Sets ครึ่งแรก_200465

• การเขียนเซต

การเขยี นเซตนิยมใชต้ วั อกั ษรภาษาองั กฤษพิมพใ์ หญ่แทนช่ือเซต และใชต้ วั อกั ษรพิมพเ์ ล็ก
แทนสมาชิกของเซต ซ่ึงการเขียนเซตสามารถเขยี นได้ 2 แบบ คือ

1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต
เขียนสมาชิกทุกตวั ลงในเครื่องหมายวงเลบ็ ปี กกา และใชเ้ ครื่องหมายจุลภาค (,) คนั่

ระหวา่ งสมาชิกแต่ละตวั

จงเขยี นเซตแบบแจกแจง
ตัวอย่างท่ี 1 กาหนดให้ A แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ยจานวน 2, 3, 5 และ 7

เขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ A = {2, 3, 5, 7}

ตวั อย่างที่ 2 กาหนดให้ B แทนตวั อกั ษรในภาษาองั กฤษ

เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ B = {a, b, c,..., y, z}

ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดให้ C แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ยจานวนนบั

เขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้ C = {1, 2, 3,...}

ตัวอย่างท่ี 4 กาหนดให้ H = {x | x I และ x2 - x -12 = 0}

วิธที า จากสมการ x2 - x -12 = 0

(x – 4)(x + 3) = 0

x = 4, -3

ดงั น้นั H = {-3, 4}

จาก ตัวอย่างที่ 1 สงั เกตเห็นไดว้ า่ การเขยี นแบบแจกแจงสมาชิกในกรณีที่ไม่สามารถเขียน

สมาชิกทุกตวั ได้ เน่ืองจากมีการแจกแจงสมาชิกมากและใชเ้ วลาในการเขียนแจกแจงมากเกินไปให้

เราใช้ “...” เพ่ือแสดงวา่ มีตวั อกั ษรอ่ืน ๆ หรือมีสมาชิกตวั อื่น ๆ รวมอยใู่ นเซตน้ีดว้ ยไดแ้ ก่ d, e, f, g,

h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w และ x ซ่ึงช่วยใหก้ ารเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกสะดวก

มากยง่ิ ข้นึ และถา้ ทราบตวั สุดทา้ ยของสมาชิกใหใ้ ส่กากบั ดว้ ย เพราะทาใหท้ ราบวา่ ตอ้ งการศึกษา

สมาชิกตวั ไหนบา้ งภายในเซต แตถ่ า้ ในกรณี ตัวอย่างท่ี 2 ไม่สามารถบอกตวั สุดทา้ ยไดใ้ หใ้ ส่ “...”

แลว้ ปิ ดดว้ ยปี กกาไดเ้ ลย แสดงวา่ มีจานวนสมาชิกไมจ่ ากดั

ในการเขยี นสมาชิกเราสามารถเขยี นสมาชิกตวั ใดก่อนหรือหลงั ได้ และถา้ สมาชิกตวั ใด ๆ

ซ้ากนั มากกวา่ 1 คร้ังนกั เรียนสามารถเขยี นเพยี งคร้ังเดียวได้ เพราะถือวา่ มีสมาชิกตวั น้นั มีเพียงตวั เดียว

เท่าน้นั

2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต

การเขยี นแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต เหมาะสาหรับการเขยี นแทนเซตเมื่อมีจานวน

มากหรือนบั ไม่ได้
สัญลกั ษณ์ที่ใชแ้ ทนเซตของจานวนต่าง ๆ มีดงั น้ี
R แทนเซตของจานวนจริง (Real number)
ประกอบดว้ ยจานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ
R− แทนเซตของจานวนจริงลบ (Negative Real number)
ประกอบดว้ ย จานนวนตรรกยะที่เป็นจานวนลบ
R+ แทนเซตของจานวนจริงบวก (Positive Real number)
ประกอบดว้ ย จานนวนตรรกยะท่ีเป็นจานวนบวก
Q แทนเซตของจานวนอตรรกยะ (Irrational number)
ประกอบดว้ ย  3.14… , e 2.76…, 2 1.414…, 3 1.732
จานวนทศนิยมไมซ่ ้า เช่น 0.121221222…, 2.010010001…
Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ (Rational number)
ประกอบดว้ ย จานนวนเตม็ เศษส่วนที่ไมใ่ ช่จานวนเตม็ โดยตวั ส่วนไมเ่ ทา่ กบั
ศนู ย์ และจานวนที่เป็นทศนิยมซ้า
I แทนเซตของจานวนเตม็ (Integers)
ประกอบดว้ ย ... , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…
I − แทนเซตของจานวนเตม็ ลบ (Negative Integers)
ประกอบดว้ ย -1, -2, -3, -4, -5,…
I + แทนเซตของจานวนเตม็ บวก (Positive Integers)
ประกอบดว้ ย 1, 2, 3, 4, 5,…

I 0 แทนเซตของ ศูนย์ (Zero)
ประกอบดว้ ย 0

N แทนเซตของจานวนนบั (Countingnumber)หรือจานวนธรรมชาติ (Naturalnumber)
ประกอบดว้ ย 1, 2, 3, 4, 5,…

P แทนเซตของจานวนเฉพาะที่เป็นบวก (Prime number)
ประกอบดว้ ย 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

C แทนเซตของจานวนเชิงซอ้ น (Positive Complex number)
ประกอบดว้ ย 2+3i, 4i, 5+7i

O แทนเซตของจานวนค่ี (Odd number)
ประกอบดว้ ย  1,  3,  5,  7,  9,…

E แทนเซตของจานวนคู่ (Even number)
ประกอบดว้ ย  2,  4,  6,  8,  10,…

ให้เขียนตวั แทนของสมาชิกในเซตตวั หน่ึงไว้ในวงเล็บปี กกา แลว้ จึงบรรยายสมบตั ิของ

สมาชิกไวด้ ว้ ยการคนั่ ตวั แทนของสมาชิก กบั คาบรรยายสมบตั ิของสมาชิกไวด้ ว้ ยเคร่ืองหมาย ; หรือ
: หรือ | ซ่ึงในที่น้ีเรามกั จะใชเ้ คร่ืองหมาย | และเราจะอ่านเคร่ืองหมาย | วา่ “โดยท่ี ”

จงเขยี นเซตแบบบอกเง่ือนไข
ตวั อย่างที่ 5 กาหนดให้ A แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ย 2, 4, และ6

เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ A = {x | x เป็นเลขคบู่ นหนา้ ของลูกเต๋า}

ตวั อย่างที่ 6 กาหนดให้ B แทนเซตซ่ึงประกอบดว้ ย 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ B = {x I + | x เป็นจานวนเฉพาะ}

ถา้ สมาชิกตวั ใดตวั หน่ึงอยใู่ นเซต ๆ หน่ึง เรียกสมาชิกตวั น้นั วา่ “เป็นสมาชิกของเซต นั้น” เขยี น
แทน ดว้ ยสัญลกั ษณ์ อา่ นวา่ เป็นสมาชิกของ ในทางกลบั กนั ถา้ สมาชิกที่กาหนดใหไ้ มอ่ ยใู่ นเซต น้นั เราจะ
เรียกสมาชิกตวั น้นั วา่ “ไม่เป็นสมาชิกของเซต ๆ นน้ั ” เขียนแทนดว้ ย  อา่ นวา่ ไม่เป็นสมาชิกของ

ตัวอย่างที่ 7 จงใส่เครื่องหมาย  แสดงวา่ เป็นสมาชิกของเซตและใส่เครื่องหมาย  แสดงวา่ ไม่

เป็ นสมาชิกของเซตท่ีกาหนดให้

1. 2  {2,3,4,5}

2. 3  {3456}

3. {1,2}  {1, 2, {1, 2}}
4. -2, -1, 0, 1, 2  {x | x เป็นจานวนเตม็ }
5. ก, ล, บ, ร  {x | x เป็นพยญั ชนะของคาวา่ “กหุ ลาบเพชร”}

1. เอกภพสัมพทั ธ์ (Universal Set)

บทนิยาม เซตท่ีกาหนดขอบข่ายท่ีจะพิจารณาโดยมีขอ้ ตกลงวา่ จะไมก่ ล่าวถึงสมาชิกใดท่ี
นอกเหนือไปจากสิ่งใดนอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตท่ีกาหนดข้นึ น้ี และ

เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ “U ”

ตวั อย่างท่ี 8 กาหนดให้ U คอื เซตของจานวนจริง

A = { x | x2 – 4 = 0 }
B={x|x+5=0}
ดงั น้นั A = { -2 , 2 }
และ B = { -5 }

แตถ่ า้ กาหนดให้ U คือ เซตของจานวนเตม็ บวก

ดงั น้นั A = { 2 }
และ B = { }
หมายเหตุ ถา้ กลา่ วถึงเซตของจานวนและไม่ไดก้ าหนดวา่ เซตเอกภพสมั พทั ธ์ในระดบั ช้นั น้ี
ถือวา่ เอกภพสัมพทั ธ์ คอื เซตของจำนวนจริง
2. เซตว่าง (Empty Set)

บทนยิ าม เซตไมม่ ีจานวนสมาชิกเลย หรือจานวนสมาชิกเท่ากบั 0 เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ , { }

ดงั น้นั สรุปไดว้ า่ เซตว่างเป็นเซตจากดั เพราะสามารถบอกจานวนสมาชิกไดแ้ ตไ่ ม่มีสมาชิกของเซต จึงทาให้
เซตน้นั มีจานวนสมาชิกเทา่ กบั 0
ตัวอย่างที่ 9 พิจารณา A = { x I− | x −1 = 0 } วา่ เซตที่กาหนดใหเ้ ป็ นวา่ งหรือไม่

จากสมการ x – 1 = 0
x = 1 ซ่ึง 1  I −

แสดงวา่ เซต A ไมม่ ีจานวนสมาชิก
ดงั น้นั A เป็นเซตจากดั และ n(A) = 0
ตัวอย่างที่ 10 พจิ ารณา B = { x I | x2 + 5 = 0 } วา่ เซตท่ีกาหนดใหเ้ ป็ นวา่ งหรือไม่
จากสมการ x2 + 5 = 0

x2 = -5
x = −5 ซ่ึง −5  I
แสดงวา่ เซต B ไม่มีจานวนสมาชิก
ดงั น้นั B เป็นเซตจากดั และ n(B) = 0

แบบฝึ กหดั ที่ 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 4
รายวชิ า คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ประกอบแผนการจดั การเรียนรู้ที่ 1
เรื่อง สมาชิกของเซต การเขียนเซต และเซตว่าง

1. จงพจิ ารณาการเป็ นสมาชิกหรือไม่เป็ นสมาชิกของเซตในแต่ละข้อต่อไปนแี้ ล้วใส่เครื่องหมาย 

หน้าข้อท่ีถกู และใส่เคร่ืองหมาย  หน้าข้อที่ผดิ
_____ 1) 3  { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
_____ 2) 2, 7  { x | x เป็นแตม้ บนลูกเต๋า }
_____ 3) { 5 }  { 1, 3, 5 }
_____ 4) { 1, { 2 } }  { { { 1 }, 2 } , { 1, { 2 } } }
_____ 5) { 1, 2 }  { 1, 2, 3 }
_____ 6) 1, 2, 3, …  { x | x เป็นจานวนเตม็ }
_____ 7) -1, -2, -3, …  { x | x เป็นจานวนนบั }
_____ 8) 1  { 12345 }
_____ 9)  , { }  { {  , {  } }
_____ 10)   { { {  },  },  }

2. จงเขียนเซตทก่ี าหนดให้ต่อไปนแี้ บบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของสีประจาวนั ใน 1 สัปดาห์
_______________________________________________________
2. เซตของจงั หวดั ในประเทศไทยที่ลงทา้ ยดว้ ยคาวา่ “บรุ ี”
_______________________________________________________
3. เซตของพยญั ชนะภาษาองั กฤษในประโยคท่ีวา่ “MY NAME IS TOY.”
_______________________________________________________
4. เซตของพยญั ชนะในคา “โรงเรียนสวนกหุ ลาบนนทบุรี”
_______________________________________________________
5. เซตของจานวนเตม็ บวกที่มีค่านอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 50
_______________________________________________________
6. เซตของจานวนเตม็ ที่มีค่านอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั 50
_______________________________________________________
7. เซตของจานวนเตม็ ลบที่มีค่ามากกวา่ หรือเท่ากบั -10
_______________________________________________________

8. เซตของจานวนคู่บวกท่ีมากกวา่ 10
_______________________________________________________

