ม.5 บทที่ 8 การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ชื่อ-สกลุ เลขที่
ชั้น

ครผู ู้สอน
ครูมนัสนนั ท์ คำทวี

Simple harmonic motion

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย

ฟสิ กิ ส์ ม.5 เรอื่ ง การเคลอ่ื นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย ครมู นสั นนั ท์ คำทวี

ทบทวนกอ่ นเข้าสู่บทเรียน

ปรมิ าณกายภาพและหน่วย

ปรมิ าณในวิชาฟสิ ิกส์ ปริมาณ (Quantities) ในวชิ าฟสิ กิ ส์อาจแบ่งเปน็ กลมุ่ ย่อยได้ดังน้ีแบ่งโดยใช้

ลักษณะ ของปริมาณเป็นเกณฑ์ จะแบ่งได้เปน็

ปรมิ าณเวกเตอร์ (vector) คือ

เช่น การกระจดั น้ำหนัก แรง โมเมนตัม สนามไฟฟ้า เปน็ ต้น

ปริมาณสเกลาร์ (scalar) คือ

เช่น เวลา ระยะทาง มวล งาน พลงั งาน ศกั ย์ไฟฟา้ เปน็ ต้น

แบง่ โดยใช้ ท่มี า ของปรมิ าณเป็นเกณฑ์ จะแบง่ ไดเ้ ป็น

1. ปริมาณมูลฐาน คือ ปริมาณขน้ั ตน้ ท่จี ำเป็นตอ่ การอธิบายปรากฏการณ์ทางฟิสกิ สม์ ี 7 ปริมาณ

ปรมิ าณ หน่วย สญั ลกั ษณ์

ความยาว (Length)

มวล (Mass)

เวลา (Time)

กระแสไฟฟ้า (Electric Current)

อุณหภูมทิ างเทอรโ์ มไดนามิก

ความเข้มของการส่องสวา่ ง แคนเดลา cd

ปรมิ าณของสาร

2. ปรมิ าณอนุพัทธ์ คือ ปรมิ าณที่เกิดขน้ึ จากการนำปริมาณมลู ฐานมาประกอบเขา้ ด้วยกันเชน่

อัตราเร็ว เป็นตน้ 3. ปรมิ าณเสริม คือ ปรมิ าณที่นอกเหนือจากปริมาณท้งั สองทีผ่ ่านมา เช่น มมุ ของ รูป

เรขาคณติ เปน็ ตน้

การเปลยี่ นหน่วย

พจิ ารณาตัวอย่างตอ่ ไปนี้ สมมตุ ิไมบ้ รรทัดมสี เกล
ยาว 1 เมตรดงั รปู หากแบ่งสเกลยาว 1 เมตร (m)ออกเปน็
100 ช่องๆ เทา่ กนั แต่ละช่องย่อยจะเรยี ก 1 เซนตเิ มตร (cm)
ดงั น้ัน 1 เซนติเมตร จะมคี า่ เทา่ กบั 1 เมตร

100

ฟิสิกส์ ม.5 เร่อื ง การเคลื่อนทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย ครมู นัสนนั ท์ คำทวี

วิธกี ารเปลย่ี นหน่วย มหี ลักการเปล่ยี นอยู่ 2 วธิ ี ดงั นี้ 1 เมตร
วิธีที่ 1 การเทียบบัญญตั ไิ ตรยางศ์ เมตร
ตวั อยา่ ง จงเปลย่ี น 278 เซนติเมตร ใหม้ หี น่วยเป็นเมตร 1×278 = 2.78
เนือ่ งจาก 100 เซนติเมตร มคี ่าเทา่ กับ 100

ดงั น้นั 278 เซนติเมตร มีค่าเทา่ กบั

วิธที ่ี 2 การใช้คำอปุ สรรค (Prefixes) และตัวพหุคณู (Multiplying factor)

ค่าพหคุ ณู คำอปุ สรรค (Prefixes) คา่ พหุคูณ คำอปุ สรรค (Prefixes)

