วงกลม

พีระมิด กรวย และทรงกลม (Surface Area & Volume : 2) Page 0 เอกสารประกอบการเรียนการสอน l คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 l คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 ทบทวนการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม และทรงกระบอก วงกลม

Blank

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 1 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย บทที่ 2 วงกลม 2.1 มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม 2.2 คอร์ดของวงกลม 2.3 เส้นสัมผัสวงกลม จุดประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว นักเรียนจะสามารถ 1. บอกทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม คอร์ดของวงกลมและเส้นสัมผัสวงกลม 2. นำทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลมไปใช้ในการให้เหตุผลและการแก้ปัญหา คณิตศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 2 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 2.1 มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม เมื่อเราสร้างเส้นตรง ส่วนของเส้นตรง หรือรังสี เพิ่มที่วงกลม อาจทำให้เกิดการแบ่งเส้นรอบวงของวงกลม ออกเป็นส่วนโค้งใหญ่และส่วนโค้งน้อย หรืออาจทำให้เกิดมุมที่จุดศูนย์กลาง มุมในส่วนโค้งของวงกลม มุมในครึ่ง วงกลม ในหัวข้อนี้ เราจะให้ความหมายของส่วนโค้งและมุมต่าง ๆ ข้างต้น ดังนี้ ❖ เมื่อเราแบ่งเส้นรอบวงของวงกลมออกเป็น 2 ส่วน ในกรณีที่ส่วนโค้งทั้งสองยาวเท่ากัน จะเรียกส่วนโค้งแต่ละ ส่วนว่า ครึ่งวงกลม (semicircle) ดังรูป แต่หากส่วนโค้งทั้งสองยาวไม่เท่ากัน ดังรูป จะเรียกส่วนโค้งที่ยาวกว่า ว่า ส่วนโค้งใหญ่ (major arc) จะเรียกส่วนโค้งที่สั้นกว่า ว่า ส่วนโค้งน้อย (minor arc) จากรูป เรียกส่วนโค้ง ACB ว่า ส่วนโค้งใหญ่ AB เขียนแทน ส่วนโค้งใหญ่ AB ด้วย ACB เรียกส่วนโค้ง ADB ว่า ส่วนโค้งน้อย AB เขียนแทน ส่วนโค้งน้อย AB ด้วย ADB ในที่นี้ เมื่อกล่าวถึง ส่วนโค้ง AB จะหมายถึงส่วนโค้งน้อย AB และเขียนแทนด้วย ❖ มุมที่จุดศูนย์กลาง (central circle) คือ มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุดยอดมุม และแขนทั้งสองของ มุมตัดวงกลม จากรูป ˆ AOB และมุมกลับ AOB เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O ซึ่ง ซึ่ง ˆ AOB รองรับด้วยส่วนโค้ง AB และมุมกลับ AOB รองรับด้วยส่วนโค้ง ACB ครึ่งวงกลม A O B ส่วนโค้งใหญ่ C D ส่วนโค้งน้อย B O A A B O C

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 3 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย ❖ มุมในส่วนโค้งของวงกลม (inscribed angle) คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุม ตัดวงกลม จากรูป ˆ ABC เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม O ที่รองรับด้วย ADC ในกรณีที่มุมในส่วนโค้งของวงกลมมีแขนทั้งสองของมุมผ่านจุดปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง จะเรียก มุมในส่วนโค้งของวงกลมนั้นว่า มุมในครึ่งวงกลม (Angle inscribed in a semicircle) จากรูป AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ ˆ ABC เป็นมุมในครึ่งวงกลมที่รองรับด้วย ADC มุมที่จุดศูนย์กลางและส่วนโค้งที่รองรับมุม ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้า มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้ว ส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางนั้นจะยาว เท่ากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้า ส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้ว มุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาด เท่ากัน O B A C D O B A C D O A B C O O

