หัวเรื่อง (Topics) 3.1 ความหมายของการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3.2 ประเภทของการวัดแนมโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3.3 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางกับข้อมูลลักษณะต่างๆ สมรรถนะย่อย (Element of Competency) แสดงความรู้เกี่ยวกับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม (Behavioral Objectives) 1. อธิบายความหมายของการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางได้ 2. บอกประเภทของการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางได้ 3. คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ 4. คำนวณค่ามัธยฐานได้ 5. คำนวณค่าฐานนิยมได้ 6. บอกได้ว่าข้อมูลแต่ละลักษณะเหมาะใช้กับวิธีใดในการวัดแนมโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3.1 ความหมายของการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง หมายถึง การคำนวณเพื่อหาค่าสถิติเพียงค่าเดียวที่อยู่ ตอนกลางของ โค้งการแจกแจงของตัวแปร ซึ่งจะใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งชุด ค่าที่หาได้นี้จะทำ ให้ทราบถึงลักษณะของข้อมูลทั้งหมดที่เก็บรวบรวมมาได้ ค่าที่หาได้นี้จะเป็นค่ากลาง ๆ อาจ เรียกว่า ค่ากลาง ค่ากลางของข้อมูลมีหลายชนิด เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic Mean) ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean) ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก (Harmonic Mean) ค่ากึ่งกลางพิสัย (Mid-range) มัธยฐาน (Median) และฐานนิยม (Mode) ค่ากลางแต่ละชนิดต่างก็มีข้อดี ข้อเสีย และมีความเหมาะสมใน การนำไปใช้ไม่เหมือนกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะการแจกแจงของข้อมูลและ วัตถุประสงค์ของผู้ใช้ข้อมูลนั้น ๆ แต่ค่ากลางของข้อมูลที่นิยมใช้กันมีอยู่ 3 ชนิด คือ ค่าเฉลี่ยเลข คณิต (Arithmetic Mean) มัธยฐาน (Median) และฐานนิยม (Mode)การคำนวณหาค่ากลางทั้ง สามชนิดนี้โดยทั่วไปแบ่งออกได้เป็น 2 กรณีใหญ่ คือ
1. การหาค่ากลางของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ (Ungrouped Data) ถูกต้องแน่นอน ของข้อมูลชุดนั้น ซึ่งค่าที่ได้เป็นค่ากลางที่ 2. การหาค่ากลางของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว (Grouped Data) ซึ่งค่าที่ได้เป็นค่ากลางโดยประมาณของข้อมูลชุดนั้น 3.2 ประเภทของการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3.2.1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithemetic Mean) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเหมาะที่จะนำมาใช้เป็นค่ากลางของข้อมูล เมื่อข้อมูลนั้น ๆ ไม่มีค่า ใดค่าหนึ่ง หรือหลาย ๆ ค่า ซึ่งสูงหรือต่ำกว่าค่าอื่น ๆ มาก เช่น คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ ระดับประกาศนียบัตร วิชาชีพชั้นสูง (ปวส.) ของนักเรียน 10 คน เป็นดังนี้ 70, 72, 68, 3, 71, 74, 70, 67, 73, 5 ซึ่งค่า 3 และ 5 ถือ ว่าเป็นค่าที่ต่ำกว่าผิดปกติ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจาก ข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ำผิดปกติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตในกรณีเช่นนี้ จึงไม่เป็นค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น (อาจจะใช้ค่ากลางอื่น เช่น มัธยฐานแทน) 1. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ litter การหาค่าเฉลี่ยเลข คณิตของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ หาได้โดยตรงจากข้อมูลที่มีอยู่ ทั้งหมดโดยการหารผลรวม ของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูล กล่าวคือ ถ้าให้ X, X2, X3, X, เป็นข้อมูล N จำนวนจาก ประชากร (Population) หรือใช้ X1, X2, X3, ..., X, เป็นข้อมูลเพียง 1 จำนวนจากตัวอย่าง n (Sample) ซึ่งเป็นตัวแทนของประชากร ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร (Population Mean) หาได้จาก μ = X1 + X2 + X3 + ..., + XN N หรือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง (Sample Mean) μ = X1 + X2 + X3 + ..., + XN N โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสัญลักษณ์ µ อ่านว่า "มิว" และค่าเฉลี่ยเลขคณิตสัญลักษณ์ X อ่านว่า “เอกซ์บาร์” ตามลำดับซึ่งมีความหมายต่างกัน โดยสามารถสรุปได้ดังนี้ ให้ข้อคิดเห็น [c1]:
μ = ∑ xi N i=1 N คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร ซึ่งเป็นพารามิเตอร์ (Parameter) หรือค่าจริงแบบหนึ่งของ ประชากร เรียกว่า พารามิเตอร์ µ และ N แทนจำนวนหน่วยของประชากร (Population Unit) x̅ = ∑ xi n i=1 n คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่างซึ่งเป็นตัวประมาณค่า (Estimator) ของพารามิเตอร์ µ นั้น โดย ที่ X คำนวณจากข้อมูลตัวอย่างที่เป็นตัวแทนของประชากร และ n แทนจำนวนหน่วยของตัวอย่าง (Sample Units) หมายเหตุ ถ้าโจทย์ไม่ได้ระบุว่าเป็นข้อมูลของระดับตัวอย่างให้ใช้สูตรของระดับประชากร ส่วนสัญลักษณ์∑ xi N i=1 และ ∑ xi N i=1 ใช้แทนผลบวกของข้อมูล xร ทุก ๆ ค่า i=1 จาก i= N หรือ n แล้วแต่กรณีของประชากรหรือตัวอย่างตามลำดับ สัญลักษณ์ ∑ เป็นอักษรกรีก เรียกว่า "Capital Sigma” อ่านว่า “Summation" ควรสังเกตว่า การคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตข้างต้นใช้สูตรคล้ายกัน จึงต้องทำความเข้าใจและ แยก สูตรให้ชัดเจน คือ ถ้าเป็นประชากร N หน่วย ให้ใช้ µ แต่ถ้าเป็นตัวอย่าง n หน่วย ให้ใช้ x̅ ตัวอย่างที่ 3.1 จงหาค่าเฉลี่ยองชุดข้อมูลต่อไปนี้ 40, 50, 30, 70 และ 65 วิธีทำ ค่าเฉลี่ยของข้อมูล คือ x̅ = ∑ xi n i=1 n x̅ = 40+5030+70+65 5 = 255 5 x̅ = 51 ตัวอย่างที่ 3.2 จงหาค่าเฉลี่ยของค่าใช้จ่ายต่อวันของนักศึกษาจำนวน 10 คน ดังนี้ 100, 120, 150, 135, 200, 170, 140, 250, 300 และ 110
วิธีทำ ค่าเฉลี่ยของค่าใช้จ่ายต่อวันของนักศึกษา คือ x̅ = ∑ xi n i=1 n x̅ = 10+120+150+135+200+170+140250+300+110 10 x̅ = 1675 10 x̅ = 167.5 ตัวอย่าง 3.3 จากการตรวจสอบราคาข้าวโพดที่ใช้เลี้ยงสัตว์ในจังหวัดร้อยเอ็ด ที่โงงานรับซื้อในปี พ.ศ. 2552 โดยตรวจสอบเพียงลางโรงงานเพื่อนำมาเป็นตัวอย่างจำนวน 10 โรงงาน ปรากฏว่า ราคาข้าวโพดที่ใช้เลี้ยงสัตว์ซึ่งโรงงานรับซื้อต่อกิโลกรัม (บาท) เป็นดังนี้4.57 4.42 5.28 6.80 7.08 4.82 5.48 4.95 7.20 4.43 จงหาค่าเฉลี่ยต่อกิโลกรัมของข้าวโพดเลี้ยงสัตว์ที่โรงงารรับซื้อ วิธีทำ ราคาข้าวโพดที่ใช้เลี้ยงสัตว์เฉลี่ยต่อกิโลกรัม คือ X̅ = ∑ xi n i=1 n x̅ = 4.57+4.42+5.28+6.80+7.08+4.82+5.48+4.95+7.20+4.43 10 = 55.03 10 x̅ ≈ 5.50 ดังนั้น ราคาข้าวโพดที่ใช้เลี้ยงสัตว์เฉลี่ยต่อกิโลกรัมมีค่าประมาณ 5.50 ตอบ ตัวอย่างที่ 3.4 ในการทดสอบทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนระดับ ประกาศนียบัตรวิชาชีพชั้นสูงคนหนึ่ง ซึ่งมีคะแนนการทดสอบและความสำคัญของคะแนน ทั้งหมดรวม 5 ด้าน จากคะแนนเต็ม 100 คะแนน ดังข้อมูลในตาราง จงหาคะแนนเฉลี่ย ของการทดสอบทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนคนนี้
วิธีทำ ค่าจากการสังเกตมี 5 ค่า X1 =54 , X2=54 , X3=54 X4=54, X5=54 ความสำคัญของคะแนน คือ W1=30 W2=20W3=15W4=20W5=15 คะแนนเฉลี่ยของการทดสอบทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนคนนี้ คือ µ = ∑ wixi 5 i=1 ∑ wi 5 i=1 µ = 30(54)+20(65)+15(70)+20(55)+15(75) 30+20+15+20+15 = 6195 100 µ = 61.95 เมื่อคำนึงถึงความสำคัญของทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ทั้ง 5 ด้าน คะแนนเฉลี่ย ของนักเรียนคนนี้ คือ 61.95 คะแนน ตอบ 2. การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ในกรณีที่มีข้อมูลจำนวนมา และไม่มีข้อมูลดิบแต่ละหน่วย เช่น ข้อมูลรายงานจากทะเบียนต่างๆในลักษณะที่ได้แจกแจง ด้านที่ ทักษะกระบวนการ คะแนน ที่สอบได้ ความสำคัญ ของคะแนน 1 2 3 4 5 การแก้ปัญหา 54 65 70 55 75 30 20 15 20 15 การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหาย และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์ ความคิดเริ่มสร้างสรรค์ รวม 100
