เฉลยแบบฝึกทักษะเล่มที่ 1 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

……กฎเกณฑ์เบอื้ งตน้ ……
เกยี่ วกบั การนบั

-0-

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลักการนบั เบื้องตน้ และความน่าจะเป็น ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 -1-
โดยการจดั การเรียนรู้แบบ 5E + 3T สร้างข้นึ เพ่ือเปน็ การเสริมสรา้ งและพฒั นาการเรยี นรู้ของนกั เรียน
โดยเนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ เปดิ โดอกาสให้นกั เรียนได้แสวงหาความรูด้ ้วยตนเอง ใชท้ กั ษะต่าง ๆ ในการ
แสวงหาความรู้ มุง่ พัฒนาผลสัมฤทธิแ์ ละสมรรถภาพการเรยี นรูค้ ณิตศาสตรข์ องนกั เรยี น ให้สอดคลอ้ งกบั
สาระและมาตรฐานการเรียนรูท้ ก่ี ำหนดไว้ ทงั้ น้ี ได้นำสถานการณ์ในชวี ิตประจำวันทีน่ ักเรียนเคยพบมาแล้ว
มาเชื่อเกษมงกบั ความรูใ้ หมเ่ พื่อให้นักเรยี นได้เรยี นรู้ได้ง่ายและต่อเนื่องกนั ทงั้ สง่ เสรมิ ใหน้ กั เรยี นไดศ้ กึ ษา
หาความรูแ้ ละสรปุ องค์ความรู้ดว้ ยตนเอง

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง หลักการนบั เบ้อื งตน้ และความน่าจะเป็น ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4
ประกอบดว้ ย แบบฝึกทกั ษะทางคณิตศาสตร์ท้ังหมด 4 เล่ม ดังน้ี

เล่มที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบ้อื งตน้ เกี่ยวกับการนับ
เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง แฟกทอเรยี ล การเรยี งสับเปล่ยี น และการจัดหมู่
เลม่ ที่ 3 เรื่อง การทดลองสุ่ม ปริภูมติ ัวอย่าง และเหตกุ ารณ์
เล่มที่ 4 เรื่อง ความนา่ จะเปน็
แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบอ้ื งต้นและความนา่ จะเปน็ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4 น้ี
ประกอบด้วย ใบความรู้ เนื้อหา แนวคิดรวบยอด โจทยป์ ัญหา โจทยเ์ สรมิ ทกั ษะ และการจดั การเรยี นรู้
ทีม่ ่งุ พัฒนาทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ การให้เหตผุ ล การแก้ปญั หา การนำเสนอความคดิ
ทางคณิตศาสตร์ และยังส่งเสริมการเรียนรูด้ ว้ ยวิธกี ารท่ีหลากหลาย เพ่อื พฒั นาคุณภาพผูเ้ รยี นตามศกั ยภาพ
ซง่ึ แสดงให้เหน็ ถึงการเนน้ บทบาทของผูเ้ รียนเป็นสำคญั
หวงั เป็นอย่างยิ่งว่า ของแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง หลักการนบั เบ้ืองต้นและความน่าจะเปน็
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 4 ท่ีได้จัดทำขน้ึ นี้ จะเปน็ ประเกษมชน์ตอ่ นกั เรยี นและครูในการพัฒนากิจกรรมการเรียน
การสอนใหบ้ รรลวุ ัตถุประสงคท์ ่กี ำหนดไวเ้ ป็นอย่างดี

วรรณา จิตรงาม

คำ

สำรบัญ -2-

เร่อื ง หนา้
คำนำ................................................................................................................................………..…- 1 -
สารบญั ............................................................................................................................................ - 2 -
คำแนะนำการใชช้ ดุ แบบฝึกทกั ษะ เรือ่ ง หลักการนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเป็น
ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 สำหรบั คร…ู …………………………………………………………………………- 3 -
คำแนะนำการใช้ชดุ แบบฝกึ ทกั ษะ เร่อื ง หลกั การนบั เบ้อื งต้นและความนา่ จะเป็น
ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 สำหรับนักเรยี น………………………………………………………………….…- 4 –
แผนผงั ขัน้ ตอนในการเรยี นรูด้ ้วย ชุดแบบฝึกทักษะ เร่ือง หลักการนับเบือ้ งตน้ และความน่าจะเป็น
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4……………………………………………………………………………………….…- 5 –
เน้อื หา/สาระการเรยี นรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคัญ และเวลาเร่อื ง
หลกั การนับเบือ้ งต้นและความนา่ จะเป็น ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4……………………………………….…- 6 –
ใบความรู้ที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บ้อื งต้นเก่ียวกบั การนบั ………………………………………….…….…- 8 –
เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบือ้ งตน้ เกี่ยวกบั การนับ…………………………………………..- 11 –
ใบความรู้ที่ 2 เรือ่ ง หลักการคูณ (multiplication principle)………………………………..….…- 13 –
เฉลยแบบฝึกหัดที่ 2 เร่ือง หลักการคูณ (multiplication principle)………………………………- 16 –
ใบความรูท้ ่ี 3 เรอื่ ง หลกั การบวก (addition principle)……………………………………….……- 18 –
เฉลยแบบฝกึ หดั ท่ี 3 เรอ่ื ง หลกั การบวก (addition principle)…………………………………….- 21 –
บรรณานกุ รม…………………………………………………………………………………………………..- 22 -

การใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบื้องต้นและความน่าจะเป็น ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4 -3-
ครูผู้สอนเป็นผู้ที่มีบทบาทสำคญั ทจ่ี ะช่วยใหก้ ารดำเนินการเรียนรูข้ องนักเรยี นบรรลุตามวตั ถุประสงค์ ครูผู้สอน
จงึ ควรศกึ ษารายละเอยี ดเก่ียวกบั การปฏิบตั ิตนก่อนท่ีจะใชช้ ดุ การสอน ดังน้ี

1. ครูต้องศึกษาแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง หลักการนับเบื้องตน้ และความนา่ จะเป็น ช้นั มธั ยมศกึ ษา
ปีท่ี 4 และอา่ นเน้ือหาสาระอย่างละเอียดรอบคอบ พร้อมท้ังทำความเข้าใจเนอื้ หากอ่ นการใชง้ าน

2. ครูเตรียมแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ให้ครบถ้วนและเพยี งพอต่อจำนวนนกั เรียน
3. ครูเตรียมเครือ่ งมอื วัดผลประเมินผล เพื่อทราบความกา้ วหน้าของนกั เรยี น
4. ครูชแี้ จงให้นกั เรียนทราบเก่ียวกบั ขั้นตอนและวิธีการสอนโดยใช้แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์อย่างชัดเจน
และประเกษมชน์ท่ีจะไดร้ บั จากการเรียนรู้โดยใช้แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์
5. ครูชแ้ี จงให้นกั เรียนทราบบทบาทของนักเรยี น โดยเน้นย้ำความซื่อสตั ย์ การมวี นิ ัย ใฝเ่ รียนใฝ่รู้
การแสดงความคดิ เห็น
6. ใหน้ ักเรยี นทำแบบทดสอบก่อนเรียนเพอ่ื ประเมนิ ความรู้เดิมของนกั เรียน
7. ครูจัดกิจกรรมการเรียนรู้ให้แก่นักเรยี น โดยใหค้ ำแนะนำ ดแู ล เสนอแนะ และเสรมิ แรง
ตามแนวทางของแผนการจัดการเรยี นรู้
8. ครูสงั เกตความร่วมมือและความตัง้ ใจในการเรยี น การทำกิจกรรมเปน็ รายบคุ คลและการทำ
กิจกรรมร่วมกับผู้อน่ื
9. ครูร่วมสรุปบทเรยี นกบั นกั เรยี นเพือ่ เปน็ การย้ำความเขา้ ใจของนกั เรยี นในทกุ กจิ กรรม
10. ให้นกั เรียนทำแบบทดสอบหลงั เรียนเพอ่ื วดั ความรูข้ องนักเรียน และประเมินผลการเรยี นรูข้ อง
นกั เรยี นอยา่ งตอ่ เนอื่ ง

1. นักเรียนคำชแ้ี จงเก่ียวกับแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์และคำแนะนำการใชช้ ุดแบบฝกึ ทักษะ เร่อื ง -4-
หลักการนับเบ้อื งต้นและความนา่ จะเปน็ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 สำหรับนกั เรยี นใหเ้ ขา้ ใจกอ่ นลงมอื ศึกษาเรยี นรู้
หรือทำกจิ กรรมทกุ ครงั้

2. นกั เรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี น เพื่อประเมนิ ความรู้เดิมของนักเรยี น
3. นกั เรียนศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ และสาระการเรียนรู้ในชุดการสอนทง้ั หมด อยา่ งละเอยี ด
หากมขี ้อสงสัย หรอื มีคำถาม ให้ปรกึ ษาครูผูส้ อน
4. ศกึ ษาใบความรู้ ตัวอย่าง และทำแบบฝกึ หดั ดว้ ยความตัง้ ใจ
5. ในการเรียนรู้ นักเรียนควรมีการวางแผนการทำกิจกรรม กรณีเปน็ รายกลุม่ ควรมีการแบ่งหน้าที่
และร่วมกันปฏบิ ตั ิกจิ กรรม
6. ในการปฏบิ ตั ิกจิ กรรมการเรียนรู้ นกั เรียนควรปฏบิ ัติงานใหท้ ันกบั เวลาทก่ี ำหนด
7. ข้นั ตอนสุดทา้ ยของการเรียนรูด้ ้วยชดุ แบบฝึกทักษะ เรือ่ ง หลกั การนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเป็น
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 นกั เรยี นต้องทำแบบทดสอบประจำชุดการสอนของแต่ละชดุ การสอน
8. นักเรียนควรมคี วามร่วมมือรว่ มใจ มีความสามคั คี ร่วมกันแสดงความคดิ เห็น และยอมรบั เสยี ง
ส่วนใหญใ่ นการปฏบิ ตั ิกจิ กรรมกลุ่ม
9. หากนักเรยี นมปี ญั หาหรอื ไมเ่ ข้าใจในสว่ นใด นักเรยี นสามารถสอบถามจากครูผู้สอนได้ตลอดเวลา

นกั เรยี นศกึ ษาคำแนะนำการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์สำหรับนกั เรยี น -5-

ศึกษามาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวชี้วัดและจดุ ประสงค์การเรยี นรู้

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี น

ดำเนนิ การศกึ ษาเน้อื หา โดยปฏบิ ัตกิ ิจกรรม
- ศกึ ษาเนื้อหา ใบความรู้
- ทำแบบฝึกหัด
- ตรวจแบบฝกึ หดั

ศึกษาแบบฝึกทกั ษะเลม่ ต่อไป

ทำแบบทดสอบหลังเรยี น ไม่ผ่าน 80%

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตวั ชว้ี ดั

สาระที่ 3 สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบ้อื งตน้ ความน่าจะเป็น และนำไปใช้

