Logic_200465

 ประพจน์

บทนยิ าม
ประพจน์ (Propositions) คอื ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏเิ สธที่มคี า่ ความจริงเปน็

จริงหรอื เทจ็ อย่างใดอยา่ งหนงึ่ เท่านน้ั

ตวั อยา่ งเชน่ ประโยคบอกเล่า มคี ่าความจรงิ เป็นจริง
สัปดาหห์ นง่ึ มี 7 วัน
ดาวอังคารเป็นดาวเคราะห์ ประโยคบอกเล่า มีค่าความจรงิ เป็นจริง
1 ปี มี 11 เดอื น ประโยคบอกเลา่ มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็
สีประจาวนั อังคาร คือ สมี ่วง ประโยคบอกเลา่ มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็
18 ประโยคปฏเิ สธ มคี ่าความจริงเป็นจริง
1 ไม่เป็นจานวนเตม็ ประโยคปฏเิ สธ มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ
-1 ไมเ่ ป็นจานวนเตม็ ลบ ประโยคปฏเิ สธ มคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ
โลกไมเ่ ป็นดาวเคราะห์ ประโยคปฏิเสธ มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็
ประโยคที่ไม่อยู่ในรปู ประโยคบอกเลา่ หรือประโยคปฏเิ สธ ไม่เปน็ ประพจน์ เชน่ ประโยคคาถาม
ประโยคคาสง่ั ประโยคอุทาน ห้าม ขอร้อง อ้อนวอน และประโยคแสดงความปรารถนา
ตวั อยา่ งเชน่
อุย๊ ! (คาอุทาน)
หา้ มเดินลัดสนาม (คาส่ัง)
โปรดรกั ษาความสะอาด (ขอร้อง)
ออกไปจากหอ้ งเด๋ยี วน้ี (คาสงั่ )
อยากไปเทีย่ วสวนสตั วเ์ หลือเกนิ (ปรารถนา)
ไดโ้ ปรดอย่าไปจากฉนั เลย (อ้อนวอน)
เธอจะไปกบั ฉนั หรือจะอยกู่ ับเค้า (คาถาม)

 นเิ สธของประพจน์
นเิ สธของประพจนใ์ ด ๆ คอื ประพจนท์ ่ีมีค่าความจริงตรงข้ามกบั ประพจนน์ ้นั ๆ
ตวั อยา่ งเชน่
1. ประพจน์ : โลมาเป็นสัตว์เลี้ยงลกู ดว้ ยนม
นิเสธของประพจน์ : โลมาเป็นสัตวท์ ีไ่ ม่ไดเ้ ล้ียงลกู ด้วยนม
2. ประพจน์ : 234
นิเสธของประพจน์ : 2  3  4
3. ประพจน์ :  เป็นจานวนอตรรกยะ
นิเสธของประพจน์ :  เป็นจานวนตรรกยะ

เอกสารแนะแนวทางที่ 1.1

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 (ค31201) ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

เรอ่ื ง ประพจน์ ประกอบแผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 1

คาชแ้ี จง จงพจิ ารณาตารางทีก่ าหนดให้ และใส่เคร่ืองหมายถกู ลงในตารางถูกตอ้ ง

ขอ้ ขอ้ ความ ประโยค จรงิ เทจ็ บอกไมไ่ ด้ เปน็ ไมเ่ ปน็
/ ขอ้ ความ ประพจน์ ประพจน์

1 2 ไม่เป็นจานวนเตม็ ปฏเิ สธ  

2 อ้มั พชั ราภา ไชยเชอื้ เปน็ นักร้อง บอกเล่า  

3 จงหาค่า x จากสมการ x +5 = 24 คาถาม  

4 2x + 5 = 27 บอกเล่า  

5 ประเทศไทยประชาการสว่ นใหญเ่ ปน็ พุทธศาสนิกชน

6 เขาเปน็ นกั คณติ ศาสตร์

7 1 เปน็ จานวนตรรกยะ
2
8 รัศมขี องวงกลมเดียวกันย่อมมีความยาวเท่ากนั

9 โปรดกาเบอร์ 3 เลอื กผมเปน็ ประธานนักเรียน

10 เทอมนจ้ี ะต้องสอบวชิ าคณิตศาสตรใ์ ห้ไดเ้ กรด 4

11 อกี 10 ปีข้างหน้าพระอาทติ ย์จะดับลง

12 12 เป็นคาตอบของสมการ x – 8 = 5

13 พดู ไปสองไพรเบีย้ นิ่งเสียตาลึงทอง

14 ถา้ x มคี ่าสมั บรู ณ์เปน็ 5 แล้ว x มีค่าเท่ากับ 5 และ -5

15 พ.ศ. 2560 จะเกิด “สนึ ามิ” ทภ่ี าคเหนือของประเทศไทย

สรปุ ไดว้ า่
ประพจน์ หมายถงึ ....................................................................................................................

............................................................................................................................. ..................................
............................................................................................................. ................................................. .

เอกสารแนะแนวทางท่ี 1.1

รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

เร่ือง นเิ สธของประพจน์ ประกอบแผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 1

คาชแี้ จง จงพจิ ารณาประพจนแ์ ละนเิ สธของประพจนต์ อ่ ไปนี้

1. ประพจน์ : ค้างคาวเปน็ สตั ว์เลย้ี งลูกดว้ ยนม

นิเสธของประพจน์ : ค้างคาวเป็นสัตวท์ ี่ไมไ่ ด้เลี้ยงลกู ดว้ ยนม

2. ประพจน์ : ประเทศไทยอย่ใู นทวีปเอเชีย

นิเสธของประพจน์ : ประเทศไทยไม่ได้อยู่ในทวีปเอเชยี

3. ประพจน์ : 2 เปน็ จานวนคู่

นิเสธของประพจน์ : 2 เป็นจานวนค่ี

4. ประพจน์ : 23  5

นิเสธของประพจน์ : 23  5

5. ประพจน์ : ธีรช์ อบเรียนวชิ าคณิตศาสตร์

นิเสธของประพจน์ :

6. ประพจน์ : กลา้ หนักมากกว่าแก้ว

นิเสธของประพจน์ :

7. ประพจน์ : เกาะพีพีอยใู่ นทะเลอันดามนั

นเิ สธของประพจน์ :

8. ประพจน์ : {ก, ข, ฃ ,ค ,ต, …, อ, ฮ} เปน็ เซตของพยัญชนะในภาษาไทย

นิเสธของประพจน์ :

9. ประพจน์ : 1, 2  1, 2, 3

นเิ สธของประพจน์ :

10. ประพจน์ : รปู สเี่ หล่ยี มดา้ นขนานมีเส้นทะแยงมุมยาวไม่เทา่ กนั

นิเสธของประพจน์ :

สรปุ ไดว้ า่
นเิ สธของประพจนใ์ ด ๆ คอื .....................................................................................................

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะท่ี 1.1

รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

เรื่อง ประพจน์ ประกอบแผนการจดั การเรยี นร้ทู ี่ 1

1. จงพจิ ารณาประโยคในแตล่ ะข้อต่อไปนวี้ า่ เป็นประพจนห์ รือไม่ ถา้ ประโยคนนั้ เปน็ ประพจนใ์ หน้ ักเรยี น
ใสเ่ ครอื่ งหมาย  หนา้ ขอ้ และถา้ ประโยคนนั้ ทไ่ี มเ่ ปน็ ประพจนใ์ ห้นกั เรียนใสเ่ คร่อื งหมาย  หน้าข้อ
1. เขาเป็นตัวแทนโรงเรียนนนทรวี ทิ ยาไปแขง่ ขัน คณติ ศาสตร์โอลมิ ปกิ
2. รูปสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉาก ได้แก่ รปู สีเ่ หลย่ี มจัตรุ ัส รปู ส่เี หลย่ี มผืนผา้
3. ในปี พ.ศ. 2555 จะเกดิ ภยั พิบัติทางธรรมชาติคร้งั ยงิ่ ใหญ่
4. น่าสงสารจรงิ ๆ ท่ีติด 0 วชิ า ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ เพราะ เธอไมต่ ้งั ใจเรยี น
5. x + 2 = 10 จงหาค่า x ของสมการ
6. ประเทศไทยปกครองในระบบประชาธิปไตย
7. อยุ๊ ! ตายแลว้
8. เพราะวา่ -1 > -2 ดงั นน้ั (-1)2 < (-2)2
9. y2 = x + 1 เปน็ สมการกราฟพาราโบลา
10.นา้ นงิ่ ไหลลกึ

2. ใหน้ กั เรียนแต่งประโยคทเ่ี ปน็ ประพจน์ 5 ประโยค และประโยคที่ไมเ่ ป็นประพจน์ 5 ประโยค
ประโยคทเี่ ปน็ ประพจน์
1 ___________________________________________________________________
2 ___________________________________________________________________
3 ___________________________________________________________________
4 ___________________________________________________________________
5 ___________________________________________________________________
ประโยคทไ่ี มเ่ ป็นประพจน์
1 ___________________________________________________________________
2 ___________________________________________________________________
3 ___________________________________________________________________
4 ___________________________________________________________________
5 ___________________________________________________________________

