Bahan Ajar

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI
KELAS IX

1. Persamaan kuadrat

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita jumpai persoalan atau perhitungan yang
berkaitan dengan materi persamaan kuadrat.Sebelumnya kalian sudah mempelajari tentang
bentuk umum persamaan kuadrat dan bagaimana cara mencari akar akar dalam persamaan
kuadrat. Kali ini kita akan membahas tentang bagaimana mencari jumlah dan hasil kali akar
akar persamaan kuadrat.
Persamaan Kuadrat Persamaan Kuadrat adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel
dengan pangkat tertinggi dua.

RANGKUMAN

Akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0, berhubungan erat
dengan koefisien-koefisien a, b, dan c.
Rumus akar-akar persamaan kuadrat:

− ± 2 − 4
= 2
Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah X₁ dan X₂ maka ;

X₁ = − + 2 − 4

2

Dan

X₂ = − − 2 − 4

2

Sehingga jumlah akar-akar:

dikali hasil akar-akar: X₁ + X₂=-



X1. X₂=-



a). Bentuk umum persamaan kuadrat

ax2 + bx + c = 0

a, b, c  R dan a  0

Contoh.

• x 2 – 5x + 6 = 0 → a = 1, b = –5, c = 6

• 2x2 + x = 0 → a = 2, b = 1, c = 0

• 4x2 – 9 = 0 → a = 4, b = 0, c = –9

b) Metode penyelesaian persamaan x – 10 = 0 atau x + 2 = 0 x¹ = 10 atau x² = –2
kuadrat

– Pemfaktoran

Contoh.

Tentukan HP dari x² – 8x – 20 = 0 !

Jawab. x ² – 8x – 20 = 0
Sehingga: (x – 10) (x + 2) = 0

- Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Contoh.
Tentukan HP dari x² + 6x – 1 = 0!
Jawab.

x² + 6x – 1 = 0 (c = –1 pindah ke ruas kanan) x ² + 6x = 1 (kedua ruas ditambah (½ . 6) 2 )

x ² + 6x + 32 = 1 + 9 (sederhanakan ruas kanan) x ² + 6x + 3 ²= 10

(nyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna) (x + 3) ² = 10 (kedua ruas diakarkan)

x + 3 = ±√10 (menentukan nilai x) x1 = −3 + √10 atau x2 = −3 − √10

- Rumus ABC Bentuk ax2 + bx + c = 0

X1,2 = − ± 2 − 4 a, b, c  R dan a  0 c)

2

c). Menyusun persamaan kuadrat
Rumus menyusun persamaan kuadrat:

x – (x + x )x + x . x = 0

dimana: x₁ + x₂= − x₁ + x₂=

Contoh.
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –8 adalah ….

Jawab.

x₁ + x₂ = 5 + (–8) = –3
x₁ . x₂ = 5 . (–8) = –40
Persamaan kuadratnya adalah x2 – (–3)x + (–40) = 0 → x 2 + 3x – 40 = 0

Contoh.
Persamaan kuadrat tiga lebihnya dari akar-akar x2 + 3x – 1 = 0 adalah ….
Jawab.

x₁ + x₂ =− = −3 = −3

1

x₁ . x₂ = = −1 = −1

1

Akar-akar baru x₁’ = x₁ + 3 dan x₂’ = x₂ + 3

Sehingga:

x₁ + x₂ = (x1 + 3) + (x2 + 3) = x₁ + x₂ + 6 = –3 + 6 = 3 x₁ . x₂ = (x₁ + 3)( x₂ + 3) = (x₁ . x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9
= –1 + 3(–3) + 9 = –1 Persamaan kuadratnya adalah x₂ – 3x + (–1) = 0 → x₂ – 3x – 1 = 0

2. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah sebuah fungsi polinom yang memiliki peubah/variabel dengan
pangkat tertingginya adalah 2 (dua).

