เฉลยแบบฝึกทักษะเล่มที่ 4 ความน่าจะเป็น

ความนา่ จะเปน็
-0-
Probability

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบอ้ื งต้นและความนา่ จะเป็น ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 -1-
โดยการจดั การเรียนรู้แบบ 5E + 3T สร้างข้ึนเพื่อเป็นการเสริมสรา้ งและพฒั นาการเรียนรู้ของนกั เรยี น
โดยเนน้ ผู้เรยี นเปน็ สำคญั เปิดโดอกาสใหน้ ักเรียนไดแ้ สวงหาความรูด้ ว้ ยตนเอง ใช้ทักษะตา่ ง ๆ ในการ
แสวงหาความรู้ มุ่งพฒั นาผลสมั ฤทธแ์ิ ละสมรรถภาพการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตรข์ องนักเรียน ให้สอดคล้องกบั
สาระและมาตรฐานการเรียนรูท้ ี่กำหนดไว้ ท้งั นี้ ไดน้ ำสถานการณ์ในชีวติ ประจำวันทีน่ ักเรียนเคยพบมาแล้ว
มาเชือ่ โยงกบั ความรูใ้ หม่เพอื่ ให้นกั เรยี นได้เรยี นรู้ไดง้ ่ายและต่อเน่อื งกนั ทัง้ ส่งเสรมิ ใหน้ กั เรียนได้ศึกษา
หาความรู้และสรปุ องค์ความรูด้ ้วยตนเอง

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง หลักการนับเบือ้ งตน้ และความนา่ จะเปน็ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4
ประกอบด้วย แบบฝึกทกั ษะทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด 4 เล่ม ดงั นี้

เลม่ ท่ี 1 เร่อื ง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกย่ี วกบั การนบั
เล่มท่ี 2 เรือ่ ง แฟกทอเรยี ล การเรียงสับเปลยี่ น และการจัดหมู่
เล่มท่ี 3 เรอ่ื ง การทดลองสุ่ม ปริภูมิตวั อย่าง และเหตุการณ์
เล่มที่ 4 เร่อื ง ความน่าจะเปน็
แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนบั เบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4 นี้
ประกอบด้วย ใบความรู้ เน้ือหา แนวคิดรวบยอด โจทยป์ ญั หา โจทยเ์ สริมทกั ษะ และการจัดการเรียนรู้
ทม่ี ุ่งพัฒนาทกั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ การใหเ้ หตผุ ล การแกป้ ัญหา การนำเสนอความคดิ
ทางคณติ ศาสตร์ และยงั ส่งเสรมิ การเรียนรู้ดว้ ยวิธกี ารที่หลากหลาย เพอื่ พัฒนาคณุ ภาพผูเ้ รียนตามศกั ยภาพ
ซง่ึ แสดงให้เห็นถึงการเน้นบทบาทของผู้เรียนเป็นสำคัญ
หวงั เปน็ อย่างย่ิงว่า ของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง หลักการนบั เบ้อื งตน้ และความนา่ จะเป็น
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 ที่ไดจ้ ดั ทำขึน้ นี้ จะเป็นประโยชนต์ ่อนกั เรียนและครูในการพัฒนากิจกรรมการเรียน
การสอนใหบ้ รรลุวัตถุประสงคท์ ่ีกำหนดไว้เปน็ อยา่ งดี

วรรณา จิตรงาม

สารบญั -2-

เรื่อง หนา้
คำนำ……………………………………………………………………………………………………………...- 1 -
สารบญั ........................................................................................................................................... .- 2 -
คำแนะนำการใช้ชุดแบบฝกึ ทกั ษะ เรือ่ ง หลกั การนบั เบือ้ งต้นและความน่าจะเปน็
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 4 สำหรบั คร…ู ………………………………………………………………….………- 3 -
คำแนะนำการใชช้ ุดแบบฝึกทกั ษะ เร่อื ง หลักการนบั เบอ้ื งต้นและความน่าจะเปน็
ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 สำหรับนักเรยี น………………………………………………………….……….…- 4 –
แผนผงั ขน้ั ตอนในการเรียนรูด้ ้วย ชุดแบบฝึกทักษะ เรื่อง หลกั การนับเบือ้ งตน้ และความนา่ จะเปน็
ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4…………………………………………………………………………………….….…- 5 –
เนือ้ หา/สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรยี นรู้ สาระสำคญั และเวลาเรอ่ื ง
หลกั การนบั เบ้ืองตน้ และความน่าจะเปน็ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4……………………………………….…- 6 –
ใบความรูท้ ่ี 1 เร่ือง ความน่าจะเป็น 1……..…………………………………...………………….………- 7 –
เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 1 เรื่อง ความน่าจะเป็น (Probability) 1……….…………………….…….……- 10 –
ใบความรู้ท่ี 2 เร่ือง ความนา่ จะเปน็ 2……..…………………………………….…………………....…- 12 –
เฉลยแบบฝึกหัดท่ี 2 เร่ือง ความนา่ จะเป็น (Probability) 2……….…………………….…………- 14 –
ใบความรูท้ ี่ 3 เรื่อง ความน่าจะเปน็ 3……..……………………………………………..………..……- 19 –
เฉลยแบบฝึกหัดที่ 3 เรื่อง ความน่าจะเป็น (Probability) 3……….……………………….….…..- 22 –
ใบความรู้ท่ี 4 เรอ่ื ง ความน่าจะเป็น 4……..…………………………………….……….…………...…- 27 –
เฉลยแบบฝึกหดั ที่ 4 เรือ่ ง ความน่าจะเปน็ (Probability) 4……….…………………………….…- 32 –
บรรณานุกรม…………………………………………………………………………………………………..- 35 -

การใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลกั การนบั เบ้ืองต้นและความน่าจะเป็น ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 4
ครูผู้สอนเป็นผูท้ ี่มบี ทบาทสำคญั ที่จะชว่ ยให้การดำเนนิ การเรียนรู้ของนกั เรียนบรรลุตามวตั ถุประสงค์ ครูผูส้ อน
จงึ ควรศกึ ษารายละเอียดเกี่ยวกับ การปฏิบัติตนก่อนที่จะใชช้ ุดการสอน ดงั น้ี

1. ครูตอ้ งศึกษาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลกั การนับเบ้ืองตน้ และความนา่ จะเป็น ชั้นมัธยมศกึ ษา
ปที ่ี 4 และอ่านเนอ้ื หาสาระอยา่ งละเอยี ดรอบคอบ พร้อมทั้งทำความเข้าใจเนอ้ื หาก่อนการใชง้ าน

2. ครูเตรียมแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ให้ครบถ้วนและเพยี งพอต่อจำนวนนักเรยี น
3. ครูเตรียมเครอ่ื งมอื วัดผลประเมินผล เพอ่ื ทราบความกา้ วหนา้ ของนกั เรยี น
4. ครูชี้แจงใหน้ กั เรยี นทราบเกยี่ วกับขัน้ ตอนและวิธีการสอนโดยใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์อย่างชัดเจนและ - 3 -
ประโยชนท์ ่ีจะไดร้ บั จากการเรียนรู้โดยใชช้ ุดการสอน
5. ครูช้แี จงให้นักเรยี นทราบบทบาทของนกั เรียน โดยเนน้ ย้ำความซอ่ื สตั ย์ การมีวินัย ใฝเ่ รยี นใฝร่ ู้
การแสดงความคิดเหน็
6. ใหน้ ักเรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรียนเพื่อประเมินความรูเ้ ดมิ ของนกั เรียน
7. ครูจัดกจิ กรรมการเรยี นรูใ้ ห้แกน่ ักเรยี น โดยให้คำแนะนำ ดแู ล เสนอแนะ และเสรมิ แรง
ตามแนวทางของแผนการจดั การเรยี นรู้
8. ครูสังเกตความร่วมมือและความตัง้ ใจในการเรยี น การทำกจิ กรรมเปน็ รายบุคคลและการทำ
กจิ กรรมร่วมกับผูอ้ นื่
9. ครูร่วมสรุปบทเรยี นกับนกั เรยี นเพือ่ เป็นการย้ำความเข้าใจของนกั เรยี นในทกุ กจิ กรรม
10. ให้นกั เรยี นทำแบบทดสอบหลงั เรียนเพ่ือวดั ความรูข้ องนักเรียน และประเมินผลการเรยี นรูข้ อง
นักเรยี นอยา่ งต่อเน่อื ง

1. นักเรยี นคำชี้แจงเกีย่ วกับแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์และคำแนะนำการใช้แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ -4-
เรอ่ื ง หลกั การนบั เบื้องต้นและความนา่ จะเป็น ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4 สำหรับนักเรียนให้เข้าใจก่อนลงมอื ศึกษาเรียนรู้
หรือทำกจิ กรรมทกุ คร้งั

2. นกั เรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน เพอื่ ประเมินความรูเ้ ดิมของนักเรยี น
3. นักเรียนศกึ ษาจุดประสงค์การเรียนรู้ และสาระการเรียนรูใ้ นชุดการสอนทั้งหมด อย่างละเอยี ด
หากมขี อ้ สงสยั หรือมีคำถาม ใหป้ รึกษาครูผูส้ อน
4. ศึกษาใบความรู้ ตัวอย่าง และทำแบบฝกึ หดั ดว้ ยความตงั้ ใจ
5. ในการเรยี นรู้ นกั เรียนควรมีการวางแผนการทำกจิ กรรม กรณเี ป็นรายกลุ่ม ควรมีการแบ่งหน้าที่
และรว่ มกนั ปฏบิ ตั กิ จิ กรรม
6. ในการปฏบิ ตั ิกจิ กรรมการเรียนรู้ นักเรียนควรปฏิบัตงิ านใหท้ ันกบั เวลาทีก่ ำหนด
7. ข้ันตอนสุดทา้ ยของการเรียนรู้ด้วยแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง หลักการนบั เบ้ืองตน้ และความ
นา่ จะเป็น ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 4 นกั เรยี นตอ้ งทำแบบทดสอบประจำแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ของแตล่ ะแบบฝึก
ทักษะคณติ ศาสตร์
8. นกั เรียนควรมคี วามรว่ มมอื รว่ มใจ มีความสามัคคี ร่วมกนั แสดงความคิดเหน็ และยอมรับเสยี ง
ส่วนใหญใ่ นการปฏบิ ตั กิ ิจกรรมกลมุ่
9. หากนกั เรียนมีปญั หาหรือไม่เขา้ ใจในสว่ นใด นักเรยี นสามารถสอบถามจากครูผู้สอนได้ตลอดเวลา