3. จงหานเิ สธของประโยคทก่ี าหนดให้

ขอ้ ประโยค นเิ สธ

1 กรงุ เทพมหานครเปน็ เมืองหลวงของประเทศไทย

2 จานวนเตม็ ทุกจานวนเปน็ จานวนจรงิ

3 ไม่จรงิ ทวี่ า่ 5 เปน็ จานวนอตรรกยะ

4 มีจานวนจริงบางจานวน ท่ที าให้ x + 3 = 8

5 พยนู เป็นสัตว์เลือดอนุ่ ทเี่ ลย้ี งลูกดว้ ยนม

6 ออ้ มและอว้ นไปดภู าพยนตร์

7 แม่นา้ โขงไหลผา่ นประเทศไทย

8 ผกาไม่ชอบเรียนวชิ าภาษาอังกฤษ

9 วารสี อบวิชาคณิตศาสตร์ได้น้อยกวา่ วีระ

10 {a, e, i ,o ,u } เป็นเซตของสระในภาษาอังกฤษ

11 นายเอสูงกวา่ นายบี

12 4 และ 6 เปน็ สมาชกิ ของ {2, 4}

13 4 + 23  30

14   {2}

15 ช้างใหญก่ วา่ หมู

แบบทดสอบ

1. ข้อใดเปน็ ประพจน์

ก. ยนิ ดตี อ้ นรับทุกคน ข. เขาเป็นนกั ฟุตบอลทีมชาติ

ค. บนดาวอังคารมีส่งิ มีชวี ติ อาศยั อยู่ ง. ทาไมต้องเรยี นคณติ ศาสตร์

2. ข้อใดไม่เปน็ ประพจน์

ก. x = x เมื่อ x เปน็ จานวนจรงิ ข. x + 5  9 เมอ่ื x = 4

ค. ถา้ x  y แลว้ x2  y2 ง. มีจานวนจรงิ x และ y ท่ี x – y = y – x

3. ขอ้ ความใดกล่าวถูกต้อง

ก. x + 2  0 เปน็ ประพจน์

ข. “เธอควรจะออกไป” เปน็ ประพจน์

ค. “เนอ่ื งจาก  เป็นจานวนจริง ดังนัน้   22 ” ไมเ่ ปน็ ประพจน์
7

ง. “สาหรับ x แต่ละจานวนทีเ่ ป็นจานวนจรงิ x + 2  0 ” เป็นประพจน์

 การเชอื่ มประพจน์
ในวชิ าคณติ ศาสตร์หรือในชีวติ ประจาวนั จะพบประโยคที่ได้จากการเช่ือมประโยคอนื่ ๆ ดว้ ย

คาว่า “และ” “หรือ” “ถา้ ...แลว้ ...” “กต็ อ่ เม่ือ” หรอื พบประโยคทเ่ี ปลีย่ นมาจากประโยคเดิมโดยเติม
คาว่า “ไม่” คาเหลา่ น้เี รยี กวา่ ตวั เชือ่ ม (connectives) เชน่

ตัวประกอบของ 3 คอื 1 และ 3
มานะจะไปเทย่ี วหรอื ไปทาบุญ
รปู สามเหลีย่ ม ABC จะเปน็ รูปสามเหลย่ี มดา้ นเท่า กต็ อ่ เม่ือ รปู สามเหลีย่ ม ABC มดี า้ น
เท่ากันสามด้าน
เพือ่ ความสะดวกในการศึกษาเก่ยี วกับการเชื่อมประพจน์จะใช้ตัวอักษรเช่น p, q, r แทน
ประพจน์ทน่ี ามาเชอื่ มกนั และก่อนท่จี ะพจิ ารณาคา่ ความจริงของประพจนท์ ่มี ีตวั เชอื่ ม
โดยให้ T แทนคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ และ F แทนค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ จะตอ้ งพจิ ารณาคา่
ความจริงทเ่ี ป็นไปได้ของ p และ q ดังน้ี
ตารางกาหนดคา่ ความจรงิ ของประพจนเ์ ชิงเดย่ี ว

pq
TT
TF
FT
FF

เราสามารถเช่อื มประพจน์ทงั้ สองเขา้ ดว้ ยกัน โดยอาศยั ตวั เชอื่ มประพจนด์ ังต่อไปนี้
ตวั เช่อื มประพจน์ “และ”

การเชอื่ มประพจน์ p และ q เข้าดว้ ยกันด้วยตัวเชอ่ื มประพจน์ “และ”
สามารถเขียนแทนดว้ ย p  q
ค่าความจรงิ ของตวั เชื่อม “และ” คือ

p q pq
TT T
TF F
FT F
FF F

ตวั เช่อื มประพจน์ “หรือ”
การเชอื่ มประพจน์ p และ q เขา้ ดว้ ยกนั ดว้ ยตวั เชอื่ มประพจน์ “หรือ”
สามารถเขยี นแทนดว้ ย p  q
คา่ ความจริงของตัวเชื่อม “หรอื ” คือ

p q pq
TT T
TF T
FT T
FF F

ตวั เช่ือมประพจน์ “ถา้ ...แลว้ ...”
การเชอ่ื มประพจน์ p และ q เข้าดว้ ยกนั ดว้ ยตัวเชอื่ มประพจน์ “ถ้า...แลว้ ...”
สามารถเขียนแทนด้วย p  q
คา่ ความจริงของตวั เชื่อม “ถ้า...แลว้ ...” คอื

p q pq
TT T
TF F
FT T
FF T

ตวั เช่ือมประพจน์ “กต็ อ่ เม่ือ”
การเช่อื มประพจน์ p และ q เขา้ ดว้ ยกันดว้ ยตวั เชื่อมประพจน์ “กต็ อ่ เม่ือ”
สามารถเขยี นแทนด้วย p  q
คา่ ความจริงของตวั เชื่อม “ก็ต่อเม่ือ” คอื

p q pq
TT T
TF F
FT F
FF T

นเิ สธของประพจน์
นเิ สธของประพจนใ์ ด ๆ คอื ประพจน์ที่มคี า่ ความจรงิ ตรงขา้ มกบั ประพจน์น้นั ๆ
สามารถเขยี นแทนนิเสธของ p ไดด้ ้วย ~ p
ค่าความจรงิ ของนเิ สธประพจน์ คอื

p ~p

TF
FT

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะท่ี 1.2

รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

เร่ือง ความหมายของตวั เชอ่ื มในทางคณติ ศาสตร์ ประกอบแผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 2

1. จงเขยี นประโยคต่อไปนใ้ี หอ้ ยใู่ นรปู ของสัญลกั ษณ์ โดยให้ p แทนประพจนแ์ รก และ q แทนประพจนห์ ลงั

1. เธอมาก่อนและฉนั มาที่หลัง เขยี นแทนดว้ ย _________________________

2. มานะกินข้าวหรอื กนิ ขนม เขียนแทนด้วย _________________________

3. ถา้ ดวงกมลเป็นพ่ีแล้วดวงใจเปน็ นอ้ ง เขยี นแทนด้วย _________________________

4. พรพรหมไปทะเลกต็ ่อเม่ือทาหารบ้านเสรจ็ เขยี นแทนดว้ ย _________________________

5. 5 เป็นจานวนนบั และ 6 เปน็ จานวนคู่ เขียนแทนด้วย _________________________

6. ถ้า 2 เป็นจานวนเฉพาะแล้ว 3 เป็นจานวนค่ีเขียนแทนดว้ ย _________________________

7. x2 > 0 กต็ ่อเม่ือ x < 0 เขยี นแทนดว้ ย _________________________

8. ถ้า 2 < 3 และ 3 < 4 แลว้ 2 < 4 เขยี นแทนดว้ ย _________________________

2. จงเปลยี่ นประโยคขอ้ ความตอ่ ไปน้ใี ห้อยใู่ นรูปของสัญลกั ษณ์
1. เวลา 21.00 น. เข็มสั้นอยูท่ ี่เลข 8 หรือเลข 7
ให้ __________ แทน _________________________________________
__________ แทน _________________________________________
สญั ลักษณ์ ______________________________________________________
2. พยญั ชนะไทยมี 43 ตวั และอักษรภาษาอังกฤษมี 26 ตวั
ให้ __________ แทน _________________________________________
__________ แทน _________________________________________
สัญลกั ษณ์ ______________________________________________________
3. ไม่จริงท่วี ่า 2 หาร 18 ไม่ลงตัว แล้ว 2 หาร 17 ลงตวั
ให้ __________ แทน _________________________________________
__________ แทน _________________________________________
สัญลักษณ์ ______________________________________________________
4. ถ้า 2 เปน็ จานวนเต็ม หรอื จานวนตรรกยะ และ -5 เปน็ จานวนตรรกยะ แล้ว 2 + 5 = 7
และ 7 – 5 = 2
ให้ __________ แทน _________________________________________
__________ แทน _________________________________________
__________ แทน _________________________________________
__________ แทน _________________________________________
สญั ลกั ษณ์ ______________________________________________________

3. ใหน้ กั เรยี นเตมิ ตารางคา่ ความจรงิ ใหส้ มบรู ณ์ pq pq ~p
p q pq pq
TT
TF
FT
FF

จากตารางคา่ ความจริง จงวเิ คราะห์คา่ ความจรงิ ต่อไปนี้

1. p  T มีคา่ ความจรงิ เป็น ______ 6. p F มีค่าความจรงิ เป็น ______
มีค่าความจริงเป็น ______
2. p  F มคี ่าความจริงเปน็ ______ 7. T p มีค่าความจรงิ เป็น ______
มีค่าความจริงเป็น ______
3. p  T มีค่าความจริงเป็น ______ 8. F p มีคา่ ความจรงิ เป็น ______

4. p  F มคี า่ ความจรงิ เป็น ______ 9. p T

5. p T มีค่าความจริงเป็น ______ 10. p F

4. จงเขยี นประโยคแทนสญั ลกั ษณ์

กาหนดให้ p แทนประพจน์ 3 เป็นจานวนเฉพาะ

q แทนประพจน์ 3 เปน็ จานวนค่ี

r แทนประพจน์ 2 เป็นจานวนคู่

s แทนประพจน์ 2 เปน็ จานวนเฉพาะ

1. สญั ลกั ษณ์ p  q  r

ประโยค ______________________________________________________

2. สัญลกั ษณ์ r s
ประโยค ______________________________________________________

3. สัญลกั ษณ์ p(qs)
ประโยค ______________________________________________________