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 4 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย มุมที่จุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม ทฤษฎีบท ในวงกลมวงกลมวงเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุม ในส่วนโค้งของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน จากรูป ˆ ˆ AOB 2ACB = หรือ 1 ˆ ˆ AOB ACB 2 = มุมในส่วนโค้งของวงกลมและส่วนโค้งที่รองรับมุม ทฤษฎีบท ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมวงหนึ่งซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะ มีขนาดเท่ากันเสมอ จากรูป ˆ ˆ ABD DCA = และ ˆ ˆ BAC CDB = ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้า มุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเท่ากัน แล้ว ส่วนโค้งที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะยาว เท่ากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้า ส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้ว มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมี ขนาดเท่ากัน A B C O O C A B O D A B C

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 5 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย ตัวอย่างที่ 1 จากวงกลม O ที่กำหนดให้ จงหาขนาดของ ˆ CAD ˆ CAD= แบบฝึกหัด 2.1 ก 1. จากวงกลม O ที่กำหนดให้ จงหาค่า x 1) 2) x = x = 3) 4) x = x = 70° 40° A O C B D E x 25 O B A C D E 25 50 L x O K J M N x O 120 x O

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 6 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 2. จากรูป กำหนดให้ QS ตัด RP ที่จุด T QR QS = , ˆ RQS 64 = และ RP แบ่งครึ่ง QRS ˆ จงหาขนาดของ ˆ PSQ ˆ PSQ = 3. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ OAB 35 ˆ = จงหาขนาดของ ˆ ACB ˆ ACB= 4. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ ˆ BAC 50 = จงหาขนาดของ ˆ BOC และขนาดของ OCB ˆ ˆ BOC = OCB ˆ = 5. จากรูป กำหนดให้ AC ตัด BD ที่จุด E ถ้า ˆ EAD 22 = , ˆ ABE 50 = และ ˆ BCE 55 = จงหาขนาดของ ˆ CDE ˆ CDE= 6. จากรูป กำหนดให้ OE ตัด WR ที่จุด P ถ้า ˆ POW 64 = และ ˆ PER 42 = จงหาขนาด ของ OPW ˆ OPW ˆ = 64 T S R P Q 35 O A B C 50 O B C A E B C A P W O E R

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 7 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย มุมในครึ่งวงกลม ทฤษฎีบท มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือหนึ่งมุมฉาก ตัวอย่างที่ 2 จากรูป AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ ˆ CAD 42 = จงหาขนาดของ ˆ ABD ˆ ABD= รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม ทฤษฎีบท ถ้ารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม แล้วผลบวกของขนาดของมุมตรงข้าม จะเท่ากับสองมุมฉาก O A B C 42° C O A D B A B C D O

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 8 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย ตัวอย่างที่ 3 จากรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม O และ ˆ BOD 140 = จงหาขนาดของ ˆ DCE DCE ˆ = แบบฝึกหัด 2.1 ข 1. จากวงกลม O ที่กำหนดให้ จงหาค่า x 1) 2) x = x = 2. จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ ˆ ACO 35 = จงหาขนาดของ OBC ˆ OBC ˆ = 3. จากรูป ˆ ACB เป็นมุมในครึ่งวงกลม O และ ˆ BAC 32 = จงหาขนาดของ ˆ BCO ˆ BCO = 140° O B D A C E x 65° O 37° x O 35° A O B C 32° A D O C B

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 9 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 4. จากรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม O และ ˆ ABC 100 = จงหาขนาดของมุมต่อไปนี้ 1) มุมกลับ AOC = 2) ˆ AOC = 3) ˆ ADC= 5. จากรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม O มี AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม CE และ DE เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากต่อจาก BC และ AD ตามลำดับ และ ˆ BOD 100 = จงหาขนาดของ ˆ AEB AEB ˆ = 6. จากรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม O มี AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ˆ ACB 30 = และ ˆ ABD 40 = จงหาขนาดของ ˆ BDC และขนาด ของ ˆ CAD ˆ BDC= ˆ CAD= 7. จากรูป ˆ ACB เป็นมุมในครึ่งวงกลม O OD // BC และ BAC 18 = จงหาขนาดของ ˆ ADO ˆ ADO = 100° O A B C D E C O B D A A O C D B 18° D A O B C

