Matematik Tingkatan 3 - cutted

1BAB Indeks

Apakah yang akan anda pelajari?

1.1 Tatatanda Indeks

1.2 Hukum Indeks

Kenapa Belajar Bab Ini?

• Penulisan suatu nombor dalam bentuk indeks
membolehkan nombor tersebut dinyatakan
dalam bentuk yang ringkas dan mudah difahami.
Pelbagai operasi matematik yang melibatkan
nombor dalam bentuk indeks dapat dijalankan
dengan menggunakan hukum-hukum indeks.
• Konsep indeks digunakan dalam bidang sains,
kejuruteraan, perakaunan, kewangan, astronomi,
perkomputeraan dan sebagainya.

TasikKenyiryangterletakdidaerahHuluTerengganu,
Terengganu, merupakan tasik buatan manusia yang
terbesar diAsia Tenggara. Tasik Kenyir terkenal sebagai
satu destinasi pelancongan dunia kerana keindahan alam
semula jadi yang unik. Tasik Kenyir juga merupakan
kawasan tadahan air yang penting. Empangan Kenyir
yang dibina pada tahun 1985, membekalkan air
kepada Stesen Jana Kuasa Sultan Mahmud.Anggaran
keluasan kawasan tadahan air di empangan utama
ialah 2 600 km² dengan isi padu takungan sebanyak
13 600 juta meter padu. Pada musim tengkujuh, isi padu
tadahan air akan meningkat secara mendadak. Apakah
tindakan yang harus diambil dalam situasi sebegini?

Eksplorasi Zaman

Tatatanda indeks merupakan elemen penting dalam
perkembangan dunia matematik dan pengaturcaraan
komputer. Penggunaan tatatanda bagi indeks integer
positif telah diperkenalkan oleh Rene Descartes,
seorang tokoh matematik berbangsa Perancis (1637).
Sir Issac Newton, seorang lagi tokoh matematik
berbangsa Inggeris telah memperkembangkan lagi
bidang penggunaan tatatanda indeks serta
memperkenalkan indeks negatif dan indeks pecahan.

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%201/

GERBANG K A T A

• asas • base
• faktor • factor
• indeks • index
• indeks pecahan • fractional index
• kuasa • power
• punca kuasa • root
• tatatanda indeks • index notation

Saiz sebenar

1

1.1 Tatatanda Indeks

BAB 1 Apakah itu pendaraban berulang dalam bentuk indeks? STANDARD
PEMBELAJARAN
Perkembangan bidang teknologi bukan sahaja memudahkan kebanyakan
Mewakilkan pendaraban
tugas harian kita, malah turut menjimatkan kos perbelanjaan dalam berulang dalam bentuk indeks

pelbagai bidang. Misalnya, penggunaan kad memori di dalam kamera dan menghuraikan maksudnya.

digital membolehkan pengguna menyimpan gambar dalam bilangan

yang banyak serta memadam atau mengubah suai gambar yang kurang

sesuai sebelum dicetak. SUDUT DISKUSI

Bincang nilai kapasiti
pemacu pena yang
anda tahu.

BULETIN

Penguraian nuklear bagi
uranium U–320 adalah
mengikut pola 30, 31, 32,…

Pada peringkat awal, kad memori dikeluarkan dengan kapasiti 4MB. Nilai kapasiti ini ditambah
mengikut peredaran zaman dan kehendak pengguna. Tahukah anda, nilai kapasiti kad memori
dihitung dalam satu bentuk khas iaitu 2n?

Di Tingkatan 1, anda telah mempelajari bahawa 43 = 4 × 4 × 4. Nombor 43 ditulis dalam tatatanda
indeks iaitu 4 ialah asas dan 3 ialah indeks atau eksponen. Nombor ini dibaca sebagai ‘4 kuasa 3’.

Maka, nombor dalam tatatanda indeks atau bentuk indeks boleh ditulis sebagai;

an Indeks
Asas

Anda sedia tahu bahawa 42 = 4 × 4 dan 43 = 4 × 4 × 4. Misalnya;

4 × 4 = 4 2 Nilai indeks ialah 2

Berulang dua kali Nilai indeks sama dengan bilangan kali 4 didarab secara berulang.

4 × 4 × 4 = 4 3 Nilai indeks ialah 3
Berulang tiga kali Nilai indeks sama dengan bilangan kali 4 didarab secara berulang.

Contoh 1

Tulis pendaraban berulang berikut dalam bentuk indeks an. PERINGATAN

(a) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 (b) 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3 25 ≠ 2 × 5 43 ≠ 4 × 3
an ≠ a × n
Saiz se (bc)e (n–a2r) × (–2) × (– 2) (d) —41 × —41 × —41 × —14 × —41

(e) m × m × m × m × m × m × m (f) n × n × n × n × n × n × n × n

2

Bab 1 Indeks

Penyelesaian:

(a) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56 (b) 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3 = (0.3)4 BAB 1

berulang enam kali berulang empat kali

( )( c) (–2) × ( –2) × (–2) = (–2)3 (d) —14 × —41 × —41 × —41 × —41 = —41 5
berulang tiga kali
berulang lima kali

(e) m × m × m × m × m × m × m = m7 (f) n × n × n × n × n × n × n × n = n8

berulang tujuh kali berulang lapan kali

Daripada penyelesaian Contoh 1, didapati bahawa nilai indeks dalam suatu bentuk indeks adalah
sama dengan bilangan kali asas didarab secara berulang. Secara generalisasi,

an = a × a × a × … × a ; a ≠ 0
n faktor

UJI MINDA 1.1a

1. Lengkapkan jadual di bawah dengan asas atau indeks bagi nombor atau sebutan algebra yang
diberi.

53 (– 4)7 Asas Indeks
5 7
( ) —21 10 ( )m6 – —37 4 —12
n 6
n0 (0.2)9 9
x 4
( )x20 2 —31 2 8 2

8

2. Nyatakan pendaraban berulang berikut dalam bentuk indeks an.

(a) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 (b) 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5

(c) —12 × —12 × —12 × —12 (d) (–m) × (–m) × (–m) × (–m) × (–m)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e) 1 — 23 × 1—23 × 1—23 ( f) – 1n– × – 1n– × – –1n × – 1n– × – –1n × – 1n–

3. Tukarkan nombor atau sebutan algebra dalam bentuk indeks kepada pendaraban berulang.

( ) ( ) (a) ( –3)3 (b) (2.5 )4 (c) —23 5 ( d) – 2 —14 3

( ) (e) k 6 (f) (–p) 7 (g) —m1 8 (h) (3n)5

Saiz sebenar

3

BAB 1 B agaimanakah anda boleh menukar suatu nombor kepada STANDARD
nombor dalam bentuk indeks? PEMBELAJARAN

Suatu nombor boleh ditulis dalam bentuk indeks jika suatu asas yang Menukar suatu nombor
sesuai dipilih. Anda boleh menggunakan kaedah pembahagian berulang kepada nombor
atau kaedah pendaraban berulang untuk menukar suatu nombor kepada dalam bentuk indeks
nombor dalam bentuk indeks. dan sebaliknya.

Contoh 2 IMBAS KEMBALI

Tuliskan 64 dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas 2, asas 4 4 × 4 × 4 = 43
dan asas 8.

Penyelesaian:

Kaedah Pembahagian Berulang

(a) Asas 2 (b) Asas 4 (c) Asas 8
• 64 dibahagi secara • 64 dibahagi secara • 64 dibahagi secara
berulang dengan 2. berulang dengan 4. berulang dengan 8.

2 ) 64 n=3 4 ) 64 n=2 8 ) 64
2 ) 32 4 ) 16 8 ) 8
2 ) 16 4 ) 4
n=6 2 ) 8 1 1
2 ) 4
2 ) 2 Maka, 64 = 82
1
Maka, 64 = 43

Pembahagian
diteruskan sehingga
mendapat nilai 1.