9. เซตของจานวนเตม็ ระหวา่ ง 1 ถึง 50 ท่ีหารดว้ ย 7 ลงตวั
_______________________________________________________

10.เซตของจานวนนบั เมื่อนามาหารดว้ ย 5 แลว้ ลงตวั
_______________________________________________________

3. จงเขยี นเซตท่กี าหนดให้ต่อไปนแี้ บบแจกแจงสมาชิก
1. A = {x | x เป็นจานวนเตม็ บวกที่มากกวา่ 5 และนอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กบั 15}
_______________________________________________________
2. B = {x | x เป็นจานวนเตม็ บวกที่เป็นจานวนเฉพาะที่มีคา่ นอ้ ยกวา่ 20}
_______________________________________________________
3. C = {x | x เป็นจานวนเตม็ ค่ที ี่อยรู่ ะหวา่ ง 2 กบั 4}
_______________________________________________________
4. D = {x | x I และ1  x  5}
_______________________________________________________
5. E = {x | x N ซ่ึง x  100 และ x N }
_______________________________________________________
6. F = {x | x I+ และ 3 หารลงตวั }
_______________________________________________________
7. G = {x | x P และ x2 -15x +44 = 0}
_______________________________________________________
8. H = {x | x I− และ x2 +4x + 4 = 0}
_______________________________________________________
9. I = {x | x R และ 3x2 – 10x + 3 = 0}
_______________________________________________________
10. I = {x | x R และ x2 – 16 = 0}
_______________________________________________________

4. จงเขยี นเซตที่กาหนดให้ต่อไปนแี้ บบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในเซต
1. A = { สีแดง, สีขาว, สีน้าเงิน }
_______________________________________________________
2. B = { วนั มาฆบูชา, วนั วสิ าขบูชา, วนั อาสาฬหบชู า, วนั เขา้ พรรษา, วนั ออกพรรษา }
_______________________________________________________
3. C = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … }
_______________________________________________________

4. D = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
_______________________________________________________

5. E = { …,-5, -4, -3, -2, -1 }
_______________________________________________________

6. F = { 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 }
_______________________________________________________

7. G = { 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 }
_______________________________________________________

8. H = { 4, 7, 10, 13, 16, 19, … }
_______________________________________________________

9. I = { -1, 1 }
_______________________________________________________

10. J = { 0 }
_______________________________________________________

5. จงพจิ ารณาเซตทก่ี าหนดให้ต่อไปนี้ ว่าเป็ นเซตใดเป็ นเซตว่างและเซตใดเป็ นเซตไม่ว่าง
1. เซตของจงั หวดั ในประเทศไทยท่ีลงทา้ ยดว้ ยคาวา่ “นคร”
2. เซตของสระในภาษาองั กฤษคาวา่ “MATHEMATICS”
3. เซตของจานวนเตม็ ระหวา่ ง 1 ถึง 2
4. A = { 0 }
5. B = { }
6. C = {x | x I+ และ 2 หารไมล่ งตวั }
7. D = {x | x Nและ x + 1 < 0}
8. E = {x | x I+ และ x + 7 = 7}
9. F = {x | xIและ x + x = x2}
10. G = {x | xIและ x2 + x = x}

เอกสารแนะแนวทางที่ 1

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4

เรื่อง “ว่างไหมจ๊ะ” ประกอบแผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 1

จงพจิ ารณาตารางเซตทกี่ าหนดให้ และใส่เคร่ืองหมายถกู ลงในตารางถกู ต้อง

เซต จานวนสมาชิก เซตว่าง

1. A = เซตของเลขโดด n(A) = 10 เป็ น ไม่เป็ น
2. B = { xP+ | 20  x  30 } n(B) = 2
3. C = { xI | 0 < x < 1 } ไมม่ ีจานวนสมาชิก / n(C) = 0 
4. D = { xR | x  0 } ไมส่ ามารถระบจุ านวนได้ 
5. E = { 11, 22, 33, 44, 55,... } ไม่สามารถระบจุ านวนได้ 
6. F = { 1234 } 
7. G = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } 
8. H = { xI+ | x2 = 2x }
9. I = { x I | x3 < 0 }
10. J = { x I | x2 + 1 = 0 }
11. K = { xN | x = 3 x }
12. L = { x I- | x2 = 0 }
13. M = { x | x เป็นจานวนเฉพาะที่เป็นจานวนคู่ }
14. N = { xI | x  0 }
15. M = { x I | x < 0 }

สรุปได้ว่า คือ ......................................................................................................
เซตว่าง

• เซตจากดั (Finite Set)

บทนยิ าม เซตท่ีมีจานวนสมาชิกเทา่ กบั จานวนเตม็ บวกใดๆหรือศนู ย์

• เซตอนนั ต์ (Infinite Set)

บทนยิ าม เซตท่ีไมใ่ ช่เซตจากดั หรือเซตท่ีไม่สามารถระบุจานวนสมาชิกได้

จงหาจานวนสมาชิกของเซตและชนิดของเซตท่กี าหนดให้ เซตใดเป็ นเซตจากดั หรือเซตอนันต์

ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดให้ A={3,7,11,19,21}

สมาชิกของเซต 3, 7, 11, 19, 21

แสดงวา่ เซต A มีจานวนสมาชิก 5 ตวั

เขยี นแทนดว้ ย n(A)= 5

ดงั น้นั เซตAเป็นเซตจากดั

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ B={x|xเป็นจานวนเตม็ ลบมีคา่ มากกวา่ 0}

สมาชิกของเซต ไม่มี

แสดงวา่ เซต A มีจานวนสมาชิก 0 ตวั

เขียนแทนดว้ ย n(B)= 0

ดงั น้นั เซตAเป็นเซตจากดั

ตวั อย่างท่ี 3 กาหนดให้ C={0,2,4,6,8,…}

สมาชิกของเซต 0,2,4,6,8,10,…

แสดงวา่ เซต A มีจานวนสมาชิกมากมาย

เขยี นแทนดว้ ย n(C)= หาค่าไม่ได้

ดงั น้นั เซตCเป็นเซตอนนั ต์

ตัวอย่างท่ี 4 กาหนดให้ D={x|xเป็นจานวนเตม็ ที่นอ้ ยกวา่ 0}

สมาชิกของเซต -1, -2, -3, -4, -5, -6,…

แสดงวา่ เซต D มีจานวนสมาชิกมากมาย

เขยี นแทนดว้ ย n(D)= หาคา่ ไม่ได้

ดงั น้นั เซตDเป็นเซตอนนั ต์

• เซตที่เท่ากนั (Equal Sets And Identical Sets)