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 10 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 8. จากรูป O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ˆ BAO 45 = และ ˆ CDE 115 = จงหาว่า ˆ ˆ AOE BOC + เท่ากับกี่ องศา ˆ ˆ + AOE BOC = 9. จากรูป BCDE เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม BA และ EA เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากต่อจาก CB และ DE ตามลำดับ จงพิจารณาว่า CAD EAB หรือไม่เพราะเหตุใด 10. จากรูป BD แบ่งครึ่งมุม ADC ˆ ACD 68 = และ ˆ CBD 40 = จงหาขนาดของ ˆ ACB ˆ ACB= 115° 45° O A B E D C E B A C D 68° 40° B A D C

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 11 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 2.2 คอร์ดของวงกลม คอร์ด (chord) คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกัน คอร์ดแต่ละเส้นจะแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้ง 2 ส่วน จากรูป AB เป็นคอร์ดของวงกลม O ซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้ง 2 ส่วน คือ ส่วนโค้งใหญ่ ACB และ ส่วนโค้งน้อย AB ความยาวของ ACB เขียนแทนด้วย m(ACB) ความยาวของ AB เขียนแทนด้วย m(AB) คอร์ดและส่วนโค้งของวงกลม ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองเส้นยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองจะตัดวงกลม ทำให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากันและส่วนโค้งใหญ่ยาว เท่ากัน ทฤษฎีบท ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน ถ้าคอร์ดสองเส้นตัดวงกลม ทำให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน O A B C O A B C D

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 12 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย คอร์ดและจุดศูนย์กลางของวงกลม ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรงซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่าน ศูนย์กลางจะมีสมบัติดังนี้ 1) ถ้าส่วนของเส้นตรงแบ่งครึ่งคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอร์ด 2) ถ้าส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะแบ่งครึ่งคอร์ด ทฤษฎีบท เส้นตรงที่ตั้งฉากและแบ่งครึ่งคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น ตัวอย่างที่ 4 จากรูป กำหนดให้ AB เป็นคอร์ดของ วงกลม O, AM = BM และ ˆ BOM 65 = จงหาขนาด ของ OAM ˆ OAM ˆ = ตัวอย่างที่ 5 จากรูป กำหนดให้ PR เป็นเส้นผ่าน ศูนย์กลางของวงกลม O, m(RS) m(QR) = , PR = 25 หน่วย และ QR = 15 หน่วย จงหาความยาวของ PS PS = หน่วย A B C O D M O A B 25 15 S R O P Q

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 13 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย แบบฝึกหัด 2.2 1. จากวงกลมที่กำหนดจุดศูนย์กลางมาให้ จงหาค่า x และ y 1) 2) x = y = x = y = 3) 4) x = y = x = y = 5) 6) x = y = x = y = 2. จากวงกลมที่กำหนดจุดศูนย์กลางมาให้ จงหาความยาวรอบรูป SET 1) 2) ความยาวรอบรูป SET = ความยาวรอบรูป SET = 32 y x A x y 108 B y x 15 C y 65 x D x y 250 E x y F 7 S T E 8 15 A T S E

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 14 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 3) 4) ความยาวรอบรูป SET = ความยาวรอบรูป SET = 3. จากรูป m(AR) m(AC) = จงพิจารณาว่า ARC เป็นรูปสามเหลี่ยมชนิดใด เพราะเหตุใด ARC เป็นรูปสามเหลี่ยม เพราะ 4. จากวงกลม O มี m(RA) m(AP) = และ ˆ ˆ RAG HAP = จงพิจารณาว่า HA ยาวเท่ากับส่วนของ เส้นตรงใด เพราะเหตุใด HA = เพราะ 5. จากวงกลม O มี AO = BO, AO SU ⊥ , BO SM ⊥ และ ˆ SUM 50 = จงหาขนาดของ OSM ˆ OSM ˆ = 2 2.5 1.5 A S E T 1.2 1.6 A S E T C A R H P O A G R 50° A B M S U