นกั เรยี นศกึ ษาคำแนะนำการใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์สำหรับนกั เรียน -5-

ศึกษามาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวชี้วัดและจุดประสงค์การเรยี นรู้

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี น

ดำเนนิ การศกึ ษาเน้อื หา โดยปฏบิ ัตกิ จิ กรรม
- ศกึ ษาเนื้อหา ใบความรู้
- ทำแบบฝึกหัด
- ตรวจแบบฝกึ หดั

ศึกษาแบบฝึกทกั ษะเลม่ ต่อไป

ทำแบบทดสอบหลังเรยี น ไมผ่ ่าน 80%

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตวั ชว้ี ดั

สาระท่ี 3 สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็

มาตรฐานการเรยี นรู้

มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลกั การนับเบอื้ งต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้

ตัวชวี้ ดั

ค 3.2 ตวั ชี้วัด ม.4/2 หาความน่าจะเป็นและนำความรูเ้ ก่ียวกบั ความน่าจะเป็นไปใช้

เนอื้ หา/สาระการเรียนรู้ จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา
(ชว่ั โมง)

ความน่าจะเป็น ดา้ นความรู้ (K) สมาชกิ ของแซม 2 -6-

นักเรยี นสามารถแก้โจทย์ปญั หา เปิลสเปซมีโอกาสเกิดขึ้นได้

เกีย่ วกบั ความน่าจะเปน็ ได้ เท่าๆ กันแล้วอัตราสว่ น

ด้านทกั ษะ/กระบวนการ(P) ระหว่างจำนวนสมาชกิ ของ

1. นกั เรยี นมคี วามสามารถในการ เหตกุ ารณ์ทีส่ นใจกบั

ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้ในการแกป้ ญั หาได้ จำนวนสมาชกิ ของแซม

2. นักเรยี นสามารถใหเ้ หตผุ ลใน เปลิ สเปซ วา่ ความน่าจะ

การแก้โจทยป์ ัญหาได้ เป็นของเหตุการณ์

ด้านคณุ ธรรม จรยิ ธรรมและคณุ ลกั ษณะ (Probability) n(E)
n(S)
อนั พงึ ประสงค(์ A) P(E)=
1. ความสนใจกระตอื รือร้น

2. ความรบั ผิดชอบ

3. มีวนิ ยั ในตนเอง ตรงต่อเวลา

4. ความใฝ่รู้ใฝเ่ รียน

5. การยอมรบั ฟังผู้อืน่

บทนิยาม

ให้ S แทนปริภูมิตวั อยา่ งของการทดลองส่มุ ซง่ึ เปน็ เซตจำกัด

โดยสมาชิกทกุ ตวั ของ S มโี อกาสเกิดขึ้นไดเ้ ท่ากัน และให้ E เปน็ เหตกุ ารณท์ เี่ ปน็ สับเซตของ S

ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ E เขียนแทนดว้ ย P(E) โดยท่ี

P(E) = n(E)
n(S)

เมือ่ n(E) แทน จำนวนสมาชกิ ของเหตุการณ์ E

n(S) แทน จำนวนสมาชกิ ของปริภูมิตัวอย่าง S

สมบตั ขิ องความนา่ จะเปน็ -7-
1. ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ E ใด ๆ มคี ่าต้งั แต่ 0 – 1 เสมอ นัน่ คือ 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. ความนา่ จะเป็นของปรภิ มู ิตวั อยา่ ง S คอื 1 นั่นคอื P(S) = 1
3. ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ี่เป็นเซตวา่ ง คอื 0 น่นั คือ P(∅) = 0

ความนา่ จะเปน็ คือ จำนวนท่บี อกใหเ้ ราทราบว่า เหตกุ ารณท์ ส่ี นใจมีโอกาสเกิดขน้ึ มากนอ้ ยเพียงใด เชน่
➢ P(E) = 0 หมายความว่า เหตุการณ์ E ไมม่ โี อกาสเกิดขน้ึ เลย
➢ P(E) = 1 หมายความวา่ เหตกุ ารณ์ E เกิดขน้ึ อย่างแน่นอน
➢ P(E) = 0.5 หมายความว่า เหตกุ ารณ์ E มโี อกาสเกิดหรอื ไมเ่ กดิ เทา่ ๆ กัน
➢ P(E) = 0.8 หมายความว่า เหตุการณ์ E มโี อกาสเกิดขึ้น 0.8

➢ P(E1) = 0.2 และ P(E2) = 0.7 หมายความว่า เหตุการณ์ E2 มีโอกาสเกิดขึ้นมากกวา่
เหตกุ ารณ์ E1

ตวั อยา่ งที่ 1 ในการทอดลูกเตา๋ หนึง่ ลูกหนึ่งครง้ั จงหา
1.) ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ทไ่ี ดแ้ ต้มบนหนา้ ลูกเตา๋ มากกว่า 4
2.) ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ทไ่ี ด้แต้มบนหน้าลูกเตา๋ เป็นจำนวนค่ี
3.) ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ท่ีได้แตม้ บนหนา้ ลูกเตา๋ เป็นจำนวนเฉพาะ

วธิ ที ำ ให้ E1 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีไดแ้ ต้มบนหน้าลูกเตา๋ มากกว่า 4
E2 แทน เหตกุ ารณท์ ไี่ ดแ้ ตม้ บนหนา้ ลูกเตา๋ เป็นจำนวนค่ี
E3 แทน เหตุการณท์ ไ่ี ดแ้ ตม้ บนหนา้ ลูกเตา๋ เป็นจำนวนเฉพาะ
S แทน ปรภิ ูมติ ัวอยา่ ง / แซมเปลิ สเปซ

จะได้ว่า S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

นนั่ คอื n(S) = 6

1.) เนอื่ งจาก E1 = เหตกุ ารณ์ท่ไี ดแ้ ตม้ บนหน้าลูกเต๋ามากกว่า 4

จะได้ E1 = {5 , 6} และ n(E1) = 2
2 1
นน่ั คือ P(E1) = 6 = 3
ดังนน้ั
ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ E1 เทา่ กับ 1 -8-
3
2.) เนอื่ งจาก E2 = เหตกุ ารณ์ที่ได้แต้มบนหนา้ ลูกเต๋าเปน็ จำนวนค่ี

จะได้ E2 = {1 , 3 , 5} และ n(E2) = 3
3 1
น่นั คือ P(E2) = 6 = 2 = 0.5

ดังนน้ั ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ E2 เท่ากบั 0.5

3.) เน่อื งจาก E3 = เหตุการณ์ท่ไี ด้แตม้ บนหน้าลูกเตา๋ เปน็ จำนวนเฉพาะ

จะได้ E3 = {2 , 3 , 5} และ n(E3) = 3
3 1
น่ันคอื P(E3) = 6 = 2 = 0.5

ดังนั้น ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ E3 เท่ากบั 0.5

ตัวอยา่ งที่ 2 ในการโยนเหรียญหนงึ่ เหรียญสองครั้ง จงหาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่ีเหรียญจะข้ึนหัว 1 ครั้ง

วิธที ำ ให้ E แทน เหตกุ ารณ์ท่เี หรยี ญจะข้นึ หัว 1 ครงั้

S แทน ปริภมู ติ วั อย่าง / แซมเปิลสเปซ

H แทน เหตกุ ารณ์ท่เี หรียญขึน้ หวั T แทน เหตุการณ์ทเ่ี หรียญขนึ้ ก้อย

จะไดว้ ่า S = {HH , HT , TH , TT}

นน่ั คือ n(S) = 4

E คอื เหตุการณ์ท่ีเหรียญจะข้นึ หวั 1 คร้ัง

จะได้ E = {HT , TH}

นั่นคอื n(E) = 2

จากสูตร P(E) = n(E)
n(S)
2 1
แทนค่า P(E) = 4 = 2 = 0.5

ดงั น้ัน ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ทีเ่ หรียญจะข้นึ หัว 1 คร้ัง เทา่ กับ 0.5

ตวั อยา่ งท่ี 3 ถา้ สุม่ ครอบครัวที่มบี ุตรสองคนมาครอบครัวหน่งึ จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ -9-

ท่ีครอบครวั น้ีมบี ุตรคนแรกเปน็ ชายและบุตรคนที่สองเปน็ หญงิ

วธิ ที ำ ให้ E แทน เหตกุ ารณท์ ่คี รอบครวั นี้มีบตุ รคนแรกเป็นชายและบุตรคนทส่ี องเปน็ หญิง

S แทน ปริภูมิตวั อยา่ ง / แซมเปลิ สเปซ

จะได้ว่า S = {ชช , ชญ , ญช , ญญ}

นั่นคือ n(S) = 4

เนอื่ งจาก E = เหตกุ ารณ์ท่คี รอบครวั นี้มีบุตรคนแรกเปน็ ชายและบตุ รคนทส่ี องเป็นหญงิ

จะได้ E = {ชญ} และ n(E ) = 1
1
นั่นคือ P(E ) = 4

ดงั นน้ั ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณท์ ี่ครอบครวั นี้มบี ตุ รคนแรกเปน็ ชายและบุตรคนท่สี องเปน็ หญิง
1
เท่ากบั 4

