ตัวประกอบของจำนวนนับ

ตั วประกอบของจำนวนนั บ

รำยวิชำคณิ ตศำสตร์ ชั้ นประถมศึ กษำปี ที่ 6

นำงสำวสุ วิ มล ทศพิ มพ์

ก
ก

คำนำ

หนงั สอื อเิ ล็กทรอนิกส์ (E-Book) เล่มนจี้ ดั ทำข้ึนเพือ่ เปน็ ส่วนหนงึ่ ของวชิ า คณิตศาสตร์ เพอ่ื ให้ได้
ศกึ ษาหาความรใู้ นเรื่องราวและส่ิงต่างๆเก่ียวกบั ตวั ประกอบของจำนวนนับ เพือ่ ใหน้ ักเรียนได้ศึกษาอย่างเข้าใจ
เพื่อเปน็ ประโยชนต์ อ่ การศึกษา

ผู้จัดทำคาดหวงั เป็นอยา่ งยงิ่ วา่ การจัดทำหนังสืออเิ ลก็ ทรอนิกส์ (E-Book) เล่มนี้จะมีข้อมลู ทเ่ี ปน็
ประโยชน์ตอ่ ผ้ทู ส่ี นใจศึกษาเร่ือง ตวั ประกอบของจำนวนนับ ได้เป็นอย่างดี

ผ้จู ัดทำ
นางสาวสุวมิ ล ทศพมิ พ์

ข
ข

สำรบัญ

คำนำ.............................................................................................................................................................. ก
สารบญั ........................................................................................................................................................... ข
ตวั ประกอบของจำนวนนบั ............................................................................................................................ 1

ตัวประกอบ................................................................................................................................................. 1
การแยกตัวประกอบ.................................................................................................................................... 2
ตวั หารรว่ ม..................................................................................................................................................... 4
ห.ร.ม. ......................................................................................................................................................... 4
ค.ร.น. ......................................................................................................................................................... 6
โจทยป์ ญั หา ห.ร.ม...................................................................................................................................... 8
โจทยป์ ัญหา ค.ร.น. ..................................................................................................................................... 9
แบบฝึกหัดท้ายบท....................................................................................................................................... 10
บรรณานกุ รม................................................................................................................................................ 11
ประวัตสิ ่วนตวั ผูจ้ ดั ทำ.................................................................................................................................. 12

1

ตวั ประกอบของจำนวนนับ

ตัวประกอบ

ตวั ประกอบ หมายถึง จำนวนนับทหี่ ารจำนวนนบั ทเี่ รากำหนดให้ได้ลงตัว เชน่ a จะเปน็ ตวั
ประกอบของ b ก็ตอ่ เมอ่ื b หารดว้ ย a ลงตวั หรอื กล่าวอกี นยั หนงึ่ กค็ ือ a หาร b ลงตวั

ตวั อยา่ ง

30 หารดว้ ย 6 ลงตวั แสดงวา่ 6 เปน็ ตวั ประกอบของ 30 ในขณะท่ี 30 หารดว้ ย 4 ไม่ลงตัว
แสดงวา่ 4 ไม่เปน็ ตวั ประกอบของ 30 เปน็ ตน้

หรือ จำนวนทห่ี าร 18 ลงตัวประกอบดว้ ย 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 แสดงวา่ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 เปน็ ตัว
ประกอบของ 18

จำนวนเฉพาะ หมายถงึ จำนวนทม่ี ตี วั ประกอบเพยี ง 2 ตวั คอื 1 กบั ตวั ของมนั เอง

การหาตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ จะพบวา่ บางจำนวนท่ีตัวประกอบเพยี ง 1 ตัว บาง
จำนวนมีตัวประกอบ 2 ตวั ในขณะท่บี างตัวมีตวั ประกอบมากกว่า 2 ตัว

1 มตี วั ประกอบ 1 ตวั ตวั คือ 1
6 มตี วั ประกอบ 4 ตวั คือ 1 , 2 , 3 , 6
2 มีตัวประกอบ 2 ตัว คอื 1 , 2 หรอื อีกนัยหนึ่งวา่ 2 มตี ัวประกอบ 2 คือ 1 กบั ตัวของมันเอง
3 มตี ัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 , 3 หรอื อีกนยั หนึง่ วา่ 3 มตี วั ประกอบ 2 คือ 1 กบั ตัวของมันเอง