บทนยิ าม เซต A จะเท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อ เซตท้ังสองเซตมีสมาชิกเหมือนกัน กล่าวคือ
ถา้ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตวั ของเซต B
เป็นสมาชิกของเซต A ใชส้ ัญลกั ษณ์ A = B

ดงั น้นั เซต A ไม่เท่ากับ เซต B หมายความว่า สมาชิกอย่างน้อยหน่ึงตวั ของเซต A ที่ไม่ใช่
สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ของเซต B ท่ีไม่ใช่สมาชิกของเซต A

ตัวอย่างท่ี 5 กาหนดให้ A = {1,3,5,7,9 } และ B = {5,3,1,9,7 }
จงหาวา่ เซตท่ีกาหนดใหเ้ ป็นเซตที่เทา่ กนั หรือเซตท่ีไม่เท่ากนั
พจิ ารณา เซต A มีจานวนสมาชิก 5 ตวั คอื 1, 3, 5, 7, 9
เซต B มีจานวนสมาชิก 5 ตวั คอื 1, 3, 5, 7, 9
ดงั น้นั A = B

จากตวั อยา่ งที่ 5 เราตอ้ งตกลงท่ีจะสร้างสัจพจน์ข้ึนสองสัจพจน์ คือ สจั พจนแ์ รกเป็นการ
เท่ากนั ของเซตสองเซต และสัจพจน์ที่สองเป็นการยอมรับวา่ มีเซตวา่ ง

สัจพจน์เอกซ์เทนชัน ( Extension Axiom )
สัจพจน์น้ีกลา่ ววา่ เม่ือกาหนดเซต A และเซต B จะได้ เซต A เทา่ กบั เซต B กต็ ่อเมือ

เซตท้งั สองมีสมาชิกเหมือนกนั ทุก ๆ ตวั
กล่าวไดอ้ ีกแบบหน่ึงวา่ เซต A เทา่ กบั เซต B ก็ตอ่ เมื่อ สมาชิกทกุ ตวั ในเซต A เป็น

สมาชิกในเซต B และสมาชิกทุกตวั ในเซต B เป็นสมาชิกในเซต A
เขียนเป็นสัญลกั ษณ์ในเชิงตรรกศาสตร์ไดด้ งั น้ี xx  A  x  B

• เซตทเี่ ทยี บเท่ากนั (Equivalent Sets)

บทนยิ าม เซต A เทียบเท่ากบั เซต B ก็ต่อเมื่อ เซตท่ีมีสมาชิกภายในเซตมีความสัมพนั ธ์แบบหน่ึงต่อหน่ึง

พอดี หรืออาจกล่าวไดว้ า่ เซต A เทียบเท่ากบั เซต B ก็ตอ่ เม่ือ กรณีท่ี 1 ถา้ เซตท้งั

สองเซตเป็ นเซตจากดั แลว้ เซตท้งั สองมีจานวนสมาชิกเท่ากนั กรณีท่ี 2 ถา้ เซตท้งั สองเซต

เป็นเซตอนนั ต์ แลว้ เซตท้งั สองมีความสัมพนั ธ์แบบ1-1 เซต A เทียบเท่ากบั เซต B เขียนแทนดว้ ย

A ~ B หรือ A  B

ตัวอย่างท่ี 6 กาหนดให้ A = {x | x เป็นจานวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ยกวา่ 10}
ตวั อย่างท่ี 7 และ B = {xI | 1  x  10}
ตวั อย่างที่ 8 พิจารณา เซต A มีจานวนสมาชิก 9 ตวั คอื 1, 2, 3,…, 9

เซต B มีจานวนสมาชิก 10 ตวั คือ 1, 2, 3,…, 10
ดงั น้นั A  B
กาหนดให้ A = {1, 4, 9} และ B = {2, 4, 8}
พจิ ารณา เซต A มีจานวนสมาชิก 3 ตวั คือ 1, 4, 9

เซต B มีจานวนสมาชิก 3 ตวั คือ 2, 4, 8
ดงั น้นั A  B
กาหนดให้ A = {2, 4, 6,…} และ B = {3, 6, 9,…}
พิจารณา A = {2, 4, 6,…,2n,…}

B = {3, 6, 9,…,3n,…}
เพราะฉะน้นั A และ B มีความสมั พนั ธแ์ บบ 1-1 ภายใต้ 2n  3n เมื่อ nN
ดงั น้นั A  B

เอกสารแนะแนวทางท่ี 2 ก

รายวิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน 1 (ค31101) ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4

เร่ือง “นับได้ไหมจ๊ะ” ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2

จงพจิ ารณาตารางเซตทกี่ าหนดให้ และใส่เครื่องหมายถูกลงในตารางถกู ต้อง

เซต จานวนสมาชิก ชนดิ ของเซต

1. A = เซตของเลขโดด n(A) = 10 เซตจากดั เซตอนนั ต์
2. B = { xP+ | 20  x  30 } n(B) = 2
3. C = { xI | 0 < x < 1 } ไมม่ ีจานวนสมาชิก / n(C) = 0 
4. D = { xR | x  0 } ไมส่ ามารถระบุจานวนได้ 
5. E = { 11, 22, 33, 44, 55,... } ไมส่ ามารถระบุจานวนได้ 
6. F = { 1234 }
7. G = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } 
8. H = { xI+ | x2 = 2x } 
9. I = { x I | x3 < 0 }
10. J = { x I | x2 + 1 = 0 }
11. K = { xN | x = 3 x }
12. L = { x I- | x2 = 0 }
13. M = { x | x เป็นจานวนเฉพาะท่ีเป็นจานวนคู่ }
14. N = { xI | x  0 }
15. M = { x I | x < 0 }

สรุปได้ว่า คือ ......................................................................................................
เซตจากดั คือ ......................................................................................................
เซตอนนั ต์

เอกสารแนะแนวทางท่ี 2 ข

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พื้นฐาน 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 4

เรื่อง “หน้าตาเหมือนฉันไหมจ๊ะ” ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2