คำชแี้ จง จงตอบคำถามต่อไปนใี้ ห้ถกู ต้อง - 10 -

1. จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี ถ้าถกู ต้องให้เขียนเครือ่ งหมาย / ถ้าผิดให้เขียนเครอ่ื งหมาย X
……X……1.) ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ E ใด ๆ มคี ่าตัง้ แต่ 0 – 100 เสมอ
……/……2.) ความน่าจะเปน็ ของปรภิ มู ิตวั อยา่ ง S มีคา่ เท่ากับ 1
……X……3.) ความน่าจะเป็นของเซตว่าง มคี ่าไม่เกนิ 1
……/……4.) P(E) = 0.9 หมายความว่าเหตุการณ์น้ันมโี อกาสเกิดขึ้น 0.9

……X……5.) P(E1) = 0.5 และ P(E2) = 0.3 หมายความวา่ เหตกุ ารณ์ E2 มโี อกาสเกิดข้นึ
มากกวา่ เหตุการณ์ E1

2. ในการสุ่มครอบครวั หน่ึงทม่ี บี ุตร 3 คน จงหาความน่าจะเปน็ ของ
1.) เหตุการณ์ทค่ี รอบครัวนี้มบี ตุ รชายทงั้ สามคน
2.) เหตกุ ารณ์ทคี่ รอบครัวนีม้ บี ตุ รคนแรกเปน็ ชาย
3.) เหตกุ ารณท์ ค่ี รอบครัวน้มี ีบตุ รคนที่สองเป็นหญงิ
4.) เหตุการณ์ที่ครอบครัวน้มี ีบตุ รคนทส่ี องเปน็ ชายและบุตรคนทสี่ ามเป็นหญิง
5.) เหตุการณท์ ค่ี รอบครัวน้มี ีบุตรหญิงท้ังสามคน

วิธที ำ ให้ E1 แทน เหตุการณท์ คี่ รอบครัวนมี้ บี ตุ รชายทงั้ สามคน
E2 แทน เหตกุ ารณ์ทคี่ รอบครัวนมี้ ีบตุ รคนแรกเป็นชาย
E3 แทน เหตุการณท์ ่คี รอบครัวน้มี ีบตุ รคนท่ีสองเปน็ หญิง
E4 แทน เหตุการณ์ที่ครอบครวั น้ีมีบุตรคนท่ีสองเป็นชายและบตุ รคนทสี่ ามเปน็ หญิง
E5 แทน เหตุการณ์ที่ครอบครวั นมี้ ีบตุ รหญิงทง้ั สามคน
S แทน ปรภิ ูมิตัวอยา่ ง / แซมเปลิ สเปซ

จะได้วา่ S = {ชชช , ชชญ , ชญช , ชญญ , ญชช , ญชญ , ญญช , ญญญ}
นน่ั คอื n(S) = 8

1.) เน่อื งจาก E1 = เหตกุ ารณ์ทคี่ รอบครัวนม้ี บี ุตรชายท้งั สามคน

จะได้ E1 = {ชชช} และ n(E1) = 1
1
นัน่ คอื P(E1) = 8
ดังนน้ั
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E1 เท่ากบั 1
8

2.) เนื่องจาก E2 = เหตกุ ารณท์ ่คี รอบครัวนม้ี ีบตุ รคนแรกเปน็ ชาย

จะได้ E2 = {ชชช , ชชญ , ชญช , ชญญ} และ n(E2) = 4
4 1
นน่ั คือ P(E2) = 8 = 2 = 0.5

ดังนั้น ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ E2 เท่ากับ 0.5

3.) เน่ืองจาก E3 = เหตกุ ารณ์ที่ครอบครัวนี้มีบุตรคนท่ีสองเป็นหญิง

จะได้ E3 = {ชญช , ชญญ , ญญช , ญญญ} และ n(E3) = 4
4 1
น่ันคือ P(E3) = 8 = 2 = 0.5 - 11 -

ดังนนั้ ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ E3 เทา่ กบั 0.5

4.) เน่ืองจาก E4 = เหตุการณ์ท่ีครอบครัวน้มี ีบตุ รคนท่ีสองเป็นชายและบตุ รคนที่สามเปน็ หญิง

จะได้ E4 = {ชชญ , ชญญ} และ n(E4) = 2
นน่ั คือ P(E4) = 2 1
8 = 4

ดงั นัน้ ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ E4 เท่ากบั 1
4

5.) เน่ืองจาก E5 = เหตกุ ารณ์ที่ครอบครวั น้ีมบี ตุ รหญิงทั้งสามคน

จะได้ E5 = {ญญญ} และ n(E5) = 1
1
นน่ั คือ P(E5) = 8

ดังน้ัน ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ E5 เท่ากบั 1
8

บทนยิ าม ความนา่ จะเปน็

ให้ S แทนปริภูมิตวั อยา่ งของการทดลองสมุ่ ซ่งึ เป็นเซตจำกัด โดยสมาชิกทุกตัวของ S

มีโอกาสเกิดข้นึ ไดเ้ ท่ากัน และให้ E เป็นเหตกุ ารณ์ที่เป็นสบั เซตของ S ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ E

เขยี นแทนด้วย P(E) โดยที่

P(E) = n(E)
n(S)

เม่ือ n(E) แทน จำนวนสมาชกิ ของเหตุการณ์ E

n(S) แทน จำนวนสมาชกิ ของปรภิ ูมติ ัวอย่าง S

ตวั อยา่ งท่ี 1 ในการทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกหนงึ่ คร้งั จงหาความน่าจะเป็นทีแ่ ต้มบนหนา้ ลูกเต๋ามากกว่า 6 - 12 -
วิธที ำ ให้ E แทน เหตกุ ารณ์ทแ่ี ตม้ บนหน้าลูกเตา๋ มากกวา่ 6

S แทน ปริภมู ิตวั อย่าง / แซมเปลิ สเปซ

จะได้ว่า S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

น่ันคอื n(S) = 6

E เปน็ เหตุการณท์ ่ีแต้มบนหนา้ ลูกเต๋ามากกวา่ 6

จะได้ E = { } นั่นคอื n(E) = 0
0
ดงั น้ัน P(E) = 6 =0

ดังน้นั ความน่าจะเป็นทีแ่ ตม้ บนหน้าลูกเต๋ามากกวา่ 6 เทา่ กับ 0

ตัวอยา่ งที่ 2 ในการโยนเหรยี ญหนง่ึ เหรยี ญสองคร้ัง จงหาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่เี หรียญจะขึน้ ก้อย

ย่างน้อย 2 ครัง้

วธิ ที ำ ให้ E แทน เหตุการณ์ทเี่ หรยี ญจะขึน้ กอ้ ยย่างนอ้ ย 2 ครั้ง

S แทน ปริภมู ติ ัวอย่าง / แซมเปิลสเปซ

H แทน เหตุการณ์ทีเ่ หรียญข้นึ หวั

T แทน เหตุการณ์ท่เี หรียญขึ้นก้อย

จะไดว้ ่า S = {HH , HT , TH , TT} นนั่ คือ n(S) = 4

E คือ เหตุการณท์ เ่ี หรยี ญจะขน้ึ ก้อยย่างน้อย 2 คร้ัง

จะได้ E = {TT} นั่นคือ n(E) = 1

จากสูตร P(E) = n(E)
n(S)
1
แทนคา่ P(E) = 4

ดงั นั้น ความนา่ จะเป็นของเหตุการณท์ ่ีเหรียญจะขึน้ ก้อยย่างน้อย 2 คร้ัง เทา่ กับ 1
4

ตวั อยา่ งท่ี 3 ในการเลอื กจำนวนเตม็ หนง่ึ จำนวนจากจำนวนเตม็ ตง้ั แต่ 10 ถึง 59 จะได้ความน่าจะเป็นที่เลข - 13 -

จำนวนนัน้ หารด้วย 7 ลงตัวเทา่ กบั เท่าใด

วิธที ำ ให้ E แทน เหตกุ ารณ์ทีเ่ ลขจำนวนน้นั หารด้วย 7 ลงตัว
S แทน ปริภมู ติ วั อย่าง / แซมเปิลสเปซ

จะได้วา่ S = {10 , 11 , 12 , … , 59} นน่ั คอื n(S) = 50

E เปน็ เหตุการณ์ทเี่ ลขจำนวนน้ันหารด้วย 7 ลงตวั

จะไดจ้ ำนวนตงั้ แต่ 10 ถงึ 59 ทเี่ ปน็ เลขท่หี ารดว้ ย 7 ลงตัว

E = {14 , 21 , 28 , 35 , 42 , 49 , 56} นนั่ คือ n(E) = 7

จากสูตร P(E) = n(E)
n(S)
7
แทนค่า P(E) = 50

ดงั น้ัน ความน่าจะเปน็ ท่เี ลขจำนวนนั้นหารด้วย 7 ลงตัวเท่ากบั เท่าใด เทา่ กับ 7
50

ตวั อยา่ งท่ี 4 ถงุ ใบหนง่ึ มธี นบัตร 10 บาท 3 ใบ ธนบัตร 20 บาท 4 ใบ ธนบัตร 50 บาท 5 ใบ และ

ธนบัตร 100 บาท 7 ใบ สมุ่ หยิบธนบัตรหนึง่ ใบ จงหา

1.) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไดธ้ นบตั ร 20 บาท

2.) ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ที่ไดธ้ นบตั ร 100 บาท

3.) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ธนบัตร 10 บาท หรือ 50 บาท

4.) ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ทไ่ี ด้ธนบัตร 20 บาท หรือ 100 บาท

วธิ ที ำ ให้ E1 แทน เหตกุ ารณท์ ไี่ ดธ้ นบตั ร 20 บาท

E2 แทน เหตุการณท์ ่ไี ด้ธนบัตร 100 บาท

E3 แทน เหตกุ ารณท์ ่ีได้ธนบัตร 10 บาท หรอื 50 บาท

E4 แทน เหตุการณ์ทไี่ ด้ธนบัตร 20 บาท หรือ 100 บาท
S แทน ปริภูมิตัวอย่าง / แซมเปลิ สเปซ