1018 ชอ่ื สัญลักษณ์ 10-18 ช่อื สญั ลักษณ์
1012 10-12
109 เอกซะ (exa) E 10-9 อัตโต (atto) a
106 10-6
103 เทอรา (tera) T 10-3 พโิ ค (pico) p
102 10-2
101 จิกะ (giga) G 10-1 นาโน (nano) n

เมกกะ (mega) M ไมโคร (micro) µ

กิโล (killo) k มลิ ลิ (mili) M

เฮกโต (hecto) h เซนติ (centi) c

เดคา (deka) da เดซิ (daci) d

ตัวอยา่ ง จงเปลย่ี น 278 เซนติเมตร ใหม้ ีหนว่ ยเป็นเมตร
จะเหน็ ไดว้ า่ 278 cm (สามารถเปลีย่ น c เปน็ 10-2 ได้โดยตรงพราะมีคา่ เท่ากนั )
จะไดเ้ ปน็ 278×10-2 m
ดงั นน้ั 278 เซนติเมตร มีค่าเท่ากบั 2.78 เมตร

ตัวอย่าง จงเปล่ียน 7300 เมตร ใหม้ ีหน่วยเปน็ ไมโครเมตร

จะเห็นได้วา่ 7300 m (ต้องคูณด้วย 106 × 10-6 เพ่ิมเขา้ ไป)

จะไดเ้ ปน็ 7300 m = 7300 × 106 × 10-6 m

= 7300 × 106 µm

หรอื = 7.30 × 109 µm

ฟสิ ิกส์ ม.5 เรื่อง การเคลอื่ นทแี่ บบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย ครูมนสั นนั ท์ คำทวี

หลักการเปลย่ี นหน่วยให้ใหญ่ข้ึนหรอื เลก็ ลง

1. ถ้าเปลยี่ นจากหนว่ ยทม่ี ีคำอุปสรรคมาเป็นหนว่ ยมลู ฐาน ใหน้ ำ คา่ พหุคูณของคำอุปสรรค
ของหน่วยทตี่ ้องการเปล่ยี นมา “คณู ”

2. ถ้าเปลีย่ นจากหน่วยมูลฐานมาเปน็ หนว่ ยท่มี คี ำอปุ สรรค ให้นำ ค่าพหุคูณของคำอปุ สรรค
ของหนว่ ยท่ีต้องการเปลีย่ นมา “หาร”

แบบทดสอบความเขา้ ใจ 2. มวล 100 เมกะกรมั มีค่าเป็นกไี่ มโครกรัม
1. จงเปล่ยี นหน่วยมวลโปรตรอน 1.6 X 10-27 กโิ ลกรมั
เป็นพโิ คกรมั

3. 1.5 ตารางเซนตเิ มตร (cm2) มคี า่ เทา่ กับกต่ี ารางเมตร 4. 1.5 ตารางเซนติเมตร (cm2) มีคา่ เท่ากบั กต่ี ารางเมตร
(m2) (m2)

5. พ้นื ที่ 300 ตารางมิลลเิ มตร (mm2) คิดเปน็ เท่าไรใน 6. จงเปลี่ยน 4 X 108 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร (cm3) ใหเ้ ปน็
หน่วยตารางเมตร (m2) ลกู บาศก์เมตร (m3)

ฟสิ ิกส์ ม.5 เรื่อง การเคลอ่ื นที่แบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย ครูมนสั นนั ท์ คำทวี

7. จงเปลยี่ น 7 ไมโครนวิ ตัน/ตารางเซนตเิ มตร เปน็ นวิ ตัน/ 8. จงเปลี่ยน 3 X 1011 ไมโครเมตร/มลิ ลิวนิ าที ใหเ้ ป็น
ตารางเมตร เมตร/วินาที