4. สัญลักษณ์ q  ( r  p )

ประโยค ______________________________________________________

5. สัญลักษณ์ (  p  q )  r
ประโยค ______________________________________________________

5. จงบอกคา่ ความจรงิ ของประโยคตอ่ ไปน้ี

1. 4 เปน็ จานวนคู่ และ 5 เปน็ จานวนค่ี ค่าความจรงิ _____________

2. 2 เท่ากับ 3 หรือ 2 มากกวา่ 3 คา่ ความจรงิ _____________

3. ถา้ 4 เปน็ จานวนคู่ แลว้ 43 เปน็ จานวนค่ี คา่ ความจริง_____________

4. 16 = 4 หรอื  16 = - 4 ค่าความจรงิ _____________

5. 7 เปน็ จานวนจริง แต่ ไม่เปน็ จานวนตรรกยะ ค่าความจรงิ _____________

6. ถ้า 1 + 1 = 3 ดงั นั้น 2 = 5 คา่ ความจรงิ _____________

7. สามเหลี่ยมจะมดี ้านเทา่ กนั 2 ดา้ นก็ตอ่ เมื่อมมี ุมเทา่ กัน 2 มุม คา่ ความจรงิ _____________

8. 2  5 ก็ตอ่ เมื่อ 3  5 ค่าความจริง_____________

9. ไมใ่ ช่ที่ 6  7 ค่าความจริง_____________

10. ถ้า 2 {2, 3 } แล้ว {2}  {2, 3} ค่าความจรงิ _____________

6. จงหาค่าความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปน้ี

กาหนดให้ A, B, C เป็นประพจนท์ ่มี คี ่าความจรงิ เป็นจรงิ และ X, Y เป็นประพจน์ที่มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ

1.  X  Y 11. ( B  X )  ( A  Y )
คา่ ความจริง___________ ค่าความจริง___________

2. ( X  Y )  ( X  A ) 12. ( A  X )  ( X  Y )
คา่ ความจรงิ ___________ คา่ ความจรงิ ___________

3. A  ( B  C ) 13. (  A  B )  ( X  C )
คา่ ความจริง___________ คา่ ความจริง___________

4. ( X  Y )  ( A  C ) 14. ( A  B )  ( B  A )
ค่าความจริง___________ คา่ ความจรงิ ___________

5. ( A  X )  Y 15. A  ( B  C )
ค่าความจริง___________ คา่ ความจริง___________

6. A   X 16. ( X  Y )  ( A  C )
ค่าความจรงิ ___________ ค่าความจรงิ ___________

7. (  A  X )  ( A  B ) 17. ( X  Y )  A
ค่าความจรงิ ___________ ค่าความจรงิ ___________

8. [  ( A  B ) ]   ( X  C ) 18. A  (  X  A )
ค่าความจรงิ ___________ ค่าความจรงิ ___________

9. [ ( X  C )  Y ]  ( A  Y) 19. [ ( A  B)  C ]  ( X  Y )
คา่ ความจรงิ ___________ ค่าความจรงิ ___________

10. A  ( B  C ) 20. ( A   X )  ( B   Y )
ค่าความจริง___________ คา่ ความจรงิ ___________

 ค่าความจรงิ ของประพจนเ์ ชงิ ซ้อน pq ~p
ค่าความจรงิ ของประพจนเ์ ชิงซ้อนตามตวั เชอ่ื มต่าง ๆ ไดด้ ังนี้ T F
F F
p q pq pq pq F T
TTTTT T T
TFFTF
FTFTT
FFFFT

เนอ่ื งจาก p, q และr เปน็ ตัวแปรแทนประพจน์ใด ๆ ดังน้ันในการพจิ ารณาค่าความจรงิ ของ
รูปแบบของประพจนจ์ ึงต้องกาหนดคา่ ความจริงของประพจนย์ ่อยทุกกรณีทีเ่ ป็นไปได้ เชน่

ถ้ามปี ระพจนเ์ ดยี วคือ p มกี รณเี กย่ี วกบั คา่ ความจรงิ ทจี่ ะพิจารณาทั้งหมด 2 กรณี คือ p คา่
ความจริงทีเ่ ปน็ จริง 1 กรณี และค่าความจริงทเี่ ป็นเท็จ 1 กรณี

ถา้ มสี องประพจนค์ ือ p และ q มีกรณเี กยี่ วกับคา่ ความจริงทจี่ ะพจิ ารณาท้ังหมด 4 กรณี
ดังน้ี

pq
TT
TF
FT
FF
ในทานองเดยี วกัน ถ้ามสี องประพจน์คือ p, qและ r มีกรณีเกยี่ วกบั คา่ ความจริงที่จะพจิ ารณา
ทงั้ หมด 8 กรณี ดังน้ี
pq r
TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงสรา้ งตารางค่าความจริงของ ( p  q )  ( ~p  ~q )
วธิ ที า รูปแบบ ( p  q )  ( ~p  ~q ) ประกอบดว้ ยประพจน์ยอ่ ยสองประพจน์
คือ p และ q จึงมีกรณีเกย่ี วกับคา่ ความจรงิ ท่อี าจเกดิ ขึน้ ได้ทั้งหมด 4 กรณี

นาประพจนย์ ่อยทัง้ สองประพจน์ มาเชื่อมดว้ ยตัวเชื่อม ถ้า...แลว้

p q p  q ~p ~q ~p  ~q ( p  q )  ( ~p  ~q )

TTTFF F F

TFFFT T T

FTFTF T T

FFFTT T T

นาประพจน์ p และ q มานเิ สธเพอ่ื ช่วยในการหาประพจนย์ อ่ ยทสี่ อง

ตวั อยา่ งที่ 2 จงสร้างตารางคา่ ความจรงิ ของ ( p  q )  r
วธิ ที า รปู แบบ ( p  q )  r ประกอบด้วยประพจนย์ ่อยสามประพจน์
คือ p, q และ r จงึ มีกรณีเก่ยี วกับค่าความจริงทีอ่ าจเกิดขนึ้ ได้ท้งั หมด 8 กรณี

P q r pq ( pq )  r
TTT T T
TTF T T
T FT T T
TFF T T
F TT T T
FTF T T
F FT F F
FFF F T

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะท่ี 1.3

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

เรอื่ ง การสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ประกอบแผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 3

จงสร้างตารางแสดงคา่ ความจรงิ ของรปู แบบของประพจนต์ อ่ ไปนี้
1. จงสร้างตารางค่าความจริงของ ( p  q )  ~q

p Q p  q ~q (p  q)  ~q
TT
TF
FT
FF

2. จงสร้างตารางค่าความจริงของ ( p  q ) ~p

p q p q ~p (p q) ~p

3. จงสรา้ งตารางค่าความจริงของ ( p  q )  ( ~q  ~p ) (p q)  (~q 
~p)
p q p q ~q ~p ~q ~p

TT
TF
FT
FF

4. จงสร้างตารางค่าความจริงของ ( p  q )  r (p q)  r

p q r pq

TTT
TTF
TFT
TFF
FTT
FTF
FFT
FFF

5. จงสร้างตารางค่าความจริงของ ( p  q )  ( p  ~r ) (p q)  (p ~r)
p q r p q ~r p ~r

กาหนดให้ p, q เปน็ ประพจน์ และ p*q กบั p∆q เปน็ ประพจนเ์ ชงิ ประกอบทมี่ คี า่ ความจรงิ ตาม
ตารางทกี่ าหนดให้ จงสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ ของประพจนเ์ ชงิ ประกอบในแตล่ ะขอ้

p q p*q P∆q
TT F F
TF T T
FT F T
FF T F

1. p  (p * q) 2. p * (p ∆ q)
p q p * q p  (p * q) p q p ∆ q p* (p ∆ q)

3. (p ∆ q) (p * q) 4. (p ∆ q) * q

p q p ∆ q p * q (p ∆ q) (p * q) p q p ∆ q (p ∆ q)* q

 ค่าความจรงิ ของประพจนเ์ ชงิ ประกอบ

การหาค่าความจริงของประพจนท์ ี่เกดิ จากการเชือ่ มประพจน์ย่อยด้วยตวั เช่อื มหลายตัวนั้น

จะต้องหาค่าความจรงิ ของประพจนท์ ี่อยู่ในวงเล็บก่อน โดยหาจากวงเลบ็ ในสุดไปยังวงเล็บนอก

สุด แตถ่ า้ ประพจนน์ ั้นไม่ได้ใส่วงเล็บใหห้ าค่าความจริงของตัวเชอื่ ม “” ก่อน แล้วจงึ หาค่า

ความจริงของตวั เช่ือม “ ” , “ ” จากนัน้ จึงหคา่ ความจรงิ ของตวั เช่อื ม “” และลาดบั

สดุ ท้ายเปน็ การหาคา่ ความจริงของตวั เช่อื ม “ ” เชน่ p q  r มคี วามหมาย

เช่นเดยี วกับ p  q  r

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงสร้างตารางค่าความจรงิ ของ ( pq )  ~p

วธิ ที า รูปแบบ ( pq )  ~p ประกอบด้วยประพจน์ย่อยสองประพจน์

คอื p และ q จึงมกี รณเี ก่ยี วกับคา่ ความจรงิ ทีอ่ าจเกดิ ขึ้นได้ท้งั หมด 4 กรณี

p q pq ~p ( pq )  ~p

TT T F F

TF F F T

FT T T T

FF T T T

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงสรา้ งตารางคา่ ความจริงของ p q  r
วธิ ที า รปู แบบ p q  r มีความหมายเดียวกบั ( p q )  r
ประกอบดว้ ยประพจน์ย่อยสองประพจน์
คอื p, q และ r จงึ มีกรณีเก่ยี วกับค่าความจริงทอ่ี าจเกดิ ขึน้ ไดท้ ัง้ หมด 8 กรณี