จงพจิ ารณาตารางเซตท่กี าหนดให้ และใส่เคร่ืองหมายถกู ลงในตารางถกู ต้อง

เซต ชนดิ ของเซต

เซตเท่ากัน เซตเทียบเท่ากนั

1. A = { 1, 2, 3 } B = { 3, 2, 1 } 

2. A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 4, 6 } 

3. A = { 1, 2, 3, 3 } B = { 3, 3, 2, 2, 1, 1 } 

4. A = { 2, 4, 6 } B = { 1, 3, 5 }

5. A = { 2, 4, 6, 8, 10 } B = { 10, 8, 6, 4, 2 }

6. A = { -1, -2, -3 } B = { 3, 2, 1 }

7. A = { -1, -2, -3 } B = { -3, -2, -1 }

8. A = { 1 , 4 , 9 } B = { 1, 2, 3 }

9. A = { 1 , 4 , 9 } B = { 3 1 , 3 8 , 3 27 }

10. A = { 1+1, 2+1, 3+1 } B = { 3-1, 4-1, 5-1 }

สรุปได้ว่า คือ ......................................................................................................
เซตเท่ากนั คือ ......................................................................................................
เซตเทยี บเท่า

แบบฝึ กหดั ท่ี 2 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2
เรื่อง ชนิดของเซต

1. จงพจิ ารณาเซตท่กี าหนดให้ต่อไปนี้ ว่าเป็ นเซตใดเป็ นเซตจากดั และเซตใดเป็ นเซตอนันต์

________________ 1. เซตของจงั หวดั ในประเทศไทย

________________ 2. เซตของจานวนเตม็ ลบ

________________ 3. เซตของจานวนเตม็ บวกที่ 2 หารลงตวั แต่ 3 หารไมล่ งตวั

________________ 4. A = { 0.123… }

________________ 5. B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

________________ 6. C = {x | xเป็นจานวนเฉพาะบวก}

________________ 7. D = {x | xIและ x > 1}

________________ 8. E = {x | x I+ และ x = 7}

________________ 9. F = {x | xIและ (x + 1)(x + 2) =0}

________________ 10. G = {x | xIและ x + 2 > 2 + x}

2. จงพจิ ารณาเซตทก่ี าหนดให้ ว่าเป็ นเซตใดเป็ นเซตเท่ากันหรือไม่เท่ากนั หรือเซตเทยี บเท่ากนั

____ 1. A = {0, 1} B = {0, 0, 0, 1, 1,}

____ 2. A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {-2, -4, -6, -8, -10}

____ 3. A = {{1},{2}} B = {1, 3, 5}

____ 4. A = {x | xNและ 1  x  10} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…,10}

____ 5. A = {x | xN และ 5 หารลงตวั } B = {x | xN และ 7 หารลงตวั }

____ 6. A = {x | xI+ และ จานวนเฉพาะคู่} B = {x | xI และ x = 2}

____ 7. A = {x | xN และ 3 หารตวั และ x < 30}

B = {x | xN และ 2 หารแลว้ เหลือเศษ 1 และ x < 30}

____ 8. A = {x | xI และ (x – 1)(x – 2) = 0} B = {x | xI และ (x – 2)(x – 1) = 0}

____ 9. A = {x | xI และ x2 – 4x + 4 = 0} B = {x | xI และ (x – 2)2 = 0}

____ 10. A = {x | xI และ x2 – 1 = 0} B = {x | xI และ x – 1 = 0}

3. จงพจิ ารณาเซตทีก่ าหนดใส่เคร่ืองหมายถูก หน้าข้อท่ีเป็ นจริง และใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อที่เป็ นเท็จ
_______ 1. {} = 
_______ 2. A = { x | xI- } และ B = { x | xI+ } เซต A เทียบเท่ากบั เซต B
_______ 3. { 1, 2, 3, 4, 5 } = { x | xN และ 1  x  5 }
_______ 4. A = { 2, 3, 5, 7 } และ B = { x | x เป็นจานวนเฉพาะบวกที่ไม่เกิน 10 } เป็นเซตที่เท่ากนั
_______ 5. A = { x | x เป็นพยญั ชนะในคา “กรรมกร” }
และ B = { x | x เป็นพยญั ชนะในคา “กรรมการ” } เป็นเซตที่เทา่ กนั
_______ 6. A = { x | xIและ 3 หารลงตวั } และ B = { x | x  N และ 2 หารลงตวั }
เซต A เทียบเท่ากบั เซต B
_______ 7. { x | xI และ x2 = 81 } = { 9 }
_______ 8. A = { x | xI และ x2+ 2x-3=0 } และ B = {x | xIและ x2- 2x+3=0 }
เซต A เทียบเทา่ กบั เซต B
_______ 9. ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตท่ีเทา่ กนั แลว้ เซต A เทียบเทา่ กบั เซต B
_______ 10. ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตที่เทียบเท่ากนั แลว้ เซต A เท่ากบั เซต B

• สับเซต (Subsets)

บทนิยาม เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ถา้ สมาชิกทกุ ตวั ในเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
ใชส้ ัญลกั ษณ์ A  B อ่านวา่ A เป็นสับเซตของเซต B

แสดงว่า เซต A จะเท่ากบั เซต B กต็ อ่ เม่ือ เซตท้งั สองเซตมีสมาชิกเหมือนกนั กล่าวคือ ถา้
สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทกุ ตวั ของเซต B เป็น
สมาชิกของเซต A

A  B และ B  A กต็ ่อเมอ่ื A=B

เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B หมายความวา่ สมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ของเซต A
ท่ีไม่ใช่สมาชิกของเซต B ใชส้ ญั ลกั ษณ์ A  B อา่ นวา่ A ไม่เป็นสับเซตของเซต
B

บทนยิ าม เซต A จะเป็นสับเซตแท้ ของเซต B กต็ อ่ เมื่อ เซต A เป็นสับเซตของเซต B
แต่เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A

จงเขียนสับเซตต่อไปนี้ ก, ข, ค
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ A = {ก, ข, ค} {ก}, {ข}, {ค}, {ก,ข}, {ก,ค}, {ข,ค}, {ก, ข, ค}, 

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่
สับเซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่

ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ B =  , 

สมาชิกของเซต B ไดแ้ ก่  และ 

สบั เซตท้งั หมดของ B ไดแ้ ก่ , ,  , , 

ตวั อย่างที่ 3 กาหนดให้ A = {a, b, c} B = {a, b, d} และ C = {a, b, c, d}

จงหาวา่ เซตใดเป็นสบั เซตของเซตใดบา้ ง

จากโจทยท์ ่ีกาหนดใหส้ ามารถสรุปไดว้ า่

จะไดว้ า่ A  C เพราะสมาชิกทกุ ตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต C