Maka, 64 = 26

Kaedah Pendaraban Berulang

(a) Asas 2 (b) Asas 4 (c) Asas 8
2×2×2×2×2×2 4×4×4 8 × 8 = 64
4 16
8 64 Maka, 64 = 82
16
32 Maka, 64 = 43 SUDUT DISKUSI
64
Antara kaedah
Maka, 64 = 26 pembahagian berulang
dengan kaedah pendaraban
Saiz sebenar berulang, kaedah manakah
yang lebih mudah untuk
4 menukar suatu nombor
kepada nombor dalam
bentuk indeks? Bincangkan.

Bab 1 Indeks

Contoh 3

PT eunliyseklaens—a3i3a1—2n2:5 – dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas —52 . BAB 1

Kaedah Pembahagian Berulang Kaedah Pendaraban Berulang
—25 × —25 × —25 × —25 × —52
n=5 2 ) 32 n=5 5 ) 3 125
2 ) 16 5 ) 625 —245–
2 ) 8 5 ) 125
2 ) 4 5 ) 25 —182–5
2 ) 2 5 ) 5 6—1265–
1 1 —331—225–

( )Maka, — 331—22 5– = —52 5 ( )Maka, — 331—22 5– = —25 5

UJI MINDA 1.1b

1. Tuliskan setiap nombor berikut dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas yang
dinyatakan dalam kurungan.

[ ] (a) 8 1 [asas 3] (b) 15 625 [as as 5] (c) —1624–5 asas —45

[ ( )] (d) 0 .00032 [ a sas 0.2 ] ( e) – 16 38 4 [asa s ( – 4)] ( f) —116 asas – —41

Bagaimanakah anda boleh menentukan nilai bagi nombor dalam bentuk indeks, an ?

Nilai an boleh ditentukan dengan kaedah pendaraban berulang atau dengan menggunakan kalkulator
saintifik.

Contoh 4

Hitung nilai bagi nombor dalam bentuk indeks yang diberi. KUI Z
(m)4 = 16
(a) 25 (b) (0.6)3
Apakah nilai-nilai yang
2 × 2 × 2 × 2 × 2 0.6 × 0.6 × 0.6 mungkin bagi m?

4 × 2 0.36 × 0.6 Saiz sebenar

8 × 2 0.216

16 × 2 0.63 = 0.216

32

Maka, 25 = 32 Maka, 0.63 = 0.216

5

BAB 1 Contoh 5 PINTAR JARI 1,234567.89 3 = PERINGATAN
7 8 9÷
(a) 54 = 625 4 5 6x Asas bernilai negatif dan
(b) (–7)3 = –343 1 2 3- pecahan mesti ditekan
AC 0 . + bersama tanda kurung
( )( c) —23 4= —1861– semasa menggunakan
5 ^ 4 = kalkulator untuk menentukan
nilai nombor tersebut.
( (–) 7 ) ^

( 2 ab/c 3 ) ^ 4 =

( ) (d) 1—35 2= —6254– ( 1 ab/c 3 ab/c 5 ) ^ 2 = SUDUT DISKUSI
( (–) 0 . 5 ) ^ 6 =
(e) (– 0.5)6 = 0.015625 Hitung soalan (c), (d)
dan (e) contoh 5 tanpa
UJI MINDA 1.1c menggunakan tanda
kurung. Adakah jawapan
sama? Bincangkan.

1. Hitung nilai bagi setiap nombor dalam bentuk indeks di bawah.

(a) 94 (b) (– 4)5 (c) (2.5)3 (d) (– 3.2)3
( ) ( ) ( ) ( ) ( e ) —38 5 ( f) – —16 4 ( g ) 1 —23 2 (h ) – 2 —13 3

1.2 Hukum Indeks

Apakah kaitan antara pendaraban nombor dalam STANDARD
bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama dengan PEMBELAJARAN
pendaraban berulang?
Menghubung kait
Cetusan Minda 1 pendaraban nombor
Berpasangan dalam bentuk indeks yang
mempunyai asas yang
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara pendaraban nombor dalam sama dengan pendaraban
bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama dengan berulang, dan seterusnya
pendaraban berulang. membuat generalisasi.

Langkah:

1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).

2. Bincang bersama rakan anda dan nyatakan tiga contoh lain.

3. Tampal tiga contoh tersebut di sudut matematik supaya kumpulan lain dapat memberi ulasan.

Pendaraban nombor Pendaraban berulang
dalam bentuk indeks

(a) 23 × 24 3 faktor 4 faktor 7 faktor (keseluruhan)

(2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27

23 × 24 = 2 7 7=3+4
23 × 24 = 2 3 + 4

(b) 32 × 33 2 faktor 3 faktor 5 faktor (keseluruhan)

Saiz sebenar (3 × 3) × (3 × 3 × 3) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35

32 × 33 = 3

32 × 33 = 3

6

Bab 1 Indeks

Pendaraban nombor Pendaraban berulang
dalam bentuk indeks

(c) 54 × 52 4 faktor 2 faktor 6 faktor (keseluruhan) BAB 1

(5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5) = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56
54 × 52 = 5
54 × 52 = 5

Perbincangan:

Apakah kesimpulan anda berkaitan hubungan antara pendaraban nombor dalam bentuk indeks
dengan pendaraban berulang?

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa; SUDUT DISKUSI

23 × 24 = 23 + 4 Diberi,
32 × 33 = 32 + 3 am × an = bm × bn.
54 × 52 = 54 + 2
Adakah a = b? Bincangkan.

Secara generalisasi, am × an = a m + n

Contoh 6

Ringkaskan setiap yang berikut.
(a) 72 × 7 3 (b) (0.2 )2 × (0.2 )4 × (0.2) 5 (c ) 2k2 × 4 k3 (d) 3m4 × —1 m5 × 12m
6

Penyelesaian:

(a) 72 × 73 (b) (0.2)2 × (0.2)4 × (0.2)5 PERINGATAN

= 72 + 3 = (0.2)2 + 4 + 5 a = a1
= 75 = (0.2)11

( c) 2 k2 × 4k3 (d) 3m4 × —61 m5 × 12m
= (2 × 4)(k2 × k3)
= (3 × —16 × 12) (m4 × m5 × m1)
Operasi
= 8k2 + 3 untuk pekali. = 6m4 + 5 + 1 BIJAK MINDA

= 8k5 = 6m10 Jika ma × mb = m8,

UJI MINDA 1.2a dengan keadaan a > 0
dan b > 0, apakah

nilai-nilai yang mungkin

1. Permudahkan setiap yang berikut. bagi a dan b?

(a) 32 × 3 × 34 (b) (– 0.4)4 × (– 0.4)3 × (– 0.4)

—47 —74 3 × —74 5 (d) – 1—52 2 × – 1—25 3 × 1—52
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (c) × – 5



( e) 4m2 × —21 m3 × ( – 3)m4 (f) n6 × —245 n2 × —45 n3 × n

( g) – x4 × —25 x × 1—2 x2 (h) – —1 y5 × (– 6)y3 × —1 y4 Saiz sebenar
4 5 2 3

7

BAB 1 B agaimanakah anda boleh permudahkan nombor atau sebutan TIP
algebra dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
berlainan? Kumpulkan nombor
atau sebutan algebra
Contoh 7 dengan asas yang sama
terlebih dahulu. Kemudian,
Ringkaskan setiap yang berikut. tambahkan indeks bagi
asas yang sama.

