เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1.1

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 32201
เรือ่ ง ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ

1 ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ

1. ทบทวนความรูเ้ กีย่ วกับอัตราสว่ นตรีโกณมิติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรสั ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงขา้ มมุมฉากยกกาลังสองมีคา่ เท่ากับ
ผลบวกของ กาลังสองของอีกสองดา้ น

พิจารณารปู สามเหลี่ยมมุมฉาก
จะได้วา่ c2 a2  b2 หรอื c  a2  b2
a แทนความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A
b แทนความยาวของด้านตรงขา้ มมุม B
c แทนความยาวของด้านตรงขา้ มมุม C

อัตราส่วนตรีโกณมิติ หมายถึง อัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านทั้งสองดา้ นของรปู
สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยวิธีการเรียกด้านท้ังสามในรปูสามเหลีย่ มมุมฉาก โดยจะอิงกบั “มมุ ทีส่ นใจ”

เชน่ ถ้า สนใจมุม Aจะเรียก ดา้ นตรงข้ามมุม Aว่า “ข้าม”
ด้านประชิดมมุ Aว่า “ชิด”

ถ้า สนใจมุม Bจะเรียก ด้านตรงข้ามมุม Bว่า “…………………”
ด้านประชิดมมุ B ว่า “…………………”

บทนิยาม อตั ราส่วนตรโี กณมิติ
sineA (ไซน์ของมุม A) เขียนย่อว่า sinA เขียนแทนด้วย sin
นน่ั คือ sinA = ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ A

ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก
cosine A (โคไซน์ของมมุ A) เขียนย่อวา่ cosA เขียนแทนด้วย cos
นั่นคือ cosA = ความยาวของดา้ นประชิดมุม A

ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก
tangent A (แทนเจนต์ของมุม A) เขียนย่อวา่ tanA เขียนแทนด้วย tan
นน่ั คือ tanA = ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A

ความยาวของดา้ นประชิดมุม A

ครูกฤษณา ใจคามา โรงเรียนสันทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 32201

เรื่อง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ sin,cos และ tan ที่เปน็ อัตราสว่ นตรโี กณมิติของมุมภายในรปู สามเหลีย่ ม
นอกจากอัตราส่วนตรีโกณมิติทั้ง 3 ยงั มีอตั ราส่วนตรีโกณมิติ 3 อัตราส่วนที่สาคัญเช่นกัน ดังนี้

cosecant A (โคเซแคนตข์ องมมุ A) เขียนย่อวา่ cosecA หรอื cscA เปน็ ส่วนกลับของ sinA

นนั่ คือ cosecA = 1 เมือ่ sin A 0

sin A

secant A (เซกแคนต์ของมุม A) เขียนย่อวา่ secA เป็นส่วนกลับของ cosA

นั่นคือ secA = 1 เมื่อ cos A 0

cos A

cotangent A (โคแทนเจนต์ของมุม A) เขียนย่อว่า cotA เปน็ ส่วนกลบั ของ tanA

น่นั คือ cotA = 1 เมือ่ tan A 0

tan A

แบบฝึกทักษะท่ี 1 ทบทวนความร้เู กี่ยวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติ

1. สามเหลีย่ ม ABC เปน็ รปูสามเหลี่ยมมุมฉากทีม่ มี มุ C เปน็ มมุ ฉากดังรูป จงหาค่าของ
1) sin A, cos A, tan A, cosec A, sec A, cot A

3 5 2) sin B, cos B, tan B, cosec B, sec B, cot B

4

2. รปู สามเหลีย่ ม ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก ถ้า AB = 5, AC =13 จงหา
1) sin A, cos A, tan A, cosec A, sec A, cot A
2) sin B, cos B, tan B, cosec B, sec B, cot B