ความถี่แล้วถ้าไห้f1 เป็นค่าความถี่ของค่าจากการสังเกต X1, f2 เป็นความถี่ของค่าจาก การสังเกต X1 เรื่อยไปจนถึง fk เป็นความถี่ของค่าจากการสังเกต Xk แล้วสามมารถคำนวณ ค่าเฉลี่ยได้ดังนี้ ดังนั้น μ = f1x1+f2x2+f3x3+...+fkxk f1+f2+f3+...+fk = ∑ fixi k i=1 ∑ fi k i=1 μ = ∑ fixi k i=1 N เมื่อ N เป็นจำนวนค่าจากการสังเกตทั้งหมด หรือ N= ∑ fi k i=1 x1 เป็นจุดกึ่งกลางของชั้นที่ i k เป็นจำนวนอันตรภาคชั้น หมายเหตุ ถ้าเป็นค่าเฉลี่ยของอักษรตัวอย่างที่เป็นตัวแทนของประชากรยังใช้หลักสูตรของ ค่าเฉลี่ยแบบเดิม แต่เปลี่ยน μ เป็น x̅ และหาด้วย n แทน N ตัวอย่างที่ 3.5 เงินเดือนของพนักงานทั้งหมดในบริษัทรร้อยเอ็ดมิตซู จำกัด ซึ่งเป็นตัวแทน จำหน่ายรถยนต์ในร้อยเอ็ด ซึ่งมีพนังานทั้งหมด 120 คน โดยมีการแจกแจงความถี่ไว้ดังนี้ เงินเดือน จำนวนพนักงาน 5,000 - 6,999 7,000 - 8,999 9,000 - 10,999 11,000 - 12,000 13,000 - 14,999 15,000 - 16,999 17,000 - 18,999 19,000 - 20,999 5 10 20 19 20 25 11 10
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเงินเดือนพนักงานทั้งหมดในบริษัทแห่งนี้ วิธีทำ เพื่อความสะอาดในการคำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตควรร้างตารางดังนี้ เงินเดือน (บาท) จุดกึ่งกลาง () จำนวนพนักงาน () 5,000 - 6,999 5,999.5 10 59,995.0 7,000 - 8,999 7,999.5 11 87,997.5 9,000 - 10,999 9,999.5 25 249,987.5 11,000 - 12,000 11,999.5 20 239,990.0 13,000 - 14,999 13,999.5 19 256,990.5 15,000 - 16,999 15,999.5 20 319,999.0 17,000 - 18,999 17,999.5 10 179,995.0 19,000 - 20,999 19,999.5 5 99,997.5 รวม ∑fi = 120 8 i=1 ∑xi fi 8 i=1 = 1,503,940 μ = ∑ 8 =1 ∑ 8 =1 = 1,503,940 120 μ = 12,532.82 บาท ดังนั้น เงินเดือนเฉลี่ยของพนักงาบริษัทร้อยเอ็ดมิตซู ซึ่งมีพนักงานทั้งหมด 120 คน มี เงินเดือนเฉลี่ยเท่ากับ 12,532.83 บาท (โดยประมาณ)
ตัวอย่างที่ 3.6 คะแนนเฉลี่ยจากการสอบวิชาคอมพิวเตอร์เพื่องานอาชีพของนักเรียน ระดับ ประกาศนียบัตรวิชาชีพ ชั้นปีที่ 2 แผนกวิชาการบัญชี ของวิทยาลัยอาชีวศึกษา ร้อยเอ็ด จำนวน 3 ห้องมีคะแนนแต่ละห้องเป็น 50, 65 และ 76 คะแนน นักเรียน ของห้องที่เป็นกลุ่ม ตัวอย่างมีจำนวนนักเรียนในแต่ละห้องเป็น 40, 50 และ 30 คน ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ของคะแนนสอบวิชาคอมพิวเตอร์เพื่องานอาชีพ ของนักเรียนระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพ ชั้นปีที่ 2 แผนกวิชาการบัญชีทั้ง 3 ห้อง วิธีทำ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม X = n1 ̅ 1+2̅ 2+3̅ 3 1+2+3 = (5040)+(6550)+(7630) 40+50+30 ̅ = 62.75 ดังนั้น คะแนนสอบวิชาคอมพิวเตอร์เพื่องานอาชีพ โดยเฉลี่ยของนักเรียนระดับ ประกาศนียบัตร- วิชาชีพ ชั้นปีที่ 2 แผนกวิชาการบัญชี วิทยาลัยอาชีวศึกษาร้อยเอ็ด ทั้ง 3 ห้อง คือ 62.75 คะแนน ตอบ กล่าวคือ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนทั้ง 3 ห้อง มีค่ากลางเท่ากับ 62.75 คะแนน สังเกตว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมที่หาได้นี้มีค่าอยู่ระหว่าง 50 และ 70 คะแนนด้วย ตัวอย่างที่ 3.7 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ โดยเฉลี่ยของนักเรียนในโรงเรียน มัธยมศึกษาแห่งหนึ่งได้ผลดังตาราง ระดับชั้น จำนวนนักเรียน คะแนนเฉลี่ย ม.1 ม.2 ม.3 ม.4 ม.5 ม.6 50 40 45 50 60 50 65 70 60 75 50 70 รวม 295 390