(a) m3 × n2 × m4 × n5 (b) (0.3)2 × (0.2)2 × 0.3 × (0.2)5 × (0.3)3

( c) p2 × m3 × p4 × n3 × m4 × n2 (d) –m4 × 2n5 × 3m × —14 n2

Penyelesaian:

(a) m3 × n2 × m4 × n5 (b) (0.3)2 × (0.2)2 × 0.3 × (0.2)5 × (0.3)3

= m3 × m4 × n2 × n5 aKsuams ypaunlkg asnama. = (0.3)2 × (0.3)1 × (0.3)3 × (0.2)2 × (0.2)5
= m3 + 4 × n2 + 5 = (0.3)(2 + 1 + 3) × (0.2)(2 + 5)

= m7 × n7 Tambahkan indeks = (0.3)6 × (0.2)7
bagi asas yang sama.
= m7n7

( c) p2 × m3 × p4 × n3 × m4 × n2 (d) –m4 × 2n5 × 3m × —41 n2
= m3 × m4 × n3 × n2 × p2 × p4 = ( –1 × 2 × 3 × —41 ) m4 × m1 × n5 × n2
= m3 + 4 × n3 + 2 × p2 + 4
= – —32 m4 + 1 n5 + 2 PERINGATAN
= m7 n5 p6

= – —23 m5 n7 –an ≠ (–a)n
Contoh:
–32 ≠ (–3)2
UJI MINDA 1.2b –9 ≠ 9

1. Nyatakan dalam bentuk indeks paling ringkas.

(a) 54 × 93 × 5 × 92 (b) (0.4)2 × (1.2)3 × (0.4) × (1.2)5 × (1.2)

( c) 1 2x5 × y3 × —12 x × —23 y4 (d) –2k5 × p6 × —14 p5 × 3k

Apakah kaitan antara pembahagian nombor dalam bentuk STANDARD
indeks yang mempunyai asas yang sama dengan pendaraban PEMBELAJARAN
berulang?
Menghubung kait
Cetusan Minda 2 Berpasangan pembahagian nombor
dalam bentuk indeks
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara pembahagian nombor yang mempunyai asas
dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama yang sama dengan
dengan pendaraban berulang. pendaraban berulang,
dan seterusnya
Langkah: membuat generalisasi.

Saiz seb21e.. naTBreelriititicgoanctoohnt(oah) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).
lain dan bentangkan hasil dapatan anda.

8

Bab 1 Indeks

Pembahagian nombor Pendaraban berulang
dalam bentuk indeks
BAB 1
(a) 45 ÷ 42 5 faktor

— 4425 = —4 ×—4—×4—×4 ×—4 4––×–4– =4×4 ×4= 43

3 faktor (Baki)

2 faktor

45 ÷ 42 = 4 3 3=5–2

45 ÷ 42 = 4 5–2

(b) 26 ÷ 22 6 faktor

— 2226 = —2 ×—2—×—22 ×—× 22––×–2–—× 2– = 2 ×2× 2×2 = 24

4 faktor (Baki)

2 faktor

26 ÷ 22 = 2
26 ÷ 22 = 2

(c) (–3)5 ÷ (–3)3 5 faktor

(( —––33—))35 = ( —–3—) ×—((–—–33)—) ××–((––––33–))—××(–(–––33–))— ×—(––3–) = (–3) × (–3) = (–3)2

2 faktor (Baki)

3 faktor

(–3)5 ÷ (–3)3 = (–3)
(–3)5 ÷ (–3)3 = (–3)

Perbincangan:

Apakah perkaitan antara pembahagian nombor dalam bentuk indeks dengan pendaraban
berulang?

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa; BIJAK MINDA

45 ÷ 42 = 45 – 2 Diberi ma – b = m7 dan
26 ÷ 22 = 26 – 2 0 < a < 10. Jika a > b,
(–3)5 ÷ (–3)3 = (–3)5 – 3 nyatakan nilai-nilai yang
mungkin bagi a dan b.

Secara generalisasi, am ÷ an = am – n

Contoh 8

Ringkaskan setiap yang berikut.

(a) 54 ÷ 52 (b) (–3)4 ÷ (–3)2 ÷ (–3) (c) m4n3 ÷ m2n
(d) 25x2y3 ÷ 5xy (e) 12m10 ÷ 4m5 ÷ m2 (f) –16p8 ÷ 2p5 ÷ 4p2
Penyelesaian:

(a) 54 ÷ 52 (b) (–3)4 ÷ (–3)2 ÷ (–3) (c) m4n3 ÷ m2n

= 54 – 2 = (–3)4 ÷ (–3)2 ÷ (–3)1 = m4n3 ÷ m2n1

= 52 = (–3)4 – 2 – 1 = m4 – 2 n3 – 1

= (–3)1 = m2 n2 Saiz sebenar

= –3

9

(d) 25x2y3 ÷ 5xy (e) 12m10 ÷ 4m5 ÷ m2 (f) –16p8 ÷ 2p5 ÷ 4p2

BAB 1 ==== 255—255xx51yxxy22 22y – 3 1O÷py5e3 rx –a 1s1yi1un t u k pe k a li. ==== 333—14mm(2 m 35(1 m–0–215 0 ) ÷÷ mm 52÷ m 2) ==== ––– —–2188 —6pp–4838(–(÷p5p8÷43÷p÷42ppp522))÷ 4p2

= –2p3 – 2

= –2p1

= –2p

UJI MINDA 1.2c

1. Permudahkan setiap yang berikut. (c) —mm84—nn6
(a) 45 ÷ 44 (b) 710 ÷ 76 ÷ 72 (f) –25h4 ÷ 5h2 ÷ h

(d) —297x—x34y–y2–5 (e ) m 7 ÷ m2 ÷ m4
2. Salin dan lengkapkan setiap persamaan di bawah.

(a) 8 ÷ 84 ÷ 83 = 8 (b) m4n ÷ m n5 = m2n

( c) — m1—0 n—m4 ×7—nm —— n2= m 5n ( d) —27—x3y—6x×2—yx3—y – = 3x y5

3 . Jika —224x—×× —33y2 = 6, tentukan nilai x + y.


A pakah kaitan antara nombor dalam bentuk indeks yang STANDARD
dikuasakan dengan pendaraban berulang? PEMBELAJARAN

Cetusan Minda 3 Berpasangan Menghubung kait
nombor dalam bentuk
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara nombor dalam bentuk indeks yang dikuasakan
indeks yang dikuasakan dengan pendaraban berulang. dengan pendaraban
berulang, dan seterusnya
Langkah: membuat generalisasi.

1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).

2. Nyatakan tiga contoh lain dan bentangkan hasil dapatan anda.

Bentuk indeks Pendaraban berulang dalam bentuk indeks Kesimpulan
yang dikuasakan

(a) (32)4 4 faktor (32)4 = 32(4)
= 38
Saiz sebenar 32 × 32 × 32 × 32

= 32 + 2 + 2 + 2 2 ditambah 4 kali

4 kali

= 32(4)

10

Bab 1 Indeks

Bentuk indeks Pendaraban berulang dalam bentuk indeks Kesimpulan
yang dikuasakan
(b) (54)3 3 faktor (54)3 = 5 BAB 1
= 5
(c) (43)6 54 × 54 × 54 4 ditambah 3 kali
= 54 + 4 + 4 (43)6 = 4
= 4
3 kali

= 54(3)

6 faktor

43 × 43 × 43 × 43 × 43 × 43

= 43 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 3 ditambah 6 kali

6 kali

= 43(6)

Perbincangan:

Apakah kesimpulan anda tentang bentuk indeks yang dikuasakan dengan pendaraban berulang
dalam bentuk indeks?

Kesimpulan daripada Cetusan Minda 3, boleh disemak dengan kaedah berikut.

Contoh (a) Contoh (b) Contoh (c)

(32)4 = 32 × 32 × 32 × 32 (54)3 = 54 × 54 × 54 (43)6 = 43 × 43 × 43 × 43 × 43 × 43
= 32 + 2 + 2 + 2 = 54 + 4 + 4 = 43 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
= 38 = 512 = 418

32(4) = 32 × 4 54(3) = 54 × 3 43(6) = 43 × 6
= 38 = 512 = 418

Daripada bahagian kesimpulan Cetusan Minda 3, kita dapati bahawa; BIJAK MINDA

Diberi,
(32)4 = 32(4) mrt = 312
(54)3 = 54(3)
(43)6 = 43(6) Apakah nilai-nilai yang
mungkin bagi m, r dan t
Secara generalisasi, (am)n = amn jika r > t ?