3. ถ้า cos A  12 จงหา sec A, tan A, cosec A

13

4. ถ้า 8sec A  9 จงหา sin A, cos A, tan A

5. ถ้า sin A  5 จงหา sec A  tan A

13 cos A  sin A

6. จงหาค่าของ

1) sin 45  cos60  tan 30
2) sin 30  cos 45  tan 60
3) cot 45  sin 30  sec60
4) 2sin 2 45  4cos60  6 tan 2 30
5) tan 2 60  4cos2 45  3sec2 30

ครกู ฤษณา ใจคามา โรงเรียนสนั ทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 32201

เรื่อง ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ

1.1 ฟังก์ชันไซนแ์ ละโคไซน์
(1) วงกลมหนึง่ หนว่ ย

การกาหนดค่าของฟงั ก์ชันตรีโกณมิติน้ัน สามารถทาได้โดยการใชว้ งกลมรัศมี 1 หน่วย

มจี ุดศนู ย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด และเราจะเรียกวงกลมดังกล่าวว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (The unit circle)
เมือ่ เรากาหนดจานวนจริง θ (ทีตา) จาก (1,0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลม โดยมีขอ้ ตกลงดังนี้

ถ้า θ > 0 จะวดั ส่วนโค้งจากจดุ (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
ถ้า θ < 0 จะวัดส่วนโค้งจากจดุ (1,0) ไปในทิศทางตามเขม็ นาฬิกา
ถ้า θ = 0 จุดปลายส่วนโค้งคอื จดุ (1,0)

เชน่

จะได้วา่ เม่อื เรากาหนดจานวนจรงิ θ ให้ จะสามารถหาจุด (x,y) ซึ่งเปน็ จดุ ปลายส่วนโค้ง
ที่ยาว |θ| หนว่ ย ในทิศทางการวัดทีก่ าหนดได้เพียงจดุ เดียวเท่านั้น ถ้า |θ| > 2π แสดงว่า วัดส่วนโค้ง
เกิน 1 รอบ เพราะเส้นรองวงของวงกลมยาว 2π หนว่ ย

ดงั นนั้ จึงสามารถกาหนดฟังก์ชนั f : R  R และเ : R  R โดยทีส่ าหรบั แต่ละจานวน θ ใดๆ
f ( )  x และ g( )  y

เมือ่ (x, y) เป็นจดุ ปลายส่วนโค้งของวงกลมหน่ึงหน่วยที่วัดจากจุด (1,0) ยาว |θ| หนว่ ย
ในทิศทางตามทีก่ ล่าวข้างต้น

เรียกฟังก์ชัน g และ f ดังกล่าวนีว้ ่า ฟังก์ชันไซน์ (sine function) และฟงั ก์ชันโคไซน์ (cosine
function) ตามลาดับ และจะเขียนแทน g ด้วย sin และเขียนแทน f ด้วย cos

y sin  (อ่านว่า วาย เท่ากบั ไซน์ทีตา)
xcos (อ่านว่า เอกซ์ เท่ากับ คอสทีตา)

ครูกฤษณา ใจคามา โรงเรียนสนั ทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 32201

เรือ่ ง ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ

วงกลมหนึง่ หนว่ ยซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จดุ กาเนิด เป็นกราฟของความสัมพันธ์

x, yR R / x2  y2 1 จะเห็นว่า 1 y 1และ 1 x 1 ดังนน้ั ค่าของฟังก์ชันไซน์และ

ฟงั ก์ชันโคไซน์นนั้ เปน็ จานวนจรงิ ตั้งแต่ -1 ถึง 1 น่ันคือ เรนจข์ อง

ฟงั ก์ชนั ไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจานวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1 และโดเมนของฟงั ก์ชันท้ังสองคอื เซตของ

จานวนจรงิ

จากสมการ x2  y2 1, y sin  , xcos จะได้ความสมั พันธ์ของ sin  และ cos ดังน้ี

cos 2  sin  2 1 หรอื cos2   sin 2  1 เมื่อ θ เป็นจานวนจริง

แบบฝึกทกั ษะท่ี 1.1 ก เรอ่ื ง วงกลมหนึง่ หนว่ ย

1. จงเขียนส่วนโค้งของวงกลมหนง่ึ หน่วย เมอ่ื กาหนดค่า  ใหใ้ นแต่ละข้อ (ให้เขียนแผนภาพของ