ตัวชว้ี ดั

ค 3.2 ตัวช้ีวัด ม.4/1 เขา้ ใจและใชห้ ลกั การบวกและการคูณ การเรยี งสับเปลีย่ น และการจดั หมู่

ในการแก้ปญั หา

เนอ้ื หา/สาระการเรียนรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา -6-
(ชวั่ โมง)

กฎเกณฑ์เบอ้ื งต้น ดา้ นความรู้ (K) กฎการนับเบื้องต้นเป็นกฎ 2

เกย่ี วกับการนบั นักเรยี นสามารถแก้โจทยป์ ัญหาโดย ท่ีใชน้ บั หาจำนวนวิธี

ใช้กฎเกณฑ์เบอื้ งตน้ เกีย่ วกับการนบั ได้ ทั้งหมดการทำงาน

ด้านทกั ษะ/กระบวนการ(P) ประกอบด้วย 2 หลกั คือ

1.นกั เรียนตระหนกั ถึงความ หลักการคูณ และหลกั การ

สมเหตุสมผลของคำตอบจากการคำนวณ บวก

และการแกป้ ญั หาได้

2.นักเรยี นมที ักษะในการแก้ปัญหา

การใหเ้ หตุผล และการสอื่ สาร การสื่อ

ความหมายทางคณติ ศาสตร์

ดา้ นคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะ

อนั พงึ ประสงค(์ A)

1.ความสนใจกระตอื รอื รน้

2. ความรับผดิ ชอบ

เนอื้ หา/สาระการเรยี นรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา
(ชวั่ โมง)
3. มวี ินยั ในตนเอง ตรงต่อเวลา
4. ความใฝร่ ู้ใฝ่เรียน
5. การยอมรับฟงั ผู้อ่นื

-7-

❖ กฎเกณฑเ์ บอื้ งตน้ เกี่ยวกบั การนบั -8-

ในชวี ติ ประจำวันเรามกั จะพบปญั หาเกี่ยวกบั การนับจำนวนวธิ ที ้ังหมดที่เหตุการณ์อยา่ งใดอยา่ งหนึ่ง
จะเป็นไปได้ หรอื จำนวนวธิ ี ในการจัดชุดของส่ิงตา่ ง ๆ เชน่ การจดั การแขง่ ขนั กีฬา การจัดชดุ เสือ้ ผา้ การจัด
ชุดอาหาร เปน็ ต้น การคำนวณเพือ่ หาค าตอบสำหรับปญั หาประเภทตา่ ง ๆ ดงั กล่าว จะทำไดง้ า่ ยและสะดวก
รวดเร็วขึ้นถา้ เขา้ ใจกฎเกณฑบ์ างข้อซ่งึ เรียกว่า หลกั มูลฐานเกี่ยวกบั การนับ เราสามารถนับจำนวนวธิ ีของเหตุการณ์
หนึ่ง ๆ ไดโ้ ดยใช้ “แผนภาพตน้ ไม้” ซึ่งแผนภาพต้นไมแ้ บง่ ไดเ้ ป็น 2 แบบ คือ

1. แผนภาพตน้ ไมท้ แ่ี ตกกง่ิ อยา่ งเปน็ ระเบยี บ

แผนภาพต้นไม้ทแ่ี ตกกิ่งอยา่ งเป็นระเบยี บ คือ แตล่ ะกิ่งจะแตกออกไปแล้วจะแตกกง่ิ ต่อกิง่ กิ่งละเท่า ๆ กัน
ตัวอยา่ งท่ี 1 มารค์ มเี ส้อื 2 ตวั สีต่างกนั และกางเกง 3 ตวั สตี ่างกัน จงหาจำนวนวธิ ีทั้งหมดท่ีมาร์คสวม

เส้อื และกางเกงเปน็ ชดุ ต่าง ๆ กัน
วธิ ที ำ มาร์คมีเสือ้ 2 ตวั สตี ่างกนั และกางเกง 3 ตวั สีตา่ งกัน

สามารถใช้แผนภาพตน้ ไม้ในการหาคำตอบไดด้ งั นี้

เส้อื กางเกง ผลลพั ธ์

จากแผนภาพ มาร์คสามารถสวมเสอ้ื และกางเกงเปน็ ชดุ ตา่ ง ๆ ไดท้ งั้ หมด 6 วธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 2 โรงเรยี นแหง่ หนึง่ จดั อาหารกลางวันเป็นอาหารคาว 4 อย่าง และขนม 3 อย่าง ถ้าแบมแบมเป็น
นกั เรียนของโรงเรียนแหง่ น้ี แลว้ ตอ้ งเลือกรับประทานชนิดละอยา่ ง อยากทราบวา่ แบมแบมจะมีวธิ ี
เลือกอาหารคาวและขนมได้ทงั้ หมดก่ีวิธี

วธิ ที ำ โรงเรียนแห่งหนง่ึ จดั อาหารกลางวนั เปน็ อาหารคาว 4 อย่าง และขนม 3 อยา่ ง
สามารถใชแ้ ผนภาพต้นไม้ในการหาคำตอบได้ดังนี้
อาหารคาว ขนม ผลลัพธ์

