หลักการนับเบื้องต้น เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น1

การเรยี งสบั เปลี่ยนเชงิ เสน้

จัดทาโดย นางสาววรรณา จติ รงาม
ครูผ้ชู ว่ ย โรงเรยี นสมาคมปา่ ไมแ้ หง่ ประเทศไทยอทุ ศิ

แฟกทอเรียล (Factorial) ให้ n เป็นจานวนเตม็ บวก
n! = 1 ĭ 2 ĭ 3 ĭ … ĭ (n-1) ĭ n
ให้ n เปน็ จานวนเตม็ บวก n! = n ĭ (n-1) ĭ (n-2) ĭ … ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1
แฟกทอเรียล n (Factorial n) คือ การคูณจานวนเตม็ บวก

ตงั้ แต่ 1 ถงึ n
หมายเหตุ : n! อา่ นวา่ เอน็ แฟกทอเรยี ล

ตัวอยา่ งเชน่
➢ 1! = 1 = 1
➢ 2! = 2 ĭ 1 = 2
➢ 3! = 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6
➢ 4! = 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 24
➢ 5! = 5 ĭ 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 120
➢ 6! = 6 ĭ 5 ĭ 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 720
➢ 7! = 7 ĭ 6 ĭ 5 ĭ 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 5,040

ตัวอยา่ งที่ 1 สมมติว่า กิ่ง กาญจน์ และแก้ว ยนื เป็นแถวหน้ากระดานเพอ่ื ถา่ ยรูปดว้ ยกนั ทง้ั สามคน จะมวี ธิ ีจัดแถวเพอ่ื
ถา่ ยรูปไดท้ ั้งหมดกี่วิธี

วธิ ที า การยืนแถวหน้ากระดานของกิง่ กาญจน์ และแกว้ เพื่อถา่ ยรปู สามคน ประกอบด้วย 3 ขน้ั ตอน
ขั้นตอนท่ี 1 เลือกคน 1 คนมายนื ตาแหนง่ ท่ี 1
ขัน้ ตอนที่ 2 เลือกคน 1 คนมายนื ตาแหน่งที่ 2
ขน้ั ตอนที่ 3 เลือกคน 1 คนมายืนตาแหนง่ ที่ 3

3 21

กง่ิ กาญจน์ แก้ว ตาแหน่งท่ี 1 ตาแหน่งท่ี 2 ตาแหนง่ ท่ี 3

ดงั นนั้ จะมวี ธิ จี ดั แถวเพอื่ ถ่ายรปู ทง้ั หมด 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 2 รา้ นคา้ ต้องการนากระเป๋าร่นุ ใหม่ทแ่ี ตกต่างกนั 4 ใบ วางโชว์หน้ารา้ น โดยวางเรยี งกันในแนวเสน้ ตรง
จะสามารถจดั วางกระเป๋าไดท้ ้ังหมดกี่วธิ ี

วิธที า การนากระเป๋าทแ่ี ตกตา่ งกนั 4 ใบ มาเรียงในแนวเสน้ ตรง ประกอบด้วย 4 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 เลอื กกระเป๋า 1 ใบมาวางตาแหนง่ ท่ี 1 ขั้นตอนที่ 2 เลือกกระเป๋า 1 ใบมาวางตาแหน่งท่ี 2
ข้ันตอนท่ี 3 เลือกกระเปา๋ 1 ใบมาวางตาแหน่งที่ 3 ขน้ั ตอนท่ี 4 เลือกกระเป๋า 1 ใบมาวางตาแหนง่ ท่ี 4

4 3 2 1

ตาแหน่งท่ี 1 ตาแหน่งท่ี 2 ตาแหนง่ ท่ี 3 ตาแหน่งที่ 4

ดงั น้นั จะสามารถนากระเปา๋ มาวางเรยี งไดท้ งั้ หมด 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 24 วธิ ี

การเรยี งสับเปลย่ี นเชิงเสน้ ของสง่ิ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั ทงั้ หมด