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 15 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 6. จากวงกลม O มีรัศมียาว 5 หน่วย RW = 8 หน่วย จง พิจารณาว่า ROW เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด และมี พื้นที่เท่าใด ROW เป็นรูปสามเหลี่ยม ROW มีพื้นที่ ตารางหน่วย 7. จากวงกลม O มี SY = 18 เซนติเมตร KY = 6 เซนติเมตร และ YO = 13 เซนติเมตร จงหาว่า SK อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง O กี่เซนติเมตร SK อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง O เซนติเมตร 8. จากวงกลม O มี ES = BT ส่วนต่อของ ES และ BT ตัดกันที่จุด U ถ้า EU = 14 หน่วย และ BT = 6 หน่วย แล้ว TU จะยาวกี่หน่วย เพราะเหตุใด TU = เพราะ O R W K O Y S U T B S O E

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 16 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 2.3 เส้นสัมผัสวงกลม เส้นสัมผัสวงกลม (tangent line to a circle) เป็นเส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียกจุดนั้น ว่า จุดสัมผัสวงกลม(point of tangent) เส้นสัมผัสวงกลมและรัศมี ทฤษฎีบท เส้นสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส ทฤษฎีบท เส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดจุดหนึ่งบนวงกลมจะเป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด นั้น ทฤษฎีบท ส่วนของเส้นตรง 2 เส้น ที่ลากจากจุดจุดหนึ่งภายนอกมาสัมผัสวงกลมวงเดียวกันจะ ยาวเท่ากัน A B C O P Q X O A B P O

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 17 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย ตัวอย่างที่6 กำหนดให้ จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มี PA และ PB เป้ฯเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A และจุด B ตามลำดับ และ ˆ APB 60 = จงหาขนาดของ ˆ ACB 1) 2) ˆ ACB= ˆ ACB= เส้นสัมผัสวงกลมและคอร์ดของวงกลม ทฤษฎีบท มุมที่เกิดจากคอร์ดเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัส จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วน โค้งของวงกลมที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น ตัวอย่างที่7 จากรูป PA และ PB เป้ฯเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A และจุด B ตามลำดับ ถ้า ˆ ACB 68 = จงหา ขนาดของ ˆ APB ˆ APB= 60° P O A B C 60° P O F G C P A Q B C O 68° A P B C

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 18 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย แบบฝึกหัด 2.3 1. จากวงกลม O ที่กำหนดให้ จงหาค่า x เมื่อ 1) P เป็นจุดสัมผัส 2) P และ Q เป็นจุดสัมผัส x = x = 3) P เป็นจุดสัมผัส 4) P และ Q เป็นจุดสัมผัส x = x = 2. จากวงกลม O ที่กำหนดให้ 1) จงหา OA เมื่อ P และ Q เป็นจุดสัมผัส 2) จงหา BC เมื่อ P เป็นจุดสัมผัส OA = หน่วย BC = หน่วย x 55° B O P A C x 250° A O Q P 33° 52° x P S R Q x 80° A Q O B P 15 8 A O P Q 12 5 C O P B

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 19 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 3) จงหา AQ เมื่อ P และ Q เป็นจุดสัมผัส 4) จงหา AB เมื่อ P, Q, R และ S เป็นจุด สัมผัสของวงกลม O ซึ่งมีรัศมียาว 1 หน่วย AQ = หน่วย AB = หน่วย 3. 4. ˆ AOC = ˆ ABD = 5. 6. ˆ BAC = และ ˆ ACB = ˆ ACB = 18 B 7 O P Q A B P Q O R S 52° O A C 100° O A B C D 65° 80° B A C 70° D B O A C

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 20 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 7. 8. ˆ BAC = ˆ APB = 9. 10. ˆ ACO = ˆ ADC = และ ˆ ABC = 68° A B C D 220° P O B A 38° 118° A O C B 38 24° ° 28° Y D C B A