เนือ่ งจากมีธนบตั ร 10 บาท 3 ใบ ธนบัตร 20 บาท 4 ใบ ธนบัตร 50 บาท 5 ใบ

ธนบตั ร 100 บาท 7 ใบ

จะไดว้ ่ามธี นบตั รท้ังหมด 3 + 4 + 5 + 7 = 19 ใบ

ดังนน้ั n(S) = 19 - 14 -

E1 แทน เหตกุ ารณ์ทไี่ ดธ้ นบตั ร 20 บาท จะได้ว่า n(E1) = 4
4
ดังน้ัน P(E1) = 19

E2 แทน เหตุการณ์ที่ไดธ้ นบตั ร 100 บาท จะได้ว่า n(E2) = 7
ดงั นน้ั 7
P(E2) = 19

E3 แทน เหตุการณท์ ีไ่ ด้ธนบตั ร 10 บาท หรือ 50 บาท จะได้วา่ n(E3) = 8
ดงั นั้น 8
P(E3) = 19

E4 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีไดธ้ นบัตร 20 บาท หรอื 100 บาท จะได้วา่ n(E4) = 11
11
ดังนนั้ P(E4 ) = 19

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นใชค้ วามรู้ เร่อื ง ความนา่ จะเป็นแสดงวิธที ำตอ่ ไปนี้ใหถ้ กู ต้อง - 15 -

1. ในการเลอื กจำนวนเตม็ หนงึ่ จำนวนจากจำนวนเตม็ ต้ังแต่ 17 ถึง 49 จงหา
1.) ความน่าจะเปน็ ทเี่ ลขจำนวนน้นั หารด้วย 5 ลงตัว
2.) ความนา่ จะเป็นทเ่ี ลขจำนวนนน้ั เป็นจำนวนเฉพาะ
3.) ความนา่ จะเปน็ ทเี่ ลขจำนวนนั้นเปน็ พหุคูณของ 10
4.) ความน่าจะเป็นที่เลขจำนวนน้ันเป็นพหุคูณของ 5

วิธที ำ ให้ E1 แทน เหตกุ ารณท์ ีเ่ ลขจำนวนนนั้ หารด้วย 5 ลงตวั
E2 แทน เหตกุ ารณท์ เ่ี ลขจำนวนนน้ั เป็นจำนวนเฉพาะ
E3 แทน เหตุการณท์ เ่ี ลขจำนวนน้ันเปน็ พหุคูณของ 10
E4 แทน เหตุการณท์ ่เี ลขจำนวนนน้ั เป็นพหุคูณของ 5
S แทน แซมเปลิ สเปซของการทดลองสมุ่ นี้

พจิ ารณา S = {17 , 18 , 19 , … , 49}
จะได้ n(S) = 33

E1 แทน เหตุการณท์ เ่ี ลขจำนวนนนั้ หารด้วย 5 ลงตัว

E1 = {20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45}, n(E1) = 6
6 2
ดงั น้นั P(E1) = 33 = 11

E2 แทน เหตกุ ารณท์ ่ีเลขจำนวนน้นั เปน็ จำนวนเฉพาะ

E2 = {17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47} , n(E2) = 9
9 3
ดงั นน้ั P(E2) = 33 = 11

E3 แทน เหตุการณ์ท่เี ลขจำนวนน้นั เป็นพหุคูณของ 10

E3 = {20 , 30 , 40} , n(E3) = 3
3 1
ดังนั้น P(E3) = 33 = 11

E4 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีเลขจำนวนนน้ั เปน็ พหคุ ูณของ 5

E4 = {20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45} , n(E4) = 6
6 2
ดงั นั้น P(E4) = 33 = 11

2. ในถงุ มธี นบตั รใบละ 1,000 บาท 2 ใบ ธนบัตรใบละ 500 บาท 3 ใบ ธนบัตรใบละ 100 บาท 8 ใบ

ธนบัตรใบละ 50 บาท 10 ใบ และธนบัตรใบละ 20 บาท 15 ใบ หยบิ ธนบัตร 1 ใบจากถุง จงหา

1.) ความนา่ จะเปน็ ท่หี ยิบไดธ้ นบัตรใบละ 100

2.) ความน่าจะเป็นทห่ี ยิบได้ธนบัตรใบละ 500

3.) ความน่าจะเปน็ ทห่ี ยิบได้ธนบัตรใบละ 1,000 - 16 -

วิธที ำ ให้ E1 แทน เหตกุ ารณ์ทีห่ ยิบไดธ้ นบัตรใบละ 100

E2 แทน เหตกุ ารณท์ ี่หยบิ ไดธ้ นบัตรใบละ 500

E3 แทน เหตุการณท์ ีห่ ยบิ ไดธ้ นบัตรใบละ 1,000
S แทน แซมเปิลสเปซของการทดลองสุม่ น้ี

พิจารณา จากทม่ี ธี นบตั รใบละ 1,000 บาท 2 ใบ ธนบัตรใบละ 500 บาท 3 ใบ

ธนบัตรใบละ 100 บาท 8 ใบ ธนบัตรใบละ 50 บาท 10 ใบ และธนบัตร

ใบละ 20 บาท 15 ใบ

จะได้ n(S) = 38

E1 แทน เหตุการณ์ที่หยิบได้ธนบตั รใบละ 100

n(E1) = 8 = 8 = 4
ดงั น้ัน P(E1) 38 19

E2 แทน เหตกุ ารณท์ ่ีหยิบได้ธนบตั รใบละ 500

n(E2) = 3 3
38
ดงั น้ัน P(E2) =

E3 แทน เหตกุ ารณ์ที่หยบิ ได้ธนบัตรใบละ 1,000

n(E3) = 2 2 1
38 19
ดงั นนั้ P(E3) = =

3. รายการเกมโชว์รายการหนึง่ มแี ผน่ ปา้ ย 30 แผ่น เขยี นเลขกำกบั ไว้ตง้ั แต่ 1 ถึง 30 ผูท้ ่เี ล่นเกมจนเขา้ รอบ

สุดท้ายได้รางวลั โดยใหเ้ ลอื กแผน่ ปา้ ย 1 แผน่ จากแผ่นปา้ ยท้งั หมด 30 แผน่
เงอ่ื นไข 1 ถา้ เลอื กได้เลขที่หารด้วย 2 ลงตวั จะได้รางวลั เป็นโทรศพั ท์มอื ถอื

เงื่อนไข 2 ถ้าเลือกไดเ้ ลขที่หารด้วย 3 ลงตัวจะได้รางวลั เป็นโทรทศั น์

เงอ่ื นไข 3 ถา้ เลือกไดห้ มายเลขอน่ื ๆ นอกจากเง่อื นไข 1 และเงอื่ นไข 2 จะไดเ้ งนิ รางวัล 2,000 บาท

ศศิเปน็ คนเขา้ รอบสุดท้าย จงหา

1.) ความน่าจะเป็นที่ศศไิ ด้รางวัลเปน็ โทรศพั ท์มอื ถือ - 17 -

2.) ความน่าจะเป็นทศี่ ศิได้รางวัลเป็นโทรทัศน์
3.) ความนา่ จะเปน็ ทศี่ ศไิ ดร้ างวลั เปน็ เงินรางวลั 2,000 บาท

วธิ ที ำ ให้ E1 แทน เหตกุ ารณท์ ี่ศศไิ ดร้ างวัลเปน็ โทรศัพท์มอื ถอื
E2 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีศศิได้รางวัลเปน็ โทรทศั น์
E3 แทน เหตกุ ารณ์ทศ่ี ศิได้รางวลั เปน็ เงินรางวลั 2,000 บาท
S แทน แซมเปิลสเปซของการทดลองสุม่ นี้

พจิ ารณา S = {1 , 2 , 3 , … , 30}

จะได้ n(S) = 30

E1 แทน เหตกุ ารณท์ ีศ่ ศไิ ดร้ างวัลเปน็ โทรศัพท์มอื ถอื
เน่ืองจากเงือ่ นไขในการไดร้ างวลั เปน็ โทรศัพท์มอื ถอื ต้องเลอื กได้เลขทห่ี ารด้วย 3 ลงตวั

น่ันคือ E1 = {3 , 6 , 9 , … , 30} , n(E1) = 10
10 1
ดังนั้น P(E1) = 30 = 3

E2 แทน เหตกุ ารณ์ทศ่ี ศิไดร้ างวลั เปน็ โทรทัศน์
เนอ่ื งจากเง่ือนไขในการได้รางวลั เป็นโทรศพั ท์มอื ถือ ตอ้ งเลือกได้เลขที่หารด้วย 2 ลงตัว

E2 = {2 , 4 , 6 , … , 30} , n(E2) = 15
15
ดังน้นั P(E2) = 33

E3 แทน เหตุการณ์ทศ่ี ศไิ ดร้ างวัลเปน็ เงินรางวัล 2,000 บาท
เนือ่ งจาก เงื่อนไขในการได้รางวัลเปน็ โทรศัพทม์ ือถอื ต้องเลือกไดเ้ ลขที่นอกจากเง่อื นไข 1

และเงื่อนไข 2

E3 = {1 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 25 , 29} , n(E3) = 10
10 1
ดงั นั้น P(E3) = 30 = 3

- 18 -

บทนยิ าม ความนา่ จะเปน็

ให้ S แทนปริภูมิตวั อย่างของการทดลองสมุ่ ซึ่งเป็นเซตจำกัด โดยสมาชกิ ทุกตัวของ S

มโี อกาสเกิดขึ้นไดเ้ ท่ากัน และให้ E เปน็ เหตุการณท์ ี่เป็นสบั เซตของ S ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ E

เขียนแทนดว้ ย P(E) โดยที่

P(E) = n(E)
n(S)