ถา้ ตอ้ งการนาสงิ่ ของทแี่ ตกตา่ งกนั n ชิ้น มาเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ สามารถหาจานวนวธิ เี รยี งสบั เปลยี่ นทง้ั หมด
โดยใชห้ ลกั การคณู ดังน้ี

ขน้ั ตอนท่ี 1 ตาแหนง่ ที่ 1 มวี ธิ เี ลอื กสงิ่ ของมาวางได้ n วิธี
ขัน้ ตอนท่ี 2 ตาแหนง่ ที่ 2 แตล่ ะวธิ ีทว่ี างสงิ่ ของในตาแหนง่ ที่ 1 มวี ธิ เี ลอื กสงิ่ ของมาวางในตาแหนง่ ท่ี 2 ได้ n-1 วิธี
ขั้นตอนท่ี 3 ตาแหนง่ ท่ี 3 แต่ละวธิ ีทวี่ างสง่ิ ของในตาแหนง่ ท่ี 1 และ 2 มวี ิธเี ลอื กสง่ิ ของมาวางในตาแหนง่ ที่ 3 ได้ n-2 วธิ ี

.
.
.
ขั้นตอนท่ี n ตาแหนง่ ที่ n แตล่ ะวธิ ที ว่ี างสิง่ ของในตาแหนง่ ท่ี 1 ถึง n-1 มีวิธเี ลอื กสง่ิ ของมาวางในตาแหนง่ ที่ n ได้ 1 วิธี
ดงั นั้น จานวนวธิ ใี นการนาสง่ิ ของทแ่ี ตกตา่ งกนั ทงั้ หมด n ชนิ้ มาเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ เทา่ กบั
n ĭ (n-1) ĭ (n-2) ĭ … ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = n! วธิ ี

ตัวอยา่ งท่ี 1 สมมติว่า กิ่ง กาญจน์ และแกว้ ยืนเป็นแถวหนา้ กระดานเพื่อถา่ ยรูปด้วยกนั ท้งั สามคน จะมวี ธิ จี ดั แถวเพอ่ื
ถา่ ยรูปไดท้ ้งั หมดกว่ี ิธี

กงิ่ กาญจน์ แก้ว

ตาแหนง่ ท่ี 1 ตาแหน่งที่ 2 ตาแหน่งท่ี 3
จากโจทยก์ ารเข้าแถวหนา้ กระดาน เป็นการเรยี งคน 3 คน เปน็ แนวเสน้ ตรง

ดงั น้ัน จะมวี ธิ จี ดั แถวเพอื่ ถ่ายรปู ทงั้ หมด 3! = 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 วิธี

ตัวอยา่ งท่ี 2 ร้านค้าต้องการนากระเปา๋ รุ่นใหม่ทแ่ี ตกตา่ งกนั 4 ใบ วางโชวห์ น้าร้าน โดยวางเรยี งกนั ในแนวเสน้ ตรง
จะสามารถจดั วางกระเปา๋ ได้ทัง้ หมดกว่ี ธิ ี

ตาแหน่งท่ี 1 ตาแหนง่ ท่ี 2 ตาแหนง่ ท่ี 3 ตาแหนง่ ท่ี 4
จากโจทย์การนากระเป๋ามาวางโชวห์ น้ารา้ น ซึ่งเป็นการวางเรียงในแนวเสน้ ตรง
ดังน้นั จะสามารถวางเรยี งกระเปา๋ ไดท้ ง้ั หมด 4! = 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 =24 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 3 ดวงดาวมีหนังสอื คณิตศาสตรท์ ีแ่ ตกตา่ งกนั 2 เลม่ และมีหนังสอื วทิ ยาศาสตรท์ ีแ่ ตกตา่ งกนั 2 เลม่
ถ้าดวงดาวตอ้ งการนาหนงั สอื ทัง้ หมดมาวางเรยี งบนชั้นหนังสือชั้นหนึ่ง จะสามารถทาไดท้ งั้ หมดกวี่ ธิ ี