C  A เพราะ d C แต่ d  A

สรุปไดว้ า่ A  C และเซต A เป็นสับเซตแทข้ องเซต B

และ B  C เพราะสมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต C

C  B เพราะ c  C แต่ c  B

สรุปไดว้ า่ B  C และเซต B เป็นสับเซตแทข้ องเซต C
แต่ A  B เพราะ c  A แต่ c B

B  A เพราะ d  B แต่ d  A
หมายเหตุ 1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตวั มนั เอง ถา้ เซต A เป็นเซตใด ๆ แลว้ A  A

2. เซตวา่ งเป็นสบั เซตของเซตทุกเซตนน่ั คอื ถา้ เซต A เป็นเซตใด ๆ แลว้   A

การหาจานวนสมาชิกของสับเซต
ถา้ A เป็นเซตท่ีมีสมาชิก n จานวน แลว้ จานวนสมาชิกของสับเซตท้งั หมดของเซต A จะ

เทา่ กบั 2n(A) สับเซต และในจานวนน้ีเราสามารถหาจานวนสมาชิกของสับเซตแทไ้ ดเ้ ทา่ กบั 2n(A)- 1
สบั เซต (นน่ั คือ จานวนสมาชิกของสบั เซตแท้ เทา่ กบั จานวนสับเซตท้งั หมด ยกเวน้ เซตของตวั มนั เอง
เพราะฉะน้นั เซตของตวั มนั เอง เรียกวา่ สบั เซตไม่แท)้

เอกสารแนะแนวทางท่ี 3

รายวชิ า คณิตศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4

เร่ือง “สับเซต...เสร็จสับจ๊ะ” ประกอบแผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 3

จงพจิ ารณาสับเซตต่อไปนจี้ ากเซตทก่ี าหนดให้ สบั เซต
เซต

1. A = { 1 }

2. A = { 1, 2 }

3. A = { 1, 2, 3 }

4. A = { 1, 2, 3, 4 }

5. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

จงพจิ ารณาจานวนสับเซตจากจานวนสมาชิกของเซตทีก่ าหนดให้ต่อไปนี้

เซต จานวนสมาชิก จานวนสับเซต
2
1. A = { 1 } n(A) = 1 4
8
2. A = { 1, 2 } n(A) = 2

3. A = { 1, 2, 3 } n(A) = 3

4. A = { 1, 2, 3, 4 }

5. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

6. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

7. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

8. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

9. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

10. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

จานวนสบั เซต = __________________

แบบฝึ กหดั ที่ 3 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
รายวิชา คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3
เร่ือง สัญลกั ษณ์และการหาจานวนสับเซต

1. กาหนดให้ U = { x | x เป็ นจานวนเต็ม }

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนแี้ ล้วใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อท่ีถกู และใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อที่ผิด

______ 1. จานวนนบั  U ______ 2. 5  U

______ 3. { 2, 3, 5, 7 }  U U______ 4. 1 , 2, 3 
______ 5. {0}  U 2

______ 6. {x | x เป็นจานวนเฉพาะ}  U

______ 7. {5}  U ______ 8. 1, 2, 3, 4,… U

U______ 9. 2, 3  ______ 10. { }  U

2. กาหนดให้ A= { 1, { 2 }, 34, { { 5 } } }

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนแี้ ล้วใส่เคร่ืองหมาย  หน้าข้อท่ถี ูก และใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อทีผ่ ดิ

______ 1. { { 5 } }  A ______ 2. { 1, 34 }  A

______ 3. { 3, 4 }  A ______ 4. 2 A

______ 5. { { 2 } }  A ______ 6. { { 2 }, { { 5 } } } A

______ 7. 1  A ______ 8. 3, 4  A

______ 9. { 2 }  A ______ 10.   A

3. กาหนดให้ A= {a, b, c, d} B = {a, b, c} C = {b, c} D = {a, c, d}

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนแี้ ล้วใส่เคร่ืองหมาย  หน้าข้อทถ่ี กู และใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อที่ผดิ

______ 1. B A ______ 2. A B

______ 3. D A ______ 4. B D

______ 5. D C ______ 6. D B

______ 7. A C ______ 8. A D

______ 9. B C ______ 10. C A

สมบตั เิ กย่ี วกบั สับเซต
กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ
1. A  A กล่าวคอื เซต A ย่อมเป็นสับเซตของตวั มนั เอง
2.   A กล่าวคือ เซตวา่ ง เป็นสบั เซตของทุกเซต
3. A  U กลา่ วคือ เซต A เป็นสับเซตของเอกภพสัมพทั ธ์
4. ถา้ A   แลว้ A = 
5. A = B ก็ตอ่ เม่ือ A  B และ B  A
6. ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  C
7. ถา้ A และ B เป็นเซตจากดั และ A  B แลว้ n(A)  n(B)
8. ถา้ A เป็นเซตใด ๆ ท่ีไมใ่ ช่เซตวา่ งแลว้ สามารถหาสบั เซตแทข้ องเซต A ไดเ้ สมอ
9. ถา้ เซต A เป็นสับเซตแทข้ องเซต B แลว้ n(A) < n(B)

แบบฝึ กหดั ท่ี 4 ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 4
รายวิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน 1 (ค31101) ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 4
เร่ือง สัญลกั ษณ์และการหาจานวนสับเซต

4. จงหาสับเซตท้งั หมดของเซตต่อไปนี้
1. A = { 0, 1 }
สับเซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่____________________________________________________________
2. B = { 1, 3, 5 }
สับเซตท้งั หมดของ B ไดแ้ ก่___________________________________________________________
3. C = { { 1 }, 2 }
สับเซตท้งั หมดของ C ไดแ้ ก่___________________________________________________________
4. D = { 1, { 2 }, { { 3 } } }
สบั เซตท้งั หมดของ D ไดแ้ ก่___________________________________________________________
5. E = { , {  } }
สับเซตท้งั หมดของ E ไดแ้ ก่___________________________________________________________