P q r pq ( pq )  r
TTT T T
TTF T T
TFT F F
TFF F T
FTT F F
FTF F T
F FT F F
FFF F T

ในกรณีท่ีกาหนดคา่ ความจริงของประพจนย์ ่อย แล้วใหห้ าค่าความจริงของประพจนเ์ ชิงเดียว
กส็ ามารถทาได้เช่นเดียวกัน โดยพิจารณาเพยี งแคก่ รณเี ฉพาะของประพจน์เชงิ เดยี ว

ตวั อยา่ งที่ 3 ถา้ คา่ ความจริงของ ( p q )  r มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ

จงหาคา่ ความจรงิ ของ ( pq )  r

วธิ ที า ค่าความจริงของ ( p q )  r มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็

พจิ ารณาตวั เช่ือมประพจน์ “ ” ในกรณที ่ีค่าความจริงเปน็ เทจ็

จะได้ T  F

แสดงวา่ r มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็

ฉะนั้น r มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ

และ p q มคี า่ ความจริงเปน็ จรงิ

พจิ ารณาตัวเชือ่ มประพจน์ “ ” ในกรณที ี่ค่าความจริงเปน็ จรงิ

จะได้ T  T

ฉะนนั้ p มีคา่ ความจรงิ เป็นจริง

q มีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ

เพราะฉะนัน้ pq มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง

ดังนนั้ ( pq )  r มคี า่ ความจริงเปน็ จริง

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาค่าความจรงิ ของ p ( q  r ) เม่อื กาหนดให้ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ
วธิ ที า พจิ ารณาตวั เชอ่ื มประพจน์ “ ” ในกรณที ี่ q มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็

จะได้ F  r มคี ่าความจรงิ เป็นจริง
พจิ ารณาตวั เช่ือมประพจน์ “  ” ในกรณที ่ี q  r มีคา่ ความจรงิ เป็นจริง
จะได้ p  T มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ
ดงั นั้น p ( q  r ) มคี า่ ความจริงเป็นจริง

แบบฝกึ เสรมิ ทักษะที่ 1.4

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

เรื่อง คา่ ความจริงของประพจน์เชงิ ประกอบ ประกอบแผนการจดั การเรยี นรูท้ ี่ 4

จงหาคา่ ความจรงิ ของปะพจนเ์ ชงิ ประกอบในแตล่ ะข้อ เมอ่ื กาหนดคา่ ความจริงบางประการ ดงั น้ี

1 (p  s)  (q  r)

เงอื่ นไขประพจน์ p มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็

คา่ ความจรงิ __________________________________

2 (p  q)  r r มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ
เงอื่ นไขประพจน์ __________________________________
คา่ ความจรงิ

3 p(p q) q มคี ่าความจริงเป็นจรงิ
เงอื่ นไขประพจน์ __________________________________
ค่าความจรงิ

4 p(p q) p มีค่าความจริงเปน็ เท็จ
เงอ่ื นไขประพจน์ __________________________________
คา่ ความจรงิ

5 (p  q)  (q  p)

เงอื่ นไขประพจน์ p  q มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็
คา่ ความจรงิ __________________________________

6 (p  q)  (p  q)

เงอ่ื นไขประพจน์ q  p มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ
ค่าความจรงิ __________________________________

7 p (q  r) q มคี ่าความจริงเปน็ เทจ็
เงอ่ื นไขประพจน์ __________________________________
ค่าความจรงิ

8 (p  q ) ( p  q )

เงอ่ื นไขประพจน์ p มคี ่าความจริงเป็นเทจ็

ค่าความจรงิ __________________________________

9 (p  q)  (r  s)

เงอ่ื นไขประพจน์ p มคี ่าความจริงเปน็ จริง และ r มนีค่าความจริงเปน็ เท็จ

ค่าความจรงิ __________________________________

10 p (q  r)

เงอื่ นไขประพจน์ q  r มคี ่าความจริงเปน็ เท็จ
ค่าความจรงิ __________________________________

 ประพจนท์ ส่ี มมลู กนั

ในวชิ าตรรกศาสตร์ ถา้ รูปแบบของประพจนส์ องรปู แบบใดมีคา่ ความจรงิ เหมือนกนั กรณีต่อ

กรณแี ล้วจะสามารถนาไปใชแ้ ทนกนั ได้ เรียก สองรูปแบบของประพจนด์ งั กล่าวเปน็ รูปแบบทสี่ มมลู กนั

เช่น pq สมมลู กับ ~p q โดยตรวจสอบไดจ้ ากตารางค่าความจรงิ

สญั ลักษณ์  แทน การสมมลู ของสองประพจน์

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแสดงว่า p q สมมูลกับ ~p  q

วธิ ที า

p q pq ~p ~p  q

TT T F T

TF F F F

FT T T T

FF T T T

สมมูลกัน เพราะค่าความจรงิ เหมือนกันกรณตี ่อกรณี
ดังนนั้ p q สมมูลกับ ~p  q

ตวั อยา่ งที่ 2 จงแสดงวา่ ~ ( p q ) สมมลู กับ ~p ~q
วธิ ที า
q p q ~ ( p q ) ~p ~q ~p q
p F F
T TT FF T F
T F F
F FT FF T T
F
TT FT

FF TT

สมมูลกัน เพราะคา่ ความจริงเหมอื นกันกรณีต่อกรณี
ดังนั้น ~ ( p q ) สมมลู กบั ~p ~q

รปู แบบของประพจนท์ ส่ี มมลู กนั ทคี่ วรทราบ

ลาดับท่ี รปู แบบ กฎ

1 pp p Idempotent
pp p

2 pq  qp Commutative
pq  qp

3 pq  q  p Contrapositive

4 pq  p  q Material Implication

5 pq  ( p  q )  ( q  p ) Material Eguilence

 ( p  q )  ( q  p )

6 pq  ( p  q )  ( p  q ) Dissolution of Eguilence

7 ( p ) p Double Negation

8 ( p  q )  p  q De Morgan’s

9 ( p  q )  p  q

10 ( p  q )  p  q

11 ( p  q )  p q

 p q
 ( p  q )  ( q  p )

12 p  q  r  p(qr)

13 p  q  r  (pq)r Associative
 p(qr)

 (pq)r

14 p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r ) Distributive
15 p  ( q  r )
16 p  ( q  r )  (pq)  (pr)
17 p  ( q  r )
18 ( p  q )  r  (pq)  (pr)
19 ( p  q )  r
20 p  ( q  r )  (pq)  (pr)
21 p  ( q  r )
 (pr)  (qr)

 (pr)  (qr)

 (pq)r Export – Import

 q(pr) Symrnetry of Premise

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะที่ 1.5

รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

เรือ่ ง ประพจนท์ สี่ มมลู กนั ประกอบแผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 5

1. จงตรวจสอบความสมมลู ของรปู แบบของประพจนต์ ่อไปน้ี

1. จงสร้างตารางค่าความจริงของ p  q, q  p, p  q และ q  p

pq pq qp pq q p

จากตารางค่าความจรงิ สรปุ ได้ว่า_____________________________________

2. จงสรา้ งตารางคา่ ความจริงของ p q, q p, p q และ q p

pq pq qp pq qp

จากตารางค่าความจริงสรปุ ได้วา่ _____________________________________
3. จงสร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  r และ p  (q  r)

p q r p  q (p  q)  r q  r p  (q  r)

จากตารางค่าความจรงิ สรปุ ได้วา่ _____________________________________

4. จงสร้างตารางค่าความจริงของ p q และ (p q)  (q p)

pq pq qp pq qp

จากตารางค่าความจริงสรปุ ได้ว่า_____________________________________
5. จงสรา้ งตารางค่าความจริงของ ~p ~q, ~p ~q, ~(p q) และ ~(p q)

p q ~p ~q ~p ~q ~p ~q p q p q ~(p q) ~(p  q)

จากตารางค่าความจรงิ สรุปได้วา่ _____________________________________
2. จงพสิ จู น์

1. p  ( q  r ) สมมลู กับ ( p  q )  ( p  r )
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

2. p  ( q  r ) สมมลู กับ ( p  q )  ( p  r )
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

3. ( p  q )  r สมมูลกับ ( p  r )  ( q  r )
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

4. ( p  q )  r สมมลู กับ ( p  r )  ( q  r )
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

5. p  ( q  r ) สมมูลกับ q  ( p  r )
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

6. ( p  q ) สมมลู กับ ( p  q )  ( q  p )
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

 ประพจนท์ ่ีเปน็ สจั นริ นั ดร์

บทนยิ าม
รปู แบบของประพจน์ท่ีมีค่าความจริงเปน็ จริงทุกกรณีเรยี กว่า สัจนิรนั ดร์ (Tautology)

1. การสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ
ตวั อยา่ งที่ 1 ประพจน์ ( p  q )  ( ~q  ~p ) เป็นสัจนิรันดรห์ รือไม่
วธิ ที า

p q p  q ~q ~p ~q  ~p (p  q)  (~q  ~p)

TTTFF T T

TFFTF F T

FTTFT T T

FFTTT T T

นาคา่ ความจรงิ ที่ได้มาเชือ่ มด้วย “ก็ต่อเม่ือ”
ดังนน้ั ( p  q )  ( ~q  ~p ) เป็นสจั นริ นั ดร์

ตวั อยา่ งที่ 2 ประพจน์ [ ( p  q )  ~p ]  ~q เป็นสจั นิรันดรห์ รอื ไม่
วธิ ที า

p q p  q ~p ( p  q )  ~p ~q [ ( p  q )  ~p ]  ~q

TT T F F F T

TF F F F T T

FT T T T F F

FF T T T T T

ดังน้ัน [ ( p  q )  ~p ]  ~q ไม่เปน็ สัจนิรนั ดร์

2. วเิ คราะหค์ ่าความจรงิ บางกรณี

การใช้วิธีวิเคราะหค์ ่าบางกรณีของประพจน์ จะเลือกใช้กบั ประพจน์ที่มีตวั เช่ือม "" " " และ " "