เม่ือ n(E) แทน จำนวนสมาชกิ ของเหตกุ ารณ์ E

n(S) แทน จำนวนสมาชิกของปรภิ ูมิตวั อย่าง S

ตัวอยา่ งท่ี 1 ในการสร้างจำนวนที่มสี องหลักจากเลขโดด 1 , 2 , 3 , 4 โดยทีแ่ ตล่ ะหลกั ใช้เลขโดดไมซ่ ำ้ กัน - 19 -
จงหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ท่จี ำนวนนั้นเป็นจำนวนคู่

วธิ ที ำ ให้ S แทน ปรภิ ูมิตัวอย่าง / แซมเปลิ สเปซ

E แทน เหตุการณ์ท่ีจำนวนนนั้ เป็นจำนวนคู่
จากหลกั การคูณ จะไดว้ ่า สามารถสร้างจำนวนสองหลกั ได้ท้ังหมด 4 x 3 = 12 จำนวน
ดงั น้ัน n(S) = 12

E แทน เหตกุ ารณ์ท่จี ำนวนนน้ั เปน็ จำนวนคู่

หลกั สิบ หลักหนว่ ย
3 2

{3 , 4 , 5} {2 , 4}
สมมตวิ ่าเลอื ก 2

จากหลักการคูณจะได้ว่าสามารถสร้างจำนวนคูไ่ ด้ทง้ั หมด 3 x 2 = 6

น่นั คอื n(E ) = 6 6 1
12 2
ดังน้ัน P(E ) = = = 0.5

ตัวอยา่ งท่ี 2 ในการสร้างจำนวนทม่ี ีสี่หลักจากเลขโดด 2 , 5 , 7 , 9 โดยที่แต่ละหลกั ใชเ้ ลขโดดไม่ซ้ำกนั
จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณต์ อ่ ไปนี้
1.) จำนวนน้ันเป็นจำนวนคู่ 2.) จำนวนนั้นเป็นจำนวนค่ี

วธิ ที ำ ให้ S แทน ปริภูมติ ัวอย่าง / แซมเปิลสเปซ

E1 แทน เหตุการณท์ จี่ ำนวนนั้นเป็นจำนวนคู่
E2 แทน เหตกุ ารณท์ จ่ี ำนวนนนั้ เปน็ จำนวนค่ี
จากหลกั การคูณ จะไดว้ ่า สามารถสร้างจำนวนสองหลกั ไดท้ ง้ั หมด 4 x 3 x 2 x 1 = 24

ดังนั้น n(S) = 24

E1 แทน เหตกุ ารณ์ท่จี ำนวนนั้นเปน็ จำนวนคู่

หลักพนั หลักร้อย หลักสิบ หลักหนว่ ย
12 31
{9} {7 , 9}
สมมตวิ า่ เลอื ก 7 {5 , 7 , 9} {2}
สมมตวิ ่าเลือก 5

จากหลกั การคูณจะได้วา่ สามารถสรา้ งจำนวนคู่ได้ทั้งหมด 1 x 2 x 3 x 1 = 6 - 20 -

นั่นคือ n(E1) = 6 6 1
24 4
ดงั นัน้ P(E1) = =

E2 แทน เหตุการณ์ท่จี ำนวนน้นั เป็นจำนวนค่ี

หลกั พัน หลกั ร้อย หลักสิบ หลกั หน่วย

12 3 3

{9} {7 , 9} {2 , 7 , 9} {5 , 7 , 9}

สมมติวา่ เลอื ก 7 สมมตวิ ่าเลือก 2 สมมตวิ า่ เลอื ก 5

จากหลักการคูณจะได้ว่าสามารถสร้างจำนวนค่ไี ด้ท้ังหมด 1 x 2 x 3 x 3 = 18

นั่นคือ n(E2) = 18 18 3
24 4
ดงั นน้ั P(E2) = =

ตัวอยา่ งที่ 3 ในการสร้างรหัสประจำห้อง จากพยญั ชนะภาษาอังกฤษ A , B , C และ D ตัวเลข 1 , 2 , 3 ,

4 , 5 จะตอ้ งประกอบดว้ ย พยญั ชนะภาษาอังกฤษ 1 ตวั และตัวเลข 2 ตวั ท่สี ามารถซ้ำกันได้

จงหาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณต์ ่อไปนี้

1.) พยัญชนะภาษาอังกฤษเปน็ ตัว A และตวั เลข 2 ตัวเป็นจำนวนคูท่ ้ังสองจำนวน

2.) ตัวเลข 2 ตัวเป็นจำนวนคท่ี ้งั สองจำนวน

3.) พยัญชนะภาษาองั กฤษเปน็ ตวั C หรือ D

วธิ ที ำ ให้ S แทน ปริภูมิตัวอย่าง / แซมเปิลสเปซ

E1 แทน เหตุการณ์ทพ่ี ยญั ชนะภาษาอังกฤษเป็นตวั A และตัวเลข 2 ตัวเป็นจำนวนคูท่ ้ังสองจำนวน

E2 แทน เหตุการณท์ ่ตี ัวเลข 2 ตัวเป็นจำนวนคท่ี ง้ั สองจำนวน
จากหลกั การคูณ จะไดว้ า่ สามารถสร้างรหัสประจำหอ้ งไดท้ ้ังหมด 4 x 5 x 5 = 100 รหสั

ดังนั้น n(S) = 100

E1 แทน เหตุการณ์ทพี่ ยญั ชนะภาษาอังกฤษเปน็ ตัว A และตัวเลข 2 ตวั เปน็ จำนวนคูท่ ง้ั สองจำนวน
ขั้นตอนท่ี 1 เลือกพยัญชนะภาษาองั กฤษ ได้ 1 วิธี คอื A

ขัน้ ตอนที่ 2 เลอื กตัวเลขตวั ท่ี 1 ได้ 2 วธิ ี คือ 2 , 4

ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกตัวเลขตัวที่ 1 ได้ 2 วิธี คอื 2 , 4 - 21 -

จากหลกั การคูณจะไดว้ ่าสามารถสร้างรหสั ประจำห้องตามเหตุการณ์ E1 ได้ทง้ั หมด 1 x 2 x 2 วิธี

นน่ั คือ n(E1) = 4 4 1
100 25
ดังนนั้ P(E1) = =

E2 แทน เหตุการณ์ท่ีตวั เลข 2 ตวั เปน็ จำนวนค่ีท้ังสองจำนวน
ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกพยญั ชนะภาษาอังกฤษ ได้ 4 วิธี คอื A , B , C , D

ขนั้ ตอนท่ี 2 เลอื กตัวเลขตัวที่ 1 ได้ 3 วิธี คือ 1 , 3 , 5

ขนั้ ตอนที่ 3 เลือกตวั เลขตวั ที่ 1 ได้ 3 วิธี คือ 1 , 3 , 5

จากหลักการคูณจะไดว้ ่าสามารถสรา้ งรหสั ประจำห้องตามเหตุการณ์ E2
ไดท้ ัง้ หมด 4 x 3 x 3 วิธี

นั่นคอื n(E2) = 36 36 = 9
ดงั น้นั P(E2) = 100 25

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรยี นใชค้ วามรู้ เรอ่ื ง ความน่าจะเปน็ แสดงวิธที ำต่อไปน้ีให้ถกู ตอ้ ง

1. ในการสร้างรหสั ประจำหอ้ ง จากพยัญชนะภาษาองั กฤษ A , B , C และ ตวั เลข 1 , 5 , 7 , 8 จะต้อง

ประกอบด้วย พยัญชนะภาษาอังกฤษ 1 ตัว และตวั เลข 1 ตัวท่สี ามารถซำ้ กนั ไดจ้ งหาความน่าจะเป็นของ

เหตกุ ารณต์ ่อไปนี้

1.) พยัญชนะภาษาองั กฤษเปน็ ตัว A และตวั เลข 2 ตัวเป็นจำนวนค่ที ้ังสองจำนวน

2.) ตัวเลข 2 ตัวเปน็ จำนวนคู่ 1 ตวั และเป็นจำนวนเฉพาะ 1 ตัว

3.) พยญั ชนะภาษาอังกฤษเปน็ ตวั C

4.) พยญั ชนะภาษาอังกฤษเป็นตวั A หรอื B

5.) ตวั เลขทงั้ สองตัวเปน็ จำนวนเฉพาะ

วิธที ำ ให้ S แทน ปริภูมติ ัวอย่าง / แซมเปลิ สเปซ

E1 แทน เหตกุ ารณ์ทพี่ ยญั ชนะภาษาอังกฤษเปน็ ตัว A และตวั เลข 2 ตัวเป็นจำนวนคท่ี ง้ั สองจำนวน - 22 -

E2 แทน เหตุการณ์ที่ตัวเลข 2 ตวั เปน็ จำนวนคู่ 1 ตัวและเปน็ จำนวนเฉพาะ 1 ตัว

E3 แทน เหตกุ ารณ์ทพ่ี ยญั ชนะภาษาอังกฤษเป็นตวั C

E4 แทน เหตุการณท์ ี่พยญั ชนะภาษาอังกฤษเปน็ ตวั A หรอื B

E5 แทน เหตุการณท์ ตี่ ัวเลขท้งั สองตัวเปน็ จำนวนเฉพาะ
จากหลกั การคูณ จะไดว้ ่า สามารถสร้างรหัสประจำหอ้ งไดท้ ้ังหมด 3 x 4 x 4 = 48 รหัส

ดงั นั้น n(S) = 48

E1 แทน เหตกุ ารณ์ทพ่ี ยัญชนะภาษาองั กฤษเปน็ ตัว A และตัวเลข 2 ตวั เปน็ จำนวนคี่ท้งั สองจำนวน
ขัน้ ตอนท่ี 1 เลือกพยญั ชนะภาษาองั กฤษ ได้ 1 วิธี คอื A