วงกลมหนึง่ หนว่ ยทกุ ข้อ)

1)    7)    3 12)   29

2 2 6

2)   8)    2 13)    19
3)   3
9)   7 3
2
4 14)   40
4)   2
5)     10)  14 3

2 3 15)    49

6)     11)   11 6

8 16)   98

3

2. เมือ่ กาหนด Pเป็นจดุ ปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ยาว  หนว่ ย เมื่อ  เปน็ จานวนจรงิ
ใดๆ จงหาพิกดั ในแตล่ ะข้อ

1) P0 6) P3  11) P  3 
2) P   7) P4 
8) P5   2
2 9) P   
12) P 2 
3) P   2 13) P 7 
4) P 3  14) P9 
10) P  15) P8 
2 16) P10 

5) P2 

ครูกฤษณา ใจคามา โรงเรียนสนั ทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 32201

เรื่อง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

3. กาหนด Pเป็นจดุ ปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ยาว  หนว่ ย เมื่อ  เปน็ จานวนจงิ ใดๆ

จงพิจารณาว่า Pอยู่ในจตภุ าคใด หรืออยู่บนแกน X หรือแกน Y

1) P0 7) P   12) P 8 
2) P  
8 5
2
8) P   13) P17 
3) P 
4) P 3  6 8

2 9) P   14) P   

5) P2  4  5
6) P3 
10) P   15) P  101 

3  7

11) P 5  16) P  2010 

4  9

1.1 ฟงั กช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์
(2) ค่าของฟงั ก์ชนั ไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงบางจานวน
การหาค่าของ sin  และ cos สาหรับ θ บางค่าทีส่ ามารถหาพิกัดของจุดปลายส่วนโค้งที่
วดั จากจดุ คือ (1,0) ที่ยาว |θ| หนว่ ย ได้ด้วยวิธีงา่ ยๆ
เนือ่ งจากจดุ ปลายส่วนโค้งที่ยาว 0 หน่วยคือ (1,0) ดังรปู จะได้ sin0 = 0 และ cos0 = 1

จานวน ควอดรนั ตท์ ี1่ ควอดรันต์ที่2 ควอดรนั ตท์ ี่3 ควอดรันต์ที่4 2

จริง  2 3 5  7 5 4 3 5 7 11
θ 0   23 4 6 234 6
643
643

sin 

cos

ครกู ฤษณา ใจคามา โรงเรียนสนั ทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 32201

เรือ่ ง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

แบบฝึกทักษะท่ี 1.1 ข ค่าของฟงั ก์ชนั ไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงบางจานวน

1.จงหาค่าของ sin และ cos เมอ่ื  เป็นจานวนจริงต่อไปน้ี

1. 3 7. 7 12. 57
2. 8 2 13. 53
3. 5 14. 53
8. 7

2

4. 2 9. 9 15. 27

5.  2 2

2 10. 9 16. 27

6. 3 2 2

2 11. 57

2. จงเขียนรูปวงกลมหน่งึ หน่วยและเขียนจุดปลายส่วนโค้งทีย่ าว  หนว่ ยในรูปเดียวกัน โดย  เปน็ 

4

,  ,  พร้อมทั้งแสดงค่าของฟังก์ชนั ไซน์และโคไซน์ของจานวนเหล่าน้ันไว้บนแกน Y และแกน X จาก
36

รปู ที่ได้ จงหาค่าของฟังก์ชัน ไซน์และโคไซน์ของจานวนจรงิ ตอ่ ไปนี้ 2 , 3 , 5 , 7 , 5 , 4 ,
346643

5 , 7 และ 11
34 6

3. จงบอกจานวนจรงิ  มาห้าจานวนทีท่ าให้

1. sin  0 5. sin  1 8. cos   2

2. sin 1 6. cos  1 2

3. cos  0 7. sin  1 9. sin   3
4. cos 1
2 2

4. จงหาค่าของ sin และ cos เมอ่ื  เปน็ จานวนจริงต่อไปน้ี

1.  5 4. 2  3 7. 7 10.   