Secara umum fungsi kuadrat memiliki bentuk umum seperti berikut ini:
f(x) = ax + bx + c, a ≠ 0

dengan f(x) = y yang merupakan variabel terikat, x adalah variabel bebas, sedangkan a, dan b merupakan koefisien dan c
adalah suatu konstanta.

f(x) = ax + bx + c, a ≠ 0

Hal ini tentunya berbeda dengan yang dinamakan persamaan kuadrat, yang mana persamaan kuadrat memiliki variabel
dengan pangkat tertingginya adalah dua dan berbentuk persamaan.
Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

ax + bx + c = 0, a ≠ 0

Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat dengan x adalah variabel bebas, a dan b adalah koefisien, serta c adalah
konstanta.

a. Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

Sebelum kita membahas cara menggambar grafik fungsi kuadrat, akan kita bahas terlebih dahulu
mengenai jenis-jenis lain dari fungsi kuadrat seperti di bawah ini:

1. Jika pada y = ax² + bx + c nilai b dan c adalah 0, maka fungsi kuadrat menjadi: y = ax² yang
membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki nilai puncak di titik (0,0)

2. Jika pada y = ax² + bx + c nilai b bernilai 0, maka fungsi kuadrat akan berbentuk: y = ax²+ c
yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki titik puncak di (0,c)

3. Jika titik puncak ada di titik (h,k), maka fungsi kuadrat menjadi: y = a(x – h)2 + k dengan
hubungan a, b, dan c dengan h, k adalah sebagai berikut:

(h,k)=[− − ( 2−4 )]

2 4

Setelah kita memahami jenis-jenis fungsi kuadrat yang lain, selanjutnya kita akan membahas
cara melukis sebuah grafik fungsi kuadrat. Langkahlangkahnya sebagai berikut:

Menentukan sumbu simetri: x = – −

2

1. Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x: misalkan y = 0, maka ax² + bx + c
2. Menentukan titik potong dengan sumbu y: misalkan x = 0, maka y = c
3. Menentukan titik puncak:

y= −



Selain itu, terdapat ciri khusus dari grafik parabola dilihat dari fungsinya. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas jika sebaliknya
maka parabola terbuka ke bawah.

Kemudian pada fungsi kuadrat terdapat istilah diskriminan yang memiliki bentuk:

D = −

Keterangan

 Jika D > 0 maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang berbeda dan memotong di dua titik.

 Jika D = 0 maka fungsi kuadrat memiliki 2 akar yang sama, sehingga kurva hanya akan menyinggung sumbu x di satu titik.
 Jika D < 0 maka kurva tidak menyentuh sumbu x sama sekali.

b. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

dimana a  0 dan a, b, c anggota bilangan Riil. Contoh: f(x) = x² + 4x + 5

f(x) = ax + bx + c

Jenis-jenis lain dari fungsi kuadrat seperti di bawah ini:

1. Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b dan c adalah 0, maka fungsi kuadrat menjadi: y = ax2 yang
membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki nilai puncak di titik (0,0)

2. . Jika pada y = ax2 + bx + c nilai b bernilai 0, maka fungsi kuadrat akan berbentuk: y = ax2+ c
yang membuat grafik pada fungsi ini simetris pada x = 0 dan memiliki titik puncak di (0,c)

3. . Jika titik puncak ada di titik (h,k), maka fungsi kuadrat menjadi: y = a(x – h)2 + k dengan
hubungan a, b, dan c dengan h, k adalah sebagai berikut: Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi
Kuadrat

c. Karakteristi Fungsi Kuadrat
Nilai koefisien a

• Jika a > 0 (a positif), maka grafik terbuka ke atas Semakin besar nilai a, maka grafik semakin sempit, dan
sebaliknya semakin kecil nilai a, maka grafik semakin lebar

Contoh.

f(x) = x2 + 4x + 5 → a = 1

• Jika a < 0 (a negatif), maka grafik terbuka ke bawah Semakin besar nilai a, maka grafik semakin lebar, dan
sebaliknya semakin kecil nilai a, maka grafik semakin sempit

Contoh.

g(x) = –3x 2 + 2x – 1 → a = –3

- Titik potong dengan sumbu-x

Grafik memotong sumbu-x, maka nilai y = 0, sehingga ax2 + bx + c = 0 Nilai x dapat dicari dengan menggunakan
persamaan kuadrat. Sehingga titik potong sumbu-x adalah (x₁, 0) dan (x₂, 0)

Contoh.

Grafik f(x) = x² + 4x – 5 = 0 memotong sumbu-x di titik ….