วิธีทำ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ดังนั้น ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยรวมของนักเรียนในโรงเรียนมัธยมศึกษาแห่งนี้ เท่ากับ 64.41 คะแนน ตอบ กล่าวคือ ค่ากลางของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนโรงเรียนนี้มีค่า เท่ากับ 64.41 คะแนน 3.2.2 มัธยฐาน (Median) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตำแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด โดยเรียงลำดับข้อมูลจากค่าน้อย ที่สุดไปหาค่ามากที่สุด หรือจากค่ามากที่สุดไปหาค่าน้อยที่สุด นั่นคือ มัธยฐานเป็นค่าที่แสดงให้ ทราบว่ามี จำนวนข้อมูลที่มากกว่าและน้อยกว่ามัธยฐานอยู่เท่า ๆ กัน นั่นคือ มัธยฐานเป็นค่าที่ แบ่งข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว ออกเป็น 2 ส่วน โดยมีข้อมูลจำนวนที่มากกว่าและน้อยกว่ามัธยฐาน] ร้อยละ 50 ค่ามัธยฐานอาจเป็นค่าใด ค่าหนึ่งของข้อมูล ซึ่งเป็นค่าจากการสังเกตหรืออาจเป็นค่าที่ คำนวณขึ้นมาใหม่ที่ไม่ตรงกับค่าของข้อมูลใน ชุดนั้น ๆ จุดเด่นของการใช้ค่ามัธยฐาน คือ ค่ามัธยฐานเป็นค่าเหมาะสมที่จะนำมาใช้เป็นค่ากลาง ของ ข้อมูลเมื่อข้อมูลนั้น ๆ มีค่าใดค่าหนึ่งหรือหลาย ๆ ค่า ซึ่งสูงหรือต่ำกว่าค่าอื่นมาก หรือ ต้องการทราบว่าค่าที่ เป็นไปได้ค่าใดของข้อมูลนั้น ๆ มีจำนวนค่าสังเกตที่มากกว่าและน้อยกว่าค่า นี้อยู่ประมาณเท่า ๆ กัน 1. การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ มีขั้นตอนในการหา ค่า ดังนี้ 1. การหามัธยฐานของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ มีขั้นตอนในการหาค่า ดังนี้ (1) เรียงลำดับข้อมูลแต่ละตัวจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อย (2) หาตำแหน่งตรงกลางของข้อมูล จาก N+1 2
(3) มัธยฐาน คือ ค่าของข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งตรงกลางนั่นเอง วิธีนี้หาโดยการเรียงข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดจากค่าน้อยไปหาค่ามากหรือจากค่ามากไปหาค่า น้อยอย่างใดอย่างหนึ่ง แล้วสังเกตว่าค่าของข้อมูลค่าใดอยู่ตรงกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด ค่านั้น เป็นมัธยฐาน ของข้อมูลชุดนั้น ในกรณีที่มีจำนวนข้อมูลทั้งหมดอยู่เป็นจำนวนคู่ มัธยฐานจะอยู่ ระหว่างข้อมูลสองค่าที่อยู่ กึ่งกลางข้อมูลทั้งหมด ซึ่งนิยมใช้ค่าเฉลี่ยของข้อมูลสองค่านั้น ในกรณีที่ จำนวนข้อมูลทั้งหมดเป็นจำนวนคี่ มัธยฐาน คือ ค่าที่อยู่ตรงกลางของข้อมูลที่เรียงลำดับทั้งหมด ดังนั้น มัธยฐานอาจเป็นค่าที่ปรากฏอยู่ในข้อมูล ชุดนั้นหรือไม่ก็ได้ เช่น มัธยฐานของข้อมูล 12, 13, 15, 17, 18 คือ 15 ส่วนมัธยฐานของข้อมูล 66, 63, 63, 62,61, 60, 60, 60 คือ 62+61 2 =61.5 2 โดยทั่วไป ถ้าจัดเรียงข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมี N ค่ามัธยฐานจะอยู่ในตำแหน่งที่ +1 2 เช่น ถ้า จำนวนข้อมูลชุดหนึ่งมี 11 ค่า เมื่อจัดเรียงแล้ว มัธยฐานจะอยู่ตำแหน่งที่ 11+1 2 = 6 2 ถ้าจำนวนข้อมูลมีค่า 14 ค่า เมื่อจัดเรียงแล้ว มัธยฐานจะอยู่ตำแหน่งที่ 14+1 2 = 7.5 ในปัจจุบันการหาค่าสถิติต่าง สามารถใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ช่วยในการคำนวณได้โดยง่าย การหามัธยฐานก็เช่นกันถ้ามีข้อมูลดิบครบทุกหน่วยจะนิยมใช้วิธีการหาค่ามัธยฐานของข้อมูลที่ ไม่ได้แจกแจง ความถี่มากกว่าวิธีหาค่ามัธยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ตัวอย่างมี่ 3.8 จงหาค่ามัธยฐานของคนทั้ง 5 คน คือ 17, 39, 14, 19 และ 29 วิธีทำ 1. เรียงลำดับข้อมูล 14 17 19 29 39 2. หาตำแหน่งข้อมูลตรงกลางจาก N+1 2 = 5+1 2 = 3 3. จะได้มัธยฐาน คือ ข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งที่ 3 คือ 19 ดังนั้น มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ เท่านี้ 19