Contoh 9

1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) (34)2 (b) (h3)10 (c) ((–y)6)3
(c) (32)6 = (272)4
2. Tentukan sama ada persamaan berikut benar atau palsu.

(a) (42)3 = (43)2 (b) (23)4 = (22)6 Saiz sebenar

11

Penyelesaian:

BAB 1 1. (a) (34)2 (b) (h3)10 (c) ((–y)6)3
= (–y)6(3)
= 34(2) = h3(10) = (–y)18
= 38 = h30

2. (a) (42)3 = (43)2 (b) (23)4 = (22)6 (c) (32)6 = (272)4

kiri kanan kiri kanan kiri kanan

Kiri: Kiri: Kiri:

(42)3 = 42(3) = 46 (23)4 = 23(4) = 212 (32)6 = 32(6) = 312

Kanan: Sama Kanan: Sama Kanan:

(43)2 = 43(2) = 46 (22)6 = 22(6) = 212 (272)4 = (33(2))4 Tidak

sama
Maka, (42)3= (43)2 Maka, (23)4 = (22)6 = 36(4)
adalah benar. adalah benar. = 324
Maka, (32)6 = (272)4
adalah palsu.

UJI MINDA 1.2d

1. Gunakan hukum indeks untuk meringkaskan setiap pernyataan berikut.

(a) (125)2 (b) (310)2 (c) (72)3 (d) ((– 4)3)7

(e) (k8)3 (f) (g2)13 (g) ((–m)4)3 (h) ((–c)7)3

2. Tentukan sama ada persamaan berikut benar atau palsu.

(a) (24)5 = (22)10 (b) (33)7 = (272)4 (c) (52)5 = (1252)3 (d) – (72)4 = (– 492)3

B agaimanakah anda menggunakan hukum indeks untuk operasi pendaraban dan
pembahagian?

(am × bn)q
= (am)q × (bn)q (ambn)q = amq bnq
= amq × bnq

(am ÷ bn)q ( ) —abmn– q = — abmnq–q
= (am)q ÷ (bn)q
= amq ÷ bnq

Contoh 10

1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) (73 × 54)3 (b) (24 × 53 × 112)5 (c) (p2q3r)4 (d) (5m4n3)2

( ) ( )Saiz se be n(ea) r — 3225 4 (f ) —23xy–73 4 ( g) —(36m—m2n—3n3) –3 (h ) —(2x—3y3—46)4x—1×0y—(132—xy2—)3

12

Bab 1 Indeks

Penyelesaian: IMBAS KEMBALI BAB 1
(a) (73 × 54)3 (b) (24 × 53 × 112)5
= 73(3) × 54(3) = 24(5) × 53(5) × 112(5) am × an = am + n
= 79 × 512 = 220 × 515 × 1110 am ÷ an = am – n
(am)n = amn

(c) (p2q3r)4 (d) (5m4n3)2 KUI Z
= p2(4) q3(4)r1(4) = 52m4(2)n3(2)
= p8q12r4 = 25m8n6 mm = 256.
Berapakah nilai m?

( ) ( ) ( e) —3225 4 (f) —23yx–73 4 SUDUT DISKUSI

= —23 25((–44)) = —2344y–x7–3((–4 4)) Mengapakah 1n = 1
= —23 28–0 = —8116–xy–21– 28 bagi semua nilai n?
(g) —(36m— m2n—3n3) –3 (h ) —(2x—3y3—46)4x—1×0—y(132—xy2—)3 Bincangkan.

= —3 36m— m2(—33n)n1— 3(3 ) = —24 x—3(4—)y4—3(46)—x×10—3y31x—21(—3)y–2(–3)–

= 2—67mm—36n—n19 = —16—x12—3y616—x1×0—y2172—x3—y6

( ) = —92 m6 – 3 n9 – 1 = —16—3×6—27– x12 + 3 – 10y16 + 6 – 12

= —9 m3 n8 = 12x5 y10
2

UJI MINDA 1.2e

1. Ringkaskan setiap yang berikut.

(a) (2 × 34)2 (b) (113 × 95)3 (c) (133 ÷ 76)2 (d) (53 × 34)5

( ) ( ) (e) ( m3n4 p2) 5 (f) (2 w 2 x 3)4 ( g ) —–b3—4a 5– 6 (h ) —32ba–45– 3
2. Permudahkan setiap yang berikut.

( ) (a) —11—13 1×–2 4—2 2 (b ) —33—×64—( 62—)3 ( ) (c) —4623– 3 ÷ —6432– ( d) —((–(—–4)4—6))62—××—((––—55)22—)3

( e) —x2—yx6y—×2 —x3 (f) —(h(h—3kk2)—2) 4 (g) —((mm—52nn—37))2–3 ( h ) —((bb—22dd43—))23
3. Permudahkan setiap yang berikut.

( a) —(2m—2n1—42)m—3 7×n—1(23— m—n4)–2 (b) —(5x—y41—)52 x—×4y6—6x 1—0y (c) 2—(4dd—53ee—65) ×—× ((—36dd—e3e2–)43)–2 Saiz sebenar

13

B agaimanakah anda menentusahkan a0 = 1 dan a–n = a—1n ; a ≠ 0? STANDARD
PEMBELAJARAN
Menentusahkan a0 = 1
BAB 1 Cetusan Minda 4 dan a–n = –a1–n ; a ≠ 0.
Berkumpulan

Tujuan: Menentukan nilai bagi nombor atau sebutan algebra yang
mempunyai indeks sifar.

Langkah:
1. Teliti dan lengkapkan jadual di bawah.
2. Bincang dalam kumpulan berkaitan hasil dapatan anda.

Pembahagian dalam Penyelesaian Kesimpulan
bentuk indeks daripada
Hukum indeks Pendaraban berulang
penyelesaian

(a) 23 ÷ 23 23 – 3 = 20 —22 ×—× 22—××–22– = 1 20 = 1

(d) m5 ÷ m5 m5 – 5 = m0 —mm—×× —mm —×× mm—××—mm—××–mm–– = 1 m0 = 1

(c) 54 ÷ 54

(d) (–7)2 ÷ (–7)2

(e) n6 ÷ n6

Perbincangan:
1. Adakah dapatan kumpulan anda sama dengan kumpulan lain?
2. Apakah kesimpulan anda berkaitan indeks sifar?

Hasil daripada Cetusan Minda 4, didapati bahawa;
20 = 1
m0 = 1

Iaitu suatu nombor atau sebutan algebra yang mempunyai indeks sifar akan memberi nilai 1.

Secara generalisasi, a0 = 1 ; a ≠ 0

Ba gaimanakah anda menentusahkan a–n = –a–1n– ?

Cetusan Minda 5 Berkumpulan

T uju an : M enentusahkan a–n = —a1n .

Langkah:

Saiz seb1e. naTerliti dan lengkapkan jadual di sebelah.

14

Bab 1 Indeks

Pembahagian Penyelesaian Kesimpulan
dalam bentuk Pendaraban berulang daripada
indeks Hukum indeks BAB 1
penyelesaian
(a) 23 ÷ 25 23 – 5 = 2–2 —2 —× 22—××—22—×× 22––×––2 = –2–×1––2 = –21–2 2 –2 = 2–1–2
(b) m2 ÷ m5 m2 – 5 = m–3 –m––×—m—×m—m×—×m—m —× m— = —m —× m–1–×––m– = –m1–3 m –3 = –m–13–
(c) 32 ÷ 36

(d) (– 4)3 ÷ (– 4)7

(e) p4 ÷ p8

Perbincangan:
1. Adakah dapatan anda sama dengan kumpulan lain?
2. Apakah kesimpulan anda?