2.1 ถ้าประพจน์อยู่ในรูป A  B ให้พสิ ูจนโ์ ดยหาข้อขดั แย้ง

โดยกาหนดให้ A มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ

ถ้า B มีค่าความจริงเป็นเทจ็ แสดงว่าไม่เป็นสจั นิรันดร์

ถา้ B มคี า่ ความจริงเปน็ จริง แสดงว่าเป็นสจั นิรันดร์

2.2 ถ้าประพจนอ์ ยู่ในรูป A  B ให้พิสูจนโ์ ดยหาข้อขัดแย้ง

โดยกาหนดให้ A มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง

ถา้ B มคี ่าความจริงเป็นเทจ็ แสดงวา่ ไม่เป็นสัจนิรนั ดร์

ถ้า B มีค่าความจรงิ เป็นจริง แสดงว่าเปน็ สัจนริ ันดร์

2.2 ถา้ ประพจนอ์ ยู่ในรูป A  B ใหพ้ ิสจู นโ์ ดยหาสมมูล

โดยกาหนดให้ A มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ

ถ้า B มคี ่าความจรงิ เป็นจริง แสดงวา่ เปน็ สัจนริ ันดร์

ถา้ B มคี ่าความจริงเปน็ เท็จ แสดงวา่ ไมเ่ ปน็ สัจนิรันดร์

ตวั อยา่ งที่ 3 ประพจน์ [ ( p  q )  p ]  q เปน็ สัจนิรันดรห์ รือไม่

วธิ ที 1ี่ พิสจู น์การหาข้อขัดแย้ง โดยการวเิ คราะห์บางกรณี

[(p q)  p] q

F

T F;q F

T T;p T

พิจารณา p  q  TF F

ดังนน้ั [ ( p  q )  p ]  q เปน็ สจั นิรนั ดร์

วธิ ที 2่ี พสิ ูจน์โดยใชส้ มบตั ิของประพจนท์ ีส่ มมลู กัน ~p  p 
[ ( p  q )  p ]  q  ~ [ (~p  q )  p ]  q T

 [~ (~p  q )  ~p ]  q

 ~ (~p  q )  ( ~p  q )

T

ดังนั้น [ ( p  q )  p ]  q เปน็ สัจนิรนั ดร์

 ทฤษฎบี ทสจั นริ นั ดร์

T1 p  ~p excluded middle

T2 ~ ( ~p )  p

T3 ก. p  ( q  r )  ( p  q )  r associative law

ข. p  ( q  r )  ( p  q )  r

T4 ก. p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r ) distributive law

ข. p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )

T5 ก. ~ ( p  q )  ~p  ~q De’Morgan’s law

ข. ~ ( p  q )  ~p  ~q

T6 ก. ( p  q )  ~p  q

ข. ~ ( p  q )  p  ~q

T7 ( p  q )  ( ~q  ~p ) contrapositive law

T8 ~ [ ( p  q )  p ) ]  q modus ponen

T9 [ p  ( q  ~q ) ]  ~p modus tolleus

T10 [ ( p  q )  ( q  r ) ]  ( p  r ) hypothetical syllohism

T11 [ ( p  q )  ( ~p ) ]  q disjunctive syllogism

T12 p  ( p  q ) addition

T13 ก. ( p  q )  p simplification

ข. ( p  q )  q

T14 ก. [ ( p  r )  ( q  r ) ]  [ ( p  q )  r ]

ข. [ ( p  q )  ( p  r ) ]  [ p  ( q  r )

T15 p  [ ~p  ( q  ~q ) ]

T16 ( p q )  [ ( p  q )  ( q  p ) ]

ตวั อยา่ งท่ี 4 ประพจน์ [ ( p  q )  r ]  [ p ( q  r ) ] เปน็ สจั นริ ันดร์หรอื ไม่

วธิ ที า [ ( p  q )  r ]  [ p ( q  r ) ]

 [ ~ ( p  q )  r ]  [ ~p  ( ~q  r ) ] T6 ก.

 [ ( ~p  ~q )  r ]  [ ~p  ( ~q  r ) ] T5 ข.

T T3 ก.

ดังน้ัน ประพจน์ [ ( p  q )  r ]  [ p ( q  r ) ] เปน็ สัจนริ นั ดร์

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะที่ 1.6

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 (ค31201) ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

เรือ่ ง ประพจนท์ เ่ี ปน็ สจั นริ ันดร์ ประกอบแผนการจดั การเรยี นรูท้ ่ี 6

1. จงตรวจสอบรปู แบบของประพจนต์ อ่ ไปนว้ี า่ เป็นสจั นริ นั ดรห์ รอื ไม่ โดยการสรา้ งตารางคา่ ความจรงิ

1. p(pq)
p q p q p (p q)

2. (p~q) (q~p) ~p p~q q~p (p~q) (q~p)
p q ~q

3. (~p~q)  (p q)
p q ~q ~p ~p~q pq (~p ~q)  (p q)

ประพจนข์ อ้ ใดบา้ งเปน็ สจั นริ ันดร์ ________________________________________

2. จงตรวจสอบรปู แบบของประพจนต์ อ่ ไปนว้ี า่ เปน็ สจั นริ นั ดร์หรอื ไม่ โดยการวเิ คราะหค์ า่ ความจรงิ บางประการ

1. q (pq)

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

2. [p  (pq)]q

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

3. (pq)( ~q ~p)

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

4. [~q (pq)]~r

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

5. ~(pq) (~p ~q)

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

3. จงพสิ จู นร์ ปู แบบของประพจนต์ ่อไปนวี้ า่ เปน็ สจั นริ นั ดรห์ รือไม่ โดยการใชท้ ฤษฎบี ทสจั นริ นั ดร์

1. [ p  ( q  r ) ]  [ q  ( p  r ) ]
2. ( ~p  ~q )  [ ( p  q )  ( q  p ) ]
ข้อ 1 และข้อ 2 เลอื กพสิ ูจน์ 1 ขอ้

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

3. [ ( p  q )  ~q ]  ~p
4. [ ( p  q )  r ]  [ p  ( q  r ) ]
ข้อ 3 และข้อ 4 เลอื กพิสูจน์ 1 ขอ้

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

5. ( ~p  q )  ( ~q  ~p )
6. ( p  q )  [ ( p  q )  ( q  p ) ]
ขอ้ 5 และข้อ 6 เลอื กพิสูจน์ 1 ขอ้

___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

 การอา้ งเหตผุ ล

การตรวจสอบการสมเหตุสมผลหรือไมส่ มเหตสุ มผล

ขน้ั ท่ี 1 ใช้  เชือ่ มเหตเุ ข้าด้วยกนั และใช้  เช่ือมสว่ นท่ีเป็นเหตุเป็นผล

จะไดร้ ปู แบบของประพจน์ คือ ( P1  P2  ...  Pn )  C
ขัน้ ท่ี 2 ตรวจสอบรูปแบบ ( P1  P2  ...  Pn )  C เป็นสัจนิรันดรห์ รอื ไม่

- ถ้ารปู แบบ ( P1  P2  ...  Pn )  C เปน็ สัจนิรันดร์
สรุปได้ว่า การอ้างเหตผุ ล สมเหตสุ มผล

- ถ้ารปู แบบ ( P1  P2  ...  Pn )  C ไม่เป็นสจั นิรันดร์
สรุปได้วา่ การอ้างเหตผุ ล ไมส่ มเหตสุ มผล

วธิ กี ารตรวจสอบ 1. สรา้ งตารางค่าความจริง 2. พจิ ารณารูปแบบการอ้างเหตผุ ล

ตวั อยา่ งท1ี่ จงตรวจสอบวา่ การอา้ งเหตุผลน้ีสมเหตสุ มผลหรอื ไม่

เหตุ 1. p  q

2. ~ q

ผล ~ p

วธิ ที า ตรวจสอบว่า [ ( p  q )  ~q ]  ~p เปน็ สจั นริ นั ดรห์ รือไม่

p q p  q ~q ( p  q )  ~q ~p [ ( p  q )  ~q ]  ~p

TT T F F F T

TF F T F F T

FT T F F T T

FF T T T T T

ดังนั้น การอา้ งเหตุผล สมเหตสุ มผล

ตวั อยา่ งท2ี่ จงตรวจสอบวา่ การอ้างเหตุผลนส้ี มเหตสุ มผลหรอื ไม่

เหตุ 1. p  q

2. p

ผล q

วธิ ที า ตรวจสอบวา่ [ ( p  q )  p ]  q เปน็ สจั นิรนั ดรห์ รือไม่

p q p q (p q)  p [(p q)  p] q

TT T T T

TF F F T

FT T F T

FF T F T

ดงั นนั้ การอา้ งเหตผุ ล สมเหตสุ มผล

แบบฝกึ เสรมิ ทักษะท่ี 1.7

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

เร่ือง การอา้ งเหตผุ ล โดยใชต้ ารางคา่ ความจรงิ ประกอบแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 7

1. จงตรวจสอบการอา้ งเหตผุ ล โดยการสรา้ งตารางค่าความจรงิ

1. เหตุ 1. p  q

2. p
ผล q

จะได้รูปแบบของประพจน์ คือ _________________________________________

p q p q (p q)  p [(p q)  p] q

ดงั นั้น __________________________________________________________
2. เหตุ 1. p  q