ตัวอย่างที่ 3.9 จงหามัธยฐานอายุของคนทั้ง 8 คน คือ 42, 30, 41, 56, 45, 77, 78 และ 59 วิธีทำ 1.เรียงลำดับข้อมูล 30 41 42 45 56 59 77 78 2.หาตำแหน่งข้อมูลตรงกลางจาก N+1 2 = 8+1 2 = 4.5 3. จะได้มัธยฐาน คือ ข้อมูลที่อยู่ระหว่าง 4 และ 5 การหามัธยฐานในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนคู่ จะต้องนำเอาข้อมูลที่อยู่ใน ตำแหน่งตรงกลางทั้ง 2 มารวมกันแล้วหารด้วย 2 นั่นคือ มัธยฐาน หาได้จาก 45+56 2 = 50.5 ดังนั้น มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ เท่ากับ 50.5 ตอบ ตัวอย่างที่ 3.10 จงหามัธยฐานของจำนวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยในรอบ 10 ปีที่ผ่านมา ตั้งแต่ พ.ศ. 2536 ถึง พ.ศ. 2545 ซึ่งมีจำนวนเงินฝากในแต่ละปี พ.ศ. จำนวนเงินฝาก (ล้านล้านบาท) 2536 2537 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545 2.34 2.76 3.25 3.68 4.31 4.69 4.67 4.91 5.11 5.22
วิธีทำ เมื่อเรียงจำนวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยแต่ละปี จากจำนวนเงิน ฝาก ที่น้อยที่สุดถึงจำนวนเงินฝากที่มากที่สุดจะได้ดังนี้ 2.43 2.76 3.25 3.68 4.31 4.67 4.69 4.91 5.11 5.22 สูตร การหาตำแหน่งของมัธยฐาน คือ N+1 2 มัธยฐานอยู่ในตำแหน่งที่ 10+1 2 ดังนั้น มัธยฐานของจํานวนเงินฝากของธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยเท่ากับ 4.31+4.67 2 = 4.49 ล้านล้านบาท หรือ 4,490,000 ล้านบาท ตอบ กล่าวคือ ธนาคารพาณิชย์ในประเทศไทยมีจำนวนเงินฝากประมาณปีละ 4,490,000 ล้านบาท 2. การหามัธยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว สำหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว การหามัธยฐานในกรณีนี้จะให้ค่าโดยประมาณ เนื่องจากไม่ สามารถนำข้อมูลมาเรียงกันได้ แต่ทราบว่าในแต่ละอันตรภาคชั้นมีข้อมูลอยู่จำนวนเท่าไร (ความถี่) ก่อนอื่นจึงต้องหาว่ามัธยฐานตกอยู่ในอันตรภาคชั้นใด โดยพิจารณาจากความถี่สะสม แล้วหาค่า โดยประมาณของมัธยฐานจากอันตรภาคชั้นนั้น ถ้าข้อมูลชุดที่พิจารณามีผลรวมของความถี่เป็น N มัธยฐานคือ ค่าที่แสดงให้ทราบว่ามีจำนวนข้อมูลอยู่ต่ำกว่าค่านี้อยู่ 3 จำนวน และมีจำนวนข้อมูล อยู่สูงกว่าค่านี้อยู่ N 2 จํานวน และมีจำนวนข้อมูลอยู่สูงกว่านี้อยู่ N 2 จำนวน ตัวอย่างที่ 3.11 จงหามัธยฐานของปริมาณข้าวที่บริษัทโรงสีบัวสมหมาย จังหวัดร้อยเอ็ด ส่งออกไปขายยังประเทศเพื่อนบ้านเป็นระยะเวลา 22 ปี ซึ่งมีการแจกแจงความถี่ดังตาราง
ปริมาณข้าวส่งออก (แสนตัน) ความถี่ ความถี่สะสม 0.80-0.99 1.00-1.19 1.20-1.39 1.40-1.59 1.60-1.79 1.80-1.99 2.00-2.19 1 3 6 9 0 1 2 1 4 10 19 19 20 22 วิธีทำ ครึ่งหนึ่งของจำนวนข้อมูล คือ 22 2 = 11 ซึ่งไม่ตรงกับความถี่สะสมในอันตรภาคชั้น ใด จึงเทียบหาว่าความถี่สะสม 11 ตรงกับค่าที่เป็นไปได้ค่าใดจากตารางดังนี้ อันตรภาคชั้น 1.20-1.39 มีความถี่สะสม 10 หมายความว่า มีข้อมูลต่ำกว่า 1.395 (ซึ่งเป็น ขอบเขตบนของอันตรภาคชั้นนี้) อยู่ 10 จำนวน อันตรภาคชั้น 1.40-1.59 มีความถี่สะสม 19 หมายความว่า มีข้อมูลต่ำกว่า 1.595 อยู่ 19 จํานวน เพื่อให้ได้ค่าที่มีข้อมูลต่ำกว่าอยู่ 11 จำนวน จึงต้องจะคิดเทียบจากอันตรภาคชั้น 1.40- 1.59 ซึ่งมีความถี่ 9 โดยถือว่าค่าของข้อมูลที่ตกอยู่ในอันตรภาคชั้นนี้ทั้ง 9 ค่ากระจายกันอยู่อย่าง สม่ำเสมอ โดยใช้วิธีเทียบส่วนดังนี้ ความถี่สะสมเพิ่มขึ้น 19 - 10 = 9 ค่าที่เป็นไปได้เพิ่มขึ้น 1.595 – 1.395 = 0.200 ความถี่สะสมเพิ่มขึ้น 11 – 10 = 1 ค่าที่เป็นไปได้เพิ่มขึ้น 0.200×1 9 = 0.022 ดังนั้น ค่าโดยประมาณของมัธยมฐาน คือ 1.395 + 0.022 = 1.417 แสนตัน ตอบ ในกรณีที่ครึ่งหนึ่งของจำนวนข้อมูลตรงกับความถี่สะสมในอันตรภาคชั้นใด จะใช้ขอบบน ของอันตรภาค ชั้นนั้นเป็นมัธยฐาน
ในตัวอย่างข้างต้น ถ้าไม่มีอันตรภาคชั้นสุดท้าย คือ ช่วง 2.00-2.19 แสนตัน ครึ่งหนึ่งของ จำนวน ข้อมูลจะเท่ากับ 20 2 = 10 ซึ่งตรงกับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้น 1.20-1.39 ในกรณี นี้มัธยฐาน คือ 2 1.395 แสนตัน การหามัธยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่โดยวิธีในตัวอย่างที่ 3.7 เมื่อนำมาเขียนเป็น สูตรจะได้ดังนี้ มัธยฐาน = L+[ 2 − ∑ ]I มัธยฐาน = U-[ ∑ − 2 ]I เมื่อ L และ U เป็นขอบล่างและขอบบนของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ N = ∑ =1 เป็นผลรวมของความถี่ทั้งหมด ∑ เป็นผลรวมของความถี่ของทุกอันตรภาคชั้นที่เป็นช่วงคะแนนต่ำ กว่าชั้นที่ มีมัธยฐานอยู่ ∑ แทนผลรวมของความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่และทุกชั้น ที่เป็นช่วงคะแนนต่ำกว่า fM แทนความถี่ของชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ I แทนความกว้างของอันตรภาคชั้นที่มีมัธยฐานอยู่ ตัวอย่างที่ 3.12 จากตารางต่อไปนี้แสดงจำนวนเงิน (บาท) ของนักศึกษาแต่ละคนนมาใช้จ่ายที่ วิทยาลัยแห่งนี้
