BAHAN AJAR GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN MATEMATIKA KELAS VIII SEMESTER II Nama Mahasiswa : Zenny Virgian, S.Pd Nomor Peserta : 8922130134008 Bidang Studi : Matematika PENDIDIKAN PROFESI GURU (PPG) FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS ISLAM MALANG 2023
GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR DUA LINGKARAN A. PENDAHULUAN 1. Deskripsi PETA KONSEP 2. Capaian Pembelajaran Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Mengenal Garis Singgung Lingkaran Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Kompentensi Dasar 3.9 Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dan cara melukisnya 4.9 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran
Indikator Pencapaian Kompetensi Indikator Pendukung Pertemuan 1 3.8.1 Menemukan rumus garis singgung persekutuan luar dua lingkaran Indikator Pendukung Pertemuan 2 3.8.2 Menemukan rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran Indikator Kunci Pertemuan 1 3.8.5 Menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran Indikator kunci pertemuan 2 3.8.6 Menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran Indikator pengayaan Pertemuan 1 3.8.7 Menganalisis masalah panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran Indicator pengayaan Pertemuan 2 3.8.8 Menganalisis masalah panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran Indikator Pendukung Pertemuan 1 4.9.1 Memecahkan masalah terkait panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran Indikator Pendukung Pertemuan 2 4.9.3 Memecahkan masalah terkait panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran Indikator Kunci Pertemuan 1 4.9.5 Menyelesaikan masalah kontekstual berkaitan dengan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran Indikator kunci pertemuan 2 4.9.7 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran Indicator pengayaan Pertemuan 1 4.9.9 Menganalisis masalah sehari-hari terkait panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran Indicator pengayaan Pertemuan 2 4.9.11 Menganalisis masalah sehari-hari terkait panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran
B. URAIAN MATERI PERMASALAHAN 1 Pernahkan kalian menaiki sepeda? Sebuah sepeda biasanya mempunyai dua gir, yaitu gir depan yang berada di pedal dan gir belakang yang berada di roda. Dua gir ini akan dihubungkan dengan rantai. Maka rantai yang menghubungkan dua gir adalah garis singgung lingkaran. Rantai akan menyentuh tiap gir pada satu titik singgung. Sepeda ini akan bisa melaju apabila dipasangkan rantai yang pas pada kedua gir sepeda tersebut, tidak boleh terlalu longgar dan tidak bisa terlalu kecil. Rio mempunya sebuah sepeda. Diketahui jarak pusat kedua sumbu gir pada sepeda adalah 70 cm. Jika diameter gir belakang adalah 15 cm dan gir depan 10 cm, maka berapakah taksiran terdekat panjang rantai penghubung kedua gir tersebut? IDENTIFIKASI KONSEP PERMASALAHAN 1 Untuk mengetahui panjang rantai penghubung kedua gir yang ada pada sepeda, kita perlu mencari panjang garis singgung atau rantai yang menyinggung kedua gir sepeda tersebut, lalu menghitung keliling rantai yang menempel pada kedua gir sepeda tersebut. Kemuadian kita jumlahkan rantai yang menyinggung dan rantai yang menempel pada gir sepeda. SOLUSI PERMASALAHAN 1 Diketahui: Jarak pusat kedua sumbu gir = P = 70 cm Diameter gir belakang d = 15 r = 7,5 Diameter gir depan = 10 cm r = 5 cm Ditanya: taksiran panjang rantai penghubung kedua gir sepeda = ? Penyelesaian: Missal kita gambarkan kedua gird an rantai sepeda yg menempel:
