ 4 ผล จงหาจำนวนวธิ ีในการเลอื กหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยบิ ได้
แอปเปิลทงั้ 4 ผล

วิธที ำ

จากโจทย์ มีแอปเปลิ ทง้ั หมด 8 ผล น่ันคอื n = 8 และต้องเลอื กมา 4 ผล นนั่ คือ r = 4 - 30 -

จะได้ว่า C8 , 4 = 8!
(8 - 4)!4!

= 8!
4!4!

= 8 x 7 x 6 x 5 x 4!
4 x 3 x 2 x 1 x 4!

= 2x7x5

= 70

ดังนั้น สามารถหยิบผลไมใ้ นตะกรา้ โดยทีห่ ยิบไดแ้ อปเปลิ ท้งั 4 ผล 70 วิธี

ตัวอยา่ งท่ี 2 ในตะกรา้ ใบหนง่ึ มีแอปเปลิ 4 ผล และมังคดุ 4 ผล จงหาจำนวนวธิ ีในการเลือกหยบิ ผลไม้ 4 ผล
โดยหยิบได้แอปเปิลทง้ั 1 ผล และ มงั คดุ 3 ผล

วธิ ที ำ

ขนั้ ตอนที่ 1 เลอื กหยิบแอปเปิล 1 ผล จาก 4 ผล จะได้วา่ n = 4 , r = 1

C4 , 1 = 4!
(4 - 1)!1!

= 4!
3!1!

= 4 x 3!
1 x 3!

=4

- 31 -

ขนั้ ตอนที่ 2 เลอื กหยิบมงั คดุ 3 ผล จาก 4 ผล จะได้วา่ n = 4 , r = 3

C4 , 3 = 4!
(4 - 3)!3!

= 4!
1!3!

= 4 x 3!
1 x 3!

=4
ดงั น้ัน สามารถเลอื กหยิบผลไม้ 4 ผล โดยหยบิ ได้แอปเปลิ ทงั้ 1 ผล และ มงั คุด 3 ผล ได้ 16 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 3 ถ้าต้องการเลอื กคณะกรรมการนักเรยี น 5 คน ซง่ึ ประกอบด้วยนกั เรียนชาย 3 คน และนักเรยี น
หญิง 2 คน จากผู้สมคั รนักเรียนชาย 5 คน และนักเรยี นหญิง 4 คน จงหาจำนวนวิธีในการเลอื ก
คณะกรรมการนกั เรยี นชุดน้ี

วิธที ำ

ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกคณะกรรมการผู้ชายจำนวน 3 คน จาก 5 คน จะไดว้ ่า n = 5 , r = 3

C5 , 3 = 5! = 5!
(5 - 3)!3! 2!3!

= 5 x 4 x 3! = 5x2
2 x 1 x 3!

= 10 - 32 -

ขนั้ ตอนท่ี 2 เลอื กคณะกรรมการผู้หญงิ จำนวน 2 คน จาก 4 คน จะได้ว่า n = 4 , r = 2

C4 , 2 = 4! = 4!
(4 - 2)!2! 2!2!

= 4 x 3 x 2! = 2x3
2 x 1 x 2!

=6

ดังนั้น สามารถเลอื กคณะกรรมการนกั เรยี นไดท้ ง้ั หมด 10 x 6 = 60 วิธี

คำชแี้ จง จงวิเคราะห์โจทย์และตอบคำถามต่อไปนี้ โดยใช้ความรู้เรอ่ื ง หลกั การจดั หมู่ของสงิ่ ของทีแ่ ตกต่างกันทั้งหมด - 33 -

ขอ้ ท่ี 1 ถ้าต้องการเลือกคณะกรรมการนกั เรียน 8 คน ซึ่งประกอบดว้ ยนักเรียนชาย 3 คน และนักเรยี น
หญงิ 5 คน จาก ผูส้ มคั รนกั เรยี นชาย 7 คน และนกั เรียนหญงิ 9 คน จงหาจำนวนวธิ ใี นการเลือก
คณะกรรมการนกั เรยี นชุดน้ี

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอ้ ที่ 2 มีพนักงาน 10 คน ซ่งึ มี a , b และ c รวมอยู่ด้วย ต้องการเลือกพนักงานทงั้ หมด 6 คน - 34 -

เพ่ือเข้าอบรม จะมวี ธิ เี ลอื กไดก้ ี่วิธี ถ้าใน 6 คนนนั้ ต้องมี a , b และ c รวมอยู่ดว้ ยเสมอ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

กระทรวงศึกษาธิการ. 2551. หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขัน้ พนื้ ฐาน พุทธศักราช 2551.กรงุ เทพฯ - 35 -
โรงพิมพ์ชมุ นุมสหกรณก์ ารเกษตรแห่งประเทศไทย.

กนกวลี อุษณกรกลุ และ รณชยั มาเจรฐิ ทรัพย.์ (2553). แบบฝกึ หัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4-6 เล่ม 2. กรงุ เทพมหานคร : สำนักพิมพเ์ ดอะบุคส์.

ฉววี รรณ เศวตมาลย.์ 2545. การพฒั นาหลักสูตรคณติ ศาสตร.์ กรงุ เทพมหานคร : สวุ ีริยาสาสน.์
ทชิ ากร ทองระยับ ธนนิ กระแสร์ และวนั ทนยี ์ นามสวัสดิ.์ (2557). ผลการใช้แบบฝกึ ทกั ษะ เร่อื ง

ความนา่ จะเปน็ กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ สําหรับนกั เรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปี ท่ี 3 ท่เี รียนรู้
ตามทฤษฎคี อนสตรคั ตวิ ิสต์.
กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณติ ศาสตร์ : ความน่าจะเปน็ กรุงเทพมหานคร :
สำนกั พมิ พฟ์ ิสกิ ส์เซ็นเตอร์.
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2554). หนงั สือเรยี นรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์
เลม่ 2 ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4-6 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2554). หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์
เลม่ 2 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4-6 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลาง
การศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.
ทินกฤต เรอื นสม (2560). รายงานการพัฒนาแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ความนา่ จะเป็น วิชาคณิตศาสตร์
พน้ื ฐาน สาํ หรบั นกั เรยี นช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 5.
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2557). หนงั สอื เรียนรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 2
ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 3 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน
พุทธศักราช 2551. พิมพ์ครง้ั ที่ 5. กรุงเทพมหานคร: โรงพมิ พ์องคก์ ารค้า สกสค.
สริ พิ ร ทิพยแคง. 2545. หลักสูตรและการสอนคณติ ศาสตร.์ กรงุ เทพ : พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.) จํากดั .
Dewey, J. (1963). Experience and education. New York: Macmilan Publishing Company.
Eves, Jamie H. (1990). An Introduction to the History of Mathematics. 6th Ed. USA:
Thomson Learning, Inc.

- 36 -