Hasil daripada Cetusan Minda 5, didapati bahawa; Imbas QR Code atau layari

http://youto.be/or-mJ85J2i8

2– 2 = 2—12 untuk menonton video
m – 3 = m—13
yang memerihal kaedah
a –n = –a1–n ; a ≠ 0
alternatif untuk a–1 = —a1n .
menentusahkan

Secara generalisasi, BULETIN
Contoh 11
Indeks negatif ialah suatu
1. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks positif. nombor atau sebutan
algebra yang mempunyai
(a) a –2 (b) x – 4 (c ) –8–1–5– indeks bernilai negatif.
(d) y–1––9 – (e) 2 m –3 (f) —53 n –8
TIP
( ) ( ) ( g) –23– –10 (h ) –xy– –7
♦ a –n = –a1–n

( ) ( )♦ ♦ a –nba – – n == –a–1––ba––n n

2. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks negatif. PERINGATAN
2a –n ≠ 2—1an–
(a) 3—14 (b) m—15 (c) 75

( ) ( ) (d ) n20 (e) –54– 8 (f) –mn– 15 BIJAK MINDA

3. Permudahkan setiap yang berikut. ( ) – —4 –6 = x y
(a) 3 2 × 34 ÷ 38 ( b) (—2(24—)82×—×3(—63)52—) 3 ( c) —(4x—(y22—x)23y—×)5x—5y
9

Berapakah nilai xSdaaniz sebenar
nilai y?

15

BAB 1 Penyelesaian:
1. ( a ) a –2 = a–12– ( b) x – 4 = –x1–4 (c) –8–1––5 = 85 (d ) –y–1–– 9 = y9

(e ) 2m–3 = –10 –7 –yx– 7

( ) ( ) ( ) ( ) = =
m­—23 (f ) —35 n– 8 = —53n– 8 ( g) –23– –32– 10 (h ) –xy–

2. ( a) 3— 14 = 3– 4 ( b) —m15 = m–5 (c) 75 = 7—1– 5 (d) n20 = n—–12– 0

( e) –4– 8=

( ) ( ) ( ) ( ) 5
–54– –8 (f ) –mn– 15= –mn– –15

3 . ( a ) 3= == 2—333×1 –2 22+3 44 –÷ 8 38 ( b) —(==2 2(—4—222)82818—–6—×××1×6—(3—33×3165–15)—)32 2315 – 1 2 ( c) == —( 41——x4—(6y22x2—x2—x)2 325y2y—x4—×+)15×55—xy—– 5x5y15—5y1y4 + 1 –T 5IP yy10 == y1
= 2–8 × 33 32

= —2383 = — 21 x–8 y0
= —21x–8

UJI MINDA 1.2f

1. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks positif.

(a) 5–3 (b) 8– 4 (c) x– 8 (d) y–16 (e) —a1– –4

( ) ( f) —201–– –2 (g ) 3n– 4 (h ) – 5n– 6 ( i) —72 m–5 ( j) – —38 m– 4



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ­ ( k) —25 –12 (l) – —37 –14 (m ) —yx –10 (n ) —32yx– – 4 (o ) —21x –5

2. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks negatif.

(a) —514 (b) —813 (c) m—17 (d) —n19 (e) 102

( ) ( ) (f) (– 4)3 ( g) m12 (h ) n16 (i ) — 47 9 (j ) —yx 10

3. Permudahkan setiap yang berikut.

( a) — (42(—)436—×)2 4–5 ( b ) —((22—3××—3342–))5–3 ( c) —(23—)(–52—2×)5–(5–4–)2

( d) — 3 m—2n9—4m×—3n(m5— n—3)––2 ( e ) —(2m—2n—2()9—–m3 —×3n()—32 m–n–2–)–4 ( f) (—2m—–2—(n4)m—5 2×—n(43)—2m–4n–)–2

Saiz sebenar

16

Bab 1 Indeks

Bagaimanakah anda menentu dan menyatakan hubungan STANDARD
antara indeks pecahan dengan punca kuasa dan kuasa? PEMBELAJARAN

Hubungan antara n√a dengan a—n1 Menentu dan menyatakan BAB 1
hubungan antara indeks
Di Tingkatan 1, anda telah belajar tentang kuasa dua dan punca kuasa dua pecahan dengan punca
serta kuasa tiga dan punca kuasa tiga. Tentukan nilai x bagi kuasa dan kuasa.

(a) x2 = 9 (b) x3 = 64 TIP
Penyelesaian:
♦ 9 = 32 ♦ 64 = 43

(a) x2 = 9 Punca kuasa dua (b) x3 = 64
digunakan untuk
Punca kuasa tiga
√x2 = √32 penghapusan kuas a dua. 3√x3 = 3√43 digunakan untuk
penghapusan kuasa tiga.
x = 3 x = 4

Tahukah anda, nilai bagi x dalam contoh (a) dan (b) di atas boleh ditentukan dengan indeks yang
dikuasakan dengan nilai salingannya?

(a) x2 = 9 Salingan bagi 2 (b) x3 = 64 BULETIN
x2(—12 )= 9— 21 ialah —21 . x3(—31 )= 64(—31 )
Salingan bagi —a1 merupakan salingan
x1 = 32 (—21 ) x1 = 43(—13 ) untuk a.
3 ialah —13 .
x = 3 x = 4 BIJAK MINDA

Daripada dua kaedah penyelesaian bagi menentukan nilai x pada Apakah penyelesaian
contoh di atas didapati bahawa; untuk √– 4 ? Bincangkan.

2√x = x–21
3√x = x–31

Secara generalisasi, n√a = a–1n ; a ≠ 0

Contoh 12
1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a—1n .

(a) 2√36 (b) 3√–27 (c) 5√m (d) 7√n

2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk n√a . (d) n1—12
(a) 125— 51 (b) 256— 81 (c) (–1 000)— 31

3. Hitung nilai setiap sebutan berikut.

(a) 5√–32 (b) 6√729 (c) 512— 13 (d) (–243)—51

Penyelesaian: (b) 3√–27 = (–27)— 13 (c) 5√m = m— 51 (d) 7√n = n—71
(b) 2568–1 = 8√256
1. (a) 2√36 = 36— 12 (c) (–1 000)—31 = 3√(–1 000) (d) n1—12 = 12√n Saiz sebenar
2. (a) 125—51 = 5√125



17

BAB 1 3. (a) 5√–32 = (–32)— 51 (b) 6√729 = 729—16 (c) 512 –13 = 83(–31) (d) (–243)—51 = (–3)5( —15 )

= (–2)5 (—15 ) = 36 (—61 ) = 81 = (–3)1
= 8 = –3
= (–2)1 = 31
TIP
= –2 =3
Anda boleh
UJI MINDA 1.2g menggunakan
kalkulator saintifik untuk
1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a–n1 . menyemak jawapan.

(a) 3√125 (b) 7√2 187 (c) 5√–1 024 (d) 10√n

2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk n√a. (d) n–11–5

(a) 4—21 (b) 32—15 (c) (–729)—13 (d) (–32 768)—15

3. Hitung nilai setiap sebutan berikut. (c) 262 144—61
(a) 3√343 (b) 5√–7 776

Apakah hubungan antara a—mn dengan (am)—n1 , (a—n1 )m, n√am dan (n√a)m?

Anda telah pelajari bahawa;

amn = (am)n dan n√a1 = a—1n

Daripada dua hukum di atas, kita boleh menukarkan a—mn kepada (am)—1n , (a—n1 )m, n√am dan (n√a)m.
Hitung nilai setiap yang berikut. Lengkapkan jadual seperti contoh (a).

a—mn (am)—n1 (a—n1 )m n√am (n√a)m
(3√64)2
(a) 64—23 (=64420)—9136(—13 ) (64—13 )2 3√642 = 42
= 163(—13 ) = 43(—31 )(2) = 3√4 096 = 16
= 42 = 16

= 16 = 16

(b) 16—34

(c) 243—25

Adakah jawapan anda untuk contoh (b) dan (c) sama dengan menggunakan kaedah yang berlainan?
Bincangkan.