-9-

จากแผนภาพ แบมแบมสามารถเลอื กอาหารคาวและขนมไดท้ งั้ หมด 12 วธิ ี

2. แผนภาพตน้ ไมท้ แี่ ตกกง่ิ อยา่ งไมเ่ ปน็ ระเบยี บ

แผนภาพตน้ ไม้ที่แตกกิ่งอย่างไม่เป็นระเบยี บ คอื มบี างกิง่ ของแผนภาพที่แตกกิง่ ออกไปแลว้ ไม่เท่ากบั กิ่งของก่งิ อ่นื
ตัวอยา่ งท่ี 3 ในการเล่นการเกมครั้งหน่ึง เล่นได้ไมเ่ กนิ 5 ครง้ั จนิ ยองมีเงนิ เพยี ง 1 บาท เม่อื เริม่ เล่น และ

เลกิ เล่นเมื่อมกี ำไร 2 บาท (มเี งนิ 3 บาท) หรือหมดเงิน จนิ ยองจะมีวธิ กี ารเลน่ เกมไดท้ ง้ั หมดกี่วิธี
(ถ้าชนะได้ครัง้ ละ 1 บาท ถ้าแพ้เสียครั้งละ 1 บาท เชน่ กัน)
วิธที ำ สามารถเขียนแผนภาพต้นไม้แทนการเล่นเกมของจนิ ยองได้ดังนี้

ครัง้ ที่ 1 คร้ังที่ 2 ครั้งที่ 3 ครงั้ ท่ี 4 ครงั้ ที่ 5

1 บาท ชนะ 3 ชนะ 3

ชนะ 2 ชนะ 2 ชนะ 2

แพ้ 1 แพ้ 1

แพ้ 0 แพ้ 0 แพ้ 0

เม่ือ 0 หมายถึง เลกิ เลน่ เกมเม่ือหมดเงนิ (มเี งนิ 0 บาท) - 10 -
2 หมายถึง เลิกเลน่ เกมเม่อื เลน่ ครบ 5 คร้งั
3 หมายถงึ เลกิ เล่นเกมเพราะได้กำไร 2 บาท (มเี งนิ 3 บาท)

จากแผนภาพ จะไดว้ า่ จนิ ยองสามารถเลน่ เกมไดท้ งั้ หมด 6 วิธี

ตัวอยา่ งที่ 4 การเดนิ ทางจากเมือง MT ไปเมอื ง BB มีเส้นทางเดนิ ทางได้ 3 เส้นทาง คือ รถยนต์ รถไฟ
และเครอื่ งบนิ จากเมอื ง BB ไปเมอื ง JS มี 2 เส้นทาง คือ รถยนตแ์ ละเรือ จากเมือง JS
ไปเมือง YJ มี 3 เสน้ ทาง คอื เรือ รถไฟและเคร่อื งบนิ ถ้าเจบีจะเดินทางจากเมอื ง MT ไปเมือง
YJ โดยผา่ นเมือง BB และ JS แล้วเจบีจะมวี ิธีเลือกเดินทางได้ทง้ั หมดกี่วิธี

วธิ ที ำ สามารถเขียนแผนภาพต้นไม้แทนการเดินทางของเจบไี ด้ดังน้ี

รถยนต์ รถยนต์ เรอื

MT รถไฟ BB JS รถไฟ YJ

เครื่องบนิ เรอื เครื่องบนิ

จากแผนภาพ จะเหน็ วา่ เจบสี ามารถเดนิ ทางจากเมอื ง MT ไปเมอื ง YJ ไดท้ ง้ั หมด 18 วธิ ี

คำชแ้ี จง จงวิเคราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปนี้ โดยใชว้ ธิ ีการเขียนแผนภาพต้นไม้

ขอ้ ที่ 1 ยองแจจะใสช่ ุดเสื้อผา้ ไปเทย่ี ว ซึ่งยองแจจะใส่เสือ้ กางเกง และหมวก ทุกคร้งั โดยท่ียองแจมเี สอ้ื 3 ตัว
กางเกง 2 ตวั และหมวก 2 ใบ ทีแ่ ตกต่างกนั ทง้ั หมด ตามลำดับ จงหาวธิ ีท่ียองแจจะใส่ชดุ เสือ้ ผ้า
ดังกลา่ วได้ทั้งหมดกีว่ ธิ ี

วธิ ีทำ เส้ือ กางเกง หมวก ผลลพั ธ์

- 11 -

จากแผนภาพ ยองแจจะใสช่ ดุ เสอื้ ผา้ เปน็ ชดุ ตา่ ง ๆ ไดท้ งั้ หมด 12 วธิ ี

ขอ้ ท่ี 2 ในการแข่งขนั เทนนสิ รอบคดั เลอื ก ผูท้ ี่เล่นจะเข้ารอบ ต้องชนะอยา่ งนอ้ ย 2 ใน 3 (ชนะ 2 เซต

จาก 3 เซต) ถา้ ในการแขง่ ขนั ในคร้ังนี้ เอ็มได้แข่งขันกับบีบี ผลการแขง่ ขันของเอม็ ท่ีอาจจะเกิดขน้ึ ได้

ทงั้ หมดมีกี่วธิ ี

วิธีทำ เซตที่ 1 เซตที่ 2 เซตที่ 3 ผลการแขง่ ขนั ของเอ็ม

ชนะ ชนะ 2 : 0 เซต

ชนะ ชนะ ชนะ 2 : 1 เซต

แพ้

แพ้ แพ้ 1 : 2 เซต

ชนะ ชนะ 2 : 1 เซต

ชนะ

แพ้ แพ้ 1 : 2 เซต

แพ้

แพ้ แพ้ 0 : 2 เซต

จากแผนภาพ ผลการแขง่ ขนั ของเอม็ ทอ่ี าจจะเกดิ ขนึ้ ไดม้ ที ง้ั หมด 6 วธิ ี

- 12 -

หลกั การคูณ (multiplication principle)

ในการทำงานอยา่ งหนึ่ง ถา้ สามารถแบง่ วิธีการทำงานออกเปน็ k ขั้นตอน ซึง่ ต้องทำต่อเนือ่ งกัน โดยที่

ข้ันตอนที่ 1 สามารถทำงานได้ n1 วธิ ี

ข้ันตอนท่ี 2 ในแตล่ ะวิธขี ้นั ตอนท่ี 1 สามารถทำขน้ั ตอนที่ 2 ตอ่ ไปได้ n2 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 3 ในแตล่ ะวิธีของขัน้ ตอนที่ 1 และขนั้ ตอนที่ 2 สามารถทำข้ันตอนที่ 3 ตอ่ ไปได้ n3 วิธี
.