จำนวนเงิน จำนวนนักเรียน ( ) ความถี่สะสม (F) 36-45 46-55 20 15 20 35 = *** 56-65 32 = 67 66-75 76-85 86-95 96-105 26 7 8 12 93 100 108 120 N = 120 วิธีทำ 1. หาควาถี่สะสม จะได้ N 2 = 120 2 = 60 ดังนั้น ค่ามัฐยฐานจะอยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 56-65 2. หา L = 55.5 I = 10 ∑ = 35 fM = 32 3. แทนค่าในสูตร มัธยฐาน = L+ 2 − ∑ ൨I = 55.5 + ൫ 60−35 32 ൯(10) = 55.5 + (0.78)(10)
= 55.5 + 7.8 มัธยฐาน = 63.31 ดังนั้น มัธยฐานของจำนวนเงินที่นักศึกษา นำมาใช้จ่ายที่วิลัย คือ 63.3 บาท ตอบ ตัวอย่างที่ 3.13 จากตารางแจกแจงความถี่เป็นส่วนสูงของนักศึกษา ปวส. 1 ของวิทยาลัย แห่ง หนึ่งดังนี้ ส่วนสูง (ซม.) จำนวนคน F 140-149 150-159 12 24 12 36=∑ 160-169 30=fM 66 170-179 180-189 18 26 84 110 วิธีทำ 1. หาความถี่สะสม จะได้N 2 = 110 2 = 55 ดังนั้น ค่ามัฐยฐานจะอยู่ในอัตรภาคชั้นที่ 160-169 2. หา L = 159.5 I = 10 ∑ = 36 = 30 3. แทนค่าในสูตร มัธยฐาน = L+ 2 − ∑ ൨I = 159.5 + ൫ 55−36 30 ൯(10) = 159.5 + (0.63)(10) = 159.5 + 6.3
มัธยฐาน = 165.8 ดังนั้น ส่วนสูงของนักศึกษา ปวส. 1 คือ 165.8 เซนติเมตร ตอบ 3.2.3 ฐานนิยม (Mode) ฐานนิยม คือ ค่าของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด ใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลอีกชนิดหนึ่ง นอกเหนือจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต และมัธยฐานที่ได้กล่าวมาแล้ว ส่วนมากฐานนิยมจะใช้กับข้อมูล เชิงคุณภาพมากกว่าข้อมูลเชิงปริมาณ ฐานนิยมเหมาะที่จะนำมาใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลเมื่อข้อมูลนั้น ๆ เป็นค่ามาตรฐาน เช่น ขนาดของรองเท้า ขนาดยางรถยนต์ ฯลฯ หรือข้อมูลที่แจกแจงความถี่ตามกลุ่มหรือช่วงต่าง ๆ และโดยเฉพาะ เมื่อมีข้อมูลที่มีค่าสูงหรือต่ำผิดปกติรวมอยู่ด้วย 1. การหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ ฐานนิยมของข้อมูลชนิดนี้หาได้จากการดูว่าข้อมูลใดจากข้อมูลที่มีอยู่ทั้งหมดมีความถี่ สูงสุดหรือปรากฏบ่อยครั้งที่สุด ข้อมูลนั้นจะเป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนั้น ตัวอย่างที่ 3.14 จงหาฐานนิยมของข้อมูลต่อไปนี้ 20, 21, 12, 14, 15, 16, 17, 20, 20, 14, 15, 20 วิธีทำ จากข้อมูลจะเห็นได้ว่า 20 มีความถี่สูงสุด ดังนั้น ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้คือ 20 ตอบ ตัวอย่างที่ 3.15 จากการขายเสื้อขนาดต่าง ๆ ของร้านค้าแห่งหนึ่งเป็นดังนี้ ขนาด S M L XL XXL จำนวน 8 10 15 13 6 จงหาฐานนิยมของขนาดเสื้อที่ขายได้ วิธีทำ ฐานนิยมของขาดของเสื้อคือ L
แสดงว่าร้านนี้ขายเสื้อขนาด L ได้มากที่สุด ตัวอย่างที่ 3.16 จงหาฐานนิยมของอายุนักเรียนที่มาเข้าค่ายคอมพิวเตอร์ จำนวน 15 คน ดังนี้ 5, 8, 7, 6, 7, 8, 12, 11, 10, 11, 8, 6, 8, 7 และ 8 ปี วิธีทำ ฐานนิยมของอายุนักเรียนที่มาเข้าค่ายคอมพิวเตอร์ทั้ง 15 คน คือ 8 ปี เพราะ นักเรียน ที่มา เข้าค่ายคอมพิวเตอร์มีอายุ 8 ปี มากที่สุด คือ 5 คน กล่าวคือ นักเรียนที่มาเข้า ค่ายคอมพิวเตอร์มีอายุ 8 ปี มีจำนวนมากที่สุด OM การหาฐานนิยมโดยวิธีดังกล่าว ข้อมูลบางชุดอาจจะไม่มีฐานนิยมก็ได้หรืออาจจะมีฐานนิยมเกิน กว่า 1 ค่าก็ได้ เช่น ข้อมูลที่ประกอบด้วย 5, 8, 9, 10, 12, 18, 16, 20 จะไม่มีฐานนิยม เพราะ ข้อมูลแต่ละค่ามี ความถี่เท่ากันหมด ข้อมูลอีกชุดหนึ่งประกอบด้วย 13, 16, 20, 25, 20, 26, 25 มีฐานนิยม 2 ค่า คือ 20 และ 25 เนื่องจากทั้งสองค่านี้มีความถี่สูงสุดเท่ากัน 