3.แผนการจัดการเรียนรู้การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง

แผนการจัดการเรียนรู้
วชิ าคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ค 23101
ระดบั ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 โรงเรยี นบ้านดงุ วิทยา

จดั ทำโดย
นายคณพล พุทธตาล

รหสั นกั ศึกษา 62040140115
นักศึกษาฝึกประสบการณ์วชิ าชพี ครู สาขาวชิ าคณิตศาสตร์

คณะครศุ าสตร์ มหาวิทยาลัยราชภฏั อดุ รธานี
ปีการศึกษา 2565

คำนำ

แผนการจดั การเรียนรู้ รายวิชาคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน รหัสวิชา ค23101 ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 3 เลม่ น้ี
จัดทำขึน้ เพอ่ื ใช้เป็นแนวทางในการจดั การเรียนการสอนให้มปี ระสทิ ธภิ าพ และให้นักเรียนบรรลตุ ามมาตรฐาน
การเรียนรู้/ตวั ชว้ี ัด ทีก่ ำหนดไว้ในหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551 (ฉบบั ปรับปรุง
พ.ศ. 2560) ผู้จดั ทำจงึ ไดศ้ ึกษาสาระการเรยี นรู้พืน้ ฐานให้เข้าใจอย่างถอ่ งแท้ จึงไดน้ ำปัญหาทีพ่ บจาก
ประสบการณ์ และความรูท้ ่ีไดจ้ ากการอบรมสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ เทคนคิ วิธีการสอน การวัดผล
ประเมินผล จติ วทิ ยาการเรยี นรู้ ตลอดจนความรูท้ ่ีไดจ้ ากการศกึ ษาค้นควา้ ดว้ ยตนเอง มาจัดทำแผนการจดั การ
เรยี นรู้ในครงั้ นี้

แผนการจดั การเรียนรู้เลม่ น้ปี ระกอบไปดว้ ย หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 เรื่อง พน้ื ที่ผวิ และปริมาตร โดยในแต่
ละแผนการจัดการเรียนรจู้ ะประกอบดว้ ย มาตรฐานการเรียนรแู้ ละตวั ชวี้ ัด สาระการเรียนรู้ จดุ ประสงค์การ
เรยี นรู้ กจิ กรรมการเรยี นรู้ สอื่ /แหล่งการเรยี นรู้ การวดั และประเมนิ ผล รวมทง้ั ยงั มีใบกิจกรรม ใบความรู้ พร้อม
ท้งั มเี ฉลยไวใ้ ห้สำหรบั ครผู ู้สอนดว้ ย ซึ่งจะทำให้การจดั กิจกรรมการเรียนการสอนเปน็ ไปอย่างราบร่ืน เพื่อให้
ผู้เรียนบรรลมุ าตรฐานการเรยี นรู้ได้เต็มศกั ยภาพอย่างแทจ้ ริง

ผจู้ ดั ทำหวังเป็นอยา่ งย่งิ ว่าแผนการจดั การเรยี นรเู้ ล่มน้ีจะเป็นประโยชน์ตอ่ การจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้
ของตวั ผูส้ อนเอง เปน็ ประโยชน์ตอ่ ผ้ทู ่ีสนใจ หรือเปน็ ประโยชนต์ ่อผสู้ อนแทนเปน็ อย่างมาก หากผิดพลาด
ประการใดผูจ้ ดั ทำก็ขออภยั มา ณ โอกาสนี้ดว้ ย

คณพล พทุ ธตาล

สำรบัญ

หนา้

คำนำ......................................................................................................................................................... ก
สำรบญั ...................................................................................................................................................... ข
หลกั สตู รแกนกลำงกำรศกึ ษำขน้ั พนื้ ฐำน พทุ ธศกั รำช 2551(ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. 2560) ............................................ 1
คำอธิบำยรำยวชิ ำ ภำคเรียนท่ี 1 ..................................................................................................................... 6
ตวั ชี้วัดและสาระการเรียนรูแ้ กนกลาง ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3 ................................................................................. 7
โครงสรำ้ งรำยวชิ ำ ...................................................................................................................................... 10
กำหนดกำรจดั กำรเรียนรู้ ............................................................................................................................. 14
อตั รำสว่ นคะแนน....................................................................................................................................... 18
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 1 ................................................................................. ผดิ พลาด! ไม่ได้กาหนดบกุ๊ มารก์
แผนกำรจดั กำรเรยี นรูท้ ่ี 2................................................................................. ผดิ พลาด! ไม่ได้กาหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรียนร้ทู ่ี 3 ................................................................................. ผดิ พลาด! ไมไ่ ด้กาหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรียนร้ทู ี่ 4 ................................................................................. ผิดพลาด! ไมไ่ ด้กาหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 6 ................................................................................. ผดิ พลาด! ไมไ่ ดก้ าหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 7 ................................................................................. ผดิ พลาด! ไมไ่ ดก้ าหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 8 ................................................................................. ผิดพลาด! ไม่ไดก้ าหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรียนรูท้ ่ี 9 ................................................................................. ผิดพลาด! ไมไ่ ด้กาหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 10................................................................................ ผดิ พลาด! ไมไ่ ดก้ าหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 11................................................................................ ผิดพลาด! ไม่ได้กาหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรียนรูท้ ี่ 12................................................................................ ผดิ พลาด! ไม่ได้กาหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 13................................................................................ ผดิ พลาด! ไม่ไดก้ าหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรยี นรูท้ ่ี 14................................................................................ ผดิ พลาด! ไมไ่ ด้กาหนดบกุ๊ มารก์
แผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 15................................................................................ ผดิ พลาด! ไม่ได้กาหนดบกุ๊ มารก์

1

หลกั สูตรแกนกลำงกำรศึกษำข้ันพืน้ ฐำน พทุ ธศักรำช 2551

(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)

ทำไมต้องเรียนคณติ ศาสตร์
คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคญั ย่ิงตอ่ ความสำเร็จในการเรยี นรใู้ นศตวรรษที่ 21 เน่ืองจากคณิตศาสตร์ช่วย

ให้มนษุ ยม์ ีความคิดรเิ ร่ิมสรา้ งสรรค์ คดิ อยา่ งมเี หตผุ ล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือ
สถานการณ์ได้อย่างรอบคอบและถีถ่ ้วน ชว่ ยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจแกป้ ัญหาได้อยา่ งถูกต้องเหมาะสม
และสามารถนำไปใช้ในชวี ติ จริงไดอ้ ย่างมปี ระสิทธภิ าพ นอกจากน้ีคณิตศาสตรย์ ังเปน็ เคร่อื งมือในการศึกษา
ดา้ นวทิ ยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์อ่นื ๆ อนั เป็นรากฐานในการพัฒนาทรัพยากรบุคคลของชาติใหม้ ี
คณุ ภาพและพฒั นาเศรษฐกิจของประเทศใหท้ ัดเทียมกบั นานาชาติ การศึกษาคณิตศาสตร์จึงจำเป็นตอ้ งมกี าร
พัฒนาอยา่ งต่อเนื่อง เพื่อให้ทันสมัยและสอดคล้องกับสภาพเศรษฐกิจ สงั คม และความรทู้ างวทิ ยาศาสตร์และ
เทคโนโลยที ี่เจรญิ กา้ วหน้าอย่างรวดเรว็ ในยคุ โลกาภวิ ัตน์

ตัวช้วี ดั และสาระการเรยี นรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลาง
การศึกษาข้นั พน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) ฉบับนี้ จดั ทำขน้ึ โดยคำนงึ ถึงการสง่ เสรมิ ให้
ผ้เู รยี นมที กั ษะท่ีจำเปน็ สำหรับการเรยี นรู้ในศตวรรษที่ 21 เปน็ สำคญั น่ันคือ การเตรยี มผูเ้ รยี นให้มที ักษะดา้ น
การคิดวเิ คราะห์ การคิดอยา่ งมีวิจารณญาณ การแก้ปัญหา การคิดสร้างสรรค์ การใช้เทคโนโลยี การสือ่ สารและ
การรว่ มมือ ซ่งึ จะส่งผลให้ผู้เรียนรูเ้ ทา่ ทันการเปลีย่ นแปลงของระบบเศรษฐกิจ สังคม วัฒนธรรม และ
สภาพแวดล้อม โดยผเู้ รียนสามารถแข่งขันและอยู่ร่วมกับประชาคมโลกได้ ทั้งนี้การจดั การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตรท์ ่ี
ประสบความสำเร็จนัน้ จะต้องเตรยี มผเู้ รียนใหม้ คี วามพร้อมท่จี ะเรยี นรูส้ ่ิงต่างๆ พร้อมที่จะประกอบอาชพี เม่อื
จบการศึกษาหรือสามารถศึกษาตอ่ ในระดับทส่ี ูงข้ึน ดงั น้นั สถานศึกษาควรจดั การเรยี นรูใ้ หเ้ หมาะสมตาม
ศกั ยภาพของผูเ้ รยี น

เรยี นรอู้ ะไรในคณติ ศาสตร์
กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์จดั เป็น 3 สาระการเรียนรู้ ได้แก่ จำนวนและพชี คณิต

การวัดและเรขาคณิต และสถิติและความน่าจะเปน็ มรี ายละเอยี ดดงั น้ี
1. จำนวนและพชี คณติ เรียนรูเ้ ก่ียวกบั ระบบจำนวนจรงิ สมบัติเก่ยี วกับจำนวนจรงิ อัตราสว่ นร้อยละ

การประมาณค่า การแกป้ ัญหาเก่ียวกบั จำนวน การใชจ้ ำนวนในชวี ติ จริง แบบรูป ความสมั พนั ธ์ ฟงั กช์ นั เซต
ตรรกศาสตร์ นิพจน์ เอกนาม พหุนาม สมการ ระบบสมการ อสมการ กราฟ ดอกเบี้ยและมูลคา่ ของเงิน ลำดบั
และอนุกรม และการนำความรู้เก่ียวกบั จำนวนและพีชคณติ ไปใช้ในสถานการณ์ตา่ งๆ

2. การวดั และเรขาคณติ เรียนร้เู กี่ยวกับความยาว ระยะทาง นำ้ หนัก พ้นื ที่ ปรมิ าตร
และความจุ เงนิ และเวลา หนว่ ยวดั ระบบต่างๆ การคาดคะเนเกย่ี วกับการวัด อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ

2

รูปเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณติ ในเรื่องการเล่ือนขนาน การสะท้อน การหมุน และการนำความรูเ้ ก่ียวกับ
การวัดและเรขาคณิตไปใช้ในสถานการณต์ ่างๆ