จากตวั อย่างด้านบน เราพบว่า 1 มีตัวประกอบ 1 ตวั 6 มตี ัวประกอบ 4 ตัว ในขณะที่ 2 และ 3
มีตัวประกอบ 2 ตวั คอื 1 กบั ตวั ของมนั เอง เราเรยี กจำนวนทีม่ ตี ัวประกอบเพียง 2 ตวั น้ีว่า จำนวนเฉพาะ

ตัวประกอบเฉพาะ ตวั ประกอบของจำนวนนบั ใดทีเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะ

การหาตวั ประกอบเฉพาะของจำนวนนบั ใด ๆ นัน้ เราจะต้องหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวน
นบั นนั้ ๆก่อน จากน้นั จึงค่อยพิจารณา ตวั ประกอบเหล่านั้นว่า มจี ำนวนใดเปน็ จำนวนเฉพาะบ้าง ซึง่ จำนวน
เฉพาะเหล่านนั้ เราเรียกกว่า ตวั ประกอบเฉพาะ

2
ตวั อยา่ ง
ตัวประกอบของ 12 ประกอบดว้ ย 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
ตวั ประกอบเฉพาะของ 12 ประกอบดว้ ย 2 , 3
ทงั้ นี้เพราะวา่ 2 , 3 เป็นตัวประกอบของ 12 และเป็นจำนวนเฉพาะด้วย

กำรแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบ หมายถึง การเขยี นในรปู การคูณของตวั ประกอบเฉพาะของจำนวนนับนน้ั ๆ
ตวั อยา่ ง
12 สามารถแยกตวั ประกอบไดเ้ ป็น 2 x 2 x 3
จากตวั อย่างจะพบว่า 2 และ 3 เปน็ ตวั ประกอบเฉพาะของ 12 ซึง่ อาจมีการคณู ซำ้ กันหลายคร้งั ก็

ได้ และการคณู ซ้ำกันหลายคร้ัง สามารถเขียนในรูปของเลขยกกำลังได้ กลา่ วคือเราจะแยกตัวประกอบของ 12
เป็น 22 x 3 แทน 2 x 2 x 3 กไ็ ด้ ( 22 อา่ นว่า 2 ยกกำลัง 2 )

ตัวอยา่ งเพ่ิมเตมิ
75 สามารถแยกตวั ประกอบไดเ้ ป็น 5 x 5 x 3 หรือ 52 x 3
100 สามารถแยกตวั ประกอบไดเ้ ป็น 5 x 5 x 2 x 2 หรอื 52 x 22
การแยกตัวประกอบสามารถกระทำได้ดังนี้

วธิ ีที่ 1 วธิ ีเขียนในรปู กระจายของผลคณู ของตวั ประกอบ
การแยกตวั ประกอบโดยวธิ ีน้ี เป็นการนำจำนวนนับท่ีกำหนดมาเขียนในรปู ผลคูณของตัวประกอบ
ทีละ 2 จำนวน โดยเขยี นไปเรื่อย ๆ จนกระท่ังกลายเป็นผลคณู ของตวั ประกอบเฉพาะ

3

ตวั อยา่ ง จงแยกตัวประกอบของ 80
80 = 8 x 10
=2x4x2x5
=2x2x2x2x5

ดงั นัน้ 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
หรือ 80 = 24 x 5
วิธีท่ี 2 วธิ ตี ั้งหาร
การแยกตวั ประกอบโดยวิธตี ้ังหาร ใช้วิธหี ารสน้ั ซึง่ มขี ัน้ ตอนง่าย ๆดังน้ี
1) หารจำนวนนบั ทก่ี ำหนดให้ดว้ ยตวั ประกอบเฉพาะของมนั
2) หารผลหารทไ่ี ด้จากข้อ 1 ดว้ ยตัวประกอบเฉพาะ
3) ดำเนินการเชน่ เดยี วกับขอ้ 2 จนกระทง่ั ผลหารสดุ ท้ายมคี า่ เท่ากบั 1
4) นำตัวหารทั้งหมดคณู กัน จะกลายเปน็ การแยกตวั ประกอบของจำนวนในขอ้ 1
ตวั อย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80

2 )80
2 )40
2 )20
2 )10
5)5

1
ดงั นน้ั 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 หรือ 80 = 24x 5

4

ตวั หำรร่วม

ตวั หารร่วมหรอื ตวั ประกอบรว่ ม หมายถงึ จำนวนทส่ี ามารถหารจำนวนนับที่กำหนดใหต้ ง้ั แต่ 2
จำนวนลงตัว

ข้นั ตอนในการหาตัวหารรว่ มจะต้องเร่ิมจาก
1) หาตวั ประกอบของจำนวนท่ีกำหนดให้
2) พิจารณาตวั ว่าตัวประกอบในข้อ 1 ซำ้ กันหรอื ไม่
3) นำตัวประกอบทีซ่ ำ้ กนั เปน็ ตวั หารร่วม
ตวั อย่าง จงหาตัวหารรว่ มของ 12 , 18

ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12
ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18
ดังนน้ั ตวั ประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6

ห.ร.ม.