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 21 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม จากรูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่า x โดยจุด o ที่กำหนดให้ในรูปหมายถึง จุดศูนย์กลางของวงกลม 1. 2. x = x = 3. 4. x = x = 5. 6. x = x = 7. 8. x = x = O C D A B x 18° O A B C D 37° x 35° x O A B C C B A O x 50° 100° D 30° x O A B C C B A O x 115° x 28° D C B A O x 25° 50° A B C D

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 22 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 9. 10. x = x = 11. 12. x = x = 13. 14. x = x = 15. 16. x = x = 17. 18. x = x = D C B A 64° x O 22° 55° 50° D C B A x x 40° 68° D C B A D C B A x 50° 26° C B A O x 150° A B O C 130° x x 52° A C O A D B x 52° 46° B D A E C 48° x A B D O C 65° 61° A x B D C

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 23 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 19. 20. x = x = 21. 22. x = x = 23. 24. x = x = 25. 26. x = x = E A x B C D 140° O A 60° D B C x A x 23° C D B O A 36° x B D O C D A B C O E x 70° 25° C B A 120° O x 76° C B D x 78° E A T 54° B A x O

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 24 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 27. 28. x = x = 29. 30. x = x = 31. 32. x = x = 33. 34. x = x = O P T B x 33° A 28° x P B O Q T C A C O 38° 25° Q A P x B D O C B A D 24° x O O C B x D 82° 122° A C 38° H A B J E x G F D O 31° 42° 33° B 21° x D C A T O x A B C O D E 25° 20° 205°

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 25 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 35. 36. x = x = 37. 38. x = x = 39. 40. x = x = 41. 42. x = x = x T O E C B A D 42° 46° E B C F O 150° x 40° A D G 58° x F S T E H 30° 28° 40° x O C D E A B 27° 76° x A E B C D 54° O2 x 36° M T S O1 L N K J 25° A B C D O x 28° 46° 69° A B C O x P T

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 26 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 43. 44. x = x = 45. 46. x = x = 47. 48. x = x = 49. 50. x = x = 51. 52. x = x = 36° A C B O x D T 20° B 50° A C O x D E 18° 48° A B C O x P 70° A B C x D 25° P E D x C B A 70° 35° E O D x C B A 25° Q R S U O P T x S 33° O M K T N L x 14 50 O C B A x 12 10 x D O E C B A 25

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 27 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 53. 54. x = x = 55. 56. x = x = 57. 58. x = x = 59. 60. x = x = 61. 62. x = x = 8 16 12 A B C D O E x 12 4.5 x O E D C B A 10 10 x O E D C B A F 30 24 14 x O D C B A F 5 12 x O B A T 9 40 x O T A 60 50 T B A O x 24 7 T B A O x 37 T B A O x 24 16 T C B A O x

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 28 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย 63. 64. x = x = 65. 66. x = x = 67. 68. x = x = 69. 70. x = x = 48 30 13 F D E C B A O x 1" 6" 5" D C A B O x 2.5" O A B C D x S 13" 12" 8" x B C D A 3" 10" 4" x O C D A M B N 8 4 x C A O B T 13 8 R x P Q S 9" x 6" T C B A

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 29 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย ให้นักเรียนหาจุดศูนย์กลางของวงกลมต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนวิธีการสร้าง กิจกรรมหาจุดศูนย์กลางของ วงกลม วิธีสร้าง

เอกสารประกอบการเรียนการสอน | คณิตศาสตร์พื้นฐาน(พิเศษ) 6 | คณิตศาสตร์เพิ่มเติม(พิเศษ) 6 บทที่ 2 วงกลม 30 เรียบเรียงโดย ครูจารุวรรณ ศริจันทร์ โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย ให้นักเรียนสร้างวงกลมผ่านจุดสามจุดต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนวิธีการสร้าง ให้นักเรียนสร้างวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนวิธีการสร้าง กิจกรรมสร้างวงกลมรอบรูป สามเหลี่ยม วิธีสร้าง กิจกรรมสร้างวงกลมแนบในรูป สามเหลี่ยม วิธีสร้าง