Kita cari dulu garis singgung persekutuan luarnya (GSPL): l = √ 70 2 − (7,5 − 5) 2 l = √4900 − 6,25 l = √4893,75 l ≈ 69,95 Karena pada rantai sepeda terdapat 2 garis singgung persekutua luar (GSPL), yaitu GSPL bagian atas dan GSPL bagian bawah, maka: 2 × l = 2 × 69,95 = 139,9 cm Selanjutnya kita menghitung panjang rantai yang menempel pada gir pertama, karena rantai yang menempel hanya setengah lingkaran maka: 1 2 1 = 1 2 × × 1 2 1 = 1 2 × 3,14 × 15 1 2 1 = 23,55 Selanjutnya kita menghitung panjang rantai yang menempel pada gir kedua, karena rantai yang menempel hanya setengah lingkaran maka: 1 2 2 = 1 2 × × 1 2 2 = 1 2 × 3,14 × 10 1 2 2 = 15,7 Sehingga taksiran panjang rantai penghubung kedua gir sepeda adalah: PR = 2l + 1 2 1 + 1 2 2 PR = 139,9 cm + 23,55 + 15,7 PR = 179,15 cm
Jadi, taksiran panjang rantai penghubung kedua gir sepeda tersebut adalah 179,15 cm Paparan Konsep/Materi secara Detil 1. Materi 1 Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Dua buah lingkaran yang berpusat pada titik O dan P memiliki panjang jarijari yang berbeda. Panjang jari-jari lingkaran dengan pusat O adalah R, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah r. Jarak kedua pusat pada dua lingkaran tersebut adalah OP. Terdapat sebuag garis yang menyinggung kedua lingkaran yaitu garis AB. Gambar di bawah menunjukkan letak garis AB yang merupakan garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dari dua lingkaran. = √ . . . 2 − . . . 2 Garis AB adalah garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran. Perhatikan bahwa panjang AB sama dengan panjang PP’. Sehingga dengan menghitung panjang PP’ secara otomatis dapat mengetahui panjang ruas garis AB. Di mana, garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku memenuhi persamaan pada rumus Pythagoras. Sehingga dapat diperoleh persamaan P’P2 = OP2 ‒ P’O2 dengan P’O = OA ‒ BP = R ‒ r. Atau persamaan dapat juga dibentuk dalam bentuk P’P2 = OP2 ‒ (R ‒ r) 2 . Dengan demikian panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar pada dua lingkaran dapat diperoleh melalui rumus garis singgung persekutuan luar berikut.
Panjang Garis Singgung persekutuan luar dua lingkaran, l = √2 − ( − ) 2 Keterangan: l = panjang garis singgung persekutuan luar P = jarak kedua titik pusat lingkaran R = jari-jari lingkaran besar r = jari-jari lingkaran kecil PERMASALAHAN 2 Gambar di bawah adalah penampang tiga buah pipa air yang berbentuk tabung dengan diameter 14 cm. Berapakah panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut? IDENTIFIKASI KONSEP PERMASALAHAN 2 Untuk menghitung panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut di atas, maka kita hitung panjang semua tali yang menyinggung permukaan pipa atas dan bawah, lalu kita hitung juga tali yang mengelilingi bagian samping pipa. Kemudian kita jumlahkan semuanya. SOLUSI PERMASALAHAN 2 Diketahui: d = 14 cm r = 7cm Ditanyakan: panjang tali minimal = ? Penyelesaian: = + = 2 × 14 + 22 7 × 14 = 28 + 44 = 72 PERMASALAHAN 3 seorang agen rahasia Amerika bernama Ethan Hunt berusaha melarikan diri dari kejaran Salomon Lane dengan mengendarai traktor roda empat.
Jika panjang jari-jari roda depan dan roda belakang dari traktor tersebut masingmasing adalah 13 cm dan 6 cm serta jarak kedua titik pusat roda adalah 25 cm. berapakah jarak kedua roda yang menyentuh permukaan jalan? IDENTIFIKASI KONSEP PERMASALAHAN 3 Untuk menghitung jarak kedua roda yang menyentuh permukaan jalan, kita bias menggunakan rumus garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. SOLUSI PERMASALAHAN 3 R = 13 cm → Jari-jari roda ban belakang. r = 6 cm → Jari-jari roda ban depan P = 25 cm → jarak kedua pusat roda traktor Jawab: l = √ 2 − (13 − 6) 2 l = √25 2 − (7) 2 l = √625 − 49 l = √576 l = 24 cm PERMASALAHAN 4 Sebuah mainan berbentuk traktor memiliki ukuran ban belakang dan ban depan yang berbeda. dengan jari-jari ban masing-masing 2 cm dan 7 cm. Jika garis singgung persekutuan luar dari kedua ban adalah 12 cm, maka berapakah jarak kedua pusat dari kedua ban tersebut? IDENTIFIKASI KONSEP PERMASALAHAN 4 Untuk menghitung jarak kedua pusat dari kedua ban mainan traktor, tentukan dahulu apa yang sudah diketahui. Setelah itu kita bias menghitung dengan menggunakan konsep panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. SOLUSI PERMASALAHAN 4 Diketahui: R = 7 cm → Jari-jari roda ban besar. r = 2 cm → Jari-jari roda ban kecil. l = 12 cm → Panjang garis singgung persekutuan luar. Jawab: 2 = 2 − ( − ) 2 122 = 2 − (7 − 2) 2