ห.ร.ม. บางทเี รยี กว่า หารรว่ มมาก หมายถึง ตวั หารรว่ มทม่ี ีคา่ มากที่สดุ
ห.ร.ม. จะเกดิ ขึน้ เม่ือมจี ำนวนนับต้ังแต่ 2 จำนวนขึ้นไป
การหาร ห.ร.ม. สามารถหาได้หลายวธิ ี ดังนี้
วิธที ่ี 1 วธิ หี าตัวประกอบ มีขนั้ ตอนดงั น้ี
1) หาตวั ประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้
2) หาตวั ประกอบรว่ ม (ตัวหารรว่ ม) ของจำนวนนบั ในข้อ 1
3) นำตัวหารร่วมทมี่ ีค่ามากที่สุดในข้อ 2 เป็น ห.ร.ม.

5
ตัวอยา่ ง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18

ตวั ประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12
ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18
ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6
ดงั น้ัน ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6
วิธที ่ี 2 วธิ แี ยกตวั ประกอบ มีขั้นตอนดงั นี้
1) แยกตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้
2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามีจำนวนใดซ้ำกันทุกบรรทัดบา้ ง
3) นำจำนวนท่ีซำ้ กันในข้อ 1 คูณกัน
4) ผลคูณทีไ่ ด้จากขอ้ 3 เปน็ ห.ร.ม.
ตวั อย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
12 = 2 x 2 x 3
18 = 2 x 3 x 3
ดังนัน้ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 = 6
วธิ ที ่ี 3 วิธตี ั้งหาร มีข้ันตอนดังนี้
1) หารจำนวนนบั ที่กำหนดให้ด้วยตวั ประกอบเเฉพาะของมัน
2) หารผลหารที่ไดจ้ ากข้อ 1 ดว้ ยตวั ประกอบเฉพาะ
3) ในกรณีทไ่ี ม่มีตวั ประกอบเฉพาะใดหารผลหารได้ลงตวั ท้งั หมด จะหยดุ ทำการหารทนั ที
4) นำตวั หารทง้ั หมดคณู กนั ผลคณู ที่ได้คือ ห.ร.ม.

6

ตวั อย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
2 ) 12 , 18
3) 6, 9
2,3

ดงั นน้ั ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื 2 x 3 = 6
วิธที ี่ 4 วธิ ยี คู ลิก เป็นวธิ ีการหา ห.ร.ม. ทเ่ี หมาะในกรณที ่ีมีจำนวนนบั 2 จำนวน และจำนวนนับ
น้ันมคี า่ มาก ๆ ซง่ึ มีข้ันตอนดังน้ี
1) นำจำนวนนบั ท่ีมีคา่ น้อยไปหารจำนวนนบั ท่ีมีคา่ มาก
2) จากข้อ 1 ถ้ามเี ศษ ใหน้ ำเศษไปหาคำนวนนบั ทเี่ ป็นตัวหารในข้อ 1
3) ปฏิบตั ิเช่นนไ้ี ปเรอ่ื ย ๆ จนกระทั่งพบว่าจำนวนนับใดทเี่ หลอื จากการหารแล้วหารลงตัว
จำนวนนน้ั แหละคือ ห.ร.ม.

ค.ร.น.

ค.ร.น. บางทเี รียกว่า คูณรว่ มนอ้ ย หมายถึง ตัวคูณรว่ มทมี่ คี ่านอ้ ยท่ีสุด
ค.ร.น.. จะเกดิ ข้ึนเม่ือมีจำนวนนบั ต้ังแต่ 2 จำนวนขึ้นไป
การหาร ค.ร.น. สามารถหาไดห้ ลายวธิ ี ดังนี้
วิธีท่ี 1 วธิ หี าตัวประกอบ มีขั้นตอนดังน้ี
1) หาว่าจำนวนนบั ท่ีกำหนดมาให้เปน็ ตวั ประกอบของจำนวนใดบา้ ง
2) หาตัวคณู รว่ มของข้อ 1
3) นำตัวคูณร่วมทม่ี ีค่าน้อยท่สี ดุ ในข้อ 2 เปน็ ค.ร.น.