3. สถติ แิ ละความน่าจะเป็น เรียนรเู้ กย่ี วกบั การต้ังคำถามทางสถติ ิ การเก็บรวบรวมข้อมูล การคำนวณ
ค่าสถิติ การนำเสนอและแปลผลสำหรบั ขอ้ มูลเชงิ คุณภาพและเชิงปริมาณ หลักการนับเบ้ืองตน้ ความน่าจะเป็น
การใชค้ วามรูเ้ กย่ี วกับสถติ แิ ละความนา่ จะเปน็ ในการอธบิ ายเหตุการณ์ตา่ งๆ และชว่ ยในการตัดสินใจ

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้
สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้รายวชิ าคณิตศาสตร์ ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน

พุทธศักราช 2551 (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) มีดังนี้
สาระท่ี 1 จำนวนและพีชคณิต
มาตรฐาน ค 1.1 เขา้ ใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ

จำนวน ผลที่เกดิ ขนึ้ จากการดำเนนิ การ สมบัตขิ องการดำเนินการ และนำไปใช้
มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวเิ คราะหแ์ บบรูป ความสัมพันธ์ ฟงั กช์ นั ลำดบั และอนุกรม และนำไปใช้
มาตรฐาน ค 1.3 ใชน้ ิพจน์ สมการ และอสมการ อธบิ ายความสมั พันธ์ หรือชว่ ยแก้ปัญหาท่กี ำหนดให้

สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณติ
มาตรฐาน ค 2.1 เข้าใจพน้ื ฐานเกีย่ วกบั การวัด วดั และคาดคะเนขนาดของส่ิงท่ตี ้องการวัดและนำไปใช้
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวเิ คราะห์รปู เรขาคณิต สมบตั ขิ องรปู เรขาคณิต ความสมั พันธ์ระหว่างรูป
เรขาคณิต และทฤษฎบี ททางเรขาคณิต และนำไปใช้

สาระท่ี 3 สถติ แิ ละความน่าจะเปน็
มาตรฐาน ค 3.1 เขา้ ใจกระบวยการทางสถิติ และใช้ความรู้ทางสถิตใิ นการแกป้ ัญหา
มาตรฐาน ค 3.2 เขา้ ใจหลกั การนบั เบือ้ งต้น ความนา่ จะเปน็ และนำไปใช้

ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์เป็นความสามารถท่จี ะนำไปประยุกตใ์ ช้ในการเรยี นรู้

สง่ิ ต่างๆ เพื่อให้ได้มาซ่ึงความรู้ และประยกุ ต์ใช้ในชีวติ ประจำวันได้อยา่ งมีประสทิ ธภิ าพทกั ษะ
และกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในที่นีเ้ น้นทท่ี ักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ทีจ่ ำเป็น
และต้องการพัฒนาให้เกดิ ข้นึ กับผ้เู รยี น ได้แก่ความสามารถตอ่ ไปน้ี

1. การแกป้ ัญหา เปน็ ความสามารถในการทำความเข้าใจปัญหา คดิ วิเคราะห์ วางแผนแกป้ ัญหา และ
เลือกใช้วิธีการทเ่ี หมาะสม โดยคำนงึ ถงึ ความสมเหตุสมผลของคำตอบ พรอ้ มทงั้ ตรวจสอบความถูกต้อง

2. การสอื่ สารและการส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ เปน็ ความสามารถในการใชร้ ปู ภาษาและ
สญั ลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการส่ือสาร สื่อความหมาย สรุปผล และนำเสนอได้อยา่ งถูกตอ้ ง ชดั เจน

3. การเชอ่ื มโยง เป็นความสามารถในการใช้ความรู้ทางคณิตศาสตรเ์ ป็นเครื่องมือ ในการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ เนื้อหาต่างๆ หรอื ศาสตร์อ่ืนๆ และนำไปใช้ในชวี ติ จริง

3

4. การให้เหตผุ ล เปน็ ความสามารถในการให้เหตุผล รับฟังและใหเ้ หตุผลสนบั สนุน
หรือโต้แยง้ เพื่อนำไปส่กู ารสรุป โดยมีขอ้ เท็จจรงิ ทางคณติ ศาสตรร์ องรบั

5. การคดิ สรา้ งสรรค์ เป็นความสามารถในการขยายแนวคิดที่มีอยู่เดมิ หรือสรา้ งแนวคิดใหม่เพื่อ
ปรบั ปรุง พฒั นาองคค์ วามรู้

คุณภาพผู้เรียนเมอ่ื จบช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3
เม่ือผ้เู รียนจบการเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 3 ผูเ้ รยี นควรจะมคี วามสามารถดงั นี้
1. มีความคดิ รวบยอดเก่ยี วกับจำนวนจรงิ มีความเข้าใจเก่ียวกับอตั ราส่วน สัดส่วน ร้อยละ เลขยก

กำลงั ทม่ี ีเลขชีก้ ำลงั เปน็ จำนวนเต็ม รากทีส่ องและรากท่ีสามของจำนวนจรงิ สามารถดำเนินการเกยี่ วกบั จำนวน
เตม็ เศษสว่ น ทศนยิ ม เลขยกกำลัง รากท่ีสองและรากทส่ี ามของจำนวนจรงิ
ใชก้ ารประมาณค่าในการดำเนินการและแก้ปัญหา และนำความรเู้ กย่ี วกับจำนวนไปใช้ในชีวิตจริงได้

2. มคี วามรคู้ วามเข้าใจเก่ยี วกับพ้นื ที่ผิวของปรซิ ึม ทรงกระบอก และปริมาตรของปริซึมทรงกระบอก
พรี ะมิด กรวย และทรงกลม เลอื กใชห้ นว่ ยการวดั ในระบบต่างๆ เก่ยี วกับความยาว พนื้ ที่ และปริมาตรได้อย่าง
เหมาะสม พรอ้ มทงั้ สามารถนำความรเู้ กย่ี วกับการวดั ไปใช้ในชีวิตจรงิ ได้

3. สามารถสรา้ งและอธิบายขั้นตอนการสร้างรูปเรขาคณิตสองมติ ิโดยใช้วงเวยี นและเส้นตรงอธิบาย
ลักษณะและสมบัตขิ องรปู เรขาคณิตสามมติ ิ ได้แก่ ปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย
และทรงกลมได้

4. มคี วามเข้าใจเกยี่ วกบั สมบัติของความเท่ากันทุกประการและความคลา้ ยของรปู สามเหล่ียมเสน้
ขนาน ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั และบทกลบั และสามารถนำสมบตั เิ หลา่ นั้นไปใช้ในการให้เหตุผล
และแก้ปัญหาได้ มคี วามเข้าใจเก่ยี วกบั การแปลงทางเรขาคณติ ในเรอื่ ง การสะท้อน การเล่ือนขนานการหมนุ
และนำไปใชไ้ ด้

5. สามารถนกึ ภาพและอธบิ ายลกั ษณะของรูปเรขาคณิตสองมิตแิ ละสามมติ ิ
6. สามารถวิเคราะห์และอธบิ ายความสัมพันธ์ของแบบรปู สถานการณห์ รือปัญหา และสามารถใช้
สมการเชงิ เส้นตวั แปรเดียว ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว และกราฟในการ
แกป้ ัญหาได้
7. สามารถกำหนดประเด็น เขียนข้อคำถามเกย่ี วกับปัญหาหรอื สถานการณ์ กำหนดวิธกี ารศกึ ษา เกบ็
รวบรวมข้อมลู และนำเสนอข้อมูลโดยใช้แผนภมู ิรูปวงกลม หรือรปู แบบอ่นื ท่ีเหมาะสมได้
8. เข้าใจค่ากลางของข้อมูลในเรอื่ งค่าเฉล่ยี เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ มของข้อมลู ทย่ี ังไม่ได้แจก
แจงความถ่ี และเลือกใชไ้ ด้อย่างเหมาะสม รวมทงั้ ใชค้ วามรู้ในการพิจารณาข้อมลู ข่าวสารทางสถติ ิ
9. เข้าใจเกีย่ วกบั การทดลองสุ่ม เหตุการณ์ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ สามารถใช้ความรู้
เก่ยี วกับความนา่ จะเป็นในการคาดการณ์และประกอบการตดั สินใจในสถานการณ์ต่างๆ ได้
10. ใชว้ ธิ ีการทหี่ ลากหลายแกป้ ัญหา ใช้ความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
และเทคโนโลยใี นการแกป้ ญั หาในสถานการณต์ า่ งๆ ไดอ้ ย่างเหมาะสม ใหเ้ หตผุ ลประกอบการตดั สนิ ใจ และ

4

สรุปผลได้อยา่ งเหมาะสม ใช้ภาษาและสัญลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ในการส่ือสาร การสื่อความหมายและการ
นำเสนอ ได้อย่างถูกต้องและชัดเจน เชอื่ มโยงความรตู้ ่างๆ ในคณิตศาสตร์ และนำความรู้ หลักการ กระบวนการ
ทางคณิตศาสตร์ไปเชือ่ มโยงกับศาสตร์อืน่ ๆ และมีความคิดริเริม่ สรา้ งสรรค์

สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน

หลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐานมงุ่ ใหผ้ ูเ้ รียนเกดิ สมรรถนะสำคัญ 5 ประการ ดงั นี้

1. ความสามารถในการสื่อสาร เป็นความสามารถในการรับและสง่ สาร มวี ฒั นธรรม

ในการใช้ภาษาถ่ายทอดความคดิ ความรูค้ วามเขา้ ใจ ความรู้สึก ทศั นะของตนเองเพ่ือแลกเปล่ียนขอ้ มลู ข่าวสาร

และประสบการณ์อนั จะเปน็ ประโยชนต์ อ่ การพัฒนาตนเองและสังคม รวมทง้ั การเจรจาต่อรองเพื่อขจัดและลด

ปญั หาความขดั แย้งต่างๆ การเลือกรบั หรอื ไม่รับขอ้ มูลขา่ วสารด้วยหลกั เหตุผล และ ความถูกต้อง ตลอดจน

การเลือกใชว้ ิธีการส่ือสารท่มี ีประสิทธภิ าพ โดยคำนงึ ถึงผลกระทบ

ทีม่ ีต่อตนเองและสังคม

2. ความสามารถในการคิด เป็นความสามารถในการคิดวเิ คราะห์ การคิดสงั เคราะห์ การคิดอย่าง

สร้างสรรค์ การคดิ อย่างมีวจิ ารณญาณ และการคิดเปน็ ระบบ เพ่อื นำไปสู่การสร้างองค์ความรหู้ รอื สารสนเทศ

เพอื่ การตัดสนิ ใจเกีย่ วกับตนเองและสงั คมได้อย่างเหมาะสม

3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา เปน็ ความสามารถในการแก้ปัญหาและอุปสรรคตา่ งๆ

ที่เผชญิ ได้อย่างถูกต้องเหมาะสมบนพนื้ ฐานของหลักเหตุผล คณุ ธรรมและข้อมลู สารสนเทศ