9. รถประจำทางคนั หน่งึ วิง่ ด้วยความเร็ว 36 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง 10. ความเรว็ ขนาด 1 เมตรต่อวนิ าที เป็นเทา่ ใดในหน่วย
อยาทราบวา่ รถคนั นว้ี ิ่งดว้ ยความเรว็ เท่ากับกี่เมตรต่อวินาที กโิ ลเมตรตอ่ ชวั่ โมง

11. กำลงั 8.75x107 วัตต์ (w) เมื่อใช้คำอุปสรรคท่ีเหมาะสม 12. ลงั น้ำสเ่ี หลย่ี มกน้ ถงั มีพืน้ ท่ี 2 ตารางเมตร สงู 1 เมตร
ควรเปลยี่ นเป็น จะบรรจุน้ำได้มากที่สุดล่ลี ติ ร(1ลกู บาศก์เมตร = 1000
ลติ ร)

ฟสิ กิ ส์ ม.5 เรอ่ื ง การเคลื่อนทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย ครมู นัสนนั ท์ คำทวี

การหาเวกเตอรล์ พั ธโิ์ ดยวธิ กี ารคำนวณ

การบวกเวกเตอร์ : การรวมเวกเตอร์จะใชว้ ิธี “ หางต่อหัว ”

⃑

+⃑ =⃑ ⃑
⃑

การลบเวกเตอร์ : ใชแ้ นวคิดการรวมเวกเตอร์แต่ต้องกลับทศิ เวกเตอร์ทีม่ ีค่าเปน็ ลบ
แลว้ จงึ จะใชว้ ิธี “ หางต่อหัว ”

+ ⃑ ⃑
⃑

= ⃑ ⃑

การหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ิโดยใชก้ ฎของ cos

ใชใ้ นกรณที ีเ่ วกเตอร์ทง้ั สองทำมุม  ต่อกนั
หาไดจ้ าก

การแยกเวกเตอรอ์ อกเป็น 2 เวกเตอร์ย่อย

ฟสิ ิกส์ ม.5 เรอื่ ง การเคลอ่ื นทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย ครูมนสั นนั ท์ คำทวี

แบบทดสอบความเข้าใจ

1. จงหาผลบวกของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ขนาด 3 หนว่ ย และ 4 หนว่ ย ซ่งึ ทำมุม θ ต่อกนั โดยการเขียนรปู

และแสดงวธิ ที ำอย่างละเอียด เมื่อเวกเตอร์ทง้ั สอง

ก. ทำมุมกัน 0 องศา ข. ทำมุมกนั 45 องศา

ค. ทำมมุ กัน 90 องศา ง. ทำมุมกนั 135 องศา

2. เด็กคนหนึ่งออกแรง 100 นิวตนั ดึงรถให้เคลื่อนที่ไปตามแนวระดบั โดยแนวแรงของแรงดงึ ทำมุม 42 องศา
กบั แนวระดบั จงหาองค์ประกอบของแรง 100 นวิ ตนั ในแนวระดับกับแนวดิง่

3. จากรูป ถ้ามมุ มีขนาดเปน็ 60 องศาและ E เปน็ เวกเตอร์ทมี่ ขี นาด 60 หนว่ ย จงหาขนาดของเวกเตอร์ E ใน
แนว
แกน X และ Y

Y

E

60o X

ฟิสิกส์ ม.5 เรอ่ื ง การเคลื่อนทแี่ บบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย ครูมนัสนนั ท์ คำทวี

บทที่ 8 การเคลื่อนท่ีแบบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย

การเคลอื่ นท่ีแบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย ( Simple harmonic motion ) คอื การเคล่ือนที่ซึง่ เคลื่อนที่

กลับไปมาซ้ำทางเดมิ โดยผา่ นตำแหนง่ โดยมีคาบของการเคลอ่ื นที่คงตัว

1. การเคลอ่ื นท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ยของวตั ถุติดปลายสปริง
หากเรานำวตั ถุตดิ ปลายสปรงิ จุดท่วี ตั ถอุ ยตู่ อนท่ียังไม่มแี รงใดๆ มากระทำ จดุ ตรงนน้ั เราจะเรยี กจุด