7
ตวั อยา่ ง จงหา ค.ร.น. ของ 12 , 18

12 เปน็ ตวั ประกอบของ 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , ...
18 เปน็ ตวั ประกอบของ 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , ...
ตัวคูณรว่ มของ 12 และ 18 คือ 36 ,72 , ...
ดงั นน้ั ค.ร.น.. ของ 12 และ 18 คอื 36
วธิ ีท่ี 2 วธิ แี ยกตัวประกอบ มีขน้ั ตอนดงั นี้
1) แยกตวั ประกอบของจำนวนนบั ท่ีกำหนดให้
2) พิจารณาผลในข้อ 1 วา่ มจี ำนวนใดซ้ำกนั ทุกบรรทัดบ้าง ในกรณีที่ไม่มจี ำนวนซำ้ กนั ทุกบรรทัด
สามารถลดหลั่นลงได้
3) นำจำนวนท่ีไดใ้ นขอ้ 2 คณู กนั
4) ผลคณู ทไ่ี ดจ้ ากขอ้ 3 เปน็ ค.ร.น.
ตวั อยา่ ง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
12 = 2 x 2 x 3
18 = 2 x 3 x 3
ดงั น้นั ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 x 2 x 3 = 36
หรือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 22 x 32
วิธที ่ี 3 วธิ ีตงั้ หาร มขี ั้นตอนดงั น้ี
1) หารจำนวนนบั ท่ีกำหนดให้ดว้ ยตัวประกอบเฉพาะของมนั
2) ในกรณีทห่ี ารไมล่ งตัวทั้งหมด สามารถลดหลนั่ ได้ตามลำดบั
3) หารไปเรือ่ ย ๆ จนผลหารของทุกจำนวนมีค่าเท่ากบั 1
4) นำตวั หารทง้ั หมดคูณกนั ผลคณู ที่ได้คอื ค.ร.น.

8

ตวั อยา่ ง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18
2 ) 12 , 18
3) 6, 9
2 )2 , 3
3 )1 , 3
1,1

ดงั นน้ั ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คอื 2 x 3 x 2 x 3 = 36
หรอื ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 22 x32

โจทย์ปัญหำ ห.ร.ม.

โจทยป์ ญั หา ห.ร.ม. เปน็ สถานการณ์ปญั หาทเี่ ราเผชิญในชวี ิตประจำวนั คอ่ นขา้ งมาก ไม่วา่ จะเป็นการ
จดั สิ่งของ

การแบง่ ส่งิ ของ หรือแม้กระท่ังการก่อสรา้ ง เช่น ตดิ หลอดไฟ คำนวณกระเบ้ืองปูพ้ืน เป็นต้น
ลักษณะของโจทย์ปัญหา ห.ร.ม. มขี ้อทน่ี ่าสังเกตคือ โจทย์น้ัน ๆมักมีขอ้ ความหรือคำท่ีมีความหมายใน
ลกั ษณะ "มากที่สดุ " ในกรณีทีม่ สี ง่ิ ของหลายๆ ชนดิ มกั มเี ง่ือนไขเพ่ิมเติมคือ "ไม่ปนกัน" เป็นต้น
ตวั อยา่ ง ตอ้ งการจดั มังคดุ 27 ผล เงาะ 36 ผล และ ละมดุ 18 ผล ใสจ่ าน โดยมีทใ่ี ห้แต่ละจานมี
จำนวนผลไมม้ ากทีส่ ุด และไม่ให้ผลไมใ้ นแต่ละจานปนกนั จะสามารถจดั ไดจ้ านละกผ่ี ล และจัดได้กี่จาน

วธิ ที ำ 3 ) 27 , 36 , 18
3 ) 9, 12 , 6
3,4, 2

ดงั น้ัน จะสามารถจดั ได้จานละ 3 x 3 = 9 ผล
จดั ได้ทัง้ หมด 3 + 4 + 2 = 9 จาน

9

โจทยป์ ญั หา ค.ร.น.

การแกโ้ จทยป์ ญั หาเก่ยี วกบั ค.ร.น.