4 4 3 3

2.  7 5.  8. 13

4 3 3

3. 2   6.  7 9. 37

4 6 6

5. มจี านวนจริง  ใดหรอื ไม่ทีท่ าให้ sin  2 จงให้เหตผุ ล

ครูกฤษณา ใจคามา โรงเรียนสันทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 32201

เรื่อง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

1.1 ฟงั ก์ชนั ไซน์และโคไซน์
(3) ค่าของฟงั ก์ชนั ไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงใดๆ
ถ้าส่วนโค้งของวงกลมหน่ึงหนว่ ยที่เชื่อมระหว่างจดุ (1, 0) กบั (x, y) ยาว | | หนว่ ย ส่วนโค้ง
ของวงกลมหนึ่งหน่วยที่เชือ่ มระหว่างจุด (1, 0) กบั จุด (x, -y) จะต้องยาว | | หนว่ ย เมือ่  แทน
จานวนจรงิ ใดๆ จากจุด (x,y) และ (x,-y)
สรุปได้วา่ sin ( ) = - sin

cos ( ) = cos
ถ้า  2 แล้วสามารถเขียน  ในรปู  2  เมือ่ n เป็นจานวนเต็มบวก และ
0   2 ดังนน้ั การวัดส่วนโค้งของวงกลมหนึง่ หนว่ ยจากจดุ (1, 0) ไปยาว  หนว่ ยนั้น จึงวัดไป
หนว่ ยก็เพียงพอแล้ว เพราะจานวน 2n แสดงวา่ การวัดครบรอบวงกลม n รอบ จึงสรุปได้วา่

sin 2n   sin 
cos2n   cos

การหาค่าของฟังก์ชนั ตรโี กณมิติของจานวนจรงิ ต้ังแต่ 0 ถึง 2

ครกู ฤษณา ใจคามา โรงเรียนสนั ทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 32201

เรือ่ ง ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ

แบบฝึกทักษะท่ี 1.1 ค ค่าของฟังก์ชนั ไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงใดๆ

1. ถ้า sin  0.56 จงหาว่าจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  จะอยู่ในจตุภาคใดได้บ้าง
2. ถ้า sin  0.56 จงหาว่าจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  จะอยู่ในจตภุ าคใดได้บ้าง

3. ถ้า cos2 x  sin2 x  1 จงหาค่า cos x เมื่อ   x  

22

4. จงเขียนค่าของฟงั ก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงต่อไปนใี้ ห้อยู่ในรูปค่าของฟงั ก์ชันไซน์และ

โคไซน์ของจานวนจรงิ ทีม่ คี ่าตั้งแต่ 0 ถึง 

2

13 3. 7 9

1. 12 6 5. 5

5 7 6.  16
7
2. 3 4. 10

5. กาหนดให้ 0     และ sin  0.4848 จงหาค่าของ

2

1. sin 3. cos   5. cos(  2 )
6. sin(3  )
2. sin(  ) 4. sin( )

6. กาหนดให้ sin  3 จงหาค่าของ sin(  )

5

7. จงหาค่าประมาณของ

1. sin 37 5. cos 31

6 4

2. sin 109 เมื่อ sin   9 6. cos 34

36 6 100 3

3. sin   13  7. cos  29 

 4  6

4. sin   29  8. cos  73  เมื่อ sin   9
 36  36 100
 3

8. จงพิจารณาแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ว่าจรงิ หรอื เทจ็

1. sin ≥ cos เมือ่ 3    2

2

2. 2  sin  cos  2เมื่อ   R

3. sin  cos เมือ่  คือ  หรอื 5

44

ครกู ฤษณา ใจคามา โรงเรียนสันทรายวทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ ค 32201

เรื่อง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

ครูกฤษณา ใจคามา โรงเรียนสนั ทรายวทิ ยาคม