หลักการนับเบื้องต้น เรื่อง การจัดหมู่2

การจดั หมูข่ องสงิ่ ของทแี่ ตกตา่ งกนั ทง้ั หมด

จัดทาโดย : นางสาววรรณา จติ รงาม
ครูผู้ชว่ ย โรงเรยี นสมาคมปา่ ไมแ้ หง่ ประเทศไทยอทุ ศิ

ในตะกรา้ ใบหนงึ่ มีผลไม้ 7 ผล จงหาจานวนวิธใี นการเลือกหยิบผลไม้ 5 ผล จากตะกร้าโดยทไ่ี มม่ ีเงื่อนไขเพิ่มเตมิ

จากโจทย์ มีผลไม้ท้ังหมด 7 ผล นั่นคือ n = 7 และตอ้ งการหยิบผลไม้ 5 ผล นัน่ คอื r = 5
7! 7!
จะไดว้ า่ C7 , 5 = (7 − 5)!5! = 2!5!

= 7 x 6 3x 5! 1
= 2 1xx 1 x 5!
7 3 1

= 21

ดงั น้นั สามารถเลือกหยบิ ผลไมไ้ ดท้ งั้ หมด 21 วิธี

ตวั อยา่ งที่ 1 มที มี ฟุตบอล 5 ทมี ซงึ่ จะทาการแขง่ ขันแบบพบกนั หมดและ 2 ทีมใด ๆ จะแข่งขันกันเพียง 1 ครั้ง จงหาวา่
จะต้องจัดการแข่งขนั ทัง้ หมดกค่ี รง้ั

จากโจทย์ มีทมี ฟตุ บอลทง้ั หมด 5 ทีม นั่นคือ n = 5 และตอ้ งเลอื กทีมฟุตบอล 2 ทีม นนั่ คือ r = 2
5! 5!
จะได้วา่ C5 , 2 = (5 − 2)!2! = 3!2!

= 5 x 4 2x 3!1
= 521xx 1 x 3! 1
2 = 10

ดังนนั้ ต้องจัดการแขง่ ขนั ทง้ั หมด 10 ครงั้

ตวั อยา่ งที่ 2 ในงานเลีย้ งแห่งหน่งึ มีคน 6 คน ถ้าคนสองคนใด ๆ จับมือกนั หนึ่งครงั้ จงหาว่าจะมกี ารจับมอื ทั้งหมดก่คี ร้ัง

จากโจทย์ มคี นท้งั หมดทง้ั หมด 6 คน น่นั คอื n = 6 และต้องเลือกคน 2 คน นั่นคือ r = 2
6! 6!
จะได้วา่ C6 , 2 = (6 − 2)!2! = 4!2!

= 6 3x 5 x 4! 1
= 321 x 1 x 4! 1
x 5

= 15

ดงั น้ัน จะมกี ารจบั มอื กนั ทัง้ หมด 15 ครงั้

ตวั อยา่ งท่ี 3 ในตะกรา้ ใบหน่ึงมแี อปเปิล 8 ผล และมงั คุด 4 ผล จงหาจานวนวธิ ีในการเลือกหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยิบได้
แอปเปลิ ทั้ง 4 ผล

จากโจทย์ มีแอปเปิลทงั้ หมด 8 ผล น่ันคือ n = 8 และต้องเลือกมา 4 ผล นั่นคอื r = 4
8! 8!
จะได้วา่ C8 , 4 = (8 − 4)!4! = 4!4!

= 8 x 7 x 6 x 5 x 4!
4 x 3 x 2 x 1 x 4!
= 2x7x5

= 70

ดังน้ัน สามารถหยบิ ผลไมใ้ นตะกรา้ โดยทีห่ ยบิ ไดแ้ อปเปิลทง้ั 4 ผล 70 วธิ ี

ตวั อยา่ งท่ี 4 ในตะกร้าใบหนงึ่ มแี อปเปลิ 4 ผล และมังคุด 4 ผล จงหาจานวนวิธีในการเลือกหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยิบได้
แอปเปลิ ท้งั 1 ผล และ มังคุด 3 ผล

ขัน้ ตอนท่ี 1 เลอื กหยิบแอปเปิล 1 ผล จาก 4 ผล ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กหยบิ มังคุด 3 ผล จาก 4 ผล

จะไดว้ า่ n = 4 , r = 1 จะไดว้ ่า n = 4 , r = 3
4! 4! 4! 4!
C4 , 1 = (4 − 1)!1! = 3!1! C4 , 3 = (4 − 3)!3! = 1!3!

= 4 x 3! =4 = 4 x 3! =4
1 x 3! 1 x 3!

ดงั นนั้ สามารถเลอื กหยบิ ผลไม้ 4 ผล โดยหยบิ ไดแ้ อปเปลิ ทง้ั 1 ผล และ มงั คดุ 3 ผล ได้ 4 x 4 วธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 5 ถ้าต้องการเลือกคณะกรรมการนักเรียน 5 คน ซึ่งประกอบดว้ ยนกั เรียนชาย 3 คน และนักเรียนหญงิ 2 คน
จากผสู้ มัครนักเรยี นชาย 5 คน และนกั เรียนหญิง 4 คน จงหาจานวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการนกั เรียนชดุ น้ี

ขัน้ ตอนท่ี 1 เลอื กคณะกรรมการผู้ชายจานวน 3 คน จาก 5 คน ข้นั ตอนที่ 2 เลอื กคณะกรรมการผู้หญิงจานวน 2 คน จาก 4 คน

จะไดว้ ่า n = 5 , r = 3 จะไดว้ ่า n = 4 , r = 2
5! 5! 4! 4!
C5 , 3 = (5 − 3)!3! = 2!3! C4 , 2 = (4 − 2)!2! = 2!2!

= 5 x 4 x 3! = 5x2 = 10 = 4 x 3 x 2! = 2x3= 6
2 x 1 x 3! 2 x 1 x 2!

ดังนน้ั สามารถเลอื กคณะกรรมการนกั เรยี นไดท้ ง้ั หมด 10 x 6 = 60 วิธี

แบบฝกึ หดั

ข้อ 1 มีทีมบาสเกตบอลท้งั หมด 9 ทมี ซึ่งจะทาการแข่งขนั แบบพบกนั หมดและ 2 ทมี ใด ๆ จะแข่งขนั กนั
เพยี ง 1 ครั้ง จงหาวา่ จะต้องจดั การแข่งขันทง้ั หมดก่คี รง้ั

ข้อ 2 ในงานเลย้ี งแหง่ หนึ่งมคี น 6 คน ถ้าคนสองคนใด ๆ จบั มือกันหนง่ึ คร้งั จงหาว่าจะมกี ารจับมอื
ท้ังหมดก่ีครง้ั

ขอ้ 3 ถา้ ตอ้ งการเลอื กคณะกรรมการนกั เรียน 8 คน ซ่ึงประกอบดว้ ยนักเรียนชาย 3 คน และนกั เรียน
หญิง 5 คน จากผู้สมัครนักเรยี นชาย 7 คน และนักเรียนหญงิ 9 คน จงหาจานวนวธิ ีในการเลือก
คณะกรรมการนักเรยี นชุดน้ี

ขอ้ 4 กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลทีแ่ ตกตา่ งกัน 11 ลกู เปน็ ลูกบอลสีแดง 5 ลกู และลกู บอลสนี ้าเงิน 8 ลกู
ถ้าต้องการหยิบลกู บอล 2 ลกู จากกล่องใบน้ี จงหาจานวนวธิ กี ารหยบิ ลกู บอลโดยทีไ่ ด้ลกู บอลหมดทุกสี