5. กาหนดให้ A = { 2, 3, 5, 7 } จงตอบคาถามต่อไปนี้
1. สบั เซตของ A ที่มีสมาชิก 0 ตวั
_______________________________________________________________________________
2. สบั เซตของ A ท่ีมีสมาชิก 1 ตวั
_______________________________________________________________________________
3. สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตวั
_______________________________________________________________________________
4. สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 3 ตวั
_______________________________________________________________________________
5. สับเซตของ A ท่ีมีสมาชิก 4 ตวั
_______________________________________________________________________________
6. สับเซตท้งั หมดของ A
_______________________________________________________________________________
7. สบั เซตแทข้ อง A
_______________________________________________________________________________
8. จานวนสบั เซตท้งั หมดของ A
_______________________________________________________________________________

9. จานวนสบั เซตแทข้ อง A
_______________________________________________________________________________

10.สับเซตของ A ท่ีไมใ่ ช่สับเซตแท้
_______________________________________________________________________________

6. กาหนดให้ A เป็นเซตท่ีมีสมาชิก 5 สมาชิก จงหาจานวนสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 1 สมาชิก
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

7. กาหนดให้ A เป็นเซตท่ีมีสมาชิก n สมาชิก จงหาจานวนสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 1 สมาชิก
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

8. กาหนดให้ A เป็นเซตท่ีมีสมาชิก n สมาชิก จงหาจานวนสับเซตท้งั หมดท่ีมีสมาชิกอยา่ งนอ้ ย 1 สมาชิก
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

9. กาหนดให้ A เป็นเซตท่ีมีสมาชิก n สมาชิก จงหาจานวนสับเซตท้งั หมดของ A
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

10. กาหนดให้ A เป็นเซตท่ีมีสมาชิก n สมาชิก จงหาจานวนสับเซตแทท้ ้งั หมดของ A
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

• เพาเวอร์เซต (Power Set)

บทนยิ าม เซตของสับเซตท้งั หมดของ A เรียกวา่ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนดว้ ย P(A)

จงหาเพาเวอร์เซตและจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต
ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดให้ A = {1, 2, 3}

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ 1, 2, 3
สบั เซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3}, 
จะได้ P (A) = { {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3},  }
ดงั น้นั จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต A เทา่ กบั 8

ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดให้ B = {{ }, }

สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ { },

สบั เซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ {{ }}, { }, {{ }, }, 

จะได้ P (A) = { {{ }}, { }, {{ }, },  }

ดงั น้นั จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต A เท่ากบั 4

ตัวอย่างท่ี 3 กาหนดให้ C = {a, b} จงหา P(P(C))
สมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ a, b
สบั เซตท้งั หมดของ A ไดแ้ ก่ { a }, { b }, { a, b }, 

จะได้ P (C) = { {a}, {b}, {a, b},  }

ซ่ึงสมาชิกของ P(P(C))ไดแ้ ก่ { {{a}}, {{b}}, {{a, b}}, { }, {{a},{b}},

{{a},{a, b}}, {{a}, }, {{b},{a, b}}, {{b}, },
{{a, b}, }, {{a}, {b},{a, b}}, {{a}, {b},  },

}{{a}, {a, b},  }, {{b}, {a, b},  } , {{a}, {b}, {a, b},  }, 

ดงั น้นั จานวนสมาชิกของ P(P(C)) = 16

การหาจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต
ถา้ A เป็นเซตจากดั ใด ๆ และ n เป็นจานวนสมาชิกในเซต

จะไดว้ า่ จานวนสบั เซตท้งั หมดของ A คือ 2n(A)

ใหจ้ านวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนดว้ ย n(P(A))
แต่ จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซต A เทา่ กบั จานวนสับเซตท้งั หมดของเซต A

ดงั น้นั n(P(A)) = 2n(A)

เอกสารแนะแนวทางที่ 5

รายวชิ า คณิตศาสตร์พื้นฐาน 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 4

เร่ือง “มเี พาเวอร์” ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 5

จงพจิ ารณาสับเซตและเพาเวอร์เซต์ต่อไปนจี้ ากเซตท่ีกาหนดให้

1. A = {a} สับเซต {a}, 

เพาเวอร์เซต A = { {a},  }

2. B = {a, b} สับเซต

เพาเวอร์เซต

3. C = {a, b, c} สบั เซต

เพาเวอร์เซต

4. D = {a, b, c, d} สบั เซต

เพาเวอร์เซต

5. E = {a, b, c, d, e} สบั เซต

เพาเวอร์เซต

เพาเวอร์เซต คือ __________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

แบบฝึ กหดั ที่ 5 ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4
รายวิชา คณติ ศาสตร์พื้นฐาน 1 (ค31101) ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 5
เร่ือง สัญลกั ษณ์และจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต

1. จงตอบคาถามต่อไปนี้
1. กาหนดให้ A = { {  } } จงหา P(A)
______________________________________________________________________________
2. กาหนดให้ B = { , {  }, { {  } } } จงหา P(B)
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
3. กาหนดให้ C = { { 1, 2, 3, 4, 5 } } จงหา P(C)
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
4. กาหนดให้ A = { x | x เป็นสระในภาษาองั กฤษคาวา่ “MATHEMATICS” } จงหา P(A)
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
5. กาหนดให้ A = { xN | x2 -7x +12 = 0 } จงหา P(P(A))
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
6. กาหนดให้ D = { a } จงหา P(P(D))
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

7. กาหนดให้ E =  จงหา P(P(P(E)))
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

8. ถา้ กาหนดเซต A มีจานวนสมาชิก n สมาชิก แลว้ เพาเวอร์เซตของเซต A มีสมาชิกเท่าไร
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

9. ถา้ P(P(A)) มีจานวนสมาชิกท้งั หมด 16 สมาชิก แลว้ n(A) มีจานวนสมาชิกเท่าไร
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

10. ถา้ P(P(P(P(P(A))))) มีจานวนสมาชิกท้งั หมด 22223 สมาชิก

แลว้ n(A) มีจานวนสมาชิกเท่าไร
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

สมบตั ขิ องเพาเวอร์เซต

ถา้ ให้ A และ B เป็นสับเซต และเอกภพสมั พทั ธเ์ ป็น U

1. P(A)  
2.  P(A)
3. A P(A)
4. A  B ก็ตอ่ เม่ือ P(A)  P(B)
5. ถา้ A เป็นเซตอนนั ตแ์ ลว้ P(A) เป็นเซตอนนั ต์
6. ถา้ A เป็นเซตจากดั ซ่ึง n(A) = n แลว้ n(P(A)) = 2n(A)
7. ถา้ A เป็นเซตจากดั ซ่ึง n(A) = n แลว้ n(P(P(A))) = 22n(A)