2. ~ q
ผล ~p
จะได้รูปแบบของประพจน์ คือ _________________________________________

p q p q (p q)  ~q [(p q)  ~q] ~p

ดังนน้ั __________________________________________________________

3. เหตุ p  q

ผล p

จะได้รปู แบบของประพจน์ คือ _________________________________________

pq p q (p  q )  p

ดงั นัน้ __________________________________________________________

4. เหตุ 1. p  q
2. q  r

ผล p  r
จะไดร้ ปู แบบของประพจน์ คือ _________________________________________

p q p q q r (p q)  (q r) p  r [ (p q)  (q r) ]  (p  r)

ดงั นั้น __________________________________________________________
5. เหตุ 1. p  q

2. ~q ~p
ผล ~p  q
จะไดร้ ปู แบบของประพจน์ คือ _________________________________________

p q p q ~q ~p (p q) ( ~q ~p) ~p  q [(p q)  (~q ~p)]  (~p  q)

6. เหตุ 1. p  q
2. ~p

ผล q
จะไดร้ ปู แบบของประพจน์ คือ _________________________________________

p q p  q (p  q )  ~ p [(p  q )  ~ p ]  q

ดังนน้ั __________________________________________________________

7. เหตุ 1. p  r
2. q  s
3. p  q

ผล r  s
จะได้รปู แบบของประพจน์ คือ ___________________________________________

pr 
qs
pq 
(p r) (q s) (p q)
pqr s  rs
 (p r) (q s) (p q) ] ( r s )





ดังนนั้ __________________________________________________________

 การอา้ งเหตผุ ล
การตรวจสอบการสมเหตสุ มผลหรือไม่สมเหตสุ มผล
ข้ันท่ี 1 ตรวจสอบวา่ ( P1  P2  ...  Pn )  C เปน็ สัจนิรันดร์หรอื ไม่
ขนั้ ที่ 2 พิจารณารูปแบบการอา้ งเหตุผล

รปู แบบการอา้ งเหตผุ ลทส่ี มเหตสุ มผลทส่ี าคญั รปู แบบที่ 2 เหตุ 1. p  q
รปู แบบที่ 1 เหตุ 1. p  q รปู แบบท่ี 4 2. ~ q
รปู แบบท่ี 6
2. p ผล ~p
ผล q รปู แบบท่ี 8 เหตุ 1. p  q
รปู แบบที่ 3 เหตุ 1. p  q
2. ~q ~p
2. q  r ผล ~p  q
ผล p  r เหตุ 1. p  r
รปู แบบท่ี 5 เหตุ 1. p  q
2. q  s
2. ~p 3. p  q
ผล q ผล r  s
เหตุ p
รปู แบบท่ี 7 เหตุ p  q ผล p  q
ผล p หรอื q

ตวั อยา่ งท1่ี จงตรวจสอบวา่ การอ้างเหตผุ ลน้สี มเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. p  q

2. q  s

3. ~t  ~s

ผล t

วธิ ที า 1. p  q จากเหตุ 1

2. q จากข้อ 1 ใช้ ( p  q )  q

3. q  s จากเหตุ 2

4. s จากข้อ 2 และ 3 ใช้ [ q  ( q  s ) ]  s

5. ~t  ~s จากเหตุ 3

6. t จากข้อ 2 และ 3 ใช้ [ s  ( ~t  ~s ) ]  t

สรุป การอ้างสมเหตสุ มผล

แบบฝกึ เสรมิ ทักษะท่ี 1.8

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1 (ค31201) ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

เรอ่ื ง การอา้ งเหตผุ ล โดยการพจิ ารณาแบบรปู ประกอบแผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 8

1. จงตรวจสอบการอา้ งเหตผุ ล โดยการสรา้ งตารางคา่ ความจริง

1. เหตุ 1. p  q

2. ~p  r
3. ~q
ผล r
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

2. เหตุ 1. p  q

2. ~ q  ~ r
3. p
ผล ~ r
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

3. เหตุ 1. r  s

2. ( p  q )  r
3. ~ s
ผล ~ ( p  q )
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

4. เหตุ 1. ~ r  ( s  ~t )

2. ~ r  w
3. ~ p  s
4. ~ w
ผล t  p
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________

2. จงตรวจสอบการอา้ งเหตผุ ล โดยการโยงเหตผุ ลทส่ี มั พนั ธก์ ัน
1. เหตุ p  q
ผล r  q

2. เหตุ 1. p  q

2. ~ q
ผล p  r

3. เหตุ 1. p  q
2. ~ p  ~ r
ผล 3. s  r
4. ~ q
~s

4. เหตุ 1. ~ t  ~ r
2. ~ s
ผล 3. t  w
4. r  s
w

 ประโยคเปดิ

บทนยิ าม
ประโยคเปดิ (Open sentence) คือ ประโยคบอกเล่าหรอื ปฏิเสธที่มีตวั แปรและไม่

เปน็ ประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรดว้ ยสมาชิกในเอกภพสมั พทั ธ์แลว้ ไดป้ ระพจน์

ตวั อยา่ งประโยคท่เี ปน็ ประโยคเปดิ

เขาเปน็ นกั คณติ ศาสตร์ ประโยคบอกเลา่ มี “เขา” เป็นตวั แปร

เธอไม่ไปกบั ฉนั ประโยคปฏิเสธ มี “เธอ” เปน็ ตวั แปร

x+3=5 มี “x” เป็นตวั แปร เม่ือแทน x ด้วยจานวนจริงใด ๆ แลว้ เป็นประพจน์

ตวั อยา่ งประโยคท่ีไมเ่ ปน็ ประโยคเปดิ เชน่

3x – 2 เมอ่ื แทน x ด้วยจานวนจรงิ ใด ๆ แล้วเปน็ ไม่ประพจน์

5x + 3y เมอื่ แทน x ด้วยจานวนจรงิ ใด ๆ แลว้ เป็นไม่ประพจน์

x – 1 เมอ่ื แทน x ดว้ ยจานวนจรงิ ใด ๆ แลว้ เป็นไมป่ ระพจน์

สญั ลกั ษณ์แทนประโยคเปิดใด ๆ ท่ีมี x เป็นตวั แปร เขียนแทนดว้ ย P(x)

ตวั อยา่ งที่ 1 ประโยคตอ่ ไปนเี้ ปน็ ประพจนห์ รือประโยคเปดิ

1. เขาเปน็ นายกรัฐมนตรี ประโยคเปดิ

2. นายสมศกั ด์ิ เปน็ ผวู้ า่ กทม. ประพจน์

3. X เปน็ จานวนตรรกยะ ประโยคเปิด

4. X + 5 < 0 ประโยคเปดิ

5. เขาเปน็ นักฟนั ดาบ ประโยคเปิด

 ประพจนท์ ีม่ ตี วั บง่ ปรมิ าณ
1. “” เป็นตัวบง่ ปริมาณแทนคาวา่ “ทกุ ค่าของ...”

x อา่ นว่า สาหรับทกุ คา่ ของ x

2. “” เปน็ ตัวบง่ ปริมาณแทนคาวา่ “ม.ี ..บางค่า”

x อ่านว่า สาหรับบางค่าของ x หรอื สาหรบั x บางคา่ หรือ มี x บางคา่

ตวั อยา่ งที่ 2 จงเขยี นข้อความต่อไปนใี้ ห้อยใู่ นรปู สญั ลักษณข์ องตวั บง่ ปรมิ าณ

1. สาหรับ x ทกุ ตวั x + x = 2x

สญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตร์ x x  x  2x 
2. สาหรับ x บางตวั ถ้า x = 0 แลว้ x2 > 0

 สัญลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ x x  0  x2  0

3. สาหรับ x ทุกตัวและ y บางตวั ถา้ x > 0 และ y < 0 แลว้ xy < 0

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ xy  x  0  y  0   xy  0 

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะที่ 1.9

รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

เรื่อง ประโยคเปดิ และประพจนท์ มี่ ตี วั บ่งปรมิ าณ ประกอบแผนการจดั การเรยี นร้ทู ี่ 9

1. จงพจิ ารณาประโยคเปดิ ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี ถ้าประโยคนน้ั เปน็ ประโยคเปดิ ให้นกั เรียนใสเ่ ครอ่ื งหมาย
 หน้าขอ้ และถา้ ประโยคนน้ั ทไี่ มเ่ ปน็ ประโยคเปดิ ใหน้ ักเรยี นใสเ่ คร่ืองหมาย  หนา้ ขอ้

1. เขาเป็นตวั แทนโรงเรียนนนทรวี ิทยาไปแข่งขนั คณิตศาสตรโ์ อลิมปกิ
2. รูปส่เี หล่ียมมมุ ฉาก ได้แก่ รูปส่เี หลย่ี มจัตรุ สั รูปสีเ่ หลย่ี มผืนผา้
3. x เป็นจานวนตรรกยะ
4. ท่ีเธอตดิ 0 วิชา ทฤษฎีทางคณติ ศาสตร์ เพราะ เธอไม่ตั้งใจเรยี น
5. x + 2 = 10
6. มีจานวนจริงบางจานวนที่ทาให้ x2 – 2 < 0
7. อุ๊ย ! ตายแลว้
8. จานวนจริงทกุ จานวนที่ทาให้ x + 1 > 0
9. x2-1 > 0

10.น้านิง่ ไหลลกึ

2. จงเขยี นขอ้ ความต่อไปนใ้ี หอ้ ยใู่ นรปู สญั ลกั ษณข์ องตวั บ่งปรมิ าณ

1. สาหรบั x ทุกตวั 2x + 1 > 0

สญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตร์ _________________________________________
2. สาหรบั x บางตัว ถ้า x + 1 > 0 แล้ว x2 - 1 > 0

สัญลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ _________________________________________
3. สาหรับ x ทกุ ตัว x2 – 1 < 0 หรือ x2 - 4 > 0

สญั ลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ _________________________________________
4. สาหรับ x บางตวั ถา้ x + 2 > 0 และ x < 0 แลว้ x2 > 0

สัญลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ _________________________________________

5. สาหรบั x ทุกตัว 3x – 1 > 0 กต็ อ่ เมื่อ 2x + 1 < 0

สัญลักษณท์ างคณิตศาสตร์ _________________________________________

6. สาหรบั x ทกุ ตวั และ y ทกุ ตวั ถ้า x > 0 หรอื y < 0 แลว้ xy < 0

สญั ลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ _________________________________________
7. สาหรับ x บางตวั และ y ทุกตัว ถา้ x < 0 และ y > 0 แล้ว xy > 0

สัญลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ _________________________________________

 ค่าความจรงิ ของประโยคเปดิ ทม่ี ตี วั บ่งปรมิ าณตวั แปรเดยี ว

บทนยิ าม
ให้ P(x) แทนประโยคเปดิ ท่ีมีตวั แปร x
1. x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นจรงิ ก็ตอ่ เมื่อ แทนตวั แปร x ใน P(x)
ด้วยสมาชิกแต่ละตวั ในเอกภพสัมพัทธ์แล้วไดป้ ระพจน์ท่ีมีคา่ ความจริงเป็นจริงท้ังหมด
2. x [P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ตอ่ เมอ่ื แทนตวั แปร x ใน P(x)
ดว้ ยสมาชกิ อยา่ งน้อยหนึง่ ตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเปน็ เท็จ
3. x [P(x)] มคี ่าความจริงเป็นจริง กต็ อ่ เมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x)
ดว้ ยสมาชกิ อยา่ งน้อยหนงึ่ ตวั ในแล้วไดป้ ระพจน์ท่ีมีค่าความจรงิ เป็นจรงิ
4. x [P(x)] มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ ก็ตอ่ เม่อื แทนตัวแปร x ใน P(x)
ดว้ ยสมาชกิ แตล่ ะตวั ในเอกภพสัมพัทธ์ แลว้ ไดป้ ระพจนท์ ีม่ ีค่าความจรงิ เปน็ เท็จทง้ั หมด

ตวั อยา่ งที่ 1 จงเขยี นข้อความตอ่ ไปนใี้ หอ้ ยใู่ นรปู สญั ลักษณข์ องตวั บง่ ปรมิ าณ

1. มีจานวนจริง x อย่างน้อยหนึ่งตวั ซึ่ง x  0

เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ x [ x  0] , U = R

มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ เพราะ 2  R แล้ว 2 > 0

2. สาหรบั x ทุกตัว x + x = 2x

เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ x [ x + x = 2x ] , U = R

มีคา่ ความจริงเปน็ จริง เพราะ 1 + 1 = 21 และ x + x = 2x ดงั นัน้ 2x = 2x

3. สาหรบั x และ y ทุกตวั ซงึ่ xy = yx

เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ x [ xy = yx ] , U = R

มีค่าความจริงเป็นจริง เพราะ xy = yx สมบัตกิ ารสลับที่การคูณ ดังน้ัน xy = xy

 คา่ ความจรงิ ของประโยคเปดิ ทม่ี ตี วั บง่ ปรมิ าณสองตวั แปร

บทนยิ าม
1. xy [P(x,y)] มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง ก็ตอ่ เม่อื แทนค่า x, y ใน P(x,y)
ดว้ ยสมาชิกใดๆใน U แลว้ จะไดป้ ระพจน์ที่เป็นจรงิ ท้งั หมด
2. xy [P(x,y)] มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ กต็ ่อเม่ือ มสี มาชกิ a, b ใน U
อย่างน้อยหนง่ึ คู่ ซ่ึงเมอื่ นา a แทนที่ x และนา b แทนที่ y แลว้ ไดป้ ระพจน์ P(a,b) เป็นเท็จ
3. x y [P(x,y)] มีคา่ ความจริงเป็นจริง กต็ อ่ เม่อื มสี มาชกิ a,b ใน U
อย่างน้อยหนึ่งคู่ ซ่ึงเมือ่ นา a แทนที่ x และนา b แทนท่ี y แล้วไดป้ ระพจน์ P(a,b) เปน็ จรงิ
4. x y [P(x,y)] มีค่าความจริงเป็นเทจ็ ก็ต่อเม่ือ แทนท่ี x และ y ใน P(x,y)
ด้วยสมาชิกใดๆ ของ U แลว้ ได้ประพจน์ทเี่ ป็นเท็จทง้ั หมด
5. xy [P(x,y)] มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ กต็ ่อเมอื่ ถ้าแทน x ใน P(x,y)
ด้วยสมาชิก a ใดๆ ของ U แลว้ ประพจน์ x [P(x,y)] เปน็ จรงิ
6. xy [P(x,y)] มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ ก็ตอ่ เมือ่ มีสมาชกิ b ของ U
อยา่ งน้อยหนึ่งตัวท่ีนาไปแทน x ใน P(x,y) แล้วไดป้ ระพจน์ y[P(b,y)] เปน็ เท็จ
7. xy [P(x,y)] มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ กต็ อ่ เมื่อ มีสมาชกิ a ของ U
อย่างน้อยหนงึ่ ตัวทีน่ าไปแทน x ใน P(x,y) แลว้ ไดป้ ระพจน์ y [P(x,y)] เป็นจริง
8. xy [P(x,y)] มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ กต็ ่อเมือ่ แทนท่ี x ใน P(x,y)
ด้วยสมาชิกใดๆ ของ U แลว้ ได้ประพจน์ y [P(x,y)] เป็นเท็จ

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาคา่ ความจรงิ ของ x y [ xy  0] , U =  1, 2, 3 
วธิ ที า x y [ xy  0] สาหรับทกุ จานวนจรงิ x ทอ่ี ยใู่ นเอกภพสัมพัทธ์
จะได้ x = 1 ; 1 y  0

y  0 ; y   1, 2, 3 
x = 2 ; 2y  0

y  0 ; y   1, 2, 3 
x = 3 ; 3y  0

y  0 ; y   1, 2, 3 
ดงั นน้ั x y [ xy  0] , U =  1, 2, 3  มีค่าความจรงิ เปน็ จริง

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะท่ี 1.10

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 4

เร่ือง คา่ ความจรงิ ของตวั บ่งปรมิ าณ ประกอบแผนการจดั การเรยี นร้ทู ี่ 10

1. จงหาค่าความจรงิ ของตวั บง่ ปรมิ าณต่อไปนี้

1. x [ x + 1 > 2 ] เมอ่ื U = 2, 3, 4 มีค่าความจรงิ เป็น ____________________
2. x [ x + 5 > 6 ] เมอ่ื U = 1, 2, 3 มีค่าความจริงเปน็ ____________________
3. x [ x2 – 1 = 0 ] เมอ่ื U = - 1, 0, 1 มคี า่ ความจริงเปน็ ____________________
4. x [ x + 1 < 0 ] เมื่อ U = 0, 1, 2 มีคา่ ความจริงเป็น ____________________

2. จงพจิ ารณาประโยคที่มตี วั บ่งปรมิ าณแตล่ ะขอ้ วา่ เปน็ จรงิ หรือเทจ็

1. x [ x < 0 ] เมื่อ U = I มีคา่ ความจริงเปน็

____________________

2. x [ x < 0 ] เมอ่ื U = I- มคี ่าความจริงเปน็

____________________

3. x [ x < 0 ] เมื่อ U = I มคี า่ ความจรงิ เป็น ____________________

4. x [ x < 0 ] เมื่อ U = I+ มคี ่าความจริงเปน็ ____________________

5. x [ x + 1 = 1 ] เมื่อ U = I มคี ่าความจรงิ เป็น ____________________

6. x [ x + 1 = 1 ] เมื่อ U = I มีคา่ ความจรงิ เป็น ____________________

7. x [ x + 5 = x ] เมื่อ U = I มีค่าความจริงเป็น ____________________

8. x [ x + 5 = x ] เมื่อ U = 0 มคี ่าความจรงิ เป็น ____________________

9. x [ x + 5 = x ] เมือ่ U = 1,2,3,4 มีคา่ ความจรงิ เปน็ ____________________

10. x [ x + 5 = x ] เมื่อ U = I มคี ่าความจริงเปน็ ____________________

11. x [ x + 5 = x ] เมื่อ U = I- มคี ่าความจริงเปน็ ____________________

12. x [ x  Q ] เม่ือ U = I มคี า่ ความจริงเปน็ ____________________

13. x [ x  Q ] เมือ่ U = R มคี ่าความจรงิ เป็น ____________________

14. x [ x  Q ] เม่ือ U = 0 มีค่าความจรงิ เป็น ____________________

15. x [ x  Q ] เมอ่ื U = R – I มีคา่ ความจรงิ เป็น ____________________

3. จงพจิ ารณาประโยคท่มี ตี วั บ่งปรมิ าณแตล่ ะขอ้ ว่าเปน็ จรงิ หรือเทจ็ เม่ือ U = 2, 3, 4, 5
1. x [ x เปน็ จานวนเฉพาะ  x เปน็ จานวนคู่ ]

มคี า่ ความจรงิ เป็น ____________________

2. x [ x เปน็ จานวนเฉพาะ ]  x [ x เป็นจานวนคู่ ]

มคี า่ ความจรงิ เป็น ____________________

3. x [ x เป็นจานวนเฉพาะ  x < 1 ]

มคี ่าความจริงเป็น ____________________

4. x [ x เปน็ จานวนเฉพาะ ]  x [ x < 1 ]

มีคา่ ความจริงเป็น ____________________
5. x [ x2 เปน็ จานวนคู่  x เปน็ จานวนคู่ ]

มคี า่ ความจรงิ เป็น ____________________
6. x [ x2 เป็นจานวนคู่ ]  x [ x เป็นจานวนคู่ ]