ขน้ั ตอนท่ี 2 เลอื กตวั เลขตวั ที่ 1 ได้ 3 วิธี คอื 1 , 5 , 7

ขั้นตอนที่ 3 เลอื กตวั เลขตวั ท่ี 1 ได้ 3 วิธี คือ 1 , 5 , 7

จากหลกั การคูณจะได้ว่าสามารถสรา้ งรหสั ประจำห้องตามเหตกุ ารณ์ E1ไดท้ ั้งหมด 1 x 3 x 3 = 9 วิธี

นั่นคอื n(E1) = 9 9 3
48 16
ดงั นั้น P(E1) = =

E2 แทน เหตกุ ารณ์ทตี่ วั เลข 2 ตวั เปน็ จำนวนคู่ 1 ตวั และเป็นจำนวนเฉพาะ 1 ตัว
ขั้นตอนท่ี 1 เลือกพยญั ชนะภาษาอังกฤษ ได้ 3 วิธี คือ A , B , C

ขัน้ ตอนท่ี 2 เลือกตัวเลขตวั ท่ี 1 เป็นจำนวนคู่ได้ 1 วิธี คือ 8

ข้ันตอนท่ี 3 เลอื กตัวเลขตัวท่ี 1 เป็นจำนวนเฉพาะได้ 2 วิธี คอื 5 , 7

จากหลักการคูณจะไดว้ ่าสามารถสรา้ งรหสั ประจำห้องตามเหตุการณ์ E2ไดท้ งั้ หมด 3 x 1 x 2 = 6 วิธี

นั่นคือ n(E2) = 6 6 1
48 8
ดังนน้ั P(E2) = =

E3 แทน เหตุการณ์ที่พยัญชนะภาษาองั กฤษเป็นตัว C
ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกพยญั ชนะภาษาองั กฤษ ได้ 1 วิธี คอื C

ขั้นตอนที่ 2 เลือกตัวเลขตวั ท่ี 1 ได้ 4 วิธี คอื 1 , 5 , 7 , 8

ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกตวั เลขตัวท่ี 1 ได้ 4 วิธี คือ 1 , 5 , 7 , 8

จากหลกั การคูณจะได้ว่าสามารถสรา้ งรหสั ประจำห้องตามเหตกุ ารณ์ E3ได้
ทั้งหมด 1 x 4 x 4 = 16 วิธี

น่นั คือ n(E3) = 16 16 1 - 23 -
48 3
ดังนน้ั P(E3) = =

E4 แทน เหตุการณ์ที่พยัญชนะภาษาองั กฤษเป็นตัว A หรือ B
ขั้นตอนที่ 1 เลอื กพยญั ชนะภาษาองั กฤษ ได้ 2 วธิ ี คือ A , B

ขัน้ ตอนที่ 2 เลือกตวั เลขตัวท่ี 1 ได้ 4 วิธี คือ 1 , 5 , 7 , 8

ขัน้ ตอนท่ี 3 เลือกตวั เลขตัวที่ 1 ได้ 4 วิธี คือ 1 , 5 , 7 , 8

จากหลกั การคูณจะได้วา่ สามารถสรา้ งรหสั ประจำห้องตามเหตุการณ์ E4ได้
ทงั้ หมด 2 x 4 x 4 = 16 วิธี

น่ันคอื n(E4) = 32 32 2
48 3
ดังนน้ั P(E4) = =

E5 แทน เหตุการณท์ ตี่ ัวเลขท้ังสองตัวเป็นจำนวนเฉพาะ
ขั้นตอนที่ 1 เลือกพยญั ชนะภาษาองั กฤษ ได้ 3 วิธี คอื A , B , C

ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกตวั เลขตวั ที่ 1 ได้ 2 วิธี คอื 5 , 7

ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกตัวเลขตัวที่ 1 ได้ 2 วิธี คอื 5 , 7

จากหลักการคูณจะไดว้ ่าสามารถสร้างรหัสประจำห้องตามเหตกุ ารณ์ E5ได้
ทง้ั หมด 3 x 2 x 2 = 12 วิธี

นั่นคอื n(E5) = 12 12 1
48 4
ดังนน้ั P(E5) = =

2. ในการสร้างจำนวนทม่ี ีสหี่ ลกั จากเลขโดด 1 , 3 , 5 , 8 , 9 โดยทแ่ี ตล่ ะหลักใชเ้ ลขโดดแต่ละหลกั ไมซ่ ำ้ กนั

จงหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ตอ่ ไปนี้

1.) จำนวนนนั้ เป็นจำนวนคู่

2.) จำนวนนนั้ เปน็ จำนวนค่ี
3.) หลักหน่วยของจำนวนนนั้ เปน็ จำนวนคู่และหลักรอ้ ยเปน็ จำนวนเฉพาะ

4.) หลักสิบของจำนวนนน้ั เปน็ จำนวนคู่และหลักร้อยเป็นจำนวนคี่ - 24 -

5.) หลกั พนั ของจำนวนน้ันเป็นจำนวนคูแ่ ละหลักรอ้ ยเปน็ จำนวนเฉพาะ

วธิ ที ำ ให้ S แทน ปรภิ ูมติ ัวอย่าง / แซมเปลิ สเปซ

E1 แทน เหตกุ ารณท์ ี่จำนวนน้ันเป็นจำนวนคู่

E2 แทน เหตกุ ารณท์ จ่ี ำนวนน้นั เป็นจำนวนค่ี

E3 แทน เหตกุ ารณท์ ี่หลกั หนว่ ยของจำนวนนนั้ เป็นจำนวนคู่และหลกั รอ้ ยเป็นจำนวนเฉพาะ

E4 แทน เหตุการณ์ที่หลักสิบของจำนวนนัน้ เปน็ จำนวนคูแ่ ละหลักรอ้ ยเปน็ จำนวนค่ี

E5 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีหลกั พนั ของจำนวนน้ันเปน็ จำนวนคู่และหลกั ร้อยเปน็ จำนวนเฉพาะ
จากหลักการคูณ จะได้วา่ สามารถจำนวนสีห่ ลักได้ทัง้ หมด 5 x 4 x 3 x 2 = 120 จำนวน

ดงั นนั้ n(S) = 120

E1 แทน เหตุการณท์ ่จี ำนวนนน้ั เปน็ จำนวนคู่
ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกตัวเลขหนึ่งตัวเป็นหลกั หน่วย เลือกได้ 1 วิธี คือ 8

ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกตวั เลขหนึง่ ตัวเปน็ หลักสบิ เลือกได้ 4 วิธี

ข้นั ตอนที่ 3 เลอื กตัวเลขหนึง่ ตัวเป็นหลกั รอ้ ย เลือกได้ 3 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กตัวเลขหนึง่ ตัวเป็นหลกั พนั เลอื กได้ 2 วธิ ี

จากหลักการคูณจะได้วา่ สามารถสร้างจำนวนตามเหตุการณ์ E1ไดท้ ั้งหมด 1 x 4 x 3 x 2 = 24 วิธี

นั่นคอื n(E1) = 24 24 1
120 5
ดังนน้ั P(E1) = =

E2 แทน เหตกุ ารณท์ ี่จำนวนนั้นเปน็ จำนวนคี่

ขั้นตอนท่ี 1 เลือกตัวเลขหนึ่งตัวเปน็ หลักหนว่ ย เลือกได้ 4 วธิ ี คอื 1 , 3 , 5 , 9

ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กตวั เลขหนึ่งตัวเปน็ หลักสิบ เลือกได้ 4 วิธี

ขน้ั ตอนท่ี 3 เลอื กตวั เลขหนึ่งตัวเปน็ หลักรอ้ ย เลอื กได้ 3 วิธี

ขั้นตอนท่ี 2 เลอื กตวั เลขหนง่ึ ตัวเป็นหลกั พนั เลือกได้ 2 วิธี

จากหลักการคูณจะได้ว่าสามารถสรา้ งจำนวนตามเหตุการณ์ E2ไดท้ งั้ หมด 4 x 4 x 3 x 2 = 96 วิธี

นั่นคือ n(E2) = 96 96 31
120 40
ดงั นน้ั P(E2) = =

E3 แทน เหตุการณ์ท่ีหลกั หนว่ ยของจำนวนนน้ั เปน็ จำนวนคูแ่ ละหลักร้อยเปน็ จำนวนเฉพาะ

ขั้นตอนท่ี 1 เลอื กตัวเลขหนึ่งตัวเปน็ หลกั หน่วย เลอื กได้ 1 วธิ ี คือ 8 - 25 -

ขน้ั ตอนที่ 2 เลือกตวั เลขหน่งึ ตัวเป็นหลกั รอ้ ย เลือกได้ 2 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 3 เลือกตัวเลขหนึ่งตวั เปน็ หลกั สบิ เลอื กได้ 3 วิธี

ขนั้ ตอนท่ี 2 เลอื กตวั เลขหนึง่ ตัวเปน็ หลักพนั เลือกได้ 2 วธิ ี

จากหลกั การคูณจะไดว้ ่าสามารถสรา้ งจำนวนตามเหตุการณ์ E3ได้ทง้ั หมด 1 x 2 x 3 x 2 = 12 วิธี

นน่ั คอื n(E3) = 12 12 1
120 10
ดังน้นั P(E3) = =

E4 แทน เหตุการณ์ทห่ี ลักสิบของจำนวนนนั้ เป็นจำนวนคู่และหลักรอ้ ยเป็นจำนวนคี่

ขน้ั ตอนที่ 1 เลือกตัวเลขหนึ่งตวั เปน็ หลกั สบิ เลือกได้ 1 วิธี คอื 8

ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกตวั เลขหนึง่ ตัวเปน็ หลกั ร้อย เลอื กได้ 3 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 เลอื กตวั เลขหนึ่งตัวเป็นหลกั หน่วย เลอื กได้ 3 วิธี