เข้าใจความสมั พนั ธแ์ ละการเปลีย่ นแปลงของเหตกุ ารณ์ต่างๆ ในสงั คม แสวงหาความรู้ ประยกุ ต์ความรูม้ าใชใ้ น

การปอ้ งกนั และแก้ไขปัญหาและมกี ารตัดสินใจทีม่ ีประสิทธิภาพโดยคำนงึ ถึงผลกระทบ

ที่เกดิ ขึน้ ต่อตนเอง สังคมและสิง่ แวดลอ้ ม

4. ความสามารถในการใชท้ กั ษะชวี ิต เป็นความสามารถในการนำกระบวนการต่างๆ

ไปใชใ้ นการดำเนนิ ชวี ิตประจำวนั การเรียนรู้ด้วยตนเอง การเรยี นร้อู ยา่ งต่อเนือ่ ง และการอย่รู ่วมกนั ในสังคม

ด้วยการสร้างเสริมความสัมพันธอ์ นั ดีระหวา่ งบุคคล การจัดการปัญหาและความขัดแย้งตา่ งๆ อย่างเหมาะสม

การปรับตวั ใหท้ ันกับการเปล่ียนแปลงของสงั คมและสภาพแวดล้อม และการรจู้ ักหลีกเลยี่ งพฤตกิ รรมไม่พึง

ประสงคท์ ีส่ ่งผลกระทบตอ่ ตนเองและผู้อนื่

5. ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี เปน็ ความสามารถในการเลือกและใช้เทคโนโลยี

ดา้ นตา่ งๆ และมที ักษะกระบวนการทางเทคโนโลยี เพื่อการพฒั นาตนเองและสงั คม ในดา้ นการเรียนรู้ การ

ส่ือสารการทำงาน การแก้ปัญหาอย่างสร้างสรรค์ ถูกต้องเหมาะสมและมีคณุ ธรรม

5

คณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์สำคัญของผูเ้ รยี น
หลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พืน้ ฐานมุง่ พฒั นาผเู้ รียนให้มคี ณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ เพ่อื ให้

สามารถอยู่ร่วมกับผ้อู นื่ ในสงั คมได้อยา่ งมีความสุข ในฐานะเป็นพลเมอื งไทยและพลโลก ดงั นี้
1. รกั ชาติ ศาสน์ กษตั ริย์
2. ซ่ือสตั ยส์ ุจรติ
3. มีวินัย
4. ใฝเ่ รียนรู้
5. อยู่อยา่ งพอเพียง
6. มุ่งมั่นในการทำงาน
7. รักความเปน็ ไทย
8. มจี ติ สาธารณะ

คุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ในการเรยี นคณติ ศาสตร์
ในหลกั สตู รกลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลาง

การศึกษาขน้ั พ้นื ฐานพุทธศักราช2551ได้กำหนดสาระและมาตรฐานการเรียนรทู้ กั ษะและกระบวนการทาง
คณติ ศาสตรต์ ัวช้วี ดั และสาระการเรียนรู้แกนกลางเพ่ือใหผ้ ู้เรียนมคี ณุ ลักษณะอันพึงประสงคใ์ นการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์ ดังต่อไปน้ี

1. ทำความเขา้ ใจหรอื สรา้ งกรณีทัว่ ไปโดยใช้ความรู้ทีไ่ ดจ้ ากการศกึ ษากรณตี วั อย่างหลายๆกรณี
2. มองเห็นว่าความสามารถใชค้ ณิตศาสตร์แก้ปญั หาในชีวิตจริงได้
3. มีความมุมานะในการทำความเข้าใจปัญหาและแกป้ ัญหาทางคณิตศาสตร์
4. สรา้ งเหตผุ ลเพ่อื สนับสนนุ แนวคิดของตนเองหรือโตแ้ ย้งแนวคดิ ของผู้อนื่ อย่างสมเหตุสมผล
5. คน้ หาลกั ษณะทีเ่ กิดขน้ึ ซ้ำ ๆ และประยุกต์ใชล้ กั ษณะดงั กลา่ ว เพื่อทำความเข้าใจ
หรอื แกป้ ัญหาในสถานการณ์ตา่ งๆ

6

คำอธิบำยรำยวิชำ ภำคเรียนท่ี 1

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 3
เวลา 60 ชั่วโมง/ภาค
รหัสวิชา ค23101 คณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน
เวลา 3 ชัว่ โมง/สปั ดาห์
เรียน

คำอธบิ ายรายวิชาพนื้ ฐาน

ค23101 คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน กลุม่ สาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์

ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 ภาคเรียนท่ี 1 เวลา 60 ชั่วโมง จำนวน 1.5 หน่วยกติ

ศกึ ษา วิเคราะห์ ความรู้ทางคณติ ศาสตรเ์ รื่อง พีระมดิ กรวย และทรงกลม ปรมิ าตรและพืน้ ที่ผวิ ของ

ของพีระมิด ปริมาตรและพน้ื ที่ผวิ ของกรวย ปรมิ าตรและพ้ืนทผี่ วิ ของทรงกลม แนะนำระบบสมการเชงิ เสน้ สอง

ตัวแปร การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร การแก้โจทยป์ ัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร การ

แยกตัวประกอบของพหนุ ามที่มีดกี รีสูงกวา่ สอง การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีอยใู่ นรูปผลบวกและผลต่าง

ของกำลงั สาม การแยกตวั ประกอบของพหุนามที่มีดกี รสี ูงกวา่ สาม สมการกำลังสองตวั แปรเดยี ว แนะนำสมการ

กำลังสองตัวแปรเดยี ว การแกส้ มการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว โจทย์ปญั หาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตวั แปร

เดยี ว กราฟของฟงั กช์ นั กำลงั สอง แนะนำฟงั ก์ชนั กราฟของฟงั กช์ ันกำลังสอง สามารถนำความรู้ไปใชใ้ น

ชีวติ ประจำวันได้

โดยจัดประสบการณ์หรือสรา้ งสถานการณ์ในชีวิตประจำวนั ทีใ่ กล้ตัวใหผ้ เู้ รียนได้ศกึ ษาคน้ คว้าโดยการ

ปฏิบตั จิ รงิ ทดลอง สรุป เพอื่ พฒั นาทักษะและกระบวนการในการคดิ คำนวณ การแกป้ ญั หา การใหเ้ หตผุ ล

ประกอบการตัดสินใจและสรุปผลไดอ้ ย่างเหมาะสม ใช้ภาษาและสัญลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ในการสือ่ สาร การ

สือ่ ความหมายด้วยศพั ท์ภาษาองั กฤษ และการนำเสนอไดอ้ ยา่ งถกู ต้องและชดั เจน การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ใน

คณิตศาสตร์และนำความรู้ หลักการทางคณิตศาสตร์ไปเช่อื มโยงกบั ศาสตร์อ่ืนๆ สามารถคิดสรา้ งสรรค์ ผลงาน

และพัฒนาความคดิ ริเริ่มสรา้ งสรรค์ ตลอดจนสามารถนำประสบการณ์ด้านความรู้ที่ได้ไปใช้เปน็ พื้นฐานในการ

เรยี นคณติ ศาสตรร์ ะดับทีส่ ูงข้ึน

การวดั และประเมินผล ใช้วธิ ีการทหี่ ลากหลายตามสภาพความเป็นจรงิ ใหส้ อดคลอ้ งกบั เนอ้ื หาและ

ทกั ษะทีต่ ้องการวัด

รหัสตัวชี้วัด
ค 1.2 ม.3/1, ม.3/2
ค 1.3 ม.3/2, ม.3/3
ค 2.2 ม.3/1,ม.3/3

รวมท้ังหมด 6 ตัวชวี้ ดั

7

ตวั ช้วี ัดและสาระการเรยี นรูแ้ กนกลาง ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 3

สาระที่ 1 จำนวนและพชี คณติ

มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนนิ การของ

จำนวน ผลทเ่ี กดิ ขึ้นจากการดำเนนิ การ สมบัตขิ องการดำเนินการ และนาํ ไปใช้

ตัวชว้ี ดั สาระการเรียนรแู้ กนกลาง

--

มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟงก์ชนั ลำดบั และอนกุ รม และนําไปใช้

ตวั ชวี้ ดั สาระการเรียนรู้แกนกลาง

1. เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหนุ ามท่ีมดี ีกรี การแยกตวั ประกอบของพหุนาม

สูงกวา่ สองในการแก้ปญหาคณติ ศาสตร์ - การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสงู กว่า

สอง

2. เข้าใจและใชค้ วามร้เู กย่ี วกับฟงก์ชนั กําลังสองในการ ฟงกช์ นั กําลังสอง

แก้ปญหาคณติ ศาสตร์ - กราฟของฟงก์ชนั กําลงั สอง

- การนําความรูเ้ ก่ียวกับฟงกช์ นั กําลงั สองไปใช้

ในการแก้ปญหา

มาตรฐาน ค 1.3 ใช้นิพจน์ สมการ และอสมการ อธบิ ายความสมั พันธห์ รือช่วยแก้ปญหาท่กี ําหนดให้

ตวั ช้ีวัด สาระการเรยี นรู้แกนกลาง

1. เข้าใจและใช้สมบัติของการไม่เท่ากนั เพอ่ื วิเคราะห์ อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

และแกป้ ญหา โดยใช้อสมการเชงิ เสน้ - อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว

ตัวแปรเดียว - การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว

- การนําความรเู้ กีย่ วกับการแก้อสมการเชงิ เสน้ ตวั

แปรเดยี วไปใช้ในการแก้ปญหา

2. ประยกุ ต์ใชส้ มการกาํ ลังสองตัวแปรเดียว สมการกําลงั สองตัวแปรเดยี ว

ในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์ - สมการกําลังสองตวั แปรเดียว

- การแกส้ มการกาํ ลงั สองตวั แปรเดยี ว

- การนําความร้เู กย่ี วกับการแกส้ มการกําลังสอง

ตัวแปรเดียวไปใชใ้ นการแก้ปญหา

3. ประยุกต์ใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ระบบสมการ

ในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์ - ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

- การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

ตวั ช้วี ดั 8

สาระการเรยี นรู้แกนกลาง
- การนำความรู้เกยี่ วกับการแก้ระบบสมการ
เชิงเส้นสองตวั แปรไปใช้ในการแก้ปญหา

สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณติ

มาตรฐาน ค 2.1 เข้าใจพืน้ ฐานเกีย่ วกับการวดั วัดและคาดคะเนขนาดของสงิ่ ทต่ี ้องการวดั และนาํ ไปใช้

ตวั ช้ีวดั สาระการเรียนร้แู กนกลาง

1. ประยกุ ต์ใชค้ วามรู้เรื่องพนื้ ทผ่ี ิวของพีระมิด พ้ืนทผี่ วิ

กรวย และทรงกลมในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์ - การหาพน้ื ท่ผี วิ ของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม

และปญหาในชีวติ จรงิ - การนาํ ความร้เู ก่ียวกับพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวย และ

ทรงกลมไปใช้ในการแก้ปญหา

2. ประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องปริมาตรของพรี ะมิด ปรมิ าตร

กรวย และทรงกลมในการ แก้ปญหาคณติ ศาสตร์ - การหาปริมาตรของพีระมิด กรวย และทรงกลม

และปญหาในชีวติ จรงิ - การนําความรเู้ กีย่ วกับปริมาตรของพรี ะมดิ กรวย และ

ทรงกลมไปใชใ้ นการแก้ปญหา

สาระท่ี 2 การวัดและเรขาคณิต

มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบตั ิของรูปเรขาคณติ ความสัมพันธ์ระหวา่ ง

รูปเรขาคณติ และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนาํ ไปใช้

ตวั ชว้ี ดั สาระการเรียนรแู้ กนกลาง

1. เขา้ ใจและใช้สมบตั ิของรปู สามเหลย่ี ม ความคล้าย

ท่คี ล้ายกันในการแก้ปญหาคณติ ศาสตร์และ - รปู สามเหลยี่ มทค่ี ล้ายกัน

ปญหาในชีวติ จริง - การนําความรเู้ กี่ยวกับความคลา้ ยไปใช้ในการแก้ป

ญหา

2. เขา้ ใจและใช้ความรูเ้ กี่ยวกับอตั ราส่วน อัตราส่วนตรโี กณมิติ

ตรโี กณมติ ใิ นการแกป้ ญหาคณิตศาสตร์ - อตั ราส่วนตรีโกณมิติ

และปญหาในชวี ติ จริง - การนำค่าอัตราส่วนตรีโกณมิตขิ องมุม 30 องศา 45

องศา และ 60 องศา ไปใชใ้ นการแกป้ ญหา

3. เขา้ ใจและใชท้ ฤษฎีบทเก่ียวกับวงกลม วงกลม

ในการแก้ปญหาคณิตศาสตร์ - วงกลม คอร์ด และเส้นสัมผัส

- ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับวงกลม

9

สาระท่ี 3 สถติ แิ ละความนา่ จะเปน็

มาตรฐาน ค 3.1 เข้าใจกระบวนการทางสถติ ิ และใชค้ วามรทู้ างสถติ ิในการแกป้ ญหา

ตวั ชว้ี ดั สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง

1. เข้าใจและใช้ความรทู้ างสถิตใิ นการ สถิติ

นาํ เสนอและวิเคราะห์ข้อมูลจากแผนภาพ - ข้อมลู และการวเิ คราะห์ข้อมูล

กล่องและแปลความหมายผลลพั ธ์รวมทง้ั นาํ ● แผนภาพกลอ่ ง

สถิตไิ ปใช้ในชวี ิตจรงิ โดยใช้เทคโนโลยที ่ี - การแปลความหมายผลลพั ธ์

เหมาะสม - การนําสถติ ไิ ปใช้ในชีวิตจริง

สาระท่ี 3 สถิติและความน่าจะเป็น

มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนบั เบื้องตน้ ความน่าจะเป็น และนาํ ไปใช้

ตวั ชวี้ ดั สาระการเรียนรู้แกนกลาง

1. เข้าใจเกีย่ วกบั การทดลองสุ่มและนาํ ผลท่ีได้ ความนา่ จะเป็น

ไปหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ - เหตกุ ารณจ์ ากการทดลองสุ่ม

- ความนา่ จะเปน็

- การนาํ ความรู้เก่ยี วกับความนา่ จะเป็น

ไปใชใ้ นชวี ติ จรงิ

10

โครงสร้ำงรำยวิชำ

ลำดบั ชอื่ หน่วย มาตรฐานการ สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด เวลา น้ำหนั

ท่ี การเรียนรู้ เรียนร/ู้ ตัวชวี้ ดั (ช.ม.) ก

คะแน

น

1 พ้นื ท่ีผิวและ สาระท่ี 2 การวัด 1) การหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิต 17 30

ปริมาตรของ และเรขาคณิต สามมิตใิ ดๆเปน็ การหาพืน้ ทีผ่ ิว

ปริซึม มาตรฐาน ค 2.1 ทัง้ หมดของรูปเรขาคณิตสามมิตินั้น

ทรงกระบอก เขา้ ใจพ้นื ฐานเกีย่ วกับ สำหรับการหาปริมาตรของปริซึม

พีระมิด การวดั วดั และ ทรงกระบอก พีระมดิ กรวย และ

ทรงกรวย คาดคะเนขนาดของ ทรงกลม มวี ิธีการหาทแี่ ตกต่างกนั

ทรงกลม สง่ิ ทตี่ ้องการวัดและ ข้ึนอย่กู ับรปู เรขาคณติ สามมติ ินัน้

การนำไปใช้ ซึ่งการนำความร้เู รอ่ื งพื้นที่ผิวและ

ตัวชี้วัด ปรมิ าตรไปใช้แกป้ ญั หาใน

1. ประยุกตใ์ ชค้ วามรู้ สถานการณ์ต่างๆ

เรอื่ ง พื้นทผี่ ิวของ 2) การเปรยี บเทียบหนว่ ยความจุ

พรี ะมิด กรวยและ หรอื หนว่ ยปรมิ าตรควรพิจารณา

ทรงกลมในการ เปรียบเทียบจากหน่วยการวัดทเี่ ปน็

แกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ ระบบเดยี วกนั สำหรับการบอก

ปญั หา คา่ ประมาณของปริมาณของส่ิง

ในชีวิตจริง ต่างๆโดยไม่ได้วดั จรงิ และการใช้

2. ประยกุ ต์ใชค้ วามรู้ การประมาณอยา่ งครา่ วๆเพื่อลด

เรอ่ื ง ปรมิ าตรของ ความคลาดเคล่ือนของขอ้ มูลอาจใช้

พีระมิด กรวยและ ความร้ทู างคณิตศาสตร์ที่เรยี กว่า

ทรงกลมในการ การคาดคะเน

แกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ 3) ลักษณะและสมบัติของรปู

ปญั หา เรขาคณติ สามมิติขน้ึ อยู่กับชนดิ ของ

ในชวี ิตจรงิ รปู เรขาคณติ ทเ่ี ป็นสว่ นประกอบ

11

โครงสร้างรายวิชา(ต่อ)

ลำดบั ชอื่ หน่วย มาตรฐานการ สาระสำคัญ/ความคดิ รวบยอด เวลา(ช.ม.) นำ้ หนัก

ท่ี การเรยี นรู้ เรยี นร/ู้ ตวั ช้ีวดั คะแนน

2 อสมการเชิง สาระที่ 1 จำนวน การแก้อสมการเชงิ เส้นตวั แปร 15 25

เสน้ ตวั แปร และพีชคณิต เดยี วโดยผา่ นการใช้แบบฝึกทักษะ

เดยี ว มาตรฐาน ค 1.3 ท้งั ดังน้ี

ใชน้ พิ จนส์ มการ - สัญลกั ษณ์ที่ใชแ้ ทน

และ อสมการ ความสมั พันธใ์ นอสมการเชงิ เสน้

อธบิ าย ตัวแปรเดียว

ความสัมพันธห์ รอื - ประโยคภาษาและประโยค

ชว่ ยแก้ปญั หาท่ี สัญลักษณข์ องอสมการเชงิ เสน้ ตัว

กำหนดให้ แปรเดยี ว

ตวั ช้วี ดั 1. เข้าใจ - คำตอบของอสมการเชิงเส้นตัว

และใช้สมบตั ิการไม่ แปรเดียวทส่ี มมลู กัน

เท่ากนั เพ่ือ - กราฟแสดงคำตอบของ

วิเคราะหแ์ ละ อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว

แกป้ ัญหาโดยใช้ - การแก้อสมการเชงิ เส้นตวั แปร

อสมการเชงิ เส้นตัว เดยี วโดยใชส้ มบตั กิ ารไม่เท่ากัน

แปรเดยี ว - การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตวั แปร

เดยี วโดยใชส้ มบัติการแจกแจง

- การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตัวแปร

เดยี วทีอ่ ยู่ในรปู เศษสว่ น

- การแกโ้ จทยป์ ัญหาเก่ียวกบั

อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว แบบ

ฝกึ ทง้ั 8 เล่ม จะช่วยทำให้การหา

คำตอบและตรวจสอบคำตอบของ

อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ได้

รวดเร็วยง่ิ ขึ้น

12

โครงสร้างรายวชิ า(ตอ่ )

ลำดบั ช่ือหน่วย มาตรฐานการเรยี นรู้/ สาระสำคญั /ความคิด เวลา นำ้ หนัก

ที่ การเรียนรู้ ตวั ชี้วัด รวบยอด (ช.ม.) คะแนน

3 การแยกตวั สาระที่ 1 จำนวนและ 3.1 การแยกตวั ประกอบ 13 20

ประกอบ พีชคณิต ของพหุนามที่อยใู่ นรูป

ของพหุนาม มาตรฐาน ค 1.3 ใช้ ผลบวกและผลต่างกำลงั

ที่มดี กี รีสูง นิพจน์สมการ และ สาม

กว่าสองและ อสมการอธิบาย 3.2 การแยกตัวประกอบ

สาม ความสมั พนั ธ์หรอื ชว่ ย ของพหนุ ามทม่ี ดี ีกรีสงู

แกป้ ญั หาที่กำหนดให้ กว่าสาม

ตัวช้วี ดั 1. เข้าใจและใช้

สมบัตกิ ารไม่เทา่ กัน เพ่ือ

วเิ คราะห์และแก้ปัญหาโดย

ใชอ้ สมการเชงิ เส้นตัวแปร

เดียว

2. ประยกุ ต์ใชส้ มการกำลัง

สองตัวแปรเดียวในการ

แกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

3. ประยุกต์ใชร้ ะบบ

สมการเชิงเส้นสองตวั แปร

ในการแก้ปัญหา

คณติ ศาสตร์

13

โครงสร้างรายวชิ า(ตอ่ )

ลำดับ ชอื่ หน่วย มาตรฐานการเรียนร/ู้ สาระสำคัญ/ความคดิ รวบ เวลา น้ำหนัก

ที่ การเรยี นรู้ ตวั ชี้วัด ยอด (ช.ม.) คะแนน

4 สมการกำลัง สาระที่ 1 จำนวนและ - การแกส้ มการกำลังสองตัว 15 25

สองตัวแปร พชี คณติ แปรเดยี วโดยวธิ แี ยกตวั

เดียว มาตรฐาน ค 1.3 ใช้ ประกอบ
- การแกส้ มการกำลงั สองตวั
นิพจน์สมการ และ
แปรเดยี วโดยวิธีทำเป็นกลัง
อสมการอธิบาย
ความสมั พนั ธห์ รือช่วย สองสมบรู ณ์
แกป้ ญั หาท่ีกำหนดให้ - การแก้สมการกำลังสองตวั
แปรเดียวโดยใชส้ ูตร

