Matematik Tingkatan 3 - cutted5

BAB Nisbah

5 Trigonometri

Apakah yang akan anda pelajari?

5.1 S inus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut
Tirus dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

Kenapa Belajar Bab Ini?

• Nisbah trigonometri membolehkan masalah
berkaitan panjang, tinggi dan sudut dapat
ditentukan dengan menggunakan segi tiga
bersudut tegak.
• Konsep trigonometri digunakan dalam bidang
pelayaran, penerbangan, kejuruteraan, astronomi,
pembinaan dan sebagainya.

Sungai merupakan sumber utama air untuk
kegunaan domestik kepada manusia.
Kelebaran sungai di kawasan tertentu dapat
dihitung dengan menggunakan konsep trigonometri.
Sudut dari kedudukan juru ukur ke pokok yang
menjadi tanda rujukan pada titik R seperti pada rajah
di bawah boleh diketahui dengan menggunakan
tiodolit, alat mengukur sudut jarak jauh. Jika
panjang PQ dan sudut PQR diketahui, maka
kelebaran sungai, PR boleh dihitung dengan mudah
melalui kaedah trigonometri.

R
Qθ P

Saiz sebenar

106

Eksplorasi Zaman

Al-Battani atau Muhammad Ibn Jabir Ibn SinanAbu
Abdullah ialah bapa trigonometri. Beliau dilahirkan
di Battan, Damsyik. Beliau merupakan putera Arab
dan juga pemerintah Syria. Al-Battani diiktiraf
sebagai ahli astronomi dan matematik Islam yang
tersohor. Al-Battani mendapat pendidikan awal
daripada bapanya sendiri Jabir Ibn San’an yang
juga merupakan seorang saintis yang terkenal pada
zamannya. Beliau berjaya meletakkan trigonometri
pada tahap yang tinggi dan merupakan orang
pertama yang menghasilkan jadual cotangents.

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%205/

GERBANG K A T A

• darjah • degree
• hipotenus • hypotenuse
• kosinus • cosine
• sinus • sine
• tangen • tangent
• teorem Pythagoras • Pythagoras theorem

Saiz sebenar

107

5.1 S inus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus
dalam Segi Tiga Bersudut Tegak

B agaimanakah anda mengenal pasti sisi bertentangan, STANDARD
sisi bersebelahan dan hipotenus? PEMBELAJARAN

Tahukah anda bagaimana ketinggian suatu Mengenal pasti sisi
objek yang sukar diukur seperti bangunan bertentangan dan sisi
dan gunung dihitung? bersebelahan berdasarkan
suatu sudut tirus dalam
segi tiga bersudut tegak.

Misalnya dalam rajah di sebelah, jika t
jarak, s dan sudut dongak diketahui maka,

ketinggian, t bangunan tersebut boleh Sudut dongak
dihitung dengan menggunakan konsep
trigonometri.

Jarak, s

BAB 5 Rajah di sebelah menunjukkan suatu segi tiga bersudut tegak PQR. P R
Sebagaimana yang telah anda pelajari dalam bab Teorem Phytagoras di Q
Tingkatan 1, sisi PR dikenali sebagai hipotenus, iaitu sisi terpanjang
dalam segi tiga bersudut tegak PQR. Adakah dua sisi lain iaitu sisi PQ
dan sisi QR juga mempunyai nama khas seperti sisi terpanjang, PR?

Teliti Rajah 1 dan Rajah 2 di bawah.

P hipotenus P hipotenus TIP
sisi y
bertentangan Sudut tirus
sisi 0° ˂ θ ˂ 90°
bersebelahan

x R Q sisi bertentangan R TIP
Q sisi bersebelahan Rajah 2
y
Rajah 1

Berdasarkan ∠PRQ dalam Rajah 1, sisi QR dikenali sebagai sisi x
bersebelahan manakala sisi PQ dikenali sebagai sisi bertentangan.
x + y = 90°
Berdasarkan ∠QPR dalam Rajah 2, sisi PQ ialah sisi bersebelahan ∠ x dan ∠ y ialah
dan sisi QR ialah sisi bertentangan. sudut tirus

Perhatikan juga dalam kedua-dua Rajah 1 dan Rajah 2 hipotenus PR adalah tetap kedudukannya
iaitu bertentangan dengan sudut 90°.

Bagi suatu segi tiga bersudut tegak;

(a) hipotenus ialah sisi terpanjang yang bertentangan dengan sudut 90°.

Saiz se be(bn)a r sisi bersebelahan dan sisi bertentangan berubah mengikut kedudukan sudut tirus yang

dirujuk.

108

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Contoh 1

Kenal pasti sisi bertentangan, sisi bersebelahan dan hipotenus berdasarkan sudut yang diberi

dalam jadual di bawah untuk semua segi tiga bersudut tegak berikut. S
(a) B C (b) M (c)

K
T

A L

Penyelesaian: PQ R
Segi tiga
∆ABC Sudut Hipotenus Sisi bertentangan Sisi bersebelahan
∠BAC AC BC AB
∆KLM ∠BCA AC AB BC
∆PQT ∠LKM KM LM KL
∆RQS ∠LMK KM KL LM
∠TPQ PT QT PQ
∠QRS RS QS QR

UJI MINDA 5.1a BAB 5

1. Berdasarkan segi tiga bersudut tegak di bawah, salin dan lengkapkan jadual yang diberi.

E
PD

KN

FE

Q RM GA B C

Segi tiga Sudut Hipotenus Sisi bertentangan Sisi bersebelahan
∆PQR ∠QPR
∆KMN ∠PRQ Saiz sebenar
∆EFG ∠MNK
∆ABE ∠MKN 109
∆CBD ∠FEG
∠EGF
∠BAE
∠AEB
∠BCD
∠BDC

Apakah hubungan antara sudut tirus dengan nisbah sisi STANDARD
segi tiga bersudut tegak? PEMBELAJARAN

Cetusan Minda 1 Membuat dan
Berkumpulan menentusahkan konjektur
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara sudut tirus dengan nisbah tentang hubungan antara
sisi segi tiga bersudut tegak. sudut tirus dan nisbah
sisi segi tiga bersudut
Bahan: Kertas grid segi empat sama, pembaris dan pensel. tegak, dan seterusnya
mentakrifkan sinus,
Langkah: kosinus dan tangen.

1. Lukis segi tiga bersudut tegak PQR, dengan panjang PQ
ialah 16 unit dan panjang QR ialah 12 unit.

2. Lukiskan beberapa garis lurus yang selari dengan RQ. Labelkan sebagai R1 Q1, R2 Q2
dan R3 Q3 seperti pada rajah di bawah.

R

R3 TIP
R2
R1 Guna Teorem Phytagoras

untuk menentukan PR3
PR1, PR2,
panjang
dan PR.

BAB 5 P Q1 Q2 Q3 Q

3. Lengkapkan jadual di bawah dengan ukuran yang dikehendaki.

Sudut Tirus —Sis—iHb—eipr—otetn—enta—unsg—an– —Sis—iHb—iepr—osete—bneu—lash—an– —SSiiss—ii bb—eerr—tseen—btea—lanhg—aann–
∠QPR
— RP1RQ—11 = —35 —PPQR—11 = —45 R—P1QQ—11 = —43
R —P2RQ—22 = R —P2QQ—22 =
R— P3RQ—33 = — PPQR—22 = —R P3QQ—33 =
— RPQR– = — PRQQ– =
— PP QR—33 =

— PPQR– =



Perbincangan:

1. Apakah pola jawapan anda untuk nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus,
nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus dan nisbah panjang sisi bertentangan
kepada panjang sisi bersebelahan?

2. Apakah yang berlaku sekiranya saiz sudut diubah? Berikan justifikasi anda.

Saiz sebenar

110

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

Bagi suatu sudut tirus yang ditetapkan dalam pelbagai saiz segi tiga bersudut tegak;
(a) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
(b) Nisbah panjang sisi bersebelahan kepada hipotenus ialah suatu nilai pemalar.
(c) Nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan ialah suatu nilai pemalar.

Hubungan nisbah yang didapati daripada Cetusan minda 1 ialah PERINGATAN
nisbah trigonometri yang dikenali sebagai sinus, kosinus dan
tangen iaitu: ♦ sin = sinus
♦ kos = kosinus
s inus = —pa—nja—ng—hsii—psoi—tbeen—rutes—nta—ng—an– ♦ tan = tangen

kosin us = —pa—nja—ng—hsii—psoi —tbeen—russe—be—lah—an– BULETIN

tangen = —pa—nja—ng—si—si—be—rte—nta—ng—an– Trigonometri berasal
panjang sisi bersebelahan dari bahasa Yunani iaitu,
Trigonon = tiga sudut
Metron = mengukur

Contoh 2

Lengkapkan jadual berdasarkan rajah di sebelah. R BAB 5

sin x kos x tan x sin y kos y tan y y

Penyelesaian: Q x

sin x kos x tan x sin y kos y P

—QPRR– —PPQR– —QPQR– —PPQR– —QPRR– tan y
—QPQR–
UJI MINDA 5.1b
Q
1. Lengkapkan jadual berdasarkan segi tiga bersudut tegak di bawah.
yy
Dx E K SR
L y
tan y
Segi tiga y kos x x x
∆DEF F M P Saiz sebenar
∆KLM
∆PQR sin x tan x sin y kos y 111

Apakah kesan perubahan saiz sudut terhadap nilai sinus, STANDARD
kosinus dan tangen? PEMBELAJARAN

Cetusan Minda 2 Berpasangan Membuat dan
menentusahkan konjektur
Tujuan: Mengenal pasti kesan perubahan saiz sudut terhadap nilai tentang kesan perubahan
sinus, kosinus dan tangen. saiz sudut terhadap nilai
sinus, kosinus dan tangen.

Bahan: Kertas grid, pembaris, protraktor dan pensel.

Langkah:

1. Lukis empat segi tiga bersudut tegak seperti di bawah dengan panjang tapak ialah 10 cm.

2. Pastikan ukuran sudut dan panjang semua segi tiga bersudut tegak adalah tepat seperti

yang diberi. R3

R1 R2 50°
60°
R 70°

80°

P 10° Q P1 20° Q1 P2 30° Q2 P3 40° Q3
10 cm 10 cm 10 cm 10 cm

BAB 5 3. Lengkapkan jadual di bawah.

sin 10° sin 20° sin 30° sin 40° sin 50° sin 60° sin 70° sin 80°

—RPQR– —PPQR–
= —110.—8.2 = —1100—.2
= 0.1765 = 0.9804

kos 10° kos 20° kos 30° kos 40° kos 50° kos 60° kos 70° kos 80°

—PPRQ– —PRQR–
= 1—100.–2 = 1—10..8–2
= 0.9804 = 0.1765

tan 10° tan 20° tan 30° tan 40° tan 50° tan 60° tan 70° tan 80°

—RPQQ– —RPQQ–
= —11.08– = —11.08–
= 5.5556
Saiz sebena=r 0.1800

112

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Perbincangan:
1. Berdasarkan jadual nilai bagi nisbah trigonometri yang telah anda lengkapkan, apakah

kesimpulan yang anda boleh buat?

2. Apakah konjektur anda bagi
(a) nilai nisbah sinus yang menghampiri 0° dan 90°?
(b) nilai nisbah kosinus yang menghampiri 0° dan 90°?
(c) nilai nisbah tangen yang menghampiri 0° dan 90°?

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa; TIP

Semakin besar saiz sudut tirus sin 0° = 0 sin 90° = 1
(a) semakin besar nilai sinus dan nilainya menghampiri 1. kos 0° = 1 kos 90° = 0
(b) semakin kecil nilai kosinus dan nilainya menghampiri tan 0° = 0 tan 90° = ∞

sifar.
(c) semakin besar nilai tangen.

Contoh 3 BAB 5

Rajah di sebelah menunjukkan dua segi tiga bersudut tegak. 3 cm 5 cm 1.5 cm 2.5 cm
Tentukan sama ada semua nisbah trigonometri bagi sudut x
dan sudut y bernilai sama atau tidak. Nyatakan alasan untuk x y
jawapan anda. 4 cm 2 cm

Penyelesaian:

s in x = —35 k os x = —54 tan x = —43
sin y = —21..55– = —35 k os y = —22.5– = —45 tan y = 1—2.5 – = —34

Nisbah trigonometri bagi sudut x dan sudut y adalah sama kerana panjang setiap sisi untuk
kedua-dua rajah adalah berkadaran.

UJI MINDA 5.1c

1. Rajah di sebelah menunjukkan dua segi tiga bersudut tegak. 9 cm 15 cm 3 cm 5 cm
x y
Tentukan sama ada semua nisbah trigonometri bagi sudut x
dan sudut y bernilai sama atau tidak. Nyatakan alasan untuk 12 cm 4 cm
jawapan anda.
Saiz sebenar

113

2. Rajah di sebelah menunjukkan suatu segi tiga bersudut tegak. S

(a) Tentukan nisbah trigonometri bagi 2.1 cm
R
i. sin 15° ii. kos 15° iii. tan 15° 1.9 cm
iv. sin 30° v. kos 30° vi. tan 30° Q

(b) Adakah pertambahan nilai nisbah trigonometri bagi sudut 151°5°

15° dan sudut 30° berkadaran dengan pertambahan nilai 7 cm

sudutnya? P

Bagaimanakah anda menentukan nilai sinus, kosinus STANDARD
dan tangen suatu sudut tirus? PEMBELAJARAN

Contoh 4 Menentukan nilai sinus,
kosinus dan tangen suatu
sudut tirus.

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQR. Hitung nilai Q 15 cm P
(a) panjang PR (b) sin ∠PRQ (c) kos ∠PRQ (d) tan ∠QPR 8 cm

Penyelesaian:

(a) panjang PR (b) sin ∠PRQ (c) kos ∠PRQ (d) tan ∠QPR R
= 1—87 = 1—85
BAB 5 PR = √152 + 82 = 11—75 IMBAS KEMBALI
= √289
Teorem Pythagoras
= 17 cm
bc c2 = a2 + b2
a2 = c2 – b2

Contoh 5 a b2 = c2 – a2

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQT dan S
RQS. PQR ialah garis lurus. Diberi bahawa panjang SQ ialah 6 cm. T 10 cm
Hitung nilai

(a) panjang QR (b) panjang PT (c) sin ∠QRS

(d) kos ∠TPQ (e) tan ∠PTQ (f) tan ∠QSR

Penyelesaian:

(a) panjang QR (b) panjang PT (c) sin ∠QRS P 4 cm Q R

QR = √102 – 62 PT = √42 + 32 = —6
= √64 = √25 10
= —35
= 8 cm = 5 cm

(d) kos ∠TPQ (e) tan ∠PTQ (f) tan ∠QSR PERINGATAN
= —43 = —68
Saiz se be n =a—54r = —34 Nilai nisbah harus diberi
dalam sebutan terendah.

114

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Apakah hubungan antara sinus, kosinus dan tangen?

Bagi suatu segi tiga bersudut tegak, anda ketahui bahawa;

sinus = —sis—ihb—iepr—oteten—ntau–ns—g a–n– , kosinus = —sis—i hb—iepr—osteeb—neul–as— ha–n– da n tangen = —ssii—ssii b—beerr—stee—nbtea–lna—ghaa–nn–

Tahukah anda ketiga-tiga nisbah trigonometri di atas berkaitan antara satu sama lain? Tangen
ialah nisbah sinus kepada kosinus.

Teliti rajah di bawah.

Diketahui, —1y (c) tan θ =
xR 1 ( a) sxin= θsi=n θ—1x ( b) kyo=s kθo=s θ —xy

θ Maka, SUDUT DISKUSI

P y Q t an θ = —sin—θ– Jika θ ialah ∠QRP, adakah
n isbah tan θ –ks–oi–ns–θθ–?
kos θ Bincangkan. masih

Contoh 6

Jika nilai sin θ = 0.6 dan kos θ = 0.8, hitung nilai tan θ. KUI Z BAB 5

Penyelesaian: tan θ = —12 ,
Jika
tan θ = —ksoin—s θθ–

nyatakan nilai sin θ dan
kos θ yang mungkin.

= —00..—68

= —43
BIJAK MINDA
= 0.75 Diberi sin θ = x.
Tentukan kos θ dan
Contoh 7 tan θ yang mungkin.

Jika nilai sin θ = —38 dan nilai tan θ = —√35—5 , hitung nilai kos θ.
P eny elesaian:

t an θ = —ksion—s θθ–
—√ 53—5 = —ko—–83s θ–
SUDUT DISKUSI
k os θ = —–83— Jika tan θ = 1, apakah
—3–
jenis segi tiga yang
√ 55 diwakili oleh sudut θ
tersebut?
kos θ = —√85—5
Saiz sebenar

115

Contoh 8

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQR. Q
Diberi bahawa PR = 20 cm dan sin QPR = —35 . Hitung
(a) panjang QR R

(b) kos ∠QPR

Penyelesaian: P 20 cm

(a) sin ∠QPR = —35 (b) PQ = √ 202 – 122
—QPRR– = —53 = √ 256
BIJAK MINDA
PQ = 16 cm
D iberi sin θ = —35
—Q20R– = —35 Maka, kos ∠QPR = –PP—QR dan panjang hipotenus
ialah 20 cm. Tentukan
Q R = 3—(2—0) = 21—06 kos θ dan tan θ.
5 = —54
QR = 12 cm

Contoh 9

BAB 5 Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PQT dan S 26 cm
RQS. Diberi bahawa PQR dan STQ ialah garis lurus. Hitung nilai
kos x. = x
R
Penyelesaian: 13 cm T

k os x = —RSQR– Tentukan nilai RQ P 12 cm =
terlebih dahulu
Q

TQ = √132 – 122 ; SQ = 2TQ ; RQ = √262 – 102

= √25 = 2(5) = √576 SUDUT DISKUSI

TQ = 5 cm SQ = 10 cm = 24 cm Diberi hipotenus suatu
segi tiga bersudut tegak
M aka, kos x = —RQ– ialah √8 cm. Tentukan
SR tan θ jika kos θ = —√12– .
= —24
26
= —1132

Contoh 10 S

Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PRS. Diberi =
bahawa PQR ialah garis lurus dan kos 60° = 0.5. Hitung panjang PS.
Nyatakan jawapan betul kepada dua tempat perpuluhan.

Saiz sebenar P 30° = Q R
10 cm

116

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Memahami masalah Melaksanakan strategi
Menghitung panjang PS iaitu
hipotenus bagi ∆PRS. • ∠QSP = ∠QPS = 30°

Merancang strategi maka, ∠PQS = 180 – 30° – 30° = 120°
• PS = √PR2 + SR2
• SR dan QR boleh dihitung jika • ∠SQR = 180° – ∠PQS

∠SQR atau ∠QSR diketahui. ∠SQR = 180° – 120° = 60°
• Mengenal pasti kedudukan kos
• Diberi bahawa kos 60° = 0.5
60°.
Kos 60° = —21 SR = √102 – 52 = √75 cm
Membuat kesimpulan
PS = 17.32 cm (2 t.p.) —Q10R– = —12 Maka,
QR = 1—02–(–1–) PS = √SR2 + PR2
PS = √(√75)2 + 152

= 5 cm PS = 17.32 cm

UJI MINDA 5.1d IMBAS KEMBALI

1. Hitung nilai sin θ, kos θ dan tan θ bagi setiap segi tiga bersudut Trirangkap Pythagoras BAB 5
tegak berikut. ABC
345
(a) (b) 7 m (c) 5 12 13
6 8 10
15 cm q 8 15 17
7 24 25
39 cm 25 m 24 m 15 m 17 m 9 40 41

q q
36 cm 8m

(d) (e) (f)

q 1.6 cm 3 cm q
26 mm q 0.8 m

10 mm 0.6 m

2. Hitung nilai x tanpa melukis sebarang segi tiga bersudut tegak atau menggunakan teorem
Pythagoras atau dengan menggunakan kalkulator.

(a) sin θ = —12 , kos θ = —√23– , tan θ = x (b) sin θ = √—12, kos θ = x, tan θ = 1


(c) sin θ = x, kos θ = —58 , tan θ = —√53–9– (d) sin θ = —97 , kos θ = x, tan θ = 4—√7– 2 Saiz sebenar


117

3. Tentukan panjang sisi q untuk setiap segi tiga bersudut tegak berikut.

(a) sin ∠QRP = —1 (b) sin ∠LKM = —7 (c ) sin ∠ACB = —2
3 8 5
P Lq
9m M Aq C
F
q
S
24 m 10 mm x

QR I

KB

4. Tentukan panjang sisi z untuk setiap segi tiga bersudut tegak berikut.

(a) kos ∠SRT = —57 (b) kos ∠HJI = —38 (c) kos ∠DFE = 0.4

S H D
z 40 cm z
R

14 cm J E 12 mm
T z
I

5. Hitung nilai x bagi setiap segi tiga bersudut tegak berikut.

(a) tan ∠BAC = 0.9 (b) tan ∠PRQ = —43 (c) tan ∠LKM = 1—30

BAB 5 A 20 cm B P K

x

x 12 cm L
x
30 mm
Q
C

RM

6. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak P
PQR dan PRS. Diberi bahawa tan θ = —34 dan PS = —35 PR.
Hitung panjang, dalam cm, θq

(a) PR

(b) RS

Q 9 cm R

7. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak DFE x E
F
dan EHI. Jika tan x = —75 , panjang DF = 21 cm dan nisbah
panjang E F : EH = 1 : 2, tentukan panjang EI dalam cm.

D

Saiz sebenar H

118

Bab 5 Nisbah Trigonometri

B agaimanakah anda menentukan nilai sinus, kosinus dan STANDARD
tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan kalkulator? PEMBELAJARAN

S SK Menentukan nilai sinus,
kosinus dan tangen sudut
2 unit 2 unit 30º° 2 1 √2 30°, 45° dan 60° tanpa
– √3 menggunakan kalkulator.

TIP

QS = √22 – 12
QS = √3
KM = √12 + 12
KM = √2
60º 6600°º– 60° 45°
P 1 unit Q 1 unit R Q 1R L 1M
BAB 5
Rajah 1(a) Rajah 1(b) Rajah 2

Rajah 1(b) di atas merupakan separuh daripada segi tiga sama sisi PRS dengan panjang sisi PQR
ialah 2 unit. Rajah 2 menunjukkan segi tiga sama kaki KLM.

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi nisbah trigonometri bagi sudut 30°, 45° dan 60°
yang boleh dihitung tanpa menggunakan kalkulator, berdasarkan Rajah 1(b) dan Rajah 2.

Sudut 30° 60° 45° BULETIN
Nisbah
sin θ 2–1 √—23 √—12 S urd ialah nombor tak
12– —1 nisbah dalam bentuk
kos θ √—23 √2 punca kuasa seperti √2,
tan θ √—13 √3 1 √3 dan √17. √3 dibaca
sebagai surd tiga.

Contoh 11

Hitung nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) sin 45° + kos 45° (b) 3 kos 30° – 2 sin 60° (c) 2 tan 45° – 2 kos 60°

(d) (2 sin 60°)(4kos 30°) – 4 tan 60° (e) (3 tan 30°)(4 sin 60°) + 4 sin 45°

Penyelesaian:

(a) sin 45° + kos 45° (b) 3 kos 30° – 2 sin 60° (c) 2 tan 45° – 2 kos 60°

= —1 + —1 —2 × √—2 ( ) ( ) = 3 √—23 – 2 √—23 ( ) = 2(1) – 2 —21
√2 √2 √2 √2
= —2 = 2—√2–2 = —3√2– 3 – 2–√2–3– =2–1
√2 = √2
= √2 = —√23– =1

(d) (2 sin 60°)(4kos 30°) – 4 tan 60° (e) (3 tan 30°)(4 sin 60°) + 4 sin 45°

( )( )( ) = 2 √—23 4 √—23 – 4√3 ( )( )( ) ( ) = 3 √—13 4 √—23 + 4 √—12

= (√3)(2)(√3) – 4√3 = —6 + —4 = —4 × √—2 TIP
= 2(3) – 4√3 1 √2 √2 √2
= 6 – 4√3 = 6 + 2√2 √2 × √2 = √2 × 2
= 4—√2–2 = √4
= 2√2 =2

Saiz sebenar

119

UJI MINDA 5.1e

1. Tentukan nilai-nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 2 kos 60° + tan 45° (b) 3 kos 60° + 2 tan 45° (c) 2 tan 45° + kos 60°

(d) 3 sin 30° – 2 kos 60° (e) 2 sin 30° – 3 kos 60° (f) 4 tan 45° – 2 kos 60°

(g) (2 sin 60°)(3 kos 60°) + 3 tan 30° (h) (3 tan 45°)(4 sin 60°) – (2 kos 30°)(3 sin 30°)

(i) 4 tan 45° + (2 sin 45°)(6 kos 45°) (j) (5 tan 60°)(2 sin 60°) – (3 sin 45°)(4 kos 45°)

Apakah unit ukuran bagi sudut?

Sudut diukur dalam unit darjah ( ° ). Sudut juga boleh dinyatakan dalam unit darjah ( ° ),
minit ( ' ) dan saat ( '' ) iaitu,

1° = 60'
1' = 60''

Contoh 12

(a) Tukarkan 30.2° kepada unit darjah dan minit. (b) Tukarkan nilai sudut 43° 30' kepada

Penyelesaian: darjah.

(a) 30.2° = 30° + 0.2° (b) 43° 30' = 43° + 30'



( )


BAB 5 = 30° 1++21('02.'2 × 60)' == 4433°° ++ 0—.63500°– °
= 30°
= 30°

= 43.5°

UJI MINDA 5.1f

1. Tukarkan setiap sudut berikut dalam unit darjah dan minit.

(a) 37.80° (b) 74.6° (c) 58.1° (d) 60.2°
(h) 72.3°
(e) 41.5° (f) 16.9° (g) 5.4°
(d) 69° 24'
2. Nyatakan setiap nilai sudut berikut dalam unit darjah. (h) 20° 18'

(a) 65° 54' (b) 47° 42' (c) 18° 12'

(e) 70° 6' (f) 36° 36' (g) 35° 30'

Bagaimanakah anda menentukan nilai sinus, kosinus STANDARD
dan tangen? PEMBELAJARAN

Tahukah anda kalkulator saintifik boleh digunakan untuk menentukan Melakukan pengiraan
nilai suatu sudut bagi nisbah trigonometri? yang melibatkan sinus,
kosinus dan tangen.

Contoh 13

Saiz seGbuennakaarn kalkulator saintifik untuk menentukan nilai-nilai berikut kepada empat tempat perpuluhan.
(a) sin 45° 6' (b) kos 20.7° (c) tan 64° 12'

120

Penyelesaian: Bab 5 Nisbah Trigonometri

(a) sin 45° 6' = 0.7083 BULETIN

PINTAR JARI 1,234567.89 sin 4 5 °' '' 6 °' '' = 0.7083398377 Butang °' '' hanya perlu
7 8 9÷ ditekan apabila soalan
4 5 6x diberikan dalam unit
1 2 3- darjah dan minit.
AC 0 . +

(b) kos 20.7° = 0.9354

kos 2 0 7 = 0.9354440308
PINTAR JARI 1,234567.89 ∙
7 8 9÷
4 5 6x
1 2 3-
AC 0 . +

(c) tan 64° 12' = 2.0686

PINTAR JARI 1,234567.89 tan 6 4 °' '' 12 °' '' = 2.068599355
7 8 9÷
4 5 6x
1 2 3-
AC 0 . +

UJI MINDA 5.1g BAB 5

1. Gunakan kalkulator saintifik untuk menentukan nilai setiap berikut kepada empat tempat
perpuluhan.

(a) sin 44° (b) kos 73.5° (c) tan 69.5° (d) sin 51° 24' (e) kos 30° 21' (f) tan 56° 24'

Bagaimanakah anda mengira saiz sudut dengan menggunakan nisbah trigonometri sinus,
kosinus dan tangen?

Jika nilai nisbah trigonometri diberi, anda boleh menggunakan kalkulator saintifik untuk
menentukan saiz sudut yang berkaitan.

Contoh 14

Gunakan kalkulator saintifik untuk mengira nilai-nilai x berikut.

(a) sin x = 0.8377 (b) kos x = 0.7021 (c) tan x = 2.4876 PERINGATAN

Penyelesaian: Jawapan dalam unit darjah. Jika unit saat bernilai 30"
(a) sin x = 0.8377 Jawapan dalam unit darjah dan minit. atau lebih, unit minit akan
x = sin–1 0.8377 ditambah 1'.
x = 56. 9°
x = 56° 54'

1,234567.89
7 8 9÷

PINTAR JARI °' '' ° ' ''4 5 6 x
1 2 3- shift sin 0 . 8 3 7 7 = 56.89803635 56 53 52.93
AC 0 . +

52.93'' menunjukkan nilai dalam unit saat. Ikuti langkah-langkah }
berikut untuk membundarkan jawapan kepada unit minit terdekat.

56° 53' 52.93''
+1 > 30

= 56° 54'

Saiz sebenar

121

(b) kos x = 0.7021
x = kos–1 0.7021

x = 45.4°

x = 45° 24'

PINTAR JARI °' '' ° ' ''1,234567.89
7 8 9÷
4 5 6x
1 2 3- shift kos 0 . 7 0 2 1 = 45.40426895 45 24 15.37
AC 0 . +

(c) tan x = 2.4876
x = tan–1 2.4876

x = 68.1°

x = 68° 6'

PINTAR JARI °' '' ° ' ''1,234567.89
7 8 9÷
4 5 6x
1 2 3- shift tan 2 . 4 8 7 6 = 68.10017426 68 6 0.63
AC 0 . +

UJI MINDA 5.1h

1. Dengan menggunakan kalkulator saintifik, hitung nilai x berikut. (d) sin x = 0.9121
(a) tan x = 0.2162 (b) kos x = 0.5878 (c) sin x = 0.4062 (h) sin x = 0.1521
(e) kos x = 0.9686 (f) tan x = 3.8027 (g) kos x = 0.5604 (l) kos x = 0.099
(i) tan x = 0.7199 (j) sin x = 0.9792 (k) tan x = 1.0088

Bagaimanakah anda menyelesaikan masalah yang STANDARD
melibatkan sinus, kosinus dan tangen? PEMBELAJARAN

Contoh 15 Menyelesaikan masalah
BAB 5 yang melibatkan sinus,
kosinus dan tangen.
Dinding
Gambar rajah di sebelah menunjukkan satu tangga yang disandarkan

pada dinding. Ia membentuk suatu segi tiga bersudut tegak PQR. Jika R
Q
tinggi QR ialah 2.5 m, hitungkan panjang tangga, PR dalam meter.

(Nyatakan jawapan betul kepada dua tempat perpuluhan).

Penyelesaian: R 50°
2.5 m P
R
50˚ Q
sin 5 0° = —QR– P
Tang ga PR

s in 5 05°0 ˚= —2P.R5–
P PR = —sinQ2–.–55—0°

PR = 3.26 m (2 t.p.)

Contoh 16 F E
A
Rajah di sebelah menunjukkan kuboid ABCDEFGH. Diberi bahawa D 4 cm
BC = 8 cm, CH = 5 cm dan tinggi HE = 4 cm. Jika segi tiga bersudut G H

Saiz setbegeankaFrGC dibentuk dalam kuboid, hitung nilai ∠FCG. B 8 cm 5 cm
C
122

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Memahami masalah Merancang strategi

∠FCG boleh dihitung jika • FG = EH
dua daripada mana-mana sisi • Panjang CG lebih mudah dihitung berbanding panjang CF.
CG, CF atau FG diketahui. • tan ∠FCG = —CFGG–

Melaksanakan strategi Membuat kesimpulan

• FG = EH G F ∠FCG = 22.98°
Maka, atau
FG = 4 cm 5 cm 4 cm ∠FCG = 22° 59'

B 8 cm C G √89 cm C

CG = √BC 2 + BG2 tan ∠FCG = —4– √—48–9
= √82 + 52 ∠FCG = √89
CG = √89 tan–1

∠FCG = 22.98°

UJI MINDA 5.1i Q BAB 5
38º
1. Sebuah tangga lipat yang diletakkan di atas lantai membentuk
segi tiga sama kaki PQR seperti dalam rajah di sebelah. Diberi PR
bahawa T ialah titik tengah PR, ∠PQR = 38° dan panjang PR = 1.4 m. T
Hitungkan panjang PQ, betul kepada dua tempat perpuluhan. 1.4 m

2. Rajah di sebelah menunjukkan Aisyah yang sedang memerhatikan 145 m
sebatang tiang lampu. Diberi bahawa sudut dongak hujung tiang 55°
lampu dari penglihatan Aisyah ialah 55° dan jarak di antara
mata Aisyah dengan hujung tiang lampu ialah 145 meter. Hitung d
jarak mengufuk, d dalam meter. Nyatakan jawapan betul kepada
tiga angka bererti.

3. Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan sebuah kapal dan rumah 41° h
api. Diberi bahawa sudut tunduk kapal dari rumah api ialah 41° 200 m
dan jarak mengufuk di antara rumah api dengan kapal ialah
200 m. Hitung tinggi rumah api, h dalam meter. Nyatakan jawapan
betul kepada empat angka bererti.

4. Sebuah piramid tegak PQRST mempunyai tapak segi empat P
tepat QRST. Diberi bahawa W ialah titik tengah QS dan RT. RR
Panjang QT = 8 cm, TS = 6 cm dan titik P terletak tegak di atas
titik W. Hitung

(a) panjang PT, dalam cm, jika PW = 12 cm Q ● S
(b) nilai ∠PTR
WW S6acmiz sebenar

8 cm 123

T

Cabaran Dinamis

Uji Diri L 8 cm
M
1. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak KLM. Hitung 15 cm
(a) θ dalam darjah dan minit. (b) sin (90°– θ) (c) kos (90°– θ) C
qq q
2. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak ABC. Diberi K
bahawa tan θ = 1—52. Hitung
A
(a) panjang AC, dalam cm
(b) nilai tan (90°– θ) 15 cm
(c) θ dalam darjah betul kepada tiga angka bererti
B

3. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak ABC. Diberi Cq A
bahawa AB = 21 cm dan sin θ = —97 . Hitung B 21 cm

(a) panjang AC dalam cm

(b) nilai ∠BAC. Nyatakan jawapan anda dalam darjah terdekat

4. Dalam rajah di sebelah, DEF ialah segi tiga bersudut tegak dan E

BAB 5 DPF ialah garis lurus. Diberi PE = 5 cm. Hitung nilai 13 cm
(a) x dalam cm

(b) θ dalam darjah dan minit q 2x F
Mahir Diri D xP

1. Hitung nilai operasi berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 8 sin 60° – 3 tan 60° (b) (tan 30°)(2 kos 30°) + 6 sin 30°

(c) (8 kos 45°)(sin 60°) + (8 sin 45°)(kos 30°)

2. Rajah di sebelah menunjukkan segi tiga bersudut tegak PRS. q S
P y
PQR ialah garis lurus. Diberi bahawa QR = RS = 18 cm dan
tan θ = —35 . Hitung 5m 18 cm
(a) panjang PQ, dalam cm
(b) panjang PS, dalam cm, betul kepada integer terdekat Q 18 cm R
(c) nilai y
xm
3. Sebuah pintu gerbang mempunyai dua tiang mercu yang QR
dihubungkan dengan satu jambatan mengufuk dengan
jarak x meter. Jika tinggi tegak jambatan dari permukaan 60º
tanah ialah 5 m dan sudut di antara tiang PQ dengan garis P
condong PR ialah 60°, tentukan nilai x, dalam meter.

Saiz sebenar

124

Bab 5 Nisbah Trigonometri

Masteri Kendiri

1. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kuboid PQRSTUVW. QRWV T W

dan PSTU ialah segi empat sama. Diberi bahawa PQ = 12 cm dan U S V
QR = 7 cm. Hitung 12 cm R

(a) tan ∠PQS 7 cm
Q
(b) panjang TQ, dalam cm, betul kepada empat angka bererti P

(c) nilai ∠SQT, dalam darjah dan minit

2. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah heksagon sekata PQRSTU TS
bersisi 6 cm. Hitung UR

(a) ∠PTS P 6 cm Q

(b) ∠TPS

(c) panjang TP, dalam cm, betul kepada tiga angka bererti

(d) nisbah luas ∆PTU kepada luas ∆PTS

3. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi empat tepat ABCD. Diberi D C BAB 5
bahawa AB = 8 cm, BC = 2 AB dan N ialah titik tengah BC. M θ

(a) Jika MD = —­ 41 AD, hitungkan panjang MN, dalam cm. Nyatakan A N
jawapan anda dalam bentuk surd B
8 cm
(b) Hitung nilai θ, dalam darjah dan minit
(c) S hahril menyatakan bahawa nisbah luas trapezium CDMN

kepada luas trapezium ABNM ialah 1 : 2. Adakah pernyataan
Shahril benar? Nyatakan alasan untuk jawapan anda.

P ROJ E K

Bahan: Kertas grid 0.5 cm × 0.5 cm, pensel, pembaris dan pensel warna.

Langkah:
1. Mulakan dengan melukis suatu

bentuk gabungan segi tiga bersudut
tegak (warna merah jambu).
2. Sambungkan setiap bucu gabungan
asal dengan segi tiga bersudut tegak
(warna hijau).
3. Teruskan corak yang didapati
pada langkah 2 sebanyak yang
mungkin.
4. Warnakan hasil kerja anda dan
pamerkan di kelas.
5. Kumpulan lain digalakkan untuk
menggunakan segi tiga bersudut
tegak yang berlainan saiz sebagai
permulaan corak.

Saiz sebenar

125

PETA KONSEP

hipotenus sisi

q bertentangan

sisi bersebelahan

Nisbah trigonometri

Nisbah sinus Nisbah kosinus Nisbah tangen

sin q = —sis—ihb—iepro—teten—ntaun—sga—n kos q = —sis—i hb—iepr—osteeb—neul—ash—an– tan q = —ssiiss—ii bb—eerr—steenb—tealn—agha—ann


Apabila saiz bagi satu sudut tirus, q bertambah
• nilai bagi tan q dan sin q bertambah
• nilai bagi kos q berkurang

BAB 5 Menentukan q Sudut khas A θ° 0° 90°
nilai sudut bagi 30° 45° 60° 30° sin q 0 1
sinus, kosinus kos q 1 0
dan tangen tan q —√13– 1 √ 3 E 2 2 tan q 0 ∞
√3

sin q —12 1 —√23– 45° √2 O 60°
√2 1 1C1 B

kos q —√23– 1 —12 G 45°
√2 1F

IMBAS KENDIRI

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Mengenal pasti sisi bertentangan dan sisi bersebelahan berdasarkan suatu sudut tirus
dalam segi tiga bersudut tegak.

2. Membuat dan menentusahkan konjektur tentang hubungan antara sudut tirus dan nisbah
sisi segi tiga bersudut tegak, dan seterusnya mentakrifkan sinus, kosinus dan tangen.

3. Membuat dan menentusahkan konjektur tentang kesan perubahan saiz sudut terhadap
nilai sinus, kosinus dan tangen.

4. Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen suatu sudut tirus.
5. Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen sudut 30°, 45° dan 60° tanpa menggunakan

kalkulator.

6. Melakukan pengiraan yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.

Saiz seb7.enMaernyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen.

126

Bab 5 Nisbah Trigonometri

JELAJAH MATEMATIK

Bagi mengukur ketinggian suatu tiang, kaedah seperti berikut boleh digunakan.

Langkah 1 C

Ambil suatu kadbod dan lukis segi tiga 45°
bersudut tegak ABC seperti rajah di sebelah 30 cm
dengan AB = AC = 30 cm.

45° A
B 30 cm

Langkah 2 Tiang

∠ABC = ∠BCA = 45°. Potong segi tiga dan Kadbod C
aturkan dengan sebatang rod kayu relatif ABC A Kayu
kepada tiang yang akan diukur.

Mata B
pemerhati

BAB 5

Langkah 3 Tiang
y
Pastikan aras mata dari sisi sudut ABC selaras
dengan puncak tiang seperti di sebelah. Kayu
Gunakan kayu tersebut untuk memastikan
kedudukan segi tiga ABC adalah tegak.

Mata
pemerhati x Kadbod

ABC

z

Langkah 4

Jika x mewakili ketinggian aras mata dari permukaan tanah, y mewakili ketinggian tiang
serta z mewakili jarak di antara pemerhati dengan tiang maka,

tan 45° = —y –z—x
y = z tan 45° + x

Tinggi tiang boleh diperoleh dengan mudah tanpa sebarang keperluan untuk mengukur Stiaanizg sebenar
itu sendiri.

127