ตาแหน่งที่ 1 ตาแหน่งท่ี 2 ตาแหน่งท่ี 3 ตาแหนง่ ที่ 4
จากโจทย์การนาหนังสอื มาวางเรยี งบนช้ันหนงั สอื เป็นแนวเสน้ ตรง

ดงั น้ัน จะสามารถวางเรยี งหนงั สอื ไดท้ ง้ั หมด 4! = 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 24 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 4 ตอ้ งการสรา้ งจานวนทม่ี ี 3 หลกั จากเลขโดด 2 , 5 , 7 โดยทเี่ ลขโดดแต่ละหลักห้ามซา้ กนั จะสรา้ ง
จานวน 3 หลักไดท้ ง้ั หมดก่ีจานวน

ตาแหน่งที่ 1 ตาแหน่งที่ 2 ตาแหน่งท่ี 3
ดงั นน้ั จะสามารถสรา้ งจานวนทมี่ สี ามหลกั ไดท้ ง้ั หมด 3! = 3 ĭ 2 ĭ 1 = 6 จานวน
ตวั อยา่ งที่ 5 ต้องการสรา้ งจานวนท่มี ี 5 หลกั จากเลขโดด 2 , 4 , 5 , 7 , 8 โดยท่ีเลขโดดแตล่ ะหลกั หา้ มซา้ กนั
จะสร้างจานวน 5 หลักไดท้ ้ังหมดก่จี านวน

ตาแหนง่ ท่ี 1 ตาแหน่งท่ี 2 ตาแหน่งท่ี 3 ตาแหนง่ ที่ 4 ตาแหน่งที่ 5

ดังน้นั จะสามารถสรา้ งจานวนทม่ี หี า้ หลกั ไดท้ ง้ั หมด 5! = 5 ĭ 4 ĭ 3 ĭ 2 ĭ 1 = 120 จานวน

ใบงาน เรอ่ื ง การเรยี งสบั เปลยี่ นเชงิ เสน้ ของสิง่ ของทแ่ี ตกต่างกนั ทง้ั หมด

1. มีหนงั สอื คณิตศาสตร์ที่แตกต่างกนั 3 เลม่ หนังสือภาษาไทยทีแ่ ตกต่างกนั 2 เลม่ และมหี นังสือภาษาองั กฤษท่ี
แตกตา่ งกัน 2 เลม่ ถ้าต้องการนาหนงั สือทง้ั หมดมาวางเรียงกนั บนชัน้ หนงั สอื ช้นั หนง่ึ จะทาได้ทั้งหมดกีว่ ธิ ี

2. นารปู ภาพที่แตกตา่ งกนั 5 รปู มาจัดแสดงโดยเรียงตอ่ กนั ในแนวเส้นตรง จะมีวิธีจัดแสดงรปู ภาพไดท้ ั้งหมดกว่ี ธิ ี
3. คณุ ครูตอ้ งการจดั แสดงผลงานของนักเรยี น 8 คน โดยนามาจดั แสดงเป็นแนวเส้นตรง จะมวี ธิ จี ัดแสดงผลงานของ

นกั เรียนไดท้ ้ังหมดก่ีวธิ ี
4. ต้องการสรา้ งเลขโดดสห่ี ลัก จากเลขโดด 1 , 3 , 4 , 6 โดยทเ่ี ลขโดดแต่ละหลักหา้ มซา้ กัน จะสามารถสรา้ ง

จานวนทม่ี ีสหี่ ลกั ไดท้ ้งั หมดกจี่ านวน
5. ต้องการสรา้ งเลขโดดห้าหลัก จากเลขโดด 1 , 3 , 4 , 6 , 7 โดยท่ีเลขโดดแตล่ ะหลักหา้ มซา้ กนั

จะสามารถสร้างจานวนทีม่ หี ้าหลกั ไดท้ ง้ั หมดกจ่ี านวน