ตัวช้วี ดั 1. เขา้ ใจและใช้ - โจทยป์ ัญหาเกยี่ วกับการแก้

สมบตั กิ ารไมเ่ ทา่ กนั เพื่อ สมการกำลงั สองตัวแปรเดียว

วเิ คราะห์และแก้ปญั หาโดย

ใช้อสมการเชงิ เส้นตวั แปร

เดยี ว

2. ประยกุ ตใ์ ช้สมการกำลงั
สองตัวแปรเดียวในการ
แก้ปัญหาคณิตศาสตร์

3. ประยุกตใ์ ชร้ ะบบ
สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร
ในการแกป้ ัญหา
คณติ ศาสตร์

14

กำหนดกำรจดั กำรเรียนรู้

คณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน รหสั วชิ า ค23101

ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 3 ภาคเรยี นท่ี 1 เวลา 60 คาบ/ภาคเรยี น จำนวน 1.5 หน่วยกิต

หนว่ ยท่ี แผนที่ ช่ือแผนการจดั การเรียนรู้ จำนวน
ชั่วโมง
พื้นท่ีผวิ และปรมิ าตร
1
1 1 ปฐมนิเทศและสอบกอ่ นเรียนประจำหนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 1 1
2
พน้ื ที่ผิวและ 2 พ้นื ท่ผี วิ และปรมิ าตรของปรซิ ึม 2
2
ปรมิ าตร 3 พื้นทผี่ ิวและปริมาตรของทรงกระบอก 2
2
ของปรซิ ึม 4 พน้ื ทีผ่ ิวและปริมาตรของพรี ะมดิ 2
2
ทรงกระบอก 5 พื้นทผี่ ิวและปริมาตรของกรวย 1
17
กรวย 6 พ้นื ที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม

พรี ะมิด 7 การเปลีย่ นหน่วยวัดปริมาตรในระบบเดียวกัน
ทรงกลม 8 การเปรียบเทียบหน่วยวดั ความจุหรอื ปรมิ าตรต่างหน่วยกัน

9 โจทยป์ ญั หา

10 สอบหลงั เรยี นประจำหน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 1

รวมเวลาเรียนประจำหน่วยการเรียนรทู้ ี่ 1 พน้ื ทีผ่ ิวและปริมาตร

15

ออกแบบหน่วยการเรียนรู้

คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน รหัสวชิ า ค23101

ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 ภาคเรยี นที่ 2 เวลา 60 คาบ/ภาคเรยี น จำนวน 1.5 หนว่ ยกติ

หนว่ ยที่ แผน ช่อื แผนการจัดการเรยี นรู้ จำนวน
ช่ัวโมง
ที่ อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว
1
2 1 ปฐมนิเทศและสอบก่อนเรยี น 1
1
อสมการ 2 สัญลักษณแ์ ทนความสัมพนั ธ์ในอสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว 1
2
เชิงเสน้ 3 ประโยคภาษาและประโยคสัญลักษณ์ของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 2
2
ตวั แปร 4 คำตอบของอสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี วทสี่ มมลู กัน 2
2
เดียว 5 กราฟแสดงคำตอบของอสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว 1
15
6 การแก้อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี วโดยใชส้ มบัตขิ องการไม่เทา่ กนั

7 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวโดยใชส้ มบัติของการแจกแจง

8 การแก้อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี วทอ่ี ยู่ในรูปเศษสว่ น

9 การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกย่ี วกบั อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว

10 สอบหลงั เรียน

รวมเวลาเรียนประจำหน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2 อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว

16

ออกแบบหนว่ ยการเรยี นรู้

คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน รหัสวชิ า ค23101

ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 ภาคเรยี นท่ี 1 เวลา 60 คาบ/ภาคเรียน จำนวน 1.5 หนว่ ยกิต

หนว่ ยท่ี ที่ ช่ือแผนการจัดการเรียนรู้ จำนวน
ช่วั โมง
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสงู กว่าสาม
2
3 1 ปฐมนเิ ทศและสอบก่อนเรียนประจำหน่วยการเรยี นรู้ที่ 3 1
1
การ 2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องกรณี กำลงั สมบูรณ์ท่ีเป็นบวก 1
1
แยกตวั 3 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองกรณี กำลังสมบูรณท์ เ่ี ปน็ ลบ 1
1
ประกอบ 4 ทดสอบย่อย 1
2
ของพหุ 5 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองกรณี ผลตา่ งกำลงั สอง 2
13
นามดีกรี 6 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี าม กำลงั สามที่เป็นบวก ( ผลบวกกำลงั สาม)
สงู กวา่ 7 ทดสอบย่อย
สาม 8 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี ามกรณี กำลังสามท่เี ป็นลบ ( ผลตา่ งกำลังสาม)

9 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี งู กว่าสาม

10 ทดสอบหลงั เรยี น

รวมเวลาเรียนประจำหน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 3 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสงู กวา่ สาม

17

ออกแบบหน่วยการเรียนรู้

คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน รหสั วชิ า ค23101

ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 3 ภาคเรยี นที่ 1 เวลา 60 คาบ/ภาคเรยี น จำนวน 1.5 หนว่ ยกติ

หน่วย แผน ชื่อแผนการจัดการเรยี นรู้ จำนวน
ช่ัวโมง
ที่ ที่ สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
1
4 1 แนะนำสมการกำลงั สองตวั แปรเดียว 2
1
2 ทบทวนสมการกำลงั สองตวั แปรเดียว 1
2
สมการ 3 การแกส้ มการกำลังสองตวั แปรเดียว 1 2
2
กำลัง 4 การแก้สมการกำลังสองตวั แปรเดยี ว 2 2
1
สองตวั 5 การแกส้ มการกำลงั สองตัวแปรเดียว 3 1
15
แปร 6 การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดยี ว 4
เดียว 7 การแก้สมการกำลงั สองตัวแปรเดียว 5

8 การแกส้ มการกำลังสองตวั แปรเดียว 6

9 โจทยป์ ัญหาการแก้สมการกำลงั สองตัวแปรเดียว 1

10 โจทย์ปญั หาการแก้สมการกำลังสองตวั แปรเดียว 2

รวมเวลาเรยี นประจำหน่วยการเรียนรทู้ ี่ 4 สมการกำลังสองตวั แปรเดยี ว

18

อัตราสว่ นคะแนน

คะแนนเกบ็ ระหว่างภาค : คะแนนปลายภาค = 60 : 40

รวม 100 คะแนน

วัดผลระหวา่ งเรยี น 60 คะแนน

เวลาเรยี น/จติ พิสยั 20 คะแนน

กิจกรรมระหวา่ งเรยี น 40 คะแนน

- สมดุ 10 %

- แบบฝึกทักษะ 10 %

- การรว่ มกจิ กรรม 10 %

- สอบย่อย 10 %

ทดสอบกลางภาค 20 คะแนน

วัดผลปลายภาคเรยี น 20 คะแนน

รวม 100 คะแนน

เกณฑ์การประเมนิ ผลแบบอิงเกณฑ์

ระดบั คะแนน เกรด

คะแนน 80-100 4
3.5
คะแนน 75-79 3
2.5
คะแนน 70-74 2
1.5
คะแนน 65-69 1
0
คะแนน 60-64

คะแนน 55-59

คะแนน 50-54

คะแนน 0-49

19

แผนการจัดการเรียนรปู้ ระจำหนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 3
เร่อื ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามที่มดี ีกรสี งู กวา่ สอง

20

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 1

วิชา คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน รหสั วชิ า ค23101 กลุ่มสาระการเรียนรู้

คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 ภาคเรียนท่ี 1 เวลา 3 ชั่วโมง

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามทมี่ ีดีกรีสูงกวา่ สอง

เรอ่ื ง การแยกตัวประกอบพหนุ ามทีอ่ ยู่ในรปู ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

ผ้สู อน นายคณพล พุทธตาล

1. มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟังกช์ ัน ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้

2. ตัวชี้วดั
ค 1.2 ม.3/1 เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหนุ ามทมี่ ดี ีกรสี งู กว่าสองในการแกป้ ัญหา

คณติ ศาสตร์

3. สาระสำคญั
การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสงู กว่าสองคือการเขยี นพหุนามในรปู ผลคูณของพหุนามทมี่ ีดีกรี

ตำ่ กว่าเดิม อาจใชส้ มบัตแิ จกแจงและสูตรประกอบกนั
A3 + B3 = ( A + B ) ( A2 - AB + B2 )
A3 - B3 = ( A - B ) ( A2 + AB + B2 )

4. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
4.1 ด้านความรู้ (K)
1) นกั เรยี นสามารถระบุลักษณะของพหนุ ามดีกรีสามท่ีอย่ใู นรปู ผลบวกและผลต่างของกำลงั สามได้
2) นกั เรยี นสามารถแยกตวั ประกอบพหนุ ามที่อยใู่ นรปู ผลบวกและผลต่างของกำลงั สามโดยใชส้ ูตร
4.2 ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ (P)

21

1) การแก้ปัญหา
2) การให้เหตุผล
3) การสื่อสาร การสอ่ื ความหมาย และการนำเสนอ
4) การเช่ือมโยง
5) ความคดิ ริเรม่ิ สรา้ งสรรค์
4.3 ด้านคุณลกั ษณะ(A)

1) ใฝเ่ รยี นรู้

2) มงุ่ ม่ันในการทำงาน

5. สาระการเรียนรู้

A3 + B3 หรอื A3 - B3 จะเรยี กวา่ ผลบวกกำลังสามและผลต่างกำลงั สามตามลำดับซึ่งสามารถแยกตวั

ประกอบได้ดังน้ี A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)

A3 - B3 = (A - B) (A2 + AB + B2)

6. กระบวนการจัดการเรียนรู้

ช่ัวโมงที่ 1 (ผลบวกกำลงั สาม)

ขั้นที่ 1 ขนั้ สรา้ งความสนใจ

1. ครแู ละนกั เรียนร่วมกนั สนทนาเรอื่ งการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี ูงกวา่ สอง
ขั้นที่ 2 ขน้ั สำรวจและคน้ หา

2. ครูแนะนำสูตรการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสูงกว่าสองคือการเขียนพหนุ ามในรูปผลคณู
ของพหุนามทม่ี ีดีกรีต่ำกวา่ เดิม อาจใชส้ มบัตแิ จกแจงและสูตรประกอบกนั
A3 + B3 = ( A + B ) ( A2 - AB + B2 )