ขั้นตอนที่ 2 เลือกตวั เลขหนึ่งตัวเปน็ หลักพัน เลอื กได้ 2 วธิ ี

จากหลกั การคูณจะไดว้ า่ สามารถสรา้ งจำนวนตามเหตกุ ารณ์ E4ไดท้ งั้ หมด 1 x 3 x 3 x 2 = 18 วิธี
น่นั คือ n(E4) = 18

ดงั นั้น P(E4) = 18 = 3
120 20
E5 แทน เหตุการณ์ที่หลกั พันของจำนวนนั้นเป็นจำนวนคูแ่ ละหลกั ร้อยเปน็ จำนวนเฉพาะ

ขัน้ ตอนท่ี 1 เลอื กตัวเลขหน่ึงตวั เป็นหลกั พัน เลอื กได้ 1 วิธี คอื 8

ขั้นตอนที่ 2 เลือกตวั เลขหนึง่ ตัวเป็นหลกั ร้อย เลือกได้ 2 วิธี

ข้นั ตอนที่ 3 เลือกตวั เลขหนง่ึ ตวั เป็นหลักหน่วย เลอื กได้ 3 วธิ ี

ขน้ั ตอนท่ี 2 เลอื กตวั เลขหนง่ึ ตัวเปน็ หลกั สบิ เลอื กได้ 2 วิธี

จากหลกั การคูณจะไดว้ า่ สามารถสรา้ งจำนวนตามเหตกุ ารณ์ E5ไดท้ ง้ั หมด 1 x 2 x 3 x 2 = 12 วธิ ี

นัน่ คือ n(E5) = 12 12 1
120 10
ดังนน้ั P(E5) = =

- 26 -

บทนยิ าม ความนา่ จะเปน็

ให้ S แทนปริภูมติ ัวอยา่ งของการทดลองสุ่มซง่ึ เป็นเซตจำกดั โดยสมาชิกทกุ ตัวของ S

มโี อกาสเกิดขนึ้ ไดเ้ ท่ากัน และให้ E เปน็ เหตุการณ์ที่เป็นสบั เซตของ S ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ E

เขียนแทนด้วย P(E) โดยท่ี

P(E) = n(E)
n(S)

เมอ่ื n(E) แทน จำนวนสมาชกิ ของเหตุการณ์ E

n(S) แทน จำนวนสมาชกิ ของปรภิ ูมติ วั อย่าง S

ตัวอยา่ งท่ี 1 ในการเลือกจำนวนสองจำนวนโดยไม่เจาะจงจาก {1 , 2 , 3 , 4 , 5} โดยเลือกทลี ะจำนวนและ - 27 -

ไมใ่ หซ้ ้ำกนั จงหาความนา่ จะเปน็ ทีจ่ ะได้จำนวนสองจำนวนทม่ี ีผลบวกเปน็ 6

วธิ ที ำ ให้ E แทน เหตกุ ารณ์ท่จี ะได้จำนวนสองจำนวนทม่ี ีผลบวกเปน็ 6

S แทน ปริภมู ิตัวอย่าง / แซมเปิลสเปซ

จากหลกั การคูณ จะไดว้ ่า มีวธิ ใี นการเลือกจำนวนสองจำนวนทไ่ี มซ่ ้ำกันทัง้ หมด 5 x 4 = 20 วิธี

ดงั นั้น n(S) = 20

E แทน เหตุการณ์ทจี่ ะไดจ้ ำนวนสองจำนวนทมี่ ผี ลบวกเป็น 6

ข้ันตอนที่ 1 เลือกจำนวนแรก

ขั้นตอนท่ี 2 เลือกจำนวนท่ี 2

จำนวนท่ี 1 1 2 4 5

จำนวนที่ 2 5 4 2 1

จะไดว้ ่า n(E) = 4 4 1
20 5
ดังน้ัน P(E) = =

ตวั อยา่ งที่ 2 ตอ้ งการจดั คน 3 คนนัง่ บนรถท่ีมี 3 ท่ีน่ัง (รวมที่นงั่ คนขบั แลว้ ) โดยใน 3 คนนม้ี คี นทข่ี ับรถ
เป็น 2 คน จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณต์ อ่ ไปน้ี
1.) คนท่ีขบั รถเปน็ ไดน้ ั่งท่นี ง่ั ของคนขับ 2.) คนทข่ี ับรถไมเ่ ป็นไดน้ ่ังทีน่ ั่งของคนขับ

วธิ ที ำ ให้ E1 แทน เหตกุ ารณ์ทีค่ นท่ขี ับรถเป็นไดน้ ่งั ท่นี ั่งของคนขับ
E2 แทน เหตุการณท์ ค่ี นท่ีขับรถไม่เปน็ ได้น่ังที่น่ังของคนขับ
S แทน ปรภิ ูมติ ัวอย่าง / แซมเปิลสเปซ

จากหลักการคูณ จะได้ว่า มวี ธิ ใี นการจัดคนสามคนน่ังทนี่ ง่ั ท้งั หมด 3 x 2 x 1 = 6 วิธี
ดังน้นั n(S) = 6

E1 แทน เหตกุ ารณ์ทค่ี นท่ขี บั รถเปน็ ได้นง่ั ทนี่ ง่ั ของคนขับ *ท่นี ง่ั คนขบั ใหเ้ ลอื กคนท่ขี ับรถเป็นน่งั

ABC

กำหนดให้ A และ B คอื คนที่ขับรถเปน็

นง่ั คนขับ (คนขับ) ทน่ี ั่งที่ 2 ที่นั่งที่ 3 - 28 -

22 1

สมมติว่าเลอื ก A สมมตวิ ่าเลอื ก B เหลือ Cที่ตอ้ งนง่ั ท่ีตรงน้ี

จากหลักการคูณจะได้ว่าคนท่ขี บั รถเป็นไดน้ ง่ั ที่นัง่ ของคนขับท้ังหมด 2 x 2 x 1 = 4

ดงั นน้ั n(E1) = 4 4 2
6 3
ดังนั้น P(E1) = =

E2 แทน เหตุการณ์ทค่ี นท่ขี ับรถไม่เป็นไดน้ ่ังท่ีน่งั ของคนขับ

A BC

กำหนดให้ A และ B คือคนที่ขับรถเปน็

ทน่ี ัง่ คนขับ (คนขบั ) ที่นั่งที่ 2 ทนี่ งั่ ที่ 3

12 1

เลือก C ได้คนเดียว สมมติวา่ เลือก A เหลอื B ที่ตอ้ งนง่ั ท่ีตรงนี้

เพราะขับรถไมเ่ ป็น

จากหลกั การคูณจะได้วา่ คนที่ขับรถไม่เปน็ ได้นง่ั ที่น่งั ของคนขับทง้ั หมด 1 x 2 x 1 = 2

ดังนนั้ n(E2) = 2 - 29 -

ดงั น้ัน P(E2) = 2 = 1
6 3

ตวั อยา่ งที่ 3 หา้ งสรรพสนิ คา้ แห่งหนง่ึ มปี ระตูเข้าออกทัง้ หมด 5 ประตู จงหาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ต่อไปน้ี
1.) หมวยเข้าและออกหา้ งสรรสินค้าโดยใช้ประตูเดยี วกัน
2.) ดนพุ รเข้าและออกห้างสรรพสนิ ค้าโดยใชป้ ระตูท่ี 2
3.) ดวงพรเข้าและออกห้างสรรพสนิ คา้ โดยไม้ใช้ประตูที่ 1 และประตูท่ี 4

วธิ ที ำ ให้ E1 แทน เหตกุ ารณท์ ี่หมวยเข้าและออกห้างสรรสนิ คา้ โดยใชป้ ระตูเดียวกัน
E2 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีดนพุ รเข้าและออกหา้ งสรรพสินคา้ โดยใชป้ ระตูท่ี 2
E3 แทน เหตกุ ารณ์ท่ดี วงพรเข้าและออกห้างสรรพสินค้าโดยไม้ใชป้ ระตูที่ 1 และประตูท่ี 4
S แทน ปริภูมิตวั อย่าง / แซมเปิลสเปซ

จากหลักการคูณ จะไดว้ ่า มีวิธีในการเลือกเข้าออกห้างสรรพสินคา้ ทงั้ หมด 5 x 5 = 25 วิธี

ดังนัน้ n(S) = 25

E1 แทน เหตุการณท์ ีห่ มวยเข้าและออกห้างสรรสนิ คา้ โดยใชป้ ระตูเดยี วกัน

เขา้ ห้างสรรพสินคา้ ออกห้างสรรพสนิ ค้า

51

- 30 -

สมมตวิ า่ เข้าประตู 1 ออกไดแ้ คป่ ระตูที่ 1

จากหลกั การคูณ จะไดว้ า่ มีวธิ ีในการเลอื กเข้าและออกห้างสรรสนิ ค้าโดยใชป้ ระตูเดยี วกัน

ทงั้ หมด 5 x 1 = 5 วธิ ี

ดงั นนั้ n(E1) = 5 5 1
25 5
ดงั นน้ั P(E1) = =

E2 แทน เหตกุ ารณท์ ่ดี นุพรเข้าและออกหา้ งสรรพสนิ ค้าโดยใชป้ ระตูท่ี 2

เข้าห้างสรรพสินคา้ ออกห้างสรรพสินคา้

11

เขา้ ประตูที่ 2 ออกประตูที่ 2

จากหลกั การคูณ จะได้วา่ มีวิธีในการเลือกเข้าและออกห้างสรรพสินคา้ โดยใชป้ ระตูที่ 2

ทั้งหมด 1 x 1 = 1 วิธี

ดงั น้นั n(E2) = 1 1
25
ดังนั้น P(E2) =

E3 แทน เหตกุ ารณ์ทด่ี วงพรเขา้ และออกหา้ งสรรพสนิ ค้าโดยไม้ใช้ประตูที่ 1 และประตูท่ี 4