.

.

ข้นั ตอนท่ี k ในแต่ละวธิ ีของขั้นตอนท่ี 1 ถงึ ขัน้ ตอนที่ k - 1 สามารถทำข้ันตอนท่ี k ตอ่ ไปได้ nk วิธี
จะสามารถทำงานนไ้ี ดท้ งั้ หมด n1 ĭ n2 ĭ n3 ĭ … ĭ nk วธิ ี

- 13 -

ตัวอยา่ งที่ 1 เจนต้องการเดนิ ทางจากกรุงเทพมหานครไปเชียงใหม่ โดยระหว่างทางเจนจะตอ้ งแวะเยี่ยมญาติ

ที่นครสวรรค์ ถา้ เสน้ ทางจากกรุงเทพมหานครไปนครสวรรคม์ ี 2 เส้นทาง และเสน้ ทางจากนครสวรรค์

ไปเชียงใหม่มี 3 เส้นทาง แล้วเจนจะสามารถเดินทางจากกรงุ เทพไปเชยี งใหม่ไดท้ ้ังหมดก่ีเส้นทาง

วิธที ำ วธิ ที ่ี 1 ใช้ความรูเ้ รื่องแผนภาพตน้ ไมใ้ นการหาคำตอบ

ข้ันตอนที่ 1 เจนเดนิ ทางจากกรุงเทพมหานครไปนครสวรรค์ ได้ 2 วธิ ี

ข้นั ตอนที่ 2 เจนเดนิ ทางจากนครสวรรคไ์ ปเชยี งใหม่ ได้ 3 วธิ ี

ดงั นัน้ จะเห็นว่าเจนสามารถเดินทางจากกรุงเทพมหานครไปเชยี งใหมไ่ ดท้ ้ังหมด 6 เสน้ ทาง

วธิ ที ่ี 2 ใช้ความรู้เก่ยี วกับหลกั การคูณ
จะเหน็ วา่ การเดนิ ทางของเจนมขี ั้นตอนยอ่ ย 2 ขน้ั ตอน ดงั นี้
ขน้ั ตอนท่ี 1 เจนเดินทางจากกรุงเทพมหานครไปนครสวรรค์ ได้ 2 วิธี
ขั้นตอนท่ี 2 เจนเดนิ ทางจากนครสวรรคไ์ ปเชยี งใหม่ ได้ 3 วธิ ี

ดังน้นั จะเห็นว่าเจนสามารถเดินทางจากกรุงเทพมหานครไปเชียงใหมไ่ ด้ทั้งหมด 2 x 3 = 6 เส้นทาง

ตวั อยา่ งท่ี 2 รา้ นอาหารแห่งหน่งึ มอี าหารคาว 4 อย่าง และขนม 3 อย่าง ถ้าชวลั วิทย์ตอ้ งการสั่งอาหารคาว

หน่ึงอย่าง และขนมหนึง่ อยา่ ง ลูกค้าจะมีวธิ เี ลอื กสงั่ อาหารไดก้ ่วี ิธี

วิธที ำ จะเหน็ ว่าการสงั่ อาหารของลูกค้านน้ั ต้องทำ 2 ขัน้ ตอนดว้ ยกัน คือ

ข้ันตอนท่ี 1 ชวลั วทิ ย์สง่ั อาหารคาวได้ 4 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 2 ชวลั วิทย์สัง่ ขนม ได้ 3 วธิ ี - 14 -

ดงั นน้ั ลูกคา้ สามารถส่ังอาหารไดท้ ้งั หมด 4 x 3 = 12 วิธี
ตวั อยา่ งที่ 3 หา้ งสรรพสินคา้ แห่งหนึง่ มปี ระตูเข้า ออก ท้ังหมด 5 ประตู จงหาว่าเกษมจะสามารถเข้า - ออก

ห้างสรรพสนิ คา้ แห่งน้ีไดท้ ั้งหมดก่วี ิธีถา้ ห้ามใช้ประตูเดมิ
วธิ ที ำ ข้ันตอนที่ 1 เกษมเดินเข้าหา้ งสรรพสนิ คา้ สามารถทำได้ 5 วิธี

ขน้ั ตอนท่ี 2 เกษมเดนิ ออกจากหา้ งสรรพสินค้า สามารถทำได้ 4 วธิ ี

ดังนั้น เกษมสามารถเดินทางเข้า - ออก ห้างสรรพสนิ คา้ แห่งนไี้ ดท้ ้ังหมด 5 X 4 = 20 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 4 วรพลตอ้ งการสร้างจำนวนที่มสี ามหลักโดยเป็นจำนวนค่ี จากเลขโดด 1 , 2 , 4 , 6 , 7 , 8

ถ้าแตล่ ะหลกั สามารถใชเ้ ลขโดดซ้ำกันได้ จงหาวา่ วรพลจะสามารถสร้างจำนวนสามหลกั ท่ีเป็น