Jawab.
Karena memotong sumbu-x, maka y = f(x) = 0, sehingga:

x² + 4x – 5 = 0 → (x + 5)(x – 1) = 0 x = –5 atau x = 1

Jadi titik potong terhadap sumbu-x di titik (–5, 0) dan (1, 0)
- Titik potong dengan sumbu-y Grafik memotong sumbu-y, maka nilai x = 0, sehingga y = f(0) =
c. Sehingga titik potong dengan sumbu-y adalah (0, c)
Contoh.
Grafik f(x) = x2 + 4x – 5 = 0 memotong sumbu-y di titik ….
Jawab.
Karena memotong sumbu-y, maka x = 0, sehingga:

y = f(0) = –5
Jadi titik potong terhadap sumbu-x di titik (0, –5)
-Diskriminan (D)
Diskriminan adalah bagian dari rumus persamaan kuadrat

D = b² – 4ac.
Fungsi diskriminan untuk menentukan banyak solusi (nilai x) dari persamaan kuadrat. Bisa
memiliki dua solusi, satu solusi, atau tidak ada.
Ciri nilai diskriminan terhadap titik potong kurva dengan sumbu-x.
• Jika D > 0, maka kurva memotong sumbu-x di dua titik

• Jika D = 0, maka kurva memotong sumbu-x di satu titik
• Jika D < 0, maka kurva tidak memotong sumbu-x
Contoh.
Bagaimana kedudukan grafik h(x) = x – 4x + 6 terhadap sumbu-x?

Jawab.
D = b – 4ac = (–4) – 4.1.6 = 16 – 24 = –8 < 0

Karena D < 0, maka grafik tidak memotong sumbu-x Sketsa grafik h(x) = x – 4x + 6 dengan a > 0
dan D < 0 sebagai berikut: sumbu-x

a<0 D>0

sumbu-x
- Sumbu simetri (xs)
Menentukan sumbu simetri: x = −

2

1. Menentukan titik potong kurva dengan sumbu x: misalkan y = 0, maka

ax² + bx + c = 0
2. Menentukan titik potong dengan sumbu y: misalkan x = 0, maka y = c

3. Menentukan titik puncak:
Y= −

Selain itu, terdapat ciri khusus dari grafik parabola dilihat dari fungsinya. Jika a > 0 maka parabola
terbuka ke atas jika sebaliknya maka parabola terbuka ke bawah.
• Jika diketahui titik potong sumbu-x, yaitu (x1, 0) dan (x2, 0) maka sumbu simetrinya adalah

₁₂
2

Contoh.
Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x di titik (–5, 0) dan (1, 0). Sumbu simetrinya adalah ….

Jawab.
= ₁ ₂ = −5 1 = −2

22

• Jika diketahui fungsi f(x) = ax2 + bx + c, maka sumbu simetrinya = −

2

Contoh.

Sumbu simetri pada grafik f(x) = x2 + 4x – 5 = 0 adalah ….
Jawab.

= − = −4 4 = −2

2 2.1

- Nilai ekstrim (yp)
Nilai ekstrim adalah nilai minimum atau maksimum grafik fungsi kuadrat. Nilai ekstrim dapat
dicari dengan cara memasukkan nilai sumbu simetri (xs) pada fungsi kuadratnya atau
menggunakan rumus = − = −4 ²

−4 −4

Contoh.
Nilai minimum pada grafik f(x) = x2 + 4x – 5 = 0 adalah ….
Jawab.
Cara I

=− = −4− = −2 → = f(–2)

2 2.1

= (–2)² + 4(–2) – 5 = 4 – 8 – 5
Cara II

D = − 4 = 4² – 4.1.(–5) = 16 + 20 = 36 = = 36 36 −4.1 = −9 –

−4 −4.1

- Koordinat titik balik ( , )

Koordinat titik balik merupakan pasangan koordinat dari sumbu simetri ( ) dan nilai ekstrimnya
( ).

Contoh.

Titik balik pada grafik f(x) = x2 + 4x – 5 = 0 adalah ….
Jawab.
Pada soal sebelumnya sudah diperoleh sumbu simetri = = –2 dan nilai ekstrimnya = –9. Jadi
koordinat titik baliknya adalah (–2, –9)

LATIHAN

1. Diberikan bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Dari bentuk bentuk dibawah ini
tentukan masing-masing nilai dari a, b, dan c!
(i) 2x(x – 3) = 8
(ii) x2 -5x = – 12
(iii) 3x + 6/x = 5

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan kuadrat berikut ini:
(i) x2 – 9 = 0
(ii) x2 – 16 = 0

3. Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisinya berturut-turut adalah x, x + 3, dan x + 6.
Tentukan:
a) nilai x
b) panjang ketiga sisi segitiga

4. Diberikan sebuah persamaan kuadrat:
x2 + x −30 = 0
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat di atas
a) dengan cara pemfaktoran
b) dengan menggunakan rumus ABC

5. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, persamaan 2x2 – 12x = -3 dapat ditulis menjadi...