2 ค่า อาจจะถือได้ว่า ข้อมูลชุดนั้นไม่มีฐานนิยมได้ ตอบ หมายเหตุในกรณีที่ข้อมูลชุดหนึ่งมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่าอาจหาตัวแปรเชิงคุณภาพอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง เช่น เพศ ชั้นเรียน ฯลฯ มาแบ่งข้อมูลออกเป็นคนละชุด เพื่อทำให้แต่ละชุดมีฐานนิยม เพียง 1 ค่า 2. การหาฐานนิยมของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ฐานนิยมของข้อมูลที่แจกแจงความถี่สามารถหาได้โดยใช้สูตร Mo = L+I ( 1 1 + 2 ) เมื่อ L แทนขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่ความถี่สูงสุด I แทนความกว้างของอันตรภาคชั้น 1 แทนผลต่างระหว่างความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่กับชั้นที่มีคะแนนต่ำกว่า ที่อยู่ติดกัน 2 แทนผลต่างระหว่างความถี่ของชั้นที่มีฐานนิยมอยู่กับชั้นที่มีคะแนนสูง กว่าที่อยู่ติดกัน
ตัวอย่างที่ 3.17 จากตารางต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบของนักศึกษาห้องหนึ่ง จงหาฐานนิยมของข้อมูลนี้ วิธทำ พิจารณาอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด คือ 51-60 จากสูตร Mo = L + I( 1 1+2 ) เมื่อ L = ൫ 50+51 2 ൯= 50.5 I = 10 1 = 22-12 = 10 2 = 22-12 = 10 จาก Mo = 50.5 + 10 ൫ 10 10+12൯ = 50.5 + 10(0.45) = 50.5 + 4.5 Mo = 55 ดังนั้น ฐานนิยมของคแนนสอบของนักศึกษาห้องนี้ คือ 55 คะแนน คะแนน fi 21-30 31-40 41-50 15 2 12 51-60 22 61-70 71-80 10 9
ตัวอย่างที่ 3.18 จากข้อมูลต่อไปนี้จงหา Mo วิธีทำ พิจารอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุดคือ 140-143 นั่นคือ ฐานนิยมที่ได้จะอยู่ในช่วง 140-143 จากสูตร Mo = L+I( 1 1+2 ) เมื่อ L = ൫ 139−140 2 ൯ = 139.5 I = 4 d1 = 15 d2 = 6 จาก Mo = 50.5 + 10 ൫ 16 15+6 ൯ = 139.5 + 4(0.71) คะแนน f1 132-135 136-139 140-143 144-147 148-151 152-155 156-159 8 9 24 18 11 20 10
= 139.5 + 2.84 Mo = 142.34 ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ คือ 142.34 คะแนน ตอบ ถ้าเขียนเส้นโค้งของความถี่ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ฐานนิยม คือ ค่าของ X ที่อยู่ ตรงกับจุดสูงสุดบนเส้นโค้งของความถี่ แต่ถ้าเส้นโค้งของความถี่มีจุดสูงสุดสองจุด ข้อมูลชุดนั้นจะ มีฐานนิยม 2 ค่า ดังรูปที่ 3.1 ฐานนิยม รูปที่ 3.1 เส้นโค้งของความถี่ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่แล้ว ทำนองเดียวกันกับการคำนวณมัธยฐานของข้อมูล คือ ถ้ามีข้อมูลครบทุกหน่วย คำนวณ ฐานนิยมโดยตรงจากข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ เนื่องจากค่าที่คำนวณในกรณีข้อมูลที่แจกแจง ความถี่แล้ว จะให้ค่าโดยประมาณ สำหรับการคำนวณหาฐานนิยมของข้อมูลที่ได้แจกแจงความถี่ไว้แล้วทำได้หลายวิธี วิธีหนึ่ง คือ หาจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ ค่าที่หาได้จะเป็นค่าฐานนิยมโดยประมาณ ส่วนการหาว่า ฐานนิยมอยู่ในอันตรภาคชั้นใดนั้นจะต้องพิจารณาด้วยว่าอันตรภาคชั้นแต่ละชั้นมี ความกว้างเท่ากัน หรือไม่ ในกรณีที่ความกว้างของอันตรภาคชั้นทุกชั้นเท่ากัน อันตรภาคชั้นที่มี
ฐานนิยม คือ อันตรภาคชั้นที่มี ความถี่สูงสุด ส่วนในกรณีที่ความกว้างของอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน ทุกชั้นให้หารความถี่ด้วยความกว้างของ แต่ละอันตรภาคชั้น อันตรภาคชั้นที่ผลหารมากที่สุดจะ เป็นอันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยมอยู่ ตัวอย่างที่ 3.19 จากข้อมูลของนักเรียนระดับ ปวช. 3 จำนวน 40 คน เกี่ยวกับจำนวนเงิน ที่จ่ายเป็น ค่าอาหารในแต่ละสัปดาห์ ดังตาราง จำนวนเงินที่จ่ายเป็นค่าอาหาร (บาท) จำนวนนักเรียน 0-49 50-99 100-149 150-199 200-249 250-299 4 7 15 10 3 1 จงหาฐานนิยมโดยประมาณของจำนวนเงินที่จ่ายเป็นค่าอาหารของนักเรียนทั้ง 40 คน ในแต่ละ สัปดาห์ วิธีทำ เนื่องจากความกว้างของอันตรภาคชั้นเท่ากันทุกชั้น ดังนั้นอันตรภาคชั้นที่มีฐานนิยม อยู่ คือ อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด อันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงสุด คือ 100 – 149 จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นนี้ 100+149 2 = 124.50 นั่นคือ ฐานนิยมของจำนวนเงินที่ต้องจ่ายเป็นค่าอาหารของนักเรียนทั้ง 40 คน ในแต่ละสัปดาห์ คือ 124.50 บาท โดยประมาณ ตอบ 3.3 การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางกับข้อมูลลักษณะต่าง ๆ
การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง โดยวิธีการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ามัธยฐาน และฐานนิยม จะ เหมาะสมกับข้อมูลในลักษณะต่าง ๆ กันดังนี้ 1. ข้อมูลในมาตรานามบัญญัติ เหมาะจะใช้วิธีหาค่าฐานนิยมเท่านั้น 2. ข้อมูลในมาตราเรียงอันดับ เหมาะจะใช้วิธีหาค่ามัธยฐาน หรือฐานนิยมก็ได้ 3. ข้อมูลในมาตราอันตรภาค เหมาะจะใช้วิธีหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ามัธยฐานหรือ ค่าฐาน นิยมก็ได้ 4. ข้อมูลในมาตราอัตราส่วน เหมาะจะใช้วิธีหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ามัธยฐานหรือค่าฐาน นิยมก็ได้ ข้อสังเกตและหลักเกณฑ์ที่สำคัญในการใช้ค่ากลางชนิดต่าง ๆ มีดังนี้ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่ากลางที่ได้จากการนำทุก ๆ ค่าของข้อมูลมาเฉลี่ย แต่มัธยฐาน และ ฐานนิยมเป็นเพียงค่ากลางที่ใช้ตำแหน่งที่ (Position) ของข้อมูลบางค่าเท่านั้น 2. ถ้าในจำนวนข้อมูลทั้งหมดมีข้อมูลบางค่าที่มีค่าสูงหรือต่ำกว่าข้อมูลอื่น ๆ มาก จะมี ผลกระทบต่อ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต กล่าวคือ อาจจะทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่าสูงหรือต่ำกว่าข้อมูลที่ มีอยู่ส่วนใหญ่แต่จะไม่ มีผลกระทบต่อมัธยฐานหรือฐานนิยม ดังนั้นกรณีเช่นนี้ควรใช้มัธยฐาน 3. มัธยฐานและฐานนิยม ใช้เมื่อต้องการทราบค่ากลางของข้อมูลทั้งหมดโดยประมาณและ รวดเร็ว ทั้งนี้เนื่องจากการหามัธยฐานและฐานนิยมบางวิธีไม่จำเป็นต้องมีการคำนวณซึ่งอาจใช้ เวลามาก 4. ถ้าการแจกแจงความถี่ของข้อมูล ประกอบด้วย อันตรภาคชั้นที่มีช่วงเปิดซึ่งอาจเป็นชั้น ต่ำสุดหรือ ชั้นสูงสุดชั้นใดชั้นหนึ่ง หรือทั้งสองชั้น การหาค่ากลางโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่ สามารถหาได้ แต่สามารถ หามัธยฐานหรือฐานนิยมได้ 5. การแจกแจงความถี่ของข้อมูลที่มีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นไม่เท่ากัน อาจจะมี ผลทำให้ค่ากลางที่หาได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือฐานนิยมคลาดเคลื่อนไปจากที่ควรจะเป็นได้ บ้าง แต่ไม่มี ผลกระทบต่อการหามัธยฐาน
6. ในกรณีที่ข้อมูลเป็นประเภทข้อมูลเชิงคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยม เท่านั้นแต่ไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือมัธยฐานได้ 7. ในกรณีที่สามารถนำข้อมูลมาเรียงลำดับได้ ควรหาค่ากลางคือ มัธยฐานก่อนและถ้าเป็น ข้อมูล เชิงปริมาณที่มีค่าต่อเนื่องด้วย ควรใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแทนมัธยฐานจะเหมาะสมกว่า 8. ในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนน้อย ฐานนิยมอาจมีค่าแตกต่างกันมากระหว่างข้อมูลชุดหนึ่ง กับข้อมูลอีกชุดหนึ่งที่มีจำนวนเท่ากัน จึงไม่ควรใช้ฐานนิยมในกรณีเช่นนี้ 9. ลักษณะเฉพาะของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม อาจแสดงด้วยข้อมูล 10 ค่าต่อไปนี้ 25 33 35 38 48 55 55 55 56 และ 64 โดยเขียนเป็นแผนภาพได้ดังนี้ รูปที่3.2 ลักษณะเฉพาะของค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม จะเห็นว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป้นค่ากลางที่แบ่งน้ำหนักข้อมูล 2 ด้านให้มีสมดุล ส่วนมัธย ฐานเป็นค่ากลางที่อยู่ตรงกลางข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อย) และฐานนิยมเป็นค่า กลางที่อยู่จุดที่มีความถี่ของข้อมูลหรือจำนวนข้อมูลที่มากที่สุด