สมดุล และเมื่อเราออกแรงดึงใหส้ ปริงยดื หรอื กดให้สปรงิ หดแลว้ ปล่อยมือออกสปรงิ จะสน่ั ทำให้วตั ถเุ คลื่อนที่
ส่ันกลับไปกลบั มาผา่ นจดุ สมดุลการเคลื่อนท่แี บบน้ีเป็นการเคลื่อนทแ่ี บบฮาร์มอนิกอยา่ งหน่ึง ซง่ึ มีสิง่ ท่คี วร
ทราบเพิม่ เตมิ ดังนี้

วตั ถุจะมี ความเรว็ สูงสดุ ( Vmax ) กต็ ่อเม่ือ
หาได้จาก

วตั ถุจะมี ความเร่งสูงสดุ ( amax ) กต็ อ่ เม่ือ
หาไดจ้ าก

เมือ่ วัตถุส่นั ไปแล้วย้อนกลบั มาถึงจดุ เดิมเรยี กวา่ เป็นการเคล่ือนท่ไี ด้ 1 รอบเวลา
ท่ีใช้เคลอื่ นท่ีได้ 1 รอบนเ้ี รียกวา่
หาไดจ้ าก

ฟสิ กิ ส์ ม.5 เรอ่ื ง การเคลอื่ นทแี่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย ครมู นสั นนั ท์ คำทวี

จำนวนรอบทเี่ คลื่อนท่ีได้ในหน่ึงหนว่ ยเวลา เรียกวา่
หาไดจ้ าก

เมอื่ Vmax คอื ความเร็วสงู สุด (m/s)
amax คือ ความเร่งสงู สดุ (m/s2)
A คือ แอมพลิจดู (m)
T คือ คาบของการเคล่ือนที่ (s)
F คอื ความถ่ขี องการเคลื่อนท่ี (Hz)

 คือ อัตราเรว็ เชิงมุมของการเคล่ือนท่ี (rad/s)
เราสามารถหาคา่ อตั ราเร็วเชงิ มมุ ไดจ้ าก

เมื่อ m คอื มวล (kg)
k คอื ค่านจิ สปริง (N/m)
ซึง่ หาคา่ ได้จาก

เมื่อ F คอื แรงที่กระทำตอ่ สปรงิ (N)
S คือ ระยะยืดหรอื หดของสปรงิ เมื่อถูกแรง F กระทำ (m)

พสิ จู นส์ มการความสมั พนั ธข์ องคา่ คงตัวสปรงิ มวลของวตั ถุ ความถี่เชิงมุมของระบบการ

เคลอ่ื นทแี่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ย →  = √k

m

ฟิสิกส์ ม.5 เรื่อง การเคลอ่ื นทแี่ บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย ครูมนัสนนั ท์ คำทวี

แบบทดสอบความเขา้ ใจ
1. สปรงิ เบาตวั หนง่ึ มีค่านิจ 100 นิวตนั /เมตร ผูกตดิ กบั มวล 1 กิโลกรมั ซง่ึ วางอยบู่ นพื้นราบเกลีย้ งเม่ือดึง
สปริงออกไป 0.1 เมตร แลว้ ปลอ่ ยมอื มวลกอ้ นนจ้ี ะมีอัตราเรว็ เท่าใดเม่ือผ่านตำแหน่งสมดุล

2. สปรงิ เบาตัวหน่งึ มคี า่ นิจ 25 นวิ ตัน/เมตร ผูกตดิ กับมวล 1 กโิ ลกรัม ซึง่ วางอยู่บนพื้นเกล้ยี งดังรูป เมอ่ื ดึง
สปรงิ ออกไป 20 เซนติเมตร แล้วปลอ่ ยมือมวลก้อนน้ีจะมีอัตราเร็วเทา่ ใดเมอ่ื ผา่ นตำแหน่งสมดลุ