เข้าหา้ งสรรพสนิ ค้า ออกหา้ งสรรพสนิ คา้ - 31 -

32

สมมตวิ ่าเข้าประตู 2 ออกไดแ้ ค่ประตูท่ี 3 หรือ 5

จากหลกั การคูณ จะไดว้ ่า มวี ธิ ใี นการเลอื กเข้าและออกหา้ งสรรพสินคา้ โดยไม้ใชป้ ระตูที่ 1

และประตูท่ี 4 ทัง้ หมด 3 x 2 = 6 วิธี

ดังนน้ั n(E3) = 6 6
25
ดงั นน้ั P(E3) =

คำชแี้ จง ใหน้ ักเรยี นใชค้ วามรู้ เรอื่ ง ความนา่ จะเป็นแสดงวิธที ำตอ่ ไปนใ้ี ห้ถกู ต้อง

1. ในการเดนิ ทางจากบา้ นของฐานิตาไปโรงเรียนมีเส้นทางอยู่ 5 เส้นทางที่แตกตา่ งกัน ในการเดินทาง

ไปโรงเรียนของฐานิตาในครั้งนี้ จงหาความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณต์ อ่ ไปน้ี

1.) ฐานิตาใชเ้ ส้นทางที่ 3 ในการเดนิ ทางไปกลับโรงเรยี น

2.) ฐานิตาไม่ใช้เสน้ ทางเดิมในการเดนิ ทางไปกลับโรงเรยี น

3.) ฐานติ าใชเ้ สน้ ทางเดิมในการเดนิ ทางไปกลับโรงเรยี น

วิธที ำ ให้ S แทน แซมเปลิ สเปซของการทดลองส่มุ ในครง้ั น้ี

E1 แทน เหตุการณท์ ี่ฐานิตาใช้เสน้ ทางที่ 3 ในการเดินทางไปกลบั โรงเรยี น - 32 -

E2 แทน เหตุการณท์ ่ีฐานิตาไม่ใช้เส้นทางเดิมในการเดินทางไปกลบั โรงเรียน

E3 แทน เหตุการณ์ทฐ่ี านิตาใชเ้ สน้ ทางเดมิ ในการเดินทางไปกลับโรงเรยี น
จากหลกั การคูณ จะไดว้ า่ มวี ธิ ีในการเลอื กไปกลบั โรงเรยี นทง้ั หมด 4 x 4 = 16 วธิ ี

ดงั น้นั n(S) = 16

E1 แทน เหตุการณท์ ี่ฐานติ าใชเ้ ส้นทางที่ 3 ในการเดินทางไปกลบั โรงเรยี น

ไปโรงเรียน กลับบ้าน

11

เลือกถนน 3 เลอื กถนน 3

จากหลกั การคูณจะไดว้ ่าฐานิตาใช้เส้นทางที่ 3 ในการเดนิ ทางไปกลับโรงเรียนท้งั หมด 1 x 1 = 1

จะได้ n(E1) = 1 1
16
ดงั นัน้ P(E1) =

E2 แทน เหตกุ ารณ์ท่ฐี านติ าไม่ใช้เสน้ ทางเดมิ ในการเดนิ ทางไปกลบั โรงเรยี น

ไปโรงเรียน กลับบา้ น

43

เลอื กถนน 1 , 2 , 3 , 4 เลอื กถนนทีไ่ มไ่ ดเ้ ลอื กตอนขาไป

จากหลักการคูณจะไดว้ า่ ฐานิตาไม่ใชเ้ สน้ ทางเดมิ ในการเดนิ ทางไปกลบั โรงเรียนทงั้ หมด 4 x 3 = 12

จะได้ n(E2) = 12 12 3
16 4
ดงั นั้น P(E2) = =

E3 แทน เหตุการณท์ ฐ่ี านติ าใช้เส้นทางเดมิ ในการเดนิ ทางไปกลับโรงเรียน

ไปโรงเรียน กลับบ้าน

41

เลือกถนน 1 , 2 , 3 , 4 เลือกถนนทเี่ ลอื กตอนขาไป

จากหลกั การคูณจะไดว้ า่ ฐานิตาใชเ้ สน้ ทางเดมิ ในการเดนิ ทางไปกลับโรงเรียนทงั้ หมด 4 x 1 = 4

จะได้ n(E3) = 4 4 1
16 4
ดงั นนั้ P(E3) = =

2. ต้องการจัดคน 4 คนน่ังบนรถที่มี 4 ทน่ี ัง่ (รวมทน่ี ั่งคนขับแล้ว) โดยใน 4 คนนมี้ คี นทีข่ บั รถเป็น 2 คน

จงหาความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ตอ่ ไปนี้

1.) คนทข่ี ับรถเปน็ ไดน้ ่ังทน่ี งั่ ของคนขับ 2.) คนทีข่ ับรถไม่เปน็ ไดน้ ่งั ที่นงั่ ของคนขบั - 33 -

วิธที ำ ให้ S แทน แซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มในครั้งน้ี

E1 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีคนท่ีขับรถเปน็ ไดน้ งั่ ท่นี ่ังของคนขบั

E2 แทน เหตกุ ารณ์ทค่ี นทขี่ ับรถไม่เปน็ ได้นงั่ ท่นี ัง่ ของคนขับ
จากหลักการคูณ จะได้วา่ มีวธิ ใี นการเลอื กไปกลบั โรงเรยี นทงั้ หมด 4 x 3 x 2 x 1 = 24 วิธี

ดงั นน้ั n(S) = 24

E1 แทน เหตกุ ารณ์ท่ีคนทขี่ บั รถเป็นได้นงั่ ทีน่ ่ังของคนขับ
สมมตใิ ห้ A และ B ขบั รถเปน็ , C และ D ขับรถไมเ่ ป็น

ท่ีน่ังคนขบั ทีน่ ัง่ ที่ 2 ทน่ี งั ท่ี 3 ทนี่ ัง่ ที่ 4

2321

(A , B) (B , C , D) (C , D) เลอื กไดแ้ ค่ D

สมมติวา่ เลือก A สมมติว่าเลือก B สมมติว่าเลือก C

จากหลกั การคูณจะไดว้ ่าคนท่ีขบั รถเปน็ ไดน้ ัง่ ท่นี ง่ั ของคนขับทั้งหมด 2 x 3 x 2 x 1 = 12

จะได้ n(E1) = 12 12 1
24 2
ดงั นัน้ P(E1) = = = 0.5

E2 แทน เหตกุ ารณท์ ่ีคนทขี่ บั รถไม่เปน็ ได้นั่งทีน่ ่ังของคนขับ
สมมติให้ A และ B ขับรถเปน็ , C และ D ขับรถไมเ่ ป็น

ท่นี ัง่ คนขับ ทน่ี ั่งท่ี 2 ท่ีนงั ที่ 3 ท่นี ัง่ ที่ 4

2321

(C , D) (A , B , D) (B , D) เลือกได้แค่ D

สมมติว่าเลือก C สมมตวิ า่ เลือก A สมมติว่าเลอื ก B

จากหลกั การคูณจะได้วา่ คนท่ขี ับรถไม่เปน็ ได้นงั่ ทน่ี ่ังของคนขับทัง้ หมด 2 x 3 x 2 x 1 = 12

จะได้ n(E2) = 12 12 = 1 = 0.5
ดังนน้ั P(E2) = 24 2

- 34 -

กระทรวงศึกษาธิการ. 2551. หลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาข้ันพ้ืนฐาน พทุ ธศักราช 2551.กรุงเทพฯ - 35 -
โรงพิมพ์ชมุ นุมสหกรณก์ ารเกษตรแห่งประเทศไทย.

กนกวลี อุษณกรกลุ และ รณชัย มาเจรฐิ ทรัพย์. (2553). แบบฝกึ หัดและประเมินผลการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์
พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4-6 เล่ม 2. กรุงเทพมหานคร : สำนักพมิ พเ์ ดอะบคุ ส.์

ฉววี รรณ เศวตมาลย.์ 2545. การพฒั นาหลกั สูตรคณิตศาสตร.์ กรงุ เทพมหานคร : สวุ รี ิยาสาสน์.
ทชิ ากร ทองระยับ ธนนิ กระแสร์ และวันทนีย์ นามสวสั ดิ.์ (2557). ผลการใชแ้ บบฝึกทกั ษะ เร่ือง

ความนา่ จะเปน็ กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ สําหรบั นักเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปี ที่ 3 ทเ่ี รียนรู้
ตามทฤษฎคี อนสตรัคตวิ ิสต์.
กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนคิ การเรียนคณติ ศาสตร์ : ความน่าจะเปน็ กรุงเทพมหานคร :
สำนกั พมิ พฟ์ ิสกิ ส์เซน็ เตอร.์
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2554). หนงั สือเรียนรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร์
เลม่ 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4-6 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลาง
การศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.
สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2554). หนังสือเรียนรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร์
เลม่ 2 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4-6 กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลาง
การศึกษาขั้นพ้นื ฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพมหานคร : โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.
ทินกฤต เรอื นสม (2560). รายงานการพฒั นาแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความนา่ จะเป็น วชิ าคณติ ศาสตร์
พน้ื ฐาน สาํ หรบั นกั เรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5.
สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี. (2557). หนงั สอื เรียนรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร์ เล่ม 2
ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 3 กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขัน้ พืน้ ฐาน
พุทธศักราช 2551. พิมพ์คร้งั ที่ 5. กรงุ เทพมหานคร: โรงพมิ พอ์ งคก์ ารค้า สกสค.
สริ พิ ร ทิพยแคง. 2545. หลักสูตรและการสอนคณิตศาสตร.์ กรงุ เทพ : พัฒนาคณุ ภาพวชิ าการ (พว.) จํากดั .
Dewey, J. (1963). Experience and education. New York: Macmilan Publishing Company.
Eves, Jamie H. (1990). An Introduction to the History of Mathematics. 6th Ed. USA:
Thomson Learning, Inc.

- 36 -