จำนวนคูไ่ ด้ทั้งหมดกจ่ี ำนวน

วธิ ที ำ ขั้นตอนที่ 1 วรพลเลือกเลขโดด 1 ตัว เพ่ือเปน็ หลกั หน่วย สามารถทำได้ 2 วิธี

ข้นั ตอนที่ 2 วรพลเลือกเลขโดด 1 ตัว เพอื่ เปน็ หลกั สบิ สามารถทำได้ 6 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 3 วรพลเลือกเลขโดด 1 ตวั เพื่อเปน็ หลักร้อย สามารถทำได้ 6 วธิ ี

หลกั ร้อย หลกั สบิ หลกั หน่วย

66 2

(1 2 4 6 7 8) (1 2 4 6 7 8) (1 7)

ดงั นัน้ วรพลสามารถสร้างจำนวนท่ีมีสามหลักท่ีเป็นจำนวนคไี่ ดท้ ัง้ หมด 2 x 6 x 6 = 72 จำนวน

ตวั อยา่ งที่ 5 ดนุเดชตอ้ งการจำนวนทม่ี สี ามหลกั จากเลขโดด 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 โดยท่แี ตล่ ะหลกั หา้ มใช้

เลขโดดซำ้ กนั จงหาวา่ ดนุเดชจะสามารถสร้างจำนวนสามหลกั น้ีไดท้ ง้ั หมดกีจ่ ำนวน - 15 -

วิธที ำ ขัน้ ตอนที่ 1 ดนเุ ดชเลอื กเลขโดด 1 ตัว เพอ่ื เปน็ หลักหน่วย สามารถทำได้ 6 วธิ ี

ขน้ั ตอนที่ 2 ดนุเดชเลือกเลขโดด 1 ตัว เพอ่ื เป็นหลักสบิ สามารถทำได้ 5 วธิ ี

ขัน้ ตอนท่ี 3 ดนุเดชเลือกเลขโดด 1 ตวั เพ่อื เป็นหลักร้อย สามารถทำได้ 4 วิธี

หลักรอ้ ย หลักสิบ หลักหนว่ ย

45 6

(1 3 4 5) (1 3 4 5 6) (1 3 4 5 6 9)

สมมติวา่ เลอื กเลข 6 สมมตวิ า่ เลือกเลข 9

ดงั นั้น ดนุเดชสามารถสรา้ งจำนวนทม่ี สี ามหลักทง้ั หมด 6 x 5 x 4 = 120 จำนวน

คำชแี้ จง จงวิเคราะห์โจทย์และตอบคำถามต่อไปนี้ โดยใช้ความรูเ้ รอื่ ง หลักการคูณ (multiplication principle)

ขอ้ ที่ 1 ลูกน้ำจะเดินทางจากอบุ ลราชธานไี ปเย่ียมญาติท่ีขอนแก่น โดยระหว่างทางเขาต้องแวะซื้อของฝากทีร่ ้อยเอ็ด
ถา้ เส้นทางจากอบุ ลราชธานีไปรอ้ ยเอด็ มี 4 เสน้ ทาง และเสน้ ทางจากร้อยเอ็ดไปขอนแกน่ มี 3 เส้นทาง
แลว้ ลูกนำ้ จะสามารถเดินทางจากอบุ ลราชธานีไปขอนแกน่ ไดท้ ้ังหมดก่เี ส้นทาง

วธิ ีทำ จากโจทย์จะเหน็ ว่าลูกนำ้ จะตอ้ งเดนิ ทางทั้งหมด 2 ข้นั ตอน ดังน้ี
ขั้นตอนที่ 1 ลูกนำ้ เดินทางจากอบุ ลราชธานีไปร้อยเอ็ด สามารถเลือกได้ 4 วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 2 ลูกนำ้ เดนิ ทางจากร้อยเอด็ ไปขอนแก่น สามารถเลอื กได้ 3 วิธี

43

อบุ ลราชธานี รอ้ ยเอด็ ขอนแกน่ - 16 -

ดงั นน้ั ลูกนำ้ สามารถเดนิ ท างจากอุบลราชธานไี ปขอนแก่นไดท้ งั้ หมด 4 x 3 = 12 วิธี

ขอ้ ที่ 2 มจี ดหมายท่ีแตกตา่ งกัน 4 ฉบับ และมตี ู้จดหมายทแ่ี ตกต่างกนั 5 ตู้ จะมวี ิธนี ำจดหมายไปใส่ตู้
ไดท้ ั้งหมดกว่ี ธิ ี

วิธที ำ จากโจทย์ เนื่องจากมจี ดหมายทั้งหมด 4 ฉบับ ดงั นน้ั ตอ้ งทำทง้ั หมด 4 ข้นั ตอน
ขนั้ ตอนท่ี 1 นำจดหมายฉบบั ที่ 1 ไปใส่ตู้จดหมาย ได้ 5 วธิ ี
ขัน้ ตอนที่ 2 นำจดหมายฉบับท่ี 2 ไปใส่ตูจ้ ดหมาย ได้ 5 วธิ ี
ขน้ั ตอนท่ี 3 นำจดหมายฉบับที่ 3 ไปใส่ตู้จดหมาย ได้ 5 วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 4 นำจดหมายฉบบั ท่ี 4 ไปใส่ตูจ้ ดหมาย ได้ 5 วิธี