โดยครยู กตวั อยา่ งดังนี้ x3 + 125

เม่อื A3 = x3 ดงั นัน้ A = x

และ B3 = 125 ดงั น้ัน B = 5 (53 = 125)

22

จะได้ (x + 5) (x2 – (x)(5) + 52)

เท่ากับ (x + 5) (x2 – 5x + 25)

ขั้นท่ี 3 ขั้นอธิบายและลงข้อสรุป

3. จากนนั้ ครูเขียนโจทยบ์ นกระดาน และใหน้ ักเรียนแบ่งกลมุ่ ชว่ ยกนั คดิ พร้อมสง่ ตวั แทนมาเขยี นบน
กระดาน

1. x3 + 8 2. x3 + 64

3. 125x3 + 1,000 4. 8x3 + 729y3

เฉลย

1. x3 + 8

เมือ่ A3 = x3 ดงั น้ัน A = x

และ B3 = 8 ดงั นั้น B = 2 (23 = 8)

จะได้ (x + 2) (x2 – (x)(2) + 22)

เท่ากบั (x + 2) (x2 – 2x + 4)

2. x3 + 64

เมื่อ A3 = x3 ดังนนั้ A = x

และ B3 = 64 ดังนนั้ B = 4 (43 = 64)

จะได้ (x + 4) (x2 – (x)(4) + 42)

เทา่ กับ (x + 4) (x2 – 4x + 16)

3. 125x3 + 1,000

เม่ือ A3 = 125x3 ดังนั้น A = 5x [(5x)3 = 125x3]

และ B3 = 1,000 ดังน้นั B = 10 (103 = 1,000)

จะได้ (5x + 10) [(5x)2 – (5x)(10) + 102]

เทา่ กบั (5x + 10) (25x2 – 50x + 100)

23

4. 8x3 + 729y3

เมือ่ A3 = 8x3 ดงั น้นั A = 2x [(2x)3 = 8x3]

และ B3 = 729y3 ดังน้นั B = 9y [(9y)3 = 729y3]

จะได้ (2x + 9y) [(2x)2 – (2x)(9y) + (9y)2]

เทา่ กบั (2x + 9y) (4x2 – 18xy + 81y2)

4. ครูมอบหมายให้นกั เรยี นทำแบบฝึกหดั พรอ้ มกำหนดวันเวลาสง่

24

ช่ัวโมงที่ 2 (ผลต่างกำลังสาม)
ขัน้ ที่ 4 ขน้ั ขยายความรู้

1. ครูแนะนำสตู รการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี ูงกว่าสองคอื การเขยี นพหุนามในรูปผลคณู ของพหุ
นาม

ทีม่ ีดีกรีตำ่ กวา่ เดิม อาจใชส้ มบัตแิ จกแจงและสตู รประกอบกัน
A3 - B3 = ( A - B ) ( A2 + AB + B2 )

โดยครยู กตัวอยา่ งดังน้ี x3 - 27
เม่ือ A3 = x3 ดังนัน้ A = x
และ B3 = 27 ดังนนั้ B = 3 (33 = 27)
จะได้ (x - 3) (x2 + (x)(3) + 32)
เทา่ กบั (x - 3) (x2 + 3x + 9)

จากนั้นครเู ขียนโจทย์บนกระดาน และให้นกั เรยี นแบง่ กลุ่มช่วยกนั คดิ พร้อมสง่ ตวั แทนมาเขียนบนกระดาน

1. x3 - 64 2. 8x3 - 343

3. 125x3 - 512 4. 27x3 – 1,331y3

เฉลย

1. x3 - 64

เม่ือ A3 = x3 ดงั นั้น A = x

และ B3 = 64 ดังนั้น B = 4 (43 = 64)

จะได้ (x - 4) (x2 + (x)(4) + 42)

เท่ากบั (x - 4) (x2 + 4x + 16)

25

2. 8x3 - 343

เมอ่ื A3 = 8x3 ดงั นน้ั A = 2x [(2x)3 = 8x3]

และ B3 = 343 ดังนัน้ B = 7 (73 = 343)

จะได้ (2x - 7) [(2x)2 + (2x)(7) + 72]

เทา่ กับ (2x - 7) (4x2 + 14x + 49)

3. 125x3 - 512

เมอ่ื A3 = 125x3 ดังน้นั A = 5x [(5x)3 = 125x3]

และ B3 = 512 ดงั นน้ั B = 8 (83 = 512)

จะได้ (5x - 8) [(5x)2 + (5x)(8) + 82]

เทา่ กับ (5x - 8) (25x2 + 40x + 64)

4. 27x3 – 1,331y3

เมอ่ื A3 = 27x3 ดังนนั้ A = 3x [(3x)3 = 27x3]

และ B3 = 1,331y3 ดังนั้น B = 11y [11y)3 = 1,331y3]

จะได้ (3x - 11y) [(3x)2 + (3x)(11y) + (11y)2)

เท่ากับ (3x - 9y) (9x2 + 33xy + 121y2)

2. ครมู อบหมายให้นักเรยี นทำแบบฝึกหัด พร้อมกำหนดวันเวลาส่ง

26

ชวั่ โมงที่ 3 (ผลบวกและผลต่างกำลงั สาม)

1. ครแู นะนำสตู รการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองคือการเขยี นพหุนามในรปู ผลคณู ของ
พหนุ าม ที่มีดีกรตี ่ำกว่าเดิม อาจใช้สมบตั แิ จกแจงและสตู รประกอบกัน

A3 + B3 = ( A + B ) ( A2 - AB + B2 )

A3 - B3 = ( A - B ) ( A2 + AB + B2 )

โดยครูยกตวั อยา่ งดังน้ี

ข้อ 1. (x + 2)3 + 64x3

เมื่อ A3 = (x + 2)3 ดังน้นั A = x + 2

และ B3 = 64x3 ดงั นน้ั B = 4x [(4x)3 = 64x3]

จะได้ (x + 2 + 4x) [(x + 2)2 – (x + 2)(4x) + (4x)2]

(5x + 2) (x2 + 4x + 4 - 4x2 – 8x + 16x2)

เท่ากบั (5x + 2) (13x2 – 4x + 4)

ขอ้ 2. (7x - 5)3 - 27x3

เมอ่ื A3 = (7x - 5)3 ดังนั้น A = 7x - 5

และ B3 = 27x3 ดังนั้น B = 3x [(3x)3 = 27x3]

จะได้ (7x - 5 - 3x) [(7x - 5)2 + (7x - 5)(3x) + (3x)2]

(4x - 5) (49x2 - 70x + 25 + 21x2 – 15x + 9x2)

เท่ากบั (4x - 5) (79x2 – 85x + 25)

จากนนั้ ครูเขียนโจทย์บนกระดาน และใหน้ กั เรียนแบ่งกลุ่มช่วยกันคดิ พรอ้ มส่งตัวแทนมาเขียนบนกระดาน

1. (3x + 1)3 + 8x3 2. 512x3 + (x – 4)3

3. (5x + 6)3 - 64x3 4. 729x3 - (3x – 4)3

27

เฉลย

1. (3x + 1)3 + 8x3

เมอื่ A3 = (3x + 1)3 ดังนั้น A = 3x + 1

และ B3 = 8x3 ดงั นน้ั B = 2x [(2x)3 = 8x3]

จะได้ (3x + 1 + 2x) [(3x + 1)2 – (3x + 1)(2x) + (2x)2]

(5x + 1) (9x2 + 6x + 1 - 6x2 – 2x + 4x2)

เทา่ กบั (5x + 1) (7x2 + 4x + 1)

2. 512x3 + (x - 4)3

เมือ่ A3 = 512x3 ดังนั้น A = 8x [(8x)3 = 512x3]

และ B3 = (x - 4)3 ดังนั้น B = x - 4

จะได้ (8x + x - 4) [(8x)2 - (8x)(x – 4) + (x - 4)2]

(9x - 4) (64x2 - 8x2 + 32x + x2 – 8x + 16)

เทา่ กบั (9x - 4) (57x2 + 24x + 16)

3. (5x + 6)3 - 64x3

เม่อื A3 = (5x + 6)3 ดังนัน้ A = 5x + 6

และ B3 = 64x3 ดงั นั้น B = 4x [(4x)3 = 64x3]

จะได้ (5x + 6 - 4x) [(5x + 6)2 + (5x + 6)(4x) + (4x)2]

(x + 6) (25x2 + 60x + 36 + 20x2 + 24x + 16x2)

เทา่ กบั (x + 6) (61x2 + 84x + 36)

28

4. 729x3 - (3x - 4)3

เมื่อ A3 = 729x3 ดงั นนั้ A = 9x [(9x)3 = 729x3]

และ B3 = (3x - 4)3 ดงั นั้น B = 3x - 4

จะได้ [9x – (3x - 4)] [(9x)2 + (9x)(3x – 4) + (3x - 4)2]

(9x – 3x + 4) (81x2 + 27x2 - 36x + 9x2 – 24x + 16)

เทา่ กบั (6x + 4) (117x2 - 60x + 16)

ขั้นท่ี 5 ขั้นประเมนิ

2. ครูมอบหมายให้นกั เรียนทำแบบฝึกหัดท่ี 7 และ 8 พร้อมกำหนดวนั เวลาส่ง

7. สอ่ื และแหล่งเรยี นรู้
1. ใบงานท่ี 7 และ 8
2. หนังสอื เรียนคณติ ศาสตร์ ม.3 เล่ม 1
3. อนิ เตอรเ์ นต็

8. การวัดประเมนิ ผลการเรียนรู้

วิธวี ดั ผล เครอื่ งมือวัดผล เกณฑ์การประเมนิ ผล

1. สังเกตพฤตกิ รรมทางการเรยี น แบบสังเกตพฤติกรรมทางการ นกั เรียนผ่านเกณฑก์ ารประเมนิ

การสอน เรียนการสอน ในระดบั ดีขน้ึ ไป

2. สังเกตพฤตกิ รรมการปฏิบตั ิ แบบสังเกตพฤติกรรมการ นกั เรยี นผ่านเกณฑ์การประเมิน
กิจกรรมกล่มุ ปฏิบัตกิ จิ กรรมกลุ่ม ในระดบั ดขี ้นึ ไป

3. การทำแบบฝกึ หัด แบบฝึกหดั นักเรียนทุกคนทำถูกต้องไม่ต่ำกว่า
รอ้ ยละ 70 ของคะแนนท้งั หมด

4. การทำใบงานท่ี 7 และ 8 ใบงานที่ 7 และ 8 นักเรียนทุกคนทำถูกต้องไม่ต่ำกว่า
ร้อยละ 70 ของคะแนนทง้ั หมด

