PROYECTO DE AULA

¿Cómo se puede emplear el cálculo en tiempos de
pandemia?

Juan Pablo Guzmán Prada, Ángel Santiago Jaramillo Rodríguez

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Abstract luego infecciosas y finalmente recuperadas e
inmunes. (La rubéola se conoce comúnmente como
This project consists of using a mathematical model that "sarampión alemán". Suele ser leve, pero puede
adapts to the frequency of contagion in an epidemic in producir defectos de nacimiento graves si la contrae
order to determine how often new cases occur, how often una mujer embarazada durante el primer trimestre).
recoveries occur. If we apply it to the context of COVID- 1. Supuestos básicos
19, a mathematical model could be established which helps 1. SEÑOR: Todos los individuos pertenecen a una de
us determine the frequency of both infections and las siguientes categorías: Susceptible: aquellos que
recoveries in order to have a better control over the new pueden contraer la enfermedad Infeccioso: aquellos que
cases that occur every day. Based on the period in which pueden contagiar la enfermedad Remoto: aquellos que
the individual is infected, the number of individuals likely son inmunes y no pueden propagar la enfermedad
to be infected together with those who are immune, taking 2. La poblacion es numerosa pero de tamaño fijo y
into account the total amount in a specific population. confinado a una región bien definida. Puede imaginarse que
la población será una gran universidad durante el semestre,
Resumen cuando se realizan relativamente pocos viajes al exterior.
3. La población está bien mezclada; idealmente, todos
Este proyecto consiste en emplear un modelo matemático entran en contacto con la misma fracción de personas en
que se adapte a la frecuencia de contagio en una epidemia cada categoría todos los días. Nuevamente, imagine la
para poder determinar cada cuánto se presentan nuevos multitud de contactos que un estudiante hace a diario en
casos, cada cuánto se presentan recuperaciones. Si lo una gran universidad.
aplicamos al contexto del COVID-19, se podría establecer Al formular modelos, es muy importante dejar claras
un modelo matemático el cual nos ayuda a determinar la sus suposiciones. Los hemos enumerado explícitamente
frecuencia tanto de los contagios como de las para ayudar a aclararlos. Los ejercicios le preguntarán
recuperaciones con el fin de tener un mejor control sobre sobre las limitaciones de estos supuestos. Las categorías
los nuevos casos que se presentan día a día, teniendo como de personas y la forma en que hemos asumido que se
base el período en el que el individuo dura infectado, la mueven entre las categorías se pueden resumir en el
cantidad de individuos propensos a ser contagiados junto gráfico "compartimentos" que se muestra en la Figura
con los que están inmunes teniendo en cuenta la cantidad 2.1
total en una población específica.
2.1.2 Variables para el modelo 1
1. Introducción

Muestra cómo se puede utilizar la descripción de
los cambios en el número de personas enfermas
para construir un modelo efectivo de una epidemia.
El cálculo nos permite estudiar el cambio de
manera significativa.
conceptual. Verás que las ecuaciones dicen cuáles son las
distintas tasas de cambio, pero no las integrarás Las
ecuaciones diferenciales están por delante de nuestra
historia sólo en un sentido técnico, no simbólicamente. No
necesita saber nada sobre derivadas simbólicas o integrales
El primer modelo
Una epidemia es un gran brote de una enfermedad a
corto plazo. Esta sección desarrolla un modelo simple
de propagación de una enfermedad.
2. En esta sección formularemos nuestro primer
modelo de propagación de una enfermedad como la
rubéola a la que las personas son susceptibles,

2.1. Tiempo t es la variable independiente; y S, I, y R encontrar un número promedio de tales contactos para
dependen del tiempo. En otras palabras, son funciones todos y denotaremos este número mediante un
del tiempo, pero no son funciones dadas por fórmulas parámetro C.
explícitas como las del Capítulo 28 sobre la revisión de
la escuela secundaria (comoy = X3. Aunque podremos 3. C = el número medio de contactos por infeccioso
calcularS = S[t], no existe una fórmula explícita para S durante todo el período infeccioso
en términos de t.)
2.1.3 Derivación de las ecuaciones de cambio C es el número total medio de contactos cercanos por
Una persona con rubéola es infecciosa durante infeccioso.
aproximadamente 11 dias. El compartimento infeccioso
contendrá personas que hayan tenido la enfermedad El número de contactos por infeccioso cada día viene
durante 1 día, 2 días y así sucesivamente hasta 11 días. dado por a = cb, porque B es igual a 1 / (el número de
A los 12 días, un individuo pasa del compartimento días infecciosos). Esto significa que siI las personas son
infeccioso al compartimento retirado. Por supuesto, no infecciosas en un día en particular,
todo el mundo contrae la enfermedad exactamente a las 4. a* I = el número total de contactos adecuados por
8:00 am. Además, a medida que se propaga la epidemia,
es posible que haya más personas en el grupo de 1 día día
que en el de 11 días. No obstante, asumiremos que los
diferentes grupos en el compartimento infeccioso son disminución. La variableS tiene un aumento negativo aS
aproximadamente del mismo tamaño, por lo que norteI, La variable R tiene un aumento positivo bi, y I
podemos hacer una afirmación simple sobre la tiene una entrada desde el compartimento susceptible y
recuperación: para la rubéola, la cantidad de personas una salida al compartimento extraído, aS bi. La
agregadas a el compartimento retirado mañana es 1 dirección del cambio se muestra en la Figura 2.2.
11del compartimento infeccioso hoy, 2.1.5 Las primeras ecuaciones de cambio

2.1. EL PRIMER MODELO 5. Los modelos matemáticos deben expresarse en
Observe que las unidades del lado derecho de la ecuación términos de variables. Las "ecuaciones" anteriores
anterior para el día cambian en R ¿Es el número de no están escritas en términos de las variables que
personas por día? Llevaremos una cuenta cuidadosa de las enumeramos. De hecho, el lado izquierdo es una
unidades. frase. La frase es clara y queremos que hagas
algunos cálculos y pienses en formular la ecuación
El siguiente cambio que describimos es cómo se en términos de las variables
propaga la enfermedad. Si usted es contagioso con
rubéola y se sienta durante toda una clase junto a una
persona que es susceptible, probablemente le transmitirá
la enfermedad a esa persona. Si se sienta en la clase
junto a una persona inmune, no propagará la
enfermedad. Suponemos que nuestra población está
bien mezclada, por lo que la gente se pone en contacto
con otros de cada compartimento todos los días. Los
contactos causantes de enfermedad por una sola persona
infecciosa vienen dados por el número de “contactos
cercanos” realizados con personas susceptibles durante
el período de contagio. Asumiremos que podemos

. como el período que dura una persona infectada por el
virus, que es de aproximadamente 14 días, junto con el
2. Modelo matemático promedio de casos de Coronavirus registrado en los últimos
7 días donde se registraron los casos. Por último, se realizan
Considerando las variables S (cantidad de personas las gráficas en Excel tanto de los recuperados como de los
susceptibles), I (cantidad de personas infecciosas) y R contagios que se presentan diariamente en función de la
(cantidad de personas inmunizadas) se considera el cantidad de infectados, después se realiza un promedio de
siguiente ejemplo: los datos de ambas ecuaciones por mes para analizar si esas
cantidades crecen o decrecen.
Una persona con rubeola es infecciosa durante 11 días
aproximadamente, por lo que el compartimiento infeccioso 4. Aplicación de las ecuaciones
durará durante esos 11 días, siendo más probable que la
cantidad de infectados sea mayor en el primer día. Sin De acuerdo a la Imagen 1, se tienen en cuenta las variables
embargo, no se puede precisar el momento en que la I y R para aplicar las ecuaciones 1 y 2 con respecto al
persona se contagie o se recupere, pero se puede suponer período del 6 de marzo al 27 de junio de 2021. Para la
que en uno de esos días hay individuos que se recuperan, Ecuación 1 se tiene en cuenta el período que una persona
llegando a la siguiente ecuación: dura infectada y la cantidad de infectados por día, para la
segunda ecuación, tuvimos que hallar una constante
R nueva al siguiente día= 1/11*I teniendo en cuenta el promedio de los últimos 7 días en que
se registraron los datos de casos de COVID-19 y la variable
Donde se da lugar a la variable b, que se representa como: relacionada a la cantidad de días que dura una persona
infectada por el virus (ecuación 2). Ya teniendo dicha cifra,
b= 1/Días que dura el período de infección. se multiplica por la cantidad de infectados (ecuación 3). Ya
teniendo las fórmulas, se procede a graficarlas con respecto
Para determinar el número de contagios por día, se plantea a los datos establecidos principalmente. De acuerdo a los
la siguiente ecuación datos obtenidos en la Tabla 1.1., se obtiene la gráfica que se
muestra en la Imagen 1.1., luego de eso, se hace un
a= c*b promedio de los datos por mes de acuerdo a la Tabla 1.2.,
obteniendo la gráfica mostrada en la Imagen 1.2.; mientras
Donde c representa la media de contactos infecciosos que para la aplicación de la segunda fórmula se hizo el
durante el periodo de infección, que puede variar con mismo procedimiento, dando como resultado las gráficas
individuos susceptibles e inmunes. Sin embargo, para mostradas en las imágenes 2.1. y 2.2. basadas en lo
determinar la cantidad precisa de contactos se puede partir obtenido en las Tablas 2.1. y 2.2.
de la ecuación:
5. Figuras
a*I= Cantidad total de contactos por día
Personas recuperadas
1
í = 14 ∗ 3000
Ecuación 1. Cantidad de personas recuperadas para el
siguiente día. 2500

1 2000
= 30507, = ∗ = 30507 ∗ 14
1500
= 2179.0714
Ecuación 2. Ecuación para hallar la variable a. 1000

. í 500
= 2179.0714 ∗
0
Ecuación 3. Cantidad total de contactos adecuados por día.
Fig. 1.1. Personas recuperadas de marzo a junio de 2021.
3. Metodología
Promedio personas recuperadas
En el documento que sirvió como guía se revisaron las
fórmulas aplicadas a las epidemias y se seleccionaron las 2500
ecuaciones con respecto a la cantidad total de contagios y
con respecto a la cantidad de personas recuperadas 2000
diariamente. Se aplicarán esas fórmulas para el estudio del
contexto del COVID-19 entre los meses de marzo y junio 1500
de 2021, para eso, se consultaron factores fundamentales
1000

500

0
Marzo Abril Mayo Junio
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
97
103
109

Fig. 1.2. Promedio de recuperados de marzo a junio de 2021. 6. Tablas

Título del gráfico

80000000
60000000
40000000
20000000

0

1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
105
113

Series1 Series2

Fig. 2.1. Total de contactos adecuados de marzo a junio de
2021.

80000000 PROMEDIO CONTACTOS
60000000 MARZO-JUNIO

40000000

20000000

0 ABRIL MAYO JUNIO
MARZO

Fig.2.2. Promedio de contactos adecuados de marzo a
junio de 2021.

Tabla 1.1. Cantidad de personas recuperadas de marzo a junio de
2021.

Tabla 1.2. Promedio de recuperados de marzo a junio de
2021.



Tabla 2.2. Promedio de contagios por día adecuado para
marzo a junio de 2021.

7. Conclusiones

1. El promedio de personas recuperadas de marzo abril tuvo
un aumento significativo, de abril mayo no hubo mucha
variación, de mayo a junio volvió a haber un aumento
significativo, por lo tanto, en estos cuatro meses fue
aumentando la cantidad de recuperados.

2. En el primer mes de mayo hasta abril hubo un aumento
significativo de contactos, de abril a mayo hubo un ligero
descenso en el número de contactos mientras que de mayo a
junio volvió a dispararse el número de contactos.

3. Lo que se puede deducir de las dos gráficas es que ambas
aumentan sin embargo la gráfica que representa los
contagios tiene una mayor aceleración que la cantidad de
personas recuperadas en el mismo lapso de tiempo, por lo
tanto, se puede decir que el hecho de que entre más
personas recuperadas no significa que haya menos número
de contagios. por lo que inicialmente hay una mayor
cantidad de personas susceptibles que poco a poco se
reduce dependiendo la cantidad de infectados y recuperados
que se van presentando día a día.

8. Agradecimientos

Los agradecimientos van hacia el profesor Cristian Felipe
Morales Suárez, quien nos fue brindando fuentes que
fueron fundamentales para la implementación de nuestro
proyecto.

Referencias

[1] Epidemic models (Introduction) - Five Colleges, Inc., 2008.

[2] https://rodillo.org/estadisticas-coronavirus/colombia/?gclid=

Cj0KCQiAkNiMBhCxARIsAIDDKNXb9YIS1YxkTR7tTr

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Tabla 2.1. Cantidad total de contagios adecuada por día de
marzo a junio de 2021.