ดงั นัน้ สามารถนำจดหมายไปใส่ตู้จดหมายไดท้ ง้ั หมด 5 x 5 x 5 x 5 = 625 วิธี

ข้อท่ี 3 ณฐั ฐาตอ้ งการสร้างจำนวนที่มสี ามหลักจากเลขโดด 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 โดยหลักหน่วยตอ้ งเป็น

จำนวนเฉพาะจงหาว่าณฐั ฐาจะสามารถสร้างจำนวนสามหลักไดท้ ้ังหมดกจี่ ำนวน ถา้ เลขแต่ละหลักสามารถ

ใช้เลขโดดซำ้ กนั ได้

วิธที ำ ขั้นตอนที่ 1 ณฐั ฐาเลือกเลขโดด 1 ตัว เพือ่ เปน็ หลกั หน่วย สามารถทำได้ 4 วิธี

ขั้นตอนท่ี 2 ณัฐฐาเลอื กเลขโดด 1 ตัว เพ่อื เปน็ หลกั สิบ สามารถทำได้ 6 วธิ ี

ขนั้ ตอนท่ี 3 ณัฐฐาเลือกเลขโดด 1 ตวั เพอ่ื เป็นหลกั รอ้ ย สามารถทำได้ 6 วิธี

ดงั นน้ั ณัฐฐาสามารถสร้างจำนวนท่มี สี ามหลกั โดยหลักหนว่ ยเป็นจำนวนเฉพาะได้ทง้ั หมด

4 x 6 x 6 = 144 จำนวน

- 17 -

หลกั การบวก (addition principle) - 18 -

ในการทำงานอยา่ งหนึ่ง ถา้ สามารถแบ่งวิธีการทำงานออกเป็น k กรณี โดยท่ี

กรณีที่ 1 สามารถทำงานได้ n1 วธิ ี
กรณที ี่ 2 สามารถทำงานได้ n2 วธิ ี
กรณที ่ี 3 สามารถทำงานได้ n3 วิธี

.
.
.

กรณที ่ี n สามารถทำงานได้ nk วิธี
การทำงานใน k กรณไี มซ่ ำ้ ซอ้ นกนั และการทำงานแตล่ ะกรณที ำใหง้ านเสรจ็ สมบูรณ์

จะสามารถทำงานนไ้ี ดท้ ง้ั หมด n1 + n2 + n3 + … + nk วิธี

ตัวอยา่ งที่ 1 ถ้าชนิดาจะเดนิ ทางจากขอนแกน่ กลบั ไปเยี่ยมบา้ นที่อุดรธานี โดยจะเลอื กเดนิ ทางโดยเคร่อื งบิน
หรือรถประจำทาง และสมมตวิ า่ มีสายการบิน 2 สาย คือ สายการบินยมิ้ สยาม สายการบินวิหคเหนิ ฟ้า
และมรี ถประจำทาง 3 สาย คอื สาย 222 สาย 333 สาย 444 ชนิดาจะเลอื กวธิ ีการเดนิ ทางจาก
ขอนแกน่ ไปอดุ รธานีได้ทั้งหมดก่วี ธิ ี

วธิ ที ำ จากโจทย์จะพบว่าอภชิ ัยสามารถเดินทางได้ท้ังหมด 2 วิธีหลัก คอื เคร่ืองบนิ และ รถประจำทาง
กรณที ่ี 1 ชนิดาเดินทางโดยเครอื่ งบิน ได้ 2 วธิ ี

ขอนแกน่ อดุ รธานี

กรณีท่ี 2 ชนิดาเดนิ ทางโดยรถประจำทาง ได้ 3 วธิ ี

ขอนแก่น อุดรธานี

ดงั นน้ั ชนดิ าจะสามารถเลอื กวธิ กี ารเดนิ ทางจากขอนแกน่ ไปอดุ รธานไี ดท้ งั้ หมด 2 + 3 = 5 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 2 เมนูของรา้ นอาหารแห่งหน่ึง มีอาหารไทย 3 อย่าง มอี าหารจนี 2 อยา่ ง และมอี าหารเกาหลี 2 อย่าง

ถา้ ธญั ญาต้องการส่ังอาหาร 1 อยา่ ง จะมวี ิธีเลอื กสัง่ อาหารไดก้ ่ีวิธี

วธิ ที ำ มีอาหารทั้งหมด คือ อาหารไทย อาหารจีน และอาหารเกาหลี

กรณที ่ี 1 ธญั ญาเลอื กสง่ั อาหารไทย ได้ 3 วิธี

- 19 -

กรณีท่ี 2 ธัญญาเลือกสัง่ อาหารจนี ได้ 2 วธิ ี

กรณีที่ 3 ธัญญาเลอื กส่งั อาหารเกาหลี ได้ 2 วิธี

ดงั นน้ั ธญั ญาสามารถเลอื กสงั่ อาหารไดท้ ง้ั หมด 3 + 2 + 2 = 7 วิธี

ตวั อยา่ งท่ี 3 ณัฐธดิ าซือ้ เส้อื แขนสัน้ มา 2 ตวั คือ สีชมพู และ สีเหลือง และซือ้ เสือ้ แขนยาวมา 2 ตัว คือ
สนี ้ำตาล และ สีแดง ถ้าณัฐธิดาต้องการนำเส้อื ไปบริจาค 1 ตัว ณฐั ธดิ าจะมีวิธกี ารเลือกเสือ้
ไปบรจิ าคไดท้ ั้งหมดก่วี ิธี

วธิ ที ำ มเี สื้อ 2 แบบ คือ เสือ้ แขนยาว และ เสื้อแขนส้ัน
กรณที ่ี 1 ณฐั ธดิ าเลอื กเสือ้ แขนสน้ั ได้ 2 วิธี