29

เกณฑ์การประเมินผลจากการทำใบกจิ กรรม ใบงาน แบบฝกึ ปฏิบตั กิ จิ กรรม ใชเ้ กณฑ์ดงั น้ี
80% ขึ้นไป หมายถึง ดมี าก
70-79% หมายถงึ ดี
60-69% หมายถึง ปานกลาง
50-59% หมายถงึ ผา่ น
ตำ่ กวา่ 50% หมายถึง ปรบั ปรุง

30

ใบงานที่ 7 จงแยกตัวประกอบของพหนุ าม โดยใช้สตู รผลบวกกำลังสาม A3 + B3 = (A2 – AB + B2)

1. y3 + 216 6. (4x + 3)3 + 125

2. x3 + 1,000 7. (2x – 3)3 + 64

3. 125x3 + 1 8. (5x + 7)3 + 512x3

4. 8x3 + 27 9. 729 + (x - 2)3

5. 8 + 343x3 10. 8y3 + (y + 3)3

31

ใบงานท่ี 8 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม โดยใชส้ ูตรผลตา่ งกำลงั สาม A3 – B3 = (A2 + AB + B2)

1. x3 – 8 6. (2x + 1)3 – 27x3

2. 125 – 64x3 7. (5x – 3)3 – 512

3. 343 – y3 8. (3x + 5)3 – 64x3

4. 64y3 – 27z3 9. 64y3 – (2y – 3)3

5. 8x3 – 512y3 10. 729x3 – (4x + 1)3

32

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 2

วชิ า คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหัสวชิ า ค23101 กลมุ่ สาระการเรียนรู้
คณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 ภาคเรยี นที่ 1 เวลา 3 ชว่ั โมง
หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่ีมีดีกรีสงู กว่าสอง

เร่อื ง การแยกตวั ประกอบพหนุ ามท่ีมีดกี รีสงู กว่าสาม ผู้สอน นายคณพล พทุ ธตาล

1. มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพนั ธ์ ฟังกช์ นั ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้

2. ตวั ช้วี ัด
ค 1.2 ม.3/1 เข้าใจและใชก้ ารแยกตัวประกอบของพหนุ ามทม่ี ีดกี รีสงู กวา่ สองในการแกป้ ัญหา

คณติ ศาสตร์

3. สาระสำคัญ
การแยกตัวประกอบโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ คือ การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

บางพหุนามที่ไม่สามารถแยกได้ในรูปผลต่างของกำลังสอง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
คือการเขียนพหุนามในรปู ผลคณู ของพหุนามที่มีดกี รีตำ่ กวา่ เดมิ อาจใช้สมบัติแจกแจงและสูตรประกอบกัน

A3 + B3 = ( A + B ) ( A2 - AB + B2 )
A3 - B3 = ( A - B ) ( A2 + AB + B2 )

4. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
4.1 ด้านความรู้ (K)
1) นกั เรยี นสามารถแยกตัวประกอบพหนุ ามดีกรีสูงกว่าสามทีส่ ามารถจัดให้อยู่ในรปู กำลังสอง
สมบูรณ์ ผลตา่ งของกำลงั สอง ผลบวกของกำลังสาม ผลตา่ งของกำลงั สาม และรปู อื่นๆ
โดยใช้สมบัตกิ ารดำเนนิ การของจำนวนจรงิ

33

4.2 ดา้ นทักษะ/กระบวนการ (P)
1) การแกป้ ัญหา
2) การใหเ้ หตุผล
3) การสอ่ื สาร การสื่อความหมาย และการนำเสนอ
4) การเชื่อมโยง
5) ความคดิ ริเรมิ่ สร้างสรรค์

4.3 ด้านคุณลักษณะ(A)

1) ใฝ่เรยี นใฝร่ ู้

2) มงุ่ มน่ั ในการทำงาน

5. สาระการเรียนรู้
การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสงู

6. กระบวนการจัดการเรียนรู้

ชวั่ โมงที่ 1 (การแยกตวั ประกอบพหุนามท่ีมีดีกรีสงู กวา่ สาม)

ขนั้ ที่ 1 ขั้นสร้างความสนใจ

1. ครูแนะนำนักเรียนให้รู้จักพหุนามดกี รีสงู หรือพหุนามดีกรี n และรูปทั่วไปโดยครูเขียนบนกระดาน
ดังน้ี

พหุนามที่มีรูปทั่วไปเป็น anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ ... + a0 เรียกว่า พหุนามดีกรี n เมื่อ n
เป็นจำนวนนบั และ an ไม่เท่ากับศูนย์ an, an-1, an-2, ..., a0 เป็นค่าคงตัว เรยี กว่า สัมประสทิ ธิ์
จากน้ันครกู ล่าวว่าสำหรับในการแยกพหุนามดีกรีสงู ในหน่วยนจ้ี ะกลา่ วเฉพาะที่มีสมั ประสิทธเ์ิ ปน็ จำนวนเตม็
เช่น x3 + 4x2 - 6x - 20

เป็นพหนุ ามดีกรี 3 มี a3 = 1, a2 = 4, a1 = -6 และ a0 = 20
ข้นั ที่ 2 ขนั้ สำรวจและคน้ หา

34

2. ใหน้ ักเรียนพจิ ารณาการหารต่อไปน้ี โดยครูเขยี นบนกระดาน
(x3 + 4x2 - 6x - 20) ÷ (x + 2)

x2 + 2x - 10
x + 2 x3 + 4x2 - 6x - 20

x3 + 2x2
2x2 - 6x
2x2 + 4x
- 10x - 20
- 10x - 20
0

ครซู ักถามนักเรยี นวา่ การหารขา้ งต้นเปน็ การหารลงตวั หรอื ไม่ (ลงตัว)
ครูกลา่ วว่าการหารข้างตน้ เป็นการหารลงตวั ดงั น้ันจะได้

x3 + 4x2 - 6x – 20 = (x + 2)(x2 + 2x - 10)
ครถู ามนักเรียนว่า ถ้าให้ P(x) แทนตวั ต้ัง Q(x) แทนผลหาร จะไดว้ ่าอยา่ งไร
ครเู ขยี นบนกระดาน

P(x) = (x + 2)Q(x) ……………………..(1)
จากนั้นแทน x ดว้ ย -2 ในสมการ (1) จะได้

P(-2)= (- 2+ 2)Q(-2)
= 0[Q (-2)]
=0

ให้นักเรียนรว่ มกันพิจารณาหาขอ้ สรปุ ของพหนุ ามขา้ งตน้ โดยครูเปน็ ผซู้ ักถามจนไดข้ ้อสังเกตวา่ กรณกี ารหาร
P(x) ด้วย x + 2 ไดล้ งตวั เม่อื แทน x ด้วย -2 จะได้ P(-2) = 0 ซง่ึ เป็นการหารลงตัว
ขน้ั ท่ี 3 ข้นั อธิบายและลงข้อสรุป

35

3. ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาการหารพหุนามตอ่ ไปนี้ โดยครูเขยี นบนกระดาน
(x3 + 4x2 - 6x - 16) ÷ (x + 2)
x2 + 2x - 10
x + 2 x3 + 4x2 - 6x - 16
x3 + 2x2
2x2 - 6x
2x2 + 4x
- 10x - 16
- 10x - 20
4

ครซู ักถามนักเรยี นจากการพิจารณาว่าการหารข้างต้น เป็นการหารลงตัวหรอื ไม่ และไดว้ ่าอย่างไร ซ่งึ ได้ดงั น้ี
การหารข้างตน้ เป็นการหารไม่ลงตัว ซ่ึงจะไดว้ า่

x3 + 4x2 - 6x - 16 = (x + 2)(x2 + 2x - 10) + 4
ครูแนะนำนักเรียนวา่ ถา้ ให้ P(x) แทนตัวตง้ั Q(x) แทนตวั หาร จะได้

P(x) = (x + 2)Q(x) + 4 …………………………….(2)
จากนั้นแทน x ด้วย -2 ในสมการ (2) จะได้

P(-2) = (- 2+ 2) Q(-2) + 4
= (0)Q(-2) + 4
= 0+4
=4

จะเหน็ วา่ กรณนี ี้หาร P(x) ด้วย x + 2 แล้วเหลือเศษ 4 เม่ือแทน x ดว้ ย -2 จะได้
P(-2) = 4 ซง่ึ เปน็ เศษของการหาร

ครูกล่าววา่ การพจิ ารณาขา้ งต้นเรียกวา่ ทฤษฎเี ศษเหลือ โดยนิยามดงั นี้

36

ทฤษฎเี ศษเหลือ
ถ้า P(x) เปน็ พหุนามทเ่ี ป็นตัวตงั้ (x - c) เป็นตวั หาร มี Q(x) เปน็ ผลหาร

และ R(x) เป็นเศษของการหาร ซง่ึ R(x) มีดีกรีเป็นศูนย์
จะไดว้ า่ P(x) = (x - c)Q(x) + R(x)
ถ้า x - c หาร P(x) ไดล้ งตวั แลว้ P(c) = R(c) = 0
ถา้ x - c หาร P(x) ไม่ลงตวั แล้ว P(c) = R(c) ซ่งึ ไม่เท่ากบั ศนู ย์เป็นเศษของการหาร

4. ครูนำเสนอตวั อย่างท่ี 1 ให้นักเรยี นได้ทำการศึกษาการหาผลหารของพหุนาม
ตวั อย่างท่ี 1 x - 2 หาร x3 + 2x2 - 5x - 6 ได้ลงตัวหรือไม่
ครูสนทนากับนักเรียนถงึ วธิ กี ารทำตวั อยา่ งขา้ งตน้ ซ่ึงจะมีวิธีการทำ 2 วธิ ี คือ
วิธที ี่ 1 ใชก้ ารต้งั หาร ซึ่งจะไดด้ ังน้ี

x2 + 4x + 3
x - 2 x3 + 2x2 - 5x - 6

x3 - 2x2
4x2 - 5x
4x2 - 8x
3x - 6
3x - 6
0

ดังนั้น x - 2 หาร x3 + 2x2 - 5x - 6 ได้ลงตวั

37

วธิ ีที่ 2 ใช้ทฤษฎีเศษเหลอื

ให้ P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6 หาร P(x) ด้วย x - 2 ดงั นน้ั หาเศษของการหารโดยแทนด้วย 2 ใน P(x) จะได้

P(2) = 23 + 2(2)2 – 5(2) - 6 =
8 + 8 - 10 - 6

=0

ดงั นัน้ x3 + 2x2 - 5x - 6 หารด้วย x - 2 ได้ลงตวั

5. ครูยกตวั อยา่ งท่ี 2 ให้นักเรียนหาผลหารของพหนุ ามโดยใช้ทฤษฎีเศษเหลอื และร่วมกันสรปุ เปน็ ข้อสงั เกต