แบบฝึ กหัดท่ี 6 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 4
รายวชิ า คณติ ศาสตร์พื้นฐาน 1 (ค31101) ประกอบแผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 6
เร่ือง สัญลกั ษณ์และจานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต

1. กาหนดให้ A และ B เป็ นเซตใด ๆ

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนแี้ ล้วใส่เคร่ืองหมาย  หน้าข้อท่ีถูก และใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อทผ่ี ิด

________ 1.   P(A)
________ 2.   P(A)
________ 3.  P(A)
________ 4.  P(A)
________ 5. A P(A)
________ 6. ถา้ A =  แลว้ P(A) = 

________ 7. ถา้ A  B แลว้ P(A)  P(B)

________ 8. ถา้ P(A)  P(B) แลว้ A  B

________ 9. ถา้ เซต A มีจานวนสมาชิกเป็นจานวนค่ีแลว้ n(P(P(A))) มีสมาชิกเป็นจานวนคู่

________ 10. มีเซต A ซ่ึงทาให้ n(P(A)) = 31

3. กาหนดให้ A = { , a, { b }, { a, b } }

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนแี้ ล้วใส่เครื่องหมาย  หน้าข้อท่ถี กู และใส่เคร่ืองหมาย  หน้าข้อทผ่ี ดิ

_______ 1.   P(A) _______ 2.   P(A)

_______ 3.  P(A) _______ 4.  P(A)

_______ 5. {a} P(A) _______ 6. a P(A)

_______ 7. {b} P(A) _______ 8. {{b}} P(A)

_______ 9. { ,a ,b} P(A) _______ 10. {{ ,{a ,b}}}  P(A)

• แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์ (Venn – Euler Diagram)
วิธีการแสดงความสัมพนั ธ์ระหว่างเซตและกระบวนการของเซตโดยใชแ้ ผนภาพ โดย

จะแทน เอกภพสัมพทั ธ์ (Universal Set) ดว้ ยรูปสี่เหล่ียมผืนผา้ และเซตอื่น ๆ ดว้ ยรูปวงกลม
หรือวงรีภายในกรอบของรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ ดงั รูป

เซต A และเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกนั เซต A และ เซต B มีสมาชิกร่วมกนั

เซต A เทา่ กบั เซต B สมาชิกทกุ ตวั ในเซต B เป็นสมาชิกในเซต A

สมาชิกทุกตวั ในเซต A เป็นสมาชิกในเซต B

บริเวณท่ีแรเงาในแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ต่อไปน้ีแสดงเซต A หรือเซต B (A B) ในรูปแบบตา่ ง ๆ

AB AB

U U

เซต A และเซต B ไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั เซต A และเซต B มีสมาชิกร่วมกนั

A B A U
A=B กต็ อ่ เมื่อ B
U ก็ตอ่ เม่ือ

และ U

B

A

กต็ อ่ เม่ือ

บริเวณที่แรเงาในแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ต่อไปน้ีแสดงเซต A และเซต B (A B) ในรูปแบบต่าง ๆ

เซตAและเซตBไม่มีสมาชิกร่วมกนั AB =

A=B กต็ ่อเมื่อ A  B = Aและ A  B = B B  A กต็ ่อเมื่อ A  B = A

A  B กต็ ่อเม่ือ A  B = B
บริเวณที่แรเงาในแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ต่อไปน้ีแสดงคอมพลีเมนตข์ องเซต A (A) ไดด้ งั น้ี

บริเวณท่ีแรเงาในแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ต่อไปน้ีแสดงผลตา่ งของเซต A และเซต B (A − B) ใน
รูปแบบตา่ ง ๆ กลา่ วคือ สมาชิกของเซต A ท่ีไม่อยใู่ นเซต B

เซตAเซตBไมม่ ีสมาชิกร่วมกนั A − B = A เซต A และเซต B มีสมาชิกร่วมกนั A - B

A=B กต็ อ่ เมื่อ A − B =  และB − A =  B  A กต็ ่อเมื่อ A − B = A  B

A  B กต็ ่อเม่ือ A − B = 

ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ U = {a, b, c, d, e, f}
วิธที า
A = {a, b, c}
B = {a, d, f}
จงเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ พร้อมเติมสมาชิกลงในแผนภาพท้งั หมด
เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ไดด้ งั น้ี

ตัวอย่างท่ี 2 กาหนดให้ U = {x  N | x < 10}
วิธที า
A = {x  I+ | x เป็นเลขโดดและเป็นจานวนคี่}

B = {x  N | x เป็นจานวนเฉพาะท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ 11}

C = {x  I | x2 - 8x + 15 = 0}

จงเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ พร้อมเติมสมาชิกลงในแผนภาพท้งั หมด

แสดงวา่ สามารถเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิกไดด้ งั น้ี

กาหนด U = {x  N | x < 10}

A = {x  I+ | x เป็นเลขโดดและเป็นจานวนคี่}

B = {x  N | x เป็นจานวนเฉพาะท่ีมีค่านอ้ ยกวา่ 11}

C = {x  I | x2 - 8x + 15 = 0}

เขยี นแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ไดด้ งั น้ี

แบบฝึ กหดั ที่ 7

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน 1 (ค31101) ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 4
เร่ือง แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7

จงเตมิ สมาชิกของเซตทกี่ าหนดให้ลงในแผนภาพเวนน์ ออยเลอร์ให้ถกู ต้อง

1. U = { a, b, c, d, e, f, g } 2. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { a, e, f } A = { 1, 2, 3, 5, 8, 9 }
B = { a, b, c, d, e } B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

3. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 4. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 1, 3, 5, 7, 9 } A = { 2, 3, 5, 7 }
B = { 2, 4, 6, 8 } B = { 7, 8, 9 }

5. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 6. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 3, 6, 9 } A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
B = { 2, 4, 6, 8 } B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

7. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 8. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } A = { 1, 2, 3, 4, 5, 8 }
B = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 1, 2, 3, 5, 6, 7 }
C = { 1, 2, 3, 4, 6, 9 }

9. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 10. U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 3, 4, 5, 6, 7 } A = { 2, 3, 5, 7 }
B = { 1, 2, 3 } B = { 5, 6, 7, 8, 9 }
C ={2} C = { 2, 4, 6, 7, 8, 9 }