กรณที ี่ 2 ณัฐธดิ าเลือกเสอ้ื แขนยาว ได้ 2 วธิ ี

ดงั นนั้ ณฐั ธดิ าสามารถเลอื กเสอ้ื ไปบรจิ าคไดท้ ง้ั หมด 2 + 2 = 4 วิธี - 20 -

คำชแี้ จง จงวิเคราะห์โจทยแ์ ละตอบคำถามต่อไปนี้ โดยใช้ความรู้เรอื่ ง หลักการบวก (addition principle)

ขอ้ 1 เมนูของร้านอาหารแห่งหน่งึ มอี าหารไทย 5 อย่าง อาหารญ่ปี ุ่น 8 อยา่ ง และอาหารเวียดนาม 3 อย่าง

ถ้าเมธาต้องการส่ังอาหาร 1 อยา่ ง จะมีวธิ เี ลอื กส่ังอาหารไดท้ ั้งหมดกวี่ ิธี

วิธีทำ จากโจทย์สามารถเลือกสั่งอาหารได้ท้ังหมด 3 กรณี ดงั นี้

กรณที ี่ 1 เมธาเลอื กสั่งอาหารไทย สามารถเลือกได้ 5 วิธี

กรณที ่ี 2 เมธาเลือกส่งั อาหารญี่ปนุ่ สามารถเลอื กได้ 8 วธิ ี

กรณท่ี 3 เมธาเลอื กส่งั อาหารเวียดนาม สามารถเลือกได้ 3 วิธี

- 21 -

ดังนนั้ เมธาสามารถเลือกส่งั อาหารได้ท้งั หมด 5 + 8 + 3 = 16 วิธี

ขอ้ 2 เกษมตอ้ งการเดินทางจากกรุงเทพไปเชียงใหมซ่ ่ึงเขาสามารถเลอื กเดินทางโดยเคร่ืองบินหรือรถประจำทาง
ท่มี อี ยู่ดังนี้ เครื่องบนิ : สายการบินแอร์เอเชยี สายการบินสไมล์ และสายการบินเชยี งใหม่
รถประจำทาง : บรษิ ัทกรุงเทพทวั ร์ บริษทั สยามทวั ร์ บริษทั ทัวรท์ ่ัวไทย และบริษัทมาลีทัวร์
เกษมจะสามารถเดินทางไปเชียงใหมไ่ ดท้ ั้งหมดกว่ี ธิ ี

วธิ ีทำ กรณที ่ี 1 เกษมเลอื กเดนิ ทางโดยเครอื่ งบิน สามารถเลือกเดนิ ทางได้ 3 กรณี
กรณีท่ี 2 เกษมเลือกเดินทางโดยรถประจำทาง สามารถเลือกเดินทางได้ 4 กรณี

ดงั น้ัน เกษมสามารถเดินทางจากกรงุ เทพมหานครไปเชยี งใหม่ไดท้ ง้ั หมด 3 + 4 = 7 วธิ ี

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. 2551. หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พทุ ธศักราช 2551.กรุงเทพฯ - 22 -
โรงพมิ พ์ชุมนมุ สหกรณก์ ารเกษตรแห่งประเทศไทย.

กนกวลี อษุ ณกรกลุ และ รณชัย มาเจรฐิ ทรพั ย์. (2553). แบบฝกึ หดั และประเมินผลการเรียนรู้คณติ ศาสตร์
พ้นื ฐาน ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4-6 เล่ม 2. กรุงเทพมหานคร : สำนักพมิ พเ์ ดอะบุคส์.

ฉววี รรณ เศวตมาลย์. 2545. การพฒั นาหลักสูตรคณิตศาสตร.์ กรงุ เทพมหานคร : สวุ รี ิยาสาสน.์
ทชิ ากร ทองระยับ ธนิน กระแสร์ และวันทนีย์ นามสวสั ด.์ิ (2557). ผลการใชแ้ บบฝกึ ทักษะ เร่อื ง

ความนา่ จะเป็น กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ สําหรบั นักเรียนช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 3 ท่เี รียนรู้
ตามทฤษฎคี อนสตรคั ติวสิ ต.์
กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนคิ การเรียนคณิตศาสตร์ : ความน่าจะเปน็ กรุงเทพมหานคร :
สำนกั พิมพฟ์ สิ ิกสเ์ ซน็ เตอร.์
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2554). หนงั สือเรียนรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร์
เลม่ 2 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4-6 กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลาง
การศกึ ษาข้ันพื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.
สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2554). หนังสือเรียนรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร์
เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4-6 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลาง
การศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.
ทินกฤต เรอื นสม (2560). รายงานการพฒั นาแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความนา่ จะเปน็ วิชาคณิตศาสตร์
พืน้ ฐาน สําหรบั นกั เรียนช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 5.
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2557). หนงั สอื เรยี นรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 2
ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3 กล่มุ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน
พทุ ธศักราช 2551. พิมพค์ รง้ั ที่ 5. กรงุ เทพมหานคร: โรงพิมพอ์ งคก์ ารค้า สกสค.
สริ ิพร ทพิ ยแคง. 2545. หลักสูตรและการสอนคณติ ศาสตร.์ กรงุ เทพ : พัฒนาคณุ ภาพวิชาการ (พว.) จํากดั .
Dewey, J. (1963). Experience and education. New York: Macmilan Publishing Company.
Eves, Jamie H. (1990). An Introduction to the History of Mathematics. 6th Ed. USA:
Thomson Learning, Inc.

- 23 -