1. การนำ ค.ร.น.ไปใช้ในการบวกและการลบเศษสว่ น
2. การนำ ค.ร.น.ไปใชใ้ นการแก้โจทย์ปัญหา โจทยส์ ว่ นใหญม่ ักจะมคี ำว่า " พร้อมกนั " หรอื " นอ้ ย

ทสี่ ดุ " หรอื " ตรงกนั "

ตวั อยา่ ง มสี ม้ อยกู่ ระจาดหนึ่ง ถ้านำมาแบ่งออกเปน็ กอง ๆ ละ 9 ผล , 15 ผล และ 18 ผล ก็จะได้
ลงตัวทุกครง้ั ๆ จงหาว่าส้มในกระจาดมอี ยา่ งนอ้ ยที่สุดกผ่ี ล

วิธีทำ หา ค.ร.น. ของ 9, 15 และ 18

3) 9, 15, 18

3) 3, 5, 6

1, 5, 2

ค.ร.น. ของ 9, 15 และ 18 คือ 3 x 3 x 5 x 2 = 90

ดงั นนั้ ในกระจาดมสี ม้ อย่างนอ้ ยทีส่ ุด 90 ผล

1100

แบบฝึ กหัดท้ำยบท

1.จงแยกตวั ประกอบของจำนวนต่อไปนี้

1) 8
2) 28
3) 45
4) 120
5) 365

2.จงหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนตอ่ ไปนี้

1) 80 , 90
2) 40 , 48
3) 65 , 98 , 120
4) 200 , 300 , 560

3.จงแกโ้ จทยป์ ญั หาท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปนี้

1) จำนวนนบั ที่มากทส่ี ดุ ท่หี าร 40 , 97 แลว้ เหลือเศษ 2 คือจำนวนใด
2) จำนวนนับท่มี ากทส่ี ุดทีห่ าร 48 94 126 คือจำนวนใด และเหลือเศษเทา่ ไหรบ่ า้ ง
3) มรี ปู สี่เหล่ียมจัตุรสั ใหญร่ ปู หนึง่ มีดา้ นทุกดา้ นยาว 50 เมตร ถา้ ตอ้ งการสี่เหลย่ี มจตั รุ ัสเลก็ 5

รปู เทา่ ๆกนั จะได้รปู สเ่ี หลยี่ มจัตุรสั เล็กทมี่ ีความยาวด้านละเทา่ ไหร่ จึงจะเหลอื พน้ื ที่ของ
สี่เหลย่ี มจตั ุรัสใหญน่ อ้ ยท่ีสดุ
4) นาฬิกาปลุกท้ังสามเรือน เรอื นแรกปลุกทุก 30 นาที เรือนทีส่ องปลกุ ทกุ 45 นาที เรือนทส่ี าม
ปลุกทกุ 1 ชวั่ โมง (หรือ60 นาที) ถา้ นาฬกิ าปลุกทัง้ สามเรอื น ปลกุ พรอ้ มกันครัง้ แรกเวลา
17.00 น. จงหาว่านาฬกิ าจะปลุกพรอ้ มกันครงั้ ต่อไปเวลาใด

1111

บรรณำนุกรม

ตัวประกอบของจำนวนนับ. (ม.ป.ป.). [ออนไลน์]. ไดจ้ าก:https://home.kku.ac.th/chulao/math/
content/factor/factor_content.htm [สบื คน้ เม่ือ วนั ที่ 2 ตลุ าคม 2564].

Mr.Adisak Mahawan. (ม.ป.ป.). สมบัตขิ องจำนวนนบั . [ออนไลน์]. ได้จากhttps://sites.google.com/a/
web1.dara.ac.th/count/--sara-kar-reiyn-ru/taw-khunrwmnxy/cothy-payha-keiyw-kab-
kh-r-n [สบื ค้นเม่ือ วนั ที่ 3 ตุลาคม 2564].

MATH. (ม.ป.ป.). [ออนไลน]์ . ได้จาก: https://www.engdict.com/vocab/?q=MATH [สบื ค้นเมื่อ วนั ท่ี
3 ตุลาคม 2564].

1122

ประวัติ ส่ วนตั วผู ้จัดทำ

ช่ือ : นางสาวสุ วิ มล ทศพิ มพ์
ช่ือเล่ น : ปุ้ ย
รหัสนั กศึ กษา : 63040140210
กาลังศึ กษาอยู่ : มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี คณะครุ ศาสตร์
สาขาวิชาคณิ ตศาสตร์

วันเกิ ด : 26 กันยายน 2544
หมู่เลอื ด : O
ภู มิลาเนา : 53 ม.6 ต.หนองลาด อ.วาริ ชภู มิ จ.สกลนคร

ช่ องทางติ ดต่ อ
Facebook : Pui Suwimol
Tel. 0646911416