มคี า่ ความจรงิ เปน็ ____________________
7. x [ 2x2 เป็นจานวนคู่  x2 + 1 เป็นจานวนคี่ ]

มีคา่ ความจรงิ เป็น ____________________
8. x [ 2x2 เป็นจานวนคู่ ]  x [ x2 + 1 เปน็ จานวนคี่ ]

มคี ่าความจรงิ เปน็ ____________________

4. จงพจิ ารณาประโยคท่ีมตี วั บ่งปรมิ าณแตล่ ะข้อวา่ เปน็ จรงิ หรือเทจ็ เม่อื U = - 1, 0, 1

1. xyx  y  0 มคี า่ ความจริงเป็น ____________________

2. xyx  y  0 มคี า่ ความจรงิ เป็น ____________________

3. xyx  y  0 มีคา่ ความจริงเปน็ ____________________

4. xyx  y  0 มีคา่ ความจริงเปน็ ____________________
มีค่าความจรงิ เป็น ____________________
 5. xy x2  y2  0
 6. xy x2  y  0 มีค่าความจริงเป็น ____________________
 7. xy 2x  y2  0 มีค่าความจริงเปน็ ____________________
 8. xy x2  y2  1  0 มีค่าความจรงิ เปน็ ____________________

5. จงพจิ ารณาประโยคทมี่ ตี วั บง่ ปรมิ าณแตล่ ะขอ้ วา่ เปน็ จรงิ หรือเทจ็ เมอ่ื U = - 1, 0, 1
   1. xy x2  y  xy x2  1  y
มีค่าความจรงิ เปน็ ____________
   2. xy x2  y2  0  xy x2  y2  0 มีคา่ ความจริงเป็น ____________

3. xyxy  0  xyx  y  0 มีค่าความจริงเป็น ____________
มคี ่าความจริงเปน็ ____________
 4. xy x2  y2  0  xy  0 มคี า่ ความจริงเป็น ____________
 5. xy x2  y2  0  x  y  0

 นเิ สธของประพจนท์ ี่มตี วั บง่ ปรมิ าณ
กาหนด P(x) เปน็ ประโยคเปิด และ P(x) เป็นนเิ สธของประโยคเปดิ

บทนยิ าม

1. นเิ สธของ x [P(x)] เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ x[P(x)]
หมายถงึ ประพจนท์ ่ีมคี ่าความจรงิ ตรงขา้ มกับ x[P(x)]

2. นิเสธของ x [P(x)] เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ x [P(x)]
หมายถึง ประพจน์ที่มคี ่าความจริงตรงข้ามกบั x [P(x)]

รปู แบบประพจนท์ ่ีสมมลู กนั และเปน็ นเิ สธกนั ต่อไปน้ี สามารถพสิ จู น์ได้ 2 รปู แบบ คือ

รปู แบบที่ 1. x [P(x)] สมมูลกับ x [P(x)]
นิเสธของ x [P(x)] คอื x [P(x)]

รปู แบบที่ 2. x [P(x)] สมมลู กบั x [P(x)]
นิเสธของ x [P(x)] คอื x [P(x)]

ตวั อยา่ งท1่ี จงหานเิ สธ x [ x + y < 0] x[ x + y  0 ]
x[ x + y  0 ]
วธิ ที า x[ x + y < 0 ] 
ดังน้นั นเิ สธ x [ x + y < 0] คือ

ตวั อยา่ งท2่ี จงหานิเสธ xy [ ( x  0  y  0 )  xy  0]
วธิ ที า
xy [ ( x  0  y  0 )  xy  0]
ดังนั้น นิเสธ  xy [ ( x  0  y  0 )  xy  0]
คือ xy [ ( x  0  y  0 )  xy  0]
xy [ ( x  0  y  0 )  xy  0]

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะท่ี 1.11

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

เรือ่ ง นเิ สธของประพจนท์ ่มี ตี วั บง่ ปรมิ าณ ประกอบแผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 11

1. จงหานเิ สธของประพจนท์ ม่ี ตี วั บง่ ปรมิ าณต่อไปน้ี

1. ประพจน์ x [ x + 1 > 2 ]

นเิ สธของประพจน์ ____________________________________________________
2. ประพจน์ x [ x2 – 1 < 0 ]

นิเสธของประพจน์ ____________________________________________________
3. ประพจน์ x [ x > 0  x2 > 0 ]

นิเสธของประพจน์ ____________________________________________________
4. ประพจน์ x [ x2 > 0  x > 0 ]

นเิ สธของประพจน์ ____________________________________________________

5. ประพจน์ x [ x > 1  2x – 1 เปน็ จานวนค่ี ]

นเิ สธของประพจน์ ____________________________________________________
6. ประพจน์ x [ 2x + 1 เปน็ จานวนค่ี  x2 + 1 เป็นจานวนตรรกยะ ]

นเิ สธของประพจน์ ____________________________________________________
7. ประพจน์ x [ x2 – 4 = 0  x > 0 ]

นิเสธของประพจน์ ____________________________________________________

8. ประพจน์ x [ ( | 2x – 1 | > 0  | x | > 0 )  x + 1 > 0 ]

นิเสธของประพจน์ ____________________________________________________

9. ประพจน์ x [ ( | x | - x < 0  | x | + x > 0 )  | x + 1 | > 0 ]

นเิ สธของประพจน์ ____________________________________________________
10. ประพจน์ x [ ( 1 – x2 < 0  2x + 1 > 0 )  x2 = 0 ]

นเิ สธของประพจน์ ____________________________________________________

11. ประพจน์ xy [ x + y > 0 ]

นเิ สธของประพจน์ ____________________________________________________
12. ประพจน์ xy [ x + y > 0  x2 < y ]

นิเสธของประพจน์ ____________________________________________________

13. ประพจน์ xy [ | x + y | > 0  xy > 0 ]

นเิ สธของประพจน์ ____________________________________________________
14. ประพจน์ xy [ ( x + y > 0  | x | + | y | > 0 )  x2 + y2 > 0 ]

นิเสธของประพจน์ ____________________________________________________

 รปู แบบสมมลู ของประโยคเปดิ ทสี่ มมลู กนั
รปู แบบสมมลู ของประโยคเปิดที่สมมูลกัน จะใชร้ ูปแบบเดียวกบั รูปแบบประพจน์ท่ีสมมูลกัน ดงั นี้

1. กาหนด p, q เป็นประพจน์ p q  p  q

กาหนด P(x), Q(x) เปน็ ประโยคเปิด P(x) Q(x)  P(x)  Q(x)

สมมลู ของประโยคที่มตี ัวบง่ ปริมาณ x [ P(x)  Q(x) ]  x [P(x)  Q(x) ]

x [ P(x)  Q(x) ]  x [P(x)  Q(x) ]

2. กาหนด p, q เปน็ ประพจน์ ( p q )  p q
กาหนด P(x), Q(x) เป็นประโยคเปิด  [ P(x)  Q(x) ]  P(x)  Q(x)
สมมลู ของประโยคท่ีมีตัวบ่งปริมาณ x [ ( P(x)  Q(x) )]  x [ P(x)  Q(x) ]
x [ ( P(x)  Q(x) )]  x [ P(x)  Q(x)
เชน่ x [P(x)]  x [Q(x)] สมมลู กับ x [P(x)]  x [Q(x)]
เทยี บได้กบั p q สมมูลกับ p  q

ตวั อยา่ งท1ี่ x [ P(x)  Q(x) ] สมมลู กบั x [P(x)  Q(x) ]
วธิ ที า
x [ P(x)  Q(x) ]  x [P(x)  Q(x) ]
ดังน้นั
เนือ่ งจาก p  q  p  q

x [ P(x)  Q(x) ] สมมูลกับ x [P(x)  Q(x) ]

ตวั อยา่ งท2ี่ x [ ( P(x)  Q(x) )  R(x) ] สมมลู กับ x [ (P(x)  Q(x) )  R(x) ]
วธิ ที า x [ ( P(x)  Q(x) )  R(x) ]
 x [ (P(x)  Q(x) )  R(x) ]
ดังนนั้  x [ (P(x)  Q(x) )  R(x) ]
 x [ (P(x)  Q(x) )  R(x) ]
x [ ( P(x)  Q(x) )  R(x) ] สมมูลกับ x [ (P(x)  Q(x) )  R(x) ]

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะที่ 1.12

รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ 1 (ค31201) ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 4

เรื่อง รปู แบบสมมลู ของประโยคเปดิ ทสี่ มมลู กนั ประกอบแผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 12

1. จงตรวจสอบวา่ ประโยคแตล่ ะคู่ตอ่ ไปนคี้ ใู่ ดสมมลู กนั
 1. x x  0  x2  0  กับ x x2  0  x  0

ดังนน้ั __________________________________________________________

 2. x x  0  x2  0  กับ x x  0  x2  0

ดงั นน้ั __________________________________________________________

 3. x x  0  x2  0  กับ x x  0  x2  0

ดังนน้ั __________________________________________________________

4. x x 1  0  | x |  0  กับ x x  1  0  | x |  0 

ดังนั้น __________________________________________________________

5. x x  0  x  1  กับ x x  0  x  1   x  1  x  0

ดงั นั้น __________________________________________________________

6. x x  1  0  x  1  กับ xx  0  x  1  x  1

ดงั นั้น __________________________________________________________

7. xy x  y  0  xy  0  กับ xy x  y  0  xy  0 

ดงั นน้ั __________________________________________________________

   8. xy x  y  x2  y2  0
กบั xy x  y  x 2  y2  0

ดังนั้น __________________________________________________________

9. xy x  y  x  0  y  0 กับ xy x  y  x  0  y  0 

ดงั นั้น __________________________________________________________

     10. xy x2  y2 x2  0  y  0 กับ xy x2  y2  x2  0  y  0

ดงั น้นั __________________________________________________________