สำหรบั (x - c) ทห่ี าร P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ ... + a0 ได้ลงตัว c ตอ้ งเปน็ ผลลัพธ์ตัวใดตวั หน่งึ
ของตวั ประกอบของ a0 หารดว้ ยตวั ประกอบของ an
6. ใหน้ ักเรียนทำแบบฝึกหดั เป็นการบา้ น โดยครูกำหนดวนั และเวลาสง่

ชั่วโมงท่ี 2 การแยกตัวประกอบพหนุ ามท่ีมีดีกรีสงู กวา่ สาม (ต่อ)

ขัน้ ที่ 4 ขน้ั ขยายความรู้

1. ครูทบททวนเรื่องการหารพหุนามที่เรียนมาในชั่วโมงที่แล้วโดยการสุ่มให้นักเรียนออกมาเฉลย
แ บ บ ฝ ึ ก หั ด

ในชั่วโมงที่ผ่านมา โดยครูเป็นผู้พิจารณาความถูกต้อง และให้ข้อแนะนำสำหรับข้อที่นักเรียนทำผิด
แล้วใหน้ ักเรยี นแก้ไขใหถ้ กู ต้อง

2. ครูนำเสนอตัวอย่างท่ี 3 ให้นกั เรียนศึกษา

38

ตวั อยา่ งที่ 3 ถ้า x - c หาร x3 - 2x2 - 5x + 6 ไดล้ งตัวแล้ว c มีค่าเปน็ จำนวนใดได้บา้ ง และจงแยกตัว
ประกอบของ x3 - 2x2 - 5x + 6
วธิ ที ำ กรณีน้ี สัมประสิทธ์ิของ x3 เป็น 1 และ a0 เป็น 6 ดงั นน้ั คา่ c ท่เี ป็นไปได้ต้องเป็นตวั ประกอบของ 6
ซง่ึ ตัวประกอบของ 6 ไดแ้ ก่ ±1, ±2, ±3, ±6 และเนือ่ งจากพหุนาม P(x) มีดกี รี 3 จึงมีค่า c ได้ไม่เกนิ 3 ค่า
ให้ P(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
เม่ือแทน c ดว้ ย 1 จะได้

P(1) = 1 - 2 - 5 + 6
=0

ดงั นน้ั (x - 1) หาร x3 - 2x2 - 5x + 6 ได้ลงตวั
เมอื่ แทน c ดว้ ย -2 จะได้

P(-2) = (-2)3 - 2(-2)2 - 5(-2) + 6
= -8 - 8 + 10 + 6
=0

ดงั นน้ั {x - (-2)} = x + 2 หาร x3 - 2x2 - 5x + 6 ได้ลงตัว
เมื่อแทน c ดว้ ย 3 จะได้

P(3) = (3)3 - 2(3)2 - 5(3) + 6
= 27 - 18 - 15 + 6
=0

ดังนัน้ x -3 หาร x3 - 2x2 - 5x + 6
ดังนัน้ c เป็น 1, -2 หรอื 3
น่ันคอื แยกตัวประกอบ x3 - 2x2 - 5x + 6 ได้ (x - 1)(x + 2)(x - 3)
3. ใหน้ กั เรียนแบง่ กลุ่มเป็น 3 กลุม่ ใหญ่ แลว้ ให้แต่ละกลุม่ ใหญ่แบ่งเปน็ กลมุ่ ย่อย กลุ่มละ 4-5 คน ใหส้ ร้าง

โจทยแ์ ลว้ แสดงวธิ กี ารหารพหนุ ามโดยใช้วธิ ีทฤษฎีเศษเหลือ ใหก้ ล่มุ ย่อยนำมาอภิปรายในกล่มุ ใหญ่ แลว้

39

ตรวจสอบความถูกตอ้ ง จากนั้นใหเ้ ลือกข้อทน่ี ่าสนใจมากลมุ่ ละ 1 ขอ้ แล้วนำเสนอหน้าชนั้ เรียน โดยครแู ละ
เพื่อนกล่มุ อน่ื ตรวจสอบความถกู ต้อง
4. ครนู ำเสนอตวั อยา่ งท่ี 4 ให้นกั เรยี นพิจารณา
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของพหนุ าม x3 - 19x + 30
ครูซกั ถามนกั เรียนว่าใครสามารถทำโจทยข์ ้อน้ีไดบ้ า้ ง และมวี ิธีการทำอย่างไร ให้นักเรียนออกมานำเสนอหนา้
ชนั้ เรียนในกรณีทมี่ นี ักเรยี นทำได้ แตถ่ ้านกั เรยี นทำไม่ไดค้ รูใช้คำถามกระตุน้ และแสดงวิธีทำใหน้ กั เรียนดู
วธิ ที ำ ให้ P(x) = x3 - 19x + 30
เน่ืองจากค่า c ที่เปน็ ไปได้ต้องเปน็ ตัวประกอบของ 30 ซ่ึงตัวประกอบของ 30 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±5, ±6,
±10, ±15, ±30 และมคี า่ c ทเี่ ป็นไปได้ไมเ่ กิน 3 ค่า
เน่ืองจาก P(2) = 23 - 19(2) + 30

= 8 - 38 + 30
=0
ดงั น้ัน (x - 2) หาร x3 - 19x + 30 ได้ลงตัว

น่นั คือ x3 - 19x + 30 = (x - 2)(x2 + 2x - 15)
= (x - 2)(x - 3)(x + 5)

5. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 3-5 คน ให้แต่ละกลุ่มช่วยกันแยกตัวประกอบจากโจทย์ที่ครู
กำหนดให้ กล่มุ ใดได้จำนวนข้อมากกวา่ และถกู ต้องกล่มุ นน้ั เป็นฝา่ ยชนะ เช่น

(1) x3 + 6x2 - 11x + 6 (2) x3 + 6x2 - 32 (3) x3 + 4x2 + x - 6

40

ช่วั โมงท่ี 3 การแยกตัวประกอบพหนุ ามที่มีดกี รีสงู กวา่ สาม (ต่อ)

1. ครนู ำเสนอตวั อย่างที่ 6 ให้นักเรียนช่วยกันพจิ ารณาวิธีการหาคำตอบ

ตวั อยา่ งที่ 6 จงแยกตัวประกอบของพหนุ าม x4 + 3x3 - 7x2 - 27x - 18

ครแู นะนำวธิ กี ารทำตวั อยา่ งท่ี 6 บนกระดานดำ ซ่ึงจะไดด้ งั น้ี

วธิ ีทำ ให้ P(x) = x4 + 3x3 - 7x2 - 27x - 18

เนื่องจากค่า c ที่เป็นไปได้ต้องเป็นตัวประกอบของ 18 ซึ่งตัวประกอบของ 18 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±6, ±9,
±18 และมีคา่ c ที่เป็นไปไดไ้ มเ่ กิน 4 คา่

เนอื่ งจาก P(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 - 7(-1)2 - 27(-1) - 18

= 1 - 3 - 7 + 27 - 18

=0

ดังนน้ั (x + 1) หาร x4 + 3x3 - 7x2 - 27x – 18 ไดล้ งตัว

น่ันคอื x4 + 3x3 - 7x2 - 27x - 18 = (x + 1)(x3 + 2x2 - 9x – 18 …………………….. (1)

ให้ Q(x) = x3 + 2x2 - 9x - 18

เนื่องจาก Q(-2) = (-2)3 + 2(-2)2 - 9(-2) - 18

= - 8 + 8 + 18 - 18

41

=0
ดังนน้ั (x + 2) หาร x3 + 2x2 - 9x - 18ได้ลงตัว

นนั่ คือ x3 + 2x2 - 9x – 18 = (x + 2)(x2 - 9)
= (x + 2)(x + 3)(x - 3) ………………………………………….. (2)

จาก (1) และ (2) จะได้วา่
x4 + 3x3 - 7x2 - 27x - 18 = (x + 1)( x3 + 2x2 - 9x - 18)
= (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x - 3)

ขน้ั ที่ 5 ขน้ั ประเมิน
2. ให้นักเรียนทำแบบฝึกหดั เปน็ การบา้ น โดยครูกำหนดวันและเวลาส่ง

7. ส่อื และแหล่งเรยี นรู้
1. ใบงาน
2. หนังสือเรียนคณติ ศาสตร์ ม.3 เล่ม 1
3. อินเตอรเ์ น็ต

42

8. การวัดประเมินผลการเรียนรู้

วธิ วี ัดผล เครอ่ื งมอื วัดผล เกณฑก์ ารประเมินผล

1. สงั เกตพฤติกรรมทางการเรียน แบบสังเกตพฤติกรรมทางการ นักเรียนผ่านเกณฑก์ ารประเมนิ

การสอน เรยี นการสอน ในระดบั ดขี ้นึ ไป

2. สังเกตพฤตกิ รรมการปฏิบตั ิ แบบสงั เกตพฤติกรรมการ นักเรยี นผา่ นเกณฑ์การประเมิน
กจิ กรรมกล่มุ ปฏิบตั กิ จิ กรรมกลุ่ม ในระดับดีขน้ึ ไป

3. การทำแบบฝึกหัด แบบฝกึ หัด นักเรียนทุกคนทำถูกต้องไม่ต่ำกว่า
รอ้ ยละ 70 ของคะแนนทง้ั หมด

4. การทำใบงานที่ 9 และ 10 ใบงานที่ 9 และ 10 นักเรียนทุกคนทำถูกต้องไม่ต่ำกว่า
รอ้ ยละ 70 ของคะแนนท้ังหมด

เกณฑ์การประเมนิ ผลจากการทำใบกจิ กรรม ใบงาน แบบฝึกปฏิบัตกิ ิจกรรม ใชเ้ กณฑ์ดงั นี้
80% ขน้ึ ไป หมายถึง ดมี าก
70-79% หมายถงึ ดี
60-69% หมายถงึ ปานกลาง
50-59% หมายถึง ผ่าน
ตำ่ กว่า 50% หมายถึง ปรับปรุง

43

ใบงานท่ี 9 กำหนด P(x) และ a จงหา P(a)
1. P(x) = x3 – 2x2 + 8x – 7 และ a = -2

2. P(x) = 2x3 + 4x2 - 7x + 5 และ a = 3

3. P(x) = -x4 + 7x3 + 2x2 - 5x – 9 และ a = -1

4. P(x) = x3 + 9x2 - 9x – 8 และ a = 4

44

5. P(x) = -2x3 + 7x2 - 5x + 11 และ a = 0

45

ใบงานท่ี 10 จงใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลอื หาเศษเหลอื จากการหารพหนุ าม
1. x3 + 4x2 - 7x + 10 หารดว้ ย (x – 5)

2. 4x3 - 7x2 + 9x - 12 หารดว้ ย (x + 4)

3. 5x3 + x2 - x - 1 หารด้วย (x + 2)

4. -2x4 - 8x3 + 5x2 - 4x - 11 หารดว้ ย (x – 1)

46

5. -3x4 + 5x3 - 4x2 + 2x - 1 หารดว้ ย (x + 1)