3. สปรงิ เบาตัวหนึ่งมคี า่ นจิ 100 นวิ ตนั /เมตร ผกู ตดิ กับมวล 1 กโิ ลกรัม ซ่ึงวางอยบู่ นพื้น ราบเกล้ยี ง เมอื่
ดงึ สปรงิ ออกไป 30 เซนตเิ มตร แล้วปล่อยมือ มวลกอ้ นนี้จะมอี ัตราเร่งสงู สดุ เท่าใด

4. แขวนมวล 100 กรัม ท่ีปลายหน่งึ ของสปรงิ ทม่ี ีมวลน้อยมากดงึ มวลจากตำแหน่งสมดุล 10 เซนตเิ มตร
แลว้ ปลอ่ ยด้วยอตั ราเร็วเชงิ เส้นขณะเคลอื่ นทผี่ ่านสมดุลมคี ่าเทา่ ใด ถ้าคาบของการสนั่ มีค่า 2 วนิ าที

5. วัตถุหนึ่งเคลอ่ื นที่แบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ยมแี อมพลิจูด 10 เซนติเมตร มีความถี่ 2 รอบ/วินาที วตั ถุจะมี
ความเรง่ สงู สุดก่เี มตร/วินาที2

ฟิสิกส์ ม.5 เรอ่ื ง การเคลือ่ นท่แี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย ครมู นัสนนั ท์ คำทวี

6. สปรงิ วางบนพื้นราบมคี า่ นิจสปรงิ (2)2 นวิ ตนั /เมตร ปลายขา้ งหนง่ึ ผูกตรงึ ปลายอีกข้างหน่งึ มมี วล 4
กิโลกรัม ตดิ ไว้เม่ือออกแรงดงึ มวลแล้วปลอ่ ยมวลจะเคล่อื นท่แี บบ SHM ด้วยคาบกีว่ นิ าที

7. สปรงิ วางบนพ้นื ราบมคี า่ นิจสปริง 2 นวิ ตนั /เมตร ปลายขา้ งหน่ึงผกู ตรึงปลายอีกข้างหนึง่ มมี วล 1
กโิ ลกรัม ติดไว้ เมื่อออกแรงดึงมวลแลว้ ปลอ่ ยมวลจะเคล่ือนท่แี บบ SHM ดว้ ยคาบกีว่ นิ าที

8. แขวนมวล 2 กโิ ลกรมั กบั สปรงิ ซ่งึ มีค่าคงตวั สปริง k แลว้ ทาใหส้ น่ั ขน้ึ ลงในแนวดิ่งวดั คาบการสั่น
ได้ 4 วนิ าที ถา้ นำมวล 8 กโิ ลกรมั มาแขวนแทนทมี่ วล 2 กิโลกรัม แลว้ คาบ การสน่ั จะเป็นเทา่ ใด

ฟิสิกส์ ม.5 เรื่อง การเคล่อื นทแี่ บบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย ครมู นัสนนั ท์ คำทวี

2. การแกวง่ ของลกู ตมุ้ อยา่ งง่าย
การแกว่งของลูกตมุ้ นน้ั เปน็ การเคล่ือนทแ่ี บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย อีกแบบหน่ึงจุดสมดุลจะอยูต่ รงจุด

ต่ำสุดของการเคล่ือนท่ี

วตั ถุจะมี ความเรว็ สูงสุด( Vmax ) กต็ ่อเมื่อ
หาได้จาก

วตั ถจุ ะมี ความเรง่ สงู สุด ( amax ) ก็ตอ่ เมื่อ
หาไดจ้ าก

เมื่อวตั ถุสั่นไปแล้วย้อนกลบั มาถงึ จุดเดมิ เรยี กว่าเปน็ การเคล่อื นทไี่ ด้ 1 รอบเวลา
ท่ใี ช้เคลอื่ นที่ได้ 1 รอบน้ีเรียกว่า
หาได้จาก