144 = 2 − 25 2 = 144 + 25 2 = 169 = 13 cm 2. Materi 2 Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung, sama seperti pada garis singgung persekutuan luar. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam, dua titik singgung terletak pada sisi yang bersebrangan. Gambar di bawah menunjukkan posisi garis singgung lingkaran pada persekutuan dalam yang menyinggung dua buah lingkaran. Berdasarkan gambar di atas, rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran: = √2 − ( + ) 2 Keterangan AB = D = panjang garis singgung persekutuan dalam OP = P = jarak kedua titik pusat lingkaran OP’ = R = jari-jari lingkaran besar PB= r = jari-jari lingkaran kecil PERMASALAHAN 1 Silmi sedang mengangkat suatu peti mainan dengan menggunakan 5 buah katrol. semua katrol mempunyai ukuran yang sama yaitu dengan jari-jari 5 cm. Jika dari satu
katrol ke katrol lainnya secara berurutan mempunyai jarak pusat yang sama yaitu 26 cm, maka berapakah panjang semua garis singgung dari katrol pertama sampai katrol kelima? ANALISIS PERMASALAHAN 1 Untuk mengetahui panjang semua garis singgung dari katrol pertama sampai katrol kelima, kita harus menghitung dulu panjang garis singgung dari 2 katrol. Setelah ditemukan, maka kita bias mengalikan hasilnya dengan 4, karena dari 5 katrol tersebut terdapat 4 garis singgung dengan panjang yg sama. SOLUSI PERMASALAHAN 1 Panjang garis singgung AB AB = √ 2 − (5 + 5) 2 AB = √26 2 − (10) 2 AB = √676 − 100 AB = √576 AB = 24 cm Panjang garis singgung AB = panjang garis singgung CD = Panjang garis singgung EF = panjang garis singgung GH Sehingga: Panjang semua garis singgung = 4 × 24 cm = 96 cm PERMASALAHAN 2 Sebuah beban diangkat dengan menggunakan 3 buah katrol. Bila ketiga katrol tersebut mempunyai panjang jari-jari sama yaitu 15 cm dan jarak antara pusat katrol 1 dan katrol 2 adalah 50 cm. Berapakah panjang tali katrol antara titik A dan titik B? ANALISIS PERMASALAHAN 2 Untuk menghitung panjang tali katrol antara titik A dan titik B kita bisa menghitungnya dengan menggunakan rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran. SOLUSI PERMASALAHAN 2 R = 15 cm → Jari-jari roda ban belakang. r = 15 cm → Jari-jari roda ban depan P = 50 cm → jarak kedua pusat katrol Jawab: l = √ 50 2 − (15 + 15) 2
l = √50 2 − (30) 2 l = √2500 − 900 l = √1600 l = 40 cm PERMASALAHAN 3 Gambar di samping adalah sebuah katrol bebas yang digunakan untuk mengangkat sebuah benda berat, jika jari-jari katrol masing-masing 10 cm dan 6 cm dan panjang garis singgung AB adalah 30 cm, maka kedua titik pusat katrol tersebut terpisah sejauh... ANALISIS PERMASALAHAN 3 yang diketahui adalah panjang jari-jari kedua katrol dan panjang garis singgung AB. Jika yang ditanyakan adalah jarak kedua pusat katrol, maka bias dihitung dengan menggunakan rumus garis singgung persekutuan dalam lingkaran. SOLUSI PERMASALAHAN 3 R = 10 cm → Jari-jari roda ban belakang. r = 6 cm → Jari-jari roda ban depan d = 30 cm → jarak kedua pusat katrol Jawab: d = √ 2 − (10 + 6) 2 30 = √2 − (16) 2 30 2 = 2 − (16) 2 2 = 900 + 256 2= 1156 = 34 3. Tugas Pertemuan 1 1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 11 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm maka berapakah jarak kedua pusat lingkaran? 2. Dua lingkaran masing-masing berjari-jari 15 cm dan 8 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 2 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut?
3. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm dan jarak kedua pusatnya 13 cm. Panjang salah satu jari-jari lingkaran besarnya 8 cm. Berapakah panjang jari-jari lingkaran kecilnya? 4. Sebuah mainan berbentuk traktor memiliki ukuran ban belakang dan ban depan yang berbeda. dengan jari-jari ban masing-masing 2 cm dan 7 cm. Jika garis singgung persekutuan luar dari kedua ban adalah 12 cm, maka berapakah jarak kedua pusat dari kedua ban tersebut? Pertemuan 2 1. Dua buah lingkaran berjari-jari masing-masing 2 cm dan 7 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, maka berapakah panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut? 2. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran 24 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 6 cm, dan jarak titik pusat kedua lingkaran 26 cm, maka berapakah panjang jari-jari lingkaran kecil? 3. Sebuah beban diangkat dengan menggunakan 2 buah katrol. Bila katrol yang lebih besar mempunyai panjang jari-jari 20 cm dan jarak antara pusat katrol 1 dan katrol 2 adalah 34 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 16 cm, maka berapakah panjang jari-jari katrol lainnya? 4. 2 buah katrol digunakan untuk mengangkat sebuah benda berat, panjang jarijari katrol masing-masing 20 cm dan 10 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan dalamnya 16 cm, maka berapakah jarak kedua pusat katrol tersebut? 4. Forum Diskusi Konsep apa saja yang bisa digunakan untuk menghitung taksiran panjang rantai penghubung pada kedua gir sepeda? C. PENUTUP 1. Rangkuman Panjang Garis Singgung persekutuan luar dua lingkaran, d = √2 − ( − ) 2 Keterangan: d = panjang garis singgung persekutuan luar P = jarak kedua titik pusat lingkaran R = jari-jari lingkaran besar r = jari-jari lingkaran kecil Panjang Garis Singgung persekutuan dalam dua lingkaran, D = √2 − ( + ) 2
Keterangan D = panjang garis singgung persekutuan dalam P = jarak kedua titik pusat lingkaran R = jari-jari lingkaran besar r = jari-jari lingkaran kecil 2. Tes Formatif Pertemuan 1 1. Perhatika gambar di bawah ini! Dari gambar di atas, rumus panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran adalah . . . A. = √ − ( − ) C. = √ − ( − ) B. = √ − ( + ) D. = √ − ( − ) 2. Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ = 26 cm, panjang jarijari lingkaran masing-masing 12 cm dan 2 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah . . . . A. 16 cm B. 24 cm C. 28 cm D. 30 cm 3. Diketahui dua lingkaran berjari-jari masing-masing 12 cm dan 5 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 24 cm, maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah . . . . A. 36 cm C. 25 cm B. 30 cm D. 17 cm 4. Pak Rusli mengendarai traktor roda empat. Jika panjang jari-jari roda depan dan roda belakang dari traktor tersebut masing-masing adalah 6 cm dan 13 cm serta jarak kedua titik pusat roda adalah 25 cm. Jarak kedua roda yang menyentuh permukaan tanah adalah… A. 24 cm C. 22 cm B. 23 cm D. 21 cm
5. Perhatikan gambar di bawah ini! Pada gambar di atas, gir belakang dan depan sebuah sepeda dihubungkan dengan rantai. Panjang diameter kedua gir tersebut masing-masing adalah 12 cm dan 18 cm, serta jarak kedua pusat gir tersebut adalah 49 cm. Panjang rantai dari A ke B adalah… A. 48,63 cm C. 46,65 cm B. 49,53 cm D. 44,23 cm Pertemuan 2 1. Perhatika gambar di bawah ini! Dari gambar di atas, rumus panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran adalah . . . A. = √ − ( + ) C. = √ − ( + ) B. = √ − ( − ) D. = √ − ( − ) 2. Dua buah lingkaran berjari-jari masing-masing 2 cm dan 7 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah . . . . A. 15 cm B. 14 cm C. 13 cm D. 12 cm 3. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar adalah 6 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah… A. 2 cm C. 4 cm B. 3 cm D. 5 cm 4. Perhatikan gambar di bawah ini!
Sebuah beban diangkat dengan menggunakan 3 buah katrol. Bila ketiga katrol tersebut mempunyai panjang jari-jari sama yaitu 15 cm dan jarak antara pusat katrol 1 dan katrol 2 adalah 50 cm. Panjang tali katrol antara titik A dan titik B adalah… A. 50 cm C. 30 cm B. 40 cm D. 20 cm 5. Perhatikan gambar di bawah ini! Gambar di bawah ini adalah sebuah katrol bebas yang digunakan untuk mengangkat sebuah benda berat, jika jari-jari katrol masing-masing 10 cm dan 6 cm, dan kedua titik pusat katrol terpisah sejauh 34 cm, hitunglah panjang garis singgung AB! A. 26 cm C. 30 cm B. 28 cm D. 32 cm REMEDIAL Pelajari materi yang belum dikuasai dan kerjakan kembali soal uji kompetensinya. PENGAYAAN Pelajari materi di buku paket Erlangga halaman . Diskusi dan kerjakan 5 soal yang ada pada halaman tersebut. A B
DAFTAR PUSTAKA Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Buku Siswa Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2016. Buku Guru Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.