Daripada aktiviti di atas, didapati bahawa;

a—mn = (am)—1n = (a—­n1 )m

Saiz sebenar a—mn = n√am = (n√a)m

18

Bab 1 Indeks

Contoh 13

1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk (am)–n1 dan (a–n1)m. BAB 1

(a) 81­—23 (b) 27—23 (c) h—35

2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk n√am dan (n√a)m.

(a) 343—32 (b) 4 096—65 (c) m—52

Penyelesaian:

1. (a) 81­—23 = (813)—12 (b) 27—32 = (272)—31 (c) h—53 = (h3)—51
h—35 = (h—51 )3
81—­ 23 = (81—12 )3 27—32 = (27—13 )2

2. (a) 343—32 = 3√3432 (b) 4 096—56 = 6√4 0965 (c) m—25 = 5√m2

343—32 = (3√343)2 4 096—56 = (6√ 4 096)5 m—25 = (5√m)2

UJI MINDA 1.2h

1. Lengkapkan jadual di bawah.

a—mn 729—56 121—32 w—37 ( ) ( )x—25—1861 —34 —hk —23

(am)—n1

(a—1n )m

n√ am

(n√ a )m

Contoh 14

1. Hitung nilai setiap sebutan berikut. (b) 16—54
(a) 9—25

Penyelesaian:

1. (a) 9—25 (b) 16—45

Ka edah 1 9—25 = (√9)5 = (3)5 = 243 Kae dah 1 16—54 = (4√16)5 = 25 = 32

K aed ah 2 9—25 = √95 = √59 049 = 243 Kaedah 2 16—54 = 4√165 = 4√1 048 576 = 32

Saiz sebenar

19

UJI MINDA 1.2i

BAB 1 1. Hitung nilai setiap yang berikut. (c) 128—27 (d) 256—83
(a) 27—23 (b) 32—25 (g) 1 296—34 (h) 49—23
(e) 64—34 (f) 1 024—25 (k) 2 197—23
(i) 2 401—41 (j) 121—23 (l) 10 000—43

2. Lengkapkan rajah berikut dengan nilai yang betul.

(a) �√ 6 561 � (b) 25�—3
5� 125�
27�—3 3�
243�—4 81 9� 125 625�—4
81� 3 125�—3

�√15 625�

Bagaimanakah anda melaksanakan operasi yang STANDARD
melibatkan hukum indeks? PEMBELAJARAN

Hukum Indeks Melaksanakan operasi yang
melibatkan hukum indeks.
am × an = am + n a0 = 1 a–n1– = n√a
am ÷ an = am – n a–n = —a1n a–mn– = am(—1n ) = (a—1n )m
(am)n = amn a–mn– = n√am = (n√a)m

Contoh 15

1. Permudahkan setiap yang berikut. ( c) ( —2h—)(28—×—31—(h1)6—–2h8—)—14–
(a) (—–3—x1)—03 8×—x4(2—yx33 —y––4–)2– ( b) —√m—(mn—–—341 —√×n(—3m)——n61 3)–—31–

Penyelesaian:

( a) —(–3—1x0)—38×x—4(y2—3x 3—y––4–)2– ( b) —√m—n—(—34m—×–1(—√mnn—33))—61–—31– ( c) (— 2h—)(28—×—31—(h1)6—–2h8—)—14–
—m—21—mn——–431×(—–61 )mn———2313 (—n–61 )3(–—31–)
= (— –3—)3x—31×—082—x24x—3y(32– )y—– 4–(2–) = = —22h—82—13×—(–12—)6h—(—41–h2)—8(—41–)


= —–2—71x0—38×x—44yx—36y—–8 = —m — 12— mn—–—34— 61—×nm——41 —31— n–1 = 2—2h—223 (×—–13) 2(—–42(—)—14 h)h(–—82()—14–)

( ) = —–21—70×8—4 x3 + 6 – 4 y – 8 – 3 == mm—121 n+—32—13 –(– –16)n —34 + 1 – —41 = 2—2h2—2– 2×—h2–—21h– 2
= mn—23
= –1 x5 y–11 = 22 + 1 – (–2) h2 + 2 – (–2)

Saiz se be n ar = – —yx15–1 = 25 h6
= 32 h6

20

Bab 1 Indeks

Contoh 16

1. Hitung nilai setiap yang berikut. ( b) —1(62——643 ×—×38—41)—–—21 — 41– (c) (—24—3—54—×—5——23 )–2 BAB 1
(a) ——49——12 ×—1—25—– —13—– 4√81 × √254
4√2 401 × 5√3 125
(c) (—24—3—54—×—5—32—)2
Penyelesaian: 4√81 × √254
= —248—31——1454—(2×—) ×2–55–—42—–32–(–2)–
(a) ——49——21 ×—1—25—– ——13 ( b) —16(—2—346—×× 83—14)–——21—14 – = —343(——415()——85×) ×—525–(—342–)
4√2 401 × 5√3 125
= —3318—×× 5—534
= —(77—24(—)21——41) ××—5(—53(5–)———1351 )– = —224—6(3—(—3421—))××—3344—2(–(—21—–14) –) = 38 – 1 × 53 – 4
= 37 × 5–1
= —7711—××—55–11– = —2233—××—33–2–1 = —357
= —2 1—87–

= 71–1 × 5–1 –1 = 23 – 3 × 3–1 – 2 5
= 43 7 —52
= 70 × 5–2 = 20 × 3–3
= 1 × —313
= 1 × —512 = —217
= —1
25

UJI MINDA 1.2j

1. Permudahkan setiap yang berikut.
(a) —3√—c2d(—c3–e—3d×—2ce—)13—2d 2—e—32– ( b) —(m—n(2m)—36×n—3()√——32m —n)–4 ( c) —√2—5√x33—y6zx—25y×—z48—x2z–

2. Hitung nilai setiap yang berikut.
(a) — √479—–×4—×121—11 4 (b) —((15—2–35×—×37—62)9——13 ××—644√—)1–6–—13 – (c) —4√2—5(26—6××—√3—742×—95×2—)3—23√—12—5

(d ) (—6 94—√)5—31—1×2—×(8—31√)——3434×—3 (×—14√–16–24–11– )–—14– (e) —(24—×—3166—)——3412 —××2—3√7—8—13 ×–—√8–1 (f) —64——23 ×—34√—21×—254√—×62—(25—× ——15 )––3

3. Diberi bahawa m = 2 dan n = –3. Hitung nilai bagi 64—m3 × 512(– —n1 ) ÷ 81—2nm . Saiz sebenar
4. Diberi bahawa a = —12 dan b = —23 . Hitung nilai bagi 144a ÷ 64b × 256—ba .

21

B agaimanakah anda boleh menyelesaikan masalah yang STANDARD
melibatkan hukum indeks? PEMBELAJARAN

BAB 1 Menyelesaikan masalah yang
melibatkan hukum indeks.

Contoh 17 IMBAS KEMBALI
Hitung nilai bagi √3 × 12—32 ÷ 6 tanpa menggunakan kalkulator.
Faktor perdana sepunya
6 dan 12 ialah 2 dan 3.

Memahami masalah Merancang strategi Melaksanakan strategi
Menghitung nilai bagi
nombor dalam bentuk Tukar setiap asas kepada √3 × 12—32 ÷ 6
indeks yang diberi dalam faktor perdana dan hitung = 3—12 × (2 × 2 × 3)—23 ÷ (2 × 3)
asas yang berlainan. nilai dengan mengaplikasi = 3—21 × 2—32 × 2—23 × 3—23 ÷ (21 × 31)
hukum indeks. = 3—21 + —23 – 1 × 2—23 + —23 – 1
Membuat kesimpulan = 31 × 22
√3 × 12—23 ÷ 6 = 12 = 12

Contoh 18 PERINGATAN
Hitung nilai x bagi persamaan 3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1.
♦ J ika am = an
Memahami masalah Merancang strategi maka, m = n
♦ J ika am = bm
Menghitung nilai Soalan ini merupakan satu maka, a = b
bagi pemboleh ubah persamaan. Maka, nilai di kiri
x yang merupakan persamaan akan sama dengan Semak Jawapan
sebahagian daripada nilai di kanan persamaan.
indeks. Tukarkan semua sebutan Anda boleh semak
kepada bentuk indeks dengan jawapan dengan
asas 3. menggantikan nilai x ke
dalam persamaan asal.
3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1

Kiri Kanan

Gantikan x = –2
pada bahagian kiri
persamaan

Melaksanakan strategi Membuat kesimpulan 3–2 × 9–2 + 5 ÷ 34

3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1 3x + 6 = 0 Jika 3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1, = 3–2 × 93 ÷ 34
maka, x = –2
3x × 32(x + 5) ÷ 34 = 30 3x = – 6 = 3–2 × 32(3) ÷ 34

3x + 2(x + 5) – 4 = 30 x = —–36– = 3–2 + 6 – 4
3x + 2x + 10 – 4 = 30
x = –2 = 30 Nilai yang
Saiz sebe nar 33x + 6 = 30 = 1 sama dengan
mam== an bahagian kanan
n persamaan.

22

Bab 1 Indeks

Contoh 19 Semak Jawapan
Hitung nilai-nilai x yang mungkin bagi persamaan 3x2 × 32x = 315.
Gantikan nilai-nilai x ke BAB 1
Memahami Merancang Melaksanakan strategi dalam persamaan asal.
masalah strategi 3x2 × 32x = 315
3x2 × 32x = 315 Jika am = an,
Menghitung Semua asas 3x2 + 2x = 315 maka, m = n. Kiri Kanan
nilai x yang yang terlibat
merupakan dalam Gantikan x = 3
sebahagian persamaan
daripada adalah sama. x2 + 2x = 15 Selesaikan Kiri: Kanan:
indeks. persamaan
kuadratik 3(3)2 × 32(3) 315
x2 + 2x – 15 = 0 dengan kaedah
= 39 × 36

(x – 3)(x + 5) = 0 pemfaktoran. = 39 + 6

x – 3 = 0 atau x + 5 = 0 = 315 Sama

x = 0 + 3 x = 0 – 5 Gantikan x = –5

Membuat kesimpulan x = 3 x = –5 Kiri: Kanan:

Nilai-nilai x yang mungkin 3(–5)2 × 32(–5) 315
bagi persamaan 3x2 × 32x= 315
ialah 3 dan –5. = 325 × 3–10

= 325 + (–10)

= 315 Sama

Contoh 20 IMBAS KEMBALI

Selesaikan persamaan serentak berikut. Persamaan linear
serentak dalam dua
2 5m × 5n = 58 dan 2m × —21n = 2 pemboleh ubah boleh
Penyelesaian: diselesaikan dengan
25m × 5n = 58 2m × —21n = 2 kaedah peggantian atau
52(m) × 5n = 58 kaedah penghapusan.

Semak Jawapan

52m + n = 58 2m × 2–n = 21 Gantikan m = 3 dan n = 2
ke dalam persamaan
2m + n = 8 1 2m + (–n) = 21 serentak yang asal.
m – n = 1 2
25m × 5n = 58
Persamaan 1 dan 2 boleh diselesaikan melalui kaedah penggantian.
Daripada 1 : Kiri Kanan
2m + n = 8
Kiri: Kanan:
n = 8 – 2m 3 25m × 5n
= 52(m) × 5n 58
= 52(3) × 52
= 56 + 2
= 58 Sama
Gantikan 3 ke dalam 2 Gantikan m = 3 ke dalam 1
m – n = 1 2m × —21n = 2
m – (8 – 2m) = 1 2m + n = 8 Anda juga
m – 8 + 2m = 1 2(3) + n = 8 boleh gantikan Kiri Kanan
m + 2m = 1 + 8 6 + n = 8 m = 3 ke dalam
3m = 9 persamaan 2 Kiri: Kanan:
m = —93 n = 8 – 6 atau 3 .
n = 2 == 2 m 22×33 ××—21 n2—21–2 2 2
= 23 + (–2)
Maka, m = 3 dan n = 2. = 21 Saiz sebenar
= 2
m = 3 Sama

23

Contoh 21

BAB 1 Persamaan

saya ialah
3(9x) = 27y.

Saya dapat persamaan
16(4x) = 16 y.

Nilai pemboleh ubah x dan
y boleh ditentukan jika anda
dapat menyelesaikan kedua-dua
persamaan tersebut.

Chong dan Navin menjalankan dua uji kaji untuk menentukan hubungan antara pemboleh ubah
x dan y. Persamaan yang diperoleh oleh Chong ialah 16(4x) = 16 y, sementara Navin mendapat
3(9x) = 27y sebagai dapatan uji kaji yang dijalankan. Hitung nilai x dan nilai y yang dapat memuaskan

kedua-dua uji kaji yang telah dijalankan oleh Chong dan Navin.

Penyelesaian:

16(4x) = 16y 1 3(9x) = 27y 2 Anda juga boleh
42(4x) = 42(y) 3(32x) = 33(y) gantikan y = 3
42 + x = 42y 31 + 2x = 33y dalam persamaan 2
atau 3 .
2 + x = 2y 1 + 2x = 3y

Persamaan 1 dan 2 boleh diselesaikan dengan Gantikan y = 3 dalam persamaan 1

kaedah penghapusan. Darabkan persamaan 1 1 : 2 + x = 2y
2 + x = 2(3)
dengan 2 untuk x = 6 – 2
1 × 2 : 4 + 2x = 4y 3 menyamakan nilai pekali x = 4
pemboleh ubah x.
2 : 1 + 2x = 3y Maka, x = 4, y = 3

3 – 2 :

3 + 0 = y

y = 3

Cabaran Dinamis

Uji Diri

1. Nyatakan sama ada operasi yang melibatkan hukum indeks berikut benar atau palsu. Jika
palsu, nyatakan jawapan yang betul.

(a) a5 = a × a × a × a × a (b) 52 = 10 (c) 30 = 0
(f) 2a– 4 = —21a–4
(d) (2x3)5 = 2x15 (e) m0n0 = 1 (i) (5m—41 )– 4 = 6—m25–

Saiz se ben(ga) r32—52 = (2√32)5 ( ) ( )(h) —mn–4 —mn 4

=

24

Bab 1 Indeks

2. Salin dan lengkapkan rajah di bawah dengan nilai yang sesuai.

5□ × 55 53(□) BAB 1

( ) —51□ 3 512 ÷ 5□

5—1□ 59 (√25)□

— 56 —5×25–□– ( ) —15 □
(5□)—23
(□√125)□

3. Salin dan lengkapkan rajah di bawah.

Operasi yang 20 as –3—1– 4 as ( ) —53 –2 as 72 × 5–3 as (5–1 × √25)3
melibatkan
hukum indeks
Nilai

Mahir Diri

1. Ringkaskan setiap yang berikut. (c) √xy × 3√xy2 × 6√xy5
(a) (m n4)3 ÷ m 4n5 (b) 3x × —1 y4 × (xy)3
6 (c) (256)—83 × 2–3
(f) (125)—32 × (25)– —32 ÷ (625)– —14
2. Hitung nilai setiap yang berikut.
(c) axa8 = 1
(a) 64—31 × 5–3 (b) 7–1 × 125—23 (f) 2x = —12610–x
(i) 25x ÷ 125 = —51x
(d) 24 × 16– —43 (e) √49 × 3–2 ÷ (√81)–1
Saiz sebenar
3. Hitung nilai x bagi setiap persamaan berikut.
25
(a) 26 ÷ 2x = 8 (b) 3– 4 × 81 = 3x

(d) 4 × 8x + 1 = 22x (e) (ax)2 × a5 = a3x


(g) 3 6 ÷ 3x = 8 1(x – 1) (h) (m2)x × m(x + 1) = m–2

Masteri Kendiri

BAB 1 1. Hitung nilai setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 4—31 × 50—32 × 10—53 (b) 5—52 × 20—32 ÷ 10–2 (c) 60—21 × 125—23 ÷ √15

2. Hitung nilai x bagi setiap persamaan berikut.

( a) 6 4x­—21 = 27x– — 25 (b) 3x—32 = —27 x– —34 (c) 25x– —23 – —5 x—13 = 0
4 3

3. Hitung nilai-nilai x yang mungkin bagi setiap persamaan berikut.

(a) ax2 ÷ a5x = a6 (b) 2x2 × 26x = 27 (c) 5x2 ÷ 53x = 625

4. Selesaikan persamaan serentak berikut. (b) 4(4x) = 8y + 2 dan 9x × 27y = 1
(a) 81(x + 1) × 9x = 35 dan 82x × 4(22y) = 128

5. Dalam satu eksperimen yang dijalankan oleh Susan,
didapati suhu sejenis logam meningkat daripada 25˚C
kepada T˚C mengikut persamaan T = 25(1.2)m apabila

logam tersebut dipanaskan selama m saat. Hitung beza

suhu di antara saat kelima dengan saat keenam, dalam

darjah Celsius terdekat.

6. Encik Azmi membeli sebuah kereta buatan tempatan

dengan harga RM55 000. Selepas 6 tahun Encik Azmi

ingin menjual kereta tersebut. Berdasarkan penerangan RM55 000

pihak pembeli kereta terpakai, harga kereta Encik Azmi

( )akan dihitung dengan formula RM55 000 —98 n Dalam

.

situasi ini, n ialah bilangan tahun yang dihitung selepas

sebuah kereta dibeli. Berapakah nilai pasaran kereta Encik

Azmi? Nyatakan jawapan anda dalam RM yang terdekat.

7. Puan Kiran Kaur menyimpan RM50 000 pada 1 Mac
2019 di sebuah bank tempatan dengan faedah 3.5%
setahun. Selepas t tahun, jumlah simpanan Puan Kiran
Kaur dalam RM ialah 50 000 (1.035)t. Hitung jumlah
simpanan pada 1 Mac 2025, jika Puan Kiran Kaur tidak
pernah mengeluarkan wang simpanannya.

Saiz sebenar

26

Bab 1 Indeks

P ROJ E K

Bahan: Kertas A4, gunting, pembaris panjang, pensel. BAB 1

Arahan: (a) Lakukan projek ini dalam kumpulan kecil.
(b) Gunting kertas A4 untuk menghasilkan kertas berbentuk segi empat sama.

(Sebesar yang mungkin)
Langkah:

1. Lukis paksi simetri (menegak dan mengufuk sahaja) seperti Rajah 1.

2. Hitung bilangan segi empat sama yang terbentuk. Tuliskan jawapan anda di dalam
ruangan yang disediakan pada Lembaran A.

3. Lukis paksi simetri menegak dan mengufuk bagi setiap segi empat sama seperti Rajah 2.

4. Hitung bilangan segi empat sama yang terbentuk. Tuliskan jawapan anda di dalam
Lembaran A.

5. Ulangi langkah 3 dan langkah 4 sebanyak yang mungkin. 8

11

2 7
2 6

3

Rajah 1 45
Rajah 2

6. Bandingkan dapatan anda dengan kumpulan lain. Imbas QR Code atau
7. Apakah yang anda boleh nyatakan tentang pola pada ruangan layari http://yakin-pelajar.
‘bentuk indeks’ dari Lembaran A? com/Bab%201/lemba-
8. Bincang pola yang anda kenal pasti. ran%20A/Bab%201%20
lembaran%20A.pdf
Lembaran A untuk memuat turun
Lembaran A.

Bilangan paksi Bentuk indeks Bilangan segi Bentuk indeks
simetri empat sama 20
– 22
0 21 1
2 4 Saiz sebenar
8 16

27

BAB 1 an Indeks PETA KONSEP 54 = 5 × 5 × 5 × 5
Asas m × m × m × m × m = m5
Indeks
an = a × a × a × … × a

n faktor

Pendaraban Pembahagian Kuasa
am × an = am + n am ÷ an = am – n (am)n = amn (am × an)p = amp × anp
(34)2= 38 (3a4)3 = 27a12
23 × 25 = 23 + 5 36 ÷ 34 = 36 – 4

Indeks pecahan Indeks negatif Indeks sifar
a 5 ––n3 == ­——a5113n ; a ≠ 0 a0 = 1 ; a ≠ 0
a—­ n1 = n√a 8–31 = 3√8 20 = 1
a—mn = (am)—n1 = (a—1n )m 8–32 = (82)–31 = (8–13)2 m0 = 1
a—mn = n√am = (n√a)m 8–32 = 3√82 = (3√8)2

IMBAS KENDIRI

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Mewakilkan pendaraban berulang dalam bentuk indeks dan menghuraikan maksudnya.

2. Menukar suatu nombor kepada nombor dalam bentuk indeks dan sebaliknya.

3. M enghubung kait pendaraban nombor dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
sama dengan pendaraban berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.

4. Menghubung kait pembahagian nombor dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
sama dengan pendaraban berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.

5. M enghubung kait nombor dalam bentuk indeks yang dikuasakan dengan pendaraban
berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.

6. Menentusahkan a0 = 1 dan a–n = —a1n ; a ≠ 0.

7. Menentu dan menyatakan hubungan antara indeks pecahan dengan punca kuasa dan kuasa.

8. Melaksanakan operasi yang melibatkan hukum indeks.

9. Menyelesaikan masalah yang melibatkan hukum indeks.

Saiz sebenar

28

Bab 1 Indeks

JELAJAH MATEMATIK

Adakah anda masih ingat tentang Segi Tiga Pascal yang dipelajari dalam bab Pola dan Jujukan BAB 1
di Tingkatan 2?

Segi Tiga Pascal yang dicipta oleh Blaise Pascal, seorang ahli matematik Perancis mempunyai
banyak keunikan. Mari kita jelajah dua keunikan yang terdapat dalam Segi Tiga Pascal.

Aktiviti 1 Hasil Bentuk
tambah indeks
1
11 1 20
121 2 21
4 22

1331

14641

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Arahan: Lembaran 1 Lembaran 1(a)

1. Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.

2. Bina satu Segi Tiga Pascal seperti di Lembaran 1.

3. Hitung hasil tambah nombor-nombor pada setiap baris. Tuliskan hasil tambah tersebut

dalam tatatanda indeks dengan asas 2.

4. Lengkapkan Lembaran 1(a). Bincang dengan rakan anda tentang pola jawapan yang wujud.

5. Kemukakan ulasan anda. TIP

Aktiviti 2 Nilai 115 = 161 051
11n 1 1 5 10 10 5 1
110 11
111 121 1 +1 1—+11
112 11
113 1 331 161051
114
115 121
116 1331
117 14641
118 1 5 10 10 5 1
119 1 6 15 20 15 6 1
1110 1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Lembaran 2(a) Lembaran 2

Arahan:

1. Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan kecil.

2. Bina satu Segi Tiga Pascal seperti di Lembaran 2.

3. Perhatikan nombor pada setiap baris. Ia merupakan nilai indeks asas 11.

4. Lengkapkan lembaran 2(a) dengan nilai indeks asas 11 tanpa menggunakan kalkulator.
Saiz sebenar
5. Bentang hasil dapatan kumpulan anda.

6. Adakah jawapan anda sama dengan kumpulan lain?

29