จำนวนรอบท่ีเคล่ือนทไ่ี ด้ในหนึง่ หนว่ ยเวลา เรยี กวา่
หาได้จาก

เมื่อ Vmax คือ ความเรว็ สูงสดุ (m/s)
amax คือ ความเร่งสูงสดุ (m/s2)

ฟสิ ิกส์ ม.5 เรื่อง การเคล่ือนทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย ครูมนัสนนั ท์ คำทวี

A คือ แอมพลจิ ดู (m)
T คือ คาบของการเคลือ่ นที่ (s)
F คือ ความถขี่ องการเคลื่อนที่ (Hz)

 คือ อัตราเรว็ เชิงมุมของการเคลอื่ นที่ (rad/s)
เราสามารถหาค่าอตั ราเร็วเชงิ มุมไดจ้ าก

เมื่อ g คือ ความเร่งเน่ืองจากแรงโน้มถว่ ง (m/s2)
L คอื ระยะจากจุดตรึงสายแกว่งถึงจดุ ศูนย์กลางลกู ตุ้ม (m)

พสิ จู น์สมการความสมั พนั ธข์ องคา่ คงตวั สปรงิ มวลของวัตถุ ความถเี่ ชงิ มุมของระบบการเคลอื่ นที่แบบ
ฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย →  = √gl

แบบทดสอบความเขา้ ใจ
1. ลูกต้มุ แขวนด้วยเชอื กยาว 0.4 เมตร แกวง่ ไปมาดว้ ยแอมพลจิ ดู 0.1 เมตร จงหาความเรว็ ขณะเคล่อื นผ่าน
จดุ สมดุล

ฟสิ กิ ส์ ม.5 เร่อื ง การเคลื่อนที่แบบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย ครมู นสั นนั ท์ คำทวี

2. ความเร็วสูงสดุ ของวัตถุท่กี าลงั แกวง่ แบบซิมเปิลฮาร์มอนิกดว้ ยคาบของการแกวง่ 0.2 วินาที
และแอมปลจิ ดู 2 เซนติเมตร จะมีคา่ เท่ากับเทา่ ใด

3. ลกู ตุ้มนาฬิกาอนั หนง่ึ แกวง่ 100 รอบในเวลา 200 วนิ าที ความเร่งสูงสุดในการเคลื่อนท่ีของลูกตุ้ม
เป็น 2 เมตร/วินาที2 การกระจดั สูงสดุ ในการแกวง่ น้ีเปน็ กี่เซนตเิ มตร

20

4. ต้องการให้ลูกตุ้มนาฬิกาแกวง่ ในระนาบบนพน้ื โลกให้ครบรอบภายในเวลา 2 วนิ าที จะต้องออกแบบให้สาย
ลกู ตมุ้ นาฬิกายาวก่เี มตร (ให้ 2 = 10 )

5. ลกู ตุม้ แขวนดว้ ยเชอื กยาว 1 เมตร แกว่งไปมาด้วยคาบ 2 วินาที ถา้ ลกู ตุ้มแขวนดว้ ยเชือกยาว 9 เมตร
จะแกว่งดว้ ยคาบเทา่ ใด

ฟิสกิ ส์ ม.5 เรือ่ ง การเคลอ่ื นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย ครูมนัสนนั ท์ คำทวี

3. การกระจัดของการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย
พจิ ารณาการเคล่ือนทขี่ องมุดทรงกระบอกเคล่ือนทีเ่ ปน็ วงกลมดว้ ยอัตราเรว็ เชงิ มุมคงตวั () เมอื่ เวลา

ใดๆ (t) แผน่ กลมหมุนไปเป็นมมุ  เงาของหมดุ มีการเคลอ่ื นท่จี ากตำแหนง่ เร่ิมตน้ ไปยงั ตำแหนง่ ใดๆ (xi) เงา
จะเคลือ่ นทดี่ ้วยความถเ่ี ชงิ มุมเท่ากับอัตราเรว็ เชงิ มุมของหมุด 

-A X=0 A

การกระจดั ของเงาจะเทา่ กบั

เมื่อ  = t

โดยการกระจดั จะมีทิศไปทางขวา
จากสมการขา้ งต้น การกระจัดกับเวลาของเงามีความสมั พันธ์เปน็ ฟงั กช์ ันลักษณะแบบไซน์

เขียนกราฟความสัมพันธ์ของการกระจดั ของเงากบั เวลา เม่ือคลืน่ ครบ 1 รอบได้ดงั นี้

ฟิสกิ ส์ ม.5 เรอ่ื ง การเคลื่อนทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย ครมู นัสนนั ท์ คำทวี

กรณีทัว่ ไป ตำแหน่งเริ่มต้น (t=0) หมดุ ของทรงกระบอกเคลือ่ นท่จี ากจดุ a ไปแล้วเปน็ มุม  เงาของ

หมุดไม่ได้อย่ทู ่ีตำแหน่งสมดลุ (x=0) จะเรยี กมมุ  นนั้ ว่า เมือ่ เวลาผ่านไป t

ใดๆ หมุดเคล่ือนทตี่ ่อไปจนเป็นมมุ +t ซ่ึงเรยี กว่า ของเงาขณะนนั้

 t

-A X=0 A

เขยี นเป็นสมการความสมั พันธ์การกระจัดของเงาทเ่ี กดิ ขนึ้ กับเวลา
ได้เปน็ เม่ือ  คือ เฟสเรม่ิ ตน้ หร่อื มุมเร่มิ ตน้ ที่

เวลา t = 0
โดยสามารถนำไปใช้อธบิ ายการกระจดั ของการเคล่ือนท่แี บบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ยของวตั ถุเป็น
ฟังก์ชนั ของเวลา

แบบทดสอบความเขา้ ใจ
1 จงเขียนสมการการกระจดั ท่ขี ้นึ กับเวลาของวัตถุติดปลายสปริงที่เคล่อื นทีแ่ บบฮาร์มอนิกอย่างง่ายมีตำแหนง่
เริ่มตน้ ต่างกันในตารางกำหนดใหค้ วามถ่เี ชิงมุมเทา่ กับ  แอมพลจิ ูด เทา่ กับ A

ฟสิ กิ ส์ ม.5 เรอ่ื ง การเคล่ือนท่ีแบบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย ครมู นสั นนั ท์ คำทวี

2. วตั ถุชน้ิ หน่ึงท่ีมกี ารเคลื่อนทีแ่ บบฮาร์มอนิกอย่างงา่ ยบนพนื้ ราบแนวระดับ กราฟระหวา่ งการกระจดั กับเวลา
เปน็ ดงั รูป

x(cm)
5

123 456 t(s)

-5

ก. การกระจดั ของวตั ถุเปน็ ศูนย์ ท่เี วลาใด ข. ทเี่ วลา t = 2.5 s การกระจดั ของวตั ถุมคี ่าเทา่ ใด

ค. ระยะทางท่เี คล่ือนท่ีได้ทงั้ หมด ง. ความเรว็ ของวตั ถุเปน็ ศุนย์ ที่เวลาใด

3. อนุภาคหน่ึงมกี ารเคล่อื นที่แบบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย มีการกระจดั เปน็ x = (0.10 m) sin(t)

ก. จากสมการในโจทย์ จงระบุ มุมเฟส เฟสเริ่มตน้ ข. ทเี่ วลา t = 1.0 วินาที มมุ เฟสและการกระจดั

ความถเี่ ชิงมุมและแอมพลจิ ูด ของอนุภาคมีคา่ เทา่ ใด

ฟสิ กิ ส์ ม.5 เรอื่ ง การเคลื่อนทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย ครมู นสั นนั ท์ คำทวี

4. ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนทแ่ี บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย
4.1 ความเรว็ ของการเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนิก ของเงาหาไดจ้ ากองค์ประกอบความเร็วของวตั ถทุ ี่

กำลังเคลื่อนท่ีแบบวงกลมด้วยอัตราเร็ว v0 ขณะเวลาใด ๆ (t) ความเรว็ ของเงาเท่ากับความเรว็ ตามแนว
ระดับของหมุด

หาไดจ้ าก v = v0 cos 
จาก  = t +  และ v0 = A

จะได้

 t V(m/s) V=A cos (t)
A
-A X=0 A
t(s)


-A

4.2 ความเรง่ ของการเคล่อื นท่ีแบบฮารม์ ินิกอยา่ งง่าย ของเงาหาได้จากความเร่งในแนวระดับของ
หมดุ โดยทีข่ นาดความเร่งของเงาเทา่ กับขนาดความเรง่ ในแนวระดับของหมุดแตม่ ีทิศตรงขา้ มกบั การ
กระจดั ขณะเวลาใด ๆ (t)

หาได้จาก a = -ac sin 
จาก  = t +  และ ac = A2

จะได้

 t

a(m/s2) a=-A2 sin (t)
A

t(s)

T

-A

-A X=0 A

ฟสิ ิกส์ ม.5 เรอ่ื ง การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย ครมู นัสนนั ท์ คำทวี

ดงั นน้ั เราจะสามารถหาการหาการกระจดั ความเร็ว ความเรง่ ณ.จุดใด ๆ ของการเคล่ือนท่แี บบ

ฮาร์มอนิกอย่างง่าย การหาความเร็ว และความเรง่ ณ จุดใด ๆ หาได้จากสมการ

vt ความเรว็ ณ เวลาใด ๆ at ความเรง่ ณ เวลาใด ๆ

vs ความเรว็ ณ ระยะหา่ งจากจดุ สมดลุ as ความเร่ง ณ ระยะหา่ งจากจุดสมดลุ

แบบทดสอบความเขา้ ใจ

1. อนภุ าคมีการกระจัดเป็น x = (0.10 m) sin (t) สมการความเรว็ ของอนภุ าคเปน็ อย่างไร
และทเ่ี วลา t = 1.0 วนิ าที ความเรว็ ของอนภุ าคมีคา่ เท่าใด

2. อนุภาคหนึง่ มีการเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย มกี ารกระจัดเปน็ x = (0.10 m) sin(t) สมการ
ความเรง่ ของอนภุ าคเป็นอยา่ งไร และที่เวลา t = 1.0 วินาที ความเร่งของอนภุ าคมีคา่ เท่าใด

ฟสิ ิกส์ ม.5 เร่ือง การเคลื่อนทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่าย ครูมนัสนนั ท์ คำทวี

3. วตั ถเุ คล่อื นท่แี บบฮารม์ อนิกอย่างง่าย มคี วามถี่ 2 รอบ 4. วตั ถหุ นึ่งเคลื่อนท่แี บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ยรอบตาแหนง่
ต่อวินาที ณ ตาแหนง่ ท่ีมีการกระจดั 7 เซนตเิ มตร วตั ถจุ ะ สมดลุ โดยมีความถี่เชิงมมุ 0.4 เรเดยี นต่อวนิ าที และขนาด
มีความเรง่ เทา่ ใด การกระจดั สงู สดุ 10 เซนตเิ มตร ขณะท่ีวตั ถอุ ย่หู า่ งจาก
ตาแหน่งสมดลุ เป็นระทาง 8 เซนตเิ มตร วตั ถมุ ีอตั ราเรว็ เท่าใด

5. อนภุ าคหนึ่งเคลื่อนท่แี บบ SHM ด้วยชว่ งกวา้ ง 1.5 เมตร 6. ซิมเปิลฮารม์ อนิก มีชว่ งกวา้ ง 8 เซนติเมตร และคาบ 4

ความถ่ี 50 เฮริ ตซ์ จงหาความเร็วและความเรง่ เมือ่ การกระ วินาที จงหาความเรง่ ณ. ท่ี 0.5 วินาที